2019-2020年高中数学《二阶矩阵与平面向量》公开课导学案设计

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2019-2020年高中数学二阶矩阵教案苏教版选修4-2

2019-2020年高中数学二阶矩阵教案苏教版选修4-2
教学目标：了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；能用变换与
映射的观点认识解线性方程组的意义；会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组；会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、唯一性。

教学重点、难点：会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；会用系数矩阵的逆矩阵求解方
程组
教学过程：
一、问题情境：
1、用消元法求解二元一次方程组，当ad －bc ≠0时，方程组的解为什么？
二、学生活动：
1、二阶行列式：
说明：
三、知识建构：
四、知识运用：
231014560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
例：利用行列式解方程组
51273A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
例：利用行列式的方法求解矩阵的逆矩阵。

例3、利用行列式求解二元一次方程组
13422
y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩例：试从几何变换的角度说明解的存在性和唯一性。

22AX B A B ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦10例5：已知二元一次方程组=，=，，10试从几何变换角度研究方程组解的情况。

五、回顾反思：
知识：思想方法：
六、作业布置：书P
七、教后反思：了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；能用变换
与映射的观点认识解线性方程组的意义；会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组；会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、唯一性。

教学重点、难点：会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；会用系数矩阵的逆矩阵求解方
程组
教学过程：。

高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (12)

1.1 基本计数原理一、教学目标：进一步学习两个计数原理，能进步性合理的分类与分步二、重点难点：分类分步的区分、优先法三、教学过程环节一【课前达标】1．从甲地到乙地有2条路, 从甲地到乙地有2条路;从甲地到丁地有4条路, 从丁地到丙地有2条路.(1)则从甲地经乙地到丙地有条路;(2)从甲地到丙地有条路.2.现有一年级学生代表3名, 二年级学生代表5名,三年级学生代表2名.(1)从中选一人担任学生会主席,共有种方法;(2)从每个年级代表中任选一人组成校学生会主席团,共有种选法;(3)从一、二年级中各选一人,与高三年级两名学生代表共四人组成学生会主席团共有种选法.环节二【典例探究】例1 用0,1,2,……9十个数字,可以组成多少个(1)三位数;(2)无重复数字的三位数;(3)小于500的无重复数字的三位数;(4)小于500且末位数字是8或9的无重复数字的三位数;(5)小于100的无重复数字的三位数.变式: 有三项体育运动项目,每个项目均设冠军和亚军各一名奖项.(1)学生甲参加了这三个运动项目,但只获得了一个奖项,学生甲获得的不同情况有多少种?(2)有4名学生参加了这三个运动项目,若一个学生可以获得多项冠军,那么各项冠军获得者的不同情况有多少种?例3、(1)同室4个各写一张贺卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺卡,则4张贺卡的不同分配方式有（）种.A.5B.6C.7D.8(2)、若*,N y x ∈且6≤+y x ,则有序数对),(y x 有( )个.A.15B.14C.13D.12【双基达标】1、某电脑用户计划使用不超过500元的资金,购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,根据需要,软件至少买3盒,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式（）A.5种B.6种C.7种D.8种2、3位旅客到4个旅馆住宿,有种不同的住宿方法.3、在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数有个.4、三边长均为整数,且最大边为11的三角形有个.、5、从正方体的6个面中选取3个面,其中2个面相邻的选法共有( ).A.8种B. 12种C. 16种D. 20种6、若直线方程0=+by ax 中的b a ,可以从0,1,2,3,4这五个数中任取两个不同的数字,则该方程表示的不同直线有( )条.A.12 B. 14 C. 15 D. 207、某商场有4个门，某人进去后在出来,共有种不同走法.8、将5本不同的书,全部分给4个学生,有种不同的分法.9、一辆汽车上有10名乘客,沿途有7个车站,则乘客下车的可能方式共有种.10、若}3,2,1,0,1,2{--∈m ,{}2,1,0,1,2,3---∈n ,且方程122=+ny m x 是表示中心在原点的双曲线,则表示不同的双曲线最多有条.11、等腰三角形的三边均为正整数,它们的周长不大于10,这样不同形状的三角形种数为 .12、用1,2, 3,4,5这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中组数有种.13、已知集合{}3,2,1=M ,}5,4,3,2{=N .(1)任取一个奇数n ,N M n ⋃∈,共有种不同取法.(2)设点),(y x Q ,M x ∈,N y ∈,问可表示个不同点.(3)在(2)问中,有个点不在直线x y =上.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高二数学矩阵教学案

汾湖高级中学高二数学同步教学案班级姓名成绩阅读教材第1页到第3页内容回答下列问题： 1：在数学中，将形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2 33 2,856590 80,31m 这样的称做矩阵。

叫矩阵的行。

叫矩阵的列。

通常称具有i 行j 列的矩阵为j i ⨯矩阵。

记号：A ，B ，C ，…或（a ij ） 2：零矩阵：行矩阵：列矩阵：3：平面向量),(y x a =和平面上的点),(y x P 可以看作行矩阵，记为，也可以看作为列矩阵，记为4：对两个矩阵B A ,，只有当B A ,的且也分别相等时，才有B A =.例题剖析例1、用矩阵表示图中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) .思考: 如果用矩阵M=00⎡⎢⎣ 12 3240⎤⎥⎦表示平面中的图形, 那么该图形有什么几何特征?例2、某种水果的产地为A 1 , A 2 , 销地为B 1 , B 2 , 请用矩阵表示产地A i 运到销地B j 的水果数量(a ij ), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 .变题：请根据游戏“剪刀、石头、布”的游戏规则，作出一个3阶矩阵（胜、负、和分别用0,1,1-表示）例3、设矩阵A 为33⨯矩阵，其元素⎩⎨⎧≠+==j i j i j i ij a ij，其中3,2,1,=j i ，求A 中所有元素之和。

