数列的综合应用9.13

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数列的综合应用

数列的综合应用【考纲说明】1、会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和；2、能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题；3、理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型；4、本部分在高考中占5-10分.【趣味链接】800年前，意大利的数学家斐波纳契出版了惊世之作《算盘书》。

在《算盘书》里，他提出了著名的“兔子问题”：假定一对兔子每个月可以生一对兔子，而这对新兔子在出生后第二个月就开始生另外一对兔子，这些兔子不会死去，那么一对兔子一年内能繁殖多少对兔子？答案是一组非常特殊的数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……不难发现，从第三个数起，每个数都是前两数之和，这个数列则称为“斐波纳契数列”，其中每个数字都是“斐波纳契数列”.斐波纳契数列还暗含着许多有趣的数字规律，如从第3个数开始每隔两个必是2的倍数，从第4个数开始每隔3个必是3的倍数，从第5个数开始每隔4个必是5的倍数……另外，这个数列最具有和谐之美的地方是，越往后，相邻两项的比值会无限趋向于黄金比0.61803……即[5^(1/2)-1]/2.但这个伟大的发现在当时一直不受数学们的青睐与认可，直到19世纪，斐波纳契数列才在该领域占有一席之地并引发出了许多重要的应用.【知识梳理】一、通项公式的求解技巧 1、归纳、猜想数列的通项.2、迭代法求一阶递推式的通项公式.3、用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式.4、已知数列{a n }前n 项和S n ，则⎩⎨⎧-=-11n n n S S S a 21≥=n n . 5、已知a n -a n-1=f(n)(n ≥2),则可用叠加法求a n . 6、已知a na n-1=f(n)(n ≥2),则可用叠乘法求a n .7、已知数列{a n }前n 项之积T n ，一般可求T n-1，则a n =111 n 2n n T n T T -=⎧⎪⎨≥⎪⎩.8、已知混合型递推式f(a n ,S n )=0,可利用a n =S n -S n-1(n ≥2)将关系式转化为只含有a n 或S n 的递推式,再求a n 或先间接求出S n 再求出a n .9、已知数列{a n }的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(a n )}为等差或等比数列.例如:形如a n+1=Aa n +f(n)或a n+1=Aa n +q n ,均可以两边同时除以A n+1后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如a n ＝a n-1ka n-1+b 的递推数列可以两边同时倒数来求通项.二、数列求和的技巧 1、公式法（1）、等差数列的前n 项和公式 2)1(2)(11dn n na a a n S n n -+=+=（2）、等比数列的前n 项和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n（3）、常用几个数列的求和公式 ①)1(213211+=+⋯+++==∑=n n n k S nk n ②)12)(1(61321222212++=+⋯+++==∑=n n n n k S nk n ③2333313)]1(21[321+=+⋯+++==∑=n n n kS nk n2、错位相减法用于求数列}{n n b a ⨯的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列. 3、裂项相消法适用于{1a n a n+1}其中{a n }是各项不为0的等差数列。

数列的综合应用

数列的综合应用1、数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知n S （即12()n a a a f n +++= ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

⑶已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥。

⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

（2）形如11n n n a a ka b --=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解。

2、数列求和的常用方法：（1）公式法：①等差数列求和公式； ②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.； ③常用公式：1123(1)2n n n ++++=+L222112(1)(21)6n n n n +++=++L ，33332n(n+1)1+2+3++n =[]2L .（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k-=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ； ⑤2122(1)2(1)11n n n n n n n n n +-=<<=--+++-.（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

数列的综合运用新

A．若{an}>M，则数列{an}的各项均大于等于M B．若{an}>M，{bn}>M，则{an＋bn}>2M C．若{an}>M，则{a}>M2 D．若{an}>M，则{2an＋1}>2M＋1
解析：对于A，即若{an}>M，an与an＋1中至少有一个不小于M，则数列{an}的各项不一定都大于M，错误；对于 B，若{an}>M，an与an＋1中至少有一个不小于M，{bn}>M， bn与bn＋1中至少有一个不小于M，但它们不一定是同一个n 值，则{an＋bn}>2M不成立；对于C，若{an}>M，数列各项的正负及M的正负不确定，则{a}>M2不成立；则只有D成立，
(4)数列的实际应用：现实生活中涉及利率，产品利润，工作效率，人口增长，常常考虑用数列知识加以解决．
1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个分
裂成2个)，经过3小时，这种细菌由1个可以繁殖成 ( )
A．511个
B．512个
C．1023个
D．1024个
解析：由题意知，细菌繁殖过程可以看作一个首项为
1，公比为2的等比数列模型，所以a10＝a1q9＝29＝512.故应选B.
答案：B
2 ．数列 {an} 的通项公式是关于 x 的不等式 x2 －
x<nx(n∈N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前n项和Sn
＝
()
A．n2
B．n(n＋1)
C.
D．(n＋1)(n＋2)
解析：由x2－x<nx，得0<x<n＋1(n∈N*)，因此an＝n， Sn＝
故选D.
答案：D
1．在解决数列综合问题时要注意以下方面 (1)用函数的观点和思想认识数列，将数列的通项公式与求和公式都看作自变量为正整数的函数． (2)用方程思想去处理数列问题，把通项公式与求和公式看作列方程的等量关系． (3)用转化思想去处理数学问题，将实际问题转化为等差数列或等比数列问题． (4)用猜想与递推的思想去解决数学问题．

数列的综合应用总结

数列的综合应用总结数列作为数学中常见的一种数学对象，在各个领域中都有着广泛的应用。

本文将对数列的综合应用进行总结和分析，包括数列的定义、数列求和的方法以及数列在实际问题中的应用等方面。

一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。

一般用an表示数列中的第n个数，其中n为正整数，称为项号。

数列的通项公式表示了数列中任意一项与项号之间的关系。

二、数列求和的方法1.等差数列求和等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列求和公式来计算，即Sn =(a1 + an) * n / 2。

2.等比数列求和等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

等比数列的前n项和Sn可以通过等比数列求和公式来计算，即Sn =(a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，当|q| < 1时成立。

