2018年数学一轮复习专题9.7抛物线(测)
最新-2018高三数学系列一轮复习 抛物线课件 理 新人教B版 精品
点评 重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到 焦点与到准线距离的相互转换，是解决抛物线焦点弦有关问题的重 要途径.
变式迁移 2 如图所示 ，F 为抛物线 y2＝2px 的焦点，A(4,2)为抛物线内一 定点，P 为抛物线上一动点，|PA|＋|PF|的最小值为 8，求该抛物线 方程．
解析 如图所示，过 P 点作抛物线 C 准线的垂线，垂足为 H. 由定义，|PH|＝|PF|.当 H、P、A 三点共线时，|PA|＋|PF|最小．
点评 本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运 算能力和逻辑推理能力．其中证法一和二为代数法，证法三为几何 法，充分运用了抛物线的几何性质．数形结合，更为巧妙.
变式迁移 4
过抛物线 y2＝－x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，且
A、B 在直线 x＝14上的射影分别是 M、N，则∠MFN 等于(
解析 证法一：由题意知抛物线的焦点 F(p2，0)， 故可设过焦点 F 的直线 AB 的方程为 x＝my＋p2，
由x＝my＋p2， 消去 x 得 y2－2pmy－p2＝0. y2＝2px
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y2＝－p2. ∴C 点坐标为(－p2，y2)．
于是直线 AC 的方程为yy2－－yy11＝－x－p2－x1x1， 要证明 AC 过原点，只需证明y02－－yy11＝0p2－－xx11，
(2)关于抛物线焦点弦的几个结论 设 AB 为过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点的弦，A(x1，y1)、B(x2， y2)，直线 AB 的倾斜角为 θ，则 ①x1x2＝p42，y1y2＝－p2；
②|AB|＝si2np2θ＝x1＋x2＋p； ③以 AB 为直径的圆与准线相切； ④焦点 F 对 A、B 在准线上射影的张角为 90°；
高考数学第一轮复习：《抛物线》
高考数学第一轮复习：《抛物线》最新考纲1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想．3.了解抛物线的简单应用.【教材导读】1．若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是过点F 且与直线l 垂直的直线． 2．抛物线的标准方程中p 的几何意义是什么？ 提示：p 的几何意义是焦点到准线的距离．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程及其简单几何性质标准 方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形顶点 (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2【重要结论】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2 α(α为弦AB 的倾斜角)． (3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p .1．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) (A)(－1,0) (B)(1,0) (C)(0，－1)(D)(0,1)B 解析：由准线过已知点可求出p 的值，进而可求出抛物线的焦点坐标．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．2．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) (A)2 (B)12 (C)14(D)18D 解析：本题考查抛物线的定义．抛物线y ＝2x 2上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以最小距离是p 2，又2p ＝12，则p 2＝18，即|PF |的最小值为18，故选D.3．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) (A)2 (B)12 (C)32(D)52C 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4， 又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3， 所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.4．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)，若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：依题意知F 坐标为p2，0， 所以B 的坐标为p4，1代入抛物线方程得 p 22＝1，解得p ＝2，所以抛物线准线方程为x ＝－22，所以点B 到抛物线准线的距离为24＋22＝34 2. 答案：34 25．直线l 过抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∴p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y考点一 抛物线的定义及其应用(1)长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M到y 轴距离的最小值是________．(2)已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是(4，a )，则当|a |＞4时，|P A |＋|PM |的最小值是________．(3)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．解析：(1)如图，AB＝2，要使AB的中点M到y轴的距离最小，则|BG|＋|AE|的值最小，即|AF|＋|BF|的值最小．在△ABF中，|AF|＋|BF|≥|AB|，当A，B，F三点共线时取等号，即当线段AB过焦点F时，AB的中点M到y轴的距离最小，最小值为|AE|＋|BG|2－14＝1－14＝34.(2)将x＝4代入抛物线的方程y2＝4x，得y＝±4.又|a|＞4，所以点A在抛物线的外部．由题意知F(1,0)，设抛物线上点P到准线l：x＝－1的距离为|PN|，由定义知，|P A|＋|PM|＝|P A|＋|PN|－1＝|P A|＋|PF|－1.画出简图(图略)，易知当A，P，F三点共线时，|P A|＋|PF|取得最小值，此时|P A|＋|PM|也最小，最小值为|AF|－1＝9＋a2－1.(3)由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2.依据抛物线的定义知，当|AB为通径，即|AB|＝2p＝4时，|AB|的值最小，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.答案：(1)34(2)9＋a2－1(3)2【反思归纳】利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的相互转化．【即时训练】(1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是()(A)522＋2 (B)522＋1 (C)522－2(D)522－1(2)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )(A)(0,0) (B)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (C)(1，2)(D)(2,2)解析：(1)如图，点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x －y ＋4＝0的垂线，此时d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1最小．因为F (0,1)，则|PF |＋d 2＝|1－0＋4|1＋1＝522，则d 1＋d 2的最小值为522－1.(2)过M 点作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．故选D.答案：(1)D (2)D考点二 抛物线的标准方程及性质(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )(A)±3 (B)±1 (C)±34(D)±33(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( )(A)133 (B)143 (C)5(D)163(3)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则|AF |＝( )(A)1 (B)2 (C)3(D)4解析：(1)设M (x 0，y 0)，易知焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，由抛物线的定义得|MF |＝x 0＋p 2＝2p ，所以x 0＝32p ，故y 20＝2p ×32p ＝3p 2，解得y 0＝±3p ，故直线MF 的斜率k ＝±3p 32p －p 2＝±3，选A. (2)∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163.故选D. (3)∵x 2＝2y ，∴y ＝x 22，∴y ′＝x ，∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1， ∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴直线l 的方程为y ＝12， ∴|AF |＝|BF |＝1.故选A. 答案：(1)A (2)D (3)A【反思归纳】 (1)抛物线几何性质的确定由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离；从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)求抛物线的标准方程的方法①因为抛物线方程有四种上标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．②因为未知数只有p，所以只需利用待定系数法确定p值即可．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx 或x2＝my(m≠0)．【即时训练】(1)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为()(A)y2＝3 2x(B)y2＝3x(C)y2＝9 2x(D)y2＝9x(2)若双曲线C：2x2－y2＝m(m＞0)与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，且|AB|＝43，则m的值是________．答案：(1)B(2)20考点三直线与抛物线的位置关系考查角度1：直线与抛物线的交点问题．如图，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，焦点为F，过点G(p,0)作直线l交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0， 则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2. 又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2p y 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∴k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3(y 1＋y 3)y 1＋y 3＝2.故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值． 【反思归纳】 直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)或x ＝my ＋n 与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ，(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．提醒：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点；两条切线和一条平行于对称轴的直线．考查角度2：直线与抛物线的相交弦问题设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上，△ABF 是边长为4的等边三角形．(1)求p 的值；(2)在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解析：(1)由题知，|AF |＝|AB |，则AB ⊥l .设准线与x 轴交于点D ，则AB ∥DF .又△ABF 是边长为4的等边三角形，∠ABF ＝60°，所以∠BFD ＝60°，|DF |＝|BF |·cos ∠BFD ＝4×12＝2，即p＝2.(2)设点N (t,0)，由题意知直线的斜率不为零， 设直线的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t y 2＝4x 得，y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4t .又|NQ |2＝(x 1－t )2＋y 21＝(my 1＋t －t )2＋y 21＝(1＋m 2)y 21，同理可得|NR |2＝(1＋m 2)y 22，则有1|NQ |2＋1|NR |2＝1(1＋m 2)y 21＋1(1＋m 2)y 22＝y 21＋y 22(1＋m 2)y 21y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2(1＋m 2)y 21y 22＝16m 2＋8t 16(1＋m 2)t 2＝2m 2＋t (2m 2＋2)t2. 若1|NQ |2＋1|NR |2为定值，则t ＝2，此时点N (2,0)为定点． 又当t ＝2，m ∈R 时，Δ＞0，所以，存在点N (2,0)，当过点N 的直线与抛物线C 交于Q 、R 两点时，1|NQ |2＋1|NR |2为定值14.【反思归纳】 直线与抛物线相交问题处理规律(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用.抛物线的综合问题已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.审题点拨关键点 所获信息 抛物线y 2＝4x 可求焦点坐标 ∠AMB ＝90°k MA ·k MB ＝－1解题突破：把∠AMB ＝90°转化为斜率之积为－1.解析：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. 由M (－1,1)，得AM→＝(－1－x 1,1－y 1)，BM →＝(－1－x 2,1－y 2)．由∠AMB ＝90°，得AM →·BM →＝0，∴ (x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0. 又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴ 1＋2k 2＋4k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k 2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2.答案：2命题意图：本题重点考查直线与抛物线的应用，考查考生的运算能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )(A)12 (B)1 (C)32(D)2B 解析：设P (x p ，y p )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.故选B.2．若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0,1)，则a ＝( ) (A)1 (B)14 (C)2(D)12B 解析：因为抛物线方程为x 2＝1a y ，所以其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，则有14a ＝1，a ＝14，故选B.3．已知P 为抛物线y 2＝－6x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －6)2＝14上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到y 轴距离之和的最小值是( )(A)317－72(B)317－42 (C)317－12(D)317＋12B 解析：结合抛物线的定义知，P 到y 轴的距离为P 到焦点的距离减去32，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及32，即62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－12－32＝317－42，故选B.4．