例4、已知A=4x⎡⎢⎣32⎤⎥-⎦ , B=1z ⎡⎢⎣ 2y ⎤⎥-⎦, 若A=B , 试求x , y , z .变题：设A=2y ⎡⎢⎣ 3x ⎤⎥⎦, B=2m n x y +⎡⎢-⎣ x y m n +⎤⎥-⎦, 若A=B , 试求x , y , m , n 的值.巩固练习书P 10 1 , 2 , 4 课堂小结汾湖高级中学高二数学基础练习班级姓名成绩 1.用矩阵表示图中的△ABC, 其中A(2 , 3) , B(-4, 6), C(5 , -3).2.在学校组织的数学智力竞赛中, 甲、乙、丙三位同学获得的成绩分别为: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分别用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同学, 试用矩阵表示各位同学的得分情况.3.设A=1y ⎡⎢⎣ 3x ⎤⎥⎦, B=2m n x y -⎡⎢-⎣ x y m n +⎤⎥+⎦, 若A=B , 试求x , y , m , n .4. 用矩阵表示下列方程组中的未知量的系数.(1)4736x y x y +=⎧⎨-+=-⎩ (2)3212376x y z x y z ++=-⎧⎨-+=⎩5、求矩阵11⎡⎢⎣ 32 33 14⎤⎥⎦表示平面图形的面积。

高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (6)

第二课时椭圆的简单几何性质教学目标1、进一步掌握椭圆的几何性质2、理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的准线方程及准线的几何意义，进一步理解离心率的几何意义。

3、掌握用坐标法求曲线方程及由方程研究图形性质的方法。

4、培养分析问题和解决问题的能力教学过程1、复习回顾前一节学习了椭圆的几何性质，大家回忆一下：⑴椭圆的几何性质的内容是什么？椭圆16x 2＋9y 2＝144中x 、y 的范围，长轴长，短轴长，离心率，顶点及焦点坐标。

－3≤x ≤3，－4≤y ≤4，长轴长2a ＝8，短轴长2b ＝6，离心率47=e ，顶点坐标(0,－4),(0,4),(－3,0),(3,0)，焦点坐标)7,0(),7,0(-注意：椭圆的焦点一定在椭圆的长轴上。

⑵什么叫做椭圆的离心率？e ＝c/a离心率的几何意义是什么呢？我们先来看一个问题：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l ：x ＝a 2/c 的距离的比是常数e=c/a(a ＞c＞0)，求点M 的轨迹。

2、探索研究(按求轨迹方程的步骤，学生回答，教师书写)解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合},|||{a c d MF M P == 由此得ac x c a y c x =-+-||)(222 将上式两边平方，并化简，得(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)设a 2－c 2＝b 2,就可化成x 2/a 2＋y 2/b 2＝1，这是椭圆方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，长轴长为2b ，焦点在x 轴上的椭圆。

小结：⑴椭圆的第二定义：当点M 与定点F 的距离和它到定直线l 的距离的比是常数e=c/a(0＜e ＜1)时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。

⑵对于椭圆x 2/a 2＋y 2/b 2＝1，相应于焦点F 2(c,0)的准线方程是l ：x ＝a 2/c ，根据椭圆对称性，相应于焦点F 1(－c,0)的准线方程是l ：x ＝－a 2/c ；对于椭圆x 2/ b 2＋y 2/ a2＝1，相应于焦点F 2(0,c)的准线方程是l ：y ＝a 2/c ，根据椭圆对称性，相应于焦点F 1(0,－c)的准线方程是l ：y ＝－a 2/c 。

高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (14)

1.2.2 排列的应用教学目标：掌握解排列问题的常用方法教学重点：掌握解排列问题的常用方法教学过程一、复习引入：1．排列的概念：说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）二、方法探究：例2 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？技能小结：解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课堂练习：1、六人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰间隔两人；(5)甲、乙站在两端；(6)甲不站左端，乙不站右端．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

人教版高中选修(B版)4-21.2二阶矩阵与平面向量的乘法课程设计

人教版高中选修(B版)4-21.2 二阶矩阵与平面向量的乘法课程设计一、课程介绍本课程设计是为人教版高中选修(B版)4-21.2 二阶矩阵与平面向量的乘法而设计，主要面向高中数学教师和学生。

本课程以培养学生对二阶矩阵与平面向量乘法的掌握和运用能力为主要教学目标，从理论到实践逐步引导学生深入了解、掌握矩阵与向量乘法的相关概念、方法和应用。

二、课程内容2.1 二阶矩阵与平面向量•二阶矩阵和平面向量的定义•二阶矩阵和平面向量的表示方法•二阶矩阵和平面向量的相加、相减、数量积和数量积的计算规则•二阶矩阵和平面向量的点乘、叉乘、并乘和并乘的计算规则2.2 二阶矩阵与平面向量的乘法•矩阵乘向量的定义与计算方法•矩阵乘向量的几何解释及其应用•向量乘矩阵的定义与计算方法•向量乘矩阵的几何解释及其应用•矩阵乘矩阵的定义与计算方法•矩阵乘矩阵的几何解释及其应用三、教学目标1.掌握二阶矩阵和平面向量的基本概念、表示方法和计算规则。

