广义Mersenne数f(a,b,p)一点注记

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Mersenne素数的一点注记

第４５卷第３期２１０１年９月
华中师范大学学报（自然科学版）
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＵＡＺＨＯＮＧＮ０ＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＴＹ（ｔＳｉ）ＩＮａ．ｃ．
Ｖｏ．ＮＯ．１４５３
Ｓｅｔ２１ｐ．０１
发现４７个Ｍｅｓｎｅ数［ｒｅｎ素．因此，少科学家认不为，于Ｍｅｓｎｅ数的研究能力如何，对ｒｅｎ素已在某种
意义上标志着一个国家的科技水平＿．３］
的百位数字为３当Ｐ一８４１是三３１（ｄ；ｋ－，，７ｍｏ
界就把２一１的数称为 “ ｅｓｎｅ ” 并以Ｍ。ｐ型Ｍｒｅｎ数；记之．如果Ｍｅｓｎｅ数为素数，则称之为ｒｅｎ “ ｅｓｎｅ数 ” Ｍｒｅｎ素．
８５，兰０，４ｒｏ５；一８７是三９，ｋ４－是１（ｄ２）Ｐｏｋ４，－
家，包括Ｆｅｍａ、ｓａｔｓＬｉｎｚＥｕｅ、ｕｓｒｔＤｅｃｒｅ、ｅｂｉ、ｌｒＧａｓ
的百位上的数字遍ｒｅｎ素
历０、、、、５６７８、．当Ｐ一８１２３４、、、、９ｋ＋１ｋ三２，，
中图分类号：５Ｏ１６文献标识码：Ａ
公元前３０多年，希腊数学家Ｅｃｄ用反０古ｕｌｉ证法证明了素数有无穷多个，提出了少量素数并可写成２一１ｐ为素数）的形式．后许多数学（此

新GRE数学全部知识点汇总讲解

概率论部分1.排列(permutation):2．组合(combination):统计学部分1.mode（众数）2.range（值域）3.mean（平均数）arithmatic mean（算术平均数）: n个数之和再除以ngeometric mean （几何平均数）: n个数之积的n次方根4.median（中数）5.standard error（标准偏差）一堆数中，每个数与平均数的差的绝对值之和，除以这堆数的个数(n) 6.standard variation一堆数中，每个数与平均数之差的平方之和，再除以n7.standard deviation就是standard variation的平方根 d8.the calculation of quartile(四分位数的计算)Quartile（四分位数）：第0个Quartile实际为通常所说的最小值（MINimum）；第1个Quartile（En：1st Quartile）；第2个Quartile实际为通常所说的中分位数（中数、二分位分、中位数：Median）；第3个Quartile（En：3rd Quartile）；第4个Quartile实际为通常所说的最大值（MAXimum）；我想大家除了对1st、3rd Quartile不了解外，对其他几个统计值的求法都是比较熟悉的了，而求1st、3rd是比较麻烦的。

下面以求1rd为例：设样本数为n（即共有n个数），可以按下列步骤求1st Quartile：1．n个数从小到大排列，求(n-1)/4，设商为i，余数为j2．则可求得1st Quartile为：(第i+1个数)*(4-j)/4+(第i+2个数)*j/4例（已经排过序啦！）：1）.设序列为{5}，只有一个样本则：(1-1)/4 商0，余数01st=第1个数*4/4+第2个数*0/4=52）.设序列为{1,4}，有两个样本则：(2-1)/4 商0，余数11st=第1个数*3/4+第2个数*1/4=1.753）.设序列为{1,5,7}，有三个样本则：(3-1)/4 商0，余数21st=第1个数*2/4+第2个数*2/4=34）.设序列为{1,3,6,10}，四个样本：(4-1)/4 商0，余数21st=第1个数*1/4+第2个数*3/4=2.55）.其他类推！因为3rd与1rd的位置对称，这是可以将序列从大到小排（即倒过来排），再用1rd的公式即可求得：例（各序列同上各列，只是逆排）：1.序列{5}，3rd=52.{4,1}，3rd=4*3/4+1*1/4=3.253.{7,5,1}，3rd=7*2/4+5*2/4=64.{10,6,3,1}，3rd=10*1/4+6*3/4=79．The calculation of Percentile设一个序列供有n个数，要求（k%）的Percentile：（1）从小到大排序，求(n-1)*k%，记整数部分为i，小数部分为j可以如此记忆：n个数中间有n-1个间隔，n-1/4就是处于前四分之一处，（2）所求结果＝（1－j）*第(i＋1)个数＋j*第(i+2)个数特别注意以下两种最可能考的情况：（1）j为0，即(n-1)*k%恰为整数，则结果恰为第(i+1)个数（2）第(i+1)个数与第(i+2)个数相等，不用算也知道正是这两个数.注意：前面提到的Quartile也可用这种方法计算，其中1st Quartile的k%=25%2nd Quartile的k%=50%3rd Quartile的k%=75%计算结果一样.例：（注意一定要先从小到大排序的，这里已经排过序啦！）｛1，3，4，5，6，7，8，9，19，29，39，49，59，69，79，80｝共16个样本要求:percentile＝30%：则(16-1)*30%=4.5=4+0.5 i＝4，j＝0.5(1-0.5)*第5个数＋0.5*第6个数=0.5*6+0.5*7=6.510.To find median using Stem-and-Leaf (茎叶法计算中位数)Stem-and-Leaf method 其实并不是很适用于GRE考试,除非有大量数据时可以用这种方法比较迅速的将数据有序化.一般GRE给出的数据在10个左右,茎叶法有点大材小用.Stem-and-Leaf 其实就是一种分级将数据分类的方法.Stem就是大的划分,如可以划分为1～10，11～20，21～30…，而Leaf就是把划分到Stem一类中的数据再排一下序。

广义morphic环的注记

Ｖ０．１Ｎｏ．１１２
Ｍａ．２１２ｒＯ
ＤＯＩ１３６／．ｓｎ１７ — ３Ｘ．０２０．１：１．９９ｊｉｓ．６４２２２１．２０５
广义ｍｏｐｉ的注记ｒｈｃ环
谢明文，贤梅宋
（安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖２１０）４００
性质ｌ］＿．环Ｒ称为左ｍｏｐｉ，果对任意的ａ２ｒｈｃ的如ＥＲ，Ｒ／￣ｌａ，有Ｒａ（）等价于对每个ａ ∈Ｒ，存在ｂ ∈Ｒ
使得Ｒ —ｚ６，（）ａ（）ｚｎ＝Ｒｂ．在文［］Ｃｍｉｏ和Ｎｉｏｓｎ又介绍了左拟ｍｏｐｉ环．Ｒ称为左拟ｍｏ— ６中ａｌｌｃｌｏｈｒｈｃｔｐｉ环，果对任意的。ｈｃ如ＥＲ，在ｂＣ得Ｒａ（）ｌａ＝Ｒ．Ｚｕ和Ｄｉｇ在文Ｅ］存，ＥＲ使 — ６，（）ｃｈｎ７中介绍了广义ｍｏｐｉ环，种环是左拟ｍｏｐｉ环的推广．环Ｒ称为左广义ｍｏｐｉ环，果对每个ａｒｈｃ这ｒｈｃｒｈｃ如 ∈Ｒ，都存在
（（）ｒｘ），特别当Ｘ—ｚ时，写成ｚｚ，（）１ＥＲ称为左拟ｍｏｐｉ的，如果存在ｂＣ（）ｒｚ．（）ａｒｈｃ，ＥＲ使得Ｒａ一
收稿日期：０１０ — ６２１－９１基金项目：徽省教育厅重点科研项目（Ｊ００２）安徽师范大学校安Ｋ２１Ａ１６；号项基金项目（０８ｚｌ）２０ｘｘ０．通信作者：贤梅（９７）宋１７一，女，教授，士，要从事环模理论与同调代数研究．Ｅｍａｌｘｇ＠ｙｈｏｃｍ．ｎ副博主ｉ：ｓｍｓｊａｏ．ｏｃ

