备课参考高二数学北师大选修同步练习：第章最大最小值问题含答案

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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套课时跟踪训练十三最大值、最小值问题含解析精品

课时跟踪训练(十三) 最大值、最小值问题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－13．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.211e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.211e 22π⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．[1，e 2π] D.(1，e 2π) 4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d 3B.d 2C.33dD.22d 5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x )的最小值点，则曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________．6．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.7．求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．答案1．选A2．选B f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1.3．选A f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数． ∴f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12. 4．选C 设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C. 5．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x )，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y ＝1.答案：y ＝16．解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：327．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。

高中数学选修1-1北师大版 2.2 最大值、最小值问题学案

2.2 最大值、最小值问题【课标学习目标】了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用，并能正确利用导数这一工具求出最大(小)值．[情景引入]寻求优化是人类的一种本能，不仅是人类，整个大自然中都充斥着这一现象．像蜜蜂所造的蜂窝，更是省到家了，其结构的巧妙，能如此省材料更让人折服．在人们的日常生活中，最优化无处不在，刷牙时会发现，牙膏的包装有大有小．其价格也不相同，你想过大小包装与其价格之间的关系吗？吃东西时，想过营养成分的搭配吗？开灯关灯时，想过灯的位置与照明度的题目吗？开、关窗户时，想过窗户的面积与采光量的题目吗？总而言之，在经济如此发展，竞争如此剧烈，资源日渐紧张的今天，人们做任何事，无不探求事半功倍之术，以求或提效、或增收、或节约等等．【课前预习】1．求利润最大、用料最省，效率最高问题，这些问题通常称为________．2．利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法和注意问题：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式________，根据实际问题确定y＝f(x)的________．(2)求f′(x)，解方程________，得出所有实数根．(3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值．应注意的问题：①求实际问题的最大(小)值时，要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值就应舍去．②在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的________．【题型探究】【例1】用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解析】设容器高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0＜x＜24)．求V(x)的导数，得V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0＜x＜10时，V′(x)＞0，那么V(x)为增函数；当10＜x＜24时，V′(x)＜0，那么V(x)为减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600 (cm3)．答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm3.【评析】在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域开区间内存在最大(小)值，而且f(x)在这个定义域开区间内又只有唯一的极值点，那么可以立即判定，这个极值点的函数值就是最大(小)值，这一点在解决实际问题中很有用．【例2】有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？【解析】根据题意可知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km，则∵BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝BD2＋CD2＝x2＋402，又设总的水管费用为y元，依题意有y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0＜x＜50)．y′＝－3a＋5axx2＋402，令y′＝0，解得x＝30.当0<x<30时，y′<0；当30<x<50时，y′>0.因此函数在x ＝30km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20 km.∴供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．【评析】(1)本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．(2)根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变量，构造相应的函数关系，这是解决本题的方法和技巧．例3 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x ，y 分别为多少(精确到0.001 m)时M 用料最省？【分析】用料最省问题最终转化为所列函数的最小值问题．【解析】依题意，有xy ＋12·x ·x 2＝8，所以y ＝8－x 24x ＝8x －x 4(0<x <42)，于是框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＝⎝⎛⎭⎫32＋2x ＋16x . l ′＝32＋2－16x 2. 令l ′＝0，即32＋2－16x 2＝0，解得x 1＝8－42，x 2＝42－8(舍去)．当0<x <8－42时，l ′<0；当8－42<x <42时，l ′>0，所以当x ＝8－42时，l 取得最小值．此时，x ＝8－42≈2.343(m)，y ≈2.828(m)．即当x 为2.343 m ，y 为2.828 m 时，用料最省．【评析】本题利用面积8 m 2，找出x ，y 之间的关系，然后将框架的周长表示成x 的函数．方法一是利用导数求最值．方法二是利用基本不等式求最值．两种方法均是求函数最值的基本方法，都应该掌握，至于选用哪种方法简便，应具体问题具体分析．就本题而言，方法二简便些，无论使用哪种方法都应注意定义域的确定．[课堂小结]1．解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．2．利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题．3．利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：(1)当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量间的关系式；(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；(3)所得的结果要符合问题的实际意义．[当堂检测]1．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．答案：A2．某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( )A ．32米，16米B ．30米，15米C ．40米，20米D ．36米，18米解析：设新建堆料场与原墙平行的一边长为x 米，其他两边长为y 米，则xy ＝512，新建围墙的长l ＝x ＋2y ＝512y ＋2y (y >0)，令l ′＝－512y 2＋2＝0，解得y ＝16(另一负根舍去)，当0<y <16时，l ′<0；当y >16时，l ′>0，所以当y ＝16时，函数取得极小值，也就是最小值，此时x ＝51216＝32. 选择：A3．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．50解析：设矩形的一边长为x ，则另一边长为225－x 2，于是矩形面积S (x )＝2x ·25－x 2，则。