2.熟练掌握二阶矩阵和平面向量的点乘、并乘和数量积等运算方法，初步理解叉乘运算。

3.了解向量和矩阵运算的几何意义及其在实际问题中的应用。

4.掌握矩阵乘向量、向量乘矩阵和矩阵乘矩阵的计算方法，能够正确应用于实际问题中。

四、教学重点1.矩阵乘向量、向量乘矩阵和矩阵乘矩阵的定义和计算方法。

2.矩阵乘向量、向量乘矩阵和矩阵乘矩阵的几何意义及其在实际问题中的应用。

五、教学难点1.向量与矩阵的乘法运算。

2.矩阵的求逆过程。

六、教学方法本课程主要采用讲授与互动相结合的教学方法。

其中，讲授部分重点强调基本概念、原理和技巧的讲解，而互动部分则加强了对于学生动手实践的引导和支持，以培养学生自主学习和解决实际问题的能力。

同时，在互动环节，教师还将选择适当的实例和案例，引导学生深入理解和掌握矩阵与向量乘法的相关概念、方法和应用。

七、预估时间本课程为20课时。

•前15课时为讲授和互动环节，每课时为50分钟。

•后5课时为实际问题解决和综合训练，每课时为80分钟。

二阶矩阵与平面向量导学案

课题：第1课二阶矩阵与平面向量班级：姓名：【学习任务】1.了解矩阵的相关概念：矩阵和元素、零矩阵、行矩阵（行向量）、列矩阵（列向量）、矩阵相等。

2.理解二阶矩阵与平面列向量的乘法规则及乘法的几何意义。

【课前预习】1.设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素2,1,2;1,2ij a i j i j =+==，求矩阵A 。

2.求矩阵1 1 21 2 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所表示的三角形的面积。

3.已知 3 2a A d b c ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦， 5 4 2b c B a d +⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，若A=B ，求,,,a b c d 的值。

4.已知变换 1 23 1x x x y y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，将它写成坐标变换的形式。

5.计算：（1）1 222 34⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）1 210 -13⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【合作探究】例1：计算1 120 11⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，并解释计算结果的几何意义。

例2：已知平面上一个正方形ABCD （顺时针）的四个顶点用矩阵表示为0 0 0 4 a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求,,,a b c d 的值及正方形ABCD 的面积。

例3：求矩阵A ，使点A （0，3），B （-3，0）在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点(1,1),(1,2)A B ''-。

例4：已知矩阵[()],[ 1],2x A f x B x x C a ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦，若A=BC ，求函数()[1,2]f x 在上的最小值。

【学后反思】。

高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (19)

1.3.1 二项式系数的性质教学目标：理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用教学重点：理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用教学过程一、复习引入：1．二项式定理01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+=二、讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质：（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n nC C -=）．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C-，12n n C +取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ 三、典例分析例1．在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++；（3）017||||||a a a +++. 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数例5.已知n 2)x2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质课堂练习：1．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ． n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3解析：选C.(1＋x )2n ＋1展开式有2n ＋2项．系数最大的项是中间两项，是第n ＋1项与第n ＋2项，它们的二项式系数为C n 2n ＋1与C n ＋12n ＋1.2．关于(a －b )10的说法，错误的是( )A ．展开式中的二项式系数之和为1024B ．展开式中第6项的二项式系数最大C ．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D ．展开式中第6项的系数最小精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (16)

1.2.4 组合数的性质教学目标：1掌握组合数的两个性质；2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题教学重点：掌握组合数的两个性质教学过程一、复习引入：1 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号m n C 表示． 3．组合数公式的推导：（1）一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m n A ，可以分如下两步：① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m n C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C m mA ⋅．（2）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=),,(n m N m n ≤∈*且说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③y n x n C C =y x =⇒或n y x =+．2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ．三、典例分析例1．（ 1）计算：69584737C C C C +++；（2）求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．例2．解方程：（1）3213113-+=x x C C ；（2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ．例3、男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．课堂小节：本节课学习了组合数的两个性质课堂练习：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (11)

2.3.2 离散型随机变量的方差一、教学目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差五、教学过程：探析新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛（三）、例题探析：例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？例3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平例4．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好（四）、课堂练习：1、设ξ～B (n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p2．设随机变量ξ的分布列为求D ξ机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学2-1二阶矩阵与平面向量2-1-2二阶矩阵与平面列向量的乘法教学案苏教版选修4_2

高中数学2-1二阶矩阵与平面向量2-1-2二阶矩阵与平面列向量的乘法教学案苏教版选修4_21．二阶矩阵与平面列向量的乘法规则(1)行矩阵与列矩阵的乘法规则：＝；(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：＝.一般地，前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义(1)一个列向量左乘一个2×2矩阵M后得到一个新的列向量，如果列向量表示一个点P(x，y)，那么列向量左乘矩阵M后的列向量就对应平面上的一个新的点．(2)对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为：T：(x，y)→(x′，y′)或T：→.(3)一般地，对于平面向量变换T，如果变换规则为T：→＝，那么根据二阶矩阵与平面列向量的乘法规则可以改写为T：→＝的矩阵形式，反之亦然(a、b、c、d∈R)．(4)由矩阵M确定的变换，通常记为TM，根据变换的定义，它是平面内点集到自身的一个映射，平面内的一个图形它在TM的作用下得到一个新的图形．二阶矩阵与平面列向量相乘[例1] 设A＝，Z＝，Y＝，求AZ和AY.[思路点拨] 利用二阶矩阵和平面列向量的乘法公式求解．[精解详析] AZ＝＝，AY＝＝.若矩阵A＝，列向量为α＝，则Aα＝＝，其结果仍是一个列向量，同时应注意，给出点的坐标可写成列向量的形式．1．计算：(1)；(2)；(3)；(4).解：(1)＝＝；(2)＝＝；(3)＝＝；(4)＝＝.2．给定向量α＝，矩阵A＝，B＝，C＝，D＝，计算Aα，Bα，Cα，Dα.解：根据矩阵与向量的乘法，得Aα＝＝，Bα＝＝，Cα＝＝，Dα＝＝.坐标变换与矩阵乘法的互化[例(2)已知变换＝，试将它写成矩阵的乘法形式．[思路点拨] 直接应用二阶矩阵与向量乘积的规定．[精解详析] (1)＝.故它表示的坐标变换为.(2)＝.对于＝，首先由二阶矩阵与平面列向量乘法得＝，再由向量相等，。