第七章第四节广义积分

t a 0 t

b
f ( x )dx
当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散.
类似地，设函数 f ( x ) 在区间[a , b )上连续，而在点b 的左邻域内无界.取 tb ，极限
t b 0 a
lim

t
f ( x )dx 称为函数
f ( x ) 在区间[a , b ) 上的广
二、无界函数的广义积分
设函数 f ( x ) 在区间 (a , b] 上连续，
则对任意a<t<b，f(x)在区间[t,b]上连续。所以积分下限函数
y
y f ( x)

b
t
f ( x )dx
O a t
t a 0 t
存在。考虑它的极限
b x
lim

b
f ( x )dx
不妨记为

baf (Fra bibliotekx )dx lim arctan x a lim arctan x 0
0 b a b
lim arctan a lim arctan b . a b 2 2
例2 讨论广义积分解

0
cos xdx 敛散性
由于 sin x是 cos x的一个原函数，
则 cos xdx sin a, 而 limsin a
0 a
a
极限不存在，所以广义积分发散
例3
解
计算广义积分

b

0
te
pt
dt （p是常数，且p>0）。

0
te
pt

梅森数

梅森数梅森数(Mersenne number)是指形如2^p－1的正整数，其中指数p是素数，常记为Mp 。

若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。

p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。

已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。

如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。

目录编辑本段也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血。

（参见百度百科“素数普遍公式”和“孪生素数普遍公式”）在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。

编辑本段梅森素数的由来马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物。

他与大科学家伽利略、笛卡尔、费马、帕斯卡、罗伯瓦、迈多治等是密友。

虽然梅森致力于宗教，但他却是科学的热心拥护者，在教会中为了保卫科学事业做了很多工作。

他捍卫笛卡儿的哲学思想，反对来自教会的批评；也翻译过伽里略的一些著作，并捍卫了他的理论；他曾建议用单摆来作为时计以测量物体沿斜面滚下所需时间，从而使惠更斯发明了钟摆式时钟。

梅森对科学所作的主要贡献是他起了一个极不平常的思想通道作用。

17世纪时，科学刊物和国际会议等还远远没有出现，甚至连科学研究机构都没有创立，交往广泛、热情诚挚和德高望众的梅森就成了欧洲科学家之间的联系的桥梁。

有关梅森数的一个注记

来稿日期:20091201 基金项目:喀什师范学院青年专项基金资助项目(092307) 作者简介:张四保(19782),男,江西峡江人,喀什师范学院数学系讲师,理学硕士.有关梅森数的一个注记张四保,阿布都瓦克・玉奴司(喀什师范学院数学系,新疆喀什844007) 摘要:运用中国剩余定理进行演算,得到大于3的梅森数的一个性质结论:当p =4k +1时,M p ≡1(mod10);当p =4k +3时,M p ≡7(mod10),这里的p 均为素数.从而得到了大于3的梅森素数的个位数字为1或者7.关键词:梅森数;梅森素数;中国剩余定理;同余中图分类号:O 156 文献标识码:A 文章编号:167321492(2010)022*******A Note on Mersenne NumbersZH ANG Si 2bao ,Abdiwaki ・yunus(Department of Mathematics ,Kashgar Normal College ,Kashgar 844007,Xinjiang ,China )Abstract :By using t he Chinese remainder t heorem ,a p roperty on Mersenne numbers is given :when p =4k +1,M p ≡1(mod10);when p =4k +3,M p ≡7(mod10),where p is a prime.So a conclusion t hat t he last number of Mersenne p rimes is 1or 7is given.K ey w ords :Mersenne number ;Mersenne prime ;Chinese remainder t heorem ;congruence梅森数是形如2p -1(其中p 为素数)的数[1],由于法兰西科学院的奠基人梅森(M 1Mersenne )最早系统而深入地研究2p -1的数,他的工作使其摆脱了作为“完全数”的附庸的地位,为了纪念他,20世纪初,经美国数学家布勒提议[2],将2p -1的数冠以梅森的名字,即M p =2p -1,通用记号M p 中的M 就是Mersenne 的第一个字母.如果梅森数为素数,则称之为“梅森素数”(即2p -1型素数).梅森素数是数论研究的一项重要课题,它已成为当今科学研究的重点与难点[3].2300多年来,人类仅仅发现了47个梅森素数[4].对于梅森数,我们只知道它的形式,从2p -1的形式可以得知其个位数字可能为数字1,3,5,7和9,而对于其具体数字并未讨论过.为此,本文运用中国剩余定理,讨论了梅森数的个位数字情况,得到了如下一个结论:M p ≡1(mod10),p =4k +1M p ≡7(mod10),p =4k +31　引　理引理1　一次同余式ax ≡b (mod m )有解的充要条件为(a ,m )| b.证明详见参考文献[5].引理2(中国剩余定理)　设m 1,m 2,…,m k 是k 个两两互质的正整数,m =m 1m 2…m k ,m =m i M i (i =1,2,…,k),则同余式组x ≡b 1(mod m 1)x ≡b 2(modm 2) ………x ≡b k (mod m k )(1)・11・第26卷第2期2010年4月 (自然科学版)Journal of Hebei North University (Natural Science Edition ) Vol 126No 12Apr.2010的解是x ≡M 1M ′1b 1+M 2M ′2b 2+…+M k M ′k b k (mod m )(2)其中,M i M ′i ≡1(mod m i ),i =1,2,…,k.证明　由(m i ,m j )=1(i ≠j ),即得(M i ,m i )=1,由引理1可得,对每一个M i ,有一M ′i 存在,使得M i M ′i ≡1(mod m i ).另一方面m =m i M i ,因此(m j |M j (i ≠j ),故∑kj =1M j M ′j b j ≡M i M ′i b i ≡b i (mod m i )即为(1)的解.若x 1,x 2是适合(1)式的任意两个整数,则x 1≡x 2(mod m i ),i =1,2,…,k.因(m i ,m j )=1,于是x 1≡x 2(mod m ),故(1)的解只有(2).2　结论的证明当素数p ≥3时,p 可以表示如下两种形式:p =4k +1;p =4k +3.当p =4k +1时,m p =2p -1=24k +1-1=24k ・2-1=16k ・2-1.由于 16k ・2-1≡1(mod2)16k ・2-1≡1(mod5) 所以 M p ≡1(mod2)M p ≡1(mod5)(3)利用中国剩余定理求解同余式组(3)m 1=2,m 2=5,m 1m 2=10,b 1=1,b 2=1,M 1=m 2=5,M 2=m 1=2由于M i M ′i ≡1(mod m i ),所以M ′1=1,M ′2=3.所以当p =4k +1时,M p ≡M 1M ′1b 1+M 2M ′2b 2≡5・1・1+2・3・1≡1(mod10).当p =4k +3时,M p =2p -1=24k +3-1=24k ・23-1=16k ・23-1由于 16k ・23-1≡1(mod2)16k ・23-1≡2(mod5) 所以 M p ≡1(mod2)M p ≡2(mod 5)(4)利用中国剩余定理求解同余式组(4).M 1=2,m 2=5,m 1m 2=10,b 1=1,b 2=2,M 1=m 2=5,m 2=m 1=2由于M i M ′i ≡1(mod m i ),所以M ′1=1,M ′2=3.所以当p =4k +3时,M p ≡M 1M ′1b 1+M 2M ′2b 2≡5・1・1+2・3・2≡7(mod10).综上演算过程,可以得到当p =4k +1时,M p ≡1(mod10);当p =4k +3时,M p ≡7(mod10),其中p 为素数.由于梅森素数是梅森数中的一种特殊数,从而得到了大于3的梅森素数的个位数字为1或者7.参考文献:[1]柯召,孙琦.数论讲义(第二版)(上册)[M ].北京:高等教育出版社,2003:1250[2]岑成德.数海明珠2漫话梅森素数[J ].科学中国人,1998,(12):28231[3]张四保,罗兴国.魅力独特的梅森素数[J ].科学,2008,60(06):56258[4]陈琦,章平.数学珍宝2梅森素数[J ].百科知识,2009,(15):22[5]闵嗣鹤,严士健.初等数论(第三版)[M ].北京:高等教育出版社,2009:302100[责任编辑:刘守义]・21・2010年4月河北北方学院学报(自然科学版) 第2期。

