镜像法1(中文) - 360文档中心

对偶原理、镜像原理(中文)

的麦克斯韦方程修改为
�
� l E � dl Im
jB � dS
S
S
前B述�边dS界条m件也必须加以修正 , 但仅涉及电场
强度的切向分量和磁场强度的法向分量，即
en E2 E1 J mS
en B2 B1 mS
式中JmS (r) 为表面磁流密度；mS(r) 为表面磁荷密度；en
由媒质①指2向1,, 媒21 et质e②n E，2Jtm如S E下1t 图BB所12nn 示。
解对于无限大的理想导电平面，垂直电流元
的镜像为正像。因此，上半空间的场强等于长度为 2l 的电流元产生的辐射场，即
E
j
Z0 I lsin r
e jkr
可见，场强振幅提高一倍。
接地的电流元仅向上半空间辐射，计算辐射功率时仅需沿上半球面进行积分，即
Pr
2π
d
π
2 Sr 2 sin
d
160π2 I 2
设时变电流元 Il 位于无限大的理想导电平面附近，且垂直于该平面，如下图所示。
Il
,
Il
, ,
I'l'
引入的镜像源必须保持原有的边界条件。
正弦时变电流与时变电荷的关系为 I 。j时q 变电
流元的电荷积累在电流元的两端，上端电荷
端电q 荷I ，如下左图q 所示I。
j
j
，下
镜像电流元为 I l ，且令I I ，l l
电磁场方程如下：
He J j Ee Ee j He
Be 0
De
H m j Em
Em J m j H m Bm m
Dm 0
He Jm Em Jm j H m Bm m

镜像法原理

镜像法原理镜像法，又称镜像原理，是物理学中的一种重要原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。

镜像法的基本原理是通过假想一个镜像，来简化问题的求解，从而使得问题的求解变得更加容易和直观。

镜像法的应用可以大大简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。

下面我们将详细介绍镜像法的原理及其在不同领域的应用。

首先，我们来介绍镜像法在光学中的应用。

在光学中，镜像法被广泛应用于光学成像问题的求解。

例如，在平面镜成像问题中，我们可以通过假想一个虚拟的物体，将实际物体和虚拟物体关于镜面的位置进行对称，从而得到虚拟物体的像的位置。

这样一来，我们就可以利用镜像法来简化平面镜成像问题的求解过程，大大提高问题的求解效率。

其次，镜像法在电磁学中也有着重要的应用。

在电磁学中，镜像法被广泛应用于求解导体表面的电场分布问题。

通过假想一个虚拟的镜像电荷，将实际电荷和虚拟电荷关于导体表面进行对称，从而得到虚拟电荷在导体表面的电场分布。

这样一来，我们就可以利用镜像法来简化导体表面的电场分布问题的求解过程，提高问题的解决效率。

此外，镜像法还在流体力学中有着重要的应用。

在流体力学中，镜像法被广泛应用于求解流体与固体边界的流动问题。

通过假想一个虚拟的镜像流体，将实际流体和虚拟流体关于固体边界进行对称，从而得到虚拟流体在固体边界的流动情况。

这样一来，我们就可以利用镜像法来简化流体与固体边界的流动问题的求解过程，提高问题的解决效率。

总的来说，镜像法是一种非常重要的物理原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。

通过假想一个镜像，镜像法可以简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。

因此，掌握镜像法的原理及其在不同领域的应用对于物理学和工程学领域的学习和研究都具有着重要的意义。

希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解镜像法的原理及其应用。

第十三讲：镜像法

3.5镜像法1、了解镜像法的基本思想及理论依据；2、了解镜像法的替代要求；3、能运用镜像法求解某些形状简单的界面情况下的电场分布。

重点：1）镜像法的基本原理，2）像电荷的位置和大小的确定；难点：根据界面情况设定像电荷位置。

讲授法 2学时3.5镜像法一、镜像法的基本思想和理论依据如果在所考虑的区域边界是导体或介质界面，则界面会产生感应电荷或极化电荷，它们将对区域的场分布产生影响，但这些电荷分布事先并不知道，如何求解场分布？能否将感Q 、极Q 用场空间以外的区域的假想电荷来代替呢？若能，则就可以把原来的边值问题的求解转化为均匀无界空间中的问题来求解。

