用随机减量技术及ITD法识别工作模态参数

则 ( 1) 式可表示为:
( 2) L N 1 L N 2 … L N N xN f N ( t) ( 3) 简记为: L x = f ( t ) ( ) ( ) 设测点数等于自由度 N , 各个测点响应的时间历程 x i t 应在同一时刻开始记录, x i t 可以是位移、 速 ( ) ( ) ( ) 度、 加速度信号, 每个测点的响应的时间历程 x j t 及该点的激振力 f j t 采 K 个样本 如图 1 。 =
^ ^
X Y X Y
= =
7 7 7 7
^
∃ 记为: R = P ∃ ∃ 记为: R = P ∃
^ - 1 ^ ^ ^
( 14) ( 15) ( 16) ( 17) ( 18) ( 19)
( (
P 与 P 的关系: P = P + 由 ( 14) ( 15) 两式消去 ∃ 得: P - 1 R = P R ^ ^ 由 ( 17) 式得: P = RR- 1 P ^ 代入 ( 16) 式得: RR- 1 P = P + 记为 AP = P + A 为数据矩阵, 由测试得到。 s r∃ t 对于第 r 阶模态: AP r = P resr∃ t = Κ r P r 其中 Κ r= e 即: (A - Κ r I) P r = 0 I 为单位阵, 方程组 ( 20) 有非零解: A - Κ rI = 0 s r∃ t 由上式解得: 2N 个复特征值 Κ , 代入 ( 20) 式得 2N 个复特征矢量 P r。 r= e 模态参数识别: () sr∃ t 由 Κ = a r + jbr 及系统复频率: s r = - n r + j Ξd r , 即 a r + jbr = e n r+ j Ξd r ∃ t r= e 解得: a r = e- n r∃ tco s ( Ξd r ∃ t) Ξ ∃t br = e d r sin ( Ξd r ∃ t) 1 2 2 ( 21) ( 22) 式两边平方相加再取对数得: n r = ln ( a r + br ) 2∃ t 1 - 1 br Ξd r = tg ∃t ar 模态频率: Ξr =
r r
( 25)
(
3 结 语
该方法适用于在线识别模态参数, 所需设备简单, 易操作, 只需同时记录各测点响应的时间历程, 可推广 应用于环境激励接近白噪声的振动工程。 若模态对响应的 “贡献” 越大, 采用该方法获得的模态参数精度越 高。上述推导假设测点数与自由度及主模态数相等, 但实际上测点数可以大于或小于自由度数[ 3 ]。假设激励 为白噪声, 对非白噪声激励有待进一步研究和探讨。
L
11 21
ij
( 1)
L 12 … L 1N L 22 … L 2N … …
d d + K ij 2 + C ij dt dt x1 f 1 ( t) x2
2
…
…
收稿日期: 2002209212 作者简介: 刘齐茂 (19722) , 男, 广西钦州人, 广西工学院助教, 东南大学研究生。
…
L
f 2 ( t)
24
广西工学院学报 2002 年 12 月
图 1 测点 j 的总响应及取 K 个样本
样本长度相等, 时移后记为 x j ( tk + Σ) 、 f j ( tk + Σ) , 对测点 j 的样本 x j ( tk + Σ) 起始值 x j ( tk ) 作规定: ・ ・ j ( tk ) < 0 ( k = 2, 4, 6, …) x j ( tk ) = x s ( k = 1, 2, 3, …, k ) ; x j ( tk ) > 0 ( k = 1, 3, 5, …) ; x 对其它测点的起始值不加限制, 但均以 tk 时刻的 x i ( tk ) 做起始值。 对每个测点的响应信号用 K 个样本平均, 式 ( 2) 变为: 导顺序:
L 1
K
k= 1
1
K
K 1 K ( tk + Σ) = 2 L x 2 f ( tk + Σ) k= 1 k= 1
K
( 4)
随机荷载是均值为零的白噪声, 当 K 足够大时, ( 4) 式右端趋向于零; 左端是常系数线性系统, 交换求和与求 2 x ( tk + Σ) = 0
1
K
k= 1 K
( 5)
令 得:
第 4 期 刘齐茂: 用随机减量技术及 ITD 法识别工作模态参数
25