北师版数学高二-选修1-1课时作业 4.2.2 最大值、最小值问题

选修1-1 第四章 §2 课时作业31一、选择题1．[2014·大连模拟]使函数f (x )＝x ＋2cos x 在[0，π2]上取最大值的x 为( )A. 0B. π6C. π3D. π2解析：∵f ′(x )＝1－2sin x ＝0，x ∈[0，π2]时，sin x ＝12，x ＝π6，∴当x ∈[0，π6)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数．当x ∈(π6，π2]时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，即x ＝π6，f (x )取最大值．故选B.答案：B2．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A.239B.229C.329D.38解析：f (x )＝x －x 3，f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝33(x ＝－33舍去)，又f (0)＝0，f (1)＝0，f (33)＝239，则比较得最大值为f (33)＝239. 答案：A3．函数y ＝x －sin x ，x ∈[π2，π]的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．πD ．π＋1解析：y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在[π2，π]上为增函数．当x ＝π时，y max ＝π.答案：C4．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A. －37B. －29C. －5D. 以上都不对解析：∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，又∵f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大．∴m ＝3，从而f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值为－37.故选A. 答案：A 二、填空题5．若F (x )＝x －2ln x ＋2a ，则F (x )在(0，＋∞)上的最小值是________．解析：令F ′(x )＝1－2x ＝x －2x＝0得x ＝2.当x ∈(0,2)时F ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，F ′(x )>0， ∴当x ＝2时F (x )min ＝F (2)＝2－2ln2＋2a . 答案：2＋2a －2ln26．若关于x 的不等式x 2＋1x ≥m 对任意x ∈(－∞，－12]恒成立，则m 的取值范围是__________．解析：设y ＝x 2＋1x ，则y ′＝2x －1x 2＝2x 3－1x2. ∵x ≤－12，∴y ′<0，即y ＝x 2＋1x 在(－∞，－12]上单调递减．∴当x ＝－12时，y 取得最小值为－74.∵x 2＋1x ≥m 恒成立，∴m ≤－74.答案：(－∞，－74]7．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )，x ∈[0,1]的值域为__________．解析：当0≤x ≤1时，f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x >0，所以f (x )在[0,1]上单调递增，则f (0)≤f (x )≤f (1)，即函数f (x )的值域为[12，12e(sin1＋cos1)]．答案：[12，12e(sin1＋cos1)]三、解答题8．设x >0，求ln x ＋1x －12(x －1)2＋23(x －1)3的最小值．解：设f (x )＝ln x ＋1x －12(x －1)2＋23(x －1)3，则f ′(x )＝1x －1x 2－(x －1)＋2(x －1)2＝1x 2(x －1)－(x －1)＋2(x －1)2 ＝(x －1)[1x 2－1＋2(x －1)]＝(x －1)[1－x 2x2＋2(x －1)]＝(x －1)2(2－1＋x x 2)＝(x －1)32x ＋1x 2.令f ′(x )＝0，由x >0，解得x ＝1.列表：9．[2014·山西省阳泉第二调研]已知函数f (x )＝a ＋b ln xx ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝2.(1)求a ，b 的值；(2)对函数f (x )定义域内的任一个实数x ，f (x )<mx 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝a ＋b ln xx ＋1⇒f ′(x )＝bx(x ＋1)－(a ＋b ln x )(x ＋1)2，而点(1，f (1))在直线x ＋y ＝2上⇒f (1)＝1，又直线x ＋y ＝2的斜率为－1⇒f ′(1)＝－1，故有⎩⎨⎧a2＝1，2b －a4＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.(2)由(1)得f (x )＝2－ln xx ＋1(x >0)，f (x )<mx 及x >0⇒2x －x ln x x ＋1<m .令g (x )＝2x －x ln x x ＋1⇒g ′(x )＝(1－ln x )(x ＋1)－(2x －x ln x )(x ＋1)2＝1－x －ln x(x ＋1)2，令h (x )＝1－x －ln x ⇒h ′(x )＝－1－1x <0(x >0)，故h (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，故当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，从而当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时，g ′(x )<0 ⇒g (x )在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，故g (x )max ＝g (1)＝1, 要使2x －x ln xx ＋1<m 成立，只需m >1，故m 的取值范围是(1，＋∞)．。

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案：第三章 §2 2.2 最大值、最小值问题精品

2．2最大值、最小值问题[对应学生用书P33]1．问题：如何确定你班哪位同学最高？提示：方法很多，可首先确定每个学习小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．2．如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图像．问题1：试说明y＝f(x)的极值．提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．问题2：你能说出y＝f(x)，x∈[a，b]的最值吗？提示：函数的最小值是f(a)，f(x2)，f(x4)中最小的，函数的最大值是f(b)，f(x1)，f(x3)中最大的．问题3：根据问题2回答函数y＝f(x)，x∈[a，b]的最值可能在哪些点取得．提示：在极值点或端点中．1．最值点(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(x0)．(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)．2．最值函数的最大值与最小值统称为最值．(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上有最大值与最小值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大、最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大、最小值．(3)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．[对应学生用书P34][例1] (1)求函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值． [精解详析] (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727，f (1)＝72，f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)因为f (x )＝12x ＋sin x ，所以f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝2π3，x 2＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π，所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0. [一点通] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数的导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的全部实根x 0；(3)将f (x 0)的各个值与f (a )，f (b )进行比较，确定f (x )的最大值与最小值．1．函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －10在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：因为f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x －1)2＋3>0， ∴函数f (x )在区间[－1,1]上单调递增， ∴当x ＝1时，函数f (x )取得最大值f (1)＝－6. 答案：－62．求函数f (x )＝sin 2x －x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最大值和最小值．解：f ′(x )＝2cos 2x －1. 令f ′(x )＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，解得x ＝－π6或x ＝π6.而f ⎝⎛⎭⎫－π6＝π6－32，f ⎝⎛⎭⎫π6＝32－π6， f ⎝⎛⎭⎫－π2＝π2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2，所以函数f (x )的最大值为π2，最小值为－π2.3．已知函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，当a ＝12时，求f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．解：当a ＝12时，f (x )＝2(1－x )x ＋ln x ，f ′(x )＝x －2x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝2.当x ∈[1,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在[1,2)上是减少的；当x ∈(2，e]时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，e]上是增加的．∴f (x )在区间(1，e]上有唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (x )极小值＝f (2)＝ln 2－1.∵f (1)＝0，f (e)＝2－ee <0，∴f (x )在区间[1，e]上的最大值为0.[例2] 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，是否存在实数a ，b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．[思路点拨] 利用导数求出f (x )的最值(用a ，b 表示)，列方程求a ，b 的值． [精解详析] 显然a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．①当a >0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：∴当x ＝0时，f (x )取得最大值．∴b ＝3.又∵f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，f (－1)>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，即a ＝2.②当a <0时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况见下表：∴当x ＝0时，f (x )取得最小值． ∴b ＝－29.又∵f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)，∴当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，即a ＝－2.综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.[一点通] 由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．4．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝3x 2－3x ＝3x (x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1.当－1<x <0时，f ′(x )>0，则f (x )为增函数；当0<x <1时，f ′(x )<0，则f (x )为减函数． ∴当x ＝0时，f (x )取得最大值为a ， ∴a ＝2，∴f (－1)＝－1－32＋2＝－12，f (1)＝1－32＋2＝32.∴在x ∈[－1,1]上，f (x )的最小值为－12.答案：－125．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a >0.求a 的值．解：f (x )的定义域为(－a ，＋∞)．f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，解得x ＝1－a >－a .当－a <x <1－a 时，f ′(x )<0，f (x )在(－a,1－a )上是减少的；当x >1－a 时，f ′(x )>0，f (x )在(1－a ，＋∞)上是增加的．因此f (x )在x ＝1－a 处取得最小值，由题意知f (1－a )＝1－a ＝0，故a ＝1. 6．设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解：函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增．故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.[例3] 某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？[精解详析] (1)设商品降价x 元，则多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期里的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)，又由已知条件，24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)根据(1)，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12)．令f ′(x )＝0，即－18(x －2)(x －12)＝0，得x 1＝2，x 2＝12. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )如下表：因为f (0)＝9 072<f (12)＝11 664，所以x ＝12时，f (x )取得最大值，即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大． [一点通] 利用导数解决优化问题的一般步骤如下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y ＝f (x )．(2)求函数f (x )的导数f ′(x )，并解方程f ′(x )＝0，即求函数可能的极值点．(3)比较函数f (x )在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f (x )的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．7．做一个容积为256 dm 3的方底无盖水箱，它的高为________dm 时最省材料．解析：设水箱底面边长为x dm ，则高为256x 2 dm ，用料总面积S ＝x 2＋4·256x2·x ＝x 2＋256×4x， S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0得x ＝8，当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， ∴当x ＝8时，S 取得最小值，则高为4 dm. 答案：48．某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m 元(m 为常数，且2≤m ≤3)，设每个水杯的出厂价为x 元(35≤x ≤41)，根据市场调查，水杯的日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个．(1)求该工厂的日利润y (元)与每个水杯的出厂价x (元)的函数关系式；(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大？并求日利润的最大值．解：(1)设日销售量为s ，则s ＝k e x ，因为x ＝40时，s ＝10，故10＝ke 40，则k ＝10e 40，所以s ＝10e 40e x ，故y ＝10e 40e x (x －30－m )(35≤x ≤41)．(2)y ′＝10e 40×e x －(x －30－m )e x (e x )2＝10e 40×31＋m －x e x .令y ′＝10e 40×31＋m －xe x＝0，则x ＝31＋m .当2≤m ≤3时，y ′<0，所以y 在35≤x ≤41上为减函数，所以x ＝35时，日利润取得最大值，且最大值为10e 5(5－m )元．1．函数的最大值与最小值：在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值；但在开区间(a ，b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．例如：函数f (x )＝1x 在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．2．解决优化问题的基本思路[对应课时跟踪训练(十三)]1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D.以上都有可能答案：A2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( ) A ．2 B ．1 C ．－2D.－1 解析：f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1. 答案：B3．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.211e 22π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.211e 22π⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．[1，e 2π]D.(1，e 2π)解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数． ∴f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12e 2π， f (x )的最小值为f (0)＝12.答案：A4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d 3B.d 2C.33d D.22d 解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C. 答案：C5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x )的最小值点，则曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x )，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y ＝1. 答案：y ＝16．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：327．求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。