若点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是()(A)y2＝233x(B)y2＝3x(C)y2＝23x(D)y2＝3 3xA解析：根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故34AB2＝43，故AB＝4，正三角形的高为23，故可以设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝33，故所求的抛物线方程为y2＝233x.故选A.5．已知直线l1：4x－3y＋7＝0和直线l2：x＝－2，抛物线y2＝8x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值是()(A) 5 (B)2 5(C)3 (D)3 5C解析：如图所示，过点P作PH1⊥l1，PH2⊥l2，连接PF，H1F，过F作FM⊥l1，交l1于M，由抛物线方程为y2＝8x，得l2为其准线，焦点为F(2,0)，由抛物线的定义可知|PH1|＋|PH2|＝|PH1|＋|PF|≥|FH1|≥|FM|＝|4×2－0＋7|42＋32＝3，故选C.6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A ，B 两点，如果OA →·OB→＝－12，那么抛物线C 的方程为( )(A)x 2＝8y (B)x 2＝4y (C)y 2＝8x(D)y 2＝4xC 解析：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， 直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝my 1＋p 2my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．过抛物线y ＝14x 2的焦点F 作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，题中的抛物线x 2＝4y 的焦点坐标是F (0,1)，直线AB 的方程为y ＝33x ＋1，即x ＝3(y －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x ＝3(y －1)，消去x 得3(y －1)2＝4y ，即3y 2－10y ＋3＝0，y 1＋y 2＝103，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＝y 1＋y 2＋2＝163.答案：1638．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，AB 为抛物线上的两点，以AB 为直径的圆过点F ，过AB 的中点M 作抛物线的准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为__________．解析：由抛物线定义得|MN ||AB |＝|AF |＋|BF |2|AF |2＋|BF |2≤|AF |2＋|BF |22|AF |2＋|BF |2＝22，即|MN ||AB |的最大值为22.答案： 229．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝5，则|BF |＝________. 解析：由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＝x 1＋1＝5⇒x 1＝4，y 21＝4x 1＝16， 根据对称性，不妨取y 1＝4， 所以直线AB ：y ＝43x －43，代入抛物线方程可得，4x 2－17x ＋4＝0， 所以x 2＝14， 所以|BF |＝x 2＋1＝54. 答案：5410．在平面直角坐标系中，动点M (x ，y )(x ≥0)到点F (1,0)的距离与到y 轴的距离之差为1.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若Q (－4,2)，过点N (4,0)作任意一条直线交曲线C 于A ，B 两点，试证明k QA ＋k QB 是一个定值．解析：(1)M 到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等， ∴M 的轨迹C 是一个开口向右的抛物线，且p ＝2， ∴M 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)设过N (4,0)的直线的方程为x ＝my ＋4，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋4整理得y 2－4my －16＝0，设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16， 又k QA ＋k QB ＝y 1－2x 1＋4＋y 2－2x 2＋4＝y 1－2my 1＋8＋y 2－2my 2＋8＝－8m 2－3216m 2＋64＝－12， 因此k QA ＋k QB 是一个定值为－12.能力提升练(时间：15分钟)11．已知直线l 1：x ＝2，l 2：3x ＋5y －30＝0，点P 为抛物线y 2＝－8x 上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )(A)2 (B)234 (C)181734(D)161534C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线为l 1：x ＝2. ∴P 到l 1的距离等于|PF |，∴P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为F (－2,0)到直线l 2的距离d ＝|－6＋0－30|9＋25＝181734.故选C.12．已知点A (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM ||MN |＝55，则p 的值等于( )(A)18 (B)14 (C)2(D)4C 解析：设M (x M ，y M )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y N ，由|FM ||MN |＝55，知|FM ||FN |＝15＋1，所以y N ＝(5＋1)y M ；由k F A ＝k FN 知，y N －p ＝2－p 2，所以y N ＝4，所以y M ＝45＋1；又|FM ||FN |＝15＋1，所以p 2－x M ＝15＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 2＝p 5＋1，所以x M ＝()5－1p 2(5＋1)，将(x M ，y M )代入y 2＝2px ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋12＝2p ×(5－1)p 2(5＋1)，解得p ＝2.故选C.13．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，p 2，射线MO ，NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点A ，B ，若A ，B ，F 三点共线，则p 的值为________．解析：直线OM 的方程为y ＝－p8x ，将其代入x 2＝2py ， 解方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－p 24y ＝p 332，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 24，p 332.直线ON 的方程为y ＝p2x ，将其代入x 2＝2py ，解方程可得⎩⎨⎧x ＝p 2y ＝p 32，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p 32.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以k AB ＝3p 8，k BF ＝p 2－12p ，因为A ，B ，F 三点共线，所以k AB ＝k BF ，即3p 8＝p 2－12p ，解得p ＝2.答案：214．顶点在原点，经过圆C ：x 2＋y 2－2x ＋22y ＝0的圆心且准线与x 轴垂直的抛物线方程为________．解析：将圆C 的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝3，圆心为(1，－2)．由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且经过点(1，－2)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为点(1，－2)在抛物线上，所以(－2)2＝2p ，解得p ＝1，所以所求抛物线的方程为y 2＝2x .答案：y 2＝2x15．已知AB 是抛物线x 2＝4y 的一条焦点弦，若该弦的中点纵坐标是3，则弦AB 所在的直线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为x ＝m (y －1)，由抛物线的定义及题设可得，y 1＋y 2＝6， 直线与抛物线方程联立消去x 可得 m 2y 2－(2m 2＋4)y ＋m 2＝0， 则y 1＋y 2＝2m 2＋4m 2，即6＝2m 2＋4m 2， 可得m ＝1或m ＝－1.故直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0. 答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝016．已知抛物线C ：y ＝mx 2(m ＞0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，①求抛物线C 的焦点坐标．②若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值．③是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解析：①因为抛物线C ：x 2＝1m y ，所以它的焦点F (0，14m )． ②因为|RF |＝y R ＋14m ，所以2＋14m ＝3，得m ＝14.③存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＞0恒成立．解得m ＞－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m .(*)因为P 是线段AB 的中点，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，y P ，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，1m .得QA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1m ，mx 22－1m ， 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形， 则QA →·QB→＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 21－1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx 22－1m ＝0， 结合(*)化简得－4m 2－6m ＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0， 所以m ＝2或m ＝－12.而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．。
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第七节 抛物线
方程为
5
x=- =- ,所以点
2 4
A 到抛物线 C 的准线的距离为
5
1+
4
=
9
.
4
增素能 精准突破
考点一京海淀一模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,
且P的横坐标为4,则|PF|=(
A.2
B.3
)
C.4
D.5
(2)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则
F
B.
1
0, 16
.
考点二
抛物线的标准方程与简单几何性质
典例突破
例2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点M是抛物线C上一点,
过点M作准线l的垂线,交l于点H,若|MH|=2,∠HFM=30°,则抛物线C的标准
方程为
.
答案 y2=6x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,
距离相等
,直线l叫做抛物线的
的点的轨
准线 .
设点M是抛物线上的任意一点,它到准线l的距离为d,则抛物线定义的表达
式为|MF|=d
微思考抛物线定义中,若直线l过点F,则点的轨迹会怎么样?
提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l
垂直的直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
y=x+2,联立
=
+2,
2 = 2,
得x2-2px-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2p,x1x2=-p2,不妨设x1>0,x2<0,
最新-2018届高三数学一轮复习 抛物线课件 新人教B版 精品
9 C.2
D．5
解析：如图，焦点 F(12，0)，当 P、A、F 三点共线
时|PA|＋|PM|才有最小值，此时|PA|＋|PM|＝|PA|＋|PF|－12，
即|PA|＋|PM|的最小值为|FA|－12＝
72－122＋42－
1 2
＝
5
－12＝92，故选 C.
答案：C
[例 2] 双曲线xm2－yn2＝1(mn≠0)离心率为 2，有一个 焦点与抛物线 y2＝4x 的焦点重合，则 mn 的值为( )
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝2＋8＋2＋12＝225，所以线段 AB 的中点到准线的距离为245，故选 A.
答案：A
点评：抛物线的焦半径(焦点弦)有许多特殊性质，如 (1)某点的焦半径等于这点到准线的距离，(2)抛物线 y2＝ 2px(p>0)的焦点弦 AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1 ＋x2＋p，x1x2＝p42.
证法二：依题意，焦点为 Fp2，0， 准线 l 的方程为 x＝－p2 设点 M，N 的坐标分别为 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直 线 MN 的方程为 x＝my＋p2，则有 M1－p2，y1，N1－p2，y2， F→M1＝(－p，y1)，F→N1＝(－p，y2)， 由x＝my＋p2 ，得 y2－2mpy－p2＝0.
解析：(1)∵M→N＝2M→P，故 P 为 MN Байду номын сангаас点． 又∵P→M⊥P→F，P 在 y 轴上，F 为(1,0)，故 M 在 x 轴 的负半轴上，
设 N(x，y)，则 M(－x,0)，P0，2y，(x>0)， ∴P→M＝－x，－2y，P→F＝1，－2y， 又∵P→M⊥P→F，∴P→M·P→F＝－x＋y42＝0， ∴y2＝4x(x>0)是轨迹 C 的方程．
2018届高三数学(理)一轮复习课件：9.7抛物线
=
√3
2
.
解析
关闭
答案
-9知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
3.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程 为 .
关闭
设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相
关闭
2= 等 ,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x. y 4x
3452源自2.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x ( ) A.
1 2
������2 - 3 =1
的渐近线的距离是
B.
√3
2
C.1
D.√3
关闭
由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为 y=±√3x,即±√3x-y=0,由点到直线的距离公式可得抛物线的焦 点到双曲线的渐近线的距离 d= B
1 1 S= (x+3)y. 2
π 0, 3
关闭
,则 x≥9.
令 t=S2=4(x+3)2× 12x=3x(x+3)2. 则 t'=3(x+3)2+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)>0,函数 t 单调递增.
2 36√3x=9 时,S 最小,此时������min 故当 =3× 9× 122,即 Smin=36√3.