广义Mersenne数的几个性质

１，３３７１３，９８９２，１，０１４０１时它均为素数．
（ｖ若Ｐ三ｌｍｏ）且ｑ＝ｐ１ｉ）（ｄ４，：６＋也是素数，
贝Ｕｑｉ ∞ ｑ— ａ４２ｂ，，．。－７。ａｂ∈
Ｐ１
本文主要是进一步讨论广义Ｍｅｓｎｅ数的另ｒｅｎ外几个性质，其中定理１ｉ（）及定理２ｉ（）分别是Ｍｅｓｎｅ数Ｍｒｅｎ性质（）（）ｉ和ｉ在其上的推广；在ｖ并
乐茂华在文［］中将形如４
“ ～１
的数称为广义
Ｍｅｓｎｅ数，中ａ是大于１的正整数，Ｐ是奇素ｒｅｎ其
数，并研究了它的素因数，得到以下结果：
此基础上提出了一个搜寻广义Ｍｅｓｎｅ素数的一ｒｅｎ
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广西民族大学学报（自然科学版）
第１４卷第２期２０年５月０８
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＧＵＡＮＧＸＩＵＮＩＥＲＳＴＦＶＩＹＯＲＮＡＴＯＮＡＬＩＩＳＩＴＥ
（ｔｒｌｃｅｃｉｏ）ＮａｕａｉｎｅＥｄｔｎＳｉ
ｚ；ａｒｏ）有解且有五个解．（ｄｑｏ
ｏ
ｒ
（）下詈ｓ：如
ｒ
（ｉｉ）若ａ— ｂ；ｉｚｂ∈ ７则Ｍ（，／，ａ）必为合数．
．
（））ａ（。一０，若ｌ．ａ
证明：ｉ（）若ｑｌ（，，ｑｌ一１Ｍａ）则ａ，于是ａ

初等数论教案第六节 Mersenne数、Fermat数

第六节 Mersenne 数、Fermat 数第七节完全数教学目的：了解Mersenne 、Fermat 、完全数的定义及简单性质；教学重点：Mersenne 、Fermat 、完全数的简单性质教学课时：4课时教学过程一、Mersenne 数、Fermat 数1、定义1 梅森数(Mersenne number)：形如12-p 的正整数，其中p 是素数，常记为p M . 若p M 是素数，则称为梅森素数.p ＝2，3，5，7时，p M 都是素数，但11M ＝2047＝23×89不是素数 . 已发现的最大梅森素数是p ＝24036583的情形，此时p M 是一个7235733位数. 是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一.2、引理设1,0,0>>>s b a ，则1)1,1(),(-=--b a b a ss s . 证明：不妨设b a >，由辗转相除法得a = bq 1 + r 1， 0 < r 1 < |b |，b = r 1q 2 + r 2， 0 < r 2 < r 1 ，r n - 2 = r n - 1q n + r n ， 0 < r n < r n-1 ，r n - 1 = r n q n + 1 ，其中),(b a r n =. 因此1)1(111111-+---=-r b b bq r a s s s s s s ， 1)1(111211212-+---=-r r r q r r b s s s s s s ， ……………1)1(1111112-+---=-----n n n n n n n r r r q r r r s s s s s s ， )1(11111---=-+-n n n n n r r q r r s s s s . 3、引理2 设r 是素数，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i r r |，其中11-≤≤r i . 证明：略.4、引理3 设r 是素数，则22|-r r .证明：略.5、定理1 设p 是一个奇素数，q 是p M 的一个素因子，则q 形如 12+=kp q .证明：由引理3知12|1--q q ，又由12|-p q ，从而有引理1知12|)1,(--q p q ，从而1)1,(>-q p ，故1|-q p . 又1-q 为偶数，进而得证定理1.6、定义2 Fermat 数(Fermat Number) 我们把0,122≥+=n F nn称为Fermat 数. 4,3,2,1,0=n 时，n F 都是素数.7、定理2 n m ≠，则1),(=n m F F .证明：不是一般性，设0≥>n m ，0,>+=k k n m ，设),(k n n F F l +=. 又2|-+k n n F F ，故2|l ，因n F 为奇数，故1=l .二、完全数（Perfect Number ）1、定义设n 是一个正整数，如果n 的全部因子和等于n 2，那么称n 为完全数（Perfect Number ）.2、定理1 设k k p p n αα 11=是n 的标准分解式，∑=nd d n |)(σ表示n 的诸因子和，则1111)(11111----=++k k p p p p n k αασ .证明：略.3、定理2n 是一个偶完全数的充要条件是n 具有形状)12(21--p p ，其中p 与12-p 均为素数. 证明：n 具有形状)12(21--p p ，其中p 与12-p 均为素数，则n 的全部因子和为 )221)(12(22111--+++-++++p p p=)221(21-+++p p =n 2.故n 为完全数.反之，设q n e2=是一个完全数，这里q 是一个奇数，0>e ，于是，由定理1，n 的诸因子和为 ,2)()12(11q q e e ++=-σ因此 ,)(d q q +=σ这里121-=+e q d 是一个整数，因此q d ,是q 的因子，又)(q σ为q 所有因子和，故q 事素数，从而121-=+e q ，因为q 是素数，从而1+e 是素数，令p e =+1得证.4、定理3 设n 是一个奇的完全数，则n 具有分解式t t q qp n ββα2211 =， (1) 其中t q q p ,,,1 是不同的素数，p 和α都是14+h 形的数.证明：设k k p p n αα 11=是n 的标准分解式，则k k k k k p p p p p p n αααασ 111111121111)(=----=++，不妨设241111+=+++f p p α ， (2) 以及 k j l p p j j j j ,,3,2,121 =+=+++α . (3) 从而可以得证.5、定理4设n 是一个奇的完全数，则(1)中2≥t . 证明：略.三、小结四、作业 26页ex31、ex35、ex36。

