(最新)华师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法 第4课时 一元二次方程根的判别式》优质课课件
华师大版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》课件
(2)解：mx2－(m＋2)x＋2＝0，即(x－1)(mx－2)＝0，∴x1＝1，x2＝
2 m
.
∵x1＝1为整数，∴必须x2＝m2 为整数即可，∴正整数m的值为1或2
19．(12分)(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a －c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
根，那么c的取值范围是__c_>_9____．
8．(6分)已知m<－
1 4
，判定方程x2＋(2m＋3)x＋(m－1)2＝0的根的情
况．
解：原方程无实数根
9．(7分)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，求k的 取值范围及k的非负整数值．
解：k≤2，k的非负整数值为0，1，2
10．(2014·益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满 足的条件是( D )
3．(3分)已知一元二次方程x2＋2x－1＝0，则b2－4ac＝___8___， 原方程根的情况是_有__两__个__不__相__等__的__实__数__根__．
4．(9分)不解方程，判定下列一元二次方程根的情况． (1)16x2＋8x＝－3； 解：此方程没有实数根 (2)9x2＋6x＋1＝0； 解：此方程有两个相等的实数根 (3)3(x2＋1)－5x＝0. 解：此方程没有实数根
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
12．若关于x的一元二次方程2x(kx－4)－x2＋6＝0没有实数根，则k的
最小整数值是( B )
A．1
B．2
C．3
Hale Waihona Puke D．413．(2014·潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长
华师大版九年级数学上册《 一元二次方程根的判别式》课件
式．b2 4ac
结论：
△>0方程有两个不相等的实根． △＝0方程有两个相等的实数根． △<0方程没有实数根．
• 例1 不解方程，判别下列方程的根的 情况：
1 3 x 2 5 x 2;
2 4 x2 2 x 1 0;
4
34 y
2
1 y 0.
解：
• (1)∵a＝3，b＝-5，c＝2，
22.2 一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式
新课导入
思考：一元二次方程ax2+bx+c=0的根有
哪几种情况？
进入新课
• 一元二次方程 ax2bx的c 根0有三种情况：
• ①有两个不相等的实数根；
• ②有两个相等的实数根；
• ③没有实数根．而根的情况，由
的值来确定．
b2 4ac
• 因此
叫做一元二次方程的根的判别
• ∴ 5 2 4 3 2 2 5 2 4 1 0
• ∴方程有两个不相等的实数根．
l (2)∵ a＝4 ，2b2＝4 －4 2 ，1c ＝41 4 4 ，0
l∴
4
l ∴方程有两个相等的实数解．
(3)将方程化为一般形式:
4y27y40
• ∵a＝4，b＝7，c＝4，
• ∴ 7 2 4 4 4 4 9 6 4 0
• ∴方程无实数解．
• 例2 已知关于x的方程m2x (2m1)xm0 有两个实数根，求m的取值范围.
• 解：要使方程有两个实数根，需满
足
m
0 0
，
• ∴[ (2m 1)2]4m m 0
， • 4m＋1≥0，
∴
m1
m
4
1
．4
一元二次方程说课稿
一元二次方程说课稿今天我说课的内容是华东师大版九年级上册第二十三章第二节《一元二次方程的解法---公式法》，我主要从教材分析、教学法分析、过程分析、板书设计、教学评价五个方面对本节课作如下说明。
一、教材分析（一）教材的地位和作用方程是初中数学的一项重要内容，贯穿数学教学的始终，可谓是数学领域里的一项重要交通工具，一元二次方程就相当于这个交通工具的一个零部件，在运行过程中起着重要的作用。
本节课的“公式法”又是一元二次方程的一个重要课时，是学生在学习了“配方法”解方程之后，必须掌握的另一种解一元二次方程的方法。
它为学生以后学习二次函数以及解决生活中的一些实际问题起了铺路石的作用。
（二）教学目标根据本节课的地位、作用及其内容，结合学生实际和学生认知发展水平，确定如下教学目标：知识目标：理解求根公式的推导过程和判别公式，使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程.能力目标：通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想。
结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。
情感目标：让学生敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心。
培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。
（三）教学重、难点重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤，会熟练用公式法解一元二次方程。
难点：理解求根公式的推导过程和判别式公式。
二、教学法分析学情：在此之前，学生已经了解和学习过一元一次方程的概念及一般形式，掌握了一些根据实际问题列方程的能力，再者，九年级学生的数学思维已有一定程度的发展，具有一定分析推理能力，同时，在讨论、探索、交流学习等方面有较为丰富的知识和经验，因此，除利用与生活实际有关的问题导出新知识外，应更多地应用探讨、合作交流等方法让学生去求得新知识，加深和扩展学生对数学的理解。
根据教材的特点和学情分析，为了突出重点、突破难点的目的，我采用以下教法与学法：教法：本节课采用引导发现与合作探究的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、激励其探索新知的兴趣、使其主动参与到教学活动中来。
华师大九年级数学上册《 一元二次方程根的判别式》课件
• ∴方程有两个不相等的实数根．
l (2)∵ a＝4 ，2b2＝4 －4 2 ，1c ＝41 4 4 ，0
l∴
4
l ∴方程有两个相等的实数解．
(3)将方程化为一般形式:
4y27y40
• ∵a＝4，b＝7，c＝4，
• ∴ 7 2 4 4 4 4 9 6 4 0
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
学习要注意到细处，不是粗枝大 叶的，这样可以逐步学习摸索，找到 客观规律。 —— 徐特立
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
• 一定有两个不相等实数根．
扩 展 : 若 关 于 x 的 方 程 (m 2 2 )x 2 2 (m 1 )x 1 0 有 实 数 根 ， 求 m 的 取 值 范 围
解：（1） nm2-20,即m 2n,原方程n： -2( 21)x10nn方程nnn一元一次 方程,有解。
扩 展 : 若 关 于 x 的 方 程 (m 2 2 )x 2 2 (m 1 )x 1 0 有 实 数 根 ， 求 m 的 取 值 范 围
• 2.已知方程 的2 3判别式的值是16，则m＝ _____．
华师大版初中数学九年级上册22.2.4《一元二次方程的根的判别式》ppt课件
利用公式法解下列方程
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y 3 2x2 3x 1 0
想一想
对于一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
你能谈论一下它的根的情况吗?