人教版高中数学高二数学《二阶矩阵与平面向量》学案

教学目标：
教学重点：
教学难点：
一、问题的情境引入
1、向量问题。

2、甲、乙两名选手初复赛成绩问题。

3、方程组系数问题。

二、新课讲解
1、矩阵的概念：
2、相关概念：行，列，元素。

3、特殊矩阵：零矩阵，行矩阵，列矩阵。

4、二阶矩阵与列向量的乘法：
5、变换：
三、典型例题
例1、用矩阵表示图中的ABC ∆，其中A(1-,0)，B(0,2)，C(2,0)。

例2、某种水果的产地为1A ，2A ，销地为1B ，2B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地i B 的水果数量(ij a )，其中1,2,1,2i j ==。

1B
2B 1A
11a 12a 2A 21a 22a
例3、已知A =4x ⎡⎢⎣ 32⎤⎥-⎦，B =1z ⎡⎢⎣ 2y ⎤⎥-⎦，若A =B ，求,,x y z 。

例4、计算20⎡⎢⎣ 01⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

例5、(1)已知变换''13x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎣⎦ 42x y ⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦，试将它写成坐标变换的形式。

(2)已知变换''3x x x y y y y ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦试将它写成矩阵乘法的形式。

四、课堂练习：课本10P 2、3、11P 6。

五、课堂总结：。

高中数学第1课时二阶矩阵二阶矩阵与平面向量的乘法二阶矩阵与线性变换教案新人教A版选修4 (13)

1.2.1 排列教学目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学重点：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学过程：一、复习引入：1.分类计数原理：2，乘法原理：二、新课学习：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：求m n A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+，排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+=!()!n n m -（,,m n N m n *∈≤）说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）4、典例分析例1．计算：（1）316A ；（2）66A ；（3）46A ．例2．（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示．例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高二数学二阶矩阵与平面列向量的乘法学案

二阶矩阵与平面列向量的乘法一、教学目标1、掌握二阶矩阵与列向量的乘法规则, 并了解其现实背景.2、理解变换的含义了解矩阵与变换的联系。

二课前预习:1、在某次歌唱比赛中, 甲的初赛和复赛的成绩用A=[80 90]表示, 乙的初赛和复赛成绩用B=[60 85]表示, C=0.40.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示初赛和复赛成绩在比赛总分中所占的比重, 那么如何用矩阵的形式表示甲、乙的最后成绩呢?2、.行矩阵和列矩阵的乘法规则3、二阶矩阵与列向量的乘法规则几何意义4、变换三、数学运用例1、计算: (1)2-⎡⎢⎣21⎤⎥⎦32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(2)1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦1020⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)2⎡⎢⎣1⎤⎥⎦xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求在矩阵3-⎡⎢⎣25⎤⎥⎦对应的变换作用下得到点(3 , 2)的平面上的点P的坐标.例3、(1)已知变换13x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢'⎣⎦⎣⎦⎣42⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试将它写成坐标变换的形式;(2)已知变换x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦3x y y -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 试将它写成矩阵乘法的形式.四课堂练习：1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14=2、设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡724k ，若AB=BA ，则k=.3、在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成.4、已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-，则实数a 的值是五、课堂小结则几何意义六、课外作业11页7、10、11。