1、镜像法的基本思想将边界对场的影响用边界外部虚设的像电荷代替。

2、镜像法的理论基础唯一性定理、迭加原理 3、镜像法的替代要求1）像电荷必须放在研究的场域外，否则将改变研究区域的电荷分布。

2）像电荷和原来电荷共同产生的定解问题的边界条件和原来的一致。

3) 有限个像电荷。

像电荷无限多时，一般无意义。

但有时也可以求近似解。

二、镜像法的具体应用 1、接地导体平面的镜像例题1、接地无限大平面导体板附近有一点电荷，其电量为q ，距板为h 处，求空间中的势分布。

解：1) 0z 的空间所以，0ϕ=。

✓ 方程与边界条件()2,,q x y z h ϕδε∇=-- （1）0R ϕ→∞= （2） 00z ϕ== （3） ✓ 求镜像为了满足方程（1），假想的电荷'q 必须在下半空间内，这样才能使原方程不变。

由于导体是等势体，'q 必须在q 的正下方（距导体面高度设为'h ），否则电场线不会垂直于导体表面。

引入'q 后，边界条件（2）自然成立，由边界条件（3）有：'00z ϕ===上式对任意的(),x y 均成立，因而有：'h h =，'q q =-。

这样得到下半空间的势为：(),,x y z ϕ=讨论：1）感应电荷分布：()()3/23/222222022S z q h q hzx y h h ϕρεππρ=∂=-=-=-∂+++感应电荷： ()3/2022222in S S Sq hq dS d d q h ρρπρρπρρπρ∞∞===-=-+⎰⎰⎰ 2）导体板不接地，需要给出什么条件才能确定空间的电势？此时，下半空间的势还为零吗？3）介质中极化电荷的分布？ 4）如何计算q 受到的电场力？推广：1）、线电荷对无限大接地导体平面的镜像；（注意电位零点的选择）x2) 0z >的空间2）、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像；（垂直、夹角为n απ=） 2、导体球面的镜像例题2、点电荷q 位于一个半径为a 的接地导体球外，与球心距离为()d d a >，求空间各点的电位。

镜像法

设一镜像电荷q″位于区域1中，且位置与 q 重合，同时将整个空间视为均匀介质2。
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2

q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1

q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，

q 4

1 R

1 R

q 4

q q 0 4 R0
1

x2 y2 (z h)2
电位的法向导数

n
s

f2 s
一、二类边界条件的线性组合，即

n
s2

f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值（第二类）
U0
O
ax
第3章静电场及其边值问题的解法

镜像法

/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。

例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。

一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。

然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。

这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。

可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。

在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。

(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。

(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。

4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。

如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。

待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。

在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。

点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。

根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。

大学电磁场与电磁波第二章2.8镜像法

E
=
q 4πε0
1 (r2
er
−
R dr12
er1
+
R dr2 2
er2
)
不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷 q′吗? 为什么？
图2.8.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图
补充题：试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?
图2.8.8 点电荷对导体球面的镜像
=
qh
(h
2
1 + x2 )1/
2
∞
0
= −q
2. 导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
1) 边值问题：
∇2ϕ = 0 （除q点外的导体球外空间)
ϕ =0 r →∞
ϕ
=0
导球面
2) 设镜像电荷 − q′位于球内,球面上任一点电位为
ϕp
=q
4πε
r
− q' = 0
2
sin
θ
=
q'' 4πε2r
2
sin
θ
q + q' = q'' ε1 ε1 ε2 q − q'= q''
q' = ε1 − ε 2 q ε1 +ε2
和
q' ' = 2ε2 q ε1 +ε2
•ε1中的电场是由q与q' 共同产生，其有效区在上半空间，q'是等效替代极化电荷的
影响。
•ε 2中的电场是由 q'决' 定，其有效区在下半空间，q''是等效替代自由电荷与极化电荷