在什么情况下，一元二次方程有解?有什
么样的解?
什么情况下一元二次方程无解?
25y2 20 y 4 0
3 2x2 3x 1 0
解： （ 3）2 4 21 5＜0
原方程没有实数根。
练一练
1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
1 2x2 5x 4 0 2 7t2 5t 2 0 3 x(x 1) 3 43y2 25 10 3y
ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程
（ A）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
b2 4ac
D.根的情况无法确定 b2 4ac 0
例2：已知关于 x 的方程 x2 3x k 0， 问 k取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？
解： （ 3）2 41 k 9 4k
例1. 不解方程，判别下列方程 的根的情况。
15x2 3x 2 0 2 25y2 4 20 y
3 2x2 3x 1 0
15x2 3x 2 0
解：
（ 3）2 45（ 2） 49＞0
原方程有两个不相等的实数根。
2 25y2 4 20y
解：原方程可变形为
（ 20）2 4 25 4 0 原方程有两个相等的实数根。
的个数是( c )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2. 关于 x 的一元二次方程 (m 1)x2 2mx m 0
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容，本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。
通过本章的学习，学生能理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的性质和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程，并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法。
2.理解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生运用数学解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
2.利用数形结合法，帮助学生理解一元二次方程的性质。
3.运用实例讲解法，让学生感受一元二次方程的应用。
4.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生学习一元二次方程。
2.准备一元二次方程的例题，用于讲解一元二次方程的解法。
3.准备一元二次方程的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过呈现一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
例如，某商品打8折后售价为120元，求原价。
2.呈现（10分钟）呈现一元二次方程的定义和性质，让学生了解一元二次方程的概念。
同时，通过例子讲解一元二次方程的解法，让学生掌握解一元二次方程的方法。
3.操练（15分钟）让学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
华师大版数学九年级上册一元二次方程根的判别式同步课件
即一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),
当∆>0时，方程有两个不相等的实数根； 当∆＝0时，方程有两个相等的实数根； 当∆<0时，方程无实数根．
反之，同样成立！
例题讲授
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况
（1）3x 2 =5x - 2
（2）4x2 2x 1 0
4
解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0
x
b 2 2a
b2 4ac 4a2 .
只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平
方，得
x b 2a
b2 4ac 4a2 .
(1) 当b2－4ac>0时，方程的右边是一个正数，它有两个 不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根:
b b2 4ac
b b2 4ac
x1
2a
; x2
2a
;
(2) 当b2－4ac=0时，方程的右边是0，它有两个相等的 平方根0，因此方程有两个相等的实数根:
b x1 x2 2a ;
(3) 当b2－4ac<0时，方程的右边是一个负数，而对于任何实数x，
方程左边
x
b
2
2a
0，
因此方程没有实数根:
概括
我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“∆”来表示.
