2017-2018学年高中数学选修4-5课件北师大版1.4不等式的证明1.4.2
高三理科数学第一轮复习选修4-5§2：几个重要不等式的证明及其应用
选修4-5：不等式选讲 §2：几个重要不等式的证明及其应用
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2017-2018学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式第1节第2课时基本不等式创新应用新人教A选修4-5
[核心必知]
1．定理 1
如果 a，b∈R，那么 a2＋b2 ≥ 当 a＝b 时，等号成立．
2ab，当且仅
2．定理 2(基本不等式)
如果 a，b＞0，那么a＋2 b ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，
等号成立．即：两个
正数
的算术平
均 不小于(即大于或等于)
它们的几何平均．
3．算术平均与几何平均
∴当 x＝35 时，f(x)有最小值，此时 y2≈10 069.7＜10 989.
∴该厂应接受此优惠条件．
本课时经常考查基本不等式在求函数最值中的
应用，其中，建立函数模型，利用基本不等式求解最
值问题是高考的热点．
[考题印证]
(陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别
为 a 和 b(a<b)，其全程的平均时速为 v，则( )
a＋b
如果 a，b 都是正数，我们就称 2
为 a，b
的算术平均， ab 为 a，b 的几何平均．
4．利用基本不等式求最值
对两个正实数 x，y，(1)如果它们的和 S 是定值，则 当且仅当 x＝y 时，它们的积 P 取得最 大 值；
(2)如果它们的积 P 是定值，则当且仅当 x＝y 时，
它们的和 S 取得最 小 值．
结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变 形形式进行证明．
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式，然后利 用同向不等式的可加性或可乘性得出所证的不等式， 要注意不等式性质的使用条件，对“当且仅当……时 取等号”这句话要搞清楚．
1．设 a，b，c∈R＋，求证： a2＋b2＋ b2＋c2＋ c2＋a2≥ 2(a＋b＋c)．
则 f(x1)－f(x2)＝x1＋1x010－x2＋1x020 ＝（x2－x1）x（1x1200－x1x2）. ∵x2＞x1≥35，∴x2－x1＞0，x1x2＞0，100－x1x2＜0,
2019_2020学年高中数学第1章不等式的基本性质和证明的基本方法1.5.3反证法和放缩法课件新人教B版选修4_5
1.5 不等式证明的基本方法 1.5.3 反证法和放缩法
学习目标：1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法 证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不 等式．
自主预习 探新知
教材整理 1 反证法 首先假设要证明的命题是 不正确的 ，然后利用公理 ，已有的 _定__义__、__定__理__，命题的条件 逐步分析，得到和_命__题__的__条__件__(_或__已__证__明__过_ _的__定__理__，__或__明__显__成__立__的__事__实__)_矛盾的结论，以此说明 假设的结论 不 成立，从而原来结论是 正确 ，这种方法称作反证法．
[精彩点拨] 针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配 方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的．
[自主解答]
x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋43y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y，
同理可得： y2＋yz＋z2≥y＋2z，
z2＋zx＋x2≥z＋2x.
∴1＋ab>a2＋b2≥2ab， 从而 ab<1. ∴a2＋b2<1＋ab<2. ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4. 而由假设 a＋b>2，得(a＋b)2>4，出现矛盾，故假设不成立，原 结论成立，即 a＋b≤2.
反证法与放缩法的特点
[探究问题] 1．反证法的一般步骤是什么？ [提示] 证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论 进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．
∴(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤614，
②
因此①式与②式矛盾．
故假设不成立，即原命题成立．
高三数学北师大版(理)复习课件选修4-5 不等式选讲
课 堂
要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
题 型
只需|a|≥3，∴a≥3 或 a≤－3.]
全
突
课 后 限 时 集 训
破
返 首 页
课 前
5．已知 a，b，c
是正实数，且
a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．
真 题
知 识
9 [∵a＋b＋c＝1，
自 主
全
验
通 关
∴1a＋1b＋1c＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc
则 x1－x22＋y1－y22＋ x2－x32＋y2－y32≥ x1－x32＋y1－y32. (4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是 实数，则(a12＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当
课 堂 题 型
所以1＋1x1＋1y＝1＋1x＋1y＋x1y＝1＋x＋xyy＋x1y＝1＋x2y≥1＋8＝9.
全
突 破
当且仅当 x＝y＝12时，等号成立．
课 后 限 时 集 训
返 首 页
课
真
前
应用不等式解决最值问题
题
知
自
识
主
全 通
►考法 1 利用基本不等式求最值
验 效
关
果
【例 3】 (2014·全国卷Ⅰ)若 a>0，b>0，且1a＋1b＝ ab.