镜像法的原理及应用实例

镜像法的原理及应用实例1. 什么是镜像法？镜像法是一种分析问题和解决问题的方法，它借助于类比和比较的手段来帮助我们更好地理解问题的本质和寻找解决方案。

镜像法的基本思路是将问题或者事物转化为类似的模型或者情境，从而找到解决问题的方法或者规律。

2. 镜像法的原理镜像法的原理可以概括为以下几点：2.1 类比思维类比是镜像法的核心思维方式，它通过将问题或者事物与其他类似的模型或情境进行比较，以引出新的见解和解决思路。

通过类比思维，我们可以扩大思维的广度，提取共性和相似之处，从而更好地理解问题和找到解决方案。

2.2 转化思维镜像法的另一个重要原理是转化思维，即将问题或者事物转化为其他形式或者模型来进行分析和解决。

通过转化思维，我们可以摆脱原有的框架和限制，以新的视角来审视问题，发现不同的解决方案。

2.3 反向思维反向思维是镜像法的又一重要原理，它通过对问题进行反向思考，找到与常规思维相反的解决方案。

反向思维可以打破固有的思维局限，以不同的角度来看待问题，从而找到更加创新和有效的解决方案。

3. 镜像法的应用实例镜像法在各个领域都有着广泛的应用，接下来将为您介绍几个典型的应用实例。

3.1 创新设计在设计领域，我们经常会遇到需要解决新颖问题的情况。

镜像法可以帮助设计师通过类比和转化思维，从其他领域或者事物中找到灵感来源，创造出新的设计理念和方案。

3.2 问题解决在解决问题的过程中，我们常常会遇到难以解决或者复杂的问题。

镜像法可以帮助我们通过类比和反向思维，找到新的解决方案。

例如，如何解决一个复杂的算法问题，我们可以将其转化为其他领域的问题，然后采用类似的方法解决。

3.3 决策支持在决策过程中，我们需要全面分析和权衡各种因素。

镜像法可以帮助我们通过类比，比较不同方案的优劣，并找到最有效的解决方案。

通过镜像法，我们可以更好地理解和把握决策的关键因素。

4. 总结镜像法是一种重要的思维方法，它通过类比和转化的方式帮助我们更好地理解问题和寻找解决方案。

镜像法-高中物理竞赛讲义

与
是相似三角形，即
，于是球外任意一点的电位为
(4.4.3.6)
采用球坐标，取原点为球心 O 点，z 轴与轴重合，则球外任一点
处
有
(4.4.3.7)
这样可求得电场的分量为
(4.4.3.8)
r=a 时球面上的感应电荷密度1)
（1）点电荷对不接地、净电荷为零的导体球的镜像。（2）点电荷对不接地、净电荷不为零的导体球的镜像。（3）接地球形空腔内电荷的镜像
《镜像法》4，15
平行导线间单位长度电容： (4.4.2.10)
其中
小天线的镜像
与地面的小天线，长度为 l ，离地高度为 h 。用位于地面下方 h 处的镜像小天线代替地面上的感应电荷，边界条件维持不变。与自由空间的天线比较，当天线离平面很近时，若天线与平面平行，辐射功率为零，若天线与平面垂直，辐射功率增强。若天线与平面倾斜放置，则辐射功率的变化与倾斜角度有关。具体辐射功率的计算请参看天线辐射（超链），此处仅给出思路和结论。
点电荷对相交接地平面的镜像
条件：两相交接地平面夹角为镜像电荷：2n-1 个。
，n=1,2,3…
若两相交接地平面夹角不满足上述条件，则镜像电荷为无
穷多个。
点电荷对介质平面的镜像
图 4.4.5 点电荷对相交接地地面的镜像
1 区和 2 区为不同介质，求解时要分区域考虑。
求解区 1 的场：在区 2 置镜像电荷。求解区 2 的场：在区 1 置镜
像
与地面平行的均匀双线传输线，半径为 a，离地高度为 h，导线间距离为 d，导线一带正电荷+ ，导线二带负电荷-
。
用位于地面下方 h 处的镜像双导线代替地面上的感应电荷，边界条件维