试一试
已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0. (1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根； (3)当k取何值时，方程没有实数根；
解：a=2，b=-(3+4k)，c=2k2+k ∆=[-(3+4k)]2-4×2×(2k2+k)=16k+9
22.2 第4课时 一元二次方程根的判别式 华师大版数学九年级上册课件
22.2 一元二次方程的解法
第4课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1. 了解一元二次方程根的判别式； (重点) 2. 会判断一元二次方程根的情况； (难点) 3. 掌握一元二次方程根的判别式的应用. (难点)
回忆
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
(x＋2ba)2
Байду номын сангаас
=
b2−4ac 4a2
（*）
只有当b²－4ac ≥ 0时，才能直接开平方，得
x＋2ba =±
b² −4ac 4a²
也就是说，只有当一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0)的系数
a、b、c满足条件b²－4ac ≥ 0时才有实数根，因此，我们可以
根据一元二次方程的系数直接判定根的情况。
如果b²－4ac＜0会怎么样? 如果b²－4ac＜0，则不能直接开平方，因为负数没有平方根。
解：(3)原方程可变形为 4y2－y＋4 = 0. 因为Δ =(-1)2－4×4×4 = 1－64 = -63＜0， 所以方程没有实数根。
练习
1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
(1) 3x²＋5x = 4； (2) 2x²－x²－2 = 0
解：(1)原方程可变形为 3x2 ＋ 5x＋4 = 0. ∵b²－4ac =52－4×3×(-4) = 73＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根。
解：(4)原方程可化为 2x2 － x＋2 = 0. ∵b²－4ac =(-1)2－4×2×2= -15＜0， ∴原方程无实数根。
2.小明告诉同学，他发现了判断一类方程有无实数根的简易方法：
若一元二次方程ax²+bx +c=0 (a≠0) 的系数a、c异号(即两数为一正
华师大版九年级上册电子课本(新版) 第22章 一元二次方程
第23章一元二次方程 (2)§23.1 一元二次方程 (3)§23.2 一元二次方程的解法 (4)阅读材料 (13)§23.3 实践与探索 (14)小结 (16)复习题 (17)第23章一元二次方程绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？设宽为x 米，可列出方程900)10(=+x x ，整理得0900102=-+x x ．方程0900102=-+x x 中未知数x 的最高次数是2，它是一个一元二次方程．§23.1 一元二次方程问题1绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程x （x ＋10）＝900，整理可得0900102=-+x x ． （1）问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．分析设这两年的年平均增长率为x ．已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即2)1(5)1)(1(5x x x +=++万册．可列得方程2.7)1(52=+x ，整理可得02.21052=-+x x ． （2）思考这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？概括上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown ）．通常可化成如下的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 是已知数，a ≠0），其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）232=-x x ；（2）2237x x =-；（3）0)2(3)12(=---x x x x ；（4）4)5(3)1(2-+=-x x x ．习题23．11．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？2．已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值．3．根据题意，列出方程（不必求解）：（1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半．已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径．（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好．已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？ §23.2 一元二次方程的解法试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．（1）42=x ；（2）012=-x ． 概括对于方程（1），有这样的解法：方程 42=x ，意味着x 是4的平方根，所以4±=x ，即 x ＝±2．这种方法叫做直接开平方法．对于方程（2），有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得（x －1）（x ＋1）＝0，必有 x －1＝0或x ＋1＝0，分别解这两个一元一次方程，得1,121-==x x ．这种方法叫做因式分解法．思考（1）方程42=x 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2）方程012=-x 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？做一做试用两种方法解方程09002=-x ．例1 解下列方程：（1）022=-x ；（2）025162=-x ．解 （1）移项，得22=x ．直接开平方，得2±=x ．即 2,221=-=x x ．（2）移项，得25162=x ． 方程两边都除以16，得16252=x直接开平方，得45±=x ． 即 45,4521=-=x x ．例2 解下列方程：（1）0232=+x x ；（2）x x 32=．解 （1）方程左边分解因式，得x （3x ＋2）＝0．所以 x ＝0或3x ＋2＝0．得 32,021-==x x ．（2）移项，得032=-x x ．方程左边分解因式，得x （x －3）＝0．所以 x ＝0或x －3＝0，得 3,021==x x ．练习1．解下列方程：（1）1692=x ；（2）0452=-x ；（3）025122=-y ；（4）022=-x x ；（5）0)1)(2(=+-t t ；（6）05)1(=-+x x x ．2．小明在解方程x x 32=时，将方程两边同除以x ，得到原方程的解x ＝3，这种做法对吗？为什么？例3 解下列方程：（1）04)1(2=-+x ；（2）09)2(122=--x ．分析两个方程都可以转化为 a =2的形式，用直接开平方法求解．解（1）原方程可以变形为4)1(2=+x ，直接开平方，得x ＋1＝±2．所以 3,121-==x x ．（2）原方程可以变形为____________________，有 ____________________，得 ____________,21==x x ．读一读小张和小林一起解方程x （3x ＋2）－6（3x ＋2）＝0．小张将方程左边分解因式，得（3x ＋2）（x －6）＝0，所以 3x ＋2＝0或x －6＝0．得 6,3221=-=x x ． 小林的解法是这样的：移项，得 x （3x ＋2）＝6（3x ＋2），方程两边都除以（3x ＋2），得x ＝6．小林说：“我的方法多简便！”可另一个根32-=x 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？练习解下列方程：（1）016)2(2=-+x ；（2）018)1(2=--x ；（3）1)31(2=-x ；（4）025)32(2=-+x ．例4解下列方程： （1）522=+x x ；（2）0342=+-x x ．思考能否经过适当变形，将它们转化为a =2的形式，用直接开平方法求解？解（1）原方程两边都加上1，得6122=++x x ，_______________________,_______________________,_______________________．