112三角形全等的条件(SAS)课件2
两个三角形全等的条件(SAS)-教学课件
小结：
1、边角边公理：
1）关系：角是两边的夹角。 2）在找关系中，一定要注意对应 关系。
要点
2、 三个条件的来源： 1）来自“已知” 直接给出 2）来自图形 公共元素 3） 在图形和已知条件中挖掘。
要点
3、 注意证明
A
O C
D
B
新课
利用“边角边”公理证明两 个三角形全等时，必须具备三 个条件，缺一不可，对于所缺 的条件如何寻找，则是证明两 个三角形全等的关键。也是本 节课我们要研究的问题。
例1
已知：AD∥BC。AD=CB 求证：△ADC≌△CBA
A
1 D
2
B
C
证明：
∵AD∥BC （已知） ∴∠1=∠2 （两直线平行，内错角相等） 在△ADC和△CBA中， AD=CB（已知） ∠1=∠2 （已证） 证明全等 AC=CA （公共边） ∴△ADC≌△CBA （SAS）
创造条件
例2、
已知：AB=AC AD=AE
∠ 1= ∠2
求证：△ABD≌△ACE
B
1
A
3
2
C
D
E
证明：∵∠1=∠2（已知） ∴∠1+∠3=∠2+∠3 即∠ACE=∠BAD 创造条件 在△ABD和△ACE中， AB=AC（已知） ∠BAD=∠CAE（已证） 证明全等 AD=AE（已知）
∴△ABD≌△ACE （SAS）
七年级数学
两个三角形全等的条件 （SAS）
教学目的：
1、使学生比较熟练地掌握三角 形全等的判定公理。 2、使学生初步掌握寻找两个三 角形全等的非已知条件的思 路和方法。
教学重点：
如何运用判定公理1来证明两 个三角形全等。
人教版八年级数学上册《12-2 三角形全等的判定(第2课时)》课堂教学课件PPT初中公开课
人教版 数学 八年级 上册问题:如图有一池塘.要测池塘两端A、B的距离，可无法直接到达，因此这两点的距离无法直接量出.你能想出办法来吗？导入新知ABCE D在平地上取一个可直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长至D 使CD=CA 连接BC 并延长至E 使CE=CB 连结ED ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离.为什么？导入新知3. 了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．1. 探索并正确理解三角形全等的判定定理“SAS ”.2. 会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问题．素养目标1.回顾三角形全等的判定方法 1三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.在△ABC 和△ DEF 中∴ △ABC ≌△ DEF.（SSS ）AB=DE ，BC=EF ，CA=FD ，2.符号语言表达：ABCDE F知识点 1三角形全等的判定——“边角边”定理当两个三角形满足六个条件中的3个时，有四种情况:三角×三边√两边一角 ？两角一边【思考】除了SSS 外,还有其他情况吗？能判定全等吗？已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？AB CAB C“两边及夹角”“两边和其中一边的对角”它们能判定两个三角形全等吗？尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB ，A′C′＝AC ，∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？ABC两边及其夹角能否判定两个三角形全等?做一做ABCA ′DEB ′C ′作法：（1）画∠DA'E=∠A ；（2）在射线A'D 上截取A'B'=AB,在射线A'E 上截取A'C'=AC ；（3）连接B'C '.思考:① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？②这两个三角形全等是满足哪三个条件？在△ABC 和△ DEF 中，∴ △ABC ≌△ DEF （SAS ）．u 文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. （简写成“边角边”或“SAS ”）． “边角边”判定方法u 几何语言：AB = DE ，∠A =∠D ，AC =AF ，ABCDEF必须是两边“夹角”例1 如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD ，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？分析:△ ABD ≌△ CBD .边:角:边:AB=CB (已知)，∠ABD= ∠CBD (已知)，AB C D (SAS)BD=BD (公共边)，证明：在△ABD 和△ CBD 中，AB=CB (已知)，∠ABD= ∠CBD (已知)，∴ △ ABD ≌△CBD ( SAS).BD=BD (公共边)，利用“边角边”定理证明三角形全等探究新知素养考点 1已知:如图, AB=DB ,CB=EB ,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D .证明:∵ ∠1＝∠2(已知)， ∴∠1+∠DBC ＝ ∠2+ ∠DBC (等式的性质)，即∠ABC ＝∠DBE. 在△ABC 和△DBE 中, AB ＝DB (已知)，∠ABC ＝∠DBE (已证)， CB ＝EB (已知)，∴△ABC ≌△DBE （SAS ）.∴ ∠A=∠D (全等三角形的对应角相等).1A 2C B D E 巩固练习例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ．连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么?A C ·E DB 证明：在△ABC 和△DEC 中，∴△ABC ≌△DEC （SAS ）.∴AB =DE .（全等三角形的对应边相等）AC = DC （已知），∠ACB =∠DCE （对顶角相等），CB=EC （已知），探究新知利用全等三角形测距离素养考点 2如图，两车从南北方向的路段AB 的A 端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C ，D 两地.此时C ，D 到B 的距离相等吗？为什么？提示：相等.根据边角边定理，△BAD ≌△BAC ，∴BD = BC.巩固练习如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC .固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD .这个实验说明了什么？B AC D △ABC 和△ABD 满足AB =AB ,AC =AD ,∠B=∠B ,但△ABC 与△ABD 不全等.SSA 能否判定两个三角形全等？想一想画△ABC 和△ABD ，使∠A =∠A =30°， AB =AB=5 cm ，BC =BD = 3 cm ．观察所得的两个三角形是否全等？A BMCD有 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.结论画一画例3 下列条件中，不能证明△ABC ≌△DEF 的是( )A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EFB ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DFC ．BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AC ＝DFD ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF解析：要判断能不能使△ABC ≌△DEF ，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C 的条件不符合，故选C.C易错点拨：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等．素养考点 3三角形全等条件的识别如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE ＝DF，则图中全等的三角形有 ( )A．1对B．2对C．3对D．4对C巩固练习1.如图，已知AB=AD ，AC=AE ，∠BAE=∠DAC ． 求证：∠C=∠E ．解：∵∠BAE=∠DAC ，∴∠BAE–∠CAE=∠DAC–∠CAE ，即∠BAC=∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，∵ ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠C=∠E ．AB=AD ∠BAC=∠DAE AC=AE2.如图，已知线段AC ，BD 相交于点E ，AE=DE ，BE=CE ．（1）求证：△ABE ≌△DCE ；（2）当AB =5时，求CD 的长．（1）证明：在△AEB 和△DEC 中，AE=DE ∠AEB=∠DEC BE=EC ，∴△AEB ≌△DEC （SAS ）．（2）解：∵△AEB ≌△DEC ，∴AB=CD ， ∵AB =5， ∴CD=5．1.在下列图中找出全等三角形进行连线.Ⅰر30º8 c m9c m Ⅵر30º8c m 8 c mⅣⅣ8 c m5 cmⅡ30ºر8c m5 c mⅤ30º8c m ر5 c mⅧ8 c m5c mر30º8c m9 cmⅦⅢر30º8c m 8 c mⅢ基础巩固题2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增D加的条件是( )A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBC证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠DAC ，在△ABC 和△ADC 中， ∴△ABC ≌△ADC （SAS ）．AD=AB ∠BAC=∠DAC AC=AC (已知），(公共边），(已证），3.如图，已知AC平分∠BAD , AB=AD ． 求证：△ABC ≌△ADC ．已知：如图，AB=AC , BD=CD ，E 为AD 上一点.求证： BE=CE .证明：∴ ∠BAD=∠CAD ，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC BD=CD AD=AD (已知），(公共边），(已知），∴ BE =CE .在△ABE 和△ACE 中，AB=AC ∠BAD=∠CAD AE =AE (已知），(公共边），(已证），∴△ABD ≌△ACD （SSS ）.∴△ABE ≌△ACE （SAS ）.能力提升题AB C D E如图，已知CA=CB , AD=BD , M ，N 分别是CA ，CB 的中点，求证：DM=DN .在△ABD 与△CBD 中证明:CA=CB ， (已知）AD=BD ， （已知）CD=CD ，（公共边）∴△ACD ≌△BCD （SSS ）连接CD ，如图所示；∴∠A=∠B 又∵M ，N 分别是CA ，CB 的中点，∴ AM=BN拓广探索题在△AMD 与△BND 中AM=BN ，(已证）∠A=∠B ，（已证）AD=BD ，（已知）∴△AMD ≌△BND.（SAS ）∴DM =DN.边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边课堂小结课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
