24.1.4 圆周角定理1

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24.1.4圆周角(1)(讲课用)(公开课)

想一想；
一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种关系？请大家在练习本上画一画.
A O B
A
A
.
C
O
.
C
O
D B
.
C
B
D
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成这个图形吗？
猜想：圆周角∠BAC和圆心角∠BOC是
什么关系?
（1）当圆心O在圆周角∠BAC的一边AB上时
证明：∵OA=OC ∴∠BAC=∠C
C O
B
练一练
5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A 重合。（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。 A
解：（1）AB=AC。证明：连接AD ∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
1、圆周角的定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 2、圆周角定理：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3、圆周角定理的推论：
推论1.同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角；900的圆周角所对的弦是直径。
能力提高
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论1：
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
口答：抢答！
1、一条弧所对的圆心角的度数为96°，求这条弧的度数 96°，它所对的圆周 A 角的度数是 48° 。 O 2、一个圆周角对着半圆,则此圆周角的度数是 90° ? C B

人教版数学九年级上册24.1.4：圆周角的概念和圆周角的定理(教案)

1.讨论主题：学生将围绕“圆周角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
3.培养学生的数学抽象能力：让学生从具体的圆周角实例中抽象出一般性规律，理解圆周角与圆心角、弧和弦之间的关系，提升数学抽象思维。
4.培养学生的数学建模能力：通过解决与圆周角相关的问题，使学生能够建立数学模型，运用所学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：强调圆周角定义中“顶点在圆上，两边分别与圆相交”的特点，以及与圆心角的关系。
a.圆周角定理：圆周角等于其所对的圆心角的一半。
b.圆周角推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力：通过观察圆周角与圆心角的关系，使学生能够直观理解圆周角的概念及定理，提高空间想象力和几何直观感知。
2.发展学生的逻辑推理能力：在学习圆周角定理及其推论的过程中，引导学生运用严密的逻辑推理，掌握证明方法，增强解决问题的能力。
-掌握圆周角定理的证明：学生需要掌握如何运用严密的逻辑推理证明圆周角定理，并能够灵活运用。
-圆周角推论的应用：学生需学会将圆周角推论应用于解决实际问题，如求弧长、弦长等。
举例1：针对圆周角定义的难点，教师可通过以下步骤帮助学生理解：
a.展示不同类型的角，让学生辨别哪些是圆周角，哪些是圆心角。
b.通过动态演示，让学生观察圆周角与圆心角的变化关系，加深理解。

24.1.4 圆周角

证明猜想
归纳总结
推论：圆的内接四边形的对角互补.
C
O
D
B
A
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
延长BC到点E，有
∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
想一想
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
归纳总结
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
解:连接BC,则∠ACB=90°,
∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.
又∵∠BAD=∠DCB=30°,
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
4
知识点
圆内接四边形
教学重点
回顾旧知
什么是圆心角？它具有哪些性质？
讲授新课
典例精讲
归纳总结
1
知识点
圆周角的定义
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．如：∠ACB．
如图所示，∠BAC 是圆周角的是( )
导引：顶点A必须在圆上，故排除D；AB , AC 必须分别与圆相交，B，C都不符合，故排除B，C.
24.1 圆的有关性质
第二十四章圆
24.1.4 圆周角
目录页
讲授新课
当堂练习
课堂小结
新课导入
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）

24.1.4 圆周角

8.如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长 DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE 是等腰三角形．
证明：∵∠A+∠BCD=180°, ∠BCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠BCE. ∵BC=BE, ∴∠E=∠BCE, ∴∠A=∠E, ∴AD=DE, ∴△ADE是等腰三角形.
综合应用
9.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB 与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE 方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x° ，则x的取值范围是 30≤x≤60 ．
拓展延伸
10.如图，BC为半圆O的直径，点F是B⌒C上一动点(点F不与B、C重合)，A是B⌒F上的中点，设
∠FBC=α，∠ACB=β．
(1)当α=50°时，求β的度数;
(2)猜想α与β之间的关系，并
给予证明.
C
解：(1)连接OA，交BF于点M. ∵A是B⌒F上的中点，∴OA垂直平分BF.
∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.
∴∠C=
1 2
∠AOB=
1 2
×40°=20°,
即β=20°.
(2)β=45°-
等，也可能互补.
半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
所对应的圆心角为 180°，则对应的圆周角为 90°.
C2 C1
C3
A
O
B
推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
例4 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为 6 cm，
ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．

