高二数学最新学案第1章第10课时第1章解三角形单元测试(配套作业) 新人教A版必修5

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【高二数学试题精选】高二数学下册第一章解三角形单元综合测试题及答案

高二数学下册第一章解三角形单元综合测试题及答案
5 c （数学5必修）第一解三角形
[提高训练c组]
一、选择题
1 为△ABc的内角，则的取值范围是（）
A B c D
2 在△ABc中，若则三边的比等于（）
A B c D
3 在△ABc中，若，则其面积等于（）
A B c D
4 在△ABc中，，，则下列各式中正确的是（）
A B c D
5 在△ABc中，若，则（）
A B c D
6 在△ABc中，若，则△ABc的形状是（）
A 直角三角形
B 等腰或直角三角形 c 不能确定 D 等腰三角形
二、填空题
1 在△ABc中，若则一定大于，对吗？填_________（对或错）
2 在△ABc中，若则△ABc的形状是______________
3 在△ABc中，∠c是钝角，设
则的大小关系是___________________________
4 在△ABc中，若，则 ______
5 在△ABc中，若则B的取值范围是_______________
6 在△ABc中，若，则的值是_________
三、解答题
1 在△ABc中，若，请判断三角形的形状
2 如果△ABc内接于半径为的圆，且求△ABc的面积的最大值
3 已知△ABc的三边且，求。

人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1

5
（1）求 BC 边长；（2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6

人教版必修5高二年数学第一章解三角形检测卷(含答案)

第一章解三角形检测卷班级__________座号________学生__________一、选择题1、某次测量中，A 处测得同一方向的B 点仰角为60o ，C 点俯角为70o ，则∠BAC 等于 ( )A. 10oB. 50oC. 120oD. 130o 2、 ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8D ．无解3、在高150米山顶上，测得山下一铁塔塔顶与塔底的俯角分别为30,60,o o 则铁塔高（）A . 100米B . 150米C . 200米D .300米4、三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2 B.152cm 2 C ．8 cm 2D ．10 cm 25、△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( ) A ．4 3B ．5C ．5 2D ．6 26、在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积是( ) A.1963B.196π3C.493D.49π37、某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，那么x 的值为( )A. 3 B ．2 3 C ．23或 3 D ．3 8、如图所示，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和αB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α9、△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝( ) A.53B.54 C.55D.5610、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a＝( ) A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 211、△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )A.π6B.π3C.π2D.2π312、如图，某炮兵阵地位于A 点，两观察所分别位于C ，D 两点．已知△ACD 为正三角形，且DC ＝ 3 km ，当目标出现在B 点时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD ＝75°，则炮兵阵地与目标的距离是( )A ．1.1 kmB ．2.2 kmC ．2.9 kmD ．3.5 km二、填空题13、ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 14、△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为________． 15、在△ABC 中，S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，b ＝1，a ＝ 2.则c ＝________.16、如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为____________．三、解答题17、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc .求：（1）角A 的大小；（2）b sin Bc的值．18、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，并且a 2＝b (b ＋c )．（1）求证：A ＝2B ；（2）若a ＝3b ，判断△ABC 的形状．19、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab，（1）求sin Csin A的值；（2）若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .20、如图所示，在地面上有旗杆OP ，为测得它的高度h ，在地面上取一基线AB ，AB=20 m,在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30o ,在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45o ,又测得∠AOB=300,求旗杆的高度.21、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ,c ，设向量m =(a ,b ), n =(sin B ,sin A )，p()2,2--=a b ．（1）若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若m ⊥p , c =2,3π=C，求△ABC 的面积S ．解三角形检测卷1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.C8.D9.B 10.D 11.B 12.C; 13.255 210,14.a 2＋b 2<c 2, 15.1,16.1762(海里/小时);17.解：(1)∵b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a .∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ac＝sin 60°＝32. 18.解：(1)因为a 2＝b (b ＋c )，即a 2＝b 2＋bc ，所以在△ABC 中，由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2＋bc2ac＝b ＋c 2a ＝a 22ab ＝a 2b ＝sin A 2sin B，所以sin A ＝sin 2B ，故A ＝2B . (2) 因为a ＝3b ，所以a b＝3，由a 2＝b (b ＋c )可得c ＝2b ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3b 2＋4b 2－b 243b2＝32，所以B ＝30°，A ＝2B ＝60°，C ＝90°.所以△ABC 为直角三角形．19.解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 及正弦定理可得cos A －2cos Ccos B ＝2sin C －sin Asin B，即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B . 则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ，即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π，则sin C ＝2sin A ，即sin Csin A＝2.法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c，整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B ＝2c －ab可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ，即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a ＝2.(2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2，则a ＝1，c ＝2. ∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154.20.解：设旗杆的高度为x m 在AOP RT ∆中，x xAO 330tan 0==,BOP RT ∆中，x xBO ==045tan ,在AOB ∆中，022230cos 2⋅⋅-+=BO AO BO AO AB ,22233400x x x -+=解得20=x .答：旗杆的高度为20m.21、解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是△ABC 外接圆半径，∴a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴a (b －2)＋b (a －2)＝0.∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝4，∴(ab )2－3ab－4＝0.∴ab ＝4或ab ＝－1(舍去)．∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.即△ABC 的面积为 3.。

