2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第二章第5讲指数与指数函数含解析

[基础达标]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a 3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C.原式＝⎣⎡⎦⎤4÷⎝⎛⎭⎫－23a 23－⎝⎛⎭⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b，故选C. 3．下列各式比较大小正确的是( )A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1解析：选B.A 中，因为函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B 中，因为y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.4．(2019·宁波效实中学高三质检)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)．5．(2019·衢州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析：选C.当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3，1)．6．已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫作函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y ＝|2x －t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是( )A ．(0，2]B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎦⎤12，2D ．⎣⎡⎦⎤12，2∪[)4，＋∞解析：选C.因为函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，所以F (x )＝f (－x )＝|2－x －t |，因为区间[1，2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，所以函数f (x )＝|2x －t |和函数F (x )＝|2－x －t |在[1，2]上单调性相同，因为y ＝2x －t 和函数y ＝2－x －t 的单调性相反，所以(2x －t )(2－x －t )≤0在[1，2]上恒成立，即1－t (2x ＋2－x )＋t 2≤0在[1，2]上恒成立，即2－x ≤t ≤2x 在[1，2]上恒成立， 即12≤t ≤2，故答案为C. 7．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________． 解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43.答案：438．(2019·杭州中学高三月考)已知e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e3y －27y 3－3y ＋1＝0，则e x ＋3y 的值为________．解析：因为e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e 3y －27y 3－3y ＋1＝0等价于e －3y ＋(－3y )3＋(－3y )＋1＝0，所以x ＝－3y ，即x ＋3y ＝0，所以e x ＋3y＝e 0＝1.答案：19．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，（2－3a ）x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，2－3a <0，（2－3a ）×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝⎛⎦⎤23，3410．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案：(－1，2)11．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.12．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.[能力提升]1．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2 解析：选D.作出函数f (x )＝|2x－1|的图象，如图，因为a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1.所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又因为f (a )>f (c )，所以1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D.2．(2019·衢州市高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对 解析：选B.作出函数y ＝f (x )图象如图所示：再作出－y ＝f (－x )，即y ＝x 2－4x ，恰好与函数图象位于y 轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C ，发现y ＝(12)x 与曲线C 有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A 、B 就是符合题意的点．故选B. 3．(2019·杭州模拟) 已知函数y ＝a x ＋b (a >0，且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，如图所示，则4a －1＋1b的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝a x ＋b (a >0且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a －1＋1b ⎝⎛⎭⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b 的最小值为92.答案：92 73，234．(2019·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝e |x |，将函数f (x )的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g (x )的图象，函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e （x －1）＋2，x ≤5，4e 6－x ＋2，x >5，若对于任意的x ∈[3，λ](λ>3)，都有h (x )≥g (x )，则实数λ的最大值为________．解析：依题意，g (x )＝f (x －3)＋2＝e |x －3|＋2，在同一坐标系中分别作出g (x )，h (x )的图象如图所示，观察可得，要使得h (x )≥g (x )，则有4e 6－x ＋2≥e (x －3)＋2，故4≥e 2x －9，解得：2x －9≤ln 4，故x ≤ln 2＋92，实数λ的最大值为ln 2＋92.答案：ln 2＋925．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1 ＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1.故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1， 故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解， 设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立．当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.6．(2019·宁波效实中学模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )． (1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1，1]，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎝⎛⎭⎫13，3， 设t ＝⎝⎛⎭⎫13x ∈⎝⎛⎭⎫13，3.则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2.当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．因为m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又因为h (a )的定义域为[n ，m ]， 值域为[n 2，m 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾， 所以满足题意的m ，n 不存在．。