人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教案

三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的定义：理解圆周角的含义，明确圆周角顶点在圆心上，两边分别与圆上的两条弧相交。
-圆周角定理：掌握同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧相等；相等弧所对的圆周角也相等的定理。
-圆周角的应用：学会将圆周角定理应用于解决实际问题，如计算弧长、角度等。
-圆内接四边形的性质：了解圆内接四边形的对角互补，以及圆周角定理在四边形中的应用。
课堂上，我通过提问和实例引入新课，希望能激发学生的兴趣和好奇心。从学生的反应来看，这个方法还是有效的，他们能够积极参与课堂讨论。但在讲授理论知识时，我发现有些学生难以跟上我的思路，可能是因为我讲解得太快，没有给学生足够的思考时间。在接下来的教学中，我会注意放慢讲解速度，给予学生更多的思考空间。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相当不错。他们能够将所学的圆周角定理应用到实际问题中，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到，在小组讨论过程中，有些学生过于依赖同伴，没有独立思考。因此，我会在以后的课堂上，更加关注每个学生的学习状态，鼓励他们提出自己的观点和疑问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解圆周角的基本概念。圆周角是指圆上一条弧所对的角，其顶点位于圆心上。它是研究圆的重要几何属性，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了圆周角在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆周角的定义和圆周角定理这两个重点。对于难点部分，比如圆周角与圆心角的区别，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角相关的实际问题，如圆内接四边形的性质。

24.1.4圆周角(人教新课标九年级上)

C O
B A
拓展练习
如图,点P是⊙O外一点,点A、B、Q是⊙O上的点。（1）求证∠P＜ ∠AQB
（2）如果点P在⊙O内， ∠P与∠AQB有
怎样的关系？为什么？
A
Qp O
B
小结：
本节课你学会了什么?
1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理的运用； 4、圆内接多边形的定义； 5、圆内接四边形的性质。
一、圆周角概念
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
图中的∠ACB、∠ADB 和∠AEB是圆周角 C
D A
O·
E
B
课本P88-1判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
PPຫໍສະໝຸດ PP不是不是
顶点不顶点不在圆上。在圆上。
是
不是
顶点在圆上，两边和圆相交。
两边不和圆相交。
24.1.4 圆周角
教学目标
1．理解圆周角的概念，会识别圆周角。 2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算。 3.能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明等问题。 4.知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆。 5.能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题。 6.经历观察、类比、猜想、合作交流等数学活动，体会运用分类讨论、转化、完全归纳法等数学思想方确法解决问题,培养学生分析问题和解决问题的能力。
∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：连接OD
∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，

人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》教学设计

人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》是本节课的主要内容。

圆周角定理是圆周角定理系列中的重要定理之一，也是后续学习圆的性质和圆的方程的基础。

本节课的内容包括圆周角定理的证明和应用。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握圆周角定理，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的性质，对角的性质有一定的了解。

但是，对于圆周角定理的理解和运用还需要进一步引导和培养。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察和操作，发现和总结圆周角定理的规律。

三. 教学目标1.了解圆周角定理的内容和证明过程。

2.能够运用圆周角定理解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆周角定理的证明过程。

2.圆周角定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察和操作，发现和总结圆周角定理的规律。

2.运用多媒体辅助教学，展示圆周角定理的证明过程，增强学生的直观感受。

3.通过例题和练习题，让学生在实际问题中运用圆周角定理，巩固所学知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.圆规、直尺等绘图工具。

3.相关例题和练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式，引导学生回顾相似三角形的性质和角的性质。

让学生思考：在圆中，圆周角和圆心角之间有什么关系？2.呈现（10分钟）展示圆周角定理的证明过程，引导学生观察和理解证明方法。

通过多媒体动画演示，让学生更直观地感受圆周角定理的应用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，尝试解决一些与圆周角定理相关的问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）呈现一些例题和练习题，让学生独立解答。