高中数学 2.1 二阶矩阵与平面向量教案苏教版选修42

2.1二阶矩阵与平面向量2． 1.1矩阵的概念课标解读1.了解矩阵产生背景．2．会用矩阵表示一些实际问题．3．了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示.1．矩阵的有关概念矩阵的行、列、元素同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行(row)，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列(column)，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．零矩阵所有元素都为0的矩阵叫做零矩阵，记为0. 行矩阵把像[]a 11 a 12这样只有一行的矩阵称为行矩阵．列矩阵把像⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21这样只有一列的矩阵称为列矩阵，并用希腊字母α，β，…来表示.2．矩阵的相等对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .3．矩阵与平面向量的关系由于点P (x ，y )――→一一对应平面向量OP →，因此，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 既可以表示点(x ，y )，也可以表示以O (0,0)为起点、以P (x ，y )为终点的向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别．1．矩阵(a 23)与矩阵(a 32)一样吗？【提示】不一样，因为矩阵(a 23)表示2行3列矩阵，而矩阵(a 32)表示3行2列矩阵． 2．对于m ×n 矩阵，由多少个元素组成？【提示】对于1×2矩阵有1×2个元素组成；对于1×3矩阵有1×3个元素组成；对于2×2矩阵有2×2个元素组成；对于2×3矩阵有2×3个元素组成； ……对于m ×n 矩阵有m ×n 个元素组成．3．两个矩阵中的元素相同时，矩阵相等吗？【提示】不一定．两个同行同列的矩阵，只要有一个对应位置上的元素不一样，这两个矩阵就不相等，如⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 423≠⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 42 －3.两个不同行(或者不同列)的矩阵一定是不相等的，如以零矩阵为例：[0,0]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤0000，尽管两个矩阵的元素均为0，但两者不相等.用矩阵表示图形用矩阵表示如图中的直角△ABC ，其中A (－4,0)，B (0,2)，C (1,0)【思路探究】将点用列向量表示⇒将△ABC 用矩阵表示【自主解答】因为直角△ABC 由点A ，B ，C 惟一确定，点A ，B ，C 可以分别用列向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤02，γ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10来表示，所以△ABC 可以表示为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0 1 0 2 0.矩阵可以认为是由几个点的坐标构成的列向量组成，反过来，矩阵可以表示几个点，或它们构成的平面图形．若像例1中那样用矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 320 2 20表示平面中的图形，那么该图形有什么几何特征？【解】矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 3 20 2 2 0表示由点(0,0)，(1,2)，(3,2)，(2,0)四个点构成的一个平行四边形.用矩阵表示实际问题某物流公司负责从两个矿区向三个企业配送煤：从甲矿区向企业A 、B 、C 送的煤分别是100万吨、200万吨、150万吨；从乙矿区向企业A 、B 、C 送的煤分别是150万吨、150万吨、300万吨．试用矩阵表示上述数据关系．【思路探究】求解的关键将实际问题中的几个量转化为矩阵中的元素．【自主解答】设甲、乙两个矿区分别向A ，B ，C 三个城市的送煤量组成行向量α，β，则α＝[]100 200 150，β＝[]150 150 300.故甲、乙两个矿区向A ，B ，C 三个城市的送煤量用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 200 150150 150 300.用矩阵表示实际问题的一般思路是：先将实际问题中的几个量(或将实际问题数字化后得到向量)组成行向量(或列向量)，再将其用矩阵表示．某班A 、B 、C 、D 四名学生的成绩统计表如下：成绩统计表：姓名科目ABCD语文 82 75 92 63 数学 90 89 95 72 英语95909290试用矩阵表示上述数据．【解】矩阵可以表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤82 75 92 6390 89 95 7295 90 92 90矩阵相等的确定与应用设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x －1y 0，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤p －1 －2 2 q ，且A ＝B ，求p ，q ，x ，y .【思路探究】利用二阶矩阵相等的定义，构建方程(组)求解．【自主解答】 ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝p －1，x －1＝－2，y ＝2，0＝q ，得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝0，x ＝－1，y ＝2.根据矩阵相等求矩阵中字母的值的一般思路是利用矩阵相等的定义，构建待求字母的方程(组)从而求解．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋1 d ＋1 －c 2a ＋1，若A ＝B ，试求a ，b ，c ，d 的值．【解】因为A ＝B ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a c －d c ＋d b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ＋1 d ＋1 －c 2a ＋1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＋1，c －d ＝d ＋1，c ＋d ＝－c ，b ＝2a ＋1，由此解得 a ＝－1，b ＝－1，c ＝15，d ＝－25.(教材第10页习题第5题)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m －n x ＋y x －2y m ＋n ，若A ＝B ，求x ，y ，m ，n 的值． (2013·苏州模拟)已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 cos α＋sin αcos β－sin β 1，α，β∈(0,2π)，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，若A ＝B ，求α，β的值．【命题意图】本题主要考查矩阵相等的概念，以及方程思想．【解】 ∵A ＝B ，∴⎩⎨⎧cos α＋sin α＝2，cos β－sin β＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2sin α＋π4＝2，2sin π4－β＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋π4＝2k 1π＋π2，k 1∈Z ，π4－β＝2k 2π＋π2，k 2∈Z .∴α＝2k 1π＋π4，k 1∈Z ，β＝－2k 2π－π4，k 2∈Z .又α，β∈(0,2π)， ∴α＝π4，β＝74π.1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 572 4 68，则矩阵A 是一个________行________列矩阵，a 24＝________. 【解析】根据矩阵定义知A 为一个二行四列矩阵，a 24＝8. 【答案】二四 82．在二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234中，第二行、第一列的数是_______．【解析】 a 21＝3.【答案】 33．下列为列矩阵的有________(只填正确答案的序号)．①[0 0]；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；③⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 21；④[]a 11 a 12；⑤⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0；⑥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0；⑦[]2 0；⑧⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 00 3 4. 【解析】由列矩阵的定义知，②③⑥为列矩阵，故填②③⑥. 【答案】 ②③⑥4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 823，矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x y3.若A ＝B ，则x ＝________，y ＝________.【解析】因为A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2.【答案】 8 21．画出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 －11 －1 2所表示的三角形．【解】矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 －11 －1 2所表示的点依次为A (2，1)，B (3，－1)，C (－1,2)，则三点所确定的三角形如图所示：2．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 x y2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋2n 2x ＋y x －y m －n .若A ＝B ，求x ＋y ＋m ＋n 的值．【解】 ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，2x ＋y ＝x ，x －y ＝y ，m －n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，m ＝53，n ＝－13.∴x ＋y ＋m ＋n ＝0＋0＋53－13＝43.3．已知方程组为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝3，(1)写出由它的系数构成的矩阵；(2)若将常数项与系数联合起来，可以构成一个二行三列的矩阵，试写出该矩阵．【解】 (1)因为方程x ＋y ＝2中x 与y 的系数分别为1,1；方程x －2y ＝3中x 与y 的系数分别为1，－2，所以原方程组系数构成的矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 －2.(2)M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 21 －23.4．营养配餐中心为学生准备了各种菜肴，每份中能量、脂肪、蛋白质的含量各不相同．“红烧肉”中所含上述三种营养成分分别为649千卡(1千卡＝4 187焦耳)、30 g 、10 g ；“青椒肉丝”中所含上述三种营养成分分别为258千卡、20 g 、19 g ；“韭菜豆芽”中所含上述三种营养成分分别为131千卡、15 g 、3 g ，试将上述结果用矩阵表示出来．【解】各种菜肴中各种营养成分的含量如下表：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤649 30 10258 20 19131 15 3. 5．设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素a ij ＝i 2＋j 2，i ＝1,2，j ＝1,2，试求矩阵A .【解】根据题意，则有A ＝(a ij )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12 12＋2222＋12 22＋22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 558.6．已知n 阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤3 6 … a ij … a 1n6 11 … a 2j… a 2n… … … … … …a i 1 a i 2 … a ij … a in… … … … … …a n 1 a n 2 … a nj … a nn，其中每行、每列都是等差数列，a ij表示位于第i 行第j 列的数．(1)写出a 45的值； (2)写出a ij 的计算公式．【解】 (1)∵第1列成等差数列，a 11＝3，公差为3， ∴a 41＝3＋(4－1)×3＝12.∵第2列成等差数列，a 21＝6，公差为5， ∴a 42＝6＋(4－1)×5＝21.又∵第4行成等差数列，公差为21－12＝9， ∴a 45＝12＋(5－1)×9＝48.(2)由(1)得a i 1＝3＋(i －1)×3＝3i ，a i 2＝6＋(i －1)×5＝5i ＋1，∴第i 行的公差为2i ＋1，∴a ij ＝3i ＋(j －1)×(2i ＋1)＝2ij ＋i ＋j －1.7．已知甲、乙、丙三人中，甲、乙相识，甲、丙不相识，乙、丙相识．若用0表示两人之间不相识，用1表示两人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关系．(规定每个人都和自己相识)【解】将他们之间的相识关系列表如下：甲乙丙甲 1 1 0 乙 1 1 1 丙11故用矩阵表示为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 1 01 1 10 1 1.教师备选8．小王是个气象爱好者，他根据多年收集的资料，发现了当地天气有如下的规律：晴天的次日是晴天的概率为34；晴天的次日是阴天的概率为18；晴天的次日是雨天的概率为18.同样的，阴天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是12，14，14；雨天的次日为晴天、阴天、雨天的概率分别是14，12，14.试用矩阵表示上述数据．【解】晴天、阴天、雨天的次日分别是晴天、阴天、雨天的概率关系如下表：晴天的概率阴天的概率雨天的概率晴天的次日 34 18 18 阴天的次日 12 14 14 雨天的次日141214所以可用矩阵M 表示为：M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34 18 1812 141414 12 142．1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法课标解读1.掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则． 2．理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射.1．