北师大版数学高二作业 4.2.2 最大值、最小值问题(二)

2.2 最大值、最小值问题(二)基础过关1.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( ) A.2033 cm B.100 cm C.20 cmD.203 cm解析设圆锥的高为h cm ，0<h <20，则V ＝13π(400－h 2)×h ，所以V ′(h )＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0，得h 2＝4003，所以h ＝2033，故选A. 答案 A2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个等边三角形，那么这两个等边三角形的面积之和的最小值是( ) A.332 cm 2 B.4 cm 2 C.3 2 cm 2D.2 3 cm 2解析设其中一段为x cm ，则面积之和S ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋34⎝⎛⎭⎪⎫12－x 32＝318(x 2－12x ＋72)，S ′＝39(x －6). 令S ′＝0，得x ＝6.当x ＜6时，S ′＜0；当x ＞6时，S ′＞0. 所以当x ＝6时，S min ＝2 3 cm 2.答案 D3.已知方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时它的高为( ) A.4B.6C.4.5D.8解析设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2，∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8， ∴h ＝25682＝4. 答案 A4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________.解析设底面半径为r ，高为h ，所以πr 2·h ＝27π.所以h ＝27r 2，所以水桶表面积为S (r )＝2πr ·h ＋πr 2＝54πr ＋πr 2. 所以S ′(r )＝2πr －54πr 2. 令S ′(r )＝0，得r ＝3. 答案 35.某厂生产某种商品x 件的总成本c (x )＝1 200＋275x 3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为________件时，总利润最大.解析设产品的单价为p 万元，根据已知可设p 2＝kx ，其中k 为比例系数.因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000. 所以p 2＝250 000x ，p ＝500x ，x ＞0.设总利润为y 万元，y ＝500x ·x －1 200－275x 3＝500x －275x 3－1 200.则y ′＝250x －225x 2. 令y ′＝0，得x ＝25.故当0＜x ＜25时，y ′＞0，当x ＞25时，y ′＜0，所以，当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值. 答案 256.要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3 m ，长和宽的和为20 m ，则仓库容积的最大值为________m 3.解析：设长为x m ，则宽为(20－x )m ，仓库的容积为V ，则V ＝x (20－x )·3＝－3x 2＋60x ， V ′＝－6x ＋60，令V ′＝0得x ＝10. 当0<x <10时，V ′>0；当x >10时，V ′<0，∴x ＝10时，V 最大＝300(m 3). 答案 3007.请设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位：cm2)最大，试求此时x的值；(2)若厂商要求包装盒容积V(单位：cm3)最大，试求此时x的值，并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解(1)S＝4×2x·60－2x2＝240x－8x2(0＜x＜30)，所以S′＝240－16x.令S′＝0，则x＝15.所以，当x＝15 cm时，包装盒侧面积最大.(2)V＝(2x)2·22(60－2x)＝22x2(30－x)(0＜x＜30)，所以V′＝62x(20－x).令V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当0＜x＜20时，V′＞0；当20＜x＜30时，V′＜0.所以，当x＝20时，V最大.此时，包装盒的高与底面边长的比值为22（60－2x）2x＝12.能力提升8.做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为()A.ab B.a2bC.b aD.b 2a解析如图，设圆柱的底面半径为R ，高为h ，则V ＝πR 2h .设造价为y ＝2πR 2a ＋2πRhb ＝2πaR 2＋2πRb ·V πR 2＝2πaR 2＋2bV R ，∴y ′＝4πaR －2bV R 2. 令y ′＝0，得2R h ＝ba . 答案 C9.从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( ) A.24 cm 3 B.72 cm 3 C.144 cm 3D.288 cm 3解析设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm. 则y ＝(10－2x )(16－2x )x (0<x <5) ＝4x 3－52x 2＋160x ， ∴y ′＝12x 2－104x ＋160. 令y ′＝0，得x ＝2或203(舍去)， ∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3). 答案 C10.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h ，当速度为10 n mile/h 时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲、乙两地相距800 n mile ，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________n mile/h. 解析由题意，设燃料费y 与航速x 间满足 y ＝ax 3(0＜x ≤30)，又因为25＝a ·103，所以a ＝140.设海轮从甲地到乙地的航速为v，费用为w，则w＝a v3×800v＋800v×400＝20v2＋320 000v.由w′＝40v－320 000v2＝0，得v＝20.当0＜v＜20时，w′＜0；当20＜v≤30时，w′＞0.因此，当v＝20时，函数w取得极小值，也是最小值.即海航从甲地到乙地的航速为20 n mile/h时，总费用最低.答案2011.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(单位：万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处.解析依题意，可设每月土地占用费y1＝k1x，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝k110，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝45.因此，两项费用之和为y＝20x ＋4x5(x＞0)，y′＝－20x2＋45.令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去).当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0，因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值.故当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小.答案 512.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶，才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.则总费用f(x)＝(kx3＋200)·ax ＝a(kx2＋200x)，0<x≤100.由已知条件，得40＝k·203，∴k＝1200，∴f(x)＝a(1200x2＋200x).令f′(x)＝a（x3－20 000）100x2＝0，得x＝10320.当0<x<10320时，f′(x)<0；当10320<x≤100时，f′(x)>0.∴当x＝10320时，f(x)有最小值，即火车以10320 km/h的速度行驶，才能使从甲城开往乙城的总费用最少. 13.(选做题)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：m)，其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3m3，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元，设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数关系式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.解(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3.又因为V ＝80π3，所以l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r .由于l ≥2r ，故0＜r ≤2. 所以建造费用 y ＝2πrl ×3＋4πr 2c＝2πr ×43⎝ ⎛⎭⎪⎫20r 2－r ×3＋4πr 2c .所以y 关于r 的函数关系式为y ＝4π(c －2)r 2＋160πr ，定义域为(0，2].(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr 2 ＝8π（c －2）r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0＜r ≤2. 由于c ＞3，所以c －2＞0. 当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令320c －2＝m ，则m ＞0. ①当0＜m ＜2，即c ＞92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′＜0；当r ∈(m ，2]时，y ′＞0.所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点.②当m≥2，即3＜c≤92时，当r∈(0，2]时，y′≤0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点.综上所述，当3＜c≤92时，建造费用最小时r＝2(m)；当c＞92时，建造费用最小时r＝320c－2(m).。

