贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学下学期适应性月考试题 理(含解析)
2020届贵州省贵阳市第一中学高三高考适应性月考卷(六)数学(文)试题(解析版)
2020届贵州省贵阳市第一中学高三高考适应性月考卷（六）数学（文）试题一、单选题 1．已知集合(){}22,2,,A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，(){},10B x y x =+>，则A BI 的元素个数为（ ） A ．9 B ．8C ．6D ．5【答案】C【解析】利用列举法表示集合A ，利用交集的定义可得出集合A B I ，即可得出该集合中元素的个数. 【详解】 由题意得()()()()()()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1A =------， (){}(){},10,1B x y x x y x =+>=>-Q ，因此，()()()()()(){}0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1A B =--I ，共6个.故选：C. 【点睛】本题考查交集元素个数的计算，解答的关键就是利用列举法表示集合，属于基础题. 2．i 是虚数单位，x 、y 是实数，()()2x i i y yi +=++，则x =（ ） A ．3 B ．1C ．12-D ．13【答案】D【解析】将等式左边的复数利用复数的乘法法则表示为一般形式，结合复数相等得出方程组，即可解得实数x 的值. 【详解】()()23x i i y yi y yi +=++=+Q ，31y x y =⎧∴⎨=⎩，解得13x y ==.故选：D. 【点睛】本题考查利用复数相等求参数，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.3．平面向量a r 、b r满足4a =r ，2b =r ，()224a b a +⋅=r r r ，则2a b -=r r （ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】利用平面向量数量积的运算求得a b ⋅r r的值，计算出()2222a b a b -=-r r r r 的值，进而可求得2a b -r r的值.【详解】()22224224a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⋅=r r r r r r r r Q ，可得4a b ⋅=r r ，()22222222444444216a b a ba ab b ∴-=-=-⋅+=-⨯+⨯=r r r r r r r r ，因此，24a b -=r r .故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.4．命题:p x R ∀∈，x e x >，命题0:q x R ∃∈，200x <，下列给出四个命题①p q ∨；②p q ∧；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨，所有真命题的编号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】A【解析】利用导数判断命题p 的正误，并判断出命题q 的正误，再结合复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题p ，构造函数()xf x e x =-，则()1xf x e '=-，由()00f x x '=⇒=.当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,∞+.所以，()()min 01f x f ==，则x R ∀∈，()()010f x f ≥=>，x e x ∴>，命题p 正确；对于命题q ，因为x R ∀∈，20x ≥为真命题，所以命题q 为假命题. 因此，p q ∨为真，p q ∧为假，p q ∧⌝为真，p q ⌝∨为假. 故选：A. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题.5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【答案】B【解析】根据服药组和未服药组的数据分布可判断A、B选项的正误；观察服药组的指标x大于100的数据个数，可判断C选项的正误；观察未服药组生理指标y值的分布，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，服药组的指标x的取值相对集中，方差较小，且服药组的指标y的均值小于100，未服药组的指标y的均值大于100，A选项正确；对于B选项，未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，B选项错误；对于C选项，服药组的指标x值有3个大于100，所以患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，C选项正确；对于D选项，未服药组的指标y值只有1个数据比1.5小，则这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查统计图表的应用，考查推理能力，属于基础题.6．已知2sin()cos()33ππαα+=+，则sin2α=（）A ．1-B ．1C ．12D ．0【答案】A【解析】利用两角和的正弦和余弦公式求出tan α的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求出sin 2α的值. 【详解】2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，11sin cos 22αααα-=，可得)(1cos 1sin αα=，tan 1α∴=-.因此，()222212sin cos 2tan sin 22sin cos 1sin cos tan 12ααααααααα⨯-=====-++.故选：A. 【点睛】本题考查二倍角正弦值的计算，同时也考查了两角和正弦和余弦公式的应用以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．直线x m =与椭圆()2221012x yb b+=>交于A 、B 两点，OAB ∆（O 为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设点A 为第一象限的点，求出点A 的坐标，再将点A 的坐标代入椭圆的方程可求得b 的值. 【详解】不妨设点A 为第一象限的点，则0m >，由于OAB ∆为等腰直角三角形，则点(),A m m .AOB ∆的面积为21232AOB S m m m ∆=⨯⨯==，所以，m ，所以，点A 在椭圆上，则233+112b=，解得2b =.故选：B. 【点睛】本题椭圆方程中参数的求解，涉及三角形面积的计算，解答的关键就是求出椭圆上一点的坐标，考查计算能力，属于中等题.8．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，<2πϕ）的部分图象如图所示，为得到()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】根据图象求出函数()y f x =的解析式，并将函数()y g x =的解析式变形为()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用平移变换可得出结论.【详解】由图象可知，1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22Tπω∴==， 777sin 2sin 112126f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22ππϕ-<<Q ，275363πππϕ∴<+<，7362ππϕ∴+=，得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 2sin 23326123g x x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦Q ，因此，只需将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位可得到函数()y g x =的图象.故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，解答的关键就是根据图象求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1C C 上（异于端点），则过三点A 、F 、E 的平面被正方体截得的图形不可能是（ ） A ．正方形B ．不是正方形的菱形C ．不是正方形的矩形D ．梯形【答案】A【解析】作出图形，设正方体的棱长为1，设102BE a a ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，利用勾股定理可判断A 选项中的截面图形不可能，结合A 选项的推导可判断B 选项中的截面图形可能，取//EF BC 可判断C 选项中图形可能，取BE CF >可判断D 选项中截面图形可能.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如下图所示：设102BF a a ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，Q 平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF I 平面11AA B B AE =，平面AEF I 平面11CC D D FG =，//AE FG ∴，同理//AG EF ，若截面AEFG 为正方形，则AE EF =，过点E 作//EM BC 交1CC 于点M ，易知BE CM =，AE EF =Q ，则MF BE =，22CF BE a ∴==，2221AE EF AB BE a ==+=+22224AF AC CF a +=+由勾股定理得222AF AE EF =+，即222422a a +=+，解得100,2a ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭， 所以，截面不可能是正方形；对于B 选项，由A 选项可知，当2CF BE =时，截面是不为正方形的菱形； 对于C 选项，如下图所示，当//EF BC 时，由于BC ⊥平面11ABB A ，//EF BC ，EF ∴⊥平面11ABB A ，AE ⊂Q 平面11ABB A ，EF AE ∴⊥，Q 平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF I 平面11AA B B AE =，平面AEF I 平面11CC D D DF =，由面面平行的性质定理可得//AE DF ，//AD BC Q ，//EF AD ∴，22AE AB BE EF =+>，此时，四边形ADFE 为矩形但不是正方形；对于D 选项，如下图所示，Q 平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF I 平面11AA B B AE =，平面AEF I 平面11CC D D FG =，由面面平行的性质定理可得//AE FG ，当BE CF >时，过点D 作//DH FG 交1CC 于点H ，易知DH AE =且FG DH AE <=，此时，截面图形为梯形. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体截面图形的判断，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，如图是计算该数列的前n 项和的程序框图，图中①②③应依次填入（ ）A ．i n <，21a a =+，S S a =+B ．i n <，S S a =+，21a a =+C ．i n ≤，21a a =+，S S a =+D ．i n ≤，S S a =+，21a a =+【答案】A【解析】取1n =代入程序框图进行检验可得出正确选项. 【详解】取1n =，已经有1S a ==，即11a =，不能进入循环，判断框应是i n <进入循环；进入循环后第一次加上的应该是2121a a =+，所以先算21a a =+， 故选：A ． 【点睛】本题考查利用算法选择算法程序，考查推理能力，属于中等题.11．过点()2,0A a 作双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线的垂线，垂足为B ，与另一条渐近线交于点C ，B 是AC 的中点，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．【答案】C【解析】推导出双曲线渐近线的倾斜角为60o 和120o ，可得3ba=，进而可求得该双曲线的离心率. 【详解】如下图所示，设点A 关于y 轴的对称点为点E ，由于AC OB ⊥，且B 为AC 的中点，且渐近线关于纵轴对称，COB AOB COE ∴∠=∠=∠，60AOB ∴∠=o ，则tan 603b a ==o 222212c a b b e a a a +⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，求出双曲线渐近线的倾斜角是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．11x =是函数()()321323f x x ax b x b a =++-+-的一个极值点，则ab 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】求得()223f x x ax b '=++-，由()10f '=得出22b a =-，由>0∆可得出a 的取值范围，进而利用二次函数的基本性质可求得ab 的取值范围.【详解】()()321323f x x ax b x b a =++-+-Q ，()223f x x ax b '∴=++-.由题意可得()()212204430f a b a b ⎧=+-=⎪⎨∆=-->'⎪⎩，可得221b a a =-⎧⎨≠-⎩， ()2111222,222ab a a a ⎛⎫⎛⎤∴=-=--+∈-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：A. 【点睛】本题考查利用极值点求参数的取值范围，涉及二次函数基本性质的应用，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．函数()222x f x x =-的零点个数为_______. 【答案】3【解析】作出函数xy =与2y x =的部分图象，观察交点个数并结合两个函数的增长趋势即可得出结论. 【详解】由()2202x f x x=⇒=，作出函数xy =与2y x =的部分图象，可知两函数在区间(),2-∞上的图象有两个交点，并注意到指数函数xy =的增长速度最终会远远超过幂函数2y x =的增长速度，所以两函数在区间()2,+∞上必有一个交点，因此，函数xy =与2y x =的图象有3个交点，所以，函数()y f x =有3个零点. 故答案为：3.【点睛】本题考查函数的零点个数，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，1PA AB AD ===，3BC CD BD ===，则四棱锥的外接球的表面积为_________.【答案】5π【解析】推导出AB AC ⊥，AD CD ⊥，从而可求得四边形ABCD 的外接圆半径r ，再由PA ⊥平面ABCD 可得出222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得外接球的半径，结合球体表面积公式可得出结果. 【详解】1AB AD ==Q ，3BD =2223cos 2AB BD BD ABD AB BD +-∠==⋅，30ABD ∴∠=o ，3BC CD BD ===Q 60CBD ∴∠=o ，则90ABC ∠=o ，同理可知90ADC ∠=o ， AB BC ∴⊥，AD CD ⊥，∴四边形ABCD 的外接圆半径为12ACr ==， PA ⊥Q 平面ABCD ，所以，该四棱锥的外接球半径为2252PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 因此，四棱锥的外接球的表面积为245R ππ=. 故答案为：5π.【点睛】本题考查外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15．在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =，DC AC ⊥，3DC =，7BC =，则AB =_______. 【答案】3【解析】设BD x =，在Rt ACD ∆中求出cos A ，然后在ABC ∆中利用余弦定理可得出关于x 的方程，解出x 的值，进而可求得AB 的长. 【详解】如图，设BD x =，则2AD x =，在Rt ACD ∆中，AC CD ⊥，3CD =，则243AC x =-，243cos AC x A AD -∴==，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即()22224394323437x x x x x -+--⨯-=，解得1x =，因此，33AB x ==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.16．奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当01x <≤时，()()2log 4f x x a =+，若1522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()a f a +=___________. 【答案】2【解析】推导出函数()y f x =是以4为周期的奇函数，由1522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可求得a 的值，由此可计算出()a f a +的值. 【详解】由于函数()y f x =为奇函数，且()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数，()21511log 22222f f fa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2a =. ()()()222f f f =-=-Q ，()20f ∴=.因此，()()222a f a f +=+=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查函数值的计算，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）以统计的频率作为概率，估计一个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率.【答案】（1）0.18；（2）0.28.【解析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加后可得出学生每天完成数学作业的平均时间，再除以300可得出结果；（2）根据频率直方图计算出位于45左侧的矩形的面积之和，由此可得出结果. 【详解】（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为 300.1400.18500.3600.25700.12800.0552.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为52.60.18300≈； （2）由直方图知，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0()0.010.018100.28+⨯=，估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查利用频率分布直方图计算平均数以及频率，考查计算能力，属于基础题.18．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，对任意正整数n ，2n S 是1n n a a +与1的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项与最小项.【答案】（1）21n a n =-；（2）最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得出1122234141S a a S a a =+⎧⎨=+⎩，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出1101829n n a a n +=----，分4n ≤和5n ≥两种情况讨论，结合数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的单调性可得出其最大项和最小项的值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，对任意的n *∈N ，141n n n S a a +=+，可得1122234141S a a S a a =+⎧⎨=+⎩，即()()()()111111414221a a a d a d a d a d ⎧=++⎪⎨+=+++⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或11414a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 当11a =，2d =时，21n a n =-，2n S n =满足条件；当114a =，14d =-时，31330S a d =+=不满足条件，舍去. 综上，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；（2）121211018922929n n a n n a n n n +++==-=------. 当4n ≤时，290n -<，则11011829n n a a n +=-->---，此时数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递增； 当5n ≥时，290n ->，则11011829n n a a n +=--<---，此时数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递增. 数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用数列的单调性求数列的最大项和最小项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．点P 是直线2y =-上的动点，过点P 的直线1l 、2l 与抛物线2y x =相切，切点分别是A 、B .（1）证明：直线AB 过定点；（2）以AB 为直径的圆过点()2,1M ，求点P 的坐标及圆的方程. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),2P b -，利用导数求出切线1l 、2l 的方程，将点P 的坐标代入直线1l 、2l 的方程，可得出直线AB 的方程，进而可得出直线AB 所过的定点坐标；（2）设直线AB 的方程为()22y kx k b =+=，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意得出0MA MB ⋅=u u u r u u u r，利用向量数量积的坐标运算，代入韦达定理可求得k ，进而可得出点P 的坐标以及圆的标准方程. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),2P b -，对函数2y x =求导得2y x '=，所以，直线1l 的方程为()1112y y x x x -=-，即1120x x y y --=，同理可得直线2l 的方程为2220x x y y --=，将点P 的坐标代入直线1l 、2l 的方程得1122220220bx y bx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220bx y -+=，由于两点确定一条直线，所以，直线AB 的方程为220bx y -+=，该直线过定点()0,2； （2）设直线AB 的方程为()22y kx k b =+=，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立得220x kx --=，则240k ∆=+>， 由韦达定理得122x x =-，12x x k +=，因为()2,1M 在AB 为直径的圆上，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r，()()11112,12,1MA x y x kx =--=-+u u u r ，同理()222,1MB x kx =-+u u u r，()()()()()()()21212121222111250MA MB x x kx kx k x x k x x ∴⋅=--+++=++-++=u u u r u u u r，即2230k k +-=，解得1k =或3k =-. 当1k =时，1,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2y x =+，圆心为15,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径r ==22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为32y x =-+，圆心为313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径223138521222r ⎛⎫⎛⎫=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上所述，当1k =时，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查抛物线中直线过定点的问题，以及圆的方程的求解，涉及抛物线的切线方程的求解以及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20．如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，24BC AC ==，DA DC =，3CD =，F 是BC 的中点，EF ⊥平面ABC ，22EF =.（1）证明：A 、B 、E 、D 四点共面； （2）求三棱锥B CDE -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）423. 【解析】（1）取BC 的中点M ，连接DM 、MF ，利用面面垂直的性质定理得出DM ⊥平面ABC ，结合线面垂直的性质得出//EF DM ，证明出四边形DEFM 为平行四边形，可得出//DE MF ，由中位线的性质得出//MF AB ，进而得出//DE AB ，由此可证得结论；（2）由（1）知//DM EF ，可推导出//DM 平面BCE ，可得出点D 到平面BCE 的距离等于点M 到平面BCE 的距离，进而得到D BCE M BCE E BCM V V V ---==，进而得解. 【详解】（1）如图，取BC 的中点M ，连接DM 、MF因为3DA DC ==，2AC =，M 为BC 的中点，所以DM AC ⊥，且22DM =，因为平面ACD ⊥平面ABC ，交线为AC ，DM ⊂平面ACD ，所以DM ⊥平面ABC ，又EF ⊥平面ABC ，所以//DM EF ，且22DM EF == 四边形DEFM 是平行四边形，从而//DE MF ，在ABC ∆中，M 、F 是AC 、BC 的中点，所以//MF AB ， 所以//DE AB ，从而A 、B 、E 、D 四点共面；（2）由（1）//DM EF ，DM ⊄平面BCE ，EF ⊂平面BCE ，//DM ∴平面BCE ， 所以，点D 到平面BCE 的距离等于点M 到平面BCE 的距离， 则三棱锥D BCE -与三棱锥M BCE -的体积相等，AC BC ⊥Q ，24BC AC ==，M 为AC 的中点，BCM ∴∆的面积为122BCM S CM BC ∆=⋅=，又EF ⊥平面ABC ，且22EF =14233B CDE D BCE M BCE E BCM BCM V V V V S EF ----∆====⋅=. 【点睛】本题考查四点共面的证明，同时也考查了利用等体积法求三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．已知函数()321132a f x x x axb +=-++. （1）试讨论()f x 的单调性；（2）当函数()f x 有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是()()1,00,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，求b 的值. 【答案】（1）见解析；（2）0b =.【解析】（1）求得()()()1f x x x a '=--，然后对a 与1的大小关系进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由题意可知1a ≠，可得出函数()y f x =的两个极值分别为()f a 、()1f ，由题意得出()()10f a f ⋅<，由此得出()()23363160a a b a b -+-+<，令()()()2336316g a a a b a b =-+-+，由题意得()()13003g g g ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，进而可得出实数b 的值. 【详解】（1）()321132a f x x x axb +=-++Q ，()()()()211f x x a x a x x a '∴=-++=--. 当1a =时，()()210f x x '=-≥，此时，函数()y f x =在(),-∞+∞上单调递增；当1a <时，令()0f x '<，得1<<a x ，令()0f x '>，得x a <或1x >.此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞； 当1a >时，令()0f x '<，得1x a <<，令()0f x '>，得1x <或x a >.