验 效
关
果
(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解；
课
堂 题
②利用零点分段法求解；
不等关系与基本不等式 1.4 第3课时 不等式的证明——反证法、放缩法、几何法学案 北师大版选修4-5
第3课时 不等式的证明——反证法、放缩法、几何法1．了解放缩法、反证法、几何法的概念；理解用反证法、放缩法、几何法证明不等式的步骤．(重点)2．会用反证法、放缩法、几何法证明一些简单的不等式．(难点)[基础·初探]教材整理1 放缩法与几何法 阅读教材P 18～P 20，完成下列问题． 1．放缩法证明命题时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．2．几何法通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分式的放缩可以通过放大(或缩小)分子(或分母)来进行．( ) (2)整式的放缩可以通过加减项来进行．( ) (3)从a b <a ＋mb来看，这是通过扩大分子达到了放大的目的．( ) 【解析】 根据放缩法的定义知(1)(2)正确，而(3)中，因m 的符号不定，所以不一定达到放大的目的，故错误．【答案】 (1)√ (2)√ (3)× 教材整理2 反证法阅读教材P 20～P 21，完成下列问题．通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立的证明方法叫反证法．其证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法与同一法实质上是一致的．( )(2)证明“至少”“至多”“否定性命题”时宜用反证法．( )(3)证明结论“a ，b ，c 至少一个为负数”时，提出假设可以是“a ，b ，c 至多有两个为负数”．( )【解析】 (1)× 从原理上分析，两种方法截然不同． (2)√ 反证法适合于证明这种类型．(3)× 假设应为“a ，b ，c 没有一个为负数”． 【答案】 (1)× (2)√ (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.【导学号：94910023】【精彩点拨】 当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明．凡涉及否定性、惟一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．【自主解答】 假设三式同时大于14，即b －ab >14，c －bc >14，a －ac >14，三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >164. ①∵0<a <1，∴(1－a )a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14.同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14.又(1－a )a ，(1－b )b ，(1－c )c 均大于零， ∴(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤164， ②因此①式与②式矛盾． 故假设不成立，即原命题成立．1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论， 不从结论的反面推理，就不是反证法．2．利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理推出与已知条件或定理事实相矛盾，或自相矛盾．[再练一题]1．若0<a <2,0<b <2,0<c <2.求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时大于1.【证明】 假设⎩⎪⎨⎪⎧－a b >1，－b c >1，－c a >1，那么－a ＋b 2≥－a b >1. ① 同理－b ＋c2>1， ② －c ＋a2>1. ③①＋②＋③得3>3，矛盾．所以原命题得证.(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；(2)|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.【精彩点拨】 (1)把f (1)，f (2)，f (3)代入函数f (x )求值推算可得结论． (2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．【自主解答】 (1)f (1)＋f (3)－2f (2) ＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)用反证法证明．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则有|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.又∵|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2， 互相矛盾，∴假设不成立，∴|f (1)|，|f (2)|， |f (3)|中至少有一个不小于12.1．当证明的题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明，在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立．2．在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾．[再练一题]2．已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，求证：y ＝f (x )在区间(a ，b )上至多有一个零点．【证明】 假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上至少有两个零点．不妨设x 1，x 2(x 1≠x 2)为函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上的两个零点，且x 1<x 2，则f (x 1)＝f (x 2)＝0.∵函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上为增函数，x 1，x 2∈(a ，b )且x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)，与f (x 1)＝f (x 2)＝0矛盾，∴原假设不成立．∴函数y ＝f (x )在(a ，b )上至多有一个零点．[探究共研型]探究1 若将1k2放大(或缩小)，常用哪些方法？【提示】 将分子或分母放大(缩小)：1k 2<1kk －(k >1)，1k 2>1kk ＋，1k <2k ＋k －1(k >1)，1k >2k ＋k ＋1(k >1)等．探究2 在整式放缩中，常用到哪些性质？【提示】 在整式的放缩中，常用到不等式的性质．绝对值不等式、平均值不等式等．如a ＋b ≥2ab (a ，b 为正数)，a 2＋b 2≥2ab ，|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |等．已知a n ＝2n 2，n 为正整数，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.【精彩点拨】 针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项． 【自主解答】 ∵当n ≥2时，a n ＝2n 2＞2n (n －1)， ∴1a n ＝12n 2＜12nn －＝12·1nn －＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n n －1 ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n ＜32，即1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜32.放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，谨慎地添或减是放缩法的基本策略.[再练一题]3．求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2，n ∈为正整数)．【证明】 ∵k 2>k (k －1)， ∴1k 2<1k k －＝1k －1－1k(k 为正整数，且n ≥2)， 分别令k ＝2,3，…，n 得122<11·2＝1－12，132<12·3＝12－13， (1)n 2<1nn －＝1n －1－1n， 因此1＋122＋132＋…＋1n2<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋1－1n ＝2－1n，故不等式1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n 为正整数)成立．[构建·体系]1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0【解析】 实数a ，b ，c 不全为0的含义即是a ，b ，c 中至少有一个不为0，其否定则是a ，b ，c 全为0，故选D.【答案】 D2．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ac >0，abc >0，用反证法求证a >0，b >0，c >0时的假设为( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a ≤0，b >0，c >0 C ．a ，b ，c 不全是正数 D ．abc <0【答案】 C3．已知a ，b ，c ，d 都是正数，S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b，则有( )A ．S <1B ．S >1C ．S >2D ．以上都不对【解析】 S >1a ＋b ＋c ＋d(a ＋b ＋c ＋d )＝1.【答案】 B4．已知a 为正数，则12a ，12a ＋1，1a ＋a ＋1从大到小的顺序为__________.【导学号：94910024】【解析】 ∵a ＋a ＋1>a ＋a ＝2a ，a ＋a ＋1<a ＋1＋a ＋1＝2a ＋1，∴2a <a ＋a ＋1<2a ＋1， ∴12a>1a ＋a ＋1>12a ＋1.