2019—2020年北师大版高中数学选修1-1《最大值、最小值问题》课后考点练习及解析.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1第4章 2.2 最大值、最小值问题一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论正确的是( )A ．若f(x)在[a ，b]上有极大值，则极大值一定是f(x)在[a ，b]上的最大值B ．若f(x)在[a ，b]上有极小值，则极小值一定是f(x)在[a ，b]上的最小值C ．若f(x)在[a ，b]上有极大值，则极大值一定在x ＝a 或x ＝b 时取得D ．若f(x)在[a ，b]上连续，则f(x)在[a ，b]上存在最大值和最小值解析：根据极值与最值的区别与联系作出判断．答案： D2．函数f(x)＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f(1) f(2) B ．f(2) f(5) C ．f(1) f(5) D ．f(5) f(2)解析： f ′(x)＝2x －4 令f ′(x)＝2x －4＝0，∴x ＝2 f(1)＝－2，f(2)＝－3 f(5)＝6∴最大值f(5)，最小值f(2)．答案： D3．函数y ＝lnxx 的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103解析：令y ′＝(lnx )′x －lnx ·x ′x 2＝1－lnxx 2＝0，得x ＝e.当x>e 时，y ′<0；当x<e 时，y ′>0，y 极大值＝f(e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.答案： A4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：因y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0得x ＝9 当0<x ≤9时，y ′≥0，f(x)为增函数当x>9时，y ′<0，f(x)为减函数 ∴当x ＝9时，y 有最大值．故选C. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数y ＝xe x 的最小值为________．解析： y ′＝(x ＋1)e x ＝0，x ＝－1.当x<－1时，y ′<0；当x>－1时，y ′>0.∴y min ＝f(－1)＝－1e .答案：－1e6．已知f(x)＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m 的取值范围是________．解析： f ′(x)＝m －2x ，令f ′(x)＝0，则x ＝m2，由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案： [－4，－2]三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f(x)＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解析： (1)f ′(x)＝x 2－4，解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x)，f(x)变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x) ＋0 －0 ＋f(x)283－43从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为283，而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f(－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f(4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值点的函数比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.8．已知函数f(x)＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5的图像在x ＝1处的切线方程为y ＝－12x. (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．解析： (1)f ′(x)＝12x 2＋2ax ＋b. f ′(1)＝12＋2a ＋b ＝－12. ① 又x ＝1，y ＝－12在f(x)的图像上，∴4＋a ＋b ＋5＝－12. ② 由①②，得a ＝－3，b ＝－18， ∴f(x)＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)f ′(x)＝12x 2－6x －18＝0，得x ＝－1或32，f(－1)＝16，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－614，f(－3)＝－76，f(1)＝－12.∴f(x)的最大值为16，最小值为－76. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知某工厂生产x 件产品的成本为C ＝25 000＋200x ＋140x 2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？解析： (1)设平均成本为y 元，则y ＝25 000＋200x ＋140x 2x＝25 000x ＋200＋x 40(x ≥0)，y ′＝－25 000x 2＋140，令y ′＝0，得x ＝1 000或x ＝－1 000(舍去)．当0≤x<1 000时，y ′<0；当x>1 000时，y ′>0，故当x ＝1 000时，y 取极小值，而只有一个点使y ′＝0，故函数在该点处取得最小值．因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．(2)利润函数为S(x)＝500x －(25 000＋200x ＋x 240)＝300x －25 000－x 240，S′(x)＝300－x20，令S′(x)＝0，得x＝6 000.当0≤x<6 000时S′(x)>0；当x>6 000时，S′(x)<0，故当x＝6 000时，S(x)取极大值，而只有一个点使S′(x)＝0，故函数在该点处取得最大值．因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．。

北师大版选修2《最大值、最小值问题》教案及教学反思

北师大版选修2《最大值、最小值问题》教案及教学反思简介《最大值、最小值问题》是高中数学必修课中重要的一节内容，也是高考数学必考点之一。

本文将分享一份北师大版选修2《最大值、最小值问题》的教案，并对教学进行反思和总结。

教学目标1.理解最大值、最小值的概念；2.掌握求解一元函数最值的一般方法；3.拓展应用：分析实际问题中最大值、最小值的应用场景。

教学准备1.PPT课件，并预留练习环节；2.打印“最值练习题”一套；3.准备白板和黑板笔。

教学过程第一步：引入新知识PPT中展示几个实际问题，如：一张矩形纸的一角剪去后，如何让剩下的部分的面积最大？又如：投资几个项目，如何使收益最大？引导学生思考这些问题下的“最大值”、“最小值”等概念。

第二步：讨论和概念阐释教师和学生共同讨论，发现实际问题中常涉及到“最大值”和“最小值”概念。

在讨论的过程中，引导学生记住以下几个关键点：1.最大值即为函数取得的“最大值”；2.最小值即为函数取得的“最小值”；3.定义域和取值域决定了函数值域，函数的最值只在定义域范围内取得。