此时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞. 综上所述，当1a =时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞；当1a <时，函数()y f x =的单调递减区间为(),1a ，单调递增区间为(),a -∞和()1,+∞；当1a >时，函数()y f x =的单调递减区间为()1,a ，单调递增区间为(),1-∞和(),a +∞；（2）当1a =时，函数()y f x =在R 上单调递增，至多一个零点，不合乎题意，所以，1a ≠，则函数()y f x =有两个极值()23366a a bf a -+=，()63116b a f +-=. 若函数()y f x =有三个不同的零点，则()()10f a f ⋅<，即()()23363160aa b a b -+-+<，由于a 的取值范围恰好是()()1,00,3,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，令()()()2336316g a a a b a b =-+-+，则该函数的三个零点分别为0、13、3.由()()36680g b b =+=，得0b =或43b =-； 由()()06610g b b =-=，得0b =或16b =； 由18660327g b b ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得0b =或481b =-. 因此，0b =. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用函数的零点个数求解参数，将问题转化为函数的零点是解答的关键，考查化归与转化思想以及分类讨论思想的应用，属于中等题.22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，P 点的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中直线l 经过点P ，且倾斜角为60o .（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线与曲线C 相交于A 、B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）244x y =+，()0,1P ；（2【解析】（1）由21sin ρθ=-得出sin 2ρρθ=+2y =+，化简变形可得出曲线C 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转换关系可将点P 的极坐标化为直角坐标；（2）写出直线l 的参数方程，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，进而可得出1212121111t t PA PB t t t t ++=+=，求解即可. 【详解】 （1）因为21sin ρθ=-，sin 2ρρθ=+2y =+，两边平方整理得244x y =+，所以，曲线C 的普通方程为244x y =+. 点P 的直角坐标cos02P x π==，sin12P y π==，即点()0,1P ；（2）直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程与曲线C 的方程244x y =+联立，得2320t --=，由韦达定理得12t t +=1232t t =-，121212121211114t t t t PA PB t t t t t t +-+=+=====.【点睛】 本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求值，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知()()()2f x x m x x x m =-++-.（1）当2m =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若1x >时，()0f x >，求m 的取值范围【答案】（1）(),1-∞-；（2）(],1-∞.【解析】（1）分0x ≤、02x <<、2x ≥三种情况解不等式()0f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由()0f m =且当1x >时，()()0f x f m >=，可得出1m £，再分析当1m £且1x >时()f x 的符号，即可得出实数m 的取值范围.【详解】 （1）当2m =时，()()()22224,222224,02224,0x x x f x x x x x x x x x x ⎧--≥⎪=-++-=-+<<⎨⎪-++≤⎩. 当0x ≤时，由()0f x <，得22240x x -++<，即220x x -->，解得1x <-或2x >，此时1x <-；当02x <<时，由()0f x <，得240x -+<，解得2x >，此时x ∈∅； 当2x ≥时，由()0f x <，得22240x x --<，解得12x -<<，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()0f x <的解集为(),1-∞-；（2）对任意的1x >时，因为()0f m =，()()0f x f m >=恒成立，1m ∴≤.当1m £且1x >时，()()()()()()2210f x x m x x x m x x m =-++-=+->恒成立，因此，实数m 的取值范围是(],1-∞.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学上学期第一次适应性考试试题理(扫描版)(最新整理)
贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学上学期第一次适应性考试试题理（扫描版）贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷(一）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BABDACBDCCAA【解析】1．，故选B ． 2．因为,所以，的共轭复数为，故选A.3．假真，故选B ．4．是奇函数,在区间上为减函数，故选D ． 5．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为，记第二次出现的点数为，基本事件总数有种，事件“”包含的基本事件有，共2个,所以事件“”的概率为，故选A ．6．双曲线的实轴长为8，得，又，所以双曲线的渐近线方程为，故选C ．7．由三视图知该几何体是四棱锥，如图1,则最小三角形面积为,故选B ．8．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，再向左平移个单位，所得函数，故选D ．9．以为邻边作菱形，投影为，故选C ．10．的展开式中的系数为25,即，，设，令,得{2345}M=，，，(1i )|3i |z+=+|13i |22(1i )1i1i (1i )(1i )z +-====-+-+z1i +pqsi n ()y x =-(01)，m n 6636⨯=3m n =(31)，(62)，3m n =213618P ==4a =1b =14y x=±AB C D E -2A B E S =△πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1πs in 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π61πs in 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭a b ，A B C D 33c o s 120︒=-5(2)(1)a x x ++2x21552C C 25a +=1a =5234560123456(2)(1)x x a a x a x a x a x a x a x ++=++++++1x =512332a aa a =+++图，故选C ．11．设，由，则，当时，，解得;当时,恒成立,综上知，当时，不等式对成立，故选A ．12．根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在区间上有解，，即,即方程在区间上有解，设函数，其导数，又,在有唯一的极值点，分析可得：当时，,为减函数，当时，，为增函数，故函数有最小值，又由,，比较得,故函数有最大值，故函数在区间上的值域为，若方程在区间上有解,必有，则有，即的取值范围是,故选A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 题号 13 141516答案，13．由线性约束条件画出可行域（如图2所示），由过点时，z 最小,最小值为5。
贵阳市第一中学2023-2024学年高二下学期第四次月考暨6月月考数学试卷+答案
高二数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知命题π:,tan 03p x x x $>->，则命题p 的否定是（ ）A. π,tan 03x x x "£-> B. π,tan 03x x x ">-£C. π,tan 03x x x $£-> D. π,tan 03x x x $>-£2.曲线sin cos y x x =+在π2x =处切线倾斜角为（ ）A.0B.π4C.π2D.3π43.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）A 57斗 B.56斗 C. 107斗 D.53斗4.()6(2)x y x y +-的展开式中52x y 的系数是（）A 48 B.-48C.72D.-725.小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（ ）种.A.48B.72C.216D.432的..6. 已知在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .内角,,A B C 为等差数列，若AC边上的中线长为ABC Vb 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知点P 在函数()2ln 2f x x x =-+图象上，点Q 在直线:30l x y -+=上，记2||M PQ =，则（ ）A. 当M 取最小值时，点Q 的横坐标为1-B. 当M 取最小时，点Q 的横坐标为1C. 当M 取最小值时，点Q 的横坐标为12D. 当M 取最小时，点Q 的横坐标为12-8. 已知()232ln3ln41,,e 4ea b c -===，则（ ）A. a b c << B. a c b <<C. b a c<< D. b c a<<二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 设已知随机变量,X Y 满足()31,5Y X E Y =-=，则()2E X =B. 若110,5X B æö~ç÷èø，则()2D X =C. 若()22,X N s:，设()10.6P X ³=，则()30.4P X ³=D. 若事件,A B 相互独立且()01P B <<，则()()()P A B P A B P A ==∣∣10. 已知函数()e ln xf x a x =+，下列说法中正确的是（ ）A. 对于任意0a >，函数()f x 在定义域上是单调递减函数B. 对于任意0a <，函数()f x 存在最小值C. 存在0a >，使得对于任意()0,x Î+¥都有()0f x >恒成立D. 存在0a <，使得()f x 在定义域上有两个零点的11. 已知,A B 为两个随机事件，,A B 分别为其对立事件，则下列说法正确的是（ ）A. 若()()11,34P A P B ==，则()712P A B È=B. 若()()()121,,|552P A P B P B A ===，则()3|8P B A =C. 若()()()137,|,|3416P A P A B P B A ===，则()14P B =D. 若()()()133,|,|248P A P A B P A B ===，则()13P B =第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用X 表示选到男生的人数，则1X ³的概率是__________.13. 若10121001210(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++++L ，则13579a a a a a ++++=______.（用数字作答）14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()6235e ,22e xf f x f x =--¢<，则不等式()22ln 2ln f x x x x £-的解集为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6的正三角形，O 是ABC V 的重心，1111,60,C CA C CB C CO AA ÐÐÐ===o .（1）证明：1C O ^平面ABC ；（2）求二面角1A CC B --的正弦值.17. 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩x 近似服从正态分布()277,N s，且()77800.3P x ££=.（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上市民人数；（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.18. 已知圆：22430x y x +-+=的圆心为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F ，且椭圆C 的离心.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 为坐标原点，分别过,A B 作椭圆C 的切线，两切线相交于点M .（i ）求证：,,O M N 三点共线；（ii ）当l 不与x 轴垂直时，求AB FMFN×的最小值.19. 设()f x ¢是函数()f x 的导函数，若()f x ¢可导，则称函数()f x ¢的导函数为()f x 的二阶导函数，记为()f x ¢¢.若()f x ¢¢有变号零点0x x =，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的“拐点”.（1）研究发现，任意三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++¹，曲线()y f x =都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()y f x =的图象的对称中心.已知函数()3224f x x bx x d =+-+的图象的对称中心为()1,3，求函数()f x 的解析式，并讨论()f x的单调性；的（2）已知函数()132221112e1(0)623mx g x mx x x m m m m -=+-+-->.（i ）求曲线()y g x =的“拐点”；（ii ）若()()()12122g x g x x x +=-¹，求证：122x x m+<.高二数学试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题，共58分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚，2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知命题π:,tan 03p x x x $>->，则命题p 的否定是（ ）A. π,tan 03x x x "£-> B. π,tan 03x x x ">-£C. π,tan 03x x x $£-> D. π,tan 03x x x $>-£【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题π:,tan 03p x x x $>->的否定是π,tan 03x x x ">-£.故选：B.2. 曲线sin cos y x x =+在π2x =处切线的倾斜角为（ ）A. 0B.π4C.π2D.3π4【答案】D 【解析】【分析】利用导数的几何意义求解.【详解】解：因为cos sin y x x -¢=，所以曲线在π2x =处的切线的斜率为1k =-，结合直线倾斜角范围及斜率与倾斜角关系知：切线倾斜角为3π4，故选：D.3. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）A.57斗 B.56斗 C.107斗 D.53斗【答案】C 【解析】【分析】设羊主人应赔偿1a 斗，则马主人应赔偿12a 斗，牛主人应赔偿14a 斗，根据题意，列出方程，即可求解.【详解】设羊主人应赔偿1a 斗，则马主人应赔偿12a 斗，牛主人应赔偿14a 斗，由题意得11112475a a a a ++==，所以157a =，所以马主人应赔偿11027a =斗.故选：C.4. ()6(2)x y x y +-的展开式中52x y 的系数是（ ）A. 48B. -48C. 72D. -72【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用二项式定理得展开式，结合多项式展开式的形式，即可求解.【详解】由题意，多项式()6(2)x y x y +-的展开式中，52x y 的系数等于221166C (2)C (2)48-+-=.故选：A.5. 小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（ ）种.A. 48 B. 72 C. 216 D. 432【答案】D 【解析】【分析】利用相邻问题中的捆绑法可求出结果.【详解】先将3个将军俑捆在一起当一个元素使用，有33A 6=种捆法，将3个骑兵俑捆在一起当一个元素使用，有33A 6=种捆法，将2个跪射俑捆在一起当一个元素使用，有22A 2=种捆法，再将所得3个元素作全排，有33A 6=种排法，所以不同的排法共有33233323A A A A 432=种.故选：D.6. 已知在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .内角,,A B C 为等差数列，若AC 边上的中线长为ABC V b 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】首先求出B ，根据平行四边形法则得2BM BA BC =+uuuu r uuu r uuu r，两边平方得到一个关于a ，c 的方程，再根据面积公式得到a ，c 的另一个方程，最后由余弦定理计算出b .【详解】因为内角,,A B C 成等差数列，所以3πA B C B ++==,即π3B =，设AC 中点为M ，所以2BM BA BC =+uuuu r uuu r uuu r，由题意，BM =，所以22()4||12BA BC BM +==uuu r uuu r uuuu r ，即2212a c ac ++=，又因为1sin 2ABC S ac B ===△4ac =，228a c +=，由余弦定理，2222cos 4b a c ac B =+-=，所以2b =.故选：A.7. 已知点P 在函数()2ln 2f x x x =-+的图象上，点Q 在直线:30l x y -+=上，记2||M PQ =，则（ ）A. 当M 取最小值时，点Q 的横坐标为1-B. 当M 取最小时，点Q 的横坐标为1C. 当M 取最小值时，点Q 的横坐标为12D. 当M 取最小时，点Q 的横坐标为12-【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数()f x 的单调性，作出函数的图象，然后利用数形结合知函数()2ln 2f x x x =-+在P 点处的切线平行于直线l ，然后利用导数的几何意义求得切点坐标，再利用垂直关系求得直线PQ 方程，与直线:30l x y -+=联立求解交点即可.【详解】()2ln 2f x x x =-+，则()221x f x x x-=-=¢，令()0f x ¢>得02x <<，令()0f x ¢<得2x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增，在()2,¥+上单调递减，作出函数函数()2ln 2f x x x =-+的图象，如图：由题意，当M 最小时，函数()2ln 2f x x x =-+在P 点处的切线平行于直线l ，过P 点作直线l 的垂线，垂足即为点Q .设P 的坐标为()000,2ln 2x x x -+，因为()21f x x¢=-，所以()00211f x x -¢==，解得01x =，即P 点的坐标为()1,1，所以过P 点，且与直线l 垂直的直线方程为20x y +-=，联立方程20,30,x y x y +-=ìí-+=î解得Q 的坐标为15,22æö-ç÷èø.故选：D.8. 已知()232ln3ln41,,e 4ea b c -===，则（ ）A. a b c << B. a c b <<C. b a c << D. b c a<<【答案】C 【解析】【分析】令函数()ln xf x x=，利用导数求得函数()f x 在()0,e 上单调递增，结合对数的运算性质和函数的单调性，即可求解.【详解】令函数()ln xf x x =，可得()21ln (0)x f x x x -=>¢，所以函数()f x 在()0,e 上单调递增，又因为()()222e ln e ln4ln21lne 3,2,e e 342e e 3a fb fc f æö========ç÷èø，因为2e 2e 3<<，所以()()2e 2(e 3f f f <<，即b a c <<.故选：C.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 设已知随机变量,X Y 满足()31,5Y X E Y =-=，则()2E X =B. 若110,5X B æö~ç÷èø，则()2D X =C. 若()22,X N s:，设()10.6P X ³=，则()30.4P X ³=D. 若事件,A B 相互独立且()01P B <<，则()()()P A B P A B P A ==∣∣【答案】ACD 【解析】【分析】根据期望的性质，可判定A 正确；结合二项分布方差的公式，可判定B 错误；根据正态分布曲线的对称性，可得判定C 正确；根据条件概率的计算公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，由()()31E Y E X =-，所以()()123E Y E X +==，所以A 正确；对于B 中，由110,5X B æö~ç÷èø，所以()14810555D X =´´=，所以B 错误；对于C 中，由()22,X N s:，所以()()()31110.4P X P X P X ³=£=-³=，所以C 正确；对于D 中，因为,A B 相互独立，所以()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===，且()()()()()()(|()()()1()P AB P A P AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --====-，所以D 正确.故选：ACD.10. 已知函数()e ln xf x a x =+，下列说法中正确的是（ ）A. 对于任意0a >，函数()f x 在定义域上是单调递减函数B. 对于任意0a <，函数()f x 存在最小值C. 存在0a >，使得对于任意()0,x Î+¥都有()0f x >恒成立D. 存在0a <，使得()f x 在定义域上有两个零点【答案】BD 【解析】【分析】A.利用导数法判断；C.由0,0a x >®时，()f x ¥®-判断；B.利用导数法判断；D.利用导数法判断.【详解】因为()e ln xf x a x =+，所以()e (0)xaf x x x+¢=>.当0a >时，()e 0xaf x x=¢+>，函数()f x 在()0,¥+上单调递增，A 错误；又因为当0,0a x >®时，()f x ¥®-，C 错误；当0a <时，显然()e xaf x x=¢+在()0,¥+上单调递增，且当0x ®时，()f x ¥¢®-，当x ®+¥时，()f x ¥¢®+，所以存在()00,x ¥Î+，使得函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ¥+上单调递增，所以函数()f x 有最小值，B 正确；又因为当0a <时，当0x ®时，()f x ¥®+，当x ®+¥时，()f x ¥®+，所以只需函数()f x 的最小值小于0，函数()f x 就有两个零点，D 正确，故选：BD.11. 已知,A B 为两个随机事件，,A B 分别为其对立事件，则下列说法正确的是（ ）A. 若()()11,34P A P B ==，则()712P A B È=B. 若()()()121,,|552P A P B P B A ===，则()3|8P B A =C. 若()()()137,|,|3416P A P A B P B A ===，则()14P B =D. 若()()()133,|,|248P A P A B P A B ===，则()13P B =【答案】BCD 【解析】【分析】根据事件和概率加法公式，全概率，条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，对四个选项进行逐一的分析判断即可．【详解】对于A ，()()()()P A B P A P B P AB =+-U ，故A 错误；对于B ，因为()()11,|52P A P B A ==，所以()()()1|10P AB P A P B A =×=，所以()()()()()()213510|11815P AB P B P AB P B A P A P A --====--，故B 正确；对于C ，因为()()()137,|,|3416P A P A B P B A ===，所以()()()()()()()37|,|448P AB P B P A B P B P AB P A P B A ====，所以()()()P AB P AB P A +=，解得()14P B =，故C 正确；对于D ，因为()12P A =，所以()12P A =，又因为()()()()()()()()()333|,|1488P AB P B P A B P B P AB P B P A B P B P B =====-éùëû，所以()()()()()()333314888P AB P AB P B P B P B P A +=+-=+=éùëû，解得()13P B =，故D 正确.故选：BCD.第II 卷（非选择题，共92分）注意事项：第II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用X 表示选到男生的人数，则1X ³的概率是__________.【答案】3435【解析】【分析】根据题意，得到随机变量X 的可能取值为0,1,2,3，结合()()110P X P X ³=-=，即可求解.【详解】由题意，某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，随机变量男生人数X 的可能取值为0,1,2,3，则()()3337C 341101C 35P X P X ³=-==-=.故答案为：3435.13. 若10121001210(1)(1)(1)x a a x a x a x =+++++++L ，则13579a a a a a ++++=______.（用数字作答）【答案】512-【解析】【分析】利用赋值法，分别令0x =，令2x =-，代入求解即可.【详解】令0x =，可得012100a a a a ++++=L ；令2x =-，可得01239101024a a a a a a -+--+=L ；两式相减除以2，得13579512a a a a a ++++=-.故答案为：512-14. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()6235e ,22e xf f x f x =--¢<，则不等式()22ln 2ln f x x x x £-的解集为__________.【答案】(30,e ùû【解析】【分析】令()()22e x f x g x x =+，利用导数求得()g x 为增函数，把不等式转化为()ln ln 2ln 1exf x x +£，得到()()ln 3g x g £，列出不等式组，即可求解.【详解】令()()22e x f x g x x =+，则()()()2222e 0exxf x f xg x -+¢=>¢，所以()g x 增函数，不等式()22ln 2ln f x x x x £-可变形为()2ln ln 2ln 1exf x x +£，因为()()6336561ef g =+=-+=，所以不等式()2ln ln 2ln 1e x f x x +£等价于()()ln 3g x g £，所以ln 30x x £ìí>î，解得30e x <£，所以不等式()22ln 2ln f x x x x £-的解集为(30,e ùû.故答案为：(30,e ùû.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.【答案】（1）27（2）37（3）23【解析】【分析】（1）法一：结合排列组合数运算利用古典概型概率公式求解即可；法二：利用条件概率公式求解即可.（2）利用全概率概率公式求解即可.（3）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记“选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题”为事件A ，“选手甲第2次抽到“函数与导数”试题”为事件B ，法一：()114327C C 432A 767P AB ´===´.是法二：由概率乘法公式可得()()()432767P AB P A P B A ==´=.【小问2详解】由全概率公式可得()()()()()4332376767P B P A P BA P A PB A =+=´+´=∣∣.【小问3详解】由条件概率公式可得()()()227337P AB P A B P B ===.16. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为6正三角形，O 是ABC V的重心，1111,60,C CA C CB C CO AA ÐÐÐ===o .（1）证明：1C O ^平面ABC ；（2）求二面角1A CC B --的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）1213.