������������
������
|������������|-1
|������������|-1
|������������| -1
2 (2) 如图 知∠AFM=60° . |������������ |+1 ,由 kAF=|������������ +1 √|3 C.|������������|+1 D. 2
2018版高考数学复习解析几何9.7抛物线理
第九章 解析几何 9.7 抛物线 理1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径．2．y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )1．(2016·四川)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,0)答案 D解析 ∵对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)．2．(2016·甘肃张掖一诊)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.4．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5．(2017·合肥调研)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为________． 答案 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，圆x 2＋y 2－6x －7＝0，即(x －3)2＋y 2＝16， 则圆心为(3,0)，半径为4.又因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，所以3＋p2＝4，解得p ＝2.题型一 抛物线的定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 答案 4 解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ， 交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝16＋4＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－2＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．答案 5解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－－2＋－2＝ 5.题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y答案 D解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .命题点2 抛物线的几何性质例3 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． 证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p2AB |－p ＋p24＝2p(定值)．(3) 设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．(1)(2016·全国乙卷)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8(2)(2016·昆明三中、玉溪一中统考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) A.33 B ．1 C.233D ．2 答案 (1)B (2)A解析 (1)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5， 点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，②点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B. (2)设|AF |＝a ，|BF |＝b ，分别过A 、B 作准线的垂线，垂足分别为Q 、P ， 由抛物线的定义知，|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |， 在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab . 又ab ≤(a ＋b2)2，所以(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－14(a ＋b )2＝34(a ＋b )2，得到|AB |≥32(a ＋b )， 所以|MN ||AB |≤12a ＋b32a ＋b＝33， 即|MN ||AB |的最大值为33. 题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点． (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．(1)证明 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)， 则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)． 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)， 所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1(x ≠1)．思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．(2017·北京东城区质检)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p.所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直， 故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m)，|MN |＝ 1＋1m2|y 3－y 4|＝m 2＋2m 2＋1m 2，由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m2＋2)2＝m 2＋2m 2＋m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7．直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0.解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m )．[2分](2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m )．[8分]得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，[10分]结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞)．∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或 y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．(2017·昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，如果OA →·OB →＝－12，那么抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p2，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋p 2)(my 2＋p 2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12⇒p ＝4，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 答案 B解析 ∵y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3．(2016·上饶四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( ) A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 ∵抛物线C ：y 2＝3px (p >0)的焦点为F (3p 4，0)，∴|OF |＝3p4，∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt△AOF 中，|AF |＝4＋9p 216，∴sin∠OAF ＝|OF ||AF |＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ， ∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt△AMF 中，sin∠AMF ＝|AF ||MF |＝3p 44＋9p 216，∵|MF |＝5，|AF |＝4＋9p 216，∴4＋9p 2165＝3p 44＋9p 216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．－4B ．4C ．p 2D ．－p 2答案 A解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴， 则x 1＝x 2＝p 2，∴x 1x 2＝p 24； ∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴， 可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px ，得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 5.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C 解析 如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则|KF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .故选C.6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，若点A (－1,0)，则|PF ||PA |的最小值是( )A.12B.22C.32D.223 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1， 如图，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ，由抛物线的定义可知|PF |＝|PN |，连接PA ， 在Rt△PAN 中，sin∠PAN ＝|PN ||PA |， 当|PN ||PA |＝|PF ||PA |最小时，sin∠PAN 最小， 即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF ＝∠NPA ＝45°， |PF ||PA |＝|PN ||PA |＝cos∠NPA ＝22，故选B. 7．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________. 答案 12解析 焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，方法一 直线AB 的斜率为33， 所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二 由抛物线焦点弦的性质可得 |AB |＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________. 答案 2 解析 如图，由AB 的斜率为3， 知∠α＝60°，又AM →＝MB →， ∴M 为AB 的中点．过点B 作BP 垂直准线l 于点P ， 则∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°， ∴|BP |＝12|AB |＝|BM |.∴M 为焦点，即p2＝1，∴p ＝2.9．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝________.答案 6解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)， 准线方程为x ＝－2.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意，c ＝2，c a ＝12，可得a ＝4，b 2＝16－4＝12. 故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.把x ＝－2代入椭圆方程，解得y ＝±3. 从而|AB |＝6.*10.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________．答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.11．(2016·沈阳模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． 解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0. 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．设P ，Q 是抛物线y 2＝2px (p >0)上相异两点，P ，Q 到y 轴的距离的积为4，且OP →·OQ →＝0.(1)求该抛物线的标准方程；(2)过点Q 的直线与抛物线的另一交点为R ，与x 轴的交点为T ，且Q 为线段RT 的中点，试求弦PR 长度的最小值．解 (1)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵OP →·OQ →＝0，则x 1x 2＋y 1y 2＝0.又点P ，Q 在抛物线上，∴y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，代入得y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝0，y 1y 2＝－4p 2，∴|x 1x 2|＝y 1y 224p2＝4p 2.又|x 1x 2|＝4， ∴4p 2＝4，p ＝1，∴抛物线的标准方程为y 2＝2x .(2)设直线PQ 过点E (a,0)且方程为x ＝my ＋a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋a ，y 2＝2x ，消去x 得y 2－2my －2a ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2a ，①设直线PR 与x 轴交于点M (b,0)， 则可设直线PR 的方程为x ＝ny ＋b ， 并设R (x 3，y 3)，同理可知，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 3＝2n ，y 1y 3＝－2b ，②由①②可得y 3y 2＝ba.由题意得，Q 为线段RT 的中点， ∴y 3＝2y 2，∴b ＝2a .又由(1)知，y 1y 2＝－4，代入①， 可得－2a ＝－4，∴a ＝2， ∴b ＝4，y 1y 3＝－8， ∴|PR |＝1＋n 2|y 1－y 3| ＝1＋n 2·y 1＋y 32－4y 1y 3＝21＋n 2·n 2＋8≥4 2. 当n ＝0，即直线PR 垂直于x 轴时， |PR |取最小值4 2.*13.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m >0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和(－12，32)．(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和(－12，32)，∴r 2＝(－12)2＋(32)2＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2k k ，y B ＝1－k k，即B (1－2k k 2，1－k k)，∴k BQ ＝k1－2k，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2k k 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A (－2k k 2＋1，1－k2k 2＋1)，∴k AQ ＝－1k，∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0， ∴k1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2，由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1， ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1，使得QP 平分∠AQB .。
(复习指导)9.7 抛物线含解析