第三步：解题方法深入1.确定函数的定义域和取值域；2.化简并求导，得到导函数；3.把导函数的零点(或极值点，或边界点)代入原函数得最小值和最大值。

在第三步中，教师应给予学生许多实例的练习机会。

同时，也可以要求学生自己带着问题上来，进行现场求解练习。

不断练习，才能不断提高。

第四步：拓展应用引导学生思考实际问题在最值问题中的应用，如优化设计、生产成本等，进一步帮助学生理解应用最值问题的实际意义和重要性。

教学反思本节课的教学反思主要从以下几个方面进行总结：1.教学设计方面：本课程通过实例引导学生思考，结合偏向应用的教学方法，让学生从理论、实际问题之间的联系角度理解课程内容，提高学习效率，提高课程的授课质量。

2.教学效果：由于课前布置作业，课上带着问题进行一一解答，并有大量且易于理解的例子进行演示和铺垫，使学生能够充分掌握最值问题的相关知识，简单而言，就是“听一次会一次”。

2019—2020年新课标北师大版高中数学选修1-1《最大、最小值问题》同步练习及答案.docx

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1最大最小值问题同步练习一,选择题:1.下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数y=f(x)在区间［a,b ］上的最大值是M ，最小值是m,若M=m,则f ′(x) ( ) A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y=234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( )A.0B.－2C.－1D.12134.函数y=122+-x x x 的最大值为( )A.33 B.1 C.21 D.235.设y=|x|3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( ) A.27B.－3C.－1D.16.设f(x)=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b,则( )A.a=2,b=29B.a=2,b=3C.a=3,b=2D.a=－2,b=－3二、填空题7.函数y=2x 3－3x 2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________. 8.函数f(x)=sin2x －x 在［－2π,2π］上的最大值为_____；最小值为____ 9.将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和____.10.使内接椭圆2222by a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为______11.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大. 三、解答题12.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？13.已知：f(x)=log 3xbax x ++2,x ∈(0,+∞).是否存在实数a 、b,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b ，若不存在，说明理由.14.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCDh b600EDC BA的面积为定值S 时，使得湿周l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b.答案1.D2.A3.A4.A5.D6.B7. －158.2π －2π 9.2a 2a10.2a 2b 11.23R12.解：（1）正方形边长为x,则V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x 3－13x 2+20x)(0<x<25)V ′=4(3x 2－13x+10)(0<x<25)V ′=0得x=1根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x=1时，容积V 取最大值为18.13.解：设g(x)=xbax x ++2∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数 ∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.14.解：由梯形面积公式，得S=21(AD+BC)h其中AD=2DE+BC ，DE=33h,BC=b ∴AD=332h+b ∴S=h b h h b h )33()2332(21+=+①∵CD=h h 3230cos =︒,AB=CD.∴l=h 32×2+b ②由①得b=33-h S h,代入② ∴l=hSh h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h=43S当h<43S 时，l ′<0,h>43S时，l ′>0. ∴h=43S时，l 取最小值，此时b=S 3324.。

北师大版高中数学选修2-2最值问题同步练习.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作最值问题同步练习1. 函数32)(24++-=x x x f （）A. 最大值为4，最小值为4-B. 最大值为4，无最小值C. 最小值为4-，无最大值D. 既无最大值，也无最小值2. 函数])4,0[(∈=-x xe y x 的最小值为（）A. 0B. e 1C. 44eD. 22e3. 函数x x y cos 2+=在]2,0[π∈x 上的最大值点是（） A. 0 B. 6π C. 3π D. 2π 4. 21)(x x x f -=的最大值为（） A.43 B. 0 C. 21 D. 21-5. 已知函数322+--=x x y 在区间]2,[a 上最大值为415，则=a （） A. 23- B. 21 C. 21- D. 21或23-6. 函数2100x y -=，当86≤≤-x 时的最大值为___________，最小值为_________。

7. 函数x x y cos sin +=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx 上的最大值和最小值分别为___________________。

8. 求函数5363423+-+=x x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。

9. 函数a x x x y +++-=9323在区间[]2,2-上的最大值是20，求它在此区间上的最小值。

10. 求下列函数的最值。

（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-=2,2(2sin ππx x x y （2）)0,0,10(122>><<-+=b a x xb x a y参考答案1. 答案：B2. 答案：A3. 答案：B4. 答案：C5. 答案：C6. 答案：6,10。

7. 答案：1,2-。

8. 答案：最大值57，最小值4115-；解析：由0='y 解得232=-=x x 或，23)2(,4115)23(,57)2(-=-==-f f f 。

9. 答案：最小值为7-；解析：由分析可知函数在[)1,2--上递减，在[]2,1-上递增，又a f +=<+=-22)2(f a 2)2(∴2022=+a 即 2-=a ，则最小值为7)1(-=-f 。

高中数学选修2-2 北师大版最大值、最小值问题(二) 课后练习(含答案)

2.2 最大值、最小值问题(二)一、基础过关1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 ( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－82．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( ) A.3VB.32VC.34V D ．23V3．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( ) A ．24 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．288 cm 34．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )A ．120 000 cm 3B ．128 000 cm 3C ．150 000 cm 3D ．158 000 cm 35．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为( ) A.2033cm B ．100 cm C ．20 cm D.203cm6. 如图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为______．二、能力提升7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．8. 为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱如图，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．9. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？10．某商场预计2010年从1月份起前x 个月，顾客对某种商品的需求总量p (x )件与月份x的近似关系是p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．该商品的进价q (x )元与月份x 的近似关系是q (x )＝150＋2x (x ∈N *，且x ≤12)，(1)写出今年第x 月的需求量f (x )件与月份x 的函数关系式；(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？11．一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？三、探究与拓展12．某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r .。