为: x i = ∆( t i ) ; y i = ∆( t i + ∃ t) ; z i = ∆( t i + 2∃ t) ( i = 1, 2, …, 2N ) 在 t= t i 时刻, 自由响应矢量为: x i = 2 7 resr ti = [ 7 1 …7 r= 1 当响应矢量 x i 进行 2N 次采样后得: x 1 ( t1 ) x 1 ( t2 ) … x 1 ( t2N )
0 引 言
传统的模态参数识别通过人工激励获得结构的时频响应, 由激励和响应的关系可识别结构的模态参数。 但当结构处于工作状态时, 如飞机在飞行状态, 靠人工激励来获得结构的时频域响应显然是不合适的, 且环 境的激励又无法测量, 故结构振动系统通过测量也只能获得输出即响应, 而没法获得输入 ( 激励) , 振动系统 的模态参数没法识别。 解决的办法一是建立振动系统的模型如自回归滑动平均 A RM A 模型、 自回归 A RV 模型等, 二是建立输入信号模型如白噪声。 环境对振动系统的激励多数情况下可假设为均值为零的白噪声, 振动系统的模态参数可用随机减量技术将系统的自由振动信号从随机响应信号中分离出来, 然后通过 ITD 法识别, 下面是该方法的理论推导过程。
n r + Ξd r
2 2
( 20)
( 21) ( 22)
( 23)
26
广西工学院学报 2002 年 12 月
r= Ν
模态阻尼比:
Ξr
nr
( 24)
模态振型: 将 Κ r 代入 ( 20 ) 式, 得相应的复特征矢量: 7 P r = 7 其中 7 r 即为相应的模态振型。
2N 2N
e
s2N t1
…
e
s2N t2
… es2N t2N
( 9)
延时 ∃ t, 响应矢量: y i = 2 7 r es r∃ tesr ti = 2 7 resr ti r= 1 r= 1 当响应矢量 y i 进行 2N 次采样后得: Y = 7 ∃
( (
…
= [ 7 1 …7
1 随机减量技术原理
随机减量技术是利用随机信号的平均值接近于零这一特点, 从线性振动系统的平稳随机样本函数中提 取确定性信号的方法。 这种确定性信号是在一定初始条件下的自由衰减振动信号 ( 脉冲信号或阶跃信号) 。 对一个 N 自由度的线性阻尼系统, 其运动微分方程为[ 1 ]: ¨ ・ M + Kx = f ( t ) x + Cx 其中 f ( t) 为均值为零的随机激励。 引入符号算子: L ij = M
用随机减量技术及 ITD 法识别工作模态参数
刘齐茂1, 2
( 11 东南大学土木学院工程力学系, 江苏 南京 210018; 21 广西工学院汽车系, 广西 柳州 545006)
摘 要: 在许多情况下环境激励是无法测量的, 假设环境对振动系统的激励是均值为零的白噪声, 用随机减量技术 将系统的自由振动信号从随机响应信号中分离出来, 然后再用 ITD 法识别系统的模态参数。整个过程均在时域内进 行, 避免了时频转换中出现的 “谱泄漏” 等现象。 关 键 词: 环境激励; 模态分析; 参数识别; 随机减量技术; 随机振动 中图分类号: O 324; TH 113 文献标识码: A
O pera ting m oda l param eter iden tif ica tion by random decrem en t techn ique and ibrah i m ti m e doma in
LI U Q i2 m ao
1, 2
( 11D ep t 1of M echan ics&Eng, Sou th 2ea st U n iversity, J iang su N an jing 210018, Ch ina; 21D ep t 1of A u tom ob ile Eng ineering, Guangx i U n iversity of T echno logy, L iuzhou 545006, Ch ina ) Abstract: T he em b ien t excita t ion can’t be m ea su red in m any ca ses1T he em b ien t excita t ion to the vib ra t ion system is con siderd a s w h ite no ise w ith naugh t of exp ecta t ion 1F ree vib ra t ion signa l of the system is sep