教师选取部分学生的解答进行讲解和分析，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：圆周角定理在实际问题中的应用。

24.1.4_圆周角1

判断下列图形中所画的∠ 是否为圆周角并说明理由。是否为圆周角？判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P P P
P 不是顶点不在圆上。在圆上。是顶点在圆上，顶点在圆上，两边和圆相交。不是两边不和圆相交。圆相交。
不是有一边和圆不相交。不相交。
观察思考：
在这个海洋馆里，在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．
回忆
1.什么叫圆心角什么叫圆心角? 什么叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角 2. 圆心角、弧、弦三个量之间关系的圆心角、一个结论，这个结论是什么？一个结论，这个结论是什么？在同圆（或等圆）在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，如果圆心角、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。那么它们所对应的其余两个量都分别相等。 A O B
证明：由第种情况得证明：由第1种情况得
1 ∠BAD＝ ∠ BOD ＝ 2 1 ∠CAD＝ ∠ COD ＝ 2
1 1 ∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD ＋＝＋ 2 2 1 即∠BAC= ∠BOC 2
分析论证
你能证明第3种情况吗？你能证明第种情况吗？种情况吗
证明：作射线证明：作射线AO交⊙O于D。交于。
解：（1）AB=AC。：（1）AB=AC。证明：连接AD 证明：连接是直径， ∵AB是直径，∴∠ 是直径 ∴∠ADB=90°， ° 又∵DC=BD，∴AB=AC。，。是锐角三角形。（2）△ABC是锐角三角形。）是锐角三角形由（1）知，∠B=∠C＜90 ° ） ∠ ＜连接BF， ∴∠A＜连接，则∠AFB=90 °，∴∠ ＜90 ° ∴△ABC是锐角三角形是锐角三角形

人教版初三数学上册24.1.4圆周角的概念和圆周角定理

1.形成概念
问题5：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O 相交于点C?观察并比较∠ACB 与∠AOB 由和异同？
我们知道，∠AOB 叫做AB 所对的圆心角，类似地，我们把∠ACB 叫做AB 所对的圆周角
教材定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
2.剖析概念、应用概念
问题6：判断下列图形中所画的∠P 是否为圆周角？并说明理由。

探究定理：
问题7：在同一个圆中，一条弧所对的圆心角只有一个，那么一条弧所对的圆周角有几个呢？
结论：（1）一条弧所对的圆周角有无数个；（2）优弧和劣弧所对的圆周角大小不同问题8：∠ACB 与∠AOB 有怎样的关系？
问题9：当点C 移动到C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 时，圆周角与圆心角的数量关系改变没？结论：无论移动点C 、还是点C 1 始终有
∠ACB=2
1∠AOB ，即一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半问题10：通过观察、猜想、我们得到上面的结论，那么如何证明结论呢？
问题11.观察点C 在移动过程中，圆心O 与∠ACB 有哪些位置关系？
结论：有三种情况，
圆心在圆周角的一边上时；圆心在圆周角的内部时；圆心在圆周角的外部
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
证明定理。

zs24.1.4 圆周角①

D
A
O 40°
B
C
4、思考：判断正误： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等（） 2.相等的圆周角所对的弧相等（） 3.90°角所对的弦是直径（） 4.直径所对的角等于90°（） 5.长等于半径的弦所对的圆周角等于30°（）
5、如图，在Ｏ中， DE=2BC ，∠EOD=128，求∠A.
E
C
A
B
O
D
思考：半圆（或直径）所对的圆周角有什么特殊性？
③圆周角定理的推论二：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
C2 C1 A C3
O
B
两条弧相等
两个圆周角相等
两个圆心角相等
两条弦相等
例题：如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长． C
A
O
B
D
练习:
1.试找出下图中所有相等的角。
D
∠2=∠7 ∠1=∠4
A
1
8 7
6
C
2 3
B
∠3=∠6
4
5
∠5=∠8
2、如图，∠ AO=110°，点C在⊙O上，且点C 不与A、B重合,则∠ABC=＿＿＿＿＿.
C
O A
C
.
B
3、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点 ,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
AAAC来自●C●
C
B
●
O
O
O
B
B
②圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
1 BAC BOC． 2 BOC 2BAC．