9.7 抛物线 必备知识预案自诊知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的 的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 .F 在定直线l 上,则动点的轨迹为过点F 且垂直于l 的一条直线. 2.Fp 2,0 F -p 2,0 F 0,p 2F 0,-p 21.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则(1)x1x2=p2,y1y2=-p2;4(α为弦AB所在直线的倾斜角);(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2psin2α(3)以弦AB为直径的圆与准线相切;(α为弦AB所在直线的倾斜角);(4)S△AOB=p22sinα(5)∠CFD=90°.2.抛物线y2=2px(p>0)的通径长为2p.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.(),0.()(5)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a42.(2020天津河北区线上测试,5)已知抛物线y2=4x与x2=2py(p>0)的焦点间的距离为2,则p的值为()A.2√3B.4C.6D.123.(2020北京,7)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l.P是抛物线上异于O的一点,过P 作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线()A.经过点OB.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP4.(2020全国1,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.3C.6D.95.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点P(1,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,若P恰好为线段AB的中点,则|AB|=.关键能力学案突破考点抛物线的定义及其应用,0)为圆【例1】(1)(2020辽宁大连模拟,文12)已知抛物线y2=2x的焦点为F,以点P(92心,|PF|为半径作一圆与抛物线在x轴上方交于M,N两点,则|MF|+|NF|等于()A.8B.18C.2√2D.4(2)(2020新高考全国1,13)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.?解题心得1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时,一般运用定义转化为到准线距离处理. 2.若P (x 0,y 0)为抛物线y 2=2px (p>0)上一点,由定义易得|PF|=x 0+p2;若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则弦长为|AB|=x 1+x 2+p ,x 1+x 2可由根与系数的关系整体求出;若遇到其他标准方程,则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.对点训练1(1)如图,过抛物线y 2=8x的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,与抛物线的准线交于点C ,若B 是AC 的中点,则|AB|=( )A.8B.9C.10D.12(2)已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.52C.3D.2考点抛物线的方程及几何性质【例2】(1)(2020重庆调研)已知抛物线y 2=2px (p>0),点C (-4,0),过抛物线的焦点F 作垂直于x 轴的直线,与抛物线交于A ,B 两点,若△CAB 的面积为24,则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为( )A.y 2=4xB.y 2=-4xC.y 2=8xD.y 2=-8x(2)(2020全国3,文7)设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C :y 2=2px (p>0)交于D ,E 两点,若OD ⊥OE ,则C 的焦点坐标为( )A.14,0B.12,0 C.(1,0) D.(2,0)?解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0).2.由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.对点训练2(1)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M (x 0,2√2)(x 0>p2)是抛物线C 上的一点,以点M 为圆心的圆与直线x=p 2交于E ,G 两点,若sin ∠MFG=13,则抛物线C 的方程为( )A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x(2)已知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段AF的中点B在抛物线上,则|BF|=()A.54B.52C.√22D.3√24考点与抛物线相关的最值问题【例3】(1)(2020山东泰安一模,8)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=2π3,设线段AB的中点M在l上的投影为N,则|MN||AB|的最大值是()A.√34B.√33C.√32D.√3(2)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()B.14C.12D.10?解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决.转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.对点训练3(1)(2020河南郑州二模)已知抛物线C:y2=2x,过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线C于A,B两点(A,B均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为()A.2B.3C.32D.4(2)(2020山东日照一模,15)直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与C交于M,N两点,则p=,|MF|9−1|NF|的最小值是.考点抛物线与其他圆锥曲线的综合【例4】(1)已知过抛物线C:y2=4x焦点F的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则1|PM|+4|QN|的值不可能为()A.3B.4C.5D.6(2)已知P是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆(x-4)2+y2=1上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.52B.3C.√3+1D.2√3-1?解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的综合问题,要注意距离的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离,这样可以简化运算过程.对点训练4(1)(2020河南洛阳模拟)已知F 为抛物线C 1:y 2=2px (p>0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x-3y-2p=0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|AB ||CD |=( )A.16B.4C.83D.53(2)(2020山东滨州二模,16)动圆E 与圆M (x-1)2+y 2=14外切,并与直线x=-12相切,则动圆圆心E 的轨迹方程为 ;过点P (1,2)作倾斜角互补的两条直线,分别与圆心E 的轨迹相交于A ,B 两点,则直线AB 的斜率为 .考点直线与抛物线的关系【例5】(1)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ,其准线与x 轴的交点为Q ,过点Q 作斜率为k (k<0)的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF|=2|BF|,则k 的值为( )A.-2√23B.-√73C.-√63D.-√53(2)已知F 是抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,过点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,AB 的中点为C ,过点C 作抛物线准线的垂线交准线于点C 1,若CC 1的中点为M (1,4),则p=( ) A.4 B.8 C.4√2 D.8√2 解题心得求解抛物线综合问题的方法(1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x 1+x 2+p (焦点在x 轴正半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式.对点训练5(1)(2020山西太原二模,理9)过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,设点M (3,0).若△MAB 的面积为4√2,则|AB|=( )A.2B.4C.2√3D.8(2)已知直线kx-y-k=0(k>0)与抛物线y 2=4x 交于A ,B 两点,过B 作x 轴的平行线交抛物线的准线于点M ,O 为坐标原点,若S △OBM ∶S △OBA =1∶2,则k= .1.认真区分四种形式的标准方程:(1)区分y=ax 2与y 2=2px (p>0),前者不是抛物线的标准方程.(2)求抛物线标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为y 2=mx 或x 2=my (m ≠0). 2.解决有关抛物线的焦点弦问题,熟记有关的常用结论是突破解题思路、提高解题速度的有效途径.1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值,但首先要判断抛物线是不是标准方程,以及是哪一种标准方程.2.求过焦点的弦或与焦点有关的距离问题,要多从抛物线的定义入手,这样可以简化问题.9.7 抛物线必备知识·预案自诊知识梳理1.距离相等 焦点 准线2.(0,0) y 轴 1考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×2.A由题意,两抛物线的焦点坐标分别为(1,0),(0,p 2),两焦点的距离为√1+p 24=2,解得p=2√3.故选A.3.B 因为线段FQ 的垂直平分线上的点到F ,Q 的距离相等,又点P 在抛物线上,根据抛物线定义可知,|PQ|=|PF|,所以线段FQ 的垂直平分线经过点P.故选B.4.C 设点A 的坐标为(x ,y ).由点A 到y 轴的距离为9可得x=9,由点A 到抛物线C 的焦点的距离为12,可得x+p2=12,解得p=6.5.√15 由于焦点F (1,0),故p2=1,p=2,抛物线方程为y 2=4x.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意知直线l 的斜率存在且不为零,设l :y-1=k (x-1),由{y -1=k (x -1),y 2=4x消去x ,得ky 2-4y+4-4k=0,由P 为线段AB 的中点可知y 1+y 2=4k =2,所以k=2,所以直线l 的方程为y=2x-1,y 1y 2=-2,所以|AB|=√1+(1k )2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√15.关键能力·学案突破例1(1)A (2)163 (1)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),抛物线的焦点坐标为(12,0),则|PF|=92−12=4,则圆的方程为(x -92)2+y 2=16,与抛物线方程联立,消去y ,得x 2-7x+174=0,则x 1+x 2=7.根据抛物线性质可知|MF|+|NF|=x 1+12+x 2+12=8.故选A. (2)如图所示,直线与抛物线交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),F (1,0),准线方程为x=-1,作AA',BB'垂直于准线,交准线于点A',B',由抛物线的定义知|AA'|=|AF|,|BB'|=|BF|.|AB|=|AF|+|BF|=|AA'|+|BB'|=x 1+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p. 由{y =√3(x -1),y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0, 所以x 1+x 2=103, 则|AB|=103+2=163. 对点训练1(1)B (2)C(1)如图,分别过点A ,B 作准线的垂线,垂足分别为D ,E ,设|AB|=|BC|=m ,直线l 的倾斜角为α.则|BE|=m|cos α|,所以|AD|=|AF|=|AB|-|BF|=|AB|-|BE|=m (1-|cos α|),所以|cos α|=|AD ||AC |=m (1-|cosα|)2m, 解得|cos α|=13.由抛物线焦点弦长公式|AB|=2psin 2α,可得|AB|=81-19=9.故选B.(2)∵FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4|FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |.∴|PQ ||PF |=34.过Q 作QQ'⊥l ,垂足为Q',设l 与x 轴的交点为A (图略),则|AF|=4,∴|PQ ||PF |=|QQ '||AF |=34,∴|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C .例2(1)D (2)B (1)因为AB ⊥x 轴,且AB 过焦点F ,所以|AB|=2p ,所以S △CAB =12×2p ×(p 2+4)=24,解得p=4或p=-12(舍去).所以抛物线方程为y 2=8x ,所以直线AB 的方程为x=2,所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2=-8x.故选D .(2)∵抛物线C 关于x 轴对称,直线x=2垂直于x 轴,又OD ⊥OE , ∴△ODE 是等腰直角三角形.不妨设点D 在第一象限,则点D 的坐标为(2,2),将其代入y 2=2px ,得p=1,所以抛物线C 的焦点坐标为12,0.对点训练2(1)C (2)D(1)如图所示,作MD ⊥EG ,垂足为D.因为点M (x 0,2√2)(x 0>p2)在抛物线上,所以8=2px 0,即px 0=4.①由题意,可知|DM|=x 0-p2,|MF|=x 0+p2,因为sin ∠MFG=13,所以|DM|=13|MF|,即x 0-p2=13(x 0+p2),解得x 0=p.②由①②,解得x 0=p=-2(舍去)或x 0=p=2.故抛物线C 的方程为y 2=4x.故选C. (2)由已知得点F 的坐标为p 2,0,因为点A (0,2),所以AF 的中点B 的坐标为p 4,1.因为点B 在抛物线上,所以1=p 22,解得p=√2或p=-√2(舍去).所以点F 的坐标为√22,0,点B的坐标为√24,1,所以|BF|=√(√22-√24)2+(0-1)2=3√24.故选D .例3(1)B (2)A (1)设A ,B 在直线l 上的投影分别是A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|.又因为M 是AB 中点,所以|MN|=12(|AA 1|+|BB 1|), 则|MN ||AB |=12·|AA 1|+|BB 1||AB |=|AF |+|BF |2|AB |. 在△ABF中,|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF||BF|cos 2π3=|AF|2+|BF|2+|AF||BF|=(|AF|+|BF|)2-|AF||BF|≥(|A F|+|BF|)2-(|AF |+|BF |2)2=34(|AF|+|BF|)2,当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立.所以(|AF |+|BF |)2|AB |2≤43,即|AF |+|BF ||AB |≤2√33, 所以|MN ||AB |≤√33.故选B .(2)由题意,可知直线l 1,l 2的斜率都存在且不为0,点F (1,0).设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1的方程为y=k (x-1)(k ≠0).由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,则x 1+x 2=2k 2+4k2.因为l 1⊥l 2,所以直线l 2的方程为y=-1k (x-1).同理,x 3+x 4=2+4k 2.由抛物线的定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+2+x 3+x 4+2=2k 2+4k 2+2+4k 2+4=4k 2+4k2+8≥2√4k 2·4k2+8=16,当且仅当4k 2=4k2,即k=±1时,等号成立.故|AB|+|DE|的最小值为16.对点训练3(1)C (2)2 -13 (1)设直线AB 的方程为x=my+t ,点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{x =my +t ,y 2=2x ,得y 2-2my-2t=0,所以y 1y 2=-2t. 由题意可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24+y 1y 2=0,即t 2-2t=0.由题意可知t ≠0,所以t=2,所以直线AB 过定点(2,0).所以抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2-12=32.故选C .(2)因为抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F (1,0),所以p=2.