北师大版数学高二选修1-1 作业 4.2.2最大值、最小值问题

1．函数y ＝x 4－4x ＋3在区间[－2,3]上的最小值为( )A ．72B ．36C ．12D ．0解析：y ′＝4x 3－4，令y ′＝0，得x ＝1.当x ＝1时，y ＝0，而x <1时，y ′<0，x >1时，y ′>0，∴x ＝1时函数取极小值0，也是最小值．答案：D2．函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( )A ．1，－1B ．3，－17C ．1，－17D ．9，－19解析：f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1(x ＝1舍去)．又f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (0)＝1.故最大值为3，最小值为－17.答案：B3．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：∵f (x )＝ax －ln x ，f (x )>1在(1，＋∞)内恒成立，∴a >1＋ln x x在(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln x x， ∴x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝－ln x x 2<0，即g (x )在(1，＋∞)上是减少的，∴g (x )<g (1)＝1，∴a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．答案：D4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( )A.3VB.32VC.34V D ．23V解析：设正三棱柱的底面边长为x ，高为h ，则V ＝34x 2h ， ∴S ＝2×34x 2＋3xh ＝32x 2＋43V x . 由S ′＝3x －43V x 2＝3(x 3－4V )x 2＝0，得x ＝34V . 当0＜x ＜34V 时，S ′＜0，当x ＞34V 时，S ′＞0，∴x ＝34V 时，S 最小．答案：C5．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取最大值时，x 的值为________．解析：f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0得sin x ＝12. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＝π6. 当0<x <π6时，f ′(x )>0； π6<x <π2时，f ′(x )<0，则x ＝π6时函数取极大值，也为最大值．答案：π66．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设底面半径为r ，高为h ，∴πr 2·h ＝27π，得h ＝27r2. ∴S 表＝2πr ·h ＋πr 2＝54πr ＋πr 2.∴S ′(r )＝2πr －54πr －2，令S ′(r )＝0，得r ＝3.当r <3时，S ′(r )<0，当r >3时，S ′(r )>0，∴r ＝3是极小值点，也是最小值点．答案：37．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a .所以f (2)>f (－2)．因为在(－1,3)上f ′(x )>0，所以f (x )在[－1,2]上是增加的，又由于f (x )在[－2，－1]上是减少的，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.8．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？解：(1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x －1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256. (2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64. 当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减少的；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增加的．所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9. 故需新建9个桥墩才能使y 最小．。

北师大版数学高二学案 4.2.2 最大值、最小值问题(一)

2.2最大值、最小值问题(一)学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会用导数求某闭区间上函数的最值.知识点一函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得.知识点二求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【预习评价】1.函数在闭区间上的极大值就是最大值吗？极小值就是最小值吗？提示不一定.函数在闭区间上的极大值不一定是最大值，还要与端点处的函数值比较，最大的即最大值；同理，闭区间上的极小值也不一定是最小值.2.函数在区间[a，b]上的最值一定在端点处取得吗？提示不一定.还与函数在区间的上单调性、极值有关.知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得.如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图像.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.【预习评价】1.连续函数f(x)在(a，b)上有最大值是有极大值的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析(a，b)是开区间，∴f(x)在(a，b)上有最大值即为极大值.当在(a，b)上有极大值时不一定是最大值.如图：答案 A2.已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________.解析f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝m2.由题设得m2∈(－2，－1)，故m∈(－4，－2).答案(－4，－2)题型一求函数在闭区间上的最值【例1】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，4]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1，1].解(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表x －2(－2，0)0(0，2)2(2，4) 4 f′(x)＋0－0＋f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.即f(x)的最大值为35，最小值为－37.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f(x)在[－1，1]内恒大于0，∴f′(x)在[－1，1]上为增函数.故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.规律方法(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一步，但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得. ①求出导数为零的点.②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值. (2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得. 【训练1】求下列函数的最值： (1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0，2π]； (2)f (x )＝e －x －e x ，x ∈[0，a ]，a 为正实数.解 (1)f ′(x )＝12＋cos x ，x ∈[0，2π]. 令f ′(x )＝0，得x ＝2π3或x ＝4π3.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0；当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π. 即f (x )的最小值为0，最大值为π. (2)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′－(e x )′＝－1e x －e x＝－1＋e 2xe x .当x ∈[0，a ]时，f ′(x )＜0恒成立，即f (x )在[0，a ]上是减函数.故当x ＝a 时，f (x )有最小值f (a )＝e －a －e a ；当x ＝0时，f (x )有最大值f (0)＝e －0－e 0＝0.即f(x)的最小值为e－a－e a，最大值为0.题型二含参数的函数的最值问题【例2】已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.解(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3).令f′(x)＜0，得x＜－1或x＞3，故函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞).(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)＞f(－2)，因为在(－1，3)上f′(x)＞0，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5，所以f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a＝－2.所以f(－1)＝－2－5＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7.规律方法函数的最值与极值及单调性密切相关，因而在求解函数的最值的问题时，一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函数与极值的有力工具. 【训练2】已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1，2]上有最大值3，最小值－29，求a，b的值.解由题意知a≠0.因为f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，x∈[－1，2]，所以令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4(舍去).若a ＞0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递增↗单调递减↘由上表知当x ＝0时，f (x )取得最大值，所以f (0)＝b ＝3，又因为f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3，故f (－1)＞f (2)，所以当x ＝2时，f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.若a ＜0，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：单调递减↘单调递增↗所以当x 又因为f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，故f (2)＞f (－1).所以当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上所述，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.【探究1】设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0).(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围.解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去).当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：t (0，1)1(1，2)g′(t)＋0－g(t)单调递增1－m 单调递减∴对t∈(0，2)maxh(t)<－2t－m对t∈(0，2)恒成立，也就是g(t)<0对t∈(0，2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞).【探究2】已知函数f(x)＝ax4ln x＋bx4－c(x＞0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数，若对任意x＞0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范围.解由题意，知f(1)＝－3－c.因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.所以对f(x)求导，得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x －12x 3＝x 3(4a ln x ＋a －12).由题意，知f ′(1)＝0，即a －12＝0，得a ＝12. 所以f ′(x )＝48x 3ln x (x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数；当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ，并且此极小值也是最小值.所以要使f (x )≥－2c 2(x ＞0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2即可.整理，得2c 2－c －3≥0，解得c ≥32或c ≤－1. 所以c 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.【探究3】已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图像在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求实数m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a （1－x ）x，当a >0时，f (x )的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0，1)；当a ＝0时，f (x )不是单调函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2， ∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x . ∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数，即g ′(x )＝0在区间(t ，3)上有变号零点. 由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′（t ）<0，g ′（3）>0.当g ′(t )<0，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立，由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0，即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373，所以－373<m <－9，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥f (x )恒成立⇔λ≥[f (x )]max ；λ≤f (x )恒成立⇔λ≤[f (x )]min .对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可. (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.课堂达标1.函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3，5]上的最大值和最小值分别是()A.f(2)，f(3)B.f(3)，f(5)C.f(2)，f(5)D.f(5)，f(3)解析∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3，5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3，5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5).答案 B2.函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)()A.有最大值，但无最小值B.有最大值，也有最小值C.无最大值，但有最小值D.既无最大值，也无最小值解析f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.答案 D3.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4，4]上的最大值为10，则其最小值为________.解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1).由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.答案－714.已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，若f ′(－1)＝0，函数f (x )在[－2，2]上的最大值为________，最小值为________.解析由原式得f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4.由f ′(－1)＝0，得a ＝12，此时f (x )＝x 3－12x 2－4x ＋2，f ′(x )＝3x 2－x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝43.因为f (－1)＝92，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－5027，f (－2)＝f (2)＝0，所以函数f (x )在[－2，2]上的最大值为92，最小值为－5027.答案 92 －50275.求函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值. 解因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π.课堂小结1.求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.(2)闭区间[a ，b ]上的连续函数一定有最值.开区间(a ，b )内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).2.求含参数的函数最值，可分类讨论求解.3.“恒成立”问题可转化为函数最值问题.。