关于Mersenne数的椭圆曲线测试的注记

于Ｌｃｓｕａ测试运算量的４倍．
关键词：素数；ｒｎｅ；ｕａ测试；Ｍｅｅｎ数Ｌｃｓｓ椭圆曲线测试；运算量中图分类号：５．文献标识码：文章编号：０１４３２０）１０１３０１６２Ａ１０ —２４（０７０ —００ —０
其中
ｚ．一ｚ・一ｚｚ，：【
【３＝．ｚ一Ｘ）１Ｙ：１３一Ｙ．【（
ｆ１２一ＹＩ＝Ｙ
，
≠
，
，ｌＹＹ２
１｝口【＋３ｚ
— ■ ，
定理【．Ｅａ＋， ∞ ，）是阿贝尔群，ｚ，（］（ ∞ ）（）的逆元为（一）ｚ，．
ｆｚ，）＋（一Ｙ（Ｙｚ，）＝（一Ｙｚ，）＋（Ｙｚ，）＝（，ｏ ∞ ｏ）（Ｙｚ，）＋（，）＝（， ∞ ∞ ∞ ∞）＋（Ｙｚ，）＝（Ｙｚ，）（，１ｚ１Ｙ）＋（２Ｙ）＝（３Ｙ）ｚ１Ｘｒ１一Ｙ，ｘ，２ｘ，３ ≠ ２ ≠ ｏＹ２
Ｖｌ．０Ｎｏ．０３】１
Ｊｎ．２００７ａ
关于Ｍｅｓｎｅ的椭圆曲线测试的注记ｒｅｎ数
刘莉
（安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖２１ｏ）４ｏｏ
摘
要：ｕａ和Ｌｈｒ出了测定Ｍｅｓｎｅ的经典方法… ．Ｊｕａｏｍｂｒｅｒ１Ｌｃｓｅｍｅ给ｒｎ数ｅ在ｏｒｌｆｎＮｕｅｏｙ１０Ｔｈ
文［］中利用椭圆曲线Ｅ一２：＝ｚ２１．０一１ｘ，２数列｛女：０：一２，女＝ｘ（（２Ｑ的ｚ坐标）ｚ｝ｚｚ２Ｑ）点，给出了椭圆曲线测试，即命题２］Ｍ＝２［：ｐ一１素数ｅｇｄ（Ｍ）＝１０≤ ｋ≤ Ｐ一２且Ｘ一三０ｍｏ．为＝ｃｘ，￣，ｐ１ｄＭ我们在第２中实现了两种测试，给出相应的算法分析和比较，果显示椭圆曲线测试的运算量大于节并结Ｌｃｓｕａ测试运算量的４倍．

有关Mersenne素数的尾数

（ｏ０）Ｍｏ－１ｍｄ１ｏ；Ｐ：ｋ＋３，ｅｅｎ素数Ｍｏ７ｍｄｌ０，ｉ４（ｏ０）虼ｉ６ｍｄ１０，－５（ｏ０）当４时Ｍｒｎｅｓ言２（ｏ０）７ｍｄ１ｏ，７
（ｏ０）ｍｄ１０，
８（ｏ０）７ｒｄ１０，－７ｍｄ１０．ｏ（ｏ０）
（ｏ０）Ｍ￣４（ｏ０）Ｍｐ６（ｏ０）Ｍｓ７ｍｄ１）Ｍ￣７ｍｄ１０．ｍｄ１，ｓ＿７ｍｄ１，＝７ｒｄ１，＿（ｏ，ｐ（ｏ）－ｏ－－８００
关键词：ｅｅｎ素数；Ｍｒｎｅｓ尾数；中国剩余定理
２１００年５月第２期
吉林师范大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏｌｏｍｌｎｅｉＮｔａＳｉｃｄｔｎｏｒｌｆｉＮｒａＵｉｒｔａｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｎＪｉｎｖｓｙLeabharlann ｕｅｉＮ２ｏ．
这种２一１ｐ型的数称为“ ｅｅｎ数”并以记之．Ｍｒｎｅ；ｓ如果Ｍｒｎｅｅｅｎ数为素数，ｓ则称之为“ ｅｅｅＭｒｒ素数” ｓｍ．
Ｍｒｎｅ数是数论研究的一项重要课题，已成为当今科学研究的热点与难点之一 … Ｍｒｎｅ素ｅｅｎ素ｓ它１．ｅｅｎｓ数貌似简单，但其计算具有指数复杂性，随着指数Ｐ的增大，算量呈指数增加．一个Ｍｅｅｎ素数的运每ｒｎｅｓ

广义维数公式

广义维数公式在维数的概念上，其实更多的维数包含了一组或多组数值，包括：数组（数、数轴、二维、三维）、一维数和二维数。

在“数”一词上，“数”一词除了指一组数中具有若干个数轴（也就是多个数轴）的数组之外，也可以指每个数组中具有若干个数轴（也就是若干个数轴上具有若干个数轴),即维数。

这就是为什么大家都喜欢称这组维数为“数轴”了。

然而，现在很多人却对维数与数轴之间究竟有什么关系不了解。

一、什么是数轴数轴是一个数的一个坐标系，由点、线、面组成的。

用字母“Y”表示，是用点作为边坐标，线段代表面坐标（如一条直线(z)上的坐标);线段代表面坐标原点(z)上的坐标；面坐标原点(z)与线坐标原点(z)之间的坐标原点(z),这就是数轴。

数轴上有两个顶点(A和 B)、三个原点(C和 D),三个原点之间有两条边(Z和 Z),这就是数轴。

二、广义数轴的定义定义1:在 N (N+1)中具有 N个集合的所有数轴都是广义数轴。

定义2:当n≥ N+1时任何数轴都是广义数轴3:若n≥ N+1时每个数轴上的数都是广义数轴……当n≥ N+1时任何数轴都是广义数轴；当n≥ N+1时每个数轴上所数是广义数轴定义3:若n≥ N+1时任何数轴都是广义数轴4:若n≥ N+1时所有数轴上所数都是广义数轴4:若n≥ N+1时所有数轴上所数都是广义数轴5:若n≥ N+1时任何数轴上所数都是广义数轴6:若n≥ N+1时所有数轴上所数都是狭义数轴7:若n≥ N+1时所有数轴上所数都是广义数轴8:若n≥ N+1时任意数轴上所数都是广义数轴9:若n≥ N+1时任意数轴上所数都不是广义数轴10:若n≥ N+1时任意数轴上所数都是广义数轴11:若n≥ N+1时任何数轴上所数都是广义数轴12:若n≥ N+1时任意数都是广义数轴13:若n≥ N+1时任何数轴上所数都是广义数轴14:若n≥ N+1时任何数轴上所数都是狭义数轴15:若n≥ N+1时任何数轴上所数都是狭义数轴16:若n≥ N+1时任何数轴上所数都是狭义数轴17:若n≥ N+1时任何数轴上所数都是狭义数轴18:若 n> N+1时任何数轴上所数都是广义数轴19:假若当某一个数轴上为线性方程组并成立广义素能则任何变量也为常数。

matlab梅森公式

matlab梅森公式梅森公式，也称为梅森素数公式（Mersenne prime），是描述素数形式的一个公式，由法国数学家梅森（Marin Mersenne）在17世纪提出。