（2）原方程化为43442+-=+-x x ，_______________________，_______________________，_______________________． 归 纳上面，我们把方程0342=+-x x 变形为1)2(2=-x ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．例5用配方法解下列方程：（1）0762=--x x ；（2）0132=++x x ． 解（1）移项，得762=-x x ．方程左边配方，得32237332+=+⋅⋅-x x ，即 16)3(2=-x ．所以 x －3＝±4．得 1,721-==x x ．（2） 移项，得132-=+x x ． 方程左边配方，得222)23(1)23(232+-=+⋅⋅+x x ，即45)23(2=+x ． 所以2523±=+x ． 得2523,252321--=+-=x x x ．练习1．填空：（1）2x +6x+( )=(x+ )2；（2）2x -8x+( )=(x- )2；（3）x x 232++( )=(x+ )2；（4）42x -6x+( )=4(x- )2=(2x- )2．2．用配方法解下列方程：（1）2x ＋8x －2＝0；（2）2x －5x －6＝0．试一试用配方法解方程2x ＋px ＋q ＝0（q p 42-≥0）．思考如何用配方法解下列方程？（1）42x －12x －1＝0；（2） 32x ＋2x －3＝0．讨论请你和同桌讨论一下： 当二次项系数不为1时，如何应用配方法？探索我们来解一般形式的一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．因为a ≠0，方程两边都除以a ，得02=++ac x a b x ． 移项，得ac x a b x -=+2． 配方，得a c a b a b a b x x -=+⋅⋅+222)2()2(22， 即22244)2(a ac b a b x -=+． 因为a ≠0，所以42a ＞0，当2b －4ac ≥0时，直接开平方，得 aac b a b x 2422-±=+． 所以aac b a b x 2422-±-=， 即aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=． 由以上研究的结果，得到了一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b aac b b x ． 利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．例6 解下列方程：（1）22x ＋x －6＝0；（2）2x ＋4x ＝2；（3）52x －4x －12＝0；（4）42x ＋4x ＋10＝1－8x ． 解（1）这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，2b －4ac ＝21－4×2×（－6）＝1＋48＝49， 所以47122491242±-=⨯±-=-±-=a ac b b x ， 即23,221=-=x x ． （2）将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0．因为2b －4ac ＝24， 所以622244±-=±-=x ． 即62,6221--=+-=x x ．（3） 因为2b －4ac ＝256， 所以5821016452256)4(±=±=⨯±--=x ． 得2,5621=-=x x ． （4） 整理，得42x ＋12x ＋9＝0．因为2b －4ac ＝0， 所以8012±-=x ， 即2321-==x x ． 练习 用公式法解下列方程：（1）2x －6x ＋1＝0；（2）22x －x ＝6；（3）42x －3x －1＝x －2；（4）3x （x －3）＝2（x －1）（x ＋1）． 思考根据你学习的体会小结一下： 解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下．应用现在我们来解决§23．1的问题1：x （x ＋10）＝900，2x ＋10x －900＝0，3755±-=x ，3755,375521+-=--=x x ．它们都是所列方程的根，但负数根x1不符合题意，应舍去．取x ＝3755+-≈25．4，x ＋10≈35．4，符合题意，因此绿地的宽约为25．4米，长约为35．4米．例7学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图23.2.1，不难发现小道的占地面积与位置无关．设道路宽为xm ，则两条小道的面积分别为32x 2m 和20x 2m ，其中重叠部分小正方形的面积为2x 2m ，根据题意，得 32×20－32x －20x ＋2x ＝540．图23.2.1图23.2.2试一试如果设想把道路平移到两边，如图23．2．2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．练习1．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的32时较美观，求镶上彩纸条的宽．（精确到0．1厘米）2．竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=．爆竹点燃后以初速度0v ＝20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g ≈10米/秒2）例8某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31．5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．分析 若一次降价百分率为x ，则一次降价后零售价为原来的（1－x ）倍，即56（1－x ）元；第二次降价百分率仍为x ，则第二次降价后的零售价为56（1－x ）的（1－x ）倍．解设平均降价百分率为x ，根据题意，得56（1－x ）2＝31．5．解这个方程，得75.1,25.021==x x ．因为降价的百分率不可能大于1，所以75.12=x 不符合题意，符合本题要求的是x ＝0．25＝25%．答： 每次降价百分率为25%．练习1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0．1%）2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．习题23．21．解下列方程： （1）22x －6＝0； （2）27＝42x ；（3）32x ＝4x ； （4）x （x －1）＋3（x －1）＝0； （5）2)1(+x ＝2；（6）32)5(-x ＝2（5－x ）．2．解下列方程： （1）2)12(-x －1＝0； （2）212)3(+x ＝2； （3）2x ＋2x －8＝0；（4）32x ＝4x －1；（5）x （3x －2）－62x ＝0； （6）2)32(-x ＝2x ． 3．求满足下列要求的x 的所有值： （1）32x －6的值等于21；（2）32x －6的值与x －2的值相等． 4．用适当的方法解下列方程： （1）32x －4x ＝2x ；（2）312)3(+x ＝1； （3）2x ＋（3＋1）x ＝0；（4）x （x －6）＝2（x －8）；（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22；（6）x （x ＋8）＝16； （7）（x ＋2）（x －5）＝1；（8）2)12(+x ＝2（2x ＋1）．5．已知A ＝22x ＋7x －1，B ＝6x ＋2，当x 为何值时A ＝B ？6．已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数．7．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0．1米）（第7题）8．某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48．3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？ 9．学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较合适？阅读材料一元二次方程根的判别式我们在一元二次方程的配方过程中得到22244)2(aac b a b x -=+．（1） 发现当且仅当2b －4ac ≥0时，右式2244a ac b -有平方根.直接开平方，得aacb a b x 2422-±=+． 也就是说，一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）当且仅当系数a 、b 、c 满足条件2b －4ac ≥0时有实数根．观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： ① 当2b －4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当2b －4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根ab x x 221-==； ③ 当2b －4ac ＜0时，方程没有实数根．