高中数学必修一 函数单调性教案(知识点+例题+练习)

学员姓名

年级

辅导科

目

数学

课程类

型

1对1

任课老师

班组

课题函数的单调性

课型□预习课□同步课□复习课□习题课课次

授课日期及时段

教学目标1.掌握函数单调性的定义和求单调性的方法

2.掌握复合函数单调性判断的方法

3.掌握分段函数的单调性判断方法

重难点

重点：

难点：

教学及学习方法

教学方法：

学习方法：

教学内容

【基础知识网络总结与巩固】

本节考点：

考点回顾

考点一考点二考点三

【上节知识回顾】

【本节知识要点】

知识点一

函数单调性定义：

单调区间的定义：

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y＝f(x)的单调区间．

知识点二

一、复合函数的定义

设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.

二、复合函数单调性相关定理

引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.)

证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.

因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).

因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，

故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.

因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).

因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.

规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。

【重难点例题启发与方法总结】

题型一求函数单调性区间

2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()

【解析】 由已知得，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.

∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6. 【答案】 C

7．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫

13x

－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．

【解析】 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上单调递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.

【答案】 3

8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，

g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．

【解析】 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧x 2，x >1，

0，x ＝1，－x 2

，x <1，

函数的图象如图所示，其递减区间为[0，1)．

【答案】 [0，1)

9．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．

【解析】 f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧

2x ＋a ，x ≥－a

2

，

－2x －a ，x <－a

2.

∵函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a

2，＋∞， ∴－a

2＝3，∴a ＝－6.

【答案】 －6

10．已知f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，

－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是

________．

【解析】 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，

四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：

例3 (89·全国·理)已知函数f(x)=8+2x -x 2，如果g(x)=f(2-x 2)，那么g(x) ( ) (A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数； (C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.

解：令g(x)=f(u)=-(u -1) 2+9，u=2-x 2，则

(1) g(x) =-(u -1) 2+9在u ∈(-∞，1]上是增函数，与u=2-x 2具有相同的增减性， 由2-x 2≤1得 x ≤-1或x ≥1，而u 在x ∈(-∞，-1]上是增函数， u 在x ∈[1,+∞)上是减函数，

∴g(x)在区间(-∞，-1]上是增函数, 在区间[1，+∞)上是减函数.

(2) g(x) =-(u -1) 2+9在u ∈[1,+∞)上是减函数，与u=2-x 2具有相反的增减性， 由2-x 2≥1得 -1≤x ≤1，而u=2-x 2在x ∈ [-1,0] 上是增函数， 在x ∈(0， 1)上是减函数，

∴g(x) =-(u -1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1)上是增函数. 故选(A).

题型四 分段函数

分段函数的单调性问题，一定要保证各段上同增（减）和上、下段间端点值间的大小关系．

例：(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪

=⎨⎛⎫

-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩

是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是_______． 【分析】因为()f x 是R 上的单调递增函数，所以1402422a a

a a ⎧

⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝

⎭⎩，解得48a ≤<，

所以实数a 的取值范围是[)4,8．

【易错点】忽视在定义域两段区间分界点上的函数值的大小而致误． 【练一练】

1.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧（a －3）x ＋5，x ≤1，2a x ，x ＞1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是________.

【答案】 (0，2]

【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪

⎧a －3＜0，a ＞0，a －3＋5≥2a ，

解得0＜a ≤2.

2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）

x 1－x 2

<0成立，则实数a 的

取值范围为____________． 【答案】⎝

⎛⎦⎥⎤－∞，138