【答案】12a>1a ＋a ＋1>12a ＋15．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R . (1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． 【证明】 (1)∵a ＋b ≥0， ∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性得：f (a )≥f (－b )． 又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )．两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)命题(1)的逆命题为：若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0. 逆命题成立．下面用反证法证之． 假设a ＋b <0，那么：⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b <0⇒a <－b ⇒f a f －b ，a ＋b <0⇒b <－a ⇒f bf －a⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故只有：a ＋b ≥0.逆命题得证．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(八) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，则( )A ．∠B ＝π2B ．∠B <π2C ．∠B >π2D ．∠B ＝π3【解析】 假设∠B ≥π2，则b 最大，有b >a ，b >c ，∴1a >1b ，1c >1b .∴1a ＋1c >2b，与题意中的1a ＋1c ＝2b矛盾．∴∠B <π2.【答案】 B2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ) ①否定原结论的假设；②原命题的条件； ③公理、定理、定义等；④原结论． A ．①② B ．①②④ C ．①②③D ．②③【解析】 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反情况作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】 C3．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3b ”时，假设的内容是( ) A.3a ＝3bB ．3a <3bC.3a ＝3b 且3a <3bD ．3a ＝3b 或3a <3b【解析】 应假设3a ≤3b ，即3a ＝3b 或3a <3b . 【答案】 D 4．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝－a 2＋4a (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p <q C ．p ≥qD ．p ≤q【解析】 ∵p ＝(a －2)＋1a －2＋2， 又a －2>0，∴p ≥2＋2＝4，而q ＝－(a －2)2＋4，根据a >2，可得q <4，∴p >q . 【答案】 A5．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定【解析】M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<＝210210＝1.故选B.【答案】 B 二、填空题6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设应为__________．【解析】 “至少有一个不大于”的反面应是“都大于”． 【答案】 假设三内角都大于60° 7．若a >b >0，m >0，n >0，则a b ，b a ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n，按由小到大的顺序排列为________．【解析】 由不等式a >b >0，m >0，n >0，知b a <b ＋m a ＋m <1，且b a <b ＋na ＋n<1， 得a b >a ＋nb ＋n >1， 即1<a ＋nb ＋n <ab. 【答案】 b a <b ＋m a ＋m <a ＋n b ＋n <ab8．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A ，B 的大小关系为__________.【导学号：94910025】【解析】 B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y1＋x ＋y＝A ，即A <B .【答案】 A <B三、解答题9．已知a >0，b >0，且a ＋b >2， 求证：1＋b a ，1＋a b中至少有一个小于2.【证明】 假设1＋b a ，1＋a b都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋ab≥2.∵a >0，b >0，∴1＋b ≥2a,1＋a ≥2b ，∴2＋a ＋b ≥2(a ＋b )，即2≥a ＋b ， 这与a ＋b >2矛盾．故假设不成立．即1＋b a ，1＋a b中至少有一个小于2.10．已知△ABC 三边长是a ，b ，c ，且m 是正数，求证：aa ＋m ＋bb ＋m >cc ＋m.【证明】 设f (x )＝xx ＋m＝1－mx ＋m(x >0，m >0)．易知函数f (x )(x >0)是增函数． 则f (a )＋f (b )＝aa ＋m ＋bb ＋m>a a ＋b ＋m ＋ba ＋b ＋m＝a ＋ba ＋b ＋m＝f (a ＋b )．又在△ABC 中，a ＋b >c >0， ∴f (a ＋b )>f (c )＝cc ＋m，∴aa ＋m ＋bb ＋m >cc ＋m.[能力提升]1．已知x ＝a ＋1a －2(a >2)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2(b <0)，则x ，y 之间的大小关系是( ) A ．x >y B ．x <y C ．x ＝yD ．不能确定【解析】 因为x ＝a －2＋1a －2＋2≥2＋2＝4(a >2)， 而b 2－2>－2(b <0)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12-2＝4. 所以x >y .【答案】 A2．若|a |<1，|b |<1，则( )A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＝1 B ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≤1 D ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1 【解析】 假设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1， 故|a ＋b |≥|1＋ab | ⇒a 2＋b 2＋2ab ≥1＋2ab ＋a 2b 2 ⇒a 2＋b 2－1－a 2b 2≥0 ⇒a 2(1－b 2)－(1－b 2)≥0 ⇒(a 2－1)(1－b 2)≥0. 由上式知a 2－1≤0,1－b 2≤0或a 2－1≥0,1－b 2≥0.与已知矛盾，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1. 【答案】 B3．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件是________．【解析】 对于①，a ，b 均可小于1；对于②，a ，b 均可等于1；对于④⑤，a ，b 均可为负数；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2，与③矛盾．故若③成立，则“a ，b 中至少有一个实数大于1”成立．【答案】 ③4．若0<a <1n ，n ≥2，且n 为正整数，已知a 2<a －b ，求证：b <1n ＋1. 【证明】 由已知得b <a －a 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.令f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，则f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12内是增函数，又n ≥2，n 为正整数，且0<a <1n ，因此a ，1n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，从而b <－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －122＋14＝－1n 2＋1n .又－1n 2＋1n ＝n －1n 2<n －1n 2－1＝1n ＋1， 故b <1n ＋1.。
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4不等式的证明1.4.1比较法分析法课件北师大版选修4_5
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§4 不等式的证明
-1-
第1课时 比较法、分析法
-2-
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.理解用比较法、分析法证明不等式的一般方法和步骤,并能证 明具体的不等式.
2.理解不等式证明方法的意义,并掌握不等式中取得等号的条件.
A.M≥N B.M≤N
C.M=N D.不能确定
解析:∵M-N=x2+y2+1-(x+y+xy)
=12[(x2+y2-2xy)+(x2-2x+1)+(y2-2y+1)] =12[(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2]≥0,
∴M≥N.
答案:A
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Z 知识梳理 HISHISHULI
D 典例透析 IANLITOUXI
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②证明步骤:作商→变形→判断与1的大小关系→下结论.