梅森公式可以按照以下形式表示：M = 2^p -1其中，M为梅森素数，p为素数。

梅森公式是一种简洁而有效的表达方式，可以很方便地生成梅森素数。

梅森素数是指满足梅森公式的素数。

例如，当p取2、3、5、7、13等值时，可以得到对应的梅森素数：3、7、31、127、8191等。

梅森素数在数论和计算机科学中有着重要的应用。

其中最为著名的应用之一就是在密码学领域。

RSA公钥加密算法中的素数选择和密钥生成就依赖于梅森素数。

此外，梅森素数还被广泛应用于快速傅里叶变换（FFT）和伪随机数生成等领域。

在数字计算中，梅森素数也用于帮助加快素数的测试和计算。

梅森素数的研究一直是数学家们的热点之一。

目前已知的梅森素数很少，大部分梅森素数都是通过计算机程序来生成的。

由于梅森公式的形式简单，计算机可以更快速地验证一个数是否是梅森素数。

但是这并不意味着每个满足梅森公式的数都是素数，只是方便验证。

在数学研究中，确定梅森素数的性质一直是一个重要的课题。

目前已知的梅森素数都是奇数，但是否所有的满足梅森公式的奇数都是素数，仍然是一个未解的问题。

数学家们一直在努力寻找更多的梅森素数，并且为梅森素数的性质和规律提供了许多重要的定理和猜想。

在实际计算中，由于梅森素数的位数非常大，大于几百甚至上千位，因此对梅森素数的计算和验证需要使用高效的算法和计算工具。

MATLAB是一种功能强大的数值计算和编程软件，可以用于计算和验证梅森素数。

MATLAB提供了丰富的数值计算库和函数，可以方便地进行大整数运算和素性测试，帮助研究人员寻找和验证梅森素数。

总之，梅森公式是描述素数形式的一种简洁有效的公式，可以方便地生成梅森素数。

梅森素数在密码学、计算机科学和数学研究中有着重要的应用。

通过使用MATLAB等计算工具，数学家们可以更方便地计算和验证梅森素数，推动梅森素数的研究和应用。

广义长方形张量的注记

广义长方形张量的注记刘冰杰;边红;于海征;马丽【摘要】The Perron-Frobenius theorem is a fundamental result for nonnegative matrices.In particular,the Perron-Frobenius theorem for nonnegative tensors is related to measuring higher order connectivity in linked objects and hypergraphs.In this paper,we define a generalized rectangular tensor which is based on the definition of rectangular tensors,and give some new results on the Perron Frobenius theorem for nonnegative generalized rectangular tensor.%Perron-Frobenius定理是非负矩阵的基本结果.特别地,非负张量的Perron-Frobenius定理与测量链接对象的高阶连通性和超图有关.在长方形张量的基础上定义一个广义长方形张量,并给出了非负广义长方形张量的Perron-Frobenius定理的一些新的结果.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(056)003【总页数】7页(P391-397)【关键词】特征值;三维长方形张量;不可约;Perron-Frobenius定理【作者】刘冰杰;边红;于海征;马丽【作者单位】新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐830054;新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐830054;新疆大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆师范大学数学科学学院,新疆乌鲁木齐830054【正文语种】中文【中图分类】O157.5Perron-Frobenius 定理描述了一个非负实方矩阵 A 的主要特征值的特征向量的性质.假设 m和 n都是正整数,且m,n≥2,则称B=(bi1…im),这里bi1…im∈R,对于ik=1,2,…,n,k=1,2,…,m,B是一个实 m 阶 n维方张量.当 m=2 时,B 是一个简单的实n×n矩阵.QI[1]和LIM[2]介绍了方张量的特征值,并且给出了非负方张量的特征值的 Perron-Frobenius 定理的一些性质.此外,方张量的特征值有广泛的实际应用；如医疗磁共振成像[3]、高阶马尔科夫链[4]、自动控制中偶阶多变量形式的正定性[5]、数据分析的秩一优化[6].最近,某一类长方形张量吸引了研究人员的注意.它们出现在固体力学的强椭圆条件问题[7-10] 和量子力学的扰动问题[11-12].假设 p,q,m,n 都是正整数,并且m,n≥2,则称A=(ai1…ip，j1…jq),这里ai1…ip，j1…jq∈R,对于ik=1,2,…,m,k=1,2,…,p,jk=1,2,…,n,k=1,2,…,q,是一个实(p,q) 阶(m×n)维长方形张量.当 p=q=1 时,A 是一个简单的实m×n 长方形矩阵.Perron-Frobenius 定理是非负矩阵的一个基本结果.它不仅在许多数学分支:马尔科夫链、图论、对策论和数值分析上有很多应用,也在科学与技术的很多领域:经济学、运筹学和最近的互联网网络排名上有很多应用.它的无限维推广被称为正线性紧算子的 Krein Rutman 定理,也被广泛应用于偏微分方程、不动点定理和泛函分析.在后期许多线性代数的研究中[1,2,13],张量的特征值问题已经受到特别关注.特别地,非负张量的 Perron-Frobenius 定理与测量链接对象的高阶连通性和超图有关.CHANG等[14]和YANG等[15]给出了有关非负长方形张量的Derron-Frobenius 定理的一些新结果.本研究在长方形张量的基础上定义一个广义长方形张量,并且给出有关非负广义长方形张量的Perron-Frobenius定理的一些新结果.在这一节,给出一些用于主要结果证明的定义和概念.假设 p,q,r,m,n,l是正整数,并且m,n,l≥2，则称ai1…ip，j1…jq，k1…kr∈R,其中ih=1，2,…,m,h=1,2，…,p,jh=1,2，…,n,h=1,2，…,q,kh=1,2，…,l,h=1,2，…,r,是一个实 (p,q,r) 阶(m×n×l)维广义长方形张量.令ai1…ipj1…jqk1…krxi1…xipyj1…yjqzk1…zkr，当p=q=r=2时,A是一个(2,2,2) 阶长方形张量.如果 a122112=1,其余的 aijklst=0,那么 f(x,y,z)=x1x2y2y1z1z2.对于任意的向量 x 和任意的实数α,定义令Axp-1yqzr 是属于 Rm 的一个向量,使得aii2…ipj1…jqk1…krxi2…xipyj1…yjqzk1…zkr,i=1,2,…,m.同样地,Axpyq-1zr 是属于 Rn 的一个向量,使得ai1…ipjj2…jqk1…krxi1…xipyj2…yjqzk1…zkr,j=1,2,…,n.Axpyqzr-1是属于Rl的一个向量,使得ai1…ipj1…jqkk2…krxi1…xipyj1…yjqzk2…zkr,k=1,2,…,l.本文中定义M=p+q+r,N=m+n+l.对于一个向量x=(x1,x2,…,xm)T∈Cm.一个整数 M,定义同样地,对于y[M-1],y∈Cn；z[M-1],z∈Cl也相同.考虑如果λ∈C,x∈Cm\0,y∈Cn\0,y∈Cl\0 是式(1) 的解,那么λ 是A的一个奇异值,x,y,z是A关于奇异值λ 的特征向量.如果λ∈R,x∈Rm\0,y∈Rn\0,z∈Rl\0 是式(1) 的解,则λ是A 的H奇异值,x,y,z 是关于A 的 H 奇异值λ 的H特征向量.如果一个奇异值不是H奇异值,则称为A的N奇异值.当p=q=1,r=0 时,那么这就是一般的长方形矩阵奇异值的定义.因此,这个定义把长方形矩阵的奇异值的传统概念推广到高阶广义长方形张量.在这一节,本研究把非负长方形张量奇异值的 Perron-Frobenius 定理推广到广义长方形张量.首先给出不可约广义长方形张量的定义.记Pk={x∈Rk:xi≥0,i=1,2,…,k},int(Pk)={x∈Rk:xi>0,i=1,2,…,k}.一个向量x∈Rk，被称为非负的,如果x∈Pk;被称为强正的,如果x∈intPk.规定Rk 的零向量为θ.让A=(aii…ipj1…jqk1…kr) 是一个 (p,q,r) 阶(m×n×l)维非负长方形张量,这里p,q,r≥1.定义和分别是Rm,Rn 和 Rl 的基,且和这里⊗是向量的张量积符号.对于任意的j=1,2,…,n,k=1,2,…,l,定义是一个 p 阶 m维方张量.对于任意的i=1,2,…,m,k=1,2,…,l,定义是一个 q 阶n维方张量.对于任意的i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,定义是一个 r 阶 l维方张量.定义1 在文献 [16]中提出,一个非负长方形张量 A 被称为不可约的,如果所有的方张量和都是不可约的.引理1 如果A是不可约的,那么所有的张量和没有特征值 0.证明假设结论不成立.那么,存在 j0,k0 使得有特征值0 或存在 i0,k0 使得有特征值0或存在 i0,j0 使得有特征值0.不妨设有特征值0,即,∃x0≠θ,使得如果 (x0)i>0,∀i,则0,那么可约,矛盾.另一方面,存在一个非空指数集 I 和δ>0,使得 (x0)i=0,∀i∈I,且(x0)i≥δ,∀i∉I,有这表明a i1i2…ipj0…j0k0…k0=0,∀i1∈I,∀i2,…,ip∉I，则是可约的,矛盾.同理可以证明和没有特征值 0.引理2 如果A是不可约的,那么对于任意的(x,y,z)∈(Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ}),Axp-1yqzr≠θ,Axpyq-1zr≠θ 和Axpyqzr-1≠θ.证明假设 Axp-1yqzr=θ,即(Axp-1yqzr)i=0,∀i.因为y,z≠θ,∃j0,k0 和δ>0 使得y≥δfj0,z≥δhk0,有0=(Axp-1yqzr)i≥∀i,即这就是说x是的一个关于特征值 0 的特征向量.