北师版数学高二-选修2-2课时作业第2课时最大值、最小值的实际应用

第2课时最大值、最小值的实际应用一、选择题1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A ．8B.203 C ．－1 D ．－82．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则当其表面积最小时底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( )A.⎝⎛⎭⎫l 63πB.⎝⎛⎭⎫l 33πC.⎝⎛⎭⎫l 43πD.14⎝⎛⎭⎫l 43π 4．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( )A ．120000cm 3B ．128000cm 3C ．150000cm 3D ．158000cm 35．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300 6．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶1二、填空题7.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．8．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为________．9．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大．(毛利润＝销售收入－进货支出)10．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128000x 3－380x ＋8，x ∈(0，120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少．11．某厂生产某种产品x 件的总成本为c (x )＝1200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为________件时总利润最大．三、解答题12．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？13．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？四、探究与拓展14．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是( ) A.92B.6516C.358D.174 15．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3240(－x 2＋2x ＋53)，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)答案精析1．C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A7.33d 8.40 9.30 10.80 11.25 12．解设速度为每小时v 千米时，燃料费是每小时p 元，那么由题设知p ＝k v 3，因为v ＝10，p ＝6，所以k ＝6103＝0.006. 于是有p ＝0.006v 3.又设船的速度为每小时v 千米时，行驶1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是(0.006v 3＋96)元，而行驶1千米所用时间为1v 小时，所以行驶1千米的总费用为q ＝1v(0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8000)，令q ′＝0，解得v ＝20.当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′>0，所以当v ＝20时，q 取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．13．解设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x ) m(0<x <32)．故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3) m 3(0<x <32)．从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝1，因此x ＝1.当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)，此时长方体的长为2m ，高为1.5m. 故当长方体的长为2m ，宽为1m ，高为1.5m 时，体积最大，最大体积为3m 3.14．B15．解由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y ＝(3－0.9x )×3240×(－x 2＋2x ＋53) ＝3240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)，当x ∈(0，59)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x ∈(59，1)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．所以当x ＝59时，f (x )取得极大值，f (59)＝20000. 因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．。

2019学年高二年级数学北师大版选修2-2课时作业：第3章第2节第2课时最大值、最小值问题(含解析)

第3章 2第2课时最大值、最小值问题课时作业北师大版选修2-2一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析] f (x )＝x －x 3，f ′(x )＝1－3x 2，令f ′(x )＝0得x ＝33(x ＝－33舍去)，计算比较得最大值为f (33)＝239. 2.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10 km 时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小( )A ．20B ．30C ．40D ．60[答案] A[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3，由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x2＝0，解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．3．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32[答案] A[解析] 由f ′(x )＝2x 3－6x 2＝0得，x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.4．若函数f (x )＝－13x 3＋x 在(a,10－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,1)B ．[－2,1)C ．[－2，－1)D ．(－2，＋∞)[答案] B[解析] 由于f ′(x )＝－x 2＋1 ，易知函数在(－∞，－1]上递减，在[－1,1]上递增，[1，＋∞)上递减，故若函数在(a,10－a 2)上存在最大值的条件为⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜110－a 2＞1⇒－1≤a ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－110－a 2＞1⇒－2≤a ＜－1，ff a 综上可知a 的取值范围为[－2,1)．5．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1B ．12C ．52D ．22[答案] D[解析] 本小题考查内容为导数的应用——求函数的最小值．令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－ln x ，∴F ′(x )＝2x －1x.令F ′(x )＝0，∴x ＝22，∴F (x ) 在x ＝22处最小．二、填空题6．下列结论中正确的有________．①在区间[a ，b ]上，函数的极大值就是最大值； ②在区间[a ，b ]上，函数的极小值就是最小值；③在区间[a ，b ]上，函数的最大值、最小值在x ＝a 和x ＝b 处取到； ④在区间[a ，b ]上，函数的极大(小)值有可能就是最大(小)值． [答案] ④[解析] 由函数最值的定义知，①②③均不正确，④正确．故填④.7．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.[答案] 103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a >0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取得最小值为b －27A ．又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.8.设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为__________________．[答案] 4[解析] 本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x －1x，设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝－2xx 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x ) max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0即x ∈[－1,0]，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x3，g (x )在区间[－1,0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 三、解答题9.(2019·江西理，18)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间(0，13)上单调递增，求b 的取值范围．[解析] (1)当b ＝4时，f (x )＝(x ＋2)21－2x 的定义域为(－∞，12)，f ′(x )＝－5x x ＋1－2x，由f ′(x )＝0得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(－2,0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(0，12)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故f (x )在x ＝－2取极小值f (－2)＝0，在x ＝0取极大值f (0)＝4. (2)f ′(x )＝－x [5x ＋b －1－2x，因为当x ∈(0，13)时，－x1－2x<0，依题意当x ∈(0，13)时，有5x ＋(3b －2)≤0，从而53＋(3b －2)≤0.所以b 的取值范围为(－∞，19]．10.(2019·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大.一、选择题1．给出下面四个命题：①函数y ＝x 2－5x ＋4，x ∈[－1,1]的最大值为10，最小值为－94；②函数y ＝2x 2－4x ＋1(2<x <4)的最大值为17，最小值为1；③函数y ＝x 3－12x (－3<x <3)的最大值为16，最小值为－16；④函数y ＝x 3－12x (－2<x <2)无最大值，也无最小值．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] ③④正确． 2．已知不等式kx x ≤1e对任意的正实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．(－∞，1] C ．[0,2] D ．(0,2][答案] A [解析] 令y ＝kx x ，则y ′＝1－kx x 2，可以验证当y ′＝0即kx ＝e ，x ＝ek时，y max ＝lne e k＝ke，又y ≤1e 对于x ＞0恒成立∴k e ≤1e ，得k ≤1又kx ＞0，x ＞0，∴k ＞0，∴0＜k ≤1.3.(2019·江西文，10)在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a∈R )的图像不可能．．．的是( )[答案] B[解析] 若a ＝0时，两函数分别为y ＝－x 和y ＝x ，选项D 此时合适，若a ≠0时，设f 1(x )＝ax 2－x ＋a2，设f 2(x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋af 2′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，①若a >0，易知f 2(x )的极大值为f (13a )＝427a ＋a ，极小值为f (1a )＝a ，而f 1(x )图象此时开口向上，对称轴为x ＝12a >0且f 1(1a )＝f 1(0)＝a2，f 2(0)＝a ，A 、C 均适合．(2)若a <0，f 1(x )图象开口向下，对称轴为x ＝12a <0 ，f (1a )＝f 1(0)＝a 2<0，而f 2(1a)>a <0，比较知0>a 2>a ，也就是说当x ＝1a时函数f 2(x )图象为极大值而此时f 1(x )图象对应的点应该在(1a ，f 2(1a))上方，而B 选项中显然右下方，因而B 不可能．4．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25 D ．50[答案] C[解析] 如图，设∠NOB ＝θ，则矩形面积S ＝5sin θ·2·5cos θ＝50sin θ·cos θ＝25sin 2θ，故S max ＝25.二、填空题5.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法有________[答案] ①④[解析] 从图像上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )>0 ，所以f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上是增函数，①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(－1，1)上是减函数，所以②，③错误；当0<x <1时，f (x )在区间(0,1)上递减，而在(1，＋∞)上递增，故f (x )在x ＝1处取极小值，故④正确．6.已知函数f (x )＝log ax ＋2x，当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，则a 的取值范围是____________．[答案] 1＜a ≤4 2[解析] 要使得当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立，只需保证当x ∈[1,4]时，f (x )min ≥2即可，因此问题转化为先求函数f (x )＝log a x ＋2x 在区间[1,4]上的最小值，再结合不等式求得a 的取值范围．考虑到f (x )＝log ax ＋2x的导数不好求，可以先采用换元的办法，利用导数法求出真数的最值，再考虑函数f (x )的最小值，但要注意对底数a 加以讨论．令h (x )＝x ＋2x ＝4x ＋16x＋16，x ∈[1,4]．∵h ′(x )＝4－16x2＝x －x ＋x2，x ∈[1,4]．∴当1≤x ＜2时，h ′(x )＜0，当2＜x ≤4时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在[1,2]上是单调减函数，在[2,4]上是单调增函数， ∴h (x )min ＝h (2)＝32，∴h (x )max ＝h (1)＝h (4)＝36. ∴当0＜a ＜1时，有f (x )min ＝log a 36，当a ＞1 时，有f (x )min ＝log a 32. ∵当x ∈[1,4]时，f (x )≥2恒成立， ∴f (x )min ≥2.∴满足条件的a 的值满足下列不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 36≥2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 32≥2，②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a ≤4 2. 综上所述，满足条件的a 的取值范围是：1＜a ≤4 2.三、解答题7.(2019·全国大纲，22)函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)．讨论f (x )的单调性；[解析] f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2ax ＋x ＋a2.①当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．②当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数． ③当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1,0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数． 8.设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．[分析] (1)先求f ′(x )，写出g (x )，对g (x )求导，g ′(x )>0求得增区间，g ′(x )<0求得减区间；(2)作差构造函数h (x )＝g (x )－g (1x)，对h (x )求导，判定其单调性，进一步求出最值，与0比较大小；(3)利用(1)的结论求解．[解析] (1)f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，g (x )＝ln x ＋1x.∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0得x ＝1，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴(0,1)是g (x )的单调减区间当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.∴(1，＋∞)是g (x )的单调增区间因此当x ＝1时g (x )取极小值，且x ＝1是唯一极值点，从而是最小值点．所以g (x )最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x令h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，h ′(x )＝－x －2x2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时h ′(x )<0，h ′(1)＝0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递减当x ∈(0,1)时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)综上知，当x ∈(0,1)时，g (x )>g (1x)，当x ＝1时，g (x )＝g (1x)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<g (1x)(3)由(1)可知g (x )最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立等价于g (a )－1<1a，即ln a <1，解得0<a <e.所以a 的取值范围是(0，e)[点评] 本题考查了求导公式、导数应用、不等式恒成立等知识以及分类计论思想、转化与化归思想等．。