名师点拨在求商比较法中, ������
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1⇒b>a
是不0,由 ������ > 1, 可得b>a,
高中数学北师大选修4-5课件：1.3.1平均值不等式
§3平均值不等式第1课时平均值不等式学习目标导航1.了解两个（三个）正数的算术平均值与几何平均值.（易错、易误点）2.掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式.（重点'难点）<__________________________________________________________________________________阶段1 L认知预习质疑（知识梳理要点芬稻I）［基础•初探］教材整理平均值不等式阅读教材Pg〜P|2 “思考交流”以上部分，完成下列问题.1.定理1：对任意实数"，几有2+茫2呗当且仅当小时取“二”号）.2.定理2：对任意两个正数"，b,有导五（当且仅当二时取“二”号）.语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.3.定理3：对任意三个正数〃，b, c,有/+沪+c。
％bc（当且仅当二c时取“=”号）.4.定理4：对任意三个正数”，b, c,有"+：+心〈殛（当且仅当a=b= c时取“二”号）.语言叙述为：三个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值.。
微依验。
判断(正确的打“J”,错误的打“X”)(彷+》2.()(2)出22.()(3)当"，b, c不全为正数时，莎成立⑷击+戸・()【解析】(1)X当兀＞0时,x+、2,当兀＜0时,兀+生一2.X X因为e、0,・：『+丄当且仅当x=0时取等号.22,［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: ________________________________________如 b=c=~l 时, ”+b+c 1 , 3——、、「亠〃+b+c (4)X 当。
,b,沖号时，彳,p 为为正数，有驚+许3,当且仅当“ =b=c 时取等号.【答案】(l)x (2)7 (3)X ⑷X解惑：_____________________________________________ 疑问2：________________________________________ 解惑：_____________________________________________ 疑问3：________________________________________>例£1 命题：①任意 x 〉0, lg x+乙22；②任意 xGR, t/A +^^2（t/>0其中真命题有（）B.③④C •②③ D.①②③④【精彩点拨】关键看是否满足平均值不等式. ［小组合作型］卜平均值不等式的条件判定 IL 且6/7^1）；③任意圧0,㊁，tanx+ 衲$2；④任意圧R, sm+点泡A ・③【自主解答】在①，④中，lg圧R, sin%G[-l?l],不能确定lgQO与sinx>0,因此①，④是假命题.在②中，/〉0, /+土22十+=2,当且仅当汁0时取等号，故②是真命题./ \7T 1在③中，当xGO, c时，tanx>0,有tanx+—^2,且兀=斗时取等号，\ 厶）tan x 4故③是真命题.【答案】c名师區本题主要涉及平均值不等式成立的条件及取等号的条件.在定理1和定理2 中，是等号成立的充要条件.但两个定理有区别又有联系:⑴字2畑是"2+^22〃的特例，但二者适用范围不同，前者要求〃，b均为正数，后者只要求"，0GR；⑵“，b大于0是字师的充分不必要条件；“，b为实数是a2-\-b2^lab的充要条件.［再练一题］1•设"，b为实数，且ab>0,下列不等式中一定成立的个数是（）【导学号：94910010］j2 2④卅丸+0.A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】血〉0, •冷+》2\普=2,①成立; 〃，b<0时，②不成立;当〃=一1, b=~2时，④不成立.因此，①③成立.【笞案】B类型2►证明简单的不等式⑴已知〃，b, cWR.求证：芳+/A?+c方;(2)设",b, c都是正数,求证:手+計兽+b+c.【精彩点拨】本题考查平均值不等式及不等式的性质等基础知识，同时考查推理论证能力•解答此题需要先观察所求式子的结构，然后拆成平均值不等式的和，再进行证明.【自主解答】（1）/+虑2"昵司理”4+『22"沅沪+『22必2, 将以上三个不等式相加得：/+//+/+c°+b°+c" 2 2"铝+lac + 2Z?2C2,即t/4+b4+c4a I D +a c + lo c.(2)：•当〃>0, b>0 时，a+b22莎将以上三个不等式相加得:be , ac , ab}^ .,2 —+「+—22(〃+b+c), 10 c)名师區平均值不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用平均值不等式的切入点.但应注意连续多次使用平均值不等式定理的等号成立的条件是否保持一致.[再练一题][1 ]}2.设〃，b, c 为正数，求证：\(4 U V【证明】Vu>0, 0〉0, c〉0,亦+右+弓@ + 0 + (?)2当且仅当“二b=c时，等号成立.故原不等式成立.【提示】穴鳶W 遍W 字W齐. ［探究共研型］关系?探究点I 平均值不等式的变式及条件不等 \式的证明探究1不等式字2扳/ j I h I 厂 、 2乂赢成立的条件都是ci, b, c 为在条件b 馮＞0成立时，”, +" b 之间有怎样的大小 lab探究2若问题中一端岀现“和式”，另一端岀现“积式”时，这便是应用不等式的“题眼”，那么若条件中有“和式为1”时，应如何思考？【提示】应用平均值不等式时，一定要注意条件〃>0, b>0, c>0.若有“和式为1”时，常反过来应用“1”的代换，即把“1”化成“和”，再试着应用平均值不等式.3 已知QO, b〉O, c〉O,求证:(1)十(2)\1?+方2+寸卩+c?+寸r+t?》仮〃+b+c)・【精彩点拨】⑴式两端均是“和”，不能直接利用平均值不等式，解决的关键是对、学的处理，先考虑平方关系，化难为易；（2）注意两边都是“和”式，可利用⑴题的结论.3 已知QO, b〉O, c〉O,求证:【自主解答】（1）・・・/+/劾, 2（（?+X） 2 （“+，.F + 员、（" + 0）2•: 2 " 4 _•a+b la2~hb2 又QO, b〉O, •••-y-W⑵由(1)得话舀孑+b).同理:3+c2$¥(b+c), pF+C 三式相加得：寸/+X+&+/+寸庄当且仅当a=b=c时，取“二”号.（〃 +c）・名师血--------------------- ( I > /.2|r21.第(2)问利用了第(1)问的结论亍W冷才记住这一结论可帮我们找到解题思路，但此不等式要给予证明.2.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此平均值不等式a2+b2^2ab的形式可以是a2^2ab-b2,2 I >2 .2 12也可以是―,—,还可以是22b(〃>0), —22b—ci等.解题时不仅要L a ct会利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用.［再练一题］、O2 If 251)23.已知/ 肚(0, +°°),且”+b=l,求证：u+- + /?+? 2了. \ uj \ UJ L 【证明】因为〃，bG(O, +°°)>且〃+b=l, 所以迓，当且仅当a=b时，等号成立，所以血wgwbW治加4,/+長=：("+防2-2“/?=1一2“b21—2Xgp, /+卩？亦(,1> , ( , 1> ,1,11, , 25 〃+一 + b-\~T =/+/?~+4+二+二2亍+4+8=牙，V ci) b) a b 22f 1]2 1]2 25所以+州泻.\ a丿、。
高中数学北师大版选修4-5第二章几个重要的不等式课件 (共5份打包)
[互动探究]若将本例条件变为2x＋3y＝1，情况如何？
解：由柯西不等式，得 (x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2， 当且仅当2x＝3y时取等号．
因为 2x＋3y＝1，所以 13(x2＋y2)≥1，即 x2＋y2≥113. 由22x＝x＋3y3，y＝1，得xy＝ ＝113233.， 故当 x＝123，y＝133时，x2＋y2 取得最小值，最小值为113.
