第一章随机事件

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概率论与数理统计第一章1.1随机事件

随机现象从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，但直到20世纪初，人们才认识到随即现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科，而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的
数学学科.
完
随机现象的统计规律性
事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其满足：
用 S 的某一子集来表示，常用字母 A, B, 等表示. 某事件 A 发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现. 若记 s 为试验中出现的样本点，则
事件的集合表示某事件 A 发生，就是属于该集合的某一样本点在试验中出现. 若记 s 为试验中出现的样本点，则事件 A 发生
s A.
样本空间 2. 在将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T 出现情况的试验中，有8个样本点，样本空间：
S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.

概率论第一章随机事件及其概率

1.1.2 随机事件及其运算
1.随机事件可能发生、也可能不发生的事件随机事件是随机试验结果（样本点）组成的集合，一般用字母A、B、…表示。三个特殊的随机事件：基本事件：仅由一个样本点组成的集合
必然事件：全部样本点组成的集合，即Ω
不可能事件：不包含任何样本点的集合，即
2. 事件的关系与运算
反之，对一个事件的概率人们也直观地从频率的角度去理解。如某个硬币抛出正面的概率是0.4，即…
4.概率的数学定义
定义1.2(概率的公理化定义) 设E是随机试验， Ω 是它的样本空间，如果对每个事件 A 赋予一个实数 P (A) ，如果集合函数满足P (· ) 满足下列条件
(1) (非负性) 对任意事件 A，有 P (A) ≥ 0 ； (2) (规范性) 对必然事件 S，有 P (S) = 1 ； (3) (无穷可加) 对任意两两不相容的随机事件 A1，A2，· · · ，都有： P ( A1＋A2＋· · · ) = P (A1)＋P (A2)＋· · · 则 P (A) 称为事件 A 的概率。
2. 随机抽样模型
例1.15 如果某批产品中有a件次品，b件好品。今从中不放回地（有放回地）两种方式任取n件，则其中恰有k（k ≤ a）件次品的概率是多少？
(2) 频率还具有稳定性，总是在某一个具体数值附近波动，随着试验次数的不断增加，频率的波动会越来越小，逐渐稳定在这个数值。

概率与数理统计第一章第一节随机事件

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基本事件就是在在一次试验中必发生一个且仅发生一个的最简单事件。复合事件是由若干基本事件组合而成的事件。基本事件可理解为“不能再分解”的事件。电话呼叫试验注意: 抛硬币
对于同一试验而言，试验目的不同, 则试验的基本事件就有可能不相同。我们把这称为基本事件具有相对性。
测量身高
事件A与B 的和，
即当且仅当A与B中至少有一个发生。

A B
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A1 A2 An Ai 表示" A1 , A2 ,, An中
i 1
n
至少有一个事件发生 " 这一事件.
A 表示" 事件列A , A ,中至少有一个事件发
i 1 2 i 1

生" 这一事件 .
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和
事
件
例从 10个标有号码 1, 2,…, 10 的小球中任取一个, 记录所得小球的号码。
A={球的号码是不大于3的奇数}={1，3},
B={球的号码是不大于4的偶数}={2，4}
C={球的号码不超过4} = {1，2，3，4}。
则：
AB C
吸收律: 如果A B, 则A B B, AB A.

概率论第一章随机事件及其概率Ch1.5 全概率公式与贝叶斯公式

P ( A ) P ( B A ) 1 1
4 P ( AB ) 1 P ( AB ) 2 1 7
由此可见，该废品是第二台车床加工的可能性大。
练习对以往数据分析结果表明, 当机器调整得
良好时 , 产品的合格率为 98 %, 而当机器发生某种故障时 ,其合格率为 55 %. 每天早上机器开动时, 机器调整良好的概率为 95 %.试求已知某日概率是多少 ?
PB ( ) PAPB ( i) ( A i)
i 1 3
1 1 2 2 2 2 2 C C C C C C C 5 7 3 6 3 7 7 2 2 2 2 2 2 CC C C CC 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 .2 9
例1.23 为了解某支股票未来一定时期内价格的变化，人们往往会去分析影响该股票价格的基本因素，比如利率的变化。现假定经分析估计利率下调的概率为60%，利率不变的概率为40%。根据经验分析，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，该支股票价格上涨的概率为40%，求该支股票价格将上涨的概率。解记A为事件“利率下调”， A 变”，为事件“利率不
1 PA (1 ) , 3
2 PA ( 2) , 3
P ( B A )0 . 0 3 , P ( B A )0 . 0 2 , 1 2