根据引理 2,这是一个矛盾.同理可以证明 Axpyq-1zr≠θ 和 Axpyqzr-1≠θ.引理3 让A非负且不可约,且(λ,(x,y,z))∈R+×int(Pm)×int(Pn)×int(Pl) 是式(1)的一个解.如果(μ,(u,v,w))∈R+×((Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})) 满足(i) Aup-1vqwr≥(或≤)μu[M-1]，(ii) Aupvq-1wr≥(或≤)μv[M-1]，(iii) Aupvqwr-1≥(或≤)μw[M-1]，那么μ≤(或≥)λ.证明定义t0=max{s≥0|x-su∈Pm,y-sv∈Pn,z-sw∈Pl}.因为(x,y,z)∈int(Pm)×int(Pn)×int(Pl),t0>0.所以有当且仅当t∈[0,t0].因此即这表明μ≤λ.定理1 假设非负张量 A 是不可约的,则存在式(1)的一个解(λ0,(x0,y0,z0)),满足λ0>0 和(x0,y0,z0)∈int(Pm)×int(Pn)×int(Pl).如果λ 是强正特征向量的一个奇异值,则λ=λ0.这个强正特征向量在重数意义下是唯一的.证明定义Dk=.由引理 3,F 在Dm×Dn×Dl 上到自身的映射被定义为:F(ξ,η,σ)=,,.根据不动点定理,存在(ξ0,η0,σ0)∈Dm×Dn×Dl，使得这里定义t=s=x0=ξ0,y0=tη0,z0=sσ0 和则(λ0,(x0,y0,z0)) 是式(1) 的一个解.现在需要证明:(x0,y0,z0)∈int(Pm)×int(Pn)×int(Pl).反证法,假设这个结论不成立,则需要证明存在一个非空真指标子集 I⊂{1,2，…,m},或者一个非空真指标子集J⊂{1,2，…,n},或者一个非空真指标子集 K⊂{1,2，…,l},使得(x0)i=0,∀i∈I,(x0)i≥δ>0,∀i∉I,或者 (y0)j=0,∀j∈J,(y0)j≥δ>0,∀j∉J,或者(z0)k=0,∀k∈K,(z0)k≥δ>0,∀k∉K.因为∀j∈J,k∈K 是不可约的,如果满足上述条件的非空真子集 I 是存在的,∀i∈I,j∈J,k∈K有aii2…ipj1…jqk1…kr(x0)i2…(x0)ip(y0)j1…y(0)jq(z0)k1…(z0)kr≥aii2…ipj…jk…k(x0)i2…(x0)ip≥这与∀j∈J,k∈K 的不可约性矛盾.因此这样的非空真指标子集 I 是不存在的，同理可以证明这样的非空真指标子集 J 和 K 都是不存在的.所以(x0,y0,z0)∈int(Pm)×int(Pn)×int(Pl).强正特征向量的正奇异值的唯一性可以直接从引理 4 得到.用文献[14]中同样的方法可以证明强正特征向量在重数意义下是唯一的.下文把文献[14]中的非负张量唯一正特征值的强正特征向量的最大最小刻画推广到非负广义张量唯一正奇异值的强正特征向量.定理2 假设A 是一个(p,q,r)阶(m×n×l) 维的非负不可约长方形张量,则,=λ0=,这里λ0 是唯一的强正特征向量的正奇异值.证明在 (Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ}) 上,定义一个函数:,.因为它是一个正的 0-齐次函数,能够限制在(Dm)×(Dn)×(Dl) 上.令r*∶=μ*(x*,y*,z*)=(λ0,(x0,y0,z0))∈R+×int(Pm)×int(Pn)×int(Pl)是式(1)的一个解.一方面有λ0=μ*(x0,y0,z0)≤μ*(x*,y*,z*),即λ0≤r*.另一方面,由μ*(x,y,z) 的定义可得,.即根据引理 4,有r*≤λ0,因此λ0=r*.同理可以证明另一个等式.定理3 假设A 是一个非负不可约长方形张量,λ0 是强正特征向量的正奇异值，则对于 A 的所有奇异值λ，有|λ|≤λ0.证明令(x,y,z)∈((Cm\{θ})×(Cn\{θ})×(Cl\{θ}))是式(1)的一个解.对于任意的λ∈C.本文中需要证明|λ|≤λ0.让 =|xi|,∀i，=|yj|,∀j，=|zk|,∀k,集合x′=(,…,),y′=(,…,),z′=(,…,).显然,(x′,y′,z′)∈((Pm\{θ})×(Pn\{θ})×(Pl\{θ})).因为aii2…ipj1…jqk1…krxi2…xipyj1…yjqzk1…zkr|≤……=(A(x′)p-1(y′)q(z′)r)i,ai1…ipjj2…jqk1…krxi1…xipyj2…yjqzk1…zkr|≤……=(A(x′)p(y′)q-1(z′)r)j,ai1…ipj1…jqkk2…krxi1…xipyj1…yjqzk2…zkr|≤……=(A(x′)p(y′)q(z′)r-1)k,所以|λ|()M-1=|λ||xi|M-1=|(Axp-1yqzr)i|≤(A(x′)p-1(y′)q(z′)r)i,∀i,|(Axpyq-1zr)j|≤(A(x′)p(y′)q-1(z′)r)j,∀j,|λ|()M-1=|λ||zk|M-1=|(Axpyqzr-1)k|≤(A(x′)p(y′)q(z′)r-1)k,∀k.由定理2可得,≤=λ0.这一节中,在定理2和定理3的基础上,给出一种计算一个非负不可约广义长方形张量最大特征值的算法.这个算法类似文献[4]中找到一个非负不可约方张量的最大特征值.首先给出一些需要用到的结果.对于任意两个向量x∈Rk 和y∈Rk,则x≥y和 x>y分别意味着 x-y∈Pk 和 x-y∈int(Pk).这里的 Pk 和 int(Pk) 在第3节中定义.通过直接计算,得到以下引理.引理4 假设 A 是一个 (p,q,r) 阶(m×n×l)维的非负长方形张量都是非负列向量,t是一个正整数.那么,我们得到(i)如果则 Axp-1yqzr≥Ap-1qr,Axpyq-1zr≥Apq-1r,Axpyqzr-1≥Apqr-1(ii)A(tx)p-1(ty)q(tz)r=tM-1Axp-1yqzr,A(tx)p(ty)q-1(tz)r=tM-1Axpyq-1zr,A(tx)p(ty)q(tz)r-1=tM-1Axpyqzr-1.引理5 假设一个非负 (p,q,r) 阶(m×n×l)维长方形张量 A 是不可约的.那么,对于任意的强正向量x>0,x∈Rm,y>0,y∈Rn,z>0,z∈Rl,有 Axp-1yqzr,Axpyq-1zr,和Axpyqzr-1 是强正向量,即Axp-1yqzr>0,Axpyq-1zr>0,Axpyqzr-1>0.证明显然,Axp-1yqzr≥0.假设对某一个 i 有 (Axp-1yqzr)i=0.因为y>0,z>0,存在j0,k0 和δ>0 使得y≥δfj0,z≥δgk0.所以得到0=(Axp-1yqzr)i≥即又因为是不可约的,由文献[14]中的引理 2.2,可得这与式(9)矛盾,因此,Axp-1yqzr>0.同理可以证明 Axpyq-1zr>0 和 Axpyqzr-1>0.定理4 假设一个非负 (p,q,r) 阶(m×n×l)-维的长方形张量 A 是不可约的.让x(0)∈Rm,y(0)∈Rn,z(0)∈Rl 是3个任意的强正向量.且ξ(0)=A(x(0))p-1(y(0))q(z(0))r,η(0)=A(x(0))p(y(0))q-1(z(0))r,θ(0)=A(x(0))p(y(0))q(z(0))r-1.定义x(1)=,y(1)=,z(1)=,ξ(1)=A(x(1))p-1(y(1))q(z(1))r,η(1)=A(x(1))p(y(1))q-1(z(1))r,θ(1)=A(x(1))p(y(1))q(z(1))r-1,⋮x(t+1)=,y(t+1)=,z(t+1)=,ξ(t+1)=A(x(t+1))p-1(y(t+1))q(z(t+1))r,η(t+1)=A(x(t+1))p(y(t+1))q-1(z(t+1))r,θ(t+1)=A(x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r-1,t≥1,⋮并令,,t=1,2,….假设λ0 是 A 的唯一的正奇异值,则,1≤2≤…≤λ0≤…≤2≤1.证明由定理2,对于t=1,2,…,有t≤λ0≤t.现在证明对任意的t≥1,t≤t+1,t+1≤t.对于任意的t=1,2,…,由 t 的定义和引理5,可得ξ(t)≥t(x(t))[M-1]>0,η(t)≥t(y(t))[M-1]>0,θ(t)≥t(z(t))[M-1]>0.因此,所以,x(t+1)=≥>0,y(t+1)=≥>0,z(t+1)=≥>0.由引理4,可得A(x(t+1))p-1(y(t+1))q(z(t+1))r≥≥=t(x(t+1))[M-1]，A(x(t+1))p(y(t+1))q-1(z(t+1))r≥≥=t(y(t+1))[M-1]，A(x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r-1≥≥=t(z(t+1))[M-1],即对任意的i=1,2,…,m,j=1,2,…,n,k=1,2,…,l, t≤,t≤,t≤.可得t≤t+1.同理可以证明t+1≤t.根据定理4,规定算法如下:算法1.1) 选择x(0)>0,x(0)∈Rm,y(0)>0,y(0)∈Rn 和z(0)>0,z(0)∈Rl.令ξ(0)=A(x(0))p-1(y(0))q(z(0))r,η(0)=A(x(0))p(y(0))q-1(z(0))r 和θ(0)=A(x(0))p (y(0))q(z(0))r-1.设置t∶=0.2) 计算x(t+1)=,y(t+1)=,z(t+1)=,ξ(t+1)=A(x(t+1))p-1(y(t+1))q(z(t+1))r,η(t+1)=A(x(t+1))p(y(t+1))q-1(z(t+1))r,θ(t+1)=A(x(t+1))p(y(t+1))q(z(t+1))r-1,令,,,.3) 如果 t+1=t+1,则停止；否则,把 t 替换为 t+1，并继续步骤1).由算法1和定理4,可以得到下面的结果.定理5 假设一个非负 (p,q,r)阶(m×n×l)维长方形张量 A 是不可约的，λ0 是 A 的唯一的正奇异值，那么算法 1 通过有限步得到λ0 的值,或者生成两个收敛序列 {t} 和}.此外,让和那么和分别是λ0 的一个下界和上界.如果则【相关文献】[1] QI L.Eigenvalues of a real supersymmetric tensor[J].J Symb 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simpson函数 -回复