行矩阵[]a 11 a 12与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则 []a 11 a 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[]a 11×b 11＋a 12×b 21.2．二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与平面列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 3．平面向量的变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x ，y )，按照对应法则T ，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x ′，y ′)，则称T 为一个变换，简记为：T ：(x ，y )→(x ′，y ′)或T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.4．由二阶矩阵与平面列向量的乘积确定的平面向量的变换一般地，对于平面向量的变换T ，如果变换规则为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则可以改写为T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的矩阵形式，反之亦然(a ，b ，c ，d ∈R )．由矩阵M 确定的变换T ，通常记作T M .根据变换的定义，它是平面内点集到其自身的一个映射．当α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示某个平面图形F 上的任意点时，这些点就组成了图形F ，它在T M 的作用下，将得到一个新的图形F ′——原象集F 的象集F ′.1．二阶矩阵与平面列向量乘法的作用是什么？【提示】由二阶矩阵与平面列向量的乘法规则知：左乘这样一个二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22的作用是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成了另一个向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y2．二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义是什么？【提示】由本节的知识点知，一个二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可以看作一个特定的平面上的几何变换，它将变换前的列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 表示平面上的点P (x ，y )，变成另一个列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy 表示的新的点P ′(ax ＋by ，cx ＋dy )．反过来，现有平面上的一个变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，如果⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy ，即变换后的点的横坐标及纵坐标均可由原向量(点)的坐标线性表示出来，这时变换T 应为矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d . 3．矩阵与列向量的乘法的几何意义与函数的概念有何区别？【提示】由二阶矩阵与平面列向量的乘法法则可以看出，其几何意义在于它对应着平面上点与点之间的某种几何变换，这与以前所学的函数的概念有所区别．函数是建立在数集上的对应，而由矩阵所确定的变换是建立在平面内点集到其自身的一个映射.二阶矩阵与平面列向量的乘法运算计算(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤31； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤86； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .【思路探究】根据矩阵与向量的乘法规则运算．【自主解答】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×5＋0×70×5＋－1×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×3＋0×10×3＋1×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤86＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×8＋2×63×8＋4×6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2048. (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋2×y 3×x ＋4×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y .二阶矩阵与平面列向量的乘法运算，按照其乘法规则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y 进行．本例中(1)(2)(3)运算结果所表示的几何意义是什么？【解】 (1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1作用下，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤57变成⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7，此时点P (5,7)变成了关于x轴对称的点P ′(5，－7)．(2)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001作用下，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤31保持不变． (3)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234作用下，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤86变成了向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤2048.矩阵的变换 (1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3215⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【思路探究】 (1)根据矩阵与列向量乘法规则运算即得；(2)关键找到将2x －3y 及y 用x ，y 线性表示出来的系数a ，b ，c ，d .【自主解答】 (1)根据矩阵与列向量的乘法规则，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋2y x ＋5y . (2)由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×x ＋－3×y 0×x ＋1×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .1．将矩阵的乘法形式的变换写成坐标变换的形式，只需根据矩阵与列向量的乘法规则将矩阵的乘法进行运算即可．2．将坐标变换的形式写成矩阵的乘法形式，关键是找到矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，使⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x －3y 2x ＋2y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【解】由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x －3y 2x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×x ＋－3×y 2×x ＋2×y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －32 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －32 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .在二阶矩阵对应的变换作用下点的坐标的确定与应用已知变换T ：平面上的点P (2，－1)，Q (－1,2)分别变换成P 1(5，－6)，Q 1(2，0)，求变换矩阵A .【思路探究】由题意可知，变换矩阵A 为二阶矩阵，根据二阶矩阵与列向量的乘法可列出方程组，解方程组可求出二阶矩阵中的各元素．【自主解答】设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－6， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＝5，2c －d ＝－6，－a ＋2b ＝2，－c ＋2d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，c ＝－4，d ＝－2.故所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 3－4 －2.如果矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3002把点A 变成点A ′(3,2)，求点A 的坐标．【解】设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝3×x ＋0×y ，2＝0×x ＋2×y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以点A 的坐标为(1,1)．(教材第11页习题第7题)设点P (a ，b )(a ，b ∈R )在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0对应的变换作用下得到点P ′，求点P ′的坐标．(2013·福建高考)已知直线：l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x 0y 0，求点P 的坐标．【命题意图】考查矩阵与矩阵变换．矩阵变换时，考查运算求解能力及化归与转化思想．【解】 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y .又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0).1．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，则Aα＝________. 【解析】 Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×－1＋2×13×－1＋4×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤112．已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则将它写成坐标变换的形式为：________.【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋1×y 0×x ＋2×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2y3．线性变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y 写成矩阵与向量的乘积的形式为________．【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 4．若矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0把点A 变成点A ′(3,1)，则点A 的坐标为________．【解析】设变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝0×x ＋－1×y ，1＝1×x ＋0×y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.所以点A 的坐标为(1，－3)．【答案】 (1，－3)1．给定向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5，利用矩阵与向量的乘法，试说明下列矩阵把向量a 分别变成了什么向量：⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0.【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－310， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5－3， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0. 2．求点A (4,3)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1314 16对应的变换作用下得到的点．【解】因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121314 16⎣⎢⎡⎦⎥⎤43＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤332，点A 在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1314 16对应的变换作用下为点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32.3．(1)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2531⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式；(2)已知变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x 2y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋5y 3x ＋y .(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x 2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×x ＋0×y 0×x ＋2×y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .4．给定向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01，D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，计算Aα，Bα，Cα，Dα，并说明它们所表示的几何意义．【解】根据矩阵与向量的乘法，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32， Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， Cα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 2， Dα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23. 