设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线l :x=my+1,联立{x =my +1,y 2=4x ,得y 2-4my-4=0,所以y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,所以x 1x 2=1. (方法1)|MF |9−1|NF |=x 1+19−1x 2+1=x 1+19−11x 1+1=x 1+19+1x 1+1-1≥-13,当且仅当x 1+1=3,即x 1=2时,等号成立.(方法2)1|MF |+1|NF |=1x 1+1+1x 2+1=1my1+2+1my2+2=m (y 1+y 2)+4(my1+2)(my 2+2)=m (y 1+y 2)+4m 2y 1y 2+2m (y 1+y 2)+4=4m 2+4-4m 2+8m 2+4=1,所以|MF |9−1|NF |=|MF |9−(1-1|MF |)=|MF |9+1|MF |-1≥-13,当且仅当|MF|=3时,等号成立.例4(1)A (2)D (1)作图如下.由题意可知,F 为圆x 2+y 2-2x=0的圆心,设|PF|=m ,|QF|=n ,则|PM|=m-1,|QN |=n-1. 根据抛物线的常用结论,可知1m+1n=2p=1,则m+nmn=1,即m+n=mn ,所以1|PM |+4|QN |=1m -1+4n -1=4m+n -5mn -(m+n )+1=4m+n-5. 又4m+n=(4m+n )·(1m +1n )=4+4m n +n m +1≥5+2√4m n ·nm=9,当且仅当m=32,n=3时,等号成立,所以4m+n-5≥4,即1|PM |+4|QN |≥4.故1|PM |+4|QN |的值不可能为3.故选A .(2)设点P 的坐标为14m 2,m ,由圆的方程(x-4)2+y 2=1,可得圆心坐标为A (4,0),半径r=1,所以|PA|2=(14m 2-4)2+m 2=116(m 2-8)2+12≥12,所以|PA|≥2√3.因为Q 是圆(x-4)2+y 2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为2√3-1.故选D .对点训练4(1)A (2)y 2=4x -1 (1)由题意可知直线4x-3y-2p=0过抛物线C 1的焦点F ,所以|BF|=|CF|=p 2,所以|AB ||CD |=|AF |-p2|DF |-p 2.设点A (x A ,y A ),D (x D ,y D ),由抛物线的定义得|AF|-p2=x A ,|DF|-p2=x D .由{4x -3y -2p =0,y 2=2px ,整理得8x 2-17px+2p 2=0,解得x A =2p ,x D=p 8.故|AB ||CD |=x A x D=2pp 8=16.故选A .(2)如图,由题意可知,|NE|=|ME|-12,则|NE|+12=|ME|,所以点E 到直线x=-1的距离等于到点M (1,0)的距离,所以动圆圆心E 的轨迹是以M 为焦点,以x=-1为准线的抛物线, 则其轨迹方程为y 2=4x.点P 坐标为(1,2),则点P 在圆心E 的轨迹上. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由已知设直线PA :m (y-2)=x-1,即x=my-2m+1,代入抛物线的方程得y 2=4my-8m+4,即y 2-4my+8m-4=0, 则y 1+2=4m ,故y 1=4m-2.设直线PB :-m (y-2)=x-1,即x=-my+2m+1,代入抛物线的方程得y 2=-4my+8m+4,即y 2+4my-8m-4=0, 则y 2+2=-4m ,故y 2=-4m-2.x 1-x 2=my 1-2m+1-(-my 2+2m+1)=m (y 1+y 2)-4m=-8m.直线AB 的斜率k AB =y 2-y1x 2-x 1=-8m8m=-1. 例5(1)A (2)B (1)(方法1)韦达定理消去x抛物线的焦点为F (2,0),准线x=-2,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AF|=x 1+2,|BF|=x 2+2,由|AF|=2|BF|得x 1+2=2(x 2+2),即有x 1=2x 2+2,①联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得k 2x 2+(4k 2-8)x+4k 2=0,则有x 1+x 2=-4k 2+8k 2(k<0),② x 1x 2=4.③由①③得x 1=4,x 2=1,代入②中得5=-4k 2+8k2(k<0),解得k=-2√23.故选A.(方法2)韦达定理消去y设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),从而有y 1=2y 2.联立y 2=8x 与直线y=k (x+2)的方程得ky 2-8y+16k=0,则有y 1+y 2=8k ,① y 1y 2=16,② 由y 1=2y 2则有y 1+y 2=3y 2=8k ,③ y 1y 2=2y 22=16, ④ 消去y 2得(8k )216=92(k<0),解得k=-2√23,故选A.(方法3)几何法设抛物线的准线m :x=-2,分别过点A ,B 作AA'⊥m 于A',BB'⊥m 于B',由|AF|=2|BF|,得|AA'|=2|BB'|,则有|QA'|=2|QB'|,则B'是QA'的中点,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),从而有y A =2y B .则B 是QA 的中点,则有|OB|=12|AF|(O 是原点),而|BF|=12|AF|,则|OB|=|FB|,故点B 在线段OF 的垂直平分线上,则x B =1,从而y B =-2√2,则y A =-4√2,x A =4,故k=-2√23, 故选A.(2)设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),C (x C ,y C ).由题意CC 1的中点坐标为(1,4),所以可得y A +y B =8,x C -p 2=2×1,所以x C =2+p 2,x A +x B =4+p.设直线AB 的方程为x=my+p 2,代入抛物线的方程可得y 2-2pmy-p 2=0,所以y A +y B =2pm ,x A +x B=m (y A +y B )+p=8m+p.则{8=2pm ,8m +p =4+p ,解得p=8,m=12.对点训练5(1)D (2)2√2 (1)抛物线y 2=4x 的焦点为F (1,0),可设直线l 的方程为x=ty+1,代入抛物线方程,可得y 2-4ty-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4,则|AB|=√1+t 2·|y 1-y 2|=√1+t 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√1+t 2·√16t 2+16,△MAB 的面积为12|MF|·|y 1-y 2|=12×2|y 1-y 2|=4√2,即√16t 2+16=4√2,解得t=±1.则|AB|=√1+1×√16+16=8.故选D .(2)联立{kx -y -k =0,y 2=4x消去x ,得y 2-4k y-4=0,设A (x 1,y 1)(y 1>0),B (x 2,y 2),则M (-1,y 2),则y 1+y 2=4k ,y 1y 2=-4,∵k OM=y2-1=-y2=4y1,k OA=y1x1=4y1,∴A,O,M三点共线,∴S△OBM∶S△OAB=|OM|∶|OA|=1∶2,∴|OA|2=4|OM|2,x12+y12=4(1+y22),x12+4x1=4(1+16y12),x12+4x1=4(1+164x1),则(x12-4)(1+4x1)=0,∵x1>0,∴x1=2,∴A(2,2√2).又直线kx-y-k=0恒过定点(1,0),∴k=2√2-02-1=2√2,故答案为2√2.。
最新-2018届高考数学一轮复习 抛物线调研课件 文 新人教A版 精品
A．4 B．6
C．8 D．2
答案 B
解析 由抛物线的方程得p2＝42＝ 2，再根据抛物线的定 义，可知所求距离为 4＋2＝6，故选 B.
3．设 O 为坐标原点，F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，A 为
抛物线上一点，若O→A·A→F＝－4，则点 A 的坐标为(
)
A． (2，±2 2)
B． (1，±2)
设直线方程为
x＝
my＋p2，
x＝ my＋ 由
y2＝ 2px
p 2
得 y2－ 2pmy－p2＝ 0 (*)
∴Δ＝4p2m2＋4p2>0 y1y2＝－p2
x1x2＝2yp21 ·2yp22 ＝
y1y2 4p2
2
＝
－p2 4p2
2 p2 ＝4.
(2)由抛物线的定义易得
p
p
|AB|＝
|AF|＋
|BF|＝
x＋ 1
为 A′、D，则|BF|＝|BD|，又 2|BF|＝|BC|，∴在 Rt△BCD
中，∠BCD＝30°，又|AF|＝ 3，∴|AA′ |＝3，∴|AC|＝ 6.
∴|AF|＋ |FC|＝|AF|＋ 3|BF|＝6，∴|BF|＝1，
2p |AB|＝sin2θ
＝
4,2p＝
4sin260°
＝
3，抛物线
方程为
y2＝3x.
(1)kOA＝
yx11，
y kOB＝x2，
2
∵OA⊥ OB，∴kOA· kOB＝－1，∴x1x2＋y1y2＝ 0，
∵y21＝ 2px1，y22＝2px2，∴2yp12 ·2yp22 ＋ y1y2＝0，
∵y1≠ 0，y2≠0，∴y1y2＝－4p2，x1x2＝4p2.
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：9.7 抛物线(专题拔高配套PPT课件)
综上可知 y =-8x 或 x =-y. y2=-8x 或,抛物线的标准方程为 x2=-y
解析
2
2
关闭
答案
第九章
知识梳理 双击自测
9.7 抛物线
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-9-
4.过抛物线τ:y2=8x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AF|=6,则 抛物线τ的顶点到直线AB的距离为 .
答案
第九章
知识梳理 双击自测
9.7 抛物线
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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3.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过 点P(-2,-4),则该抛物线的标准方程为 .
关闭
很明显点 P 在第三象限,所以抛物线的焦点可能在 x 轴负半轴上或 y 轴负半轴上. 当焦点在 x 轴负半轴上时,设方程为 y2=-2px(p>0),把点 P(-2,-4)的坐 标代入得(-4)2=-2p×(-2),解得 p=4,此时抛物线的标准方程为 y2=-8x; 当焦点在 y 轴负半轴上时,设方程为 x2=-2py(p>0),把点 P(-2,-4)的坐 1 2 标代入得(-2) =-2p×(-4),解得 p= ,此时抛物线的标准方程为 x22=2py x2=-2py (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 向左 |PF|=-x0+
������ 2
向上 |PF|=y0+
������ 2
向下 |PF|=-y0+
2 ������ 2 ������
,0
专题9-7 抛物线测-2018年高考数学一轮复习讲练测浙江版 含解析 精品
2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第九章 解析几何第七节 抛物线班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．） 1.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】抛物线24x y =的焦点坐标是 （ ） A. ()0,2 B. ()0,1 C. ()2,0 D. ()1,0 【答案】B【解析】242,2x y py p ==∴=，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，即为()0,1，故选B. 2.【2018届新疆呼图壁县第一中学高三9月月考】抛物线2x y a=的焦点坐标为（0，－1），实数a 的值等于 （ ） A. 4 B. －4 C. 14 D. 14- 【答案】B3.【2018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】动点P 到点()0,2A 的距离比它到直线:4l y =-的距离小2，则动点P 的轨迹方程为（ ）A. 24y x = B. 28y x = C. 24x y = D. 28x y = 【答案】D 【解析】动点P 到()0,2A 点的距离比它到直线： :4l y =-的距离小2， ∴动点M 到点()0,2A 的距离与它到直线2y =-的距离相等，根据抛物线的定义可得点M 的轨迹为以()0,2A 为焦点，以直线2y =-为准线的抛物线，其标准方程为28x y =，故选D.4.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A B ， 是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 11 【答案】B5.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB =，则AF =（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B【解析】由已知B 为AF 的三等分，作BH l ⊥于H ，如图，则244,333BH FK BF BH ==∴==， 34AF BF ∴==，故选B.6．【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ） A.B.C. D.【答案】C7．【2017届云南省红河州高三统一检测】如果12,,,n P P P 是抛物线2:8C y x =上的点，它们的横坐标依次为12,,,n x x x ， F 是抛物线C 的焦点，若128n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）A. 10n +B. 8n +C. 210n +D. 28n + 【答案】D 【解析】12,,,n P P P 是抛物线2:8C y x =上的点，它们的横坐标依次为12,,,n x x x ，F 是抛物线C 的焦点， 128n x x x +++=，12n PF P F P F ∴+++=12222n x x x ++++++（）（）（）12228n x x x n n =++++=+，故选：D ．8.【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题意知，根据重要不等式得：所以，即的最大值为，故选A.9.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【答案】D10.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若4=，则=QF （ ） A.27 B. 3 C. 25D. 2 【答案】B【解析】如图所示，因为4=，故34PQPF =，过点Q 作QM l ⊥，垂足为M ，则//QM x 轴，所以344MQ PQ PF==，所以3MQ =，由抛物线定义知，3QF MQ ==，选B ．11.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A B 、分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的轴长的取值范围是（ ）A. ()6,10B. ()8,12C. []6,8D. []8,12 【答案】B12.【押题卷【浙江卷】】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线 【答案】D.【解析】如下图所示，连结1PC ，过P 作PH BC ⊥于H ，∵11C D ⊥面11BB C C ，1PC ⊂面11BB C C ，∴111PC C D ⊥，∴1PC PH =，故点P 的轨迹为以1C 为焦点，BC 所在直线为准线的抛物线，故选D.二、填空题13.【2017届浙江省高三上学期高考模拟】抛物线22y x =的焦点坐标是___________，准线方程是___________. 【答案】1(,0)2，12x =-. 【解析】由题意得，焦点坐标是1(,0)2，准线方程是12x =-，故填：1(,0)2，12x =-. 14.【2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟】过抛物线24y x =的焦点F 的直线分别交抛物线于,A B 两点，交直线1x =-于点P ，若(),,PA AF PB BF R λμλμ==∈，则λμ+=______________． 【答案】015．【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】在平面直角坐标系中， (),0A a ， ()0,D b ， 0a ≠，()0,2C -， 90CAB ∠=， D 是AB 的中点，当A 在x 轴上移动时， a 与b 满足的关系式为__________；点B 的轨迹E 的方程为_________． 【答案】 22a b = ()20y xx =≠16.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷（一）】过点()0,3的直线与抛物线24y x =交于A ， B两点，线段AB 的垂直平分线经过点()4,0， F 为抛物线的焦点，则AF BF +的值为__________． 【答案】6【解析】设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为()1,0F ，准线为1x =-，设A 、B 、H 在准线上的射影为A B H '''、、，则1'=2AA BB '+'（），由抛物线的定义可得，,AF AA BF BB '=='， 2AF BF AA BB HH +=+=''' ，过()0,3的直线设为3y kx =+，与24y x = 联立得： ()226490k x k x +-+= ，()2264360k k ∆=--> ，计算得出13k <且0k ≠ ， 又12246k x x k -+=，AB 的中点为2232,k kk -⎛⎫⎪⎝⎭ 线段AB 的垂直平分线过点()4,0方程为()14y x k =--过中点2232,k kk -⎛⎫⎪⎝⎭，则 221234k k k k -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 22320k k +-= ，解出2k =-或12k =（舍去），则()2,1H - ， 213HH '=+= ，则26AF BF AA BB HH +=+=''='.