simpson函数-回复Simpson函数是一种数学函数，由B.D. Simpson于1743年首次提出。

它在数值计算和数值积分中具有广泛应用。

Simpson函数是通常用于对实值或复值函数进行数值积分的一种方法。

在开始讨论Simpson函数之前，我们需要了解数值积分的概念。

数值积分是用数值方法来近似计算给定函数在一段区间上的定积分。

这种方法是由牛顿-莱布尼茨定理延伸而来，它将一个函数的积分与该函数导数的关系联系起来。

Simpson函数的核心思想是将函数在一个区间上进行适当的插值，然后通过求得的插值函数的定积分来近似原函数的定积分。

这个区间通常被划分为若干等分，并使用多项式来逼近函数的曲线。

让我们以一个具体的例子来说明Simpson函数的使用。

假设我们要计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。

首先，我们需要将这个区间分割成n个小区间，每个小区间的长度为h=(b-a)/n。

如果n为偶数，那么最后一个小区间会比其他的小区间略短。

接下来，我们需要在每个小区间上使用Simpson公式进行插值。

Simpson 公式表示为：∫[x(i-1), x(i+1)] f(x)dx ≈(h/3) * [f(x(i-1)) + 4f(x(i)) + f(x(i+1))]其中，x(i-1)、x(i)和x(i+1)分别是小区间[i-1, i]、[i, i+1]和[i+1, i+2]的端点。

通过对每个小区间应用Simpson公式，我们可以求得整个区间[a, b]上函数的定积分的近似值。

最后，将所有小区间的定积分的近似值相加，即可得到原函数在整个区间上的定积分的近似值。

Simpson函数在数值计算中有许多应用。

其中最常见的是用于计算复杂函数的定积分。

例如，在物理学中，Simpson函数常常被用来计算物体的质量、能量和动量等物理量。

此外，Simpson函数还可以用于曲线拟合和插值问题。

插值是寻找一个函数，该函数可以通过已知数据点进行拟合，同时尽量与真实曲线相吻合。

广义平稳随机过程

2
2/3
1/3
(
)3
(
) 3 ( )E A3 2E B1 2 8 3 3 33
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
31
2
E( AB) E(BA) E( A)E(B) 0
mX (t ) E[ X (t )] E[ A]cos t E[B]sin t 0
2. 计算举例
RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
计算举例rxt1t2?ext1xt2?eacost1?bsint1acost2?bsint222?eabcost1sint2?ebasint1cost2??t1?t2?2cos?所以xt是广义平稳的?2cost1cost2?2sint1sint2?2cost1?t2cossinexteatbt??cossincossineatbtabtcossinbatt?3??cossintt???23322332
2.3-2 广义平稳 (Wide-Sense Stationary, WSS)
广义平稳随机过程的定义计算举例
1. 广义平稳的定义
如果
mX (t ) mX
RX (t1 , t2 ) RX ( ), t1 t2
严格平稳
一定不一定
广义平稳
当随机过程是高斯分布时，两者等价。
随机相位信号是广义平稳随机过程
2. 计算举例
例2.3-3: 设随机过程定义为 X (t) A cos t B sin t
其中A和B是相互独立的随机变量,取-1的概率为2/3, 取2的概率为1/3,该过程是平稳过程吗?
解: A (B)
-1
2
P
2/3
1/3
21
33
2