【解析】【分析】（1）利用全等思想来证明等腰，然后可得中线就是垂线，从而可证明线面垂直到线线垂直，再证明线面垂直即可；（2）利用空间向量法来求解二面角的余弦值，再求出正弦值即可.【小问1详解】证明：如图，连接CO 并延长交AB 于点D ，连接111,,C A CBC D ，的在1C CA △与1C CB △中，111,,CA CB C CA C CB C C ÐÐ==为公共边，11C CA C CB \@V V ，11C A C B \=，1AB C D \^，又1,CD C D D CD Ç=Ì平面11,C CD C D Ì平面1C CD ，AB \^平面1C CD ，又1C O Ì平面1C CD ，1AB C O \^.正ABC V 的边长为6，CD \=，CO \=又11160CC AA C CO ==Ð=o ，在1C CO △中，由余弦定理可得，16C O ==，22211||C O CO CC \+=，1C O CO \^.又,AB CO D AB Ç=Ì平面,ABC CO Ì平面ABC ，1C O \^平面ABC .【小问2详解】如图，过D 作Dz ^面ABC ，建立空间直角坐标系D xyz -，则()()()()13,0,0,3,0,0,,A B C C -，故()()1,0,AC CC ==-uuu r uuuu r，()BC =-uuu r设平面1ACC 的法向量()1,,n x y z =ur ，则306z ì=ïí-+=ïî，令3x =，解得1y z ==-，则()13,1n =-ur.设平面1BCC 的法向量()2,,n x y z =uu r ，则060z ì-=ïí-+=ïî，令3x =，解得1y z ==，则O 是V ABC 的重心，\D 是AB 的中点，又底面ABC 是正三角形，\AB ^CD .()2n =uu r.设二面角1A CC B --的大小为q93151313--==，()0,q p ÎQ ,12sin 13q \==，即二面角1A CC B --的正弦值为1213.17. 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩x 近似服从正态分布()277,N s，且()77800.3P x ££=.（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）200人. （2）分布列见解析，0.6【解析】【分析】（1）由变量x 近似服从正态分布()277,N s ，求得(80)0.2P x >=，进而得到问卷成绩在80分以上的市民人数；（2）根据题意，得到随机变变量()3,0.2X B :，结合对立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得数学期望.【小问1详解】解：因为随机变量x 近似服从正态分布()277,N s，且()77800.3P x ££=，所以()(80)0.577800.2P P x x >=-££=，所以10000.2200´=，所以估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数为200人.【小问2详解】解：由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为0.2，且()3,0.2X B :，所以随机变量X 的分布列为()33C 0.20.8,0,1,2,3kkkP X k k -==´=，所以随机变量X 的分布列为：X 0123P 0.5120.38400960.008所以随机变量X 的均值为()30.20.6E X =´=.18. 已知圆：22430x y x +-+=的圆心为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F ，且椭圆C 的离心.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，N 为AB 的中点，O 为坐标原点，分别过,A B 作椭圆C 的切线，两切线相交于点M .（i ）求证：,,O M N 三点共线；（ii ）当l 不与x 轴垂直时，求AB FMFN×的最小值.【答案】（1）2215x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii 【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得2c =，2c =，即可求解椭圆方程；（2）（i ）分l 斜率不存在和存在两种情况讨论，当l 斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，韦达定理求出N 的坐标，利用判别式法求出切线方程，进而求得M 的坐标为()2112122112215,y y x x x y x y x y x y æö--ç÷--èø，即可证明三点共线；（ii ）利用距离公式和弦长公式分别求出,,AB FM FN ，即可求解.【小问1详解】由圆：22430x y x +-+=即()2221x y -+=可得：圆心()2,0F ，所以2c =，ca=，所以a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆标准方程为2215x y +=..【小问2详解】（i ）①当l 斜率不存在时，l x ^轴，由椭圆的对称性可知，,M N 均在x 轴上，所以,,O M N 三点共线.②当l 斜率存在时，设l 的方程为()()20y k x k =-¹，且()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组()222,1,5y k x x y ì=-ïí+=ïî可得：()()222251202050k x k x k +-+-=，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，点N 的坐标为222102,5151k k k k æö-ç÷++èø，所以ON 所在的直线的方程为15y x k=-，先证：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，当切线斜率存在时，设过点()00,x y 的切线方程为y kx m =+，联立方程22221x y a by kx m ì+=ïíï=+î，整理得()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，由Δ0=可得()()()222222222240kma b a k a ma b -+-=，所以22220a k mb -+=由韦达定理可知2202222kma b x a k -+=，即20x m ka =-，把20x m ka =-代入y kx m =+中，得2b m y =，所以220200b x b y kx m a y y =+=-+，化简得00221x x y ya b+=．当切线斜率不存在时，过()00,x y 的切线方程为x a =±，满足上式．综上，椭圆上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.所以椭圆C 在,A B 处的切线方程为12121,155x x x xy y y y +=+=，联立方程组11221,51,5x xy y x x y y ì+=ïïíï+=ïî解得点M 的坐标为()2112122112215,y y x x x y x y x y x y æö--ç÷--èø，()()12122112212112211555OMON x x x y x y x x k k y y y y k x y x y ---===-=---，故,,O M N 三点共线.（ii ）由（i）可知，2AB x =-=，又,,F A B 三点共线，所以21210022y y x x --=--，所以()1221212x y x y y y -=-，即点M 化简得51,22k æö-ç÷，=，即1k =时，等号成立.所以AB FM FN×的最小值为【点睛】关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点()00,x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，属较难题.19. 设()f x ¢是函数()f x 的导函数，若()f x ¢可导，则称函数()f x ¢的导函数为()f x 的二阶导函数，记为()f x ¢¢.若()f x ¢¢有变号零点0x x =，则称点()()00,x f x 为曲线()y f x =的“拐点”.（1）研究发现，任意三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++¹，曲线()y f x =都有“拐点”，且该“拐点”也是函数()y f x =的图象的对称中心.已知函数()3224f x x bx x d =+-+的图象的对称中心为()1,3，求函数()f x 的解析式，并讨论()f x 的单调性；（2）已知函数()132221112e1(0)623mx g x mx x x m m m m -=+-+-->.（i ）求曲线()y g x =的“拐点”；（ii ）若()()()12122g x g x x x +=-¹，求证：122x x m +<【答案】（1）()3232429f x x x x =--+，函数()f x 在(),2-¥-上单调递增，在()2,4-上单调递减，在()4,+¥上单调递增.（2）（i ）1,1m æö-ç÷èø；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）根据“拐点”的定义，对函数()y f x =求导列式求解3,29b d =-=，利用导数研究函数()f x 的单调性即可求解，（2）（ⅰ）根据“拐点”的定义，对函数()g x 求导，利用二阶导函数的异号零点得出结果；（ⅱ）由（i ）可得函数()g x 在R 上单调递增，将要证的不等式转化为()1122g x g x m æö+->-ç÷èø，构造函数()()2h x g x g x m æö=+-ç÷èø，利用导数研究函数的单调性，再根据函数()h x 的单调性得到关于12,x x 的不等式，即可证明.【小问1详解】()3224f x x bx x d =+-+Q ，()23224f x x bx \=+-¢，()62f x x b \=+¢¢，又函数()3224f x x bx x d =+-+的图象的对称中心为()1,3，即拐点为()1,3，()()11243,1620,f b d f b ¢¢ì=+-+=ï\í=+=ïî解得3,29b d =-=，()3232429f x x x x \=--+，()()()23624342f x x x x x \=--=-+¢，.Q 函数()f x ¢在(),2¥--上为正，在()2,4-上为负，在()4,¥+上为正，\函数()f x 在(),2¥--上单调递增，在()2,4-上单调递减，在()4,¥+上单调递增.【小问2详解】（i ）()132221112e 1623mx g x mx x x m m m -=+-+--Q ，()12111e 222mx g x mx x m m-\=+-+¢，()1e 2mx g x mx -¢¢\=+-.显然，()1e 2mx g x mx -=+¢-¢在R 上单调递增，且011e 20g m m m æö=+´-=ç¢÷èø¢，1x m\=是()g x ¢¢的变号零点，又0232211111112e 11623g m m mm m m m m æö=+´-+´--=-ç÷èø，\曲线()y g x =的拐点是1,1m æö-ç÷èø.（ii ）由（i ）可得，当1,x m ¥æöÎ-ç÷èø时，()()0,g x g x ¢¢¢<单调递减；当1,x m ¥æöÎ+ç÷èø时，()()0,g x g x ¢¢¢>单调递增；()02111111e 2022g x g m m mm m m æö\³=+´-´+÷¢=çèø¢，\函数()g x 在R 上单调递增，不妨设121x x m <<.要证122x x m +<，即证212x x m <-，即证()212g x g x m æö<-ç÷èø，又()()122g x g x +=-，即证()1122g x g x m æö--<-ç÷èø，即证()1122g x g x m æö+->-ç÷èø令()()2h x g x g x m æö=+-ç÷èø，则()()2h x g x g x m ¢æö=--ç÷è¢ø¢，()()()21122e 2e 2m x mx m h x g x g x mx m x m m æö-ç÷-èøéùæöæö\=+-=+-++--êúç÷ç÷èøèøêú뢢¢¢û¢¢.11111e e 2e 20e mx mx mx mx ----=+-=+-³，\函数()()2h x g x g x m ¢æö=--ç÷è¢ø¢在R 上单调递增，又11210h g g m m m m æöæöæö=--¢=ç÷ç÷ç÷èøèøèø¢¢，\函数()()2h x g x g x m æö=+-ç÷èø在1,m ¥æö-ç÷èø上单调递减，在1,m ¥æö+ç÷èø上单调递增.()()111211212h x g x g x h g g m m m m m æöæöæöæö\=+->=+-=-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø得证，即122x x m +<成立.【点睛】方法点睛：处理此类双变量问题有两个策略：一是转化，即从已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解.。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期高考适应性月考卷(一)物理试卷
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期高考适应性月考卷（一） 物理试卷一、单选题1．2023年8月24日13时，日本福岛第一核电站启动核污染水排海。
核污染水含高达64种放射性元素，其中氚（31H ）衰变过程中产生的电离辐射可损害DNA ，是致癌的高危因素之一，半衰期为12.5年。
其衰变方程为330121H He e -→+，下列说法正确的是（ ） A ．衰变放出的01e -来自原子的核外电子B ．强相互作用是引起该衰变的原因C ．秋冬气温逐渐变低时，氚的衰变速度会有所减弱D ．31lg H 在25年后大约剩下0.25g 未发生衰变 2．如图所示，由折射率为n 的透明材料制成、半径为R 的半圆柱形透明砖平放在桌面上，A 、C 为透明砖的截面直径的上、下端点，计时开始，激光束垂直AC 对应的侧面照射到A 点，此后激光束沿AC 方向以速度v 匀速向C 点平移，忽略光在透明砖中的传播时间，从圆弧面ABC 上开始有光射出的时刻为（ ）A ．()21R n nv - B ．2R nv C ．()1R n nv - D ．R nv3．甲、乙两质点在相邻平行直线轨道上运动的x t -图像如图所示，其中甲的图线是直线，乙的图线是抛物线。
在0~16s 内，下列说法错误的是（ ）A．乙做曲线运动B．甲的平均速度等于乙的平均速度C．某一时刻甲、乙的速度相同D．乙先做匀减速运动再反向做匀加速运动4．冰壶运动是以团队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目，被喻为冰上“国际象棋”，冰壶运动既能考验参赛者的体能与脑力，又能展现动静之美、取舍之智。
如图所示，在某次比赛中冰壶被投出后可视为没有转动的匀减速直线运动，滑行距离为10m，已知冰壶最后1s内的位移大小为0.1m，下列说法中正确的是（）A．冰壶的加速度大小为20.2m/sB．冰壶的初速度大小为2.4m/sC．冰壶被投出后第3s初的速度大小为1.4m/sD．第一个6s与第二个6s内位移之比为3：15．如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，现同时从A、B两点水平相向抛出甲、乙两个小球，其初速度大小分别为1v、2v，且均落在轨道上的C点，已知θ=︒，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。
贵州省贵阳市第一中学2024届高三上学期适应性月考(二)地理试题及答案
地理试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分100分，考试用时75分钟。
一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）渤海是我国四大海域中盐度最低且为北半球冬季纬度最低的大面积结冰海域。
为缓解环渤海地区水资源短缺的压力，我国学者大胆提出了海冰作为淡水资源开发的设想。
图1示意渤海及黄海北部海冰分布范围。
据此完成1～2题。
图11.渤海成为北半球纬度最低的大面积结冰海域，其主要原因是①盐度较低，海水容易结冰②水深较深，海水流动不畅③纬度较高，太阳辐射量少④海域封闭，冬季水温较低A.①④B.②③C.①③D.②④2.渤海海冰资源开发利用途径有A.海冰开采，缓解海平面上升B.海冰覆盖，减缓沿岸盐碱化C.海冰提纯，增加我国盐储备D.海冰销售，增加企业净收入我国内蒙古巴丹吉林沙漠中分布着众多湖泊，每一个湖泊都形成一套独立的生态系统。
其中苏木吉林湖地势低洼，且被周围沙山分水岭圈闭，近年来湖泊面积较稳定。
图2为“苏木吉林湖区湖泊补给量和排泄量动态曲线图”。
据此完成3～5题。
图23.该湖泊的类型和主要补给方式分别是A.咸水湖冰川融水补给B.咸水湖地下水补给C.淡水湖积雪融水补给D.淡水湖雨水补给4.据图推测，该湖面积最大的季节可能是A.春季B.夏季C.秋季D.冬季5.该湖冬季总排泄量较小，最主要的影响因素是A.下渗B.降水C.蒸发D.径流河阶又称堆积坡，是河流下切作用造成河谷斜坡形成的台地地形。
地质灾害的发生（如滑坡）往往会影响河流的侵蚀速率以及河阶地貌的形态。
图3为横断山区金沙江某段河谷阶地剖面图。
据此完成6～8题。
图36.据图判断，T4阶地砾石层形成的过程中A.河流不断侵蚀B.风力不断堆积C.地壳相对稳定D.地壳强烈挤压7.推测某次滑坡事件最可能发生在A. T1之后B. T3之后C. T4之后D. T5之后8.滑坡发生后，河流下切速率一度减缓的原因可能是A.侵蚀基面下降B.上游落差减小C.全球气候暖湿D.河流水量增大圣克鲁斯岛位于加拉帕戈斯群岛的中心，距离南美洲西海岸约1000千米。
贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学上学期第四次月考试题理(扫描版)
贵州省贵阳市第一中学2020届高三数学上学期第四次月考试题理（扫描版）贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（四）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{11}{|13}{1}A B x x A B =-=-<<=，，，，故选B ．2．cos152sin(1530)︒+︒=︒+︒=原式，故选C ．3．121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫======-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，∴，，，，，故选B ． 4．24111051244410910(4)3954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，，，故选D ． 5．常数项333361C ()20201ax a a x ⎛⎫=-=-=-⇒= ⎪⎝⎭，故选C ． 6．(0)sin 21f =<，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故选D ．7．25210C 2C 9P ==，故选B ． 8．通过作图，观察图象可知，1a =，所以ln 22ln 2221(ln 2)(2)e 2e e e 2e e 2e 2f f -+-+=+=⨯+=+，故选A ．9．由题，ππ1()2sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，图象如图1，由图可知，||PQ 取到的最小可能为12||||PQ PQ ，，因为1||PQ =2||4PQ =，所以最小值为4，故选B ． 10．因为OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD 的面积和高均处于最大位置，此时体积为111211233⨯⨯⨯⨯=，所以B 正确；AB 与CD 显然异面，用反证法证明他们不垂直．若AB CD ⊥，过A 作BD 的垂线，垂足为E ，因为为直二面角，所以AE ⊥平面BCD ，所以AE CD ⊥，所以CD ABD ⊥平面，所以CD BD ⊥，这与CD BC ⊥矛盾，所以AB 与CD 不垂直，所以正确，故选D ．11．有如下两种情况：（1）0b a >>； （2）0a b >>．图1图2 （1）如图2甲，可求出A ，B 的坐标分别为222222a ab a c abc A B c c a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，，，所以2211222AOB BOF AOF abc ab S S S c c ab e b a c =-=⨯-⨯=⇒=-△△△；同理可得当0a b >>时，满足条件的离心率e ，故选C ． 12．设B D βα∠=∠=，，则在2916234cos 2524cos ABC AC ββ=+-⨯⨯=-中，△，在22536256c o s 6160c o s A C D A C αα=+-⨯⨯=-中，△，5cos 2cos 3αβ-=∴，ABCD ABC S S =+△1134sin 56sin 3(5sin 2sin )22ACD S βααβ=⨯⨯+⨯⨯=+△，令5c o s 2c o s M N αβ=-=， 5sin 2sin αβ+，22222920cos()92020cos()M N N N αβαβ+=-+=+⇒=-+，所以当παβ+=，即33cos cos 77αβ==-，时，N故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123).--，，，14．(|120)1(2)0.0228P X XP X μσ>=-<+=，则成绩在120分以上的人数有15000.0228⨯34.2=，所以34或35均可．15．过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线交于22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，所围成的面积为33222202222633323p p x x x p p ⎫⎛⎫===⨯==⇒=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭⎰，所以抛物线的方程为26y x =．16．2222222221221log 4200log 4log 1000log 23log 10log 3320320n ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，因为2log 10= 211210log 1lg 20.320=<<，，所以22218log 320n n +⇒≤的最大值为8． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）40{}n n a a =，为常数列；1110{}n n n n b b b ->-=，，是首项为10，公差为10的等差数列；11120.4n n n c c c ->==，，，所以{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．………………………………………（4分）所以1100.42n n n b n c -==⨯，．……………………………………………………………（6分）（2）设投资10天三种投资方案的总收益为101010A B C ，，，由（1）知：101010101090.4(12)400101010550409.2212A B C ⨯-==⨯+⨯===-；；， 因为101010B C A >>，所以应该选择方案二．…………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下： 826592821109213311013813326%12%20%21%4%658292110133-----=====；；；；； 15413812%138-=， 所以2013年的增长率最高，达到了26%．……………………………………………（6分）（2）由表格可计算出：7721177443516()287i i i i i t y t y t t =====-=∑∑，，，， 77435167477471515450.57287b a -⨯⨯===-⨯=，，…………………………………（8分） y 关于t 的回归直线方程为1550.57y t =+．…………………………………………（10分）令149.431550.572009.9615t t +>⇒>=． 所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．………………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：设BF 的中点为H ，AC BD O =，连接HG ，HO ．因为G 是BE 的中点，所以12HG EF AO HG EF AO ==∥∥，， 所以四边形AGHO 是平行四边形，所以AG HO ∥，又因为HO ⊂平面BDF ，AG ⊄平面BDF ，所以AG ∥平面BDF ．……………………………………………………………………（6分）（2）解：因为菱形ABCD 和矩形ACFE 所在平面互相垂直，所以可建立如图3的空间直角 坐标系，设OA a OB b ==，，则(00)(00)(0)(00)A a B b E a a D b -，，，，，，，，，，，，()(00)(200)BE b a a AE a BD b ===，，，，，，，，．设平面ABE 与平面BDE 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z ==，，，，，， 则11112112000000n BE bx ay az n BE az n AE n BD ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎪⎪⎩⎩，，，，2222020bx ay az bx ++=⎧⇒⎨=⎩，， 令12121(0)(011)x a y n a b n ==⇒=-=-，，，，，，，……………………………………（9分）12cos n n =〈，〉．……………………………………………………………（10分）令33tan 44a ABOb ==⇒∠=，……………………………………（11分） 所以32244tan tan 297116ABC ABO ⨯∠=∠==-．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）证明：（1）因为00()P x y ，在椭圆上，所以2200221x y a b+=，所以P 也在直线上．……（1分） 联立直线和椭圆方程图3222220222222222224420000000222222221()201x y a b b x x y a b a y a y b x x a b x x b a a y x x y y b x a y a b ab ⎧⎧-+=⎪=⎪⎪⇒⇒+-+-=⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩，，， ………………………………………………………………………………………（3分）因为P 在椭圆上，所以222222222222220000200a y b x a b a b x a b x x a b x +=⇒-+=⇒∆= ⇒所以直线l 与椭圆相切，又因为l C P =，所以直线l 是椭圆在点P 处的切线．……………………………………………………（6分）（2）设2F 关于直线l 的对称点为211()F x y '，，则22F F '，的中点在直线l 上，直线22F F '与l 垂直， 即22210120201210221x c a b b x y a y b x y x c a y +⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪-⎪⎩， ……………………………………………………………（8分）244242000142420022200142420022()a b x a y c b x c x a y b x a b y a x c y a y b x ⎧+-=⎪+⎪⇒⎨-⎪=⎪+⎩，， ……………………………………………………（10分） 212222200000014224222222221000000()()()()F F b y a x c b y a x c y a x c y k x c b x a y c b x a b c b x c a c x a c x c'---====+++--+- 120002000()()()PF y a x c y k a x c x c x c-===-++， 所以21F P F '，，三点共线，所以从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F ．…………………………………（12分）（注：此题证明方法较多，请酌情给分）21．（本小题满分12分）（1）证明：令1()ln ()h x x h x x '=-==， 所以()h x 在(04)，上单调递增，在(4)+∞，上单调递减，所以()h x 的最大值为(4)ln 422(ln 21)0h =-=-<，即()0h x <，所以(0)x ∀∈+∞，，都有ln x <……………………………………………………（4分） （2）解：()(01)x a f x a x x a =->>，，ln ln ()0ln ln x a a x f x a x x a a x a x =⇔=⇔=⇔=， 所以()f x 的零点个数等于方程ln ln x a x a =解的个数． 令2ln 1ln ln ()()()x x a g x g x g a x x a-'=⇒==，， 所以()g x 在(0e)，上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，又因为(1)0g =，且由（1）知，ln ()0x x g xx <=→+∞→当时，， 所以e a =时，()()g x g a =有且只有一个解，所以若函数e ()e ()e x f x a f x x ==-有且只有一个零点，则，此时，…………………（8分）e e 11e 1()e ()e e e(e )x x xf x x f x x x ---'=-⇒=-=-， 令e 1(e 1)()1(e 1)ln ()1x x x x x x xϕϕ---'=---=-=，则， 所以()x ϕ在(0e 1)-，上单调递减，在(e 1)-+∞，上单调递增， (1)(e)0ϕϕ==，所以(01)()0(1e)()0(e )()0x x x x x x ϕϕϕ∈>∈<∈+∞>，，；，时，；，，，即1e 1(01)1(e 1)ln e ()0x x x x x f x --'∈->-⇔>>，，，即， 同理可得：当(1e)()0(e )()0x f x x f x ''∈<∈+∞>，时，；当，时，，所以1x =和e x =分别是函数()f x 的极大值点和极小值点．所以e a =时，()f x 的极大值为e −1，极小值为0．…………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t 后，小虫爬行的距离为2t ，其所在位置为(1)t -+，所以该射线的参数方程为1(0)x t t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩为参数，≥，． ………………………………………………………………………………………（5分）（2）曲线C 1的直角坐标方程为22100x y x +-=；将射线的参数方程带入曲线C 1的方程，得24110t -+=，设t 1，t 2分别为小虫爬入和爬出的时间，则1212114t t t t =+=，，逗留时间214(min)t t -，所以小虫在圆内逗留的时间为4min ．…………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：如图4，（1）22x y x y OD OC +-==，，CD 5分） （2）由（1）知，()2a b CD OD a b +=≥，≥时取等号， 所以2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，22441112482a b a b a b +⎛⎫⇒+== ⎪⎝⎭≥≥当时取到等号， 所以44a b +的最小值为18．……………………………………………………………（10分）图4。