三、解答题17.【2016高考浙江文数】如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.【答案】（I ）2p =；（II ）()(),02,-∞+∞.2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又直线AB 的斜率为212tt -，故直线FN 的斜率为212t t--，从而的直线FN:()2112t y x t-=--，直线BN:2y t =-，所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+--- ， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞.18.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上学期期初联考】已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点P 是不在抛物线上的一个动点，过点P 向抛物线C 作两条切线12,l l ，切点分别为()()1122,,,A x y B x y . （1）如果点P 在直线1y =-上，求11AF BF+的值； （2）若点P 在以F 为圆心，半径为4的圆上，求AF BF 的值. 【答案】（1）1（2）1600220x x y y --=．4BF ==，联立切点弦方程与抛物线方程，利用韦达定理代入可得AF BF 的值.试题解析：解：因为抛物线的方程为24x y =，所以2x y '=， 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即1102x x y y --=①，同理切线PB 的方程为2202xx y y --=②，设()00,P x y ，则由①②得1010220x x y y --=以及2020220x x y y --=，由此得直线AB 的方程为00220x x y y --=．（1）由于点P 是直线1y =-上的一个动点，所以01y =-，即直线AB 的方程为0220x x y -+=，因此它过抛物线的焦点()0,1F ．当00x =时， AB 的方程为1y =，此时2AF BF ==，所以111AF BF+=； 当00x ≠时，把直线AB 方程代入抛物线方程得到()220210y x y -++=，从而有121y y =，所以12121212211111111y y AF BF y y y y y y +++=+==+++++． 综上，111AF BF+=． （2）由（1）知切线PA 的方程为211=24x x y x -，切线PB 的方程为222=24x x y x -，联立得点P 1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭． 设直线AB 的方程为y kx m =+，代入2:4C x y =得2440x kx m --=．因此124x x k += 12=4x x m -，所以点P 的坐标为()2,k m -，由题意4PF ==，所以()221164m k +=-，从而()()1211AF BF y y ⋅=++()()()()()221212121111kx m kx m k x x k m x x m =++++=+++++()22244116416mk k m k =-+++-=.19.如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.（1）求点A ，B 的坐标；（2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】（1）222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；（2）32t 【解析】设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B ，O 关于直线D P 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩， 解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t++. （2）由（1）知，AP =直线PA 的方程为20tx y t --=，所以点B 到直线PA的距离为2d =所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=. 20．【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点是抛物线上的动点． （Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程； （Ⅱ）过点作抛物线的两条切线， A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．【答案】(Ⅰ) 1C 的方程为24x y = 其准线方程为1y =-；(Ⅱ)2.联立2242{ 1y tx t y x =+-=+由韦达定理得122124{ 1x x t x x t +=⋅=-，可求得AB =． 进而求得点P 到直线AB的距离2d = 则PAB ∆的面积(()322212312312S AB d t t ==+=+所以当0t =时， S 取最小值为2。
江苏版2018年高考数学一轮复习专题9.7抛物线讲
专题9.7 抛物线【考纲解读】内 容要 求备注A B C圆锥曲线与方程顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质√1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用．【直击考点】题组一 常识题1． 已知抛物线y ＝34x 2，则它的焦点坐标是____________．[解析] 由y ＝34x 2得x 2＝43y ，∴p ＝23，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.2． 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的标准方程是____________．[解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，知p ＝4，且抛物线的开口向右，所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .3． 斜率为1的直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，由抛物线的定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8. 题组二 常错题4．若抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程为________________．[解析] 令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝4.故抛物线的焦点是F (4，0)或F (0，－2)，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .5．抛物线x 2＋2py ＝0的焦点到准线的距离为4，则p ＝________．[解析] 将方程x 2＋2py ＝0变形为x 2＝－2py ，则有|p |＝4，所以p ＝±4. 题组三 常考题6． 抛物线x 2＝－2y 的焦点坐标是______________．[解析] 由已知得2p ＝－2，所以p ＝－1，故该抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 7． 已知焦点在x 轴上的抛物线的准线经过点(－1，1)，则抛物线方程为______________． [解析] 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，所以准线方程为x ＝－p2.因为准线经过点(－1，1)，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .8． 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________．【知识清单】考点1 抛物线的标准方程及几何性质图形标准方程y 2=2px （p＞0）y 2=－2px （p＞0）x 2=2py （p＞0）x 2=－2py （p＞0）顶点O （0，0）范围x ≥0，y R ∈x ≤0，y R ∈ y ≥0，x R ∈y ≤0，x R ∈对称轴 x 轴y 轴焦点 ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 0,2p F ⎛⎫- ⎪⎝⎭离心率e=1考点2 抛物线的定义及应用平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 考点3 直线和抛物线的位置关系1.将直线的方程y kx m =+与抛物线的方程y 2=2px （p ＞0）联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.2220ky py pm -+=若0k =，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若0k ≠①Δ＞0 ⇔直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和抛物线相离，无公共点． 2. 直线与抛物线的相交弦设直线y kx m =+交抛物线22221x y a b-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则12||PP =12|x x -同理可得1212|||(0)PP y y k =-≠ 这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：12||x x -=12||y y -【考点深度剖析】1．抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点．2．考题以填空题为主，多为中低档题．【重点难点突破】考点1 抛物线的标准方程及几何性质【1-1】已知P 是抛物线2y x =上任意一点，则当P 点到直线20x y ++=的距离最小时，P 点与该抛物线的准线的距离是 . 【答案】21 【解析】当直线b x y +-=与抛物线相切于P 点时，到直线02=++y x 的距离最小，把b x y +-=代入02=-+b x x 2x y =得，由于相切041=-=∆∴b 得41-=b ，因此⎪⎭⎫⎝⎛-41,21P ，此点到准线41-=y 的距离为21. 【1-2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若抛物线的准线与双曲线5x 2－y 2= 20的两条渐近线围成的三角形的面积等于54，则抛物线的方程为 . 【答案】y 2=8x545221=⨯⨯p p，所以4=p . 【1-3】已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为 . 【答案】2【解析】圆07622=--+x y x 化为16)3(22=+-y x ，)0(2>-=p px 与圆16)3(22=+-y x 相切，12-=-∴p，即2=p . 【1-4】一个动圆与定圆F ：1)2(22=++y x 相外切，且与定直线l ：1=x 相切，则此动圆的圆心M 的轨迹方程是 . 【答案】x y 82-=【1-5】如图，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为 .【答案】y2＝3x【解析】如图，∵|BC|＝2|BF|，∴由抛物线的定义可知∠BCD＝30°，|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6．即F为AC的中点，∴p＝|FF′|＝12|EA|＝32，故抛物线方程为y2＝3x．【思想方法】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【温馨提醒】1、抛物线的定义与方程的形式是解决抛物线几何性质问题时必须要考虑的两个重要因素．2、求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解。
2018年版高考数学第1轮复习第九章解析几何9.7抛物线课件文新人教A版
∴|BC|=2|BB1|, ∴∠BCB1=30°, ∴∠AFx=60°,
连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1, 则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,
则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即 p=32,故抛物线方程为 y2=3x.
考点1
考点2
考点3
考点 3 直线与抛物线的关系
例3已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且 |AF|=3.
-23-
(1)求抛物线E的方程; (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线 GA相切的圆,必与直线GB相切. 思考直线与抛物线中的焦点弦问题常用结论有哪些?
说法中,正确的是( )
A.等于1 B.等于4
C.最小值是1 D.最大值是4
(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,
P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,
若������������=4������������,则|QF|=(
)
A.72
B.52
C.3
D.2
答案: (1)A (2)C
考点1
9.7 抛物线
知识梳理
双基自测
自测点评
123
-2-
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的
距离相等
的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线
的 准线 .
的点
-3-
知识梳理
双基自测
自测点评
123
2.抛物线的标准方程和几何性质
标准 方程
山东省胶州市2018届高考数学一轮复习第7讲抛物线学案文
第7讲抛物线学习目标【目标分解一】掌握抛物线的定义及其应用【目标分解二】会求抛物线的标准方程及性质(高频考点) 【目标分解三】直线与抛物线的位置关系重点性质综合应用、直线与抛物线的位置关系合作探究随堂手条件结论1结论2(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离；(3)定点定直线上．M点的轨迹为抛物线为抛物线的焦点为抛物线的准线标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离x∈R x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝|PF|＝|PF|＝|PF|＝点且与定直线垂直的直线．＋2或＋2.→1．(1)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4|OF|，△MFO的面积为43，则抛物线的方程为( )＝2双曲线a-yA.9 B.4C.3D2.线相切(O为坐标原点)，且外接圆的面积为9π，则p＝( )【例3】(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2【规律总结3】(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用的焦点与椭圆9＋5＝25，求该抛物线的(2017·豫南九校联考)已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A 抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________．A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是( )限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A ．13B ．23 C.34 D.43★★9.【2017课标II ，文12】过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M （M 在x轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥,则M 到直线NF 的距离为A.5B.22 C . 23 D. 33★10.【2017山东，文15】在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .11.(经典考题)如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ． 水位下降1 m 后，水面宽________m.12.【2017课标1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．。
最新-2018年高考数学一轮复习 第8章解析几何抛物线课件 精品
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距
离 相等
点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线
的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 .