11.2三角形全等的条件(SAS)
H
△EDH≌△FDH 根据“SAS”，所 以EH=FH
为三角形的两边， 以2.5cm，3.5cm为三角形的两边，长度 ， 为三角形的两边 的边所对的角为40 为2.5cm的边所对的角为40° ，情况又怎 的边所对的角为40° 动手画一画，你发现了什么？ 样？动手画一画，你发现了什么？
C F
A
分析: 分析 △ ABD ≌△ CBD ≌△ 边: AB=CB(已知) AB=CB(已知 已知) (SAS)
B D C
角: ∠ABD= ∠CBD(已知) ∠CBD(已知 已知) 边:
？
现在例1的已知条件不改变 而问题改 现在例 的已知条件不改变,而问题改 的已知条件不改变 变成: 变成
平分∠ 问AD=CD，BD平分∠ADC吗？ ， 平分 吗
做一做： 做一做：画△ABC,使AB=3cm，AC=4cm。 使 ， 。 这样画出来的三角形与同桌所画的三角形 进行比较，它们互相重合吗？ 进行比较，它们互相重合吗？ 若再加一个条件， 若再加一个条件，使∠A=45°，画出△ABC ° 画出△ ° 画法： 画法： 1. 画∠MAN= 45° 2. 在射线 在射线AM上截取 上截取AB= 3cm 上截取 3. 在射线 上截取AC=4cm 在射线AN上截取 上截取 4.连接 连接BC 连接 ∴△ABC就是所求的三角形 就是所求的三角形 把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角 形进行比较，它们能互相重合吗？ 形进行比较，它们能互相重合吗？
问：如图△ABC和△ DEF 中， 如图△ 和 AB=DE=3 ㎝，∠ B=∠ E=300 ， BC=EF=5 ㎝ ∠ 则它们完全重合？ 则它们完全重合？即△ABC≌△ DEF ？ ≌ A 3㎝ ㎝
300
D 3㎝ ㎝
苏科版数学八年级上册第2课时探索三角形全等的条件SAS(二)课件
思考 (1)根据上面已证得的两个三角形全等，你能否说明
AC∥BD？
(2)想一想证明两直线平行需要什么条件？
(3)从三角形全等中你能得到什么结论？
答:证明两直线平行可以从同位角相等，内错角相等，同旁
内角互补这三个方面去进行思考，由全等可知∠D＝∠C(或∠A
＝∠B)，可以得到AC∥BD.
预习导学
·导学建议·
从学生已会解的问题入手，设计问题把条件逐步变化，使
问题分析能力的要求越来越高，实质是促使学生主动地从所要
得的结论出发，倒推得出这个结论所需要具备什么条件，要具
备这些条件，又可以从哪些已知条件推导出……在经历这样一
步一推的探索中，学生渐渐掌握运用全等三角形的判定解决基
应用，要先结合题干将图形补全，然后根据已知条件证明三角
形全等得出答案.
D，E在同一条直线上，∠1＝22°，∠2＝30°，则∠3的度数
为(
B )
A.42°
B.52°
C.62°
D.72°
合作探究
变式演练
如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝
∠2＝30°，则∠3的度数为 30 度.
方法归纳交流 证明两个三角形全等时，常见的隐含“等
角”有(1)对顶角相等；(2)等角加(或减)等角，等角仍相等.
预习导学
利用“SAS”证明两个三角形全等(旋转平移变化全
等)
阅读课本“讨论”及“例3”部分的内容，回答下列问题.
思考 根据例3中的已知条件，你还能证得其他新的结论
吗？
(1)想一想由CE＝DF可以得到什么结论？
答:(1)由CE＝DF可得CF＝DE.
八年级-人教版-数学-上册-第2课时 三角形全等的判定(二)(SAS)
两边一角
两边和它们的夹角分别相等的两个 三角形全等 SAS 证明三角形全等的思路就是寻求 “边、角、边对应相等”
SSA 不能边边角”不能判定三角形全等．
注意：在“边角边”这个判定方法中，包 含了边和角两种元素，一定要记住角是两边的 夹角，而不是其中一边的对角；在应用该方法 时，要观察图形确定三个条件，按“边-角-边” 的顺序排列，并按此顺序书写．
例1 如图，CE＝CB，CD＝CA，
D
思考
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC．
固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD．这个实验说明了什么？
A
说明：有两边和其中一边的对角分
别相等的两个三角形不一定全等．
B
因此，“SSA”不能作为判定两个三角
形全等的依据．
CD
仔细观察下面的动图，进一步理解“边边角”不能判定三角形全等．
边—角—边 下面我们分别探究这两种情况．
边—边—角
操作 先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，
∠A′＝∠A，A′C′＝AC（即两边和它们的夹角分别相等）．把画 好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
C
A
B
C 画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，
A
第2课时 三角形全等的 判定（二）（SAS）
上节课我们已经探究出一种三角形全等的判定方法：“边边 边” ．本节课，我们继续探究三角形全等的条件．
① 三个角； ② 三条边； ③ 两边一角； ④ 两角一边．
两个条件的探究中,已证实不可行． SSS ？
思考 两边一角中，两条边与一个角在位置上有几种可能性？
∠DCA＝∠ECB．求证：DE＝AB．
11.2 三角形全等的条件(SAS)课件___4
注意观察30°角与两边条边的位置关系 注意观察 °
探究