2020届贵州省贵阳市第一中学高三高考适应性月考卷(六)数学(文)试题 扫描版
贵阳第一中学2020届高考适应性月考卷（六）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．{(01)(00)(01)(11)(10)(11)}A B =--，，，，，，，，，，，，故选C ．2．(2i)(i)3i y y y y ++=+，所以1313y x y ===，，故选D ．3．由已知4=a b ，222|2|4416-=-+=a b a a b b ，所以|2|4-=a b ，故选B ． 4．p 真q 假p ⇒⌝为假，q ⌝为真，①③为真命题，故选A ．5．未服药组的指标y 的取值相对集中，方差较小，所以B 说法不对，故选B ．6．由诱导公式2ππsin cos 36αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ2π()63k k αα⎛⎫+=++∈ ⎪⎝⎭Z （舍去）或πππ2π()22π()sin 21632k k k k αααα⎛⎫⎛⎫+++=∈⇒=-+∈⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z Z ，故选A ．7．OAB △是等腰直角三角形23OAB S m ⇒==△，在椭圆上，代入得2b =，故选B ． 8．方法一：由图可知，π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππππ()sin 2sin 2612312g x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以把()f x 的图象向右平移π12个单位得到()g x 的图象，故选D ． 方法二：两个函数的振幅和周期相同，由图，点π112A ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 图象的一个最高点，而由π203x -=，得π16B ⎛⎫⎪⎝⎭，是()g x 图象的一个最高点，所以把()f x 的图象向右平移π12个单位得到()g x 的图象，故选D ．9．当BE CF =时，截面是矩形；当2BE CF =时，截面是菱形；当BE CF >时，截面是梯形，故选A ． 10．取1n =，已经有111S a a ===，即，不能进入循环，判断框应是i n <进入循环；进入循环后第一次加上的应该是2121a a =+，所以先算21a a =+，故选A ．11．依题意，一条渐近线是x 轴与另一条渐近线的对称轴，渐近线的倾斜角是60︒或120︒，所以2b ca a==，故选C ． 12．2()23f x x ax b '=++-，(1)0220f a b '=⇒+-=且21(()(1))a f x x '≠-≠-，(22)ab a a =-=21112(1)222a a ⎛⎫⎛⎤--≠-∈-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，故选A ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13141516答案3 5π 3 2【解析】13．2()0(2)x f x x =⇔=，分别作(2)x y =与2y x =的图象，并注意到指数函数的增长速度最终会远远超零点． 过幂函数的增长速度，所以两函数图象有3个交点，即()f x 有3个底面14．如图1，由已知，在底面ABCD 中，AB BC AD CD ⊥⊥，，由PA ⊥ABCD ，易得PAC PBC PCD △，△，△都是Rt △，所以球心是 PC 的中点，5R =，5πS =． 15．如图2，设BD x =，则243cos x A -=2279BC x ==22(43)2343cos x xx A +---，解得1x =，3AB =∴．16．由已知()f x 是以4为周期的奇函数，21511log (2)2222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2a =，又(2)(2)4(2)(2)0f f f f =-+-=（周期为）且（奇函数），所以(2)(2)0f f -==，所以()2a f a +=． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为300.1400.18500.3600.25700.12800.0552.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为52.60.18300≈. ………………………………………………………………………（6分）（2）由直方图，样本中高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的频率为0.28， 估计每个高三备考学生每天完成数学作业的平均时间不超过45分钟的概率为0.28．…………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）图1图2解：（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，取12n =，， 得1111114()14(2)()(2)1a a a d a d a d a d =++⎧⎨+=+++⎩，，解得112a d =⎧⎨=⎩，或11414a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，当112a d ==，时，212121n n n a n a n S n +=-=+=，，满足条件； 当11144a d ==-，时，34311042a a S =-=-=，，不满足条件，舍去，综上，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. ………………………………………（6分） （2）121892n n a n a n ++=--，记2110()19292x f x x x+==-+--， ()f x 在( 4.5)-∞，与(4.5)+∞，上都是增函数（图象如图3），对数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭，当4n ≤时，18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭递增且都大于1-，当5n ≥时，18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭递增且都小于1-，数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-. ………（12分）19．（本小题满分12分）（1）证明：设点11()A x y ，，22()B x y ，，(2)P b -，，过点A ，P 的直线方程为111()2y y x x +=，同理过点B ，P 的直线方程为221()2y y x x +=，因为点P 是两切线的交点，所以1(2)2y bx -=，即22y bx =+恒过(02)，. ………………………………………（6分）（2）解：设直线AB 为2(2)y kx k b =+=，与抛物线方程联立得220x kx --=，其中0∆>， 122x x =-，12x x k +=，因为(21)M ，在AB 为直径的圆上，所以0MA MB =，即11221212(21)(21)0(2)(2)(1)(1)0x y x y x x y y ----=⇔--+--=，， 1212(2)(2)(1)(1)0x x kx kx ⇔--+++=，图3整理得21212(1)(2)()50k x x k x x ++-++=， 即2230k k +-=，解得1k =或3k =-，当1k =时，122P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，圆心为1522⎛⎫⎪⎝⎭，，半径292r =，圆的标准方程为22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3k =-时，322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，圆心为31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，半径2852r =， 圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）证明：如图4，设M 是AC 的中点，因为3DA DC ==， 所以DM AC ⊥，且22DM =因为平面ACD ⊥平面ABC ，交线为AC ，DM ⊂平面ACD ， 所以DM ⊥平面ABC ，又EF ⊥平面ABC ， 所以DM EF ∥，且22DM EF == 四边形DEFM 是平行四边形，从而DE MF ∥，在ABC △中，M F ，是AC BC ，的中点，所以MF AB ∥，所以DE AB ∥，从而A B E D ，，，四点共面. …………………………………（6分） （2）解：由（1）12DE AB DE AB =∥且， 所以D 到平面BCE 的距离是A 到平面BCE 距离的12， EF ⊥平面ABC EF AC ⇒⊥，又AC BC AC ⊥⇒⊥平面BCE ， 所以D 到平面BCE 的距离为112AC =， BCE △的面积1422S BC EF =⨯=1424213B CDE D BCE V V --==⨯=. …………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=-++=--，图4当1a =时，2()(1)0f x x '=-≥，()f x 在()-∞+∞，上单调递增；当1a <时，在(1)a ，上，()0f x '<，()f x 单调递减；在()a -∞，和(1)+∞，上，()0f x '>，()f x 单调递增；当1a >时，在(1)a ，上，()0f x '<，()f x 单调递减；在(1)-∞，和()a +∞，上，()0f x '>，()f x 单调递增；综上，当1a =时，()f x 在()-∞+∞，上单调递增；当1a <时，()f x 在(1)a ，上单调递减；在()a -∞，和(1)+∞，上单调递增； 当1a >时，()f x 在(1)a ，上单调递减；在(1)-∞，和()a +∞，上单调递增.……………………………………………………………………………（6分）（2）当1a ≠时，函数有两个极值2336()6a a b f a -+=和631(1)6b a f +-=，若函数()f x 有三个不同的零点()(1)0f a f ⇔<，即32(36)(316)0a a b a b ---+>， 又因为a 的取值范围恰好是1(0)0(3)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，，所以令32()(36)(316)g a a a b a b =---+恰有三个零点1033，，，若3a =时，(3)6(68)0g b b b =-+=，或43b =-；当0b =时，2()(31)(3)0g a a a a =-->，解得1(0)0(3)3a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，符合题意； 当43b =-时，32()(38)(39)0g a a a a =-+-=，则32380a a -+=不存在13这个根，与题意不符，舍去，所以0b =. ……………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为21sin ρθ=-，所以sin 2ρρθ-=2y =， 两边平方整理得244x y =+.P 点直角坐标cos 0x ρθ==，sin 1y ρθ==，所以(01)P ，. ……………………………………………………………（5分）（2）设直线l 的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，（t 为参数）与曲线C 的方程244x y =+联立，得2320t --=，其中12t t +=1232t t =-，11||||PA PB +=1211||||t t +12121212||||||||||t t t t t t t t +-==，12||t t -=，所以1212||11||||||t t PA PB t t -+== …………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）222242()24022240x x x f x x x x x x ⎧--⎪=-+<<⎨⎪-++⎩，≥，，，，≤，当0x ≤时，2224x x -++<0⇒1x <-； 当02x <<时，2402x x -+<⇒>矛盾； 当2x ≥时，2224012x x x --<⇒-<<矛盾，综上，1x <-. ……………………………………………………………（5分） （2）对任意的1x >时，因为()0f m =，()0()f x f m >=， 所以x m >，则1m ≤， 当1m ≤，1x >时，0x m ->，则()()(2)()0f x x m x x x m =-++->恒成立，所以m 的取值范围是1m ≤. …………………………………………………（10分）。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期适应性月考(一)地理试题(含答案)
地理试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分100分，考试用时75分钟。
一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)2024年6月25日14时，嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品(主要是月壤和岩石)安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功。
据此完成1~3题。
1.与月壤形成关联度最大的是A. 温度B. 湿度C. 气压D. 地形2. 嫦娥六号返回器安全着陆地面时纽约(40°43'N,74°W) 的地方时大致为A.6 月24日20时B.6 月24日18时C.6 月25日5时D.6 月25日1时3.内蒙古四子王旗航天着陆场的主要区位优势有①地势平坦开阔②地表坚硬、没有大河流③全年干燥少雨，空气能见度高④交通便利A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④夏威夷岛是太平洋夏威夷群岛中的最大岛，美国夏威夷州的一部分，岛上多火山，图1为夏威夷岛地图。
据此完成4~6题。
150°W20°N▲山地0 37km比例尺图 14. 该岛位于北京A. 西南方B.西北方C. 东南方D. 东北方5. 一架飞机从北京沿最短航线飞向夏威夷岛，其飞行方向为A. 先东南后东北B.先东北后东南C. 先西南后西北D. 先西北后西南6. 图1中两山地的直线距离大致是A.40kmB.20kmC.10kmD.50km图2示意我国西北某山地植被的分布状况，图中相邻等高线之间高差均为100米。
读 图，完成7~8题。
植被密集区等高线图2 7. 植被生长与土壤水分条件相关，图中植被密集区位于A. 山麓B. 山脊 C. 山谷 D. 山顶 .8.图示区域内南、北两侧最大高差可能是A.635 米B.578 米C.420 米D.855 米巴黎奥组委3月8日正式向外界公布，2024年巴黎奥运会将于北京时间7月27日凌 晨1时30分开幕，开幕式将在塞纳河上举行。
2020届贵州省贵阳市第一中学高三高考适应性月考卷(六)数学(理)试题(解析版)
2020届贵州省贵阳市第一中学高三高考适应性月考卷（六）数学（理）试题一、单选题 1．已知集合(){}22,2,,A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，(){},10B x y x =+>，则A B的元素个数为（ ） A ．9 B ．8C ．6D ．5【答案】C【解析】利用列举法表示集合A ，利用交集的定义可得出集合A B ，即可得出该集合中元素的个数. 【详解】 由题意得()()()()()()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1A =------，(){}(){},10,1B x y x x y x =+>=>-，因此，()()()()()(){}0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1A B =--，共6个.故选：C. 【点睛】本题考查交集元素个数的计算，解答的关键就是利用列举法表示集合，属于基础题. 2．i 是虚数单位，x 、y 是实数，()()2x i i y yi +=++，则x =（ ） A ．3 B ．1C ．12-D ．13【答案】D【解析】将等式左边的复数利用复数的乘法法则表示为一般形式，结合复数相等得出方程组，即可解得实数x 的值. 【详解】()()23x i i y yi y yi +=++=+，31y x y =⎧∴⎨=⎩，解得13x y ==.故选：D. 【点睛】本题考查利用复数相等求参数，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．平面向量a 、b 满足4a =，2b =，()224a b a +⋅=，则2a b -=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】利用平面向量数量积的运算求得a b ⋅的值，计算出()2222a b a b -=-的值，进而可求得2a b -的值. 【详解】()22224224a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⋅=，可得4a b ⋅=，()22222222444444216a b a ba ab b ∴-=-=-⋅+=-⨯+⨯=，因此，24a b -=.故选：B. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题. 4．64(1)(1)x x +-的展开式中2x 的系数为（ ） A ．4- B ．3- C ．4 D ．3【答案】B【解析】由题意64224(1)(1)(12)(1)x x x x x +-=++-，写出24(1)x -的通项公式为()2141rrr r T C x +=⋅-⋅，由乘法分配律分别令20r =、22r =求和即可得解.【详解】由题意64224(1)(1)(12)(1)x x x x x +-=++-，24(1)x -的通项公式为()()42214411rrr r r r r T =C x C x -+⋅⋅-=⋅-⋅，令20r =即0r =，()00411C ⋅-=；令22r =即1r =，()11414C ⋅-=-；展开式中2x 的系数为143-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.5．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.下列说法中，错误的是（）A．服药组的指标x的均值和方差比未服药组的都低B．未服药组的指标y的均值和方差比服药组的都高C．以统计的频率作为概率，患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94 D．这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5【答案】B【解析】根据服药组和未服药组的数据分布可判断A、B选项的正误；观察服药组的指标x大于100的数据个数，可判断C选项的正误；观察未服药组生理指标y值的分布，可判断D选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A选项，服药组的指标x的取值相对集中，方差较小，且服药组的指标y的均值小于100，未服药组的指标y的均值大于100，A选项正确；对于B选项，未服药组的指标y的取值相对集中，方差较小，B选项错误；对于C选项，服药组的指标x值有3个大于100，所以患者服药一段时间后指标x低于100的概率约为0.94，C选项正确；对于D选项，未服药组的指标y值只有1个数据比1.5小，则这种疾病的患者的生理指标y基本都大于1.5，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查统计图表的应用，考查推理能力，属于基础题.6．已知2sin()cos()33ππαα+=+，则sin2α=（）A．1-B．1 C．12D．0【答案】A【解析】利用两角和的正弦和余弦公式求出tanα的值，然后利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求出sin 2α的值. 【详解】2sin cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11sin cos 22αααα-=，可得)(1cos 1sin αα=，tan 1α∴=-.因此，()222212sin cos 2tan sin 22sin cos 1sin cos tan 12ααααααααα⨯-=====-++. 故选：A. 【点睛】本题考查二倍角正弦值的计算，同时也考查了两角和正弦和余弦公式的应用以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.7．直线x m =与椭圆()2221012x yb b+=>交于A 、B 两点，OAB ∆（O 为原点）是面积为3的等腰直角三角形，则b 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】设点A 为第一象限的点，求出点A 的坐标，再将点A 的坐标代入椭圆的方程可求得b 的值. 【详解】不妨设点A 为第一象限的点，则0m >，由于OAB ∆为等腰直角三角形，则点(),A m m .AOB ∆的面积为21232AOB S m m m ∆=⨯⨯==，所以，m ，所以，点A 在椭圆上，则233+112b=，解得2b =.故选：B. 【点睛】本题椭圆方程中参数的求解，涉及三角形面积的计算，解答的关键就是求出椭圆上一点的坐标，考查计算能力，属于中等题.8．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，<2πϕ）的部分图象如图所示，为得到()cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】根据图象求出函数()y f x =的解析式，并将函数()y g x =的解析式变形为()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用平移变换可得出结论.【详解】由图象可知，1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22Tπω∴==， 777sin 2sin 112126f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22ππϕ-<<，275363πππϕ∴<+<，7362ππϕ∴+=，得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()cos 2sin 2sin 2sin 23326123g x x x x x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因此，只需将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位可得到函数()y g x =的图象.故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，解答的关键就是根据图象求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1C C 上（异于端点），则过三点A 、F 、E 的平面被正方体截得的图形不可能是（ ） A ．正方形B ．不是正方形的菱形C ．不是正方形的矩形D ．梯形【答案】A【解析】作出图形，设正方体的棱长为1，设102BE a a ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，利用勾股定理可判断A 选项中的截面图形不可能，结合A 选项的推导可判断B 选项中的截面图形可能，取//EF BC 可判断C 选项中图形可能，取BE CF >可判断D 选项中截面图形可能.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如下图所示：设102BF a a ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF 平面11AA B B AE =，平面AEF 平面11CC D D FG =，//AE FG ∴，同理//AG EF ，若截面AEFG 为正方形，则AE EF =，过点E 作//EM BC 交1CC 于点M ，易知BE CM =，AE EF =，则MF BE =，22CF BE a ∴==，2221AE EF AB BE a ==+=+22224AF AC CF a +=+由勾股定理得222AF AE EF =+，即222422a a +=+，解得100,2a ⎛⎫=∉ ⎪⎝⎭，所以，截面不可能是正方形；对于B 选项，由A 选项可知，当2CF BE =时，截面是不为正方形的菱形； 对于C 选项，如下图所示，当//EF BC 时，由于BC ⊥平面11ABB A ，//EF BC ，EF ∴⊥平面11ABB A ，AE ⊂平面11ABB A ，EF AE ∴⊥，平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF平面11AA B B AE =，平面AEF平面11CC D D DF =，由面面平行的性质定理可得//AE DF ，//AD BC ，//EF AD ∴，22AE AB BE EF =+>，此时，四边形ADFE 为矩形但不是正方形；对于D 选项，如下图所示，平面11//AA B B 平面11CC D D ，平面AEF平面11AA B B AE =，平面AEF平面11CC D D FG =，由面面平行的性质定理可得//AE FG ，当BE CF >时，过点D 作//DH FG 交1CC 于点H ，易知DH AE =且FG DH AE <=，此时，截面图形为梯形. 故选：A. 【点睛】本题考查正方体截面图形的判断，考查空间想象能力与推理能力，属于中等题. 10．已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+，如图是计算该数列的前n 项和的程序框图，图中①②③应依次填入（ ）A ．i n <，21a a =+，S S a =+B ．i n <，S S a =+，21a a =+C ．i n ≤，21a a =+，S S a =+D ．i n ≤，S S a =+，21a a =+【答案】A【解析】取1n =代入程序框图进行检验可得出正确选项. 【详解】取1n =，已经有1S a ==，即11a =，不能进入循环，判断框应是i n <进入循环；进入循环后第一次加上的应该是2121a a =+，所以先算21a a =+， 故选：A ． 【点睛】本题考查利用算法选择算法程序，考查推理能力，属于中等题.11．过点(2,0)A a 作双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的垂线，垂足为B ，与另一条渐近线交于点C ，2CA AB =，则双曲线的离心率为（ ） A 3B 6C 23D 5 【答案】C【解析】由双曲线的性质可得OA 是BOC ∠的平分线，作AD OC ⊥后即可得2AC AD =，进而可得30BOA ∠=︒，求出ba后即可得解. 【详解】由双曲线的性质可得两条渐近线关于x 轴对称，所以OA 是BOC ∠的平分线，如图，作AD OC ⊥，垂足为D ，所以AD AB =， 由2CA AB =可得22AC AB AD ==， 所以30BCO ∠=，30BOA ∠=︒，所以双曲线一条渐近线的斜率为33b a =， 所以2231b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用和离心率的求解，属于中档题. 12．已知0a <，且11x =是函数321()(23)23f x x ax b x b a =++-+-的一个极值点，则22a b +的取值范围是（ ） A ．[22,)+∞ B ．(0,3) C ．(3,)+∞D ．