这里的2b－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一元二次方程实数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？），如对方程2x－x＋1＝0，可由2b－4ac＝1－4＜0直接判断它没有实数根；在用公式法解一元二次方程时，往往也是先求出判别式的值，直接代入求根公式．如第27页例6；还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例如：m取什么值时，关于x的方程++-mx-xm22=22()2有两个相等的实数根？求出这时方程的根．§23.3 实践与探索试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论．问题1小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图23．3．1．图23.3.1（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．问题2阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析 翻一番，即为原净收入的2倍．若设原值为1，那么两年后的值就是2．探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的1．5倍、1．2倍、……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？ 又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？练习1．某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克．已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到1%）．2．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？ （2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？3．某市人均居住面积14．6平方米，计划在两年后达到18平方米．在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等．请你把问题补充完整，再予解答．问题3解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？ （1） 2x －2x ＝0； （2） 2x ＋3x －4＝0； （3） 2x －5x ＋6＝0．一般地，对于关于x 的一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0（p 、q 为已知常数，2p －4q ≥0），试用求根公式求出它的两个根1x 、2x ，算一算21x x +、21x x ⋅的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？习题23．31．一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0．1米）2．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0．1折）3．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）4．某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？5．如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形．要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等．请你给出设计方案．（画图并标注尺寸）(第5题)6．解下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：（1）已知关于x的方程2x－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和q的值；（2）已知关于x的方程2x－6x＋2p－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值．小结一、知识结构二、概括1．要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性．2．掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法．着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流．3．在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解之后，必须检验是否符合题意．复习题A组1．解下列方程：（1）32x＝2x；（2）62x－40＝0；（3）x（3x－1）＝3－x；（4）y（y－2）＝4－y；（5）4x（1－x）＝1；（6）t（t－2）－32t＝0．2．已知A＝22x＋7x－1，B＝4x＋1，分别求出满足下列条件的x的值：（1）A与B的值互为相反数；（2）A的值比B的值大3．3．已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值．4．已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．5．要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4米的绿化带，使余下部分的面积为100平方米．求原正方形广场的边长．（精确到0．1米）6．村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为1．6平方米的等腰梯形，它的上底比渠深多2米，下底比渠深多0．4米．求灌溉渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度．7．求出本章习题23．1中第3题小题（2）所列方程解的近似值（精确到0．1米），并在学校举行大型活动时实地观察、比较一下效果．8．如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向30海里的A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方航行，随即调整方向，以75海里/时的速度准备在B处迎头拦截．问经过多少时间能赶上？（第8题）B组9．解下列方程：（1）4（x －2）2－（3x －1）2＝0； （2）（2x －1）2＋3（2x －1）＋2＝0； （3）2x ＋5＝x 52；（4）32x 32--x ＝0．10．解下列关于x 的方程（a 、b 是常数，且ab ≠0）： （1）2x ＋ax －22a ＝0；（2）ab 2x －（2a －2b ）x －ab ＝0．11．已知x ＝1是一元二次方程（a －2）2x ＋（2a －3）x －a ＋1＝0的一个根，求a 的值． 12．已知关于x 的方程22x －4x ＋3q ＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q 的值． 13．已知代数式2x －5x ＋7，先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？14．学校原有一块面积为1500平方米的长方形场地，现结合整治环境，将场地的一边增加了5米，另一边减少了5米，结果使场地的面积增加了10%，求现在场地的长和宽．C 组15．试求出下列方程的解：（1）（2x －x ）2－5（2x －x ）＋6＝0；（2）112122=+-+x x xx ． 16．证明： 不论m 取何值，关于x 的方程（x －1）（x －2）＝2m 总有两个不相等的实数根．17．已知xy ≠0，且32x －2xy －82y ＝0，求yx的值． 18．已知关于x 的方程（m －1）2x －（m －2）x －2m ＝0.它总是二次方程吗？试求出它的解．19．某产品每件生产成本为50元，原定销售价65元．经市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降10%，第二个季度又将回升4%．若要使半年以后的销售总利润不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题补充完整并解答．。
22.2.3 公式法+22.2.4 一元二次方程根的判别式(课件)华师大版数学九年级上册
A. －9
B. －94
C.