3.其他数列求和方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。

比如斐波那契数列、调和数列等，它们的求和方法需要根据具体的问题和数列的规律来确定。

三、数列在实际问题中的应用数列的应用广泛存在于实际问题的建模和解决过程中。

下面以几个具体的应用场景来说明数列在实际问题中的应用。

1.金融领域在金融领域中，利率、投资回报率等与时间相关的指标可以使用数列进行建模。

比如等额本息还款方式下，每期的还款金额就可以通过等差数列求和来计算。

2.物理学领域在物理学中，许多物理现象的变化过程可以用数列进行描述。

比如自由落体运动的位移、速度、加速度等物理量随时间的变化可以用等差数列或等比数列来表示和推导。

3.计算机科学领域在算法设计和数据处理中，数列也有着重要的应用。

比如在排序算法中，快速排序、归并排序等算法利用了数列的递推和分治思想来实现高效的排序。

四、总结数列作为一种常见的数学对象，具有广泛的应用价值。

数列的综合运用课件

则当n = k + 1时, ak+1=
1 1 (ak+k+3)= (k+1+k+3)=k+2 2 2
这就是说n=k+1时，等式也成立。时等式也成立。这就是说综合(1)(2)可知等式 n=n+1对一切 ∈N﹡均成立可知等式a 对一切n∈ 综合可知等式对一切
例 2：某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦：某县位于沙漠边缘，的斗争，年底全县的绿地仅占全县面积的30%，从的斗争，到2000年底全县的绿地仅占全县面积的年底全县的绿地仅占全县面积的， 2001年起，政府决定加大植树造林，开辟绿地的力度，则年起，年起政府决定加大植树造林，开辟绿地的力度，每年有16%的原沙漠地带变成了绿地但同时原有绿地的的原沙漠地带变成了绿地,但同时原有绿地的每年有的原沙漠地带变成了绿地 4%又被侵蚀，变成了沙漠。又被侵蚀，又被侵蚀变成了沙漠。 (Ⅰ)设全县面积为设全县面积为1，经过n (Ⅰ)设全县面积为，记2000年底绿地面积为 a1，经过年底绿地面积为年后绿地面积为 a n +1 ，试用 a n 表示 a n +1 。 (Ⅱ)问至少在哪一年底， (Ⅱ)问至少在哪一年底，该县的绿地面积超过全县面积问至少在哪一年底的60%？？（III）问能否使该县绿地面积超过全县面积的）问能否使该县绿地面积超过全县面积的75%？？
4 1 4 n −1 an = − × ( ) 5 2 5
4 4 a n = a n −1 + 5 25 4 44 44 4 a n −1 = ( aa − 2 2++ )× n n− 5 55 25 25 5 4 2 44 44 4 2 ( ) a n − 2 = ( aa − 3 3++ )× ( ) nn− 5 55 25 25 5

数列的综合应用课件包括实际应用.ppt

（1）求数列{an}和 {bn} 的通项公式，
（2）设
cn
an bn
,求数列 {cn }的前n项和 Tn.
.
例题
练习
3．已知等差数列an的前n项和为Sn
na1
n(n 1) 2
d，
用类比的方法，写出等比数列前n项积的表达式Tn __
二.等比、等差数列和的形式：
an成等差数列 an An B Sn An2 Bn
an(q 1)成等比数列 Sn A(qn 1)(A 0)
例1 等差数列{an}的首项a1>0, 前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k), 问n为何值时，Sn最大？
1 1
n
பைடு நூலகம்
128
1
1 2
n
128
2
例3：设数列{an} 满足
a1 3a2 32 a3 3n1an
1 3
n, n
N*,
（1）求数列{an }的通项公式，
（2）设
bn
n an
，求数列{bn }的前n项和
Sn.
评：（1）知 Sn 求 an . . （2）错位相减法求和.
变式：设数列 {an}的前n项和为 Sn 2n2， {bn}为等比数列，且 a1 b1，b2 (a2 a1) b1.
a5
a1q 4
q
2
，
a6
a1q5
q 1
因为 a4，a5 1，a6 成等差数列，所以 a4 a6 2(a5 1)
即
q 3
q 1
2(q2
1) ，q 1 (q 2
1)
2(q2
1) .所以q
1 2
.
故
an

数列数列求和数列的综合应用课件

涉和衍射现象。
量子力学
数列在量子力学中用于描述微观粒子的波函数和能量级。
数列在计算机科学中的应用
数据结构
数列是计算机科学中常见的数据结构之一，用于存储有序的
元素集合。
算法设计
数列在算法设计中用于实现排序、搜索和图算法等。
加密技术
数列在加密技术中用于生成加密密钥和实现加密算法。
积的数列。
02
数列的求和
数列求和的定义
数列求和是对数列中所有项进行加法运算的过程。
数列求和是数学中一个重要的概念，它是对数列中所有项进行加法运算的过程。通过数列求和，我们可以得到数列的和，从而了解数列的整体性质和特点。
等差数列的求和
等差数列是一种常见的数列，其求和方法有多种。
等差数列是一种常见的数列，其特点是每项与前一项的差是一个常数。等差数列的求和方法有多种，其中最常用的是利用等差数列的通项公式和项数进行计算。
等比数列的应用实例解析
总结词
等比数列在金融、经济、生物等领域中有着广泛的应用，如复利计算、人口增长等。
详细描述
等比数列是一种常见的数列，其相邻两项之间的比是一个常数。在金融和经济领域中，很多问题需要用到等比数列的知识，例如复利计算、股票价格等。通过等比数列的应用，我们可以更好地理解这些问题的本质，从而更好地进行决策。
本质，从而更好地进行预测和建模。
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等比数列的求和
等比数列是一种常见的数列，其求和方法有多种。
等比数列是一种常见的数列，其特点是每项与前一项的比值是一个常数。等比数列的求和方法有多种，其中最常用的是利用等比数列的通项公式和项数进行计算。
幂数列的求和

数列综合运用

专题数列的综合运用一、目标要求：1、理解等差数列和等比数列这两种数列的模型的作用，培养从实际问题中抽象出数列模型，并运用数列模型解决实际问题的能力；2、能熟练地应用数列的知识来解决数列知识模块间的综合性问题；3、能熟练的解决数列知识和其它知识的综合性问题，并提高分析问题和解决问题的能力；二、例题讲解：例题1、设1271a a a =≤≤⋅⋅⋅≤，其中1357,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，246,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是；例题2、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d 的等差数列；（1）求数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示）；（2）设c 为实数，对满足3m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +〉都成立，求证：c 的最大值为92；例题3、设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项的和，记2,,n n nS b n N n c*=∈+，其中c 为实数；（1）若0c =，且124,,b b b 成等比数列，证明：()2,nk k S n S k n N *=∈；（2）若{}n b 是等差数列，证明：0c =；例题4、已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足1n a n N *+=∈；（1）设11,n n n b b n N a *+=+∈，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1,nn nb b n N a *+=∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值；三、巩固练习：1、已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =，（1）若1243,a b a b ==，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++均为正整数且成等比数列，求3a 的最大值；2、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，（1）若数列{}n a 是等比数列，满足132323,2a a a a +=+是24,a a 的等差中项，求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在等差数列{}n a ，使对任意n N *∈，都有()221n n a S nn ⋅=+？若存在，请求出所以满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由；3、设()()2012kk kf n c c n c n c n k N =+++⋅⋅⋅+∈，其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数，数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，对任意的正整数(),n n k n a S f n +=；（1）若0k =，求证：数列{}n a 是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{}n a 能成等差数列；4、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()2nnS n N S *∈是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；（1）若数列{}2nb 是首项为2，公比为4的等比数列，试判断{}nb 数列是否为“和等比数列”；（2）若数列{}n c 是首项为1c ，公差为d ()0d ≠的等差数列，且数列{}n c 是“和等比数列”，试探究d 与1c 之间的数量关系；5、设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项，数列{}n b 满足()()2320,2n n n t b n b t R n N *-++=∈∈；（1）求数列{}n a 的通项公式；(2)试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c ，设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12n m T c +=的所有正整数m ；。