请同学们画一个两边长分别为4cm、 、 请同学们画一个两边长分别为 3cm，并且 边的对角为30° ，并且3cm边的对角为 °的三角 边的对角为 形。 画线段MAN=30°; Ⅰ.画线段 画线段 ° Ⅱ.分别在 分别在AM上截取 上截取AC=4cm; 分别在 上截取 Ⅲ.以C为圆心，3cm为半径画弧，交AN。 以 为圆心， 为半径画弧， 。 为圆心 为半径画弧 同桌交流： 同桌交流：你们画的三角形有什么 不同吗？ 不同吗？
∴ AD=
隐含条件： 隐含条件： 公共边
巩固 5.如图，已知 如图，已知BD=CD，要根据“SAS”判 如图 ，要根据“ 判 定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件 ≌ ， 是 。
C
D
A
隐含条件： 隐含条件： 公共边
B
范例 已知： 例3.已知：如图，DC=EA，EC=BA， 已知 如图， ， ， DC⊥AC， BA⊥AC，垂足分别是 、 ⊥ ， ⊥ ，垂足分别是C、 A。 。 求证： 求证：BE ⊥DE 。 B 方法： 方法： D 通过全等得 角相等 A
三角形全等的条件(2) 三角形全等的条件
知识回顾
上一节我们探究了两个 三角形满足三条边对应相等 三条边对应相等 这两个三角形全等.简写成 时，这两个三角形全等 简写成 边边边” “边边边” 或“ SSS ”
如图，已知 ＝ ， ＝ ，求证： 如图，已知AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D ＝ 证明：连结AC, 证明：连结 A 在△ABC和△ ADC中 和 中 AB＝CD（已知） ＝ （已知） BC＝AD（已知） ＝ （已知） B AC＝AC（公共边） ＝ （公共边） ∴ △ ABC≌ △ CDA（SSS） ≌ （ ） ∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等） ＝ （全等三角形对应角相等）
第4课时 12.2三角形全等的判定(2)SAS
问题1 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′， 使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′= CA（即两边和它们的夹 角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？
C
A
B
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
三角形全等判定（二）
两边和它们的夹夹角角对应相等的两个三角形全等
回味无穷
1、尺规作图：画与已知三角形两边及其夹角对应相等 的三角形.
2、三角形全等的判定方法： （1）SSS （2）SAS(两边及其夹角)
3、证明线段或角相等 转化为证明线段或角所在的两个三角形全等。
4. 数学思想：转化思想 .
作业：家庭作业
中考链接
已知:如图,AB=AD, AC=AE,∠1=∠2，
（简写为“边角边”或“SAS”）.
用符号语言表述：
C
在△ABC和△A′B′C′中
AB =A′B′
∵ ∠A =∠A′
A
B C′
AC =A′C ′
A′
B′
∴ △ABC ≌ △A′B′C′（SAS）
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
30º
Ⅰ
Ⅱ
ⅣⅣ ⅢⅢ
5 cm
30º
Ⅴ
Ⅵ
30º
Ⅶ
Ⅷ
如图，点E，F在BC上，BE = CF，AB = DC，∠B=∠C. 求证∠A =∠D.
边边角
由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能 判定两个三角形全等吗？为什么？
C
F
A 40° B
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剪下来，与同伴进行比较，它们
C
能否互相重合？
600
A
4cm
小结：活动2：两边和它们 B 的夹角对应相等的两个三
角形全等.
C
C边和它们的夹角对应相等的两
个三角形全等。（简写成“边角边”或
“SAS”）A
A/
AB=DE,
求证：AC=DF, ∠A= ∠D AC∥DF
B
C
B/
C/
在△ABC和△A´B´C´中
AC=A´C´
∠C=∠C´
BC= B´C´ ∴ΔABC≌ΔA´B´C´（SAS）
例题讲解
例1 如图，AB=DC，∠ABC=∠DCB，求 证：△ABC≌△DCB.
A
证明：在△ABC和△DCB中
D
AB = DC
B
C
∠ABC=∠DCB
BC= CB
∴ △ABC≌△DCB (SAS)
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
(1) 三个角 不能! (2) 三条边 SSS (3) 两边一角 ?
(4) 两角一边
C
活动1：
如果已知一个三角形
A
C B 的两条边及一个角，
画一个三角形，那么
有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B A
C
答：边角边
（SAS）
边边角
B （SSA）
活动2: 做一做
想一想：
例3.如图,已知AB=DE,AC=DF,要说明△ABC≌△DEF， 还需增加一个什么条件？
AD
BE CF
探究4
我们知道，两边和它们的 夹角对应相等的两个三角形全 等。由“两边及其中一边的对角 对应相等”的条件能判定两个三 角形全等吗？为什么？
A
B
C
D
练一练
小结
• 请同学们谈谈本节课的收获?
知识回顾
上一节我们探究了两个三角形全等 的一个条件:
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”
在△ABC和△DEF中，
A
AB DE
BC EF
AC DF
B
∴ △ABC≌△DEF (SSS)
\
≡
〃
CE
D
\
≡
〃
F
除了SSS外,还有其他情况吗？今天我们继续探索 三角形全等的条件.