99(3)(,)22+∞， 【答案】D【解析】由题意可得()01f '=，进而可得22222a b aa +=+，令2a t ，()2g t t t=+，求导后得到()g t 的取值范围即可得解. 【详解】求导得2()223f x x ax b '=++-， 由题意(1)01f a b '=⇒+=当1a =-时，2b =，()2()1f x x '=-，不合题意； 所以0a <且1a ≠-， 则22222abaa +=+(0a <且1)a ≠-，令1120122at ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，()2g t t t =+，则()221g t t '=-，所以()g t 在(上单调递减， 由1922g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()13g =可得2992223222a b aa ⎛⎫⎛⎫+=+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的应用，考查了换元法的应用，属于中档题.二、填空题13．函数()222xf x x =-的零点个数为_______. 【答案】3【解析】作出函数xy =与2yx 的部分图象，观察交点个数并结合两个函数的增长趋势即可得出结论. 【详解】由()2202x f x x =⇒=，作出函数xy =与2yx 的部分图象，可知两函数在区间(),2-∞上的图象有两个交点，并注意到指数函数xy =的增长速度最终会远远超过幂函数2yx 的增长速度，所以两函数在区间()2,+∞上必有一个交点，因此，函数xy =与2yx 的图象有3个交点，所以，函数()y f x =有3个零点. 故答案为：3.【点睛】本题考查函数的零点个数，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，1PA AB AD ===，3BC CD BD ===，则四棱锥的外接球的表面积为_________.【答案】5π【解析】推导出AB AC ⊥，AD CD ⊥，从而可求得四边形ABCD 的外接圆半径r ，再由PA ⊥平面ABCD 可得出222PA R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得外接球的半径，结合球体表面积公式可得出结果. 【详解】1AB AD ==，3BD =2223cos 2AB BD BD ABD AB BD +-∠==⋅，30ABD ∴∠=，3BC CD BD ===60CBD ∴∠=，则90ABC ∠=，同理可知90ADC ∠=， AB BC ∴⊥，AD CD ⊥，∴四边形ABCD 的外接圆半径为12ACr ==， PA ⊥平面ABCD ，所以，该四棱锥的外接球半径为2252PA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 因此，四棱锥的外接球的表面积为245R ππ=. 故答案为：5π.【点睛】本题考查外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，考查推理能力与计算能力，属于中等题.15．在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，2AD DB =，DC AC ⊥，3DC =，7BC =，则AB =_______. 【答案】3【解析】设BD x =，在Rt ACD ∆中求出cos A ，然后在ABC ∆中利用余弦定理可得出关于x 的方程，解出x 的值，进而可求得AB 的长. 【详解】如图，设BD x =，则2AD x =，在Rt ACD ∆中，AC CD ⊥，3CD =，则243AC x =-，243cos AC x A AD -∴==， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，即()22224394323437x x x x x -+--⨯-=，解得1x =，因此，33AB x ==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.16．奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当01x <≤时，2()log (4)f x x a =+，若1522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()a f a +=__________. 【答案】2【解析】根据题中条件，先得到函数的周期，再由21511log (2)2222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求出a ，进而可求出结果. 【详解】由于函数()y f x =为奇函数，且(1)(1)(1)f x f x f x +=-=--，即(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，所以，函数()y f x =是以4为周期的奇函数， 21511log (2)2222f f fa ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得2a =. (2)(2)(2)f f f =-=-，(2)0f ∴=.因此，()2(2)2a f a f +=+=. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，属于常考题型.三、解答题17．为抗击“新冠肺炎”，全国各地“停课不停学”，各学校都开展了在线课堂，组织学生在线学习，并自主安排时间完成相应作业为了解学生的学习效率，某在线教育平台统计了部分高三备考学生每天完成数学作业所需的平均时间，绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）如果学生在完成在线课程后每天平均自主学习时间（完成各科作业及其他自主学习）为5小时，估计高三备考学生每天完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（结果精确到0.01）；（2）为了进一步了解学生的学习效率，平台随机选择100位高三备考学生进行一次测试，记选择的学生中每天完成数学作业的时间不超过45分钟的人数为X ，以统计的频率作为概率，求X 的期望. 【答案】（1）0.18（2）28【解析】（1）由频率分布直方图计算出高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值，即可得解；（2）由题意可知~(1000.28)X B ，，利用二项分布期望的公式即可直接得解. 【详解】（1）高三备考学生每天完成数学作业的平均时间的平均值的估计值为 300.1400.18500.3600.25700.12800.0552.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以完成数学作业的平均时间占自主学习时间的比例估计值为52.60.18300≈. （2）以统计的频率作为概率，每个高三备考学生每天完成数学作业的时间不超过45分钟的概率为0.28，所以~(1000.28)X B ，，得()1000.2828E X =⨯=. 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求平均数，考查了二项分布期望的求解，属于中档题. 18．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，对任意正整数n ，2n S 是1n n a a +与1的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项与最小项.【答案】（1）21n a n =-；（2）最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得出1122234141S a a S a a =+⎧⎨=+⎩，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，由此可得出数列{}n a 的通项公式；（2）由题意得出1101829n n a a n +=----，分4n ≤和5n ≥两种情况讨论，结合数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的单调性可得出其最大项和最小项的值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，对任意的n *∈N ，141n n n S a a +=+，可得1122234141S a a S a a =+⎧⎨=+⎩，即()()()()111111414221a a a d a d a d a d ⎧=++⎪⎨+=+++⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或11414a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 当11a =，2d =时，21n a n =-，2n S n =满足条件；当114a =，14d =-时，31330S a d =+=不满足条件，舍去. 综上，数列{}n a 的通项公式为21n a n =-； （2）121211018922929n n a n n a n n n +++==-=------. 当4n ≤时，290n -<，则11011829n n a a n +=-->---，此时数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递增； 当5n ≥时，290n ->，则11011829n n a a n +=--<---，此时数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递增.数列18n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的最大项是第4项，值为9，最小项是第5项，值为11-.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用数列的单调性求数列的最大项和最小项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.19．点P 是直线2y =-上的动点，过点P 的直线1l 、2l 与抛物线2y x 相切，切点分别是A 、B .（1）证明：直线AB 过定点；（2）以AB 为直径的圆过点()2,1M ，求点P 的坐标及圆的方程. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),2P b -，利用导数求出切线1l 、2l 的方程，将点P 的坐标代入直线1l 、2l 的方程，可得出直线AB 的方程，进而可得出直线AB 所过的定点坐标；（2）设直线AB 的方程为()22y kx k b =+=，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意得出0MA MB ⋅=，利用向量数量积的坐标运算，代入韦达定理可求得k ，进而可得出点P 的坐标以及圆的标准方程. 【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y 、(),2P b -， 对函数2yx 求导得2y x '=，所以，直线1l 的方程为()1112y y x x x -=-，即1120x x y y --=，同理可得直线2l 的方程为2220x x y y --=，将点P 的坐标代入直线1l 、2l 的方程得1122220220bx y bx y -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程220bx y -+=，由于两点确定一条直线，所以，直线AB 的方程为220bx y -+=，该直线过定点()0,2； （2）设直线AB 的方程为()22y kx k b =+=，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立得220x kx --=，则240k ∆=+>， 由韦达定理得122x x =-，12x x k +=，因为()2,1M 在AB 为直径的圆上，所以0MA MB ⋅=，()()11112,12,1MA x y x kx =--=-+，同理()222,1MB x kx =-+，()()()()()()()21212121222111250MA MB x x kx kx k x x k x x ∴⋅=--+++=++-++=，即2230k k +-=，解得1k =或3k =-. 当1k =时，1,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭，直线AB 的方程为2y x =+，圆心为15,22⎛⎫⎪⎝⎭，半径2r ==，圆的标准方程为22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为32y x =-+，圆心为313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r ==2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上所述，当1k =时，1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为22159222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当3k =-时，3,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，圆的标准方程为2231385222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查抛物线中直线过定点的问题，以及圆的方程的求解，涉及抛物线的切线方程的求解以及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.20．如图，平面ACD ⊥平面ABC ，,24,AC BC BC AC DA DC ⊥===，F 是BC 的中点，EF ⊥平面ABC ，22EF =（1）若3CD =，证明：,,,A B E D 四点共面.（2）若二面角D BC E --3E BD C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）57【解析】（1）取AC 的中点M ，连接DM ，FM ，由面面垂直的性质可得DM ⊥平面ABC ，进而可得//DM EF 且DM EF =，由平行四边形的性质可得//DE MF 即//DE AB ，即可得证；（2）由题意转化条件得3CD =，2DM =标，求出平面BCD 的一个法向量m 、平面BDE 的一个法向量n 后，由cos m nm n m n⋅=<，>即可得解. 【详解】（1）证明：如图，设M 是AC 的中点，连接DM ，FM ， 因为3DA DC ==，24BC AC ==， 所以DM AC ⊥，且22DM =，因为平面ACD ⊥平面ABC ，交线为AC ，DM ⊂平面ACD ，所以DM⊥平面ABC，又EF⊥平面ABC，所以//DM EF，且22DM EF==，四边形DEFM是平行四边形，从而//DE MF，在ABC中，M F，是AC BC，的中点，所以//MF AB，所以//DE AB，从而A B E D，，，四点共面.（2）根据已知条件，建立空间直角坐标系如图，因为BC⊥平面xCz，所以DCz∠就是二面角D BC E--的平面角，所以3cos sinDCA DCz∠=∠=，由1CM=可得3CD=2DM=所以()0,0,0C ，(2D，()0,4,0B，(0,2,22E，所以(102)CD=，，，(142)BD=-，，，(0222)BE=-，，，设平面BCD的一个法向量111()m x y z=，，，则m CDm BD⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111120420x zx y z⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令12x=可得(201)m=-，，，设平面BDE的一个法向量222()n x y z=，，，则n BEn BD⎧⋅=⎨⋅=⎩即222222220420y zx y z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令21z=可得(3221)n=，，，所以57cos21321m nm nm n⋅===<，>，因为二面角E BD C--是钝角，所以二面角E BD C--的余弦值为5721-.【点睛】本题考查了四点共面的证明，考查了利用空间向量求二面角，属于中档题. 21．已知函数3211()32a f x ax x xb +=-++ （1）试讨论()f x 的单调性；（2）设ab c =（c 是与a 无关的常数，0a ≠），当函数()f x 有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是1(,1)(0,)(4,)7-∞-+∞，求c 的值 【答案】（1）见解析（2）23c =【解析】（1）求导得()(1)(1)f x ax x '=--，按照0a =、1a =、0a <、01a <<和1a >分类，求出()0f x '>与()0f x '<的解即可；（2）转化条件得32(631)(36)0a ac a a a c +--+<恒成立，由不等式解集与函数零点的关系可知1-，17，4即为函数32()(631)(36)g a a ac a a a c =+--+的三个零点，代入1a =-求得23c =±，分别代入验证即可得解.【详解】（1）求导得2()(1)1(1)(1)f x ax a x ax x '=-++=--，当0a =时，()1f x x '=-，则在(1)-∞，上，()0f x '>，()f x 单调递增； 在(1)，+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1a =时，2()(1)0f x x '=-≥，()f x 单调递增；当0a <，即11a <时，则在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0f x '>，()f x 单调递增； 在1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和(1)，+∞上，()0f x '<，()f x 单调递减；当01a <<，即11a >时，则在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0f x '<，()f x 单调递减；在(1)-∞，和1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1a >，即11a <时，则在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0f x '<，()f x 单调递减； 在1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和(1)，+∞上，()0f x '>，()f x 单调递增； 综上，当0a =时，()f x 在(1)-∞，上单调递增，在(1)，+∞上单调递减； 当1a =时，()f x 单调递增；当0a <时，()f x 在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和(1)，+∞上单调递减； 当01a <<时，()f x 在(1)-∞，和1a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减； 当1a >时，()f x 在1a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，和(1)，+∞上单调递增，在11a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减. （2）由（1）知，当01a =，时，函数()f x 没有三个不同的零点； 当01a ≠，时，函数有两个极值2216316a b a f a a +-⎛⎫= ⎪⎝⎭和236(1)6a a abf a -+=， 若函数()f x 有三个不同的零点1(1)0f f a ⎛⎫⇔<⎪⎝⎭， 即223(631)(36)036a b a a a ab a +--+<，因为ab c =，所以32(631)(36)0a ac a a a c +--+<恒成立， 又因为a 的取值范围恰好是1(1)0(4)7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，，， 所以令32()(631)(36)g a a ac a a a c =+--+， 由题意可知函数()g a 恰有三个零点1-，17，4， 若1a =-时，(1)(23)(23)0g c c -=-+-=，即23c =±； 当23c =时，32()(71)(34)0g a a a a a =--+<⇔3(71)(4)(1)0a a a a --+>，a 的取值范围是1(1)0(4)7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，，符合题意； 当23c =-时，32()(1)(34)0g a a a a a =----<， 即32(1)(34)0a a a a +-+<，a 的取值范围是(10)-，，与已知矛盾. 所以23c =. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性，考查了不等式的解集和函数零点的关系，属于中档题.22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为21sin ρθ=-，P 点的极坐标为1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中直线l 经过点P ，且倾斜角为60.（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线与曲线C 相交于A 、B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）244xy =+，()0,1P ；（2【解析】（1）由21sin ρθ=-得出sin 2ρρθ=+2y =+，化简变形可得出曲线C 的普通方程，利用直角坐标与极坐标的转换关系可将点P 的极坐标化为直角坐标；（2）写出直线l 的参数方程，设点A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，进而可得出1212121111t t PA PB t t t t ++=+=，求解即可. 【详解】（1）因为21sinρθ=-，sin 2ρρθ=+2y =+， 两边平方整理得244x y =+，所以，曲线C 的普通方程为244x y =+.点P 的直角坐标cos 02P x π==，sin 12P y π==，即点()0,1P ；（2）直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程与曲线C 的方程244x y =+联立，得2320t --=，由韦达定理得12t t +=1232t t =-，121212121211114t t t t PA PB t t t t t t +-+=+=====.【点睛】 本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求值，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知()()()2f x x m x x x m =-++-.（1）当2m =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若1x >时，()0f x >，求m 的取值范围【答案】（1）(),1-∞-；（2）(],1-∞.【解析】（1）分0x ≤、02x <<、2x ≥三种情况解不等式()0f x <，综合可得出该不等式的解集；（2）由()0f m =且当1x >时，()()0f x f m >=，可得出1m ，再分析当1m 且1x >时()f x 的符号，即可得出实数m 的取值范围.【详解】 （1）当2m =时，()()()22224,222224,02224,0x x x f x x x x x x x x x x ⎧--≥⎪=-++-=-+<<⎨⎪-++≤⎩. 当0x ≤时，由()0f x <，得22240x x -++<，即220x x -->，解得1x <-或2x >，此时1x <-；当02x <<时，由()0f x <，得240x -+<，解得2x >，此时x ∈∅； 当2x ≥时，由()0f x <，得22240x x --<，解得12x -<<，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()0f x <的解集为(),1-∞-；（2）对任意的1x >时，因为()0f m =，()()0f x f m >=恒成立，1m ∴≤.当1m 且1x >时，()()()()()()2210f x x m x x x m x x m =-++-=+->恒成立， 因此，实数m 的取值范围是(],1-∞.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学 (解析版)
数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ）A. B.C. D.3.已知等差数列满足，则（ ）A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）A.B.C.D.7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣A B ⋂={}1,2{}1,2,3{}3,4{}41y x=-2ln y x =32y x =e xy x ={}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A ()2:20C y px p =>A A x p =()23f x -[]2,3()f x (),21xA f -B x A ∈x B ∈()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x ()h x ()f x e 2e51x ⎫⎪⎭A.B. C. D.8.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（ ）A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）20242025A.B.服从两点分布C.D.10.已知函数，下列说法正确的是（ ）A.的定义域为，当且仅当B.的值域为，当且仅当C.的最大值为2，当且仅当D.有极值，当且仅当11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A.B.的图象关于直线对称C.的一个周期是4D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安25351323221:220C x y x y +--=x y M N 2C 1C 22C M C N ⋅X ,m n X Pm n1m n +=X ()20242025E X <<()D X mn=()()214log 21f x ax ax =-+()f x R 01a <<()f x R 1a …()f x 1516a =()f x 1a <R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +()00f =()g x 2x =()f x 20251()0k g k ==∑()0,0(0x y a a =>1)a ≠顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，则的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形中实心区域的面积为.（1）写出数列和的通项公式；（2）设，证明.16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.（1）若点为线段的中点，求证：平面；（2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩…123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==()()()112233x f x x f x x f x ++n n n a n b {}n a {}n b 121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <…111A B C ABC -111A B C V ABC V 111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC H BC H BC 1A B ∥1C GH 1C GH 111A B C ABC -2:511C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为.（1）分别求和的方程；（2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m-=M ()2,2,N M N l M ,A B N C AB CD=l 222:O x y a +=[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,10022⨯0.01α=P P X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）参考数据：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.（i ）求的取值范围；（ii ）若，证明：.()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α3sin33sin 4sin θθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<a 1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.3.，故选B.4.设点，则整理得，解得或，故选C.5.的定义域为.当时，的定义域为，即.令，解得的定义域为，即.“”是“”的必要不充分条件，故选B.