镜像法及其应用

镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。

适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。

镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。

根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

下面我们举例说明。

1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。

解建立直角坐标系。

此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。

这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。

也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。

对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。

由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。

镜像法

一、电象法的概念和适用条件1.求解泊松方程的难度一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。

但是，在许多情况下非常困难。

例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。

求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。

2. 以唯一性定理为依据在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。

特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。

3.电象法概念、适用情况电象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布适用情况：a)所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。

b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。

c) 给定边界条件注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由点电荷位置、Q 大小不能变）。

所以假想电荷必须放在所求区域之外。

b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假想电荷的大小和位置）。

c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。

d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。

4.格林等效层定理（1）等势面包围的体积V内的电荷在V外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将V内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。

（2）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。

四、应用举例1.接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。

从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。

φ=解：根据唯一性定理左半空间右半空间，Q 在（0，0，a ）点，电势满足泊松方程。

边界上00z φ==Q '设电量为 a '，位置为（0，0，）14Q Q φπε'=+zφ='==由边界条件确定Q'a'φ和、唯一解是因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解,Q Q a a''=-=±4Qφπε=讨论：（a）导体面上感应电荷分布02223/22()zQaz x y aφσεπ=∂=-=-∂++223/222()Qa rdrQ dS Q Qr aπσπ∞'''==-=-=+⎰⎰（b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。

电磁场镜像法

§18 镜像法一、镜像法1.定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。

该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。

即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导体面域(电介质分界面)上复杂得感应(半极化)电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。

2.应用镜像法应主意得问题应主意适用得区域,不要弄错。

在所求电场区域内:①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况;④在研究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解(讨论)得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。

3.镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。

二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1.设与一个无限大导电平板(置于地面)相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。

解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知(未知),因此无法直接求解。

用镜像法求解该问题。

对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。

由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例115、P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。

解:用镜像法求解P点:,感应电荷密度, (大地)点电荷例1-16P55解:用镜像法,如图所示,边界条件2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。

解:应用镜像法求解区域如图b,如图c设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有,由有与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷若q为得线电荷则有:3.点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题①与得电场中,求电位为零得等位面。

镜像法及其利用

镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。

适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。

镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。

根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

下面我们举例说明。

1导体平面的镜像例.1　在无限大的接地导电平面上方处有一个点电荷，如图3.2.1所示，求导电平板h q 上方空间的电位分布。

解　建立直角坐标系。

此电场问题的待求场区为；场区的源是电量为位于0z >q 点的点电荷，边界为面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为面上电(0,0,)P h xy xy 位为零。

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷和，分别位于和点q q -(0,0,)P h ，使得面的电位为零，如图3.2.2。

这种情况，对于的空间区域，电(0,0,)P h '-xy 0z >荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况区域的电位0z >是相同的。