第一章随机事件与概率

[ a , b ) = (- ∞ , b ) - (- ∞ , a ), 其中 a , b 为任意实数。
●再把闭区间、单点集、左开右闭区间，开区间扩展进来：
[a, b] =
∩ [a, b +
n =1
+∞
1 ),{b} = [ a , b ] − [ a , b ), n
( a , b ] = [ a , b ] − { a }, ( a , b ) = [ a , b ) − { a }.
6
§1.2 有关概率论的测度论介绍
从概率的形成和发展来看，它虽起源比较早（可以追溯到 17 世纪 30 年代），但直到 20 世纪 30 年代，原苏联科学家柯尔莫哥洛夫在集合和测度论的基础上建立了概率模型的公理化体系，在这个体系中，他把概率看作在整个空间 Ω 上取值为 1 的测度，并借助测度论为概率论的发展打下了坚实的理论基础，这才使概率论有了比较严格和完整的理论体系。自此以后，概率论的理论和应用在广度和深度上都有了迅速的发展。现在，测度论已经成为概率论（特别是随机过程论）的理论基础。概率统计中的很多概念和结果离开测度论是很难从理论上讲清楚的。因此，要使概率统计知识的学习有质的飞跃，就需要学习与概率论有关的测度论基础。在这一节，我们将简要介绍与概率论有关的测度论的基本知识。
∪ A ∈F
i i =1

第一章随机事件及概率讲解

n
n
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
(1)n1 P( A1 A2 An )
例2.6：设A、B为两个事件，且P(A)=0.6， P(B)=0.5，P(A B) 0.7 ，求 P( AB ), P( AB), P( AB )
性质： A A ; A A; A
6、互斥（不相容）事件：若事件A与B不能同时发生，称A与B为互斥事件.
7、互逆事件：若A B 且 A B 则称A 与B为互逆事件.记 A B (B A)
符号集合论解释 A B A是B的子集
三、事件的集合表示，样本空间
样本点：随机试验中每一种可能的结果
为一个样本点，记为：
样本空间：由全体样本点组成的集合。
记为：。例：1 {1,2,3,4,5,6};
2 {合格品，不合格品}； 3 {0，1，2,}； 4 {l, a l b}； 5 {t, t 0}。
概率计算要点
给定样本点，并计算出它的总数
再计算有利场合的数目
2、基本的组合分析公式
a. 两条原理
乘法原理：若进行A1 过程有 n1种方法，进
行A2 过程有n2种方法，则进行A1 过程后接着进行 A2过程共有 n1 n2种方法。

概率论第一章随机事件与概率

第一章随机事件及其概率

自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。这类现象称为确定性现象。

另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。这类现象称为随机现象。

随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

§1 随机事件

一、随机试验与样本空间

我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E 表示。

举例如下：

E 1：抛一枚硬币，观察正面H 、反面T 出现的情况；

E 2：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 、反面T 出现的情况； E 3：将一枚硬币抛掷两次，观察正面H 出现的次数； E 4：投掷一颗骰子，观察它出现的点数； E 5：记录某超市一天内进入的顾客人数；

E 6：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。随机试验具有以下三个特点：

（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；（3）试验可以在相同的条件下重复进行。

随机试验E 的所有可能结果的集合称为E 的样本空间，记作Ω。样本空间的元素，即

E 的每个结果，称为样本点，一般用ω表示，可记{

§1.1随机事件

A( A + B ) = A
AΦ = Φ
A + AB = A
A+Φ = A AΩ = A
A+Ω = Ω
6 .对偶率： + B = A B 对偶率： A
AB = A + B
7 .等幂率： A + A = A 等幂率：
AA = A
掷一颗骰子的试验，察出现的点数：例1.掷一颗骰子的试验，观察出现的点数： A =“奇数点”； B =“点数小于 5”； C =“小于 5的偶数点”。奇数点” 的偶数点” 列事件：用集合的列举法表示下列事件： Ω ， A， B， C， A + B， A − B， B − A， AB ， AC ， A + B。
B= A
A= B
注意
对立事件
互不相容事件 .(互斥 )
7.完备事件组完
如果 n个事件 A1 , A2 , ⋯ , An互不相容 , 并且它们的和是必然事件, 则称这 n个事件 A1 , A2 , ⋯ , An构成一个完备事件组 .
何释...... 几解：
对于任何的 i ≠ j ( i , j = 1, 2, ⋯), 有 Ai A j = Φ . A1 + A 2 + ... + A n = Ω
∩ Ai
4 .事件的差 .