第四讲数列的综合应用

等差数列的通项公式、前n项和的最值
叠加法求数列的通项、错位相减求前 n项和
等比数列基本知识和等差数列应用
理
2012 文理
0+0+1
1+1+0 1+1+0
等比数列的通项公式、对数函数的性质、裂项相消求数列的前n项和
求数列前n项和等比数列的前n项和
等比数列的通项求数列前n项和(同文选择题)
2012考纲要求
例(2010湖北文)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有
部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房。（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取 1.15=1.6）
并且这三个数分别加上2、5、13后成为
等比数列中{b的n }b3、b4、b5.
(I) 求数列{bn }的通项公式；
(II) 数列 {bn 数列 {Sn
}5的}是前等n比项数和列为.Sn，求证： 4
考点二.等差、等比数列的实际应用 1.解等差、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理解蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列，使关系明朗化、标准化，然后用等差、等比数列的知识求解。
综合运用数列，特别是等差数列、
等比数列的有关知识，解答数列综合问题和实际问题，考查理解能力、数学建模能力和运算能力。数列是特殊的函数，是高考中的常考点，在各种题型中均有出现。

数列的综合应用

第十六节数列的综合应用［自我反馈］1. 已知正项等差数列{a n}满足：a n+1+ a n-1 = a2(n>2)，等比数列{b n}满足：b n+I b n-1 = 2b n(n>2),则log2(a2 + b2)=( )A . - 1 或2B . 0 或2C. 2 D . 1解析：选C 由题意可知，a n+1 + a n-1 = 2a n = a2,解得a n= 2(n》2)(由于数列{a n}每项都是正数),又b n+ 1b n-1 = b n= 2b n(n A 2),所以b n= 2(n A2), log2(a2+ b2)= log24= 2.詈，当a n为偶数时，卄2. 已知数列{a n}满足：a1= m(m为正整数)，a n+1= 2右a6= 1,3a n+ 1，当a n为奇数时.则m所有可能的取值为()A . {4,5}B . {4,32}C. {4,5,32} D . {5,32}歆当a n为偶数时，解析：选C a n+1= 2注意递推的条件是a n(而不是n)为偶数3a n +1,当a n为奇数时，或奇数.由a6= 1 一直往前面推导可得a1 = 4或5或32.3. 在等差数列{a n}中，a1= 2, a3= 6,若将a1, a4, a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为__________ .a3 _ a1解析：由题意知等差数列{a n}的公差d= —2 —= 2,则a4= 8, a5= 10，设所加的数为x, 依题意有(8 + x)2= (2 + x)(10 + x)，解得x=- 11.答案：—114. 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n€ N*)等于________ .解析：设每天植树的棵数组成的数列为{ a n},由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2,2 1-2n所以由题意可得 -------- A 100 ,即2n A 51,1 —2而25= 32,26= 64, n € N*，所以n A 6.答案：6=8.(1) 求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；⑵若数列｛C n｝满足6= ab n，求数列｛C n｝的前n项和T n.解：(1)•••数列｛a n｝的前n项和为S n,且S n= n2,•••当n》2 时，a n= S n —S nT = n2—(n—1)2= 2n—1.当n = 1时，a1 = S1 = 1亦满足上式，故a n= 2n—1(n € N ).又数列｛b n｝为等比数列，设公比为q,T b1= 1, b4 = b1q3= 8,「. q= 2.• b n = 2n *n € N ).(2) c n = ab n = 2b n—1 = 2n—1.T n= C1 + C2+ C3+ …+ C n= (2 1—1) + (22—1) + …+ (2n—1)2 1 —2n=(21+ 22+ …+ 2n)—n= --------- —n.1 —2所以T n = 2n+1—2 —n.考向一等差数列与等比数列的综合问题【典例1】(2016 •济南模拟)已知｛a n｝是等差数列，满足a1=3,a4=12,数列｛b n｝满足b1=4,b4=20, 且｛b n-a n｝是等比数列.(1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式.⑵求数列｛b n｝的前n项和.【规范解答】⑴设等差数列［%｝的公差为4由题意得a^^-a k = 12-3=3 S 3所以a^AELj+Oi ，…人设等比数列冋-唧的公比为轨由題意得严』-2°亠b, — 4 -3电解得疔巳所以* a n=(b l屯)严-Rb从而昭加珂1(n=l t2t…).(2)由(1)知昭:(n=1#2,…h数列｛3曲的前门琐和为］讥XI),数列｛2-*的前诬和为1X1Z£=2-_L 1-2所乩数列｛bj的前顾和为£ n(n+l)+i?-1.1【母题变式】1•若本例题条件“ ｛b n-a n｝是等比数列”变为“ ｛b n-a n｝是等差数列”，其他条件不变，求数列｛b n｝的通项公式•【解祈】设等茅数列叽-aJ的公茅为嗚由题竟得処二低-驹)-(20-12) - (4~3) =7.解得屯=上■所以3 3从而b =3u +—= i^ (nF, 2,・・)n 3 32•若本例题条件“ b i=4,b4=20,且｛b n-a n｝是等比数列”变为“ a n+2a n-i= b 1 ”，求数列｛b n｝的通项公式•【解析】由典例解析知％二如所以％+2备尸3n+2 •3 (n-D^n-6,即章丙二因此V81n a-108n +35.【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序•⑵注意细节•在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的•提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合•【变式训练】(2016 •天津模拟)已知等差数列｛a n｝的公差和首项都不等于0,且a2，a4，a8成等比数列，则a1 a5 a9a2 a3=( )A.2B.3C.5D.6【解析】选乩因为如抵务成等比数列，所以垃二％细即佃十3d)整(円十町仙+7d)，所以沽=也所以a宀氣’J =a:+ a：+12d _ 亠2a；+3d【加固训练】1•等比数列｛a n｝的公比为q,前n项和为3,若3+1,S n,S n+2成等差数列，则公比q为() A.-2 B.1C.-2 或1D.2 或-1【解析】选A-当0=1时.S 血+i=(rrl _l)a 1, S^na^,兀~a= (n+2) 不满足电 S^+s成等差数列，故qHl,圧汙鬲+珏今1—q2. （2016 •泰安模拟）已知数列｛a n ｝是公差大于零的等差数列擞列｛b n ｝为等比数列，且a 1=1,b 1=2,b 2-a 2=1, a 3+b 3=13.（1）求数列｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式.Cn【解析】（1）设数列KJ 的公差为d （d>0）,数列｛%｝的公比为4由已知得J 旳-（1+诅）=匕l + 2d+2q*-13,d = 2tq-厶因为 d>0，所以 d=2,q=2,a n =1+2(n-1)=2n-1,b n =2X 2“-i =2“即 a n =2n-1(n € N *),b n =2n (n € N *).⑵因为迅阳尸（加-1）（E1）,所以T =丄+丄-丄+十 ____________ ! ____1x3 3x5 5x7(2n-L )[2n+l)5 X 1八 X 】八1、=2(1-3)+ 2(3-5)+2(5-7)++丄(丄-丄)亠-11 2 2n-l 2ii + K 2-*考向二数列中的图表问题【典例2】(1)(2016 •德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3i —q⑵设C n =a n a n+1,求数列[ 的前n 项和T n .解得2n + 1 2n + I4 5 67 8 9 10按照以上排列的规律，第n行(n > 3)从左向右的第3个数为___________ .(2)(2016 •太原模拟)下表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等，已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.求数列｛a n,2｝的通项公式.【解题导引】⑴求出第n行(n> 3)从左向右的第3个数为原数列的第几项再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.【规笊解?F】(1)由衷知前"1行共有1+2+3+—项,£故第从左向右第3个数为原数列的第十"“一11"饥2 22答案：上竺*⑵设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a2,3=qa1,3=q(1+2d)? q(1+2d)=6, a3,2=q2a1,2=q2(1+d)? q2(1+d)=8, 解得d=1,q=2.a 1,2=2? a n,2=2X 2n-1=2n.【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键(1)分组型：数列的通项公式已知，将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置•(2) 混排型：图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列•解决这类问题的关键是找出各个数列，将所求问题所在行或列的基本量求出•(3) 递推公式型：图表或数阵是按某种递推关系得到的，解决这类问题的关键是求出递推公式，再由递推公式求出通项公式•【变式训练】(2016 •青岛模拟)下面给出了一个三角形数阵，已知每一列的数成等差数列，从第3行起海一行的数成等比数列海一行的公比都相等•记第i行第j列数为a j(i,j € N*),则a43= .42，43 3 ?4，8, 16【解析】由题萱第一列公差d二2-丄=丄，2 4 4所以a41 = 4-(4—l)xi =L由第溜亍得公岀q=［所以知=技(｝=± 答案也4【加固训练】11. (2016 •北京模拟)已知a n=( — )n，把数列｛a n｝的各项3排列成如下的三角形形状.a1a2 a3 a4a5 a6 a7 a s a9记A(m,n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)=( )1 93 1 92A.