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=1y x=-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+32y x ==[)0,∞+e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<()1,x ∞∈-+0y '>x e y x ∴=(),1∞--()1,∞-+53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= ()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =()23f x - []2,323x ……()1233,x f x -∴……[]1,3[]1,3A =1213x -……()12,21xx f ∴-……[]1,2[]1,2B =,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以，即时，等号成立，C.7.设的二项展开式的通项公式为，，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.8.由题，，即圆心为，且，为的直径.与相外切，.由中线关系，有，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；对于D 选项，令，则服从两点分布，，，正确，故选ACD.10.令，对于A 选项，的定义域为或，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x xf x -=+()3e 2e xxf x -=+…3e 2e x x -=12ln 23x =min ()f x ∴=51x ⎫⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭3,4,50,2,4k =1,3,5k =223326C C 2C 5+=221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C ()()2,0,0,2M N MN 1C 1C 2C 12C C ∴=+=()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=…22C M C N =22C M C N ⋅()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn =-=()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R 0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩…()f x ()g x ⇔R，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值且，故D 选项错误，故选BC.11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得，故A 错误；对于B 选项，由可得为常数，又由，可得，则，令，得，所以，所以的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，所以，所以，所以是一个周期为4的周期函数，，所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以，又，又是周期为4的周期函数，所以，故D 正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案144【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得切点纵坐标为.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩……()f x ()2g x ⇔()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠()1g x +()10g =()()11g x f x --=()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'()()3,f x g x C C =++()()11g x f x --=()()11g x f x --=()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=()f x ()1g x +()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x 20251()(1)0k g k g ===∑e33e 6-(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln x y a a x =⋅(),tt aln tta a t a ⋅=1log e,ln a t a==∴e log e t a a a ==22A 13C余元素共有种排法，故共有种不同的方案.14.设，由的函数图象知，，又，.令在上单调递增，则，的最大值为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.（2）证明：由（1）可得因为，所以，所以.16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，44A 214234A C A 144⋅⋅=()()()123f x f x f x t ===()f x 23t <…1232,ln x x x t +=-= ()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴…(]2,3()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-{}n a 11133n n n a --=⨯={}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-2114314411334n n nnn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦413n n c a <…43n n n a c a <…1AC 11AC C G O ⋂=1,HO A G三棱台，则，又，四边形为平行四边形，则.点是的中点，.又平面平面，平面.（2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，所以，即，化简得，此时点与点重合.，且都在平面，则平面，111A B C ABC -11AC ∥AC 122CG AC ==∴11AC CG 1CO OA = H BC 1BA ∴∥OH OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 1A B ∴∥1C HG 1C GH 111A B C ABC -2:511127C GHC AB V V B C ABC -=-()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅+⋅V V V 12GHC ABC S S =V V H B 1190C CA BCC ∠∠== 11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC又为等腰直角三角形，则.又由（1）知，则平面，建立如图2所示的坐标系则，设平面的法向量，则令，解得，设平面的法向量，则令，解得.设二面角的平面角为，，所以，所以二面角.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为，解得，即双曲线.因为双曲线与双曲线的离心率相同，不妨设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，解得，则双曲线的方程为.ABC V BG AC ⊥1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC ,G xyz -()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 11C GH B --θcos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== sin θ==11C GH B --N =21m =22:12y N x -=M N M 222y x λ-=M ()2,242λ-=2λ=M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，联立消去并整理得此时可得，当时，由韦达定理得；当时，由韦达定理得，则，化简可得，由（1）可知圆，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在内有（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只l l ()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=()()222222Δ44220,20,2k t k tt k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <2λ=212122224,22kt t x x x x k k--+==--1λ=234342222,22kt t x x x x k k--+==--ABCD ====222t k +=22:2O x y +=O l d ====l O [)0,200.00252020010⨯⨯=[20,400.006252020025⨯⨯=[40,600.008752020035⨯⨯=[60,800.025********⨯⨯=[]80,1000.00752020030⨯⨯=10253570++=指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得.根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件发生的概率分别为，则，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii ）由题意，知随机变量，所以.又，设时，最大，所以解得，因为是整数，所以.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：若选②，证明如下：.0H 220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯0.01α=A =B =C =,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=0.9P =()100,0.9X B ~()1000.990E X np ==⨯=()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩089.990.9k ……0k 090k =()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；当时，令，得；令，得令，得或所以在上单调递减，在上单调递增.有三个零点，则即解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理所以在上有唯一一个零点.又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为.（ii ）证明：设，则.又，所以.此时，方程的三个根均在内，方程变形为，令，则由三倍角公式.因为，所以.()233f x x a =-'0a …()0f x '…()f x (),∞∞-+0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<()0f x '>x <x >()f x ((),,∞∞-+()f x (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<04a <<4a +>()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>()f x )4a +()2220,g a -<-=-=-<()f x (-()f x (()f x a ()0,4()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---()212301f a x x x ==-=04a <<1a =()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>3310x x -+=()2,2-3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，所以.123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。
贵州省贵阳第一中学2023届高三上学期高考适应性月考卷(二)数学(理)试题(解析版)
秘密★启用前理科数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数z 满足()13i 5z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算法则化简复数得13i 22z =+，进而得其共轭，即可根据复数的几何意义得对应点的象限.【详解】由()13i 5z -=，得()513i 513i13i 1022z +===+-，13i 22z =-，故z 在复平面内所对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选:D ．2.设集合11A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{21x B x =≥，则A B = （）A.[)0,∞+ B.[]0,1 C.(]0,1 D.[)0,1【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义即可得出答案.【详解】{}111001x A xx x x x x ⎧⎫⎧⎫-=≥=≤=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{}{}{}021220x x B x x x x =≥=≥=≥，所以A B ⋂{}(]010,1x x =<≤=，故选：C ．3.设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若//a b ，//b α，则//a αB.若//a b ，//a α，b β//，则//a βC.若a b ⊥r r，a α⊥，b β//，则αβ⊥ D.若a α⊥，//b α，则a b⊥r r【答案】D 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．【详解】解：对于A ：若//a b ，//b α则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ：若//a b ，//a α，b β//，则//a β或a β⊂，故B 错误；对于C ：若a b ⊥r r，a α⊥，b β//，则αβ⊥或//αβ或α与β相交（不垂直），故C 错误；对于D ：由线面垂直的性质定理可知，若a α⊥，//b α，则a b ⊥r r，故D 正确；故选：D ．4.在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知立夏的晷长为4.5尺，处暑的晷长为5.5尺，则夏至所对的晷长为（）A.1.5尺B.2.5尺C.3.5尺D.4.5尺【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列的定义即可求解.【详解】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为()0d d >，则夏至到处暑增加4d ，立夏到夏至减少3d ，夏至的晷长为x ，则4 5.54.53x d d x +=⎧⎨-=⎩，解得11.5d x =⎧⎨=⎩，故选:A ．5.若实数x ，y 满足约束条件020220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（）A.6-B.1- C.2D.4【答案】C 【解析】【分析】根据约束条件得可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最值.【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最小值，即直线经过点A ，解方程组20220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得()0,2A ，所以min 2022z =⨯+=，故选：C ．6.如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，P 是线段AB 上的动点，则2PC PD +的最小值为（）A.5B.5C.35D.7【答案】D 【解析】【分析】如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以()0,P x ，()3,0C ，()2,D a ，分别表示出()3,PC x =- ，()2,PD a x =-，再由向量的模长公式代入即可得出答案.【详解】如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB a =，()0BP x x a =≤≤，因为2AD =，3BC =，所以()0,P x ，()3,0C ，()2,D a ，所以()3,PC x =- ，()2,PD a x =-，()24,22PD a x =- ，所以()27,23PC PD a x +=-，所以()2249237PC PD a x +=+- ，所以当230a x -=，即23x a =时，2PC PD +的最小值为7，故选：D．7.已知π2sin 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 1tan αα-的值为（）A.34-B.34C.316-D.316【答案】A 【解析】【分析】根据正弦的和差角公式可得1sin cos 2αα-=，平方可得3sin cos 8αα=，进而化切为弦即可求解.【详解】由πsin 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得()22sin cos 24αα-=，∴1sin cos 2αα-=，所以112sin c 4os αα-=，∴3sin cos 8αα=，所以sin sin sin cos 3sin 1tan cos sin 41cos ααααααααα===----，故选：A ．8.开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（）种．A.12B.16C.20D.24【答案】C 【解析】【分析】甲乙丙是三个特殊元素，分类讨论甲与丙之间为乙与甲与丙之间不是乙的两种情况，利用捆绑法即可求得所求排法总数.【详解】若甲与丙之间为乙，即乙在甲、丙中间且三人相邻，共有22A 2=种情况，将三人看成一个整体，与丁戊两人全排列，共有33A 6=种情况，则此时有2612⨯=种排法；若甲与丙之间不是乙，先从丁、戊中选取1人，安排在甲、丙之间，有12C 2=种选法，此时乙在甲的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有22A 2=种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有22A 2=种情况，此时有2228⨯⨯=种排法，所以总共有12820+=种情况符合题意.故选：C ．9.已知随机变量()2~2,N ξσ，且()()11P P a ξξ=-≤≥，则()190x a x a x+<<-的最小值为（）A.9B.6C.4D.2【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解4a =，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】由随机变量()2~2,N ξσ，则正态分布的曲线的对称轴为2ξ=，又因为()()11P P a ξξ=-≤≥，所以()114a +-=，所以4a =．当04x <<时，190,04x x>>-,所以有()41919491102104444444x x x x x x x x x x +--+⎛⎫⎛⎫+=+⨯=++⨯ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当494x xx x-=-，即1x =时等号成立，故最小值为4，故选:C ．10.设函数()e ,0πsin ,0π3x x x f x x x ω⎧+<⎪=⎨⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，有4个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（）A.710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.7,3⎛⎤+∞⎥⎝⎦C.10,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.710,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的单调性及零点存在定理可得当0x <时函数有一个零点，然后根据三角函数的图象和性质即得.【详解】当0x <时，()e xf x x =+单调递增，且()1011e f --=<-，()010f =>，故0x <有一个零点，所以当0πx ≤≤时，函数()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭有3个零点，令()0f x =，即ππ3x k ω-=，Z k ∈，解得3ππk x ω+=，由题可得区间[]0,π内的3个零点分别是0k =，1，2取得，所以π即在2k =和3k =之间，即ππ2π3π33πωω++<≤，解得71033ω≤<.故选：A ．11.已知1F ，2F 分别为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，E 上存在两点A ，B使得梯形12AF F B 的高为c （其中c 为半焦距），且123AF BF =，则E 的离心率为（）A.3B.3C.2D.13【答案】A 【解析】【分析】根据123AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=︒，再结合123AF BF =，建立,,a b c 的关系即可得出答案.【详解】如图，因为123AF BF =，所以12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，因为梯形12AF F B 的高为c ，所以2PF c =，在12Rt F PF 中，122F F c =，则即1230PF F ∠=︒．设1AF x =，则22AF a x =-，在22221121122cos30AF AF F F AF F F =+-︒，即()22224a x x c -=+-，解得21AF x ==，同理22BF x ==，又123AF BF =32332a c +=，即2a =，所以3c e a ==.故选：A．12.在给出的①eln 33<；②129e ln 32<；③0.2e ln 3<三个不等式中，正确的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】构造函数()ln xf x x=，根据导数判断单调性，可判断①；由32e 3=>，根据函数()f x 的单调性，可得()()23e f f <，进而判断②；由函数()f x 的单调性可得1ln 3e 3>，进而ln 30.43>，即1.2ln 3>，再构造()e 1xg x x =--，根据函数的单调性可得0.2e 1.2>，进而判断③.【详解】令()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以0e x <<时，()0f x ¢>，即()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时，()0f x '<，即()f x 在()e,+∞上单调递减；可得()()e 3f f >，即ln e ln 3eln 33e 3>⇒<，故①正确；因为32e 3=>，所以()32e 3f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即3232ln e ln 33e <，所以33223ln e e ln 3<，即329e ln 32>，故②错误；再令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，所以当0x >时，()0g x '>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，则()0.20.2e0.210g =-->，即0.2e 1.2>．又10.4e>，e 3<，所以()()e 3f f >，即ln e ln 3e 3>，即1ln 3e 3>，所以ln 30.43>，即1.2ln 3>，所以0.2e 1.2ln 3>>，即0.2e ln 3>，故③错误；故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=+，则6S =___________．【答案】94【解析】【分析】由12n n a S +=+，可得当2n ≥时，12n n a S -=+，两式相减可证得数列{}n a 是以23a =为首项，公比为2的等比数列，可求出{}n a 的通项公式，即可求出6S .【详解】由已知，11a =，12n n a S +=+①，当1n =时，211223a S a =+=+=，当2n ≥时，12n n a S -=+②，①－②得：1n n n a a a +-=，整理得：12n n a a +=，即()122n na n a +=≥，所以数列{}n a 是以23a =为首项，公比为2的等比数列，所以()22*22322,n n n a a n n --=⋅=⋅∈N ≥，所以21,132,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，*n ∈N ，所以6S =()234131222294+⨯++++=．故答案为：94.14.已知向量()1,1a = ，()1,b m =- ，若a b + 与b的夹角为60°，则m =___________．【答案】33【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算，根据夹角公式即可求解.【详解】由题意得()0,1a b m +=+，故()1cos ,02a b b a b b a b b +⋅+<+>==>+⋅，解得33m =±，由于()100m m m +>Þ>或1m <-，故33m =-不合题意，舍去，故33m =．故答案为：3315.如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆2242200x y x y +-+-=相交于A ，C ，B ，D 四点，则四边形ABCD 面积的最大值为___________．【答案】45【解析】【分析】根据圆中的弦长公式可得AC=,BD =，结合222125d d OM +==以及二次函数的性质即可求解最值.【详解】由题设()()222125x y -++=，则圆心()2,1M -，半径=5r，OM ==,若圆心()2,1M -到直线AC ，BD 的距离12,,dd 则1d ，2d ⎡∈⎣且222125d d OM +==，则AC=,BD =而12ABCD S AC BD =，所以ABCD S =令[]222150,5t dd ==-∈，则ABCDS ==，当52t =，即122d d ==时，四边形ABCD 面积的最大值45．故答案为：4516.如图,在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D 中,已知点P 为棱1AA 上靠近于点1A 的四等分点,点Q 为棱CD 上一动点．若M 为平面1D PQ 与平面11ABB A 的公共点,N 为平面1D PQ 与平面ABCD 的公共点,且点M ,N 都在正方体的表面上,则由所有满足条件的点M ,N构成的区域的面积之和为___________．【答案】372【解析】【分析】把平面1D PQ 与平面11ABB A 和平面ABCD 的交线画出，从运动的观点观察即可获解.【详解】过点P 作1//PK D Q 交AB 于点K则平面1D PQ 平面11ABB A PK =,平面1D PQ 平面ABCD QK =所以M 构成的区域为Q 运动到C 点时的PAKN 构成的区域为Q 运动到C 点时的梯形AKQD此时193322PAK S =⨯⨯= (43)4142AKQD S +⨯==梯形所以M ,N 构成的区域的面积之和为9371422+=故答案为：372三、解答题（共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知△ABC 中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B 为钝角，且3sin 2cos 6sin 2A a B B π⎛⎫+=⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小；（2）若点D 在AC 边上，满足AC 3AD =，且3AB =，2BD =，求BC 边的长．【答案】（1）23B π=（2）6【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系得22sin cos 2sin sin cos sin A B B A B B B A -=，根据三角形内角的性质求得tan 2B =，即可确定B 的大小；（2）由23BD BC CA =+ 1233BC BA =+ ，根据已知及向量数量积的运算律，列方程求BC的模长即可.【小问1详解】cos sin()63B B ππ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭由已知，得：2sin 2sin sin 3a B B A π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则314sin cos cos sin sin 22a B B B B A ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．