也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。

对比这两种情况，对区域的场来说，后一种情况位于点的点电荷与前一种0z >(0,0,)P h '-情况导电面上的感应电荷是等效的。

由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。

镜像法的基本原理及应用

镜像法的基本原理及应用镜像法是一种解决物理问题的数学方法，它通过寻找与给定问题几何形状相对称的新形状来简化问题。

在这个方法中，假设存在一个虚拟的“镜像界面”，物体在这个界面上的镜像与真实物体具有相同的性质。

通过在镜像界面上求解问题，再利用对称性的关系，可以得到关于真实物体的相应结果。

镜像法的基本步骤如下:1. 首先，根据问题情境和给定条件，选择合适的镜像面。

在对称模型中，这个面是一个现实界面或几何界面。

2. 然后，将问题中的物体和场景镜像到镜像界面上。

这个镜像是以对称中心为轴进行的，可以得到沿对称中心的轴对称图像。

3. 通过利用对称性质，将问题转化为在镜像界面上求解的几何形状问题。

这可以通过使用相同的数学工具和方法来完成。

4. 最后，根据镜像结果，将得到的结果重新映射到真实问题中。

镜像法有广泛的应用。

以下是几个例子：1. 电磁学中的镜像法：在静电场和静磁场中，可以使用镜像法来处理具有对称边界条件的问题。

例如，在一个均匀导体球面上带有电荷的问题中，可以使用以球心为中心的球面作为镜像面。

通过镜像法，可以简化问题，将球面之外的问题转化为球面上的点电荷问题。

2. 流体力学中的镜像法：在液体或气体流动的问题中，可以使用镜像法来处理与边界有关的问题。

例如，在一个有无限大平板边界的流动问题中，可以将平板看作是无限多个镜像边界的结果。

这样，可以得到一个对称问题的解，然后利用超级位置法或镜像法将结果映射回到真实的边界条件。

3. 固体力学中的镜像法：在弹性和塑性力学中，也可以使用镜像法来简化问题。

例如，在一个构件上施加了对称边界条件的力，可以通过镜像边界上施加相应的约束力，将真实问题转化为对称模型上的问题。

这种方法可以简化弹性和塑性力学问题的求解过程。

除了上述几个应用，镜像法还可以在电动力学、热传导、光学等领域中找到广泛的应用。

镜像法的优点是可以简化问题求解的过程，特别是在具有对称性的情况下，可以减少计算的复杂性。

镜像法及其应用

镜像法及其应用镜像法在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。

如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。

镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。

适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。

镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。

根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。

下面我们举例说明。

1导体平面的镜像例.1 在无限大的接地导电平面上方h处有一个点电荷q，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。

解建立直角坐标系。

此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q和q -，分别位于(0,0,)P h 和点(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。

这种情况，对于0z >的空间区域，电荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。

也就是说，可以通过后一种情况中图3.2.1 导电平面上方的点电荷图3.2.2 点电荷的镜像电荷的两个点电荷来计算前种问题的待求场。

对比这两种情况，对0z>区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)'-点的点电荷与前一种情况导电面上的P h感应电荷是等效的。

镜像方法

4.4 镜像方法自强●弘毅●求是●拓新4.4.1 镜像方法的基本思想第一类边界条件下静电场的格林函数的定解问题： 2G r,r'1 r r' | G r,r'0s定解问题的解： G r,r'单位电荷直接边界感应电荷产生的电位产生的电位 r rGreen函数的物理模型4.4.1 镜像方法的基本思想上述表达式中，单位点电荷在空间产生的电位已知道，方程的求解最终归结为求边界感应电荷产生的电位。