概率论与数理统计第一章01 第一节随机事件

第一章随机事件及其概率

概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.

第一节随机事件

教学目的理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算教学重点事件之间的关系与运算

教学难点事件之间的关系与运算教学内容

一、随机现象

在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：一类是在一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象。

例如：（1）一物体从高度为h （米）处垂直下落，则经过t （秒）后必然落到地面，且当高度h 一定时，可由公式2

1gt h =

得到，g h t /2=（秒）。（2）设有一块长方形的金属板，若在其边界上持续施加确定的温度，产生确定的温度分布。

（3）异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥。…

另一类则是在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。例如：（1）在相同条件下抛掷同一枚硬币，我们无法事先预知将出现正面还是反面。（2）在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面朝上。（3）将来某日某种股票的价格是多少。…

从亚里士多德时代开始，哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用，但直到20世纪初，人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究。概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科。

二、随机试验

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科。

1.1随机事件

样本空间——全部样本点的集合基本事件——一个样本点的集合复合事件——多个样本点的集合不可能事件——没有样本点的集合全集
空集
9
引言因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。
三、事件间的关系及运算
1、事件的包含与相等
属于 A 的必然属于 B
则：Ｂ∪Ｄ={取到编号为1,2,3,5,7,9的球} 注意：样本点重复时只写一次！
13
3、事件的交（积）
Ａ∩Ｂ中的样本点是Ａ与Ｂ所共有的样本点。
样本空间 A
“两事件Ａ与Ｂ都发生” 这一事件称
为事件Ａ与Ｂ的交（积）。
记为：Ａ∩Ｂ或ＡＢ。
A ∩ B
B
在例1中， A={取到5号球}， B ={取到编号是奇数的球} 则：Ａ∩Ｂ={取到编号为 5 的球}
4
随机事件分为：
（1）基本事件：对于试验目的而言不可再细分的试验结果（2）复合事件：由两个或两个以上的基本事件构成的事件
（3）必然事件：每次试验中一定发生的事件（4）不可能事件：每次试验中一定不发生的事件
例3：掷一枚均匀的骰子，={点数小于等于6}, A={点数为4}, B={偶数点}，C={点数不大于3}, ={点数为8} 则基本事件为? 复合事件为？必然事件为？不可能事件为？
直观解释
样本空间Ω

概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率} 第一节：随机事件

概率论
一个随机试验 E 的所有可能结果所组的集合
4. 样本点 (Sample Point)
样本空间中的元素 , 即 E 的每个结果 ,称为样本点 .
Ω
.
样本点ω
现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具 .
概率论
例如, 试验是将一枚硬币抛掷两次, 观察正面H、反面T出现的情况: 则样本空间: Ω ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 第 1次 (H,H):
事件 B={掷出奇数点} 1 ,3 ,5
事件 C {出现的点数大于4} 5,6 .
概率论
2. 基本事件(Elementary Event): 由一个样本点组成的单点集. 例如,在掷骰子试验中，观察掷出的点数 .
事件 Ai ={掷出i点}, i =1,2,3,4,5,6
基本事件
概率论
特点2: 不定性现象在大量重复观察或试验下，它的结果却呈现出固有规律性. 统计规律性
在个别试验中其结果呈现出不确定性, 在大量重复观察或试验中其结果却具有统计规律性的现象, 称为随机现象.
概率论
概率论的研究对象
随机现象的统计规律性
第一章随机事件的概率
第一节随机事件第二节随机事件的概率第三节条件概率第四节独立性 *主观概率
概率论
概率论
第一节随机事件