利用柯西不Leabharlann 式求最值若 3x ＋ 4y ＝ 2 ， 试 求 x2 ＋ y2 的 最 小值及取得最小值时x，y的值．
解：由柯西不等式，得 (x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2， 当且仅当3x＝4y时等号成立． 因为 3x＋4y＝2，所以 25(x2＋y2)≥4，
即 x2＋y2≥245. 由33x＝x＋4y4，y＝2，得xy＝ ＝228655.， 故当 x＝265，y＝285时，x2＋y2 取得最小值，最小值为245.
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懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属��
第2讲 不等式选讲(选修4-5)
2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋3（a＋4 b）2·(a＋b)＝2＋3（a＋4 b）3，
所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
[思维升华] 1．证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析 法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的 关键是找到证明的切入点． 2．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系 时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键 是推理的每一步必须可逆．在不等式的证明中，一要善于 对“式子”恰当转化变形，二要注意等号成立的条件．
[变式训练] 设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0 的解 集为 M，且 a，b∈M.
(1)证明：13a＋16b＜14. (2)比较|1－4ab|与 2|a－b|的大小，并说明理由． (1)证明：记 f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝ 3－，2xx≤－－1，2－，2＜x＜1， －3，x≥1.
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知 a，b，c 为正数，且满足 abc ＝1.证明：
(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 证明：(1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥ 2ac， 又 abc＝1， 故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋abbcc＋ca＝1a＋1b＋1c.
(2)若 f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合12，1，求实数 a
的取值范围．
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝|x－1|＋|2x－1|.
f(x)≤2⇒|x－， 1－x＋1－2x≤2，
2018学年北师大版高中数学选修4-5课件 第一章 不等关系与基本不等式 本章高效整合1 精品
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内容精要：本章是在复习已有的不等式知识(不等式的性 质，基本不等式等)的基础上，继续学习不等式的知识，包括 一些关于绝对值不等式的性质；平均不等式；证明不等式的方 法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法；不等式的应 用等等．本章知识的重点是不等式的基本性质，求解绝对值不 等式和运用不等式的基本方法解决实际问题，掌握证明不等式 的基本方法与技巧．
2．会利用不等式求最大(小)值． 3．了解比较法、分析法、综合法和放缩法、反证法等不 等式的证明方法． 4．会利用不等式解决一些简单的实际问题．
[命题探究]
本章为选修部分新增内容，也是选考内容，命题时，主要 题型有：含有绝对值不等式的解法，利用含有绝对值的重要不 等式证明不等式问题，用比较法、综合法、分析法、放缩法、 反证法证明简单的不等式，难度通常为中档题．
课标要求：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值 不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|. (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋ b|≤c；|ax ＋ b|≥c ；|x－ a|＋|x － b|≥c；|x －a| ＋|x － b|≤c.
4．反证法和放缩法证明不等式 反证法和放缩法 (1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公 理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的 条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设 的结论不成立，从而原来的命题结论正确．
(2) 放 缩 法 ： 将 需 要 证 明 的 不 等 式 的 值 适 当 地 放 大 ( 或 缩 小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．
两个不等式中等号成立的条件都是 a＝b，且 a＝b 是不等 式中等号成立的充要条件．
2017-2018学年高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明不等式的基本方法 1.5.1 比较法课件 新人教B版选修4-
一、选择题
1．下列关系中对任意 a＜b＜0 的实数都成立的是 ( )
A．a2＜b2
B．lgb2<lga2
C．ba>1
D．
1 2
a
2
＞
1 2
b2
解析：∵a＜b＜0，∴－a>－b>0.
(－a)2>(－b)2>0.
即 a2>b2>0. ∴ab22＜1.
又 lg b2－lg a2＝lgba22＜lg 1＝0. ∴lg b2＜lg a2.
1．已知 x>－1，求证： 1＋x≤1＋x2. 证明：∵x＞－1，
∴1＋x>0， 1＋x>0. ∵ 1＋x－(1＋x2)＝ 1＋x－x＋21＋1 ＝ x＋1－x＋2 1－12 ＝－12[(x＋1)－2 x＋1＋1] ＝－12( x＋1－1)2≤0， ∴ 1＋x≤1＋x2.
比较法的实际应用
[例 2] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲 有一半时间以速度 m 行走，另一半以速度 n 行走；乙有一半路 程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走．如果 m≠n，问 甲、乙二人谁先到达指定地点？
[小问题·大思维]
作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？ 提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等 式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个 数(或式子)与 0 的大小关系.
比较法证明不等式
[例 1] 求证：(1)当 x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2；
a+b
(2)当 a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) 2 .