在矩阵A 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32保持不变；在矩阵B 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32变成零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；在矩阵C 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32的横坐标变成相反数，纵坐标保持不变，此时点P (3,2)变成了关于y 轴对称的点P ′(－3,2)，如图(1)；在矩阵D 作用下，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32变成了向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，此时点P (3,2)变成了关于第一、三象限平分线对称的点P ′(2,3)，如图(2)．5．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a ∈R ，若点P (1，－2)在矩阵M 对应的变换下得到点P ′(－4,0)，求实数a 的值．【解】由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2a 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4，即a ＝3.6．设矩阵A 对应的变换把点A (1,2)变成点A ′(2,3)，把点B (－1,3)变成点B ′(2,1)，那么把点C (－2，3)变成了什么？【解】设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，点A (1,2)，A ′(2,3)，B (－1，3)，B ′(2,1)对应的向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，β1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，β2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.根据题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝2，c ＋2d ＝3，－a ＋3b ＝2，－c ＋3d ＝1.∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝25，b ＝45，c ＝75，d ＝45.∴A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45. 设点C (－2,3)对应的向量为γ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3，在矩阵A 对应的变换下为C ′(x ′，y ′)，且C ′对应的向量为γ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 4575 45⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 85－25. 7．试说明正方形ABCD 在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001对应变换作用后的图形是否改变，其中A (0,0)，B (1，0)，C (1,1)，D (0,1)．【解】 ∵M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， ∴A ，B ，C ，D 四点坐标没有变化， ∴正方形ABCD 没有改变．教师备选8．直线2x ＋y －1＝0在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1202作用下变换得到的直线方程．【解】法一任意选取直线2x ＋y －1＝0上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 202作用下变换得到的点为P ′(x ，y )，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1202⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋2y 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝12y .又因为点P 在直线2x ＋y －1＝0上，所以2x 0＋y 0－1＝0，即2(x －y )＋12y －1＝0，化简得所求直线方程为4x －3y －2＝0.法二在直线2x ＋y －1＝0上取两点(12，0)，(0,1)．因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，所以变换后对应的点的坐标分别为(12，0)，(2,2)．所以所求直线过两点(12，0)，(2,2)，方程为 4x －3y －2＝0.二阶矩阵与平面向量二阶矩阵与平面列向量的乘法行矩阵与列矩阵的乘法规则二阶矩阵与列向量的乘法规则平面向量的变换矩阵的变换矩阵的定义行矩阵零矩阵列矩阵矩阵相等一、矩阵的概念矩阵是数学中一个极其重要而又应用广泛的概念，很多实际问题都可以归结成矩阵来解决．某物流公司负责从甲、乙两个城市向三个受灾地区A ，B ，C 运送救灾物资，即：从甲城市向城市A ，B ，C 送救灾物资的量分别是250万吨，210万吨，180万吨；从乙城市向城市A ，B ，C 送救灾物资的量分别是400万吨，350万吨，630万吨．试用矩阵表示甲、乙两个城市向A ，B ，C 三个受灾地区送救灾物资的数量．【解】设甲、乙两个城市分别向A ，B ，C 三个受灾地区运送救灾物资的量组成行向量α，β，则α＝[]250 210 180，β＝[]400 350 630.故甲、乙两个城市向A ，B ，C 三个受灾地区运送救灾物资的量用矩阵表示为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤250 210 180400 350 630. 二、矩阵相等对于两个矩阵A ，B ，只有当A ，B 的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素也分别相等时，A 和B 才相等，此时记作A ＝B .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x 21＋y 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 p ＋12 1－q ，且A ＝B ，求x ，y ，p ，q 的值．【解】由矩阵相等的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，1＋y ＝2，p ＋1＝2，1－q ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝1，p ＝1，q ＝0.三、二阶矩阵与平面列向量的乘法二阶矩阵与平面列向量的乘法是矩阵运算与矩阵变换的关键，应熟练掌握．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，并解释计算结果的几何意义．【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×3＋2×10×3＋－1×1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1，其几何意义是在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 －1对应变换的作用下，列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤31变为列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－1或表示平面上的点P (3,1)变为点P ′(5，－1)．四、函数与方程思想函数与方程思想就是解决某些问题时，通过构造函数或方程，然后通过研究函数的有关性质或解方程(组)达到解决问题的目的．本章中函数与方程的思想应用广泛．已知点P (x ，y )在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1 1 3对应的变换下变成点P ′(3－1,1＋3)，求点P 的坐标．【解】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1 1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －y x ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－11＋3， ∴⎩⎨⎧ 3x －y ＝3－1，x ＋3y ＝1＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，故P 点坐标为(1,1)．综合检测(一)1．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝4，2x ＋3y ＝2，试用矩阵表示它的系数和常数项．【解】系数矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 32 3，常数项矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤42. 2．写出矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1 20 0 1所表示的三角形的各顶点坐标．【解】设三个顶点分别为A ，B ，C ，则A (0,0)，B (1,0)，C (2,1)．3．(1)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 132⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，试将它写成坐标变换的形式； (2)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2y y ，试将它写成矩阵的乘法形式．【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0＋y 3x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ y 3x ＋2y . (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 4．设M 是一个3×3矩阵，且规定其元素a ij ＝i ＋3j (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，试求M .【解】由题意可知a 11＝4，a 12＝7，a 13＝10，a 21＝5，a 22＝8，a 23＝11，a 31＝6，a 32＝9，a 33＝12，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 7 105 8 116 9 12.5．设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 02 －2，P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －31 －4.(1)若矩阵M ＝N ，求x ，y ，z ，w ；(2)若矩阵M ＝P ，求x ，y ，z ，w .【解】 (1)∵M ＝N ，∴x ＝3，y ＝0，z ＝2，w ＝－2.(2)∵M ＝P ，∴x ＝3，y ＝－3，z ＝1，w ＝－4.6．计算：(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .【解】 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋0×y 0×x ＋1×y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ×0＋b ×0c ×0＋d ×0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1×x ＋1×y 1×x ＋1×y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y x ＋y .7．求使⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13成立的实数a ，b ，c ，d 的值．【解】 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 23 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2d ＝2，bd ＝4，ac ＝1，3c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4，c ＝1，d ＝1.8．如果矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 2对应的变换把点A 变成点A ′(2,1)，求点A 的坐标．【解】设A (x ，y )，由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －y x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，x ＋2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝53，y ＝－13，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－13. 9．设矩阵M 对应的变换把点A (1,6)变成A′(4,3)，把点B (－1,2)变成点B ′(2,5)，求矩阵M .【解】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由已知，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤43， ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋6b ＝4，c ＋6d ＝3. ①②又由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋2b ＝2，－c ＋2d ＝5. ③④由①③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－12，b ＝34.由②④得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－3，d ＝1. ∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 34－3 1. 10．在△ABC 中，A (3,2)，B (3，－2)，C (6,4)，若矩阵M 对应的变换把点A 变成A′(2，－3)，把点B 变成B ′(1,2)，点C 变成C ′，求变换后直线A ′C ′所在直线方程．【解】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝2，3c ＋2d ＝－3，3a －2b ＝1，3c －2d ＝2. ∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ a ＝12，b ＝14，c ＝－16，d ＝－54.∴M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 14－16 －54. ∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 14－16 －54⎣⎢⎡⎦⎥⎤64＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－6. ∴C ′(4，－6)．∴直线A ′C ′的方程为y ＋3＝－6＋34－2×(x －2)，即3x ＋2y ＝0.。