由正弦定理，22sin cos 2sin sin cos sin A B B A B B B A -=，∵A ，()0,B π∈，故sin sin 0A B ≠，∴22sin cos B B B -=2sin 2B B =，即tan 2B =∵,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2,2B ππ∈，∴423B π=，即23B π=．【小问2详解】由题意，得BD BC CD =+．∵AC 3AD =，∴()22123333BD BC CA BC BA BC BC BA =+=+-=+，∴222212144339BD BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．∵23B π=，3AB =，2BD =，∴212434cos4993BC BC π⎛⎫=+⨯⋅+⨯ ⎪⎝⎭ ，∴260BC BC -=，0BC ≠ ，则6BC = ，∴6BC =．18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，1AA tAB =，点D ，E 分别为棱BC ，11B C上的中点．（1）求证：AD //平面1A EB ；（2）若二面角1C AD C --的大小为3π，求实数t 的值．【答案】（1）证明见解析（2）62t =【解析】【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，根据线面平行的判定定理即可求证，（2）根据面面垂直得线面垂直，进而根据几何法可得二面角的平面角，进而根据直角三角形的边角关系即可求解，或者建立空间直角坐标系，根据空间向求解二面角.【小问1详解】点D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA BB ∥，11AA BB =，所以四边形11BB A A 为平行四边形，连接DE ，则1DE BB ∥，1DE BB =，所以1DE AA ∥，1DE AA =，所以四边形1DEA A 是平行四边形，所以1AD A E ∥．又因为AD ⊄平面1A EB ，1A E ⊂平面1A EB ，所以AD ∥平面1A EB ．【小问2详解】方法一：在平面ABC 内，过点C 作AD 的垂线，由ABC 为等腰直角三角形知垂足为D ，由于平面11BB C C ⊥平面ABC ,且交线为BC ,由于AD BC,AD ^Ì平面ABC ,所以AD ⊥平面11BB C C ,1DC ⊂平面11BB C C ,故1AD DC ⊥,又CD AD ⊥,则1C DC ∠为二面角1C AD C --的平面角，即1π3C DC ∠=，在等腰直角三角形ABC 中，不妨设2AB =，1AA h =，则CD =，在1Rt C DC 中，11tan CC C DC CD∠==，∴1CC =，∴2t =．方法二：1AA ⊥平面ABC ，又90BAC ∠=︒，以{}1,,AB AC AA为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz，设2AB =，1AA h =，则CD =，则()0,0,0A ，()1,1,0D ，()10,2,C h ，所以()1,1,0AD = ，()10,2,AC h =．设平面1AC D 的一个法向量为()1,,n x y z =，由11100200n AC x y y hz n AD ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，取x h =，得()1,,2n h h =- ，又平面ADC 的一个法向量为()20,0,1n =，因为二面角1C AD C --的大小为π3，所以1212π1cos 32n n n n⋅==．12=，0h >，∴h =，∴2t =．19.某中学为增强学生的环保意识，举办了“爱贵阳，护环境”的知识竞赛活动，为了解本次知识竞赛活动参赛学生的成绩，从中抽取了n 名学生的分数（得分取正整数，满分为100分，所有学生的得分都在区间[]50,100中）作为样本进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，的分组作出如图甲所示的频率分布直方图，并作出如图乙的样本分数茎叶图（图中仅列出了得分在[)50,60，[)60,70的数据）．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x ，y 的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩不低于80分的2组学生中按分层抽样抽取了5名学生，再从抽取的这5名学生中随机抽取2名学生到观山湖公园参加环保知识宣传活动，设抽到的学生成绩在[)80,90的人数为X ，将样本频率视为概率，求X 的概率分布列及期望．【答案】（1）40n =，0.0025x =，0.0400y =（2）分布列见解析；65【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图与茎叶图分数在同区间中的频率与频数，可求得所求；（2）利用频率分布直方图分别求出分数在[)80,90与[]90,100的学生人数，从而求得在两区间抽取出的学生人数，再利用古典概型与组合数求得X 的分布列与期望.【小问1详解】由直方图可知，分数在[)60,70中的频率为0.0075100.075⨯=，根据茎叶图可知，分数在[)60,70中的频数为3，所以样本容量3400.075n ==，根据茎叶图可知，分数在[)50,60中的频数为1，所以分数在[)50,60中的频率为10.02540=，所以由100.025x =得0.0025x =，再由()0.00250.00750.03000.0200101y ++++⨯=，得0.0400y =，所以40n =，0.0025x =，0.0400y =．【小问2详解】由题意，本次竞赛成绩样本中分别在[)80,90中的学生有400.031012⨯⨯=名，分数在[]90,100中的学生有400.02108⨯⨯=名，抽取分数在[)80,90中的学生有1253128⨯=+名，抽取分数在[]90,100中的学生有852128⨯=+名，由题可知，X 的所有取值有0，1，2，()023225C C 10C 10P X ===，()113225C C 631C 105P X ====，()203225C C 32C 10P X ===，所以，X 的分布列为：X 012P11035310∴()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=．20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为22，F 为椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上的点，若|MF |的最小值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若圆E ：()2211x y -+=的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△FAB 面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=;（2）4.【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率及|MF |的最小值列方程求解即可；（2）分直线斜率存在不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆联立，由韦达定理结合弦长公式、点到直线距离求出三角形面积，再换元求最值即可，当斜率不存在时直接求解.【小问1详解】椭圆的离心率2c e a ==，又|MF|的最小值为2，即：2a c -=-，得a =2c =，∴2b =，故椭圆C 的方程为22184x y +=．【小问2详解】由（1）点()2,0F ，若直线l 的斜率不存在，l 不能过点()2,0F ，则l 的方程只能为0x =，∴AB 4=，4FAB S = ．若直线l 的斜率存在，设l 的方程为：()0y kx t t =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线l 与圆E1=，化简得221t kt +=，则112k t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0t ≠．由22184x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222214280k x ktx t +++-=，()()()222222222116442128648321683280kt k t k t t t t t t ⎛⎫∆=-+-=-+=--+=+> ⎪⎝⎭，则122421kt x x k -+=+，21222821t x x k -=+．12AB x =-=．又()2,0F 到直线l的距离d =．11222FAB S AB d k t ==+△4221124211111122t t t t t t t ==⋅+⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设41s t =+，则1s >，441FABS t s ===+△．综上，△FAB 面积的最大值为4．21.已知函数()e 1ln x a f x x x x=--，a ∈R ．（1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（2）当1x >时，不等式()11f x x x--≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）2e a -≤-【解析】【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负，即可求解单调性，（2）将不等式等价变形为()ln 1e xx x x a -+≤，构造函数()()ln 1e xx x x h x -+=，利用导数求解()h x 的最小值即可.【小问1详解】()()()()()2221e 1e 1110x xx a a x f x x x x x x---'=+-=>，当0a >时，由()0f x '=，得出1x =，ln x a =-．当10ea <<，由()0f x ¢>，得01x <<或ln x a >-，由()0f x '<，得1ln x a <<-，∴()f x 在()0,1和()ln ,a -+∞上单调递增，在()1,ln a -上单调递减；当11ea <<时，0ln 1a <-<，由()0f x ¢>，得0ln x a <<-或1x >，由()0f x '<，得ln 1a x -<<，所以()f x 在()0,ln a -和()1,+∞上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减；当1a ≥时，ln 0a -£，由()0f x ¢>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<，此时()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；当1ea =时，()0f x '≥，则()f x 在()0,∞+上单调递增．【小问2详解】由()11f x x x --≤可转化为()ln 1e xx x x a -+≤，令()()ln 1e xx x x h x -+=，()()()1ln 2e xx x x h x --+'=，令()ln 2x x x ϕ=-+，()1xx xϕ'-=，当1x >时，()10xx xϕ-'=<，故()x ϕ在()1,+∞上单调递减，又()()22e =3e 0,e=4e0,ϕϕ->-<所以1x >时，()x ϕ在()2e,e内存在唯一零点0x ，当()01,x x ∈时，()0x ϕ>，()0h x '<，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ<，()0h x '>，()h x 单调递境，故()()()00000minln 1e x x x x h x h x -+==．因为()000ln 20x x x ϕ=-+=，所以020ex x -=，所以()0002200e e e e x x x x h x --==-=-，所以()()20min e h x h x -==-，即2e a -≤-．【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数求解函数的单调性，当含参数时，需要根据参数的大小进行分类讨论.利用导数求解恒成立问题时，常采用两种方式：①对含参函数的参数进行讨论，确定函数的最值，②进行参数分离，构造无参数的函数，利用导数求解最值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡，上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4；坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1sin 3cos 2cos 3sin x y αααα=++⎧⎨=+-⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的方程是1cos 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点A 的坐标为（1，0），直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11AP AQ +的值．【答案】（1）()()221210x y -+-=，10x --=（2）73【解析】【分析】（1）移项再平方相加即得曲线C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式即可得直线l 的直角坐标方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义，结合韦达定理即可求得11AP AQ +.【小问1详解】由1sin 3cos 2cos 3sin x y αααα=++⎧⎨=+-⎩，可得1sin 3cos 2cos 3sin x y αααα-=+⎧⎨-=-⎩，将上式分别平方，然后相加可得()()221210x y -+-=，由1cos 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1cos cos sin sin 332ππρθθ⎛⎫-= ⎝⎭，即11cos sin 222ρθρθ-=，即10x -=．【小问2详解】由（1）可知直线l 的斜率为33，则其倾斜角为6π，且点()1,0A 在直线l 上，所以直线l 的参数方程为：1cos 6sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），即1212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，整理得2260t t --=．设点P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则122t t +=，126t t =-，则1212121212111163t t t t AP AQ t t t t t t +-+=+===．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()12f x x x =+++的最小值为m ．（1）求m ；（2）已知,,a b c 为正数，且4abc m =，求()22a b c ++的最小值．【答案】（1）1m =（2）12【解析】【分析】（1）方法一：由题知()23,21,2123,1x x f x x x x --≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，进而分类讨论求解即可；方法二：根据绝对值三角不等式求解即可；（2）结合（1）得4abc =，进根据基本不等式求解即可.【小问1详解】解：方法一：依题意得：()23,2121,2123,1x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩，当2x ≤-时，()1f x ≥，当2<<1x --时，()1f x =，当1x ≥-时，()1f x ≥，综上，当[]2,1x ∈--时，()f x 取得最小值1，即()f x 的最小值1m =．方法二：根据绝对值三角不等式可得：()()()12121f x x x x x =+++≥+-+=，当且仅当()()120x x ++≤，即21x -≤≤-时等号成立，所以，()f x 的最小值1m =．【小问2详解】解：由（1）知，44abc m ==，()2224a b c ab c +++≥（当且仅当a b =时等号成立），∴2242212ab c ab ab c +=++≥===，当且仅当22ab c =，即a b ==2c =时等号成立，∴()22a b c ++的最小值为12．。
贵州省贵阳第一中学2020届高三适应性月考卷(一)数学试题(理)(解析版)
贵州省贵阳第一中学2020届高三适应性月考卷（一）数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}2|760,M x x x x =-+<∈Z ，(1,5)N =，则M N =（ ）A. (1,5)B. {2,3,4}C. (1,6)D. {}5『答案』B『解析』由()()276610x x x x -+=--<解得16x <<，由于x ∈Z ，所以{}2,3,4,5M =，所以{}2,3,4M N =.故选：B.2.在复平面内，复数z 满足(1)|1|z i +=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. 1 B. i -C. iD.1-『答案』A『解析』由(1)|1|2z i +=+=得()()()()2121211112i i z i i i i ⋅-⋅-====-++-，所以1z i =+，虚部为1. 故选：A.3.已知命题p ：“2,10x R x ∀∈+”的否定是“2,10x R x ∀∈+<”；命题q ：函数22()x f x x =-有三个零点，则下列命题为真命题的是（ ）A. p q ∧B. p q ∨C. q ⌝D. ()p q ∧⌝『答案』B『解析』对于命题p ，“2,10x R x ∀∈+”的否定是“2,10∃∈+<x R x ”，所以p 为假命题.对于命题q ，令()0f x =得22x x =，画出2,2xy x y ==的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点，所以()f x 有三个零点，即q 为真命题. 所以p q ∨为真命题.B 选项正确，其它选项均为假命题.4.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上为减函数的是（ ） A. cos()y x =- B. sin y x x =+C. 2yx D. sin()y x =-『答案』D『解析』对于AC 选项()cos cos y x x =-=为偶函数，2y x 也是偶函数，所以AC 两个选项不符合题意.对于B 选项，'1cos 0y x =+≥，所以函数在(0,1)上递增，不符合题意.对于D 选项，'cos y x =-在区间(0,1)上满足'cos 0y x =-<，所以函数在区间(0,1)上为减函数符合题意. 故选：D5.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6点数的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，则3m n =的概率为（ ） A.118B.112C.19D.16『答案』A『解析』将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为6636⨯=种，满足第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，且3m n =的有：()()3,1,6,2共两种，所以概率为213618=.6.若双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为8，则其渐近线方程为（ ）A. 18y x =±B. 12y x =±C. 14y x =±D. 4y x =±『答案』C『解析』依题意28a =，4a =，所以双曲线方程为22116x y -=，则其渐近线方程为14y x =±.故选：C7.某四棱锥的三视图如图所示，则侧面四个三角形中，最小三角形面积为（ ）A. 2B.C.D. 1『答案』B『解析』由三视图可知该几何体是四棱锥A DCBE -是正方体的一部分， 正方体的棱长为2，E 为所在棱中点，如图，则最小三角形面积是ABE ∆,∴112222ABES.故选B .8.将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得函数图象的一条对称轴为（ ） A. x π= B. 8x π=C. 6x π=D. 2x π=『答案』D『解析』将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位得到11sin sin 26624y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .由1242x k πππ+=+解得()22x k k Z ππ=+∈，令0k =，求得函数的一条对称轴为2x π=.故选：D9.若向量,a b 满足||||3a b ==，a 与b 的夹角为60°，则a 在向量b a -上的投影等于（ ）A.B.C.D.『答案』C『解析』a 在向量b a -上的投影为()a b ab a⋅--，()(22333cos603322a b a a b a ⋅-=⋅-=⨯-=-=-.()222232b a b aa ab b -=-=-⋅+=-==所以()3223a b a b a-⋅-==--.故选：C10.已知5(2)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为25，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. 99- B. 97 C. 96D. 98-『答案』C『解析』解法1：因为()52345(2)(1)(2)1510105ax x ax x x x x x ++=++++++，所以2x 的系数为205a +，所以20525a +=，解得1a =， 所以5260126(2)(1)x x a a x a x a x ++=++++，令1x =，得01696a a a +++=.解法2：由乘法分配律知5(2)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为21552205C aC a ⋅+=+所以20525a +=，解得1a =，所以5260126(2)(1)x x a a x a x a x ++=+++⋯+ 令1x =，得01696a a a +++=.故选：C11.若不等式1ln x m m e x +-≤+（e 为自然对数的底数）对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. 22,2e e ⎡⎫--+∞⎪⎢⎣⎭ B. 2221,22e e e ⎡⎫---⎪⎢⎣⎭C. 2221,22e e e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D. [1,)+∞ 『答案』A『解析』解法1：设211()ln ,,1f x x x x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则22111()0x f x x x x -'=-=<，所以()f x 在21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()1,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦，所以21ln 1,2x m m e m x ⎡⎤+-∈---⎣⎦，为使不等式1ln x m m e x +-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，则max1ln x m m e x +-≤+ 而{}2max1ln max |1|,2x m m e m x +-=---， 所以21|2|m m e e m m e -≤+⎧⎨--≤+⎩，解得21222e m e e m -⎧≥⎪⎪⎨--⎪≥⎪⎩ 所以22,2e e m ⎡⎫--∈+∞⎪⎢⎣⎭，故选A. 解法2：设211()ln ,,1f x x x x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则22111()0x f x x x x -'=-=< 所以()f x 在21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()1,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦ 为使不等式1ln x m m e x +-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立 即()m e m f x m e --≤-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立 所以()2f x e m -≥对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，即2max ()222f x e e e m ---≥=所以22,2e e m ⎡⎫--∈+∞⎪⎢⎣⎭，故选A. 解法3：设211()ln ,,1f x x x x e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则22111()0x f x x x x -'=-=< 所以()f x 在21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以2()1,2f x e ⎡⎤∈-⎣⎦ 为使不等式1ln x m m e x +-≤+对21,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立 即不等式||m t m e -≤+对21,2t e ⎡⎤∈-⎣⎦成立当1m 时，t m m e -≤+对21,2t e ⎡⎤∈-⎣⎦成立，即2max222t e e e m ---⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，不符 当22m e ≥-时，m t m e -≤+对21,2t e ⎡⎤∈-⎣⎦成立，显然恒成立当212m e <<-时，2,1(),2m t t mg t t m t m m t e -≤<⎧=-=⎨-<≤-⎩只需{}2max 1,2m e m e --≤+，即212m m e e m m e-≤+⎧⎨--≤+⎩ 所以22,2e e m ⎡⎫--∈+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：A .12.已知函数2()1f x x a =-++（1,x e e e≤≤是自然对数的底数）与()2ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 20,3e ⎡⎤-⎣⎦B. 21,3e ⎡⎤-⎣⎦C. 21,2e ⎡⎤-⎣⎦D. 2,2e e ⎡⎤-⎣⎦『答案』A『解析』根据题意，若函数2()1f x x a =-++（1,x e e e≤≤是自然对数的底数）与()2ln g x x =的图像上存在关于x 轴对称的点，则方程212ln x a x -++=-在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解.212ln x a x -++=-，即212ln a x x +=-∴方程212ln a x x +=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设函数2()2ln h x x x =-（1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）其导数()2212()2x h x x x x-'=-=，又1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴()0h x '=在1x =有唯一的极值点易知：当1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '≤，()h x 为减函数，当[1,e]x ∈时，()0h x '≥，()h x 为增函数∴函数2()2ln h x x x =-有最小值(1)1h =.又22112,()2h h e e e e ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较得(1)h e h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭∴函数2()2ln h x x x =-有最大值2()2h e e =-∴函数2()2ln h x x x =-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为21,2e ⎡⎤-⎣⎦，若方程212ln a x x +=-在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，必有2112a e ≤+≤-，即203a e ≤≤-，∴实数a 的取值范围是20,3e ⎡⎤-⎣⎦.故选：A二、填空题13.设a ∈R ，函数()x x a f x e e=+的导数是()f x '，且()f x '是偶函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是52，则切点的横坐标为________. 『答案』0ln 2x =或0ln 2x =-. 『解析』∵()xxa f x e e'=-且()f x '是偶函数，∴1a =- .设切点为()00,x y ，则()000152x x f x e e '=+= 解得0ln 2x =或0ln 2x =-. 故答案为：0ln 2x =或0ln 2x =-14.