北师大版数学高二-选修1教案 4.2.2最大值、最小值问题

第四课时 4.2.2最大值、最小值问题学习目的：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤学习重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．学习难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．一.知识回顾一、函数极值的定义一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y 极大值=f(x0)，x0是极大值点.如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值,记作y 极小值=f(x0)，x0是极小值点.极大值与极小值统称为极值. 注意:1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量x 的值，极值指的是函数值y.2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值.二、求函数f(x)的极值的步骤:(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根(x 为极值点.)(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.注意:如果函数f(x)在x0处取得极值,意味着0)(x f 0='反之不一定成立！！！如y=x 3二.新课探究[]()?,,,133.1大值、极小值吗你能找出它的极图象的上函数观察区间如图x f y b a =-()()()()()()()是极大值的极小值是函数我们发现观察图象642531,,,,,,,x f x f x f x f y x f x f x f =()[]?,大值、最小值吗上的最在区间你能找出函数探究b a x f y =()[]()().,,,133.13x f a f b a x f y 最小值是上最大值是在区间函数可以看出从图=-x133.1-图[]()[]?,?,,,,153.1143.1么什最大值和最小值分别是如果有小值吗上有最大值、最它们在的图象上的函数观察中、在图b a x f y b a =--[]().,,,最大值和最小值那么它必有不断的曲线续图象是一条连的上函数如果在区间一般地x f y b a = ().,,,,153.1143.1与最小值可以求出函数的最大值就比较连同端点的函数值进行所有极值的只要把函数不难看出中的例子以及函数极值、图结合图x f y =--一、最值的概念(最大值与最小值))x153.1-图如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.最值是相对函数定义域整体而言的.注意:1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;2.最大值一定比最小值大.抽象概括：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.二.如何求函数的最值?(1)利用函数的单调性;如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.(2)利用函数的图象;如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值.(3)利用函数的导数;利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:(1)求f(x)在区间[a,b]内极值(极大值或极小值)(2)将y=f(x)的各极值与f (a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值例题分析：例1.求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值。

2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2同步配套课时跟踪训练：(十三) 最大值、最小值问题 Word版含解析

课时跟踪训练(十三) 最大值、最小值问题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( )A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能2．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－13．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )C ．[1， D.(1，4.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d 3B.d 2C.33d D.22d5．设x 0是函数f (x )＝12(e x ＋e －x )的最小值点，则曲线上点(x 0，f (x 0))处的切线方程是________． 6．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.7．求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．8．(江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问：x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问：x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．答案1．选A2．选B f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1.3．选A f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数． ∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2， f (x )的最小值为f (0)＝12. 4．选C 设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C.5．解析：f ′(x )＝12(e x －e －x )，令f ′(x )＝0，∴x ＝0，可知x 0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f ′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y ＝1.答案：y ＝16．解析：令f ′(x )＝3x 2－12＝0，解得x ＝±2.计算f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，故M －m ＝32.答案：327．解：∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)， ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0，即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2；x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5.8．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。