9 4
D. 9
课堂小结
一元二次方程根的判别式
用公式法 关键 根的判
解方程
别式
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根
A. ①直接开平方法，②因式分解法，③公式法 B. ①因式分解法，②公式法，③配方法 C. ①公式法，②配方法，③因式分解法 D. ①直接开平方法，②公式法，③因式分解法
课堂小结
公式法
选择合适 的方法解 一元二次 方程
最直接的方法 公式法 最灵活的方法 因式分解法 硬规定的方法
知2－讲
(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p ≥ 0)的形式，可用直接开平
方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一
次式的乘积，可用因式分解法求解；
(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式，确定 a，b，c的值，
在b2－4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解 .
④若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式
求解 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒 1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它
适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法. 2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才
能使用求根公式 .
感悟新知
活用巧记
知2－讲
先考虑用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种
方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量少用配方法 .
可巧用口诀记为
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》教学设计
华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册22.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，也是学生首次接触二次方程。
本节课的内容包括一元二次方程的定义、解法、判别式等，为学生后续学习函数、不等式等数学知识打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够熟练运用一次方程和不等式解决问题。
但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其本质。
同时，学生对于解方程的技巧和方法还不够熟练，需要通过大量的练习来提高。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，学会用代数方法解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，判别式的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，让学生感受数学与生活的联系。
2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法，培养学生的团队合作意识。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对一元二次方程的理解和掌握。
六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一元二次方程的定义、解法、判别式等知识点。
2.练习题：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.教学视频：准备一元二次方程的解法教学视频，用于引导学生直观地理解解法过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一个实际问题：一个二次函数的图像与x轴相交于A、B两点，已知A点坐标为(1,0)，求B点的坐标。
华师大版数学九上22.2《一元二次方程的解法》ppt课件4
心动 不如行动 公式法是这样产生的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:a 2,b 9, c 8. 1.变形:化已知方程为一般形式;
b2 4ac 92 4 28 17 0.
b b2 4ac x
2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数;
x b b2 4ac .
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方;
2a
2a
6.求解:解一元一次方程;
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 7.定解:写出原方程的解.
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
答: 三角形的三条边长分别为6,8,10.
我最棒
,解题大师——规范正确!
解下列方程: (1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8； (3). (2x-1)(x-2) =-1;
4.3y2 1 2 3y.
参考答案:
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
• 一元二次方程也是刻画现实世界 的有效数学模型.
x2
3. 2
4.y1 y2
3. 3
小结 拓展 回味无穷
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答.
用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
九年级数学上第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法4一元二次方程根的判别式课华东师大
(3)4x－x2＝x2＋2; 方程整理为x2－2x＋1＝0，∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根．
(4)3x－1＝2x2.
方程整理为2x2－3x＋1＝0，∵Δ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
9．【中考·陇南】关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两 个实数根，则k的取值范围是( C )
A．k≤－4 B．k＜－4 C．k≤4 D．k＜4
10．【2020·攀枝花】若关于x的方程x2－x－m＝0没有实数
1．已知关于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判别式的值为5， 则m的值为( D )
A．±3 B．3 C．1 D．±1
2．【2021·长春师大附中新城校区期末】一元二次方程x2 －x－3＝0根的判别式的值是___1_3____．
3．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＝1－2m，其 根的判别式的值为4，求m的值．
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
4．一元二次方程根的判别式
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新知笔记 1 b2－4ac；一般形式 2 (1)> (2)＝ (3)<
1D 2 13 3 见习题
4C
5A
答案显示
6B 7C 8 见习题 9C 10 A
11 1
16 B
答案显示
12 见习题 17 4
13 D
(2)若a、b、c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根 ，求证：△ABC为等边三角形． ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0. ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴a＝b≠0，b＝c≠0，a＝c≠0， ∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．
华师版数学九年级上册-22.2一元二次方程的解法
注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数 一半的平方.
华师版数学九年级上册
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第 3 课时 公式法
回顾与思考
“配方法”解方程的基本步骤： 1. 化1：把二次项系数化为 1； 2. 移项：把常数项移到方程的右边； 3. 配方： 方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 变形：化成 (x + m)2 = a(a≥0)； 5. 开平方，求解.
解：将原方程化为一般形式，得
运用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；
（2）求出 b2 4ac的值；
（3）若
，把 a、b、c 及 b2 4ac的值
代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若
，此时方程无实数解.
练一练
1.
用公式法解下列一元二次方程：23
用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 变形为 (x－2)2 = 3
变 形
这种方程
为
怎样解？
•• • • 2 a 的形式．（a 为非负常数）
像这种通过方程的简单变形，将左边配成一个含有 未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可 以直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫 做配方法.