(-)B.(-)3 3C.(l)94D.(l)1123 391【解析】选A.由题意知，前怖共有1+3+51—+17=（MM =81个数個此，第1術的第1个数是％第12个2 '数是知，又圉为备二（1比所以A （1Q ⑵二务二（2）枫3 32. （2016 •合肥模拟）正整数按下列方法分组：{1},{2,3, 4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第 n组中各数之和为 A n ；由自然数的立方构成下列数组 :{03, 13},{13,23},{23,33},{33,43},…记第 n 组中后一个数与前一个数的差为 B n ,则A n + B n = _____ .【解析】由题意知，前n 组共有1+3+5+…+（2n-1）=n 2个数，所以第n-1组的最后一个数为（n-1）2, 第n 组的第一个数为（n-1）2+1,第n 组共有2n-1个数，所以根据等差数列的前 n 项和公式可得A =［（»-1『十叮十［（口—】）厂如—门］）-［（H _l ）2tn ］（2rrl ）,而E^=n 3- （rr 1）:所以免％=2代答案:缶彳3. （2016 •保定模拟）将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7a 8a 9a 10记表中的第一列数 a 1,a 2,a 4,a 7,・・构成的数列为{b n }, b 1=a 1=1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足b n SnS n=1（n 》2）. （1）证明数列 1成等差数列，并求数列{b n }的通项公S n式.（2）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当a 81=4 2b n时,求上表中第k（k> 3）行所有项的和91所以心3 ”即2(—) (%-S 说風-S ；沉所以 ±__L=2,\ Sp 2又 S 1=b 1=a 1=l J所以数列丄r 是首项为丄■公菱为丄的等盏数列, isj 2 由上可知丄“+令-1卜口，即霁丄，S Q »2n + 1所以当n$：2时* 0-显-為产二_ _ 2 = _ :—n + 1 n n(n-l)l 7n =1,因此用 2—— *口 > 2・⑵设衣中从第二行赳每行的公比都为d 且因为丄+9+7侏皿13 = 丁耳2所以表中第1行至第12行共含有数列faj 的前7倾, 战听在表中第1術第三列■因此•宀土 +91又b 丄孑-2,所以qf=213x14记表中第k(k^3)行所有项的和为£ 则$ bJlY) 空(1-巧Hq k(k + lf 1-2考向三数列的实际应用问题【典例3】(2016 •日照模拟)某大学张教授年初向银行贷款 2万元用于购车息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息 )•若这笔款要分年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？【规范解答】设每年还款 x 元,需10年还清，那么各年还款利息情况如下：第1年付款x元，这次还款后欠款全部还清；【解析】⑴宙已知，当n^2时，S Q 电也+…％,银行贷款的年利 10年等额还清，每第9年付款x元,过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1+10%)元;第8年付款x元,过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1 + 10%)2元；第1年付款x元,过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1 + 10%)9元.10年后应还款总数为20000(1 + 10%)10.依题意得：x+x (1+10%)(1410%)归20000(14-1W 叫解得旷20 000山23255(5E).1.1-1答：每年应还3255元.【一题多解】第1次还款x元之后欠银行20000(1 + 10%)-x=20000 X 1.1-x,第2次还款x元后欠银行[20000(1+10%)-x](1 + 10%)-x=20000 X 1.12-1.1x-x,第10次还款芷元后•还欠银行20000X1. l w-l. l H x 丄-丄吆----依题意得，第10次还款后，欠款全部还清,故可得20000XL VO-(1_ P+L l^^^+Dx 0,解20 000：'11-°>0 1 ^3256(70).答：每年应还3255无.【规律方法】解答数列实际应用问题的步骤(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型•基本特征见下表：（2）准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程（组）或者不等式（组）等,在解模时要注意运算准确•⑶给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点•易错提醒：解决数列应用问题要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，是求a n还是3,特别是要弄清项数•【变式训练】某市2015年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米•那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2015年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?（参考数据：1.084~ 1.36,1.085疋1.47,1.086~ 1.59）【解析】⑴设中低价房的面积构成数列fej,由題意可知｛%｝是筹差数列'其中^=250, d=50,则St=250n+ X 50-25ri a+225n.令25n24-225n>4750,即r）2+9n-190S:0J而nJ^lE整数，解得nM 10.答:到2024年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米•⑵设新建住房的面积构成数列｛b n｝,由题意可知，｛b n｝是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则b n=400X 1.08n-1.由题意可知a n>0.85b n,有250+（n-1）X 50>400 X 1.08n-1X 0.85.当n=5 时,a5<0.85b5,当n=6 时,a6>0.85b6,即满足上述不等式的最小正整数n为6.答:到2020年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.【加固训练】1.（2016 •成都模拟）《张丘建算经》卷上第22题为:今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共每天比前一天多织尺布.()织390尺布，则A 1小1616A.—B C. D.2152931【解析】选匚由题可知，每天织布的尺数组成等至数列{%},首项是5设公差为也因为前30项和为390,根据等差数列的前口项和公式，有390-30X5+沖解得d-316 亠2•某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行减排治污•现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨•(1) 按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2) 该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度.在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SQ的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围.(参考数据：82 0.950 6,，彳0.955 9)【解析】设’十二五”期间■该城市共排放池约y万吨.依题意,2011年至20丄拜伦的年徉:放量构成等產数列{aj\且％书.3,公差3,所以y=bX9. 3+ 刘 f J) X ( 0, 3)=43. 55吨)一答:按原计划，“十二五”期间该城市共排放SQ约为43.5万吨.(2)由己知得,2012^的呂Q年排放量为9.3-0. $9(万吨h所以252年至2020年SQ的年排放量构成尊比数列fej艮公出o=l-p.由舉童得9X(1—对处<6,由+0<p<l t所以lp/巨*所以l-p〈0 9506,解得p〉4. 94抵\3答:SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为件94%,1).考向四数列与函数、不等式的综合问题【考情快递】希題方面襦題视角数列与函数的综合问题主要考查由函数解析式确定数列或利用函数的性质来确定数列的单调性、最值等问題数列与不等式的综合问题主要考查比较数列中项的大小、与数列有关的不等式的证明、恒咸立问题【考题例析】命题方向1：数列与函数的综合问题【典例4】(2014 •陕西高考)设f n(x)=x+x2+・・+x n-1,n € N,n >2.⑴求F卫⑵.⑵证明毘(!)在(吟内有且仅有一个零虑(记为,2 3 3【规范解酋】⑴由题设F 円叫…如口所以严n(2}=l+2X2-h'-+n - ©所以2F "⑵二牛・・4n •甕②①喲得萱⑵=1十2谱十…十旷・穿_丄二上-n •呼(卜n)严1*1-2斯以F n(2) = (n-l)2H-L⑵因为f tt(0>—1<0,3所以钉专在（o,f ）内至少存在一个零点, 文n 6c ）-1 +2x +••• +[^^2>0（x （0,3所以4G ）在（0,2）内是增加的，3冈此儿⑴在©扌）内有II 仅科--个爭点备由于f n （x ｝=也芒」_],1-X所以 0=几（％）二1-鸣由此可得at _2+l ar u,故丄乜丄. 2 2^ 2 2 n 3所以ga 1丄_丄屮】丈丄賓3「」_丄疋）= a 2 2 a 2 3 3 3 命题方向2:数列与不等式的综合问题【典例5】（2014 •全国卷n ）已知数列｛a n ｝满足a i =1,a n+i =3a n +1.⑴证明 1 是等比数列，并求｛a n ｝的通项公式｛a n 2【规范解答】⑴因为吁尸3%+l,nENt 所以％+严齐也小扌+ $所以爲+$是首项为町+ 4二公比为3的等出数列. 所以—匚殳所以看已f■■ ■,12 1 . I - (2)-=-^.- =1,当时，丄=— ' a y -1 a. a 31 -1 萨“■1 I C- 所以— a ?盘；所规丄+丄亠丄_…+丄二neNr m 口口旦 '?【技法感悟】(2)证明：1 1a 〔 a ? a n1 1。