a 2 ra ted from random respon se signa l by random decrem en t techn ique 1A nd then the m oda l p a ram eters of the system a re iden t ified by ib rah im t im e dom a in 1T he to ta l p rocess is done in t im e dom a in and so the sp ect rum leakage is avo ided from t im e dom a in to frequency dom a in 1 Key words: em b ien t excita t ion; m oda l ana lysis; p a ram eter iden t ifica t ion; random decrem en t techn ique; random vib ra t ion
x 2 ( t1 ) x 2 ( t2 ) … x 2 ( t2N )
2N 2N
] [ es1 ti …es2N ti ] T
e 1 1 e 1 2 … e 1 2N
s t s t s t s t s t s t
…
…
…
…
…
…
x N ( t1 ) x N ( t2 ) … x N ( t2N ) 简写为: X= 7 ∃
2N
]
e 2 2 e 2 2 … e 2 2N
( 10)
延时 2∃ t, 响应矢量: z i = 2 7 resr2∃ tesr ti = 2 7 r esr ti r= 1 r= 1 当响应矢量 z i 进行 2N 次采样后得: Z= 7 ∃ 三个模态矩阵 7 , 7 , 7 的关系: 7 = 7 + ^ 7= 7 + s ∃t e 1 0 … 0
[ 参 考 文 献 ]
[ 1 ] 刘延柱, 陈文良, 陈立群 1 振动力学 [M ] 1 北京: 高等教育出版社, 19981712991 [ 2 ] 周传荣, 赵淳生 1 机械参数识别及其应用 [M ] 1 北京: 科学出版社, 1989127323401 [ 3 ] 杨景义, 王信义 1 试验模态分析 [M ] 1 北京: 北京理工大学出版社, 199018221101 [ 4 ] 许本文, 焦群英 1 机械振动与模态分析基础 [M ] 1 北京: 机械工业出版社, 1998127022911N
^
( 11) ( 12) ( 13)
…
0 0 … es2N ∃ t
…
其中对角阵 + = 阵。
0 es2 ∃ t … 0
ω 0
2N ×2N
为特征值矩阵, 7 , 7 , 7 为复模态矩阵, ∃ 为复特征值指数矩
(
^
将 ( 9) ( 10) 组合: 将 ( 10) ( 11) 组合
∆( Σ) =
2 x ( tk + Σ)
( 6)
K
L ∆( Σ) = 0
( 6) 式是 N 自由度系统的自由振动微分方程。 ∆j ( Σ) 即是自由衰减振动在 j 点的响应 ( 见图 2) 。
图 2 测点 j 的自由响应 ∆j ( Σ)
2 ITD 法识别模态参数[ 2 ] [ 4 ]
把环境激励视为多点白噪声激励。 自由振动微分方程: L ∆( Σ) = 0 化为: M ∆ ( Σ) + C ∆ ( Σ) + K ∆( Σ) = 0, 该 自由振动在 j 点的响应 ∆j ( Σ) ( 图 2) 是各阶模态响应的线性叠加:
第 13 卷 第 4 期 2002 年 12 月
广 西 工 学 院 学 报 V o l 113 N o 14 JOU RNAL O F GU AN GX I U N I V ER S IT Y O F T ECHNOLO GY D ec12002
文章编号 100426410 ( 2002) 0420023204
sr Σ ) = 2 7 j resrΣ ( j = 1, 2, …, N ) ∆j ( Σ) = r= 2 1 (A resrΣ+ A 3 r e r= 1 N
¨
・
3
2N
( 7) ( 8)
( 7) 式记为:
∆( Σ) = r= 2 17 re r
2N
s Σ
7 r 为对应复频率 s r 的复模态。 对响应信号 ∆ ( Σ) 进行三种方式采样, 得采样时间分别为 t i , t i + ∃ t, t i + 2∃ t, 的三种不同的数据序列, 记