镜像方法：为了得到感应电荷及其产生的电位，人们试图找出一个或者多个想象的点电荷来等效边界面上感应电荷的贡献，这个想象的一个或者多个点电荷称为像电荷。

这一方法称为镜像方法。

4.4.2 镜像方法的求解步骤【例4-4】无穷大接地导体板上单位点电荷在上半空间的电位解：定解问题为：h2G(r, r')10(rr'),z01G(r,r' ) z0 0xz R1 R1P RR2 2y4.4.2 镜像方法的求解步骤根据叠加原理，导体板上方的电位可表示为： G r, r ' 1 Q ' 4 π 0 R1 4 π 0 R2 其中： R1 r r' x2 y2 z h 2 R1 r r'' x x'' 2 y y'' 2 z z'' 2将Gr,r' 代入到（1）式中，得： 2 14π 0R1Q'4π 0R2 10 (r r' ) Q' (r r'' ) (r r')2G(r, r ' ) z01 4π0R1Q'4π 0R2 Z 004.4.2 镜像方法的求解步骤像电荷的确定： ① 像电荷的位置不在上半空间（满足方程） ② 原电荷感应中心和像电荷在一条连线上（对称） ③ 像电荷与原电荷的符号相反（感应原理） ④ 像电荷与原电荷在平面上的电位为零（接地）4.4.2 镜像方法的求解步骤利用（1）（2）（3）（4）条件，可以得到：Gr,r' 1 1Q' 0 z04 0 x2 y2 z h2x x'' 2 y y''2z z''2 其解为： Q ' 1，x '' y '' 0 ，z '' h所以，最终解为：Gr,r' 1 11 40 x2 y2 z h2 x2 y2 z h2 4.4.2 镜像方法的求解步骤镜像法的基本思想：寻找一个或者几个想象的电荷来等效边界感应电荷的贡献。

第8讲镜像法

q'
d' d
q a q, d a2
d
d
a
q′
+
a q″
q q a q，d 0 d
第八讲镜像法
三、导体球面的镜像
3、点电荷位于不接地导体球面外
结论：不接地导体球外存在点电荷 q时，其镜像电荷为：
q a q, d a2
d
d
q q a q，d 0 d
球外任意点的电位为
1 ( q q q) 40 R R r
特点：
• 在介质分界面上存在极化电荷分布 • 空间中任一点的电场由点电荷与极化电
荷共同产生。
z
q
1 h x
2
图1 点电荷与电介质分界平面
问题：如何确定镜像电荷？
第八讲镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
➢ 计算上半空间中的电位由镜像法，镜像电荷须位于下半空间
➢ 球壳内的电位函数为
d’
q
1
a
(r a)
4π0 r2 d 2 2rd cos d r2 (a2 d )2 2r(a2 d ) cos
➢ 球壳内表面感应电荷面密度为
S
0
r
ra
4πa(a2
q(a2 d 2)
d 2 2ad cos )3 2
➢ 球壳内表面的总感应电荷为
qin
由 a 时， 0
C l ln d
？
2 a
故
l ln d 2 2 a 4 2da 2cos
2 a2 2 a2d 2 2da2 cos
导体圆柱面上的感应电荷面密度
S
a
l (d 2 a2 ) 2 a(a2 d 2 2ad

4.3 镜像法1

表面吻合。
总结：
（1）镜像电荷与原电荷异号。可见，上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。
（2）用镜像电荷等效感应电荷后，不改变原来的电场分布，即原电力线
和等位线分布不变。（3）镜像法只适用于不包括镜像电荷所在的区域，如本题为导体上方。半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因为在上半空间中，源及边界条件未变。
1
思考题：（1）若导体球不接地，求球外的电场分布。（2）若将点电荷放置在接地导体球形空腔内，距球心d2处，求空腔内的电场。
若导体球不接地，则位于点电荷一侧的导
P a r 2 o d q
2
r1
体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面
q
上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷 q‘ 后，为了满足电荷守
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得
s 0 Ez 0 z
h z z 0
q q
2

qh 2 x y h
2 2

3
2
dS q
s
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
z

电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
解：由镜像法可得，l1的镜像电荷 a 位于l 2的反演点 d2 处。 d d
2 2 1
P a r2
r1 P2 d1
l 1
线电荷 l1 产生电位为： 1 1 l1 ln 2 0 r1