数列的综合应用-精品文档

求和公式
n a q a ( 1 q ) a 1 n 1 q 1 n ( a a ) n ( n 1 ) d S 1 n 1 q 1 q n S na n 1 2 2 na q 1 1
关系式
an、S n
Sn Sn1 n2 a n n1 1 S
适用所有数列
{ n}是公差为d的等差数列
a
{bn}是公比为q的等比数列
若
aq , ap ( p q ) a 0 p q p q
等比数列的增减性
s m , sn ( m n ) s ( m n ) n m m n
s sm ( n ) s 0 n m m n
倒序相加法
4. 已知函 f( 数 x)满足 f (x) f (1 x) 1 1 2 又 n 为大2 于的正整 .则数 f ( ) f ( ) 2 n n n1 f( ) _______ . n
裂项相消求和法
1 1 1 1 ① ( ) n(n k ) k n n k 1 1 1 1 ② ( ) a k a k 1 d a k a k 1 ( 其中 a n是等差数列 ) ③ 1 n 1 ( n k n) nk k
( 1 ){ a n}是等比数列 a n1 q(q是常数 q 且 0 ) a n ( 2 ){ a }是等比数列 n
（4）前
n
项和公式法：
a a a 0 ， n 2 ) n 1a n 1( n ( 3 ){ a } 是等比数列 n
2 n
a cq( c 、 q 为非 0 的常数 ) n
项数为偶数 2
k
的等差数列，有：

数列综合应用

第四节数列求和与数列的综合应用自|主|排|查1．公式法与分组求和法 (1)公式法:直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和。