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则||QF =________..『答案』83.『解析』设Q 到抛物线准线的垂线段为MQ ，则MQ QF =.抛物线焦点到准线的距离为4，如图，由抛物线定义及3FP FQ =得||243MQ =，83MQ =.∴8||||3QF MQ ==.故答案为：83三、解答题15.已知函数22()cos 212sin ,()3f x x x x R π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =，,,b a c 成等差列，且9AB AC ⋅=，求边a 的值.解：（1）1()2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 令222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈.∴()f x 的单调增区间为,,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）由1()2f A =，得1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∵22666A πππ<+<π+，∴5266A ππ+=，∴3A π=.由b ，a ，c 成等差数列得2a b c =+，∵9AB AC ⋅=，∴cos 9bc A =，∴18=bc ，由余弦定理得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，∴22454a a =-，∴a =.16.某大学生自主创业，经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润800元，未售出的产品，每1t 亏损200元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该大学生为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X （单位：,100150t X ≤≤）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于94000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100,110)X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100110)，的频率），求T 的均值.解：（1）由题意得，当[100,130)X ∈时，800200(130)100026000T X X X =--=-，当[130,150)x ∈时，800130104000T =⨯=， ∴100026000,[100,130)104000,[130,150]X x T X -∈⎧=⎨∈⎩.（2）由（1）知，利润T 不少于94000元，当且仅当120150X .由直方图知需求量[120,150]X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于94000元的概率的估计值为0.7.（3）依题意可得T 的分布列，所以790000.1890000.2990000.31040000.497000ET =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是ADC ∠为钝角的平行四边形，四边形AFED 为直角梯形，//,AF DE AF AD ⊥且2,4,2,2AF DE BF AB BC =====.（1）求证：AC BE ⊥；（2）若点F 到平面DCE ，求直线EC 与平面BDE 所成角的正弦值.（1）证明：在ABF 中，2,AF AB BF ===AB AF ⊥ 又因为AF AD ⊥，所以AF⊥平面ABCD ，因为//AF DE所以DE ⊥平面ABCD ，所以DE AC ⊥，在平行四边形ABCD 中，且2AB BC ==，所以平行四边形ABCD 为菱形 于是,AC BD BD DE D ⊥⋂=所以AC ⊥平面BDE ，而BE ⊂平面BDE ，所以AC BE ⊥.（2）解：因为AC ⊥平面BDE 且垂足为O ，所以CEO ∠为直线EC 与平面BDE 所成角. 因为//,AF DE AF ∉平面CDE ，DE ∈平面CDE ，所//AF CDE ， 所以F 到平面DCE 的距离为A 到平面DCE 的距离.,ED AD ED AB ⊥⊥ 所以ED ⊥平面,ABCD ED ∈平面ECD 所以平面ABCD ⊥平面ECD 且交线为CD过A 作AH CD ⊥，则AH ECD ⊥，所以2AH AD ==所以3ADH π∠=，所以1,32BDC OC CD π∠===在DEC中，EC ==所以sin OC OEC EC ∠==.所以直线EC 与平面BDE18.已知函数21()ln 2f x ax x =+. （1）若1a =-，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(0,1]上的最大值是3-，求a 的值；（3）记()2()(1)ln 1g x f x a x =+-+，当2a ≤-时，若对任意式12,(0,)x x ∈+∞，总有()()1212g x g x k x x -≥-成立，试求k 的最大值.解：（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，211()x f x x x x-+'=-+=，令()0f x '=，则121,1x x ==-（舍去），当(0,1)x ∈时，()0f x '>，故()f x 在(0,1)上是增函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在(1,)+∞上是减函数.（2）∵21()ln 2f x ax x =+，则211()(01)ax f x ax x x x+'=+=<≤，①当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上是增函数， 故在(0,1]上的最大值为1(1)32f a ==-，显然不合题意：②若0,1,a <⎧≥即10a -≤<时，(0,1]⎛⊆ ⎝，则()f x 在(0,1]上是增函数，故在(0,1]上的最大值为1(1)32f a ==-，不合超意，舍去；③若0,1,a <⎧<即1a <-时，则()f x在⎛ ⎝上是增函数，在⎫⎪⎭上是减函数，故在在(0,1]上的最大值为132f =-+=-，解得5a e =-，符合， 综合①②③得5a e =-.（3）()2()(1)ln 1g x f x a x =+-+，则2121()2a ax a g x ax x x+++'=+=， 当2a ≤-时，()0g x '<，故2a ≤-时，()g x 在(0,)+∞上是减函数， 不妨设120x x <≤，则()()21g x g x ≤，故()()1212g x g x k x x -≥-等价于()()()1221g x g x k x x -≥-，即()()1122g x kx g x kx +≥+，记()()x g x kx ϕ=+，从而()x ϕ在(0,)+∞上为减函数，由2()(1)ln 1x a x ax kx ϕ=++++，得221()0ax kx a x xϕ+++'=≤，故(1)2a k ax x-+≤-+恒成立，∵(1)2a ax x-+-+≥()2(1)h a a a =+在(,2]-∞-上单调递减 ∴()(2)4h a h ≥-=，∴(1)24a ax x-+-+≥≥，∴4k ≤. 故2a ≤-时，k 的最大值为4.19.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上动点M 到点F 的最远距离和最11. （1）求椭圆的方程；（2）设, A B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，若10AC DB AD CB ⋅+⋅=，O 为坐标原点，求OCD 的面积. 解：（1）设(,0)F c -，由已知，1,1a c a c +=-=-.∴1a c ==.∴2222b a c =-=.则椭圆的方程为22132x y +=. （2）解法1：设:(1)(0)l y k x k =+≠.与椭圆联立得222(1)132x k x ++=.化简得()()2222326320kx k x k +++-=.设()()1122,,,C x y D x y ，由韦达定理，有()212221226323232k x x k k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪⋅=⎪+⎩.又()()111AC x k x =+，()()221DB x k x =-+-+. ()()()()22113,1,1AD x k x CB x k x =++=-+-+.∴()2121212262110AC DB AD CB x x kx x x x ⋅+⋅=-+-+++=.则()()22212122262210k x x k k x x -++--+=.联立得225k =. 则21612240555x x +-=即24360x x +-=.∴1212||4y y k x x -=-==. ∴121||2OCDSOF y y =-=. 解法2：设:(1)(0)l y k x k =+≠.()()1122,,,C x y D x y ，与椭圆联立得222(1)132x k x ++=.化简得()()2222326320k x k x k +++-=.其两个分别为12,x x ，∴()()()()()22222123263232k x k x k k x x x x +++-=+--.①又()()11223,,AC x y DB x y =+=--..()()22113,,AD x y CB x y =+=-+-.∵10AC DB AD CB ⋅+⋅=.化简得到12122x x y y +=-.② 在①中，令0x =，得()21223232k x x k -=+.③令1x =-，()()()21243211k x x -=+++.∴()2212432k k y y -=+，2122432k y y k -=+.④ 将③、④代入②得()222232423232k k k k --+=-++.解得225k =. 则21612240555x x +-=.即24360x x +-=.∴1212||544y y k x x-=-=⨯=∴121||28OCDSOF y y =-=. 20.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=-（1）求圆C 的圆心到直线l 的距离；（2）己知(1,0)P ，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，求11||||PA PB +的值. 解：（1）由直线l 的参数方程为1x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，可得10x -=.圆C极坐标方程为4cos ρθ=-，即4cos ρθ=-，∴圆C 的普通坐标方程为2240x y x ++=，则圆心(2,0)C - ∴圆心(2,0)C -，到直线l 的距离|21|322d --==（2）已知(1,0)P ，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于,A B两点，将112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入圆C 的普通坐标方程2240x y x ++=，得250t ++= 设A ，B 对应参数为1t ，2t，则12t t +=-125t t ⋅= ∵120t t ⋅>，120t t +<，∴12,t t 是同为负号.∴()12121212121111||||t t t t PA PB t t t t t t +-++=+=== 21.已知函数()|3|3,()||()f x x g x m x m R =-+=∈. （1）解关于x 的不等式()5f x >；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围. 解：（1）由题；()|3|35f x x =-+>，所以|3|2x -> 故32x -<-或32x ->，即1x <或5x >. 所以原不等式的解集为{|15}x x x <>或. （2）解法1：分离参数由题()()f x g x ≥对任意x 均成立，故|3|3||x m x -+≥ ①当0x =时，不等式|3|3||x m x -+≥恒成立； ②当0x ≠时，|3|3||x m x -+≤对任意非零实数恒成立，而|3|3|33|1||||x x x x -+-+≥=，故1m 综上：1m 解法2：分类讨论由题|3|3||x m x -+≥恒成立；①当0x =时，不等式|3|3||x m x -+≥恒成立； ②当3x =时，1m ；③当3x >时，33x mx -+≥，故1m ；④当03x <<时，33x mx -+≥，故(1)6m x +≤，故3(1)6m +≤，即1m ； ⑤当0x <时，33x mx -+≥-，故(1)6m x -≤恒成立. 即：线性函数在0x <时恒小于6，故(1)0m -≥，解得：1m 综上：1m 解法三：由题()()f x g x ≥对任意x 均成立，故|3|3||x m x -+≥ 即为|||3|3(1)||0x x m x ---+-≤而|||3|3(1)||33(1)||(1)||x x m x m x m x ---+-≤-+-=- 转化为(1)||0101m x m m -≤⇒-≤⇒≤。
2024届贵州省贵阳市第一中学高三下学期三模考试地理-答案
贵阳第一中学2024届高考适应性月考卷（八）地理参考答案一、选择题（本大题共16小题。
每小题3分，共48分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C D B A A C B D题号9 10 11 12 13 14 15 16答案 B A D A B C D A【解析】1．重庆火锅产业链完整，火锅底料生产协作条件好，产业集聚效应强，有利于加强交流与沟通，提高企业竞争力，故选C。
2．通过集中采购、集约生产、统一配送的标准化经营模式，保障直营店菜品品质，故选D。
3．安庆市山、河、草、林等生境丰富，为生态“环—楔—廊”结构布局建设提供优良的资源条件，故选B。
4．与沿江生态绿廊相比，山脉生态绿廊能够阻滞流水侵蚀，净化空气、涵养水源，保持水土，故选A。
5．安庆市生态网络结构的建成使居民能够享受自然美景，改善居住环境，故选A。
6．巴拿马位于中美地峡，境内多山地，境内地势相对较高，该国西北部的大西洋与东南部的太平洋地势相对较低，所以巴拿马运河航线的地势起伏应是中部高，西北和东南低，受地势的影响，通过巴拿马运河的船只应先逐级抬升再逐级下降。
故选C。
7．受厄尔尼诺影响，当地气温较高，蒸发增强，造成持续干旱，而加通湖是巴拿马饮用水源地，为了保障居民生活用水，减少通航船只数量，减少淡水排放。
故选B。
8．每日允许通航的船只数量减少，导致通行（等候）时间变长，运输成本升高。
故选D。
9．读图可知，甲地位于冷锋锋前、暖锋锋后，受单一暖气团控制，且图中显示其附近站点温度为19℃，故气温较高，但露点温度为−13℃，故该区域属于暖干气团，无降水；4月为春季，甲地等压线较为密集，风力大，且该地区地表裸露，沙尘较多，可能出现扬尘天气，能见度低，B正确，A、C、D错误。
故选B。
10．根据图示信息可知，冷锋所处位置等压线比暖锋更密集，说明冷锋一侧风力比暖锋一侧更大，冷锋势力强于暖锋。
故选A。
地理参考答案·第1页（共3页）11．由图可知，图示区域受季风影响显著，1月盛行东北风，望加锡海峡表层洋流向南流流速最大，故选D。
贵州省贵阳市2024届高三下学期适应性测试(一)化学试题
贵州省贵阳市2024届高三下学期适应性测试（一）化学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2023年12月16日，贵阳轨道交通3号线开通初期运营。
在地铁建设中所使用材料属于无机非金属材料的是A ．AB ．BC ．CD ．D2．下列化学用语或图示表达正确的是 A ．的名称为：1-丁醇B ．邻羟基苯甲醛分子内氢键示意图：C ．3HSO -水解的离子方程式：23233HSO H O H O SO -+-++D ．HCl 分子中σ键的形成：3．在实验室分离NaCl 和3CaCO 固体时不需要用到的操作是A ．B ．C．D．4．某常用医药中间体的结构简式如图所示。
下列关于该有机物说法正确的是C H NOA．分子式为1210B．分子中所有碳原子一定共面C．分子中C原子杂化方式为3spD．与HCl、NaOH均能发生反应5．丙烯不溶于H2O，能与Cl2、HCl反应。
设N A为阿伏加德罗常数的值。
下列叙述正确的是A．21g丙烯所含共用电子对数为4N AB．1.5molD2O所含中子数为15N AC．22.4LCl2溶于水转移的电子数为N AD．2mol∙L-1HCl溶液中Cl-数为2N A6．“类比”是化学学习的重要方法。
下列由客观事实类比所得结论正确的是A ．AB ．BC ．CD ．D7．化学反应在社会发展中运用广泛。
下列解释事实的离子方程式正确的是 A ．明矾做净水剂：323Al 3H O Al(OH)3H ++↓+=+B ．用亚硫酸钠溶液吸收少量氯气：223224SO Cl H O SO 2H 2Cl --+-++=++C ．以金属银为阳极电解饱和NaCl 溶液：222Cl 2Ag 2H OH 2AgCl 2OH --++↑++电解D ．用醋酸和淀粉KI -溶液检验加碘食盐中所含的3IO -：322IO 5I 6H 3I 3H O --+++=+8．W 、X 、Y 、Z 是电负性依次增大的前四周期主族元素。
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贵州省贵阳市第一中学2020届高三下学期高考适应性月考数学试题（理科）1. 设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A.....................2. 已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A.考点：复数的几何意义.3. 已知为第二象限的角，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴，∴，又∵，∴，，∴，，∴为第三象限的角，∴，故选B．4. 设实数满足，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图1，直线与圆交于，两点，则的概率，故选C．八、概率点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．5. 一个直三棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该三棱柱的底面是顶角为，两腰为2的等腰三角形，高为2，底面三角形的外接圆直径为，半径为2．设该三棱柱的外接球的半径为R，则，所以该三棱柱的外接球的体积为，故选A．6. 矩形中，，，在线段上运动，点为线段的中点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将矩形ABCD放入如图2所示的平面直角坐标系中，设，又，所以，所以，因为，所以，即的取值范围是，故选C．7. 阅读如图所示的程序框图，若，，则输出的的值等于（）A. 252B. 120C. 210D. 45【答案】C【解析】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；第五次循环：；第六次循环：；结束循环，输出，故选C．8. 在中，，若，则面积的最大值是（）A. B. 4 C. D.【答案】D【解析】∵，由，，得，∴．又，∵，∴，∴当时，取得最大值，∴面积的最大值为，故选D．9. 已知实数满足，直线过定点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D10. 《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：及时，如图：记为每个序列中最后一列数之和，则为（）A. 1089B. 680C. 840D. 2520【答案】A【解析】当时，序列如图：故，故选A．11. 已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为（）A. 0或-10B. 0或-2C. -2D. -10【答案】A【解析】因为点关于直线对称，所以的垂直平分线为，所以直线的斜率为．设直线的方程为，由得，所以，所以，所以．因为的中点M在抛物线上，所以，解得或，又的中点也在直线上，得，∴或，故选A．点睛：解析几何对称问题，一般设参数，运用对称问题中包含的垂直与中点坐标条件，将问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，然后直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去中间变量，直至得到所求量．12. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，当时，时，∴当时取得最小值，且．令，则此直线恒过定点，若存在唯一的整数，使得，则且，∴，故选D．点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．13. 设是展开式中的系数，则__________．（用数字填写答案）【答案】111【解析】展开式中x的系数为，则．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14. 在中，角的对边分别为，且满足，则函数的最大值为__________．【答案】【解析】由已知，，即，即，则，∴，即，，即时，取得最大值．15. 已知函数，命题：实数满足不等式；命题：实数满足不等式，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】是的充分不必要条件，等价于是的必要不充分条件．由题意得为偶函数，且在单调递增，在单调递减，由p：得，即，解得；由q：，故的取值范围是．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．16. 已知椭圆：，双曲线：，以的短轴为正六边形最长对角线，若正六边形与轴正半轴交于点，为椭圆右焦点，为椭圆右顶点，为直线与轴的交点，且满足是与的等差数列，现将坐标平面沿轴折起，当所成二面角为时，点在另一半平面内的射影恰为的左顶点与左焦点，则的离心率为__________．【答案】2【解析】由题，，由正六边形得．于是，可得．当所成二面角为时，设双曲线左顶点为，则，设双曲线左焦点为，则，所以．17. 已知数列的前项和满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：.【答案】（1）. （2）．【解析】试题分析：（1）根据当时，，得到数列的递推关系式，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为，最后利用裂项相消法求和得．试题解析：（Ⅰ）解：当时，，所以，当时，，即，，，所以数列是首项为，公比也为的等比数列，所以.（Ⅱ）证明：．由，所以，所以．因为，所以，即．点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.18. 随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视. 为此贵阳市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20积分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.3.（1）求甲、乙两人所扣积分相同的概率；（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望.【答案】甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.36，的数学期望．【解析】试题分析：（1）先确定甲、乙两人所扣积分相同事件取法:扣0分、扣1分及扣2分，再根据相互独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式得所求概率，（2）先确定随机变量取法，再分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（Ⅰ）分别记“甲扣0，1，2分”为事件，它们彼此互斥，且．分别记“乙扣0，1，2分”为事件，它们彼此互斥，且．由题知，与相互独立，记甲、乙两人所扣积分相同为事件，则，所以=．（Ⅱ）的可能取值为：，，，，，所以的分布列为：0 1 2 3 4P 0.2 0.32 0.3 0.14 0.04的数学期望．答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.36，的数学期望．19. 如图，三棱锥中，底面，，，，为的中点，点在上，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的平面角（锐角）的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析.（Ⅱ）平面与平面所成二面角的平面角（锐角）的余弦值为.【解析】试题分析：（1）要证平面平面，只需证平面，而由等腰三角形性质得，所以只需证．因为底面，可得；又根据勾股定理可得；从而有平面，即得．（2）一般利用空间向量数量积求二面角的大小，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各面法向量，根据向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小.试题解析：（Ⅰ）证明：∵底面，且底面，∴．由，，，可得．又∵，∴平面，注意到平面，∴．∵，为中点，∴．∵，∴平面，而平面，∴平面平面．（Ⅱ）解法一：如图，以为原点、所在直线为轴、为轴建立空间直角坐标系.则设平面的法向量，则解得．取平面的法向量为，则，故平面与平面所成二面角的平面角（锐角）的余弦值为.解法二：取的中点，在上取点，且，连接，.∵平面，∴平面，平面，．在中，，∴．由（Ⅰ）知，平面，即，且，∴，设平面ABC与平面BEF所成二面角为，，故平面与平面所成二面角的平面角（锐角）的余弦值为．20. 已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，为椭圆的离心率，且点为椭圆短半轴的上顶点，为等腰直角三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴垂直的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当且时，求的面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）所求的椭圆方程为．（Ⅱ）的面积的取值范围为．【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于两个独立条件：，，解方程组可得，（2）设直线的方程为，，将条件用坐标表示，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简条件得．因为，所以利用韦达定理计算．最后根据自变量范围，利用对勾函数求函数值域.试题解析：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得，从而得到，故而椭圆经过，代入椭圆方程得，解得，所求的椭圆方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由题意，设直线的方程为，，由得，则．∵，∴，解得．由消得．设，，，则．设，则，其中，∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为．21. 已知函数.（1）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设是函数的两个极值点，若，求的最小值.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）的最小值为．【解析】试题分析：（1）函数存在单调递减区间，等价于在上有解，即在上有解，根据实根分布可得解不等式可得实数的取值范围；（2）为两根，所以代入消化简得．令，转化研究函数最小值，先根据，确定自变量取值范围：，再利用导数研究函数单调性：在上单调递减，进而确定函数最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以，又因为在上有解，令，则，只需解得即．（Ⅱ）因为，令，即，两根分别为，则又因为．令，由于，所以．又因为，，即即，所以，解得或，即．令，，所以在上单调递减，．所以的最小值为．点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则在该区间为增函数；如果，则在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，其中为参数，，再以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，其中，，直线与曲线交于两点.（1）求的值；（2）已知点，且，求直线的普通方程.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）直线的普通方程为.（或）【解析】试题分析：（1）先根据代入消元法将直线的参数方程化为普通方程，利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入可得的值；（2）由直线参数方程几何意义得，再将直线的参数方程代入抛物线C的普通方程，利用韦达定理得，，三个条件联立方程组解得，即得直线的普通方程.试题解析：（Ⅰ）直线的普通方程为，曲线C的极坐标方程可化为，设，，联立与C的方程得：，∴，则，∴.（Ⅱ）将直线的参数方程代入抛物线C的普通方程，得，设交点对应的参数分别为，则，，由得，，联立解得，又，所以.直线的普通方程为.（或）23. 选修4-5：不等式选讲已知函数的顶点为.（1）解不等式；（2）若实数满足，求证：.【答案】（Ⅰ）不等式恒成立，解集为.（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由绝对值三角不等式得即不等式恒成立，所以解集为.（2）先因式分解得，再配凑，最后根据条件，已经绝对值三角不等式放缩得试题解析：（Ⅰ）解：依题意得，则不等式为，∵，当且仅当时取等号，所以不等式恒成立，解集为.（Ⅱ）证明：．。