(2)
aabb
a+b
a-b
2017-2018学年北师大版高中数学选修4-5第一章不等关系与基本不等式3平均值不等式学案 Word版含答案
§3 平均值不等式1．掌握定理1和定理2及其证明，并能灵活应用． 2．理解定理3和定理4及其证明，并能简单应用． 3．会用相关定理解决简单的最大(最小)值问题．1．二元均值不等式 (1)定理1：对任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥____(此式当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． (2)定理2：对任意两个正数a ，b ，有______≥ab (此式当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． 我们称______为正数a 与b 的算术平均值，______为正数a 与b 的几何平均值． 定理2可叙述为：两个正数的__________不小于它们的__________． 【做一做1－1】函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值是( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 【做一做1－2】“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．三元均值不等式及其推广 (1)定理3：对任意三个正数a ，b ，c ，有a 3＋b 3＋c 3≥____(此式当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号)． (2)定理4：对任意三个正数a ，b ，c ，有a ＋b ＋c3≥3abc (此式当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号)．定理4可叙述为：三个正数的__________不小于它们的__________． (3)n 个正数的算术几何平均不等式：一般地，对n 个正数a 1，a 2，…，a n (n ≥2)，我们把数值______________，__________分别称为这n 个正数的算术平均值与几何平均值，且有______________≥na 1a 2…a n ，此式当且仅当____________时取“＝”号，即n 个正数的算术平均值不小于它们的__________．【做一做2】设x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1．求证：1x ＋4y ＋9z≥36．答案： 1．(1)2ab (2)a ＋b 2a ＋b2ab 算术平均值 几何平均值【做一做1－1】A 原式变形为y ＝1x －3＋x －3＋3． ∵x ＞3，∴x －3＞0，∴1x －3＞0． ∴y ≥2x －3 ·1x －3＋3＝5． 当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时等号成立． 【做一做1－2】A 当a ＞b ＞0时，a 2＋b 22＞2ab2＝ab 成立，当ab ＜a 2＋b 22时，不能推出“a ＞b ＞0”，故选A ．2．(1)3abc (2)算术平均值 几何平均值 (3)a 1＋a 2＋…＋a n n n a 1a 2…a n a 1＋a 2＋…＋a nna 1＝a 2＝…＝a n 几何平均值【做一做2】分析：本题需变式出现积为定值的情况，而条件中是和为定值x ＋y ＋z ＝1，所以对所证不等式的左边需变形出现积为定值的情况．证明：1x ＋4y ＋9z ＝x ＋y ＋z x ＋4 x ＋y ＋z y ＋9 x ＋y ＋zz＝14＋⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋4x y ＋⎝⎛⎭⎪⎫z x ＋9x z ＋⎝⎛⎭⎪⎫4z y ＋9y z≥14＋4＋6＋12＝36． 当且仅当y x ＝4x y ，z x ＝9x z ，4z y ＝9y z ，且x ＋y ＋z ＝1，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．对定理1和定理2的理解 剖析：(1)a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．有些同学易忽略这一点，例如：(－1)2＋(－4)2≥2×(－1)×(－4)成立，而 －1 ＋ －42≥ －1 × －4 不成立．(2)这两个不等式都带有等号，应从两方面理解，“当且仅当……时，取‘＝’号”这句话：①当a ＝b 时，取等号，其意义是a ＝b ⇒a ＋b2＝ab ；②仅当a ＝b 时，取等号，其意义是a ＋b2＝ab ⇒a ＝b ．综合起来，其意义是：a ＝b 是a ＋b2＝ab 成立的充要条件．(3)从这两个不等式我们可以得到如下结论：a b ＋b a≥2(ab ＞0)；21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．(4)式子中的a ，b 可以是数字，也可以是复杂的代数式．题型一 利用平均值不等式证明不等式【例1】若x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9．分析：本题是有条件的证明不等式问题，要巧用“x ＋y ＝1”来证明．反思：利用平均值不等式证明不等式时，要注意把握平均值不等式的结构特点，以便灵活地用于解题，另外，式子的灵活变形，进行拆项、凑项，也是常用的方法．题型二 利用平均值不等式求最值【例2】设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．分析：利用x 2＋y 22＝1，将式子进行变形再利用定理进行求解．反思：在解题过程中，要拼凑出和为定值，利用ab ≤a ＋b2(a ＞0，b ＞0)来求解最大值．【例3】求函数f (x )＝x (5－2x )2⎝⎛⎭⎪⎫0<x <52的最大值．分析：对于x (5－2x )2无法直接利用平均值不等式求最值，可先拼凑出平均值不等式的形式后再求最值．反思：利用a ＋b ＋c ≥33abc 应注意不等式成立的条件．在求最值时，除了注意“一正”、“二定”、“三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情况．题型三 利用平均值不等式解决实际问题【例4】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a m ，高为b m ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60 m 2，问当a ，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？(A ，B 孔的面积忽略不计)分析：题意中的“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解，设为y ．由题意y 与ab 成反比，可设比例系数为k ，则y ＝kab．又由于箱体材料多少的限制，a ，b 之间应有一定的关系式，即2×2b ＋2ab ＋2a ＝60，因此该题的数学模型是：已知ab ＋a ＋2b ＝30，a ＞0，b ＞0，求a ，b 为何值时，y ＝kab最小． 反思：(1)对于分母是一次式，分子是二次式的分式Ax 2＋Bx ＋CDx ＋E，可采用本题中的变形方法．(2)本题的难度不在于建立数学模型，而在于建模后如何求函数的最值，这需要扎实的数学知识和灵活应用基本定理、公式解题的能力．(3)可以说解应用题需要过两关：一关是如何对由文字给出的应用问题建立数学模型；另一关就是对于建模后的数学模型，如何用相关的数学知识将其解答出来．题型四 易错辨析【例5】设a ，b ，x ，y ∈R ，且有a 2＋b 2＝3，x 2＋y 2＝6，求ax ＋by 的最大值． 错解：∵ax ≤a 2＋x 22，by ≤b 2＋y 22，∴ax ＋by ≤12(a 2＋b 2＋x 2＋y 2)＝92，∴ax ＋by 的最大值为92．错因分析：错解中不等式取等号的条件是当且仅当x ＝a ，y ＝b ，由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值．反思：在利用平均值不等式进行证明或求解时，一定要注意等号取得的条件是否满足，即“一正、二定、三相等”的原则．答案：【例1】证明：证法一：左边＝1＋1x ＋1y ＋1xy ＝1＋x ＋y xy ＋1xy ＝1＋2xy≥1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝9＝右边．。
2017-2018学年高中数学北师大版选修4-5教学案：第二章§2排序不等式