初中数学教学课件：24.1.4圆周角(人教版九年级上)

C
等于（ B ）.
A.30° B.60° C.90° D、45°
A
B
P
1.如图，∠A=50°，∠AOC=60° BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ B ）. A.70° B.110° C.90° D.120°
2.（南通·中考）如图，⊙O的直径
A
ED O
B
C
AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的
24.1.4 圆周角
1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的定理的内容及简单应用； 2.掌握圆周角的定理的三个推论及简单应用； 3.渗透由“特殊到一般”，由“一般到特殊”的数学思想方法.
C
C
O
O
B
A
B
B A
A
C
O
圆周角：顶__点__在__圆__上__，并且角_两__边__都__和__圆__相__交_. 圆心角: 顶__点__在__圆__心___ 的角.
∠COB=120°．∴∠CBD=1 ∠COD=1 ×1 ∠COB=30°.
2
22
又∠AOB=98°，∠COB=120°．∴∠OAB=41°，
∠OBC=∠OCB=30°, ∠ABD=41°+30°+30°=101°.
答案：101°
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O
上，∠C＝30°，AB＝2，则⊙O的半径是多少？
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
A D B D 2 A B 2 1 0 52 ( c m )
2
2
跟踪训练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ D ）. A.50° B.80° C.90° D.100°

人教版数学九年级上册课件22-第二十四章24.1.4圆周角

答案 A
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一构造圆内接四边形求角度例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.

24.1.4圆周角定理

作课类别课题24.1.4圆周角定理课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.了解圆周角的概念，理解圆周角的定理及其推论．2.熟练掌握圆周角的定理及其推论的灵活运用．3.体会分类思想.过程方法设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推论解决问题．情感态度激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．教学难点运用数学分类思想证明圆周角的定理．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、导语上节课我们学习了圆心角、弧、弦之间的关系定理，如果角的顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．二、探究新知（一）、圆周角定义问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设EF是球门，•设球员们只能在所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．观察∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的共同特点是什么？教师联系上节课所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫学生以射门游戏为情境，通过寻找共同特点，总结一类角的特点，引出圆周角的定义学生比较圆周角与圆心角，进一步理解圆周角定义从具体生活情境出发，通过学生观察，发现圆周角的特点深化理解定义得到圆周角定义：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 分析定义：○1圆周角需要满足两个条件；○2圆周角与圆心角的区别（二）、圆周角定理及其推论1.结合圆周角的概念通过度量思考问题：○1一条弧所对的圆周角有多少个？②同弧所对的圆周角的度数有何关系？③同弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系吗？2.分情况进行几何证明①当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时，如图⑴所示，那么∠ABC=12∠AOC吗？②当圆心O在圆周角∠ABC的内部时，如图⑵，那么∠ABC=12∠AOC吗？③当圆心O在圆周角∠ABC的外部时，如图⑶，∠ABC=12∠AOC吗？可得到：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据得到的上述结论，证明同弧所对的圆周角相等.得到:同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．问题：将上述“同弧”改为“等弧”结论会发生变化吗？总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．教师提出问题，引导学生思考，大胆猜想.得到：1一条弧上所对的圆周角有无数个．2通过度量，同弧所对的圆周角是没有变化的，同弧所对的圆周角是圆心角的一半．教师组织学生先自主探究，再小组合作交流，总结出按照圆周角在圆中的位置特点分情况进行探究的方案.学生尝试叙述，达到共识学生尝试证明学生根据同弧与等弧的概念思考教师提出的问题，师生归纳出定理让学生明白该定理的前提条件的不可缺性，师生分析，进一步理解定理.教师试让学生将上节课定理与归纳的定理进行综合，思考，便于综合运用圆的性质定理..教师提出问题，学生领会半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，进行思考，得到推论学生按照教师布置阅读课激发学生求知欲，为探究圆周角定理做铺垫.培养学生全面分析问题的能力，尝试运用分类讨论思想方法，培养学生发散思维能力.为继续探究其推论奠定基础.感受类比思想，类比中全面透彻地理解和掌握定理，让学生感受相关知识的内在联系，形成知识系统.使学生运用定理解决特殊性问题，从而得到推论培养学生的阅读能力，自学能力.学生初步运用圆周角定理进行证明，同时发现圆内接四边形性质培养学生解决问题的意识和能力运用所学知识进行应用，巩固知识，形成做题技巧让学生通过练习于是，在同圆或等圆中，两个圆心角，两个圆周角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则其它各组量都分别相等.半圆作为特殊的弧，直径作为特殊的弦，运用上述定理有什么新的结论？推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（三）圆内接多边形与多边形的内接圆1.圆内接多边形与多边形的内接圆的定义如何区别两个定义？（前者是特殊的多边形后者是特殊的圆）2.圆内接四边形性质这条性质的题设和结论分别是什么？怎样证明？（四）定理应用1.课本例22. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？请证明.三、课堂训练完成课本86页练习四、小结归纳1．圆周角的概念及定理和推论2. 圆内接多边形与多边形的内接圆概念和圆内接四边形性质3. 应用本节定理解决相关问题．五、作业设计本85—86页，理解圆内接多边形与多边形的内接圆学生运用圆周角定理尝试证明学生审题，理清题中的数量关系，由本节课知识思考解决方法.教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总进一步理解，培养学生的应用意识和能力归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯巩固深化提高作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做.板书设计课题圆周角定理推论圆内接四边形性质例题归纳教学反思。