(1) x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2) x2－4x＋ 4 =(x－2 )2
(3) x2－_6__x＋ 9 =(x－ 3 )2
配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方
典例精析 例 用配方法解下列方程: (1) x2 - 4x - 1 = 0； (2) 2x2 - 3x - 1 = 0.
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》说课稿
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，它既是对前面知识的综合运用，又是为高中数学打基础。
本章通过引入一元二次方程，让学生了解并掌握一元二次方程的解法、性质及应用。
教材从实际问题出发，引导学生认识一元二次方程，并通过自主探究、合作交流的方式，让学生掌握一元二次方程的解法，进而解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数知识有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的理解和应用，还需要加强。
因此，在教学过程中，要充分考虑学生的认知水平，引导学生从实际问题中提出一元二次方程，并通过合作交流，探讨解决问题的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握一元二次方程的解法，了解一元二次方程的性质，能运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极合作的精神。
四. 说教学重难点1.重点：一元二次方程的解法及其应用。
2.难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和求根公式的运用。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中提出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.运用多媒体教学手段，展示一元二次方程的解法过程，增强学生的直观感受。
3.小组合作交流，让学生在讨论中思考，在交流中学习。
六. 说教学过程1.引入新课：通过展示实际问题，引导学生提出一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生自主探究一元二次方程的解法，总结解题规律。
3.合作交流：学生进行小组合作交流，分享解题方法，讨论解决问题的策略。
4.课堂讲解：对一元二次方程的解法进行讲解，重点讲解因式分解法和求根公式的运用。
5.巩固练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，运用一元二次方程解决实际问题。
数学九年级上册华师大版
数学九年级上册华师大版一、二次函数。
1. 二次函数的概念。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。
例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
2. 二次函数的图象与性质。
- 图象的形状：二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
- 对称轴：对称轴公式为x =-(b)/(2a)。
例如对于二次函数y=x^2-2x + 3，其中a = 1，b=-2，根据公式可得对称轴为x =-(-2)/(2×1)=1。
- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入二次函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，所以顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值；当a < 0时，抛物线开口向下，函数有最大值。
3. 二次函数的平移。
- 二次函数y=a(x - h)^2+k(a≠0)的图象可以由y = ax^2的图象平移得到。
- 规律为“左加右减自变量，上加下减常数项”。
例如，将y = x^2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数解析式为y=(x - 2)^2+3。
二、一元二次方程。
1. 一元二次方程的概念。
- 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
例如x^2+3x - 4 = 0，这里a = 1，b = 3，c=-4。
2. 一元二次方程的解法。
- 直接开平方法：对于方程x^2=k(k≥0)，解得x=±√(k)。
华东师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法4.一元二次方程根的判别式》(华东师大版)
华东师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法4一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要位置。
我们从知识的开展来看，先生经过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以稳固，同时一元二次方程又是今后先生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比拟多的表达、运用和提升。
我们从知识的横向联络下去看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。
很多实践效果都需求经过列、解一元二次方程来处置。
而我们想经过一元二次方程来处置实践效果，首先就要学会一元二次方程的解法。
解二次方程的基本战略是将其转化为一次方程，这就是降次。
本节课由简到难的展开学习，使先生看法即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其详细方法。
【知识与才干目的】1.能运用根的判别式，判别方程根的状况和停止有关的推实际证；2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.【进程与方法目的】1.阅历一元二次方程根的判别式的发生进程；2.向先生浸透分类讨论的数学思想；3.培育先生的逻辑思想才干以及推实际证才干.【情感态度价值观目的】1.体验数学的繁复美;2.培育先生的探求、创新肉体和协作肉体.【教学重点】根的判别式的正确了解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用.用配方法一元二次方程20(a 0)ax bx c ++=≠【教学说明】让先生亲身感知一元二次方程根的状况，回忆已有知识.二、思索探求，获取新知观察解题进程，可以发现:在把系数代入求根公式之前，需先确定a,b,c 的值，然后求出b 2-4ac 的值，它能决议方程能否有解，我们把b 2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号〝Δ〞来表示，即Δ=b 2-4ac.我们回忆一元二次方程求根公式的推导进程发现： 【归结结论】〔1〕当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根: 1x =,2x =〔2〕当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-2b a; 〔3〕当Δ＜0时，方程没有实数根.例.不解方程判定以下方程的根的状况：(1)232302x x --= (2)2162490x x -+=(3)290x -+=(4)2231028x x x x +=+解：〔1〕有两个不相等的实数根；〔2〕有两个相等的实数根；〔3〕无实数根；〔4〕有两个不相等的实数根.例2 当m为何值时，方程〔m+1〕x2-〔2m-3〕x+m+1=0, 〔1〕有两个不相等的实数根？〔2〕有两个相等的实数根？〔3〕没有实数根？解：〔1〕m＜14且m≠-1;〔2〕m=14;〔3〕m＞14 .【教学说明】留意〔1〕中的m+1≠0这一条件.三、运用新知，深化了解1.方程x2-4x+4=0的根的状况是〔〕A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.x2+2x=m-1没有实数根，求证：x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根. 