§2排序不等式[对应学生用书P39］错误!1．顺序和、乱序和、逆序和的概念设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥a n及b1≥b2≥…≥b n,bj1,bj2,…，bj n(其中j1，j2，…，j n是1，2，…，n的任一排列方式）,为b1，b2，…，b n的任一排列方式．则s1＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n称为顺序和；s2＝a1bj1＋a2bj2＋…＋a n bj n称为乱序和；s3＝a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1称为逆序（倒序)和．2．排序不等式(1）定理1：设a，b和c，d都是实数,如果a≥b,c≥d,那么ac＋bd≥ad＋bc。
此式当且仅当a＝b（或c＝d）时取“＝”号．(2）定理2：（排序不等式）设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥a n及b1≥b2≥…≥b n.则（顺序和)a1b1＋a2b2＋…＋a n b n≥(乱序和)a1bj1＋a2bj2＋…＋a n bj n≥（逆序和）a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1。
其中j1,j2，…，j n是1,2，…，n的任一排列方式，上式当且仅当a1＝a2＝…＝a n(或b1＝b2＝…＝b n)时取“＝”号．错误!1．定理2中哪个和最大？哪个和最小?提示：顺序和最大，逆序和最小．2．设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，那么，它们的顺序和、乱序和、逆序和大小关系如何？提示：a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n.［对应学生用书P39］利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已确定的情况［例1］已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)错误!≥错误!≥错误!；(2)错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋错误!＋错误!.［思路点拨］本题考查排序不等式及不等式的性质、证明不等式等基本知识，考查推理论证能力．解答此题只需根据a≥b≥c，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可．［精解详析］（1）∵a≥b>0，于是1a≤错误!,又c〉0,∴错误!>0，从而错误!≥错误!。
选修4-5不等式选讲
根据课程标准，本专题介绍一些重 要的不等式和它们的证明、数学归纳法 和它的简单应用。
本专题的内容是在初中阶段掌握了 不等式的基本概念，学会了一元一次不 等式、一元一次不等式组的解法，多数 学生在学习高中必修课五个模块的基础 上展开的．作为一个选修专题，教科书 在内容的呈现上保持了相对的完整性．
第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及 绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关 的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值 的不等式具有重要的意义．
• 绝对值三角不等式是一个基本的结论，教 科书首先引导学生借助于实数在数轴上的 表示和绝对值的几何意义，探究归纳出绝 对值三角不等式，接着联系向量形式的三 角不等式，得到绝对值三角不等式的几何 解释，最后用代数方法给出证明．这样， 数形结合，引导学生多角度认识这个不等 式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三 角不等式可以解决一种特殊形式的函数的 极值问题，教科书安排了一个这样的实际 问题。
• 课程标准对于本专题的几个教学内容都明 确的教学要求，如：对于解含有绝对值的 不等式，只要求能解几种特殊类型的不等 式，不要求学生会解各种类型的含有绝对 值的不等式。对于数学归纳法证明不等式 的要求也只要求会证明一些简单问题。只 要求通过一些简单问题了解证明不等式的 基本方法，会利用所学的不等式证明一些 简单不等式，等等。
数学归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。
了解当n为实数时贝努利不等式也成立。
• 8．会用上述不等式证明一些简单问 题。能够利用平均值不等式、柯西 不等式求一些特定函数的极值。
• 9．通过一些简单问题了解证明不等 式的基本方法：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法。
2018年高中数学北师大版选修4-5课件：不等式的性质与不等关系本章整合
������
π
������
∴2 sin θ+2 cos θ≤2n(sin2θ+cos2θ)=2n. ∴(1-x)n+(1+x)n≤2n.
综上所述,不等式的解集为{x|0<x<6}.
专题一
专题二
专题三
专题四
变式训练1已知函数f(x)=|x-1|. (1)解关于x的不等式f(x)+x2-1>0; (2)若g(x)=-|x+3|+m,且f(x)<g(x)的解集非空,求实数m的取值范围. 解(1)由题意,原不等式可化为|x-1|>1-x2. 由x-1>1-x2,得x>1或x<-2; 由x-1<-(1-x2),得x>1或x<0. 则x>1或x<0,故原不等式的解集为{x|x<0或x>1}. (2)原不等式等价于|x-1|+|x+3|<m的解集非空. 令h(x)=|x-1|+|x+3|,则h(x)min<m,由|x-1|+|x+3|≥|x-1-x-3|=4,所以 h(x)min=4,所以m>4. 故实数m的取值范围为(4,+∞).
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 最值及恒成立问题 关于不等式的恒成立问题,一般要转化为求函数的最值问题,例 如:要使f(x)<a恒成立,我们只需求出f(x)的最大值f(x)max,如果a比这 个最大值还大,那么这个式子就恒成立了,即f(x)<a恒成立 ⇔f(x)max<a.同理要使f(x)>a恒成立,我们只需求出f(x)的最小值 f(x)min,如果a比这个最小值还小,那么这个式子就恒成立,即f(x)>a恒 成立⇔f(x)min>a.
人教B版高中数学选修4-5课件：1.4绝对值的三角不等式
C.b>||c|-|a||D.b<|a|-|c|
解析:由|a-c|<b,可知b>0,∴b=|b|. ∵|a|-|c|≤|a-c|, ∴|a|-|c|<b,则|a|<b+|c|=|b|+|c|,
故选项A成立. 同理,由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|<b,
8
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重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGLIANXI
题型一 题型二 题型三
利用绝对值不等式证明不等式
【例1】设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证
:
������ ������
+
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利用绝对值的三角不等式求函数的最值
【例2】求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.
分析:若把x-3,x+1看作两个实数,则所给的代数式符合两个数绝
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2已知h>0,a,b∈R,命题甲:|a-b|<2h;命题乙:|a-1|<h,且|b-1|<h,则甲 是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:显然a与b的距离可以很近,满足|a-b|<2h,但此时a,b与1的距离 可以很大,因此甲不能推出乙.另一方面,若|a-1|<h,|b-1|<h,则|ab|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h,即乙可以推出甲. 因此甲是乙的必要不充分条件. 答案:B
第二章 几个重要的不等式 复习课 线上课程课件-北师大版高中数学选修4-5
①
又因为 a11≥b11≥c11，a1≤b1≤1c，
再次由排序不等式，得aa11＋bb11＋cc11≤ab11＋bc11＋ca11.
②
由①②得ab1c2＋bc1a2＋ca1b2≥a10＋b10＋c10.
等号成立条件为a b c.
反思与感悟 利用排序不等式证明不等式的策略
(1)在利用排序不等式证明不等式时，首先考虑构造出两个合适的有序数组，并能根 据需要进行恰当地组合.这需要结合题目的已知条件及待证不等式的结构特点进行合 理选择. (2)根据排序不等式的特点，与多变量间的大小顺序有关的不等式问题，利用排序不 等式解决往往很简捷.