①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d 。

②等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1。

(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减。

2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的。

(2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解。

例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050。

3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

(2)常见的裂项技巧: ①1nn ＋＝1n －1n ＋1。

②1n n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2。

③1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1。

④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n 。

4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的。

微点提醒 1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点。

2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。

专题三第二讲数列的综合应用-精品文档

知考情第2讲数列的综合应用
研考题
析考向
战考场
高频考点
考情解读数列求和，多以解答题的形式出现，作为其
考查方式解答题为主
数列求和
中一问，内容可涉及通项公式、函数、方
程、不等式等知识.
数列与函数、不等式
数列与函数不等式的综合多以解答题形式出
现，内容涉及指数函数，对数函数，函数的
3．(2019· 中山模拟)已知{an}为正项等比数列，a1＝1，a5＝
256，Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1＝2,5S5＝2S8. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)设Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.
解：(1)设{an}的公比为q，由a5＝a1q4得q＝4，所以an＝4n－1. 设{bn}的公差为d，由5S5＝2S8，得5(5b1＋10d)＝2(8b1＋28d)， 3 3 d＝ b1＝ ×2＝3， 2 2 所以bn＝b1＋(n－1)d＝3n－1.
3n－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(21＋3×1－1)＋(22＋3×2－1)＋…＋(2n＋3n－1) ＝(21＋22＋…＋2n)＋(3×1＋3×2＋…＋3n)－(1＋1＋…＋1) 21－2n ＝＋3(1＋2＋…＋n)－n 1－2 nn＋1 ＝2(2n－1)＋3· －n 2 3 1 ＝2n＋1＋ n2＋ n－2. 2 2 3 1 答案：2n＋1＋ n2＋ n－2 2 2
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；
当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，故an＝2· 3n－1.
(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan ＝2· 3n－1＋(－1)nln(2· 3 n －1 ) ＝2· 3n 1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，