【答案】1.B3.假设一元二次方程2m x -4x+1=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围时( )A.m＜4B.m＜4且m≠0C.m＜1D.m＜1且m≠04.k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x ＋9＝0有两个不相等的实数根？5.关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0〔1〕当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？〔2〕当k取何值时，方程有两个相等的实数根？〔3〕当k取何值时，方程没有实数根？【教学说明】引导先生灵敏运用知识.四、师生互动，课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的状况〔1〕Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；〔2〕Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根.〔3〕Δ＜0时，一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式处置详细效果时，要留意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让先生分组讨论，回想整理，再由小组代表陈说.。
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解：k≤2，k的非负整数值为0，1，2
10．(2014· 益阳)一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满 足的条件是( D )
A．m＞1 B．m＝1
C．m＜1 D．m≤1
11．关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是( B ) A．k为任何实数，方程都没有实数根
B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
解：(1)证明：∵Δ＝(m＋2)2－4×2m＝m2＋4m＋4－8m＝m2 －4m＋4＝(m－2)2≥0，∴方程总有两个实数根
2 (2)解：mx －(m＋2)x＋2＝0，即(x－1)(mx－2)＝0，∴x1＝1，x2＝ . m
2
2 ∵x1＝1为整数，∴必须x2＝ 为整数即可，∴正整数m的值为1或2 m
解：(1)△ABC是等腰三角形．理由：∵x＝－1是方程的根， ∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形
(2)∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2 －4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2，△ABC是直角三角形 (3)∵△ABC是等边三角形，∴(a ＋c)x2＋2bx ＋(a－c)＝0 ，可整理 为2ax2＋2ax＝0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
解：∵关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(b＋2)2－4(6－b)＝0解得b1＝2，b2＝－10(舍去) ∵△ABC为等腰三角形，a＝5 ∴△ABC的周长为5＋5＋2＝12
18．(10分)(2014·北京)已知关于x的方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
C
) C．a<2且a≠1 D．a<－2
7．(3分)如果关于x的一元二次方程x2－6x＋c＝0(c是常数)没有实数
c>9 根，那么c的取值范围是________ ．
1 8．(6分)已知m<－ ，判定方程x2＋(2m＋3)x＋(m－1)2＝0的根的情 4 况．
解：原方程无实数根
9．(7分)若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，求k的 取值范围及k的非负整数值．
14 ． 不 解 方 程 ， 方 程 2y2 ＋ 3y ＋ 1 ＝ 0 的 根 的 情 况 是
________________________ 有两个不相等的实数根 ． 15 ．(2014· 上海 )如果关于x的方程 x2 －2x＋k＝0(k为常数 )有两个不相 k＜1 等的实数根，那么k的取值范围是__________ ．
C．没有实数根
D．无法确定
3 ．(3 分) 已知一元二次方程 x2 ＋2x －1 ＝0 ，则 b2－4ac ＝______ 8 ， 原方程根的情况是_____________________ 有两个不相等的实数根 ．
4．(9分)不解方程，判定下列一元二次方程根的情况．
(1)16x2＋8x＝－3； 解：此方程没有实数根 (2)9x2＋6x＋1＝0； 解：此方程有两个相等的实数根
C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D．根据 k的取值不同 ， 方程根的情况分为没有实数根、有两个不 相等的实数根和有两个相等的实数根三种
12．若关于x的一元二次方程2x(kx－4)－x2＋6＝0没有实数根，则k的 最小整数值是( A．1 B B．2 ) C．3 D．4
13．(2014· 潍坊)等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长 是关于x的一元二次方程x2－12x＋k＝0的两个根，则k的值是( B ) A．27 B．36 C．27或36 D．18
(3)3(x2＋1)－5x＝0.
解：此方程没有实数根
5．(3分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数 根，则a的值是( A．1
B
) C. 1 4 D．－ 1 4
B．－1
6．(3分)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等 的实数根，则a的取值范围是( A．a>2 B．a<2
19．(12分)(2014· 株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a －c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长． (1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根 ， 试判断△ ABC的形状， 并说明
理由； (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22．2 一元二次方程的解法
第4课时 一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： 有两个不相等 的实数根； (1)当b2－4ac>0时，方程________________ (2)当b2－4ac＝0时，方程_______________ 的实数根； 有两个相等 (3)当b2－4ac<0时，方程________ 没有 实数根．
k 16．若一次函数y＝3x－2与反比例函数y＝ 的图象有两个不同的交点，则 x 1 k>－ 且k≠0 ． k的取值范围是______________ 3 17．(10分)在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的 方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等贡)一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是( D )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2 ． (3 分 ) 若一元二次方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 中 ， ac<0 ， 则原方程 ( A )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根