复习回顾4
数学归纳法
数学归纳法原理是证明关于正整数n的命题. 证明步骤： (1)验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确. (2)假设当n＝k (k∈N＋，k≥n0)时命题正确，
证明当n＝k＋1时，命题也正确.
（验证初值） （完成思想构建）
复习回顾5
贝努利不等式
对任何实数x≥-1和任何正整数n，有(1＋x)n≥1＋nx
＝5＋511－－22k－1＝5×2k－1. 得证
（验证初值）
5 2k2
（完成思想构建）
反思与感悟
利用数学归纳法解决探索型不等式的思路： 观察——归纳——猜想——证明. 即先通过观察部分项的特点，进行归纳，判断并猜想出一般结论， 然后用数学归纳法进行证明.
类型四 利用贝努利不等式证明不等式
例 5 设 b>a>0，n∈N＋，证明：ban≥na(b－a)＋1. 点拨 由 b>a>0，令 1＋x＝ba(x>0)，利用贝努利不等式证明． 解 由 b>a>0，知ba>1，令 1＋x＝ba(x>0)，则 x＝ba－1， 由贝努利不等式(1＋x)n≥1＋nx， ∴ban＝(1＋x)n≥1＋nx＝1＋nba－1，故ban≥na(b－a)＋1.
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名师点拨 分析法与综合法的比较 (1)综合法与分析法的比较如下表.
方 法 起始步骤 平均值不等式或 综合法 已经证明过的不 等式 分析法 要求证的不等式
求证过程
求证目标
方向 由因 寻果 执果 索因
实施一系列的推 要求证 理或等价变换 的结论 寻求结论成立的 所需条件 充分条件并证明 全都成立 其成立
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明因为 ≥2
2
4������2 a,b,c 均为正数,所以 +(b+c) ������+������
4������2 · (������ ������+������
+ ������)=4a,
2
4������ 4������ +(c+a)≥2 ������+������ · (������ ������+������
= n,即
A≥ n.
答案:A≥ ������
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)用综合法证明不等式时,其实质是由已知逐步推演不等式成立 的充分条件,从而得结论.( ) (2)若|a|<1,则|a+b|-|a-b|<2.( ) (3)综合法是直接证明,分析法是间接证明.( ) (4)有些问题的证明,可以将综合法与分析法结合起来使用.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
第2课时
综合法、放缩法
学
习 目 标
思
维 脉 络
1.理解综合法的方法与步骤,会用综合 法证明简单的不等式. 2.认识放缩法,了解它的方法与步骤,会 用放缩法证明简单的不等式.
1.综合法 (1)定义:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数和几何平 均数的定理)和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种证明 方法叫综合法. (2)证明原理:A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B,即从已知条件A出发,逐步推演 不等式成立的必要条件,推导出所要证明的结论B.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
利用综合法证明不等式
������2 ������ ������2 均为正数,求证:������+������ + ������+������ + ������+������
2
【例 1】 若 a,b,c
≥
������+������+������ . 2
分析欲证不等式的结构与平均值不等式有关,可考虑利用平均值 不等式进行证明.
A.a+������>b+������ B.a-������<b-������ ������ ������+1 2������+������ ������ C. < D. >
������ ������+1 ������+2������
1
1
1
1
解析:因为
答案:A
������ 1 1 a>b>0,所以 > >0,所以 ������ ������
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟 利用综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因 果联系,要注重分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差 异与联系,合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.
a+ >b+ .
1 ������
1 ������
2.放缩法 (1)定义:通过缩小(或放大)分式的分母(或分子),或通过放大(或缩 小)被减式(或减式)来证明不等式,这种证明不等式的方法称为放缩 法. (2)放缩法证明不等式的主要依据:①不等式的传递性;②等量加 不等量为不等量;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的 比较;④平均值不等式和绝对值不等式的性质;⑤三角函数的有界 性.
>
(k∈N+)等.
【做一做 2】 若 A=1+ 关系是 .
1 1 1 + +…+ ������(n∈N+),则 2 3
1 1 1 + ������ + … + ������ ������
������ 个AFra bibliotek与 ������的大小
n n
1 1 1 解析:A=1+ + +…+ ������ 2 3
≥
=
名师点拨 1.放缩法证明不等式常见以下四种类型:(1)直接放 缩;(2)裂项放缩;(3)利用数列或函数的单调性放缩;(4)利用平均值不 等式放缩. 2.用放缩法证明不等式 (1)为了证明不等式,有时需舍去或添加一些项,使不等式一边放 大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的,这种方法就是放 缩法.运用放缩法要注意放缩必须适当,放得过大或缩得过小都不 能达到证明的目的.
+ ������)=4b, + ������)=4c,
4������2 4������2 +(a+b)≥2 ������+������ · (������ ������+������
2
当且仅当 a=b=c 时,等号成立.
4������2 4������ 4������2 于是 + + +(b+c)+(c+a)+(a+b)≥4a+4b+4c,从而有 ������+������ ������+������ ������+������ 2 4������2 4������ 4������2 + + ≥2(a+b+c), ������+������ ������+������ ������+������ 2 ������2 ������ ������2 ������+������+������ 故������+������ + ������+������ + ������+������ ≥ 2 .
(2)用综合法与分析法证明不等式的逻辑关系. 综合法:A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(结论)(逐步推演不等式成立 的必要条件),即由条件出发推导出所要证明的不等式成立. 分析法:B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知或明显成立的条件)(步 步寻求不等式成立的充分条件). 总之,分析法与综合法是对立统一的两种方法. 【做一做 1】 若 a>b>0,则下列不等式一定成立的是 ( )
(2)放缩时使用的主要方法有:①舍去或加上一些项,如
1 2 3 1 2 1 ������ + 2 + 4 > ������ + 2 ;②将分子(或分母)放大(或缩小),如 2 < ������ 1 1 1 1 2 1 (k∈N+,k>1), 2 > ������(������+1)(k∈N+), < (k∈N+,k>1), ������ ������ ������(������-1) ������ ������+ ������-1 2 ������+ ������+1