高中数学新人教版A版精品学案《二阶矩阵与平面向量的乘法》

二阶矩阵与平面向量的乘法【学习目标】知识与能力： 1．了解二阶矩阵与平面向量的乘法的概念。

2．熟练运用二阶矩阵与平面向量的乘法解决具体问题。

过程与方法：1．通过与过去知识的对比学习，进一步了解二阶矩阵的概念2．以二阶矩阵与平面向量的乘法为主，直接用二阶矩阵表示线性变换。

3．掌握二阶矩阵与平面向量的乘法的一些基本性质。

情感态度与价值观：1．让学生在回顾旧知识时，学习新的知识。

2．培养合作交流意识。

【学习重难点】重点：掌握二阶矩阵与平面向量的乘法。

难点：掌握二阶矩阵与平面向量的乘法的实际应用。

【学习过程】一、自主预习（一）知识点一：二阶矩阵与平面向量的乘法1．设a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x y α⎛⎫= ⎪⎝⎭，规定二阶矩阵A 与向量α的乘积为向量ax by cx dy +⎛⎫ ⎪+⎝⎭，记A α或a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即a b x ax by A c d y cx dy α+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这样就定义了矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的__________法。

2．二阶矩阵A 与平面向量α的乘积仍然是一个__________。

第一个分量为____________________，第二个分量为____________________。

二、探究思考1．探究如何用二阶矩阵和平面向量的乘积表示线性变换？三、习题检测1．这个矩阵M 对应的线性变化把点(1,2)A 变成点(2,3)A '。

把点(1,3)B -变成点(2,1)B '，那么这个线性变换把点(2,3)C -变成什么？2．设1201A ⎛⎫=⎪⎝⎭，13α-⎛⎫= ⎪⎝⎭，求A α3．设矩阵1001A -⎛⎫=⎪⎝⎭，求点(2,2)P 在A 所对应的线性变化的作用下的像P '的坐标4．直角坐标系O 内的平移变换x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩，（其中h ，是不全为0的常数）能写成二阶矩阵与平面向量乘积的形式吗？5．设1011A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，123α⎛⎫= ⎪⎝⎭，211α-⎛⎫= ⎪⎝⎭，x y α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求1A α，2A α，A α6．设1212A ⎫-⎪ = ⎝，直角坐标系O 内的点(1,1)P 在矩阵A 所对应的线性变换的作用下变成(,)P x y '''，求x '，y '7．设a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭是任意一个二阶矩阵（其中a ，b ，c ，d 均为常数），记10i ⎛⎫= ⎪⎝⎭，01j ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求A 0，Ai ，A。