数列的综合应用

数列的综合应用高考要求(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题知识点归纳1.通项与前n 项和的关系：⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 2.迭加累加法：1(),(2)n n a a f n n --=≥若，)2(12f a a =-则， )3(23f a a =-，………， )(1n f a a n n =--1(2)(3)()n a a f f f n ⇒-=++⋯3.迭乘累乘法：)(1n g a a n n =-若，)2(12g a a =则，)3(23g a a =，………，)(1n g a a n n =-1(2)()n a g g n a ⇒=⋯ 4.裂项相消法：)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=5.错位相减法： n n n c b a ⋅=, {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列nn n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211 1121+-++⋯⋯+=n n n n n c b c b c b qS 则所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q 6.通项分解法：n n n c b a ±= 7.等差与等比的互变关系：{}{}na n ab ⇔≠成等差数列(b>0,b 1)成等比数列{}{}n n a ca d ⇔+≠成等差数列(c 0)成等差数列{}{}0log n a n b n a a >⇔成等比数列成等差数列 {}{}k n n a a ⇒成等比数列成等比数列8.等比、等差数列和的形式：{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列{}(1)(0)n n n a S A q A ≠⇔=-≠(q 1)成等比数列9.无穷递缩等比数列的所有项和：{}1lim 1n n n a a S S q →∞⇔==-(|q|<1)成等比数列题型讲解例1 等差数列{an}的首项a1>0,前n 项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k),问n 为何值时，Sn 最大？解：根据{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2成等差数列，首项a1>0,若m+k 为偶数,则当n=(m+k)/2时，Sn 最大；若m+k 为奇数，当n=(m+k ─1)/2或n=(m+k+1)/2时，Sn 最大例2 已知关于n 的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>32)1(log 121+-a a 对于一切大于1的自然数n 都成立，求a 的取值范围解：把 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)看成一个函数f(n),将问题转化为函数f(n)的最小值大于右式 ∵f(n)＝1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)∴f(n+1)－ f(n)＝〔1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n+2) 〕－〔1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)〕＝1/(2n+2) +1/(2n+1) －1/(n+1)＝1/(2n+1) －1/(2n+2) >0∴f(n+1)> f(n)∴函数f(n)是增函数，故其最小值为f(2)=7/12,∴ 7/12>32)1(log 121+-a a , 解得：1<a<(5+1)/2例3 已知数列{an},{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p,q,其中p>q 且q≠1, p≠1, 设Cn=an+bn,Sn 为数列{Cn}的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S解：)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(1111111--+----+--=---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S ,以下分两种情况讨论：(1)当p>1时,∵ p>q>0,∴ 0<q/p<1⇒n n p q )(lim ∞→=0,nn p )1(lim ∞→=0,两边同除以pn,得：1lim-∞→n nn S S =p; (2)当p<1时,∵ p>q>o,∴ 0<q<p<1⇒n n p ∞→lim =0,n n q ∞→lim =0, ∴1lim-∞→n n n S S =1 例4 如图所示：已知抛物线y=x2,点An 的坐标为(1,0),将OAn 分为n 等分，分点为A1,A2,…An ─1, 过A1,A2,…An ─1,An 分别作y 轴的平行线，分别交抛物线于B1,B2,B3, …Bn ─1,Bn,再分别以OA1, A1A2,A2A3, …An ─1An 为宽作n 个小矩形求n 个小矩形的面积之和；求n n S ∞→lim (即曲边梯形OAnBn 的面积) 解：Sn=2222)(1)3(1)2(111n n n n n n n nn •++•+•+•Λ =(n+1)(2n+1)/(6n2);n n S ∞→lim =1/3本题用极限的思想求曲边梯形的面积，正是高等数学中的思想例5 等差数列{an}中，已知公差d≠0,an≠0,设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0 (r ∈N)是关于x 的一组方程①证明这些方程中有公共根，并求这个公共根；②设方程arx2+2ar+1x+ar+2=0的另一根记为mr,证明：数列{1/(mr+1)}是等差数列解：①依题意，由{an}是等差数列，有ar+ar+2=2ar+1 (r ∈N),即x=─1时，方程成立，因此方程恒有实数根x=─1;②设公差为d(化归思想),先解出方程的另一根mr=─a r+2/ar,∴ 1/(mr+1)=ar/(ar ─a r+2)=─a r/(2d),∴ 1/(mr+1+1)─1/(m r+1)= 〔─a r+1/(2d)〕─〔─a r/(2d)〕=─1/2,∴ {1/(mr+1)}是等差数列例6 数列{an}的前n 项和Sn=na+(n ─1)nb,(n=1,2,…),a,b 是常数，且b≠0,①求证{an}是等差数列；②求证以(an,Sn/n ─1)为坐标的点Pn 都落在同一直线上，并求出直线方程；③设a=1,b=1/2,C 是以(r,r)为圆心，r 为半径的圆(r>0),求使得点P1,P2,P3都落在圆外的r 的取值范围证明：①根据⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 得an=a+(n ─1)⨯ 2b,∴{an}是等差数列，首项为a,公比为2b②由x=an=a+(n ─1)⨯2b, y=Sn/n ─1=a+(n ─1)b两式中消去n,得：x ─2y+a ─2=0,（另外算斜率也是一种办法）(3)P1(1,0),P2(2,1/2),P3(3,1),它们都落在圆外的条件是：(r ─1)2+r2>r2; (r ─2)2+(r ─1/2)2>r2; (r ─3)2+(r ─1)2>r2∴ r 的取值范围是(1,5/2─2)∪(0,1)∪(4+6,+∞)例7 已知数列{an}满足条件a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为q (q>0)的等比数列，设bn=a2n ─1+a2n (n=1,2,3,…)①求出使不等式anan+1+an+1an+2>an+2an+3 (n ∈N) 成立的q 的取值范围；②求bn 和n n S 1lim∞→,其中Sn 为数列bn 的前n 项的和； ③设r=2192─1,q=05,求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值解：①rq n ─1+rqn>rqn+1, q>0 ⇒0<q<(1+5)/2; ②q a a a a a a n n n n n n ==++++2121⇒n n n n n n n n n n a a q a q a a a a a b b 21221221222121++=++=---+++=q≠0∴ {b n}是首项为1+r,公比为q 的等比数列，从而bn=(1+r)qn ─1,当q=1时，Sn=n(1+r), n n S 1lim∞→=0;当0<q<1时，n n S 1lim∞→=(1─q)/(1+r);当q>1时，n n S 1lim∞→=0; ③n n b b 212log log +=f(n)=n n--2.202.19=1+1/(n ─202),当n ≥21时，f(n)递减，∴ f(n)≤f(21)⇒1<f(n)≤225;当n ≤20时，f(n)递减，∴ f(n)≥f(20)⇒1>f(n)≥─4;∴ 当n=21时，n n b b 212log log +有最大值225;当n=20时，n n b b 212log log +有最小值─4 例8 一个水池有若干出水相同的水龙头，如果所有的水龙头同时放水，那么24分钟可注满水池，如果开始时全部开放以后隔相等时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且关闭最后一个水龙头放水的时间恰好是关闭前一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？解：设每个水龙头放水时间依次为x1,x2,…xn,由已知x2─x 1=x3─x 2=x4─x 3=…=xn ─x n ─1,∴ {x n}为等差数列，又每个水龙头每分钟放水时间是1/(24n),∴ 1)(24121=+++n x x x n Λ⇒x1+x2+…+xn=24n;即n(x1+xn)/2=24n ⇒x1+xn=48, 又xn=5x1 ,∴ x n=40即最后一个水龙头放水时间是40分钟例9 某林场原有森林木材量为a ，木材以每年25%的增长速度增长，而每年要砍伐的木材量为r,为使经过20年木材存量翻两番，求每年的最大砍伐量x （取lg2=0.3)解：用归纳法求解，第一年存量：1.25a ─x;第二年存量：1.25(1.25a ─x)─x=a ⨯1.252─x(1+1.25);第三年存量：1.25⨯[a ⨯1.252─x(1+1.25)]─x=a ⨯1.253─x(1+1.25+1.252);……第20年末存量：a ⨯1.2520─x(1+1.25+1.252+…+1.2519)=a ⨯1.2520─4x(1─1.2520)依题意：a ⨯1.2520─4x(1─1.2520)=4a,又设y=1.2520⇒lgy=20lg1.25=20(1─3lg2)=2∴ y=100,即1.2520=100⇒x=8a/33答：每年的最大砍伐量为8a/33例10 某地区现有耕地面积10000公顷，规划10年后粮食单产比现在提高22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？(精确到1公顷)解法一：以粮食单产比现在提高22%为目标建立数学模型，设现有的人口为A 人，人均粮食占有量为b 吨，平均每年减少耕地x 公顷，由题意可知：x b A 1010)1.01()01.01(410-++≤)22.01(104+Ab 解得：22.110)1.01()01.01(10)22.01(101044⨯++-+≤x ,再用二项式定理进行计算可得：x ≤4解法二：以10年后人均粮食占有量比现在提高10%为目标建立数学模型，粮食单产为a 吨/公顷，可得：104)01.01()1010)(22.01(+-+A x a ≥%)101(104+⨯A a ⇒x ≤4 (公顷)例10 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为1a ，以后每年末的汽车保有量依次为....,32a a ，每年新增汽车x 万辆由题意得)06.0(94.006.094.011x a x a x a a n n n n -=-+=++即万辆过即每年新增汽车不应超应有满足故要对一切自然数上式趋于时且当的减函数上式右端是关于解得令6.3,6.3,606.3,,06.0)94.013030(,6006.094.0)06.030(11≤≤∞→⨯-+≤≤+-=--x a n n n x a x x a n n n n n 学生练习1.在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=30,a5+a6+a7+a8+a9+a10=80,则a11+a12+a13+a14+a15= 答案：1302.数列{an}中，a15=10,a45=90,若{an}为等差数列，则a60= ;若{an}为等比数列，则a60= ;答案：130，±270（两种解法）3.a1,a2,…,a2n+1成等差数列，且下标为奇数的项的和为60，下标为偶数的项的和为45，则该数列的项数是答案：7（直接列方程）4.{an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5为；答案：55.设等差数列{an}的前n 项之和为30，前2n 项之和为100，则它的前3n 项之和为答案：2106.{an}是等差数列，且a1─a 4─a 8─a 12+a15=2,求a3+a1 3的值；答案：─47.一个等差数列共n 项，其和为200，其中前10项之和为25，后10项之和为75，则n= 答案：408.等比数列{an}中，已知a1a2a3=1,a4a5a6=2,则a7a8a9a10a11a12=答案：32;9.等比数列{an}中，Sn=2n ─1,则a12+a22+…+an2等于答案：(4n ─1)/310.数列{an}和{bn}均为等差数列，它们的前n 项之和分别为Sn ,n S ',若Sn /n S '=(7n+2)/(n+4),则a5/b5=答案：5;11.等差数列{an}的公差为1/2,且前100项之和为S100=145,求a1+a3+a5+…+a99的值答案：S100=a1+a3+a5+…+a99+a2+a4+a6+…+a100=2(a1+a3+a5+…+a99)+50d=145⇒ a1+a3+a5+…+a99=6012.项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求该数列的中间项.答案：S 奇+S 偶=Sn; S 奇─S 偶=a 中； Sn=na 中 ⇒a 中=1113.等差数列{an}中，前m 项之和(m 为奇数)为77，其中偶数项之和为33，a1─a m=18,求此数列的通项公式. 答案：,44)(411=++m a a m （奇数项之和） 33)(4112=+--m a a m ，两式相除得到：(m+1)/(m ─1)=4/3 ⇒m=7，再联立方程组解得：a1=20,am=2⇒d=─3⇒an=─3n+23.14.在等差数列{an}中，如果Sm/Sn=m2/n2(m,n 为已知数),求am/an 的值.答案： (2m ─1)/(2n ─1)15.等差数列{an}中，公差d≠0,其中ΛΛn k k k a a a ,,,21构成等比数列，若k1=1,k2=5,k3=17,求k1+k2+k3+…+kn答案：由题意知a52=a1a17,列方程得到a1=2d,公比q=a5/a1=(a1+4d)/a1=3,∴ n k a =a1⨯ 3n ─1, (1)；又n k a =a1+（kn ─1）d=121a k n + (2);由(1)及(2)得kn=2⨯3n ─1─1,∴ k 1+k2+…+kn=2(1+3+32+…+3n ─1)─n=3n ─n ─1.16在1/n 和n+1之间插入n 个正数，使得这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数之积. 答案：2)1(nn n +17.等差数列{an}中，a3=12,S13<0,S12>0,(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个最大？并说明理由.答案：(1)由S12=12a1+12⨯11d/2>0, S13=13a1+13⨯12d/2<0 , a3=a1+2d=12得到：24+7d>0, 3+d<0 ⇒─24/7<d<─3;(2)两种解法：方法一：Sn 是n 的二次函数，由此函数配方结合d 的范围求出最大值.方法二：S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0 ⇒a6+a7>0,a7<0⇒a6>0,a7<0,故当n ≤6时，Sn 递增，n ≥6时，Sn 递减，∴ S 6最大.18. (1)数列{an}是首项为1000，公比为1/10的等比数列，数列{bn}满足bk=)lg lg (lg 121k a a a k +++Λ(k ∈N),求数列{bn}的前多少项的和最大？(2)数列{an}中，S7=S12 , 则数列的前项之和最大.答案：（1）bk=3─(k ─1)/2, b k 为等差数列；bn ≥0, bn+1≤0,⇒6≤n ≤7.所以第6项和第7项最大；（2）8或9数形结合19.已知n ∈N,函数y=(x2─x+n)/(x 2+1)的最小值与最大值的和为an,又b1+2b2+…nbn=(n+10)9100)109(1--n ①求an 和bn 的表达式；②令Cn=─a nbn,试问数列{Cn}有没有最大项？如果有，求出最大项，如果没有，说明理由答案：①先用判别式法求出an=n+1,又b1+2b2+…nbn= (n+10)9100)109(1--n (1) b1+2b2+…(n ─1)b n ─1=(n+9)9100)109(2--n (2)相减得：bn=1)109(91--n ,② 从而Cn=1)109(91-+n n ,考虑数列的单调性，由Cn ≥Cn ─1, Cn ≥Cn+1 ⇒8≤n ≤9故最大项为C8=C9=7)109(18.已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，求证：11111321<+++n a a a a Λ答案：a2=8, 设公比为q,则(8/q ─1)+(8q ─9)=2(8─3)⇒q=2或q=1/2(舍去) Sn=14323212232221321+++++=++++n n n a n a a a ΛΛ, 用错位相减法得Sn=1─1221+-n n n <1 19已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,bn=1/Sn,且a3b3=1/2,S3+S5=21①求数列{bn}的通项公式;②求证：b1+b2+…+bn<2答案：①b n=)1(2+n n ; ②b n=2(111+-n n )裂项相消，结果为2─2/(n+1)<220已知函数f(x)=(x ─1)2,数列{an}是公差为d 的等差数列，数列{bn}是公比为q 的等比数列(q ∈R,q≠1),若a1=f(d ─1),a 3=f(d+1),b1=f(q ─1),b 3=f(q+1)①求数列{an},{bn}的通项公式；②设数列{cn}对任意自然数n 均有1332211+=++++n n n a b c b c b c b c Λ成立，求c1+c3+c5+…+c2n ─1的值 ③试比较(3bn ─1)/(3b n+1)与an+1/an+2的大小，并证明你的结论答案：①a n=2(n ─1); b n=3n ─1;②c n/bn =an+1─a n=2⇒cn=2bn=2⨯3n ─1⇒ c1+c3+c5+…+c2n ─1=(9n ─1)/4;③(3b n ─1)/(3b n+1)=(3n ─1)/(3n+1), an+1/an+2=n/(n+1)猜想n ∈N 时，有(3n ─1)/(3n+1)≥ n/(n+1), 用数学归纳法证明（略）21.一计算机装置有一个数据入口A 和一个运算结果的出口B ，将自然数列{n}中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{an},结果表明：①从A 口输入n=1时，从B 口得到a1=1/3;②当n ≥2时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果an 是将前一个结果an ─1先乘以自然数列{n}中的第n ─1个奇数，再除以自然数列{n}中的第n+1个奇数,试问：(1)从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数？(2)从A 口输入2000时，从B 口得到什么数？答案：(1)a1=311⨯,a2=531⨯,a3=751⨯;(2)猜想am=)12)(12(1+-m m ,用数学归纳法证明（略）， ∴ a 2000=1/15999999课前后备注。