24.1.4圆周角圆周角定理及其推论(教案)2021-2022学年九年级数学人教版上册

五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对圆周角的概念和圆周角定理的理解整体上是积极的。他们对于通过观察和实验来探索几何知识的兴趣很高，这让我感到很欣慰。不过，我也注意到了一些需要改进的地方。
在导入新课的环节，我提出的问题能够吸引学生的注意力，但他们对于如何将圆周角与日常生活联系起来还不够熟练。我意识到，我应该提供更多的例子，帮助学生建立起圆周角与实际生活的联系，这样他们就能更直观地理解圆周角的重要性。
24．1.4圆周角圆周角定理及其推论（教案）2021-2022学年九年级数学人教版上册
一、教学内容
本节课选自2021-2022学年九年级数学人教版上册第24章第1节，标题为“24．1.4圆周角圆周角定理及其推论”。教学内容主要包括：
1.圆周角的概念：通过直观展示，引导学生理解圆周角是圆上一段弧所对的角。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力：通过探究圆周角定理及其推论，让学生形成对圆周角几何形态的直观感知，提高空间想象力和图形分析能力。
2.提升学生的逻辑推理能力：在教学过程中，引导学生运用演绎推理证明圆周角定理及其推论，培养严谨的逻辑思维。
3.增强学生的问题解决能力：设计具有实际背景的习题，让学生运用圆周角定理及其推论解决几何问题，提高解决实际问题的能力。
（举例：通过观察圆的不同弧所对的角，让学生认识到圆周角的定义，并强调圆周角与圆心角的关系。）
（2）圆周角定理：掌握圆周角等于其所对圆心角的一半，这是本节课的核心知识。
（举例：通过直观演示和实际操作，让学生观察并验证圆周角与圆心角的关系，进而理解圆周角定理。）
（3）圆周角定理的推论：理解并运用同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角这两个推论。
在新课讲授的部分，我发现理论介绍环节进行得比较顺利，学生们能够跟上我的思路。但在案例分析时，有些学生对于如何将圆周角定理应用到具体问题中感到困惑。我认识到，我需要在讲解案例时更加细致，逐步引导学生思考，让他们能够逐步掌握定理的应用。