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2.抛物线的标准方程和几何性质(如表所示)
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
图形
范围 准线方程 性 焦点 质 对称轴
点,最小值为|AF|= 5 .
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(2)同理|PF|与P点到准线的距离相等,如图: ∵|P1Q|=|P1F|, ∴|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4. ∴|PB|+|PF|的最小值为4.
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考点四 抛物线的应用 如图,有一块抛物线形钢板,其垂 直于对称轴的边界线AB长为2r, 高为4r,计划将此钢板切割成等 腰梯形的形状 ,以 AB为下底 , 上底CD的端点在抛物线上 , 记 CD=2x,梯形面积为S.(1) 求面积S,使其为以x为自变量的 函数式,并写出其定义域; (2)求面积S的最大值. 【分析】根据题意先建立坐标系,利用CD的长求出梯形AB CD的高,进而表示梯形面积;然后利用导数求面积S的最大值.
【解析】将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=± 6.
∵ 6＞2,∴A在抛物线内部.
如图，设抛物线上点P到准线l:x=- 1 的距离为d,由
定义知|PA|+|PF|=|PA|+d,
2
当PA⊥l时,|PA|+d最小,
最小值为 7 ,即|PA|+|PF|
2
的最小值为 7 ,此时P点纵坐标
2
为2,代入y2=2x,得x=2,
2018版高考数学一轮复习课件：第8章 第7节 抛物线
C．x＝－1
D.x＝－2
A [∵y＝14x2，∴x2＝4y，∴准线方程为 y＝－1.]
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第九页，编辑于星期六：二十二点 二十九分。
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4．(2017·西安质检)若抛物线 y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线 x2－y2＝1 的一个 焦点，则 p＝__________.
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第二十四页，编辑于星期六：二十二点 二十九 分。
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[变式训练 2] (1)(2017·河南中原名校联考)抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点为 F，O
为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为 4 3，则抛物
线的方程为 ( )
A．y2＝6x
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第二十六页，编辑于星期六：二十二点 二十九 分。
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(2)由椭圆x92＋y52＝1，知 a＝3，b＝ 5， 所以 c2＝a2－b2＝4，所以 c＝2. 因此椭圆的右焦点为(2,0)， 又抛物线 y2＝2px 的焦点为p2，0. 依题意，得p2＝2， 于是抛物线的准线 x＝－2.]
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第十七页，编辑于星期六：二十二点 二十九分。
C [∵F→P＝4 F→Q，
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∴|F→P|＝4|F→Q|，
∴||PPQF||＝34.
如图，过 Q 作 QQ′⊥l，垂足为 Q′，
设 l 与 x 轴的交点为 A，则|AF|＝4，
∴||PPQF||＝|Q|AQF′| |＝34，
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∵点 A4p，2
2，D－p2，
专题9-7抛物线(测)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)Word版含解析
2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第九章 解析几何第七节 抛物线班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．） 1.【2018届湖北省黄冈市高三9月检测】抛物线24x y =的焦点坐标是 （ ） A. ()0,2 B. ()0,1 C. ()2,0 D. ()1,0 【答案】B【解析】242,2x y py p ==∴=，焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，即为()0,1，故选B. 2.【2018届新疆呼图壁县第一中学高三9月月考】抛物线2x y a=的焦点坐标为（0，－1），实数a 的值等于 （ ） A. 4 B. －4 C. 14 D. 14- 【答案】B3.【2018届江西省新余市第一中学毕业年级第二模拟】动点P 到点()0,2A 的距离比它到直线:4l y =-的距离小2，则动点P 的轨迹方程为（ ）A. 24y x = B. 28y x = C. 24x y = D. 28x y =【答案】D 【解析】动点P 到()0,2A 点的距离比它到直线： :4l y =-的距离小2， ∴动点M 到点()0,2A 的距离与它到直线2y =-的距离相等，根据抛物线的定义可得点M 的轨迹为以()0,2A 为焦点，以直线2y =-为准线的抛物线，其标准方程为28x y =，故选D.4.已知F 是抛物线24y x =的焦点，A B ， 是抛物线上的两点，12AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 11 【答案】B5.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点A l ∈，线段AF 交抛物线C 于点B ，若3FA FB =，则AF =（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】B【解析】由已知B 为AF 的三等分，作BH l ⊥于H ，如图，则244,333BH FK BF BH ==∴==， 34AF BF ∴==，故选B.6．【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上学期第一次联考】已知抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，若，且直线的斜率，则的面积为（ ） A.B.C. D.【答案】C7．【2017届云南省红河州高三统一检测】如果12,,,n P P P 是抛物线2:8C y x =上的点，它们的横坐标依次为12,,,n x x x ， F 是抛物线C 的焦点，若128n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（ ）A. 10n +B. 8n +C. 210n +D. 28n + 【答案】D 【解析】12,,,n P P P 是抛物线2:8C y x =上的点，它们的横坐标依次为12,,,n x x x ，F 是抛物线C 的焦点， 128n x x x +++=，12n PF P F P F ∴+++=12222n x x x ++++++（）（）（）12228n x x x n n =++++=+，故选：D ．8.【2018届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】已知抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，弦的中点在其准线上的射影为,则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题意知，根据重要不等式得：所以，即的最大值为，故选A.9.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．43【答案】D10.已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若4=，则=QF （ ） A.27 B. 3 C. 25D. 2 【答案】B【解析】如图所示，因为4=，故34PQ PF=，过点Q 作QM l ⊥，垂足为M ，则//QM x 轴，所以344MQ PQ PF ==，所以3MQ =，由抛物线定义知，3QF MQ ==，选B ．11.【2018届辽宁省庄河市高级中学高三上学期开学】如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A B 、分别在抛物线28y x =及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的轴长的取值范围是（ ）A. ()6,10B. ()8,12C. []6,8D. []8,12 【答案】B12.【押题卷【浙江卷】】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线 【答案】D.【解析】如下图所示，连结1PC ，过P 作PH BC ⊥于H ，∵11C D ⊥面11BB C C ，1PC ⊂面11BB C C ，∴111PC C D ⊥，∴1PC PH =，故点P 的轨迹为以1C 为焦点，BC 所在直线为准线的抛物线，故选D.二、填空题13.【2017届浙江省高三上学期高考模拟】抛物线22y x =的焦点坐标是___________，准线方程是___________. 【答案】1(,0)2，12x =-. 【解析】由题意得，焦点坐标是1(,0)2，准线方程是12x =-，故填：1(,0)2，12x =-. 14.【2017届浙江温州市普通高中高三8月模拟】过抛物线24y x =的焦点F 的直线分别交抛物线于,A B 两点，交直线1x =-于点P ，若(),,PA AF PB BF R λμλμ==∈，则λμ+=______________． 【答案】015．【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】在平面直角坐标系中， (),0A a ， ()0,D b ， 0a ≠，()0,2C -， 90CAB ∠=， D 是AB 的中点，当A 在x 轴上移动时， a 与b 满足的关系式为__________；点B 的轨迹E 的方程为_________． 【答案】 22a b = ()20y xx =≠16.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三综合卷（一）】过点()0,3的直线与抛物线24y x =交于A ， B两点，线段AB 的垂直平分线经过点()4,0， F 为抛物线的焦点，则AF BF +的值为__________． 【答案】6【解析】设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为()1,0F ，准线为1x =-，设A 、B 、H 在准线上的射影为A B H '''、、，则1'=2AA BB '+'（），由抛物线的定义可得， ,AF AA BF BB '=='， 2AF BF AA BB HH +=+=''' ，过()0,3的直线设为3y kx =+，与24y x = 联立得： ()226490k x k x +-+= ，()2264360k k ∆=--> ，计算得出13k <且0k ≠ ， 又12246k x x k -+=，AB 的中点为2232,k k k -⎛⎫⎪⎝⎭ 线段AB 的垂直平分线过点()4,0方程为()14y x k =--过中点2232,k k k -⎛⎫ ⎪⎝⎭，则 221234k k k k -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 22320k k +-= ，解出2k =-或12k =（舍去），则()2,1H - ， 213HH '=+= ，则26AF BF AA BB HH +=+=''='.三、解答题17.【2016高考浙江文数】如图，设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1. （I ）求p 的值；（II ）若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.【答案】（I ）2p =；（II ）()(),02,-∞+∞.2440y sy --=，故124y y =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又直线AB 的斜率为212tt -，故直线FN 的斜率为212t t --，从而的直线FN:()2112t y x t -=--，直线BN:2y t=-，所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭， 设M(m,0),由A,M,N 三点共线得：222222231t t t t t m t t +=+--- ， 于是2221t m t =-，经检验，m<0或m>2满足题意.综上，点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞.18.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上学期期初联考】已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点P 是不在抛物线上的一个动点，过点P 向抛物线C 作两条切线12,l l ，切点分别为()()1122,,,A x y B x y . （1）如果点P 在直线1y =-上，求11AF BF+的值； （2）若点P 在以F 为圆心，半径为4的圆上，求AF BF 的值. 【答案】（1）1（2）1600220x x y y --=．4BF == ，联立切点弦方程与抛物线方程，利用韦达定理代入可得AF BF 的值.试题解析：解：因为抛物线的方程为24x y =，所以2xy '=， 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即1102x x y y --=①，同理切线PB 的方程为2202xx y y --=②，设()00,P x y ，则由①②得1010220x x y y --=以及2020220x x y y --=，由此得直线AB 的方程为00220x x y y --=．（1）由于点P 是直线1y =-上的一个动点，所以01y =-，即直线AB 的方程为0220x x y -+=，因此它过抛物线的焦点()0,1F ．当00x =时， AB 的方程为1y =，此时2AF BF ==，所以111AF BF+=； 当00x ≠时，把直线AB 方程代入抛物线方程得到()220210y x y -++=，从而有121y y =，所以12121212211111111y y AF BF y y y y y y +++=+==+++++． 综上，111AF BF+=． （2）由（1）知切线PA 的方程为211=24x x y x -，切线PB 的方程为222=24x x y x -，联立得点P 1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭． 设直线AB 的方程为y kx m =+，代入2:4C x y =得2440x kx m --=．因此124x x k += 12=4x x m -，所以点P 的坐标为()2,k m -，由题意4PF ==，所以()221164m k +=-，从而()()1211AF BF y y ⋅=++()()()()()221212121111kx m kx m k x x k m x x m =++++=+++++()22244116416mk k m k =-+++-=.19.如图，已知抛物线211C 4y x =：，圆222C (1)1x y +-=：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O 的直线PA ，PB 分别与抛物线1C 和圆2C 相切，A ，B 为切点.（1）求点A ，B 的坐标；（2）求PAB ∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.【答案】（1）222222(2,),(,)11t t A t t B t t ++；（2）32t 【解析】设圆2C 的圆心为(0,1)D ，点B 的坐标为00(,)x y ，由题意知，点B ，O 关于直线D P 对称，故有00001220y x t x t y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩， 解得2002222,11t t x y t t ==++.即点22222(,)11t t B t t++. （2）由（1）知，AP =直线PA 的方程为20tx y t --=，所以点B 到直线PA的距离为2d =所以PAB ∆的面积为3122t S AP d =⋅=. 20．【2018届浙江省名校协作体高三上学期考试】如图，已知抛物线的焦点在抛物线22:1C y x =+上，点是抛物线上的动点． （Ⅰ）求抛物线的方程及其准线方程； （Ⅱ）过点作抛物线的两条切线， A 、B 分别为两个切点，求PAB ∆面积的最小值．【答案】(Ⅰ) 1C 的方程为24x y = 其准线方程为1y =-；(Ⅱ)2.联立2242{ 1y tx t y x =+-=+由韦达定理得122124{ 1x x t x x t +=⋅=-，可求得AB =． 进而求得点P 到直线AB的距离2d = 则PAB ∆的面积(()322212312312S AB d t t ==+=+所以当0t =时， S 取最小值为2。
[推荐学习]课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线学案理