1-7镜像法

设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
1)
边值问题：边值问题：
∇ 2ϕ = 0
ϕ ϕ
r→ ∞ 导球面
=0 =0
（除q点外的导体球外空间)
2)设镜像电荷-q 位于球内,球面上任一点电位为:
ϕp =
图1-29 点电荷对接地导体球面的镜像
q 4 πε 0 r1
−
q' 4 πε 0 r2
2.点电荷和接地导体球 q点电荷附近接地导体球的影响可用镜像电荷（-q′）可用镜像电荷（代替感应电荷，代替感应电荷，其中位置与电荷量为：位置与电荷量为：
R2 b= d b R q' = q= q d d
3.点电荷和两种不同介质平面分界面S的上下半空间充满介电常数为ε 平面分界面的上下半空间充满介电常数为ε1和ε2的均的上下半空间充满介电常数为匀介质，在上半空间距S为处有一点电荷处有一点电荷q，匀介质，在上半空间距为h处有一点电荷，求空间的电场设上半空间电位为ϕ1，下半空间根据唯一性定理，电位为ϕ2，根据唯一性定理， ϕ1 应满足：和ϕ2应满足：（1）
r2
h
q′
1 q q′ + ϕ1 = 4πε1 r1 r2
镜像系统为：镜像系统为：下半空间由原来电荷q处的像电荷由原来电荷处的像电荷 q″所产生（介电常数ε2 所产生（所产生介电常数ε 冲满整个空间）冲满整个空间）
r1
ϕ1 =
1 q q′ + 4πε1 r1 r2
长直平行双传输线
思路：采用等效观点，思路：采用等效观点，对于两圆柱导体外部的电场，对于两圆柱导体外部的电场，可以设想将两圆柱撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电细线。细线。如图相距为2b（的数值待定的数值待定）如图相距为（b的数值待定）的两根电荷线密度的带电细线，它们所在的轴线就是电轴，为τ、-τ的带电细线，它们所在的轴线就是电轴，这种方法称为电轴法。这种方法称为电轴法。

镜像法计算通电导体磁场强度

1、电磁学的镜像法有平面镜像法和球面镜镜像法。

2、镜像法的核心思想和核心方法是将感应电荷与原电场（原电荷）的作用等效为镜像电荷与原电场（原电荷）的作用。

3、使用镜像法的难点在于确定镜像电荷的电量多少、电荷位置等。

对于平面镜来说，确定起来较为简单，好似平面镜成像。

4、镜像法的使用条件是“镜”电势为零。

如果不为零，就要通过添加或减少电荷使得“镜”电势为零再使用。

详细的情况可以查看普通物理《电磁学》中文名称：镜像法英文名称：method of image 定义：用物体或基本流动(如旋涡、偶极子等)的镜像来代替固体边界或射流边界影响的一种处理方法。

一种计算静电场或稳定电磁场的方法。

W.汤姆孙(即开尔文)于1848年提出,最先用于计算一定形状导体面附近的电荷所产生的静电场，叫做电像法；后来发展到可以计算某些稳定电磁场，现在称做镜像法。

在电荷的附近出现导体面（或介质分界面）时，这些面对电场有影响。

镜像法就是利用已经熟悉的静电学知识，通过在这些面的另一侧适当位置，设置适当量的假想电荷（称为电荷的像或像电荷），等效地代替实际导体上的感应电荷或电介质界面上的极化电荷，以保证场的边界条件得到满足。

根据静电唯一性定理，在求解区域中，源电荷与像电荷产生的电场就是实际存在的电场。

镜像法常常很简便地得到场的解析解，但只有边界面几何形状很简单的情形才可能成功地设置电像，故不是普遍适用的方法。

目前，镜像法已不限于静电学范围，它已应用于计算稳恒磁场，稳恒电流场和天线的辐射场等不少重要的电磁场问题。

现用简单的例子阐明镜像法。

如图1a所示,大地上方h米处有点电荷q,因为地表感应的面电荷密度N未知，所以不能用积分方法求解电场的V和E。

但是，由于已经知道,图1b为相距2h的正负点电荷在无限空间产生的静电场，场中通过电荷联线中点且与联线垂直的无穷平面为一零等势面，对比图1a与图1b,它们上部静电场的边界条件、点电荷q的位置及媒质的介电常数ε都相同，根据唯一性定理,图1 b静电场的上半部即图1c，就是所求大地上方的静电场。