人教版九上数学第24章圆 24.1.4 课时1 圆周角定理及其推论教案+学案

人教版九年级数学（上）第24章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角课时1圆周角定理及其推论教案【教材内容】1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．【教学目标】知识与技能：1．了解圆周角的概念；2．理解圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半；3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；【教学重点】圆周角的定理、圆周角的定理的推导．【教学难点】1．探究圆周角的定理的存在；2．运用数学分类思想证明圆周角的定理．【教学过程设计】一、情境导入进行中的足球比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究知识点一：圆周角定理例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 为圆上两点，∠AOC ＝130°，则∠D 等于( )A ．25°B ．30°C ．35°D ．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC ＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC ＝50°，∴∠D ＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角例2 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．例3 如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长例4 如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC 的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明例5 如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算例6 如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD ＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明例7如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E ＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A ＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补．三、教学小结教师引导学生总结本节所学知识：1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.【板书设计】24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角课时1 圆周角定理及其推论1.圆周角的概念2.圆周角定理及推论3.圆内接四边形的性质4.应用圆周角定理及推论进行计算【课堂检测】C1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b ，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin cC =2R ．分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin bB=2R ，sin c C =2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2c R ，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin a A同理可证：sin b B =2R ，sin cC=2R∴sin a A =sin b B =sin cC =2R教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑．人教版九年级数学（上）第24章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.4 圆周角课时1圆周角定理及其推论学案【学习目标】知识与技能1．理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论；2．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题； 3．了解拱高、弦心距等概念．过程与方法经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法．情感、态度与价值观在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的创新意识．【学习重点】垂径定理及其推论．【学习难点】探索并证明垂径定理．【自主学习】一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P 81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB 经过圆心O 且与圆交于A ，B 两点；②AB ⊥CD 交CD 于E ，那么可以推出：③CE ＝DE ；④CB ︵＝DB ︵；⑤CA ︵＝DA ︵.3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为__8_cm__．2．在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【新知探究】一、小组合作1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM 最大．3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是__53 __cm.点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为__134__cm.3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.(1)当AB，CD在点O两侧时，如图①.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)．即AB与CD之间距离为22 cm.(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．即AB与CD之间距离为8 cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．【学习总结】学生总结本节课的收获与困惑．(2分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．教师点拨：圆是轴对称图形，经过圆心的都是它的对称轴。

24[1].1.4_圆周角(

你有什么简捷的办法？
如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少
种方法？与同学交流一下．
方法三
方法一
O
A
B
C
O
方法二
A D
·
B
方法四
O
6、说出命题’圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗?请说明理由.D ACA
●O
B
B
C
D
M
结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等
（P89 14题）7：如图，某校的教室A位于工地O的正西方，且OA=200米，一辆拖拉机从O点出发，以每秒5米的速度沿北偏西60度的方向行驶，设拖拉机的噪音污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？北
观察图中∠ACB、 ∠ADB和∠AEB与我们学过的圆心角有什么区别？
你能仿照圆心角的定义给它们下个定义吗？
• 像上面的三个角有两个共同的特点： ① 角的顶点在圆上 ② 角的两边都与圆相交
而且都是由同一条弧AB所
C
对圆周角
∠AOB呢？
O.
是A⌒B所对的圆心角
A
B
顶点在圆上
两边都与圆相交
思考：如果不是在同圆或等圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？
归纳：
归纳：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两个圆周角③两条弧, ④两条弦, ⑤两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。（知一求四）
如图23.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，
C
分析：同一条弧所对的圆周角有很多，圆周角的位置灵活多变，可以把注意力放在圆

24.1.4 圆周角定理1

24.1.4圆周角(1)(讲课用)(公开课)

人教版数学九年级上册24.1.4：圆周角的概念和圆周角的定理(教案)

24.1.4 圆周角

24.1.4 圆周角

人教版九年级数学上册24.1.4《圆周角》教案

24.1.4圆周角(人教新课标九年级上)

人教版数学九年级上册24.1.4《圆周角定理》教学设计

24.1.4_圆周角1

人教版初三数学上册24.1.4圆周角的概念和圆周角定理

zs24.1.4 圆周角①

初中数学教学课件：24.1.4圆周角(人教版九年级上)

人教版数学九年级上册课件22-第二十四章24.1.4圆周角

24.1.4圆周角定理

24.1.4圆周角圆周角定理及其推论(教案)2021-2022学年九年级数学人教版上册

人教版九上数学第24章 圆 24.1.4 课时1 圆周角定理及其推论教案+学案

24[1].1.4_圆周角(

人教版九上数学第24章圆 24.1.4 课时1 圆周角定理及其推论教案+学案