1[1].1 随机事件

仅含有一个样本点的事件称为基本事件。仅含有一个样本点的事件称为基本事件。含有两个或基本事件两个以上的事件称为复合事件复合事件. 两个以上的事件称为复合事件
显然，样本空间S作为事件是必然事件，空集 Φ 作显然，样本空间作为事件是必然事件，作为事件是必然事件为一个事件是不可能事件. 为一个事件是不可能事件
六、事件的关系与运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B , Ak ( k = 1,2,⋯) 是 S 的子集 .
观察一个新灯泡的寿命，例3 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也有无穷多个：t小时， ≤ t < ∞ ,样本空间为：有无穷多个：小时，样本空间为：小时 0
Ω = {t小时 | 0 ≤ t < +∞}
连接射击直到命中为止。例4 连接射击直到命中为止。为了简洁地写出其样本空间，我们约定以“ 表示一次射击未中表示一次射击未中，本空间，我们约定以“0”表示一次射击未中，而以表示命中。 “1”表示命中。表示命中则样本空间 ={1，01，001， 0001，…. } ，，，，
第一章随机事件及其概率
§1.1 随机事件
一、随机现象
自然界所观察到的现象: 自然界所观察到的现象确定性现象随机现象
1.确定性现象确定性现象
在一定条件下必然出现的现象称为确定性现象. 的现象称为确定性现象. 实例 “太阳不会从西边升起”, 太阳不会从西边升起” 太阳不会从西边升起 “水从高处流向低处”, 水从高处流向低处” 水从高处流向低处 “可导必连续”, 可导必连续” 可导必连续确定性现象的特征: 确定性现象的特征条件完全决定结果

概率统计第1章

例
AB=φ，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求 B 的对立事件的概率。
解：由 P(AB) = P(A) + P(B)P(AB) = P(A)+P(B)
得 P(B) = P(AB)P(A) = 0.80.6 = 0.2，
所以 P( B ) = 10.2 = 0.8.
例1.3.4
(n r )!
组合
r n n! Pn r 组合： Cn r r !(n r )! r !
• 重复组合： C
r n r 1
n r 1 r
注意
求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种不同的方法.
将35个号分成三类： 7个基本号码、 1个特殊号码、 27个无用号码记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：
7/28/2017
中奖概率如下：
不中奖的概率为：
p0=1p1p2p3p4p5p6 p7
7/28/2017
常见模型(4) —— 盒子模型:P23
n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限.

第二版工程数学-概率统计简明教程-第一章-随机事件

第一章随机事件
第一节样本空间、随机事件第二节随机试验
第一节样本空间、随机事件
试验
在一组给定的条件下进行实验或观察，统称为试验
某路口的车流量、某一个工厂产品的次品率、不同气压下水沸腾时的温度、抽奖时第一次抽中奖时所抽取的次数 …...
定义
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验.
1. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;
2. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
实例1 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. 实例2 从一批产品中,依次任选三件,记录出
现正品与次品的情况. 记 N 正品, D 次品.
{ NNN , NND, NDN , DNN , NDD, DDN , DND, DDD }.
实例3 从一批灯泡中任取一只, 测试其寿命.
{t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
实例4
记录某城市120 急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.
{0, 1, 2, }.
试验可以在相同的条件下重复地进行
实例5 观察某地明天的天气是下雨还是晴天实例6 某人计划去旅游，观察再预定的一天能否安全抵达目的地
试验不可以在相同的条件下重复地进行
本书只研究 ——可在相同的条件下重复的试验

概率论与数理统计第一章——随机事件及概率

出现；
❖ 事件A的表示可用集合，也可用语言来表示。
例：观察181路公交车汕大站候车人数。
={0,1,2,…}；
A={至少有10人候车}={10,11,12,…} A为随机事件，
A可能发生，也可能不发生。
◼ 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
◼ 如果将亦视作事件，则每次试验总是发生，故又称为必然事件。
P
(A)
=
3 8
(2)P(B)
=
C1C1 35 C2 8
=
15 28
53.6%
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k 件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
(D N,n N)
解：
P(
Ak
)
=
Ck Cn−k D N −D Cn
,
k
=
0,1,,
n
N
（注：当L>m 或 L<0时，记 CmL=0 ）
例：向上抛出的物体会掉落到地上（确定）打靶，击中靶心（不确定）买了彩票会中奖（不确定）
偶然性
必然性在每次试验前，其结果呈现出不确定性，但在大量重复试验中Байду номын сангаас其结果又具有一定的量的规律性（统计规律性）。
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。