数列的综合应用

高中数学：数列的综合应用1．(2017·全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：N ＞100且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( A )A ．440B ．330C ．220D ．110解析：解法一(排除法)：记S N 为数列的前N 项和，由题意得，数列的前110项为20,20,21,20,21，…，20,21，…，213,20,21,22,23,24，所以S 110＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋213)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(214－1)＋(25－1)＝(21＋22＋…＋214)－14＋31＝215＋15，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项D 不正确．同理，S 220＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋219)＋(20＋21＋22＋23＋…＋29)＝221＋210－23，这是一个奇数，不可能是2的整数幂，故选项C 不正确．同理，S 330＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋224)＋(20＋21＋22＋23＋24)＝226＋4，不是2的整数幂，故选项B 不正确，所以正确的选项为A ．解法二：不妨设1＋(1＋2)＋…＋(1＋2＋…＋2n －1)＋(1＋2＋…＋2t )＝2m (其中m 、n 、t ∈N,0≤t ≤n )，则有N ＝n (n ＋1)2＋t ＋1，因为N ＞100，所以n ≥13.由等比数列的前n 项和公式可得2n ＋1－n －2＋2t ＋1－1＝2m . 因为n ≥13，所以2n ＞n ＋2，所以2n ＋1＞2n ＋n ＋2，即2n ＋1－n －2＞2n ，因为2t ＋1－1＞0，所以2m ＞2n ＋1－n －2＞2n ，故m ≥n ＋1，因为2t ＋1－1≤2n ＋1－1，所以2m ≤2n ＋2－n －3，故m ≤n ＋1.所以m ＝n ＋1，从而有n ＝2t ＋1－3，因为n ≥13，所以t ≥3.当t ＝3时，N ＝95，不合题意；当t ＝4时，N ＝440，满足题意，故所求N 的最小值为440.2．(2017·山东卷)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .解：(1)设数列{x n }的公比为q ，由已知知q ＞0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2. 所以3q 2－5q －2＝0.因为q ＞0，所以q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1.由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，① 2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1.②①－②得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.。