Mersenne数M_p都是孤立数

Mersenne数M_p都是孤立数
李伟勋
【期刊名称】《数学研究与评论：英文版》
【年(卷),期】2007(27)4
【摘要】设p是素数，Mp=2^p-1．本文证明了Mp都是孤立数．
【总页数】4页(P693-696)
【关键词】Mersenne数;相亲数;孤立数
【作者】李伟勋
【作者单位】茂名学院数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O156.1
【相关文献】
1.奇素数的平方都是孤立数 [J], 乐茂华
2.素数的立方都是孤立数 [J], 李伟勋
3.Mersenne数Mp都是孤立数 [J], 李伟勋
4.对"几乎一切Mersenne数与Fermat数都是素数"的质疑 [J], 石永进;李建华
5.几乎一切Mersenne数与Fermat数都是素数 [J], 王世强;别荣芳;史璟;杜文静因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

matlab 符号梅森公式

matlab 符号梅森公式MATLAB符号梅森公式在MATLAB中，符号计算是一项重要的功能，它提供了一种处理符号表达式的方法，而不仅仅是处理数值。

而梅森公式是符号计算中的一个重要概念。

1. 梅森公式简介梅森公式是指由埃德蒙·梅森于公元1644年提出的一组计算素数的公式。

梅森公式可以用来判断一个特定形式的数是否为素数，即满足2^p - 1的形式，其中p是一个正整数。

2. MATLAB中的符号计算 MATLAB中的符号计算功能是通过Symbolic Math Toolbox提供的。

可以使用符号变量和符号表达式来进行符号计算。

在MATLAB中，可以使用syms命令来定义一个符号变量，使用sym命令来定义一个符号表达式。

3. 利用MATLAB判断素数在MATLAB中，可以利用符号计算功能来判断一个数是否为素数。

首先，可以使用syms命令定义一个符号变量p，并定义一个符号表达式M来表示2^p - 1。

然后，利用isprime命令判断M是否为素数。

如果M是素数，则说明对应的p是梅森素数。

4. 使用符号计算求解梅森素数为了能够方便地求解梅森素数，可以使用MATLAB中的循环结构。

首先，可以使用for循环从1到一个较大的数N遍历变量p，然后在循环体中通过判断M是否为素数来确定p是否为梅森素数。

具体的步骤如下：（1）使用syms命令定义一个符号变量p。

（2）使用for循环从1到N遍历变量p。

（3）在循环体中，使用符号表达式M表示2^p - 1。

（4）使用isprime命令判断M是否为素数。

（5）如果M是素数，则输出p为梅森素数。

5. 示例代码下面是一个示例代码，用于求解梅森素数：```matlabsyms p;N = 1000;for p = 1:NM = 2^p - 1;if isprime(M) disp(['p = ', num2str(p), ' is a Mersenne prime.'])endend``` 在上述代码中，设置N为1000，表示从1到1000遍历变量p。

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ＰＬｐ
设Ｐ是奇素数，定义正整数，（。ｂ，Ｐ）＝竺＿ —÷ 为广义Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数，（ｎ，ｂ，Ｐ），其中ｏ，ｂ是满足ｎ＞
“ 一Ｕ
ｂ，且（０，ｂ）＝ｌ的正整数．２００７年，李伟勋证明了：Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数不与任何正整数构成亲和数．本
引理３ｌ４当０＜＜１时，有
＜ｌｎ（１＋）＜．
引理４若自然数ｙ ≥ ３，则（ｙ）＜（１．８ｌ。ｇｌ。ｇｙ＋２．６）ｙ
２主要结论及其证明
定理广义Ｍ。ｒ。。数。，６，ｐ）：
数？ ’ ’ ．
定义ｏｒ（／７，）是正整数／７，的所有正因数的和．正整数ｎ为完全数，如果对正整数／７，有ｏｒ（ｎ）＝２ｎ，例如
６，２８，４９６是最初的３个完全数；正整数对（ｍ，／／，）为一亲和数对，其中ｍ与／２，是互不相等的正整数，如果有ｏｒ（ｍ）＝ｏｒ（／／，）＝ｍ＋／７，，例如（２２０，２８４），（１７２９６，１８４１６）都是亲和数对．对于一个正整数／７，是否是完全数与ｎ是否与其他正整数构成亲和数的结论众多，如文献［２］～［４］．
当ａ≠ ２，６ ≠１时，广义Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数ａ，ｂ，Ｐ）为合数．此时，设存在正整数使得其与广义Ｍｅｒｓｅｎｎｅ
数ａ，ｂ，Ｐ）构成亲和数，即有（，（ａ，ｂ，Ｐ））：Ｄｒ（）＝，（ａ，ｂ，Ｐ）＋．（１）设厂（０，ｂ，ｐ）的标准分解式为０，ｂ，ｐ）＝ｑ１８１ｑ： …ｑ乩，其中ｑ（ｉ＝１，２， …，后）是满足ｑ＜ｑ：＜… ＜
２０ｌ３年２月
第２２卷
第１ห้องสมุดไป่ตู้
中央民族大学学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＭＵＣ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓＥｄｉｔｉｏｎ）
Ｆｅｂ．，２０１３Ｖ０ｌ＿２２ＮＯ．１
广义Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数ｆ（，ｂ，Ｐ）一点注记
张四保
（喀什师范学院数学系，新疆喀什８４４００８）
摘要：定义正整数，（ｎ，６，ｐ）＝ｎ
—
Ｏ
为广义Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数，（。，ｂ，ｐ），其中Ｐ是奇素数，ｎ，ｂ是满足ｎ＞ｂ，
收稿日期－２０１２－１０ — ８．
作者简介：张四保（１９７８一），男（汉族），江西峡江人，喀什师范学院数学系讲师，理学硕士，研究方向：数论与代数研
究
第１期
张四保：广义Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数，（ａ，ｂ，Ｐ）一点注记
－厂（２，１，Ｐ）＝２一１不与任一正整数构成亲和数对．当６：１时。，１，ｐ）：二：ａｐ－１＋… ＋。＋１是不可约的，即此时＿厂（。，ｌ，ｐ）是素数，由于素数都是孤立数，所以此时＿厂（ａ，１，Ｐ）不与任一正整数构成亲和数对．
文将考虑广义Ｍｅｒｓｅｎｌａｅ数，（ｏ，ｂ，Ｐ）是否与一正整数构成亲和数对的问题，并给出了相应的结论．
１引
理
引理１设ｎ＝ｐｐ：一Ｐ是正整数０的标准分解式，其中Ｐ（ｉ＝１，２， …，ｓ）是素数，且满足ｐ＜
且（ａ，６）＝ｌ的正整数．
不与任一正整数构成亲和数对，其中。，６是满足。＞６，
证明
当ａ＝２，ｂ＝１时２，１，Ｐ）＝２一１就是常说的Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数，根据文献［４］可知，此时
引
言
在数论中，有２个古老的尚待解决问题是 “ 完全数问题 ” 与“ 亲和数问题 ” ．其中前者的问题是： “ 在Ｎ（Ｎ是指自然数系）中，是否存在无穷多个完全数？ ” ；后者的问题是： “ 在Ｎ中，是否存在无穷多对亲和
且（ｎ，ｂ）＝１的正整数．证明了广义Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数＿厂（ｏ，ｂ，Ｐ）不与任一正整数构成亲和数对的结论．关键词：完全数；亲和数；广义Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数
中图分类号：Ｏ１５６文献标识码：Ａ文章编号：１００５ — ８０３６（２０１３）０１－００５２ — ０４
Ｐ＜ … ＜Ｐ，Ｏ／是正整数，则有
＝
鲁Ｐｌ一ｌ … Ｐ一ｊ＝鱼：Ｊ－ｌＰ — ｌ．
引理２
广义Ｍｅｒｓｅｎｎｅ数，（０，ｂ，ｐ）的素因数ｑ满足ｑ１（ｍｏｄ２￣）．