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§9.7抛物线考纲展示►1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.了解抛物线的简单应用，掌握其几何性质.3.理解数形结合思想.考点1 抛物线的定义及应用抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．答案：距离相等焦点准线[教材习题改编]动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案：y2＝4x解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.抛物线的定义：关注应用．过抛物线y2＝8x的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于点A，B，则|AB|＝________.答案：16解析：解法一：依题意，过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以|AB|＝1＋12·x1＋x22－4x1x2＝2×122－16＝16.解法二：过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得x 2－12x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12. 由抛物线定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋4＝16.[考情聚焦] 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等． 主要有以下几个命题角度： 角度一到焦点与定点距离之和最小问题[典题1] [2017·江西赣州模拟]若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的点M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)[答案] D[解析] 过点M 作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M 的坐标为(2,2)．角度二到点与准线的距离之和最小问题[典题2] [2017·河北邢台摸底]已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．[答案] 5[解析] 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，则|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度三到定直线的距离最小问题[典题3] 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3 [答案] B[解析] 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.角度四焦点弦中距离之和最小问题[典题4] 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．[答案] 2[解析] 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.[点石成金] 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点2 抛物线的标准方程与性质1.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________. 答案：(1)y 2＝2px (p >0) (2)y 2＝－2px (p >0) (3)x 2＝2py (p >0) (4)x 2＝－2py (p >0) 2．抛物线的几何性质答案：O (0,0) y ＝0 x ＝0 1(1)[教材习题改编]若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________． 答案：－18解析：抛物线y ＝ax 2的标准方程为x 2＝1ay ，∴－14a ＝2，∴a ＝－18.(2)[教材习题改编]将抛物线C 1：x 2＝12y 绕原点逆时针旋转90°，得到抛物线C 2，则C 2的焦点坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0 解析：易知抛物线C 2的方程为y 2＝－12x ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0.抛物线的标准方程：注意一次项系数的符号．抛物线x 2＋2py ＝0的焦点到准线的距离为4，则p ＝________. 答案：±4解析：抛物线x 2＋2py ＝0的标准方程为x 2＝－2py ，依题意知|p |＝4，所以p ＝±4.求抛物线的标准方程：待定系数法．抛物线的开口向左，过抛物线的焦点且与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段AB 的长为4，则该抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－4x解析：依题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，易得|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2， 所以所求抛物线方程为y 2＝－4x .[典题5] (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1) [答案] B[解析] 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y[答案] D[解析] ∵x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.则x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x . x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题意得p21＋32＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .[点石成金] 1.求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 的值即可．2．利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．3．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.若抛物线y 2＝4m x 的准线经过椭圆x 27＋y23＝1的左焦点，则实数m 的值为________．答案：12解析：抛物线y 2＝4m x 的准线方程为x ＝－1m ，椭圆x 27＋y23＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－1m ＝－2，所以实数m ＝12.考点3 焦点弦问题[典题6] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． [解] (1)由题意得，直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)，得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[点石成金] 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .证明：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0. 由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y B ，则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y A x A ＝k OA . ∴直线AC 经过原点O .考点4 直线与抛物线的位置关系[典题7] 已知A (8,0)，B ，C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC→＝CP →，(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M ，N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )， 则AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )，BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )．∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0，①∴由BC →＝CP →，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝x －c ，－b ＝y ，将b ＝－y 代入①，得y 2＝－4x . ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则l ：y ＝k (x －8)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)，由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋64k 2＝96.② 将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x ， 得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0. ∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点， ∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2＞0， 即－24＜k ＜24， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝16k 2－4k2，x 1x 2＝64.代入②式，得64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k＋64k 2＝96. 整理得k 2＝14，∴k ＝±12.∵k ＝±12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24，∴这样的直线l 不存在．综上，不存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M ，N 两点，且满足OM →·ON →＝97. [点石成金] 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t ＞0)作不过原点O的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．解：(1)由题意知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －t ，y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0. 点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t2.设△PAB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t32.[方法技巧] 1.求抛物线的标准方程时，一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下几个结论：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p； (4)以AF 为直径的圆与y 轴相切； (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．[易错防范] 直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．真题演练集训1．[2015·浙江卷]如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案：A解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知，焦点F (1,0)，作准线l ， 则l 的方程为x ＝－1.∵ 点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1. 在△CAN 中，BM ∥AN ， ∴ |BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：B解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，解得p ＝4，故选B.3．[2016·四川卷]设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1 答案：C解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则由|PM |＝2|MF |，得M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫p ＋t 22p 3，t 3. 当t ＝0时，直线OM 的斜率k ＝0； 当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝tp ＋t 22p ＝1p t ＋t2p，所以|k |＝1p |t |＋|t |2p ≤12p |t |·|t |2p＝22，当且仅当p |t |＝|t |2p 时等号成立，于是直线OM 的斜率的最大值为22，故选C.4．[2016·天津卷]设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案： 6解析：抛物线的普通方程为y 2＝2px ，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，l ：x ＝－p 2.由|CF |＝2|AF |，得|AF |＝32p ，不妨设点A (x ，y )在第一象限，则x ＋p 2＝3p2，即x ＝p ，所以y ＝2p .易知△ABE ∽△FCE ，|AB ||CF |＝|AE ||EF |＝12，所以|EF |＝2|AE |，所以△ACF 的面积等于△AEC 的面积的3倍，即S △ACF ＝92， 所以S △ACF ＝12×3p ×2p ＝92，解得p ＝ 6.5．[2016·浙江卷]若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案：9解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.课外拓展阅读对抛物线的标准方程认识不准而致误分析[典例] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233 D.433[解析] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y ＝－p4(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4x －，y ＝12p x 2，消去y ，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0. 设点M 的横坐标为a ，易知在点M 处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′x ＝a ＝a p ， 又因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x3±y ＝0，其与切线平行，所以ap ＝33，即a ＝33p ， 代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝433或p ＝0(舍去)．[答案] D。
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专题9.7 抛物线
一、填空题
1．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线截圆x 2＋y 2－2y －1＝0所得弦长为2，则p ＝______．
【解析】抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)2
＝2，圆心M (0,1)，半径r ＝2，圆心到准线的距离为p 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝(2)2，解得p ＝2. 2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54
x 0，则x 0＝______． 【解析】由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54
x 0，解得x 0＝1.
3．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |
＝______．
4．设抛物线C ：y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为______．
【解析】由已知得抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫p 2，－2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0－2.由已知得，AF ·AM ＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫8p ，4.由|MF |＝5得，8p ＋p 2＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .
5．(2017·长春模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限
分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |
的值等于______．
【解析】记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1，B 1，C ，
则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.
6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)与圆(x －a )2＋y 2＝r 2
(a >0)有且只有一个公共点，则______．
7．抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．
【答案】8
【解析】设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p 2
＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.
8．(2017·邢台模拟)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为________．
【答案】2
【解析】由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过A 作AA 1⊥l 于A 1，过B 作BB 1⊥l 于B 1，设弦AB 的中点为M ，过M 作MM 1⊥l 于M 1.则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2
.|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，则|AA 1|＋|BB 1|≥6，即2|MM 1|≥6，所以|MM 1|≥3，故M 到x 轴的最短距离为3－1＝2.
9．已知F 是抛物线y 2
＝4x 的焦点，A ，B 是抛物线上两点，若△AFB 是正三角形，则△AFB 的边长为________．
【答案】8＋43或8－4 3
【解析】由题意可知A ，B 两点一定关于x 轴对称，且AF ，BF 与x 轴夹角均为30°，由于y 2＝4x 的焦点为(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x －，y 2＝4x ，化简得y 2－43y －4＝0，解得y ＝23＋4或y ＝23－4，所以△AFB 的边长为8＋43或8－4 3.
10．经过抛物线C 的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，如果A ，B 在抛物线C 的准线上的射影分
别为A 1，B 1，那么∠A 1FB 1为________．
【答案】π2
【解析】由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，故∠BFB 1＝∠BB 1F ，∠AFA 1＝∠AA 1F .又∠OFB 1＝∠BB 1F ，
∠OFA 1＝∠AA 1F ，故∠BFB 1＝∠OFB 1，∠AFA 1＝∠OFA 1，所以∠OFA 1＋∠OFB 1＝12×π＝π2，即∠A 1FB 1＝π2
. 二、解答题
11．已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标．
12.如图，已知抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．
(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；
(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．。