(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5

2017春高中数学第1章解三角形 1。

1 正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B 版必修5基础巩固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。

3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。

高中数学人教版必修第一章解三角形单元测试卷(B)

第一章解三角形单元测试卷（B ）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则最小角为( )A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π32．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π33．在△ABC 中，已知||＝4，|AC →|＝1，S △ABC ＝3，则AB →·AC →等于( )A ．－2B ．2C ．±4D ．±2 4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A ． 6B ．2C ． 3D ． 25．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A ．85 B ．58 C ．53 D ．356．已知锐角三角形的边长分别为2,4，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x < 5B ．5<x <13C ．1<x <2 5D ．23<x <2 5 7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B ．223 C ．－63 D ．63 8．下列判断中正确的是( ) A ．△ABC 中，a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解 B ．△ABC 中，a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解 C ．△ABC 中，a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解 D ．△ABC 中，b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解 9．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝3，AC ＝1，则△ABC 的面积是( ) A ．34 B ．32 C ．3或32 D ．32或34 10．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32，则tan C 为( ) A ． 3 B ．1 C ．33 D ．32 11．在△ABC 中，如果sin A sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＋cos A cos B ＝2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形 12．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30° 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ，则B ＝________.14．在△ABC中，A＝60°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积为________．15．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cos A＝a cos C，则cos A＝________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)如图，H、G、B三点在同一条直线上，在G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测角仪器的高是h，用a，h，α，β表示建筑物高度AB. 18．(12分)设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2b sinA.(1)求B的大小．(2)若a＝33，c＝5，求b.19．(12分)如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；(2)求四边形OPDC面积的最大值．20．(12分)在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c .已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b . (2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．21．(12分) 如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．．(12分)为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如示意图)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．第一章解三角形单元测试卷（B ）答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．B [∵a >b >c ，∴C 最小．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝＋(3)2－122×2×3＝32，又∵0<C <π，∴C ＝π6.]2．B [∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0.∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝12，又∵0<C <π，∴C ＝π3.]∴||·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ＝ 3.∴sin A ＝32.又∵0°<A <180°，∴A ＝60°或120°.AB ·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A＝4×1×cos A ＝±2.]4．D [由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin C ＝c ·sin B b ＝2sin 120°6＝12，∵c <b ，∴C 为锐角．∴C ＝30°，∴A ＝180°－120°－30°＝30°.∴a ＝c ＝ 2.] 5．D [由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.] 6．D [由题意，x 应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ ＋42－x 2>0＋x 2－42>0 解得：23<x <2 5.] 7．D [由正弦定理得15sin 60°＝10sin B . ∴sin B ＝10·sin 60°15＝33. ∵a >b ，A ＝60°，∴B <60°. ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－(33)2＝63.] 8．B [A ：a ＝b sin A ，有一解； B ：A >90°，a >b ，有一解； C ：a <b sin A ，无解； D ：c >b >c sin B ，有两解．] 9．D [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， ∴12＝(3)2＋BC 2－2×3×BC ×32. 整理得：BC 2－3BC ＋2＝0. ∴BC ＝1或2. 当BC ＝1时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34. 当BC ＝2时，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.]10．C [由S △ABC ＝12BC ·BA sin B ＝32得BA ＝1，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，∴AC ＝3，∴△ABC 为直角三角形，其中A 为直角，∴tan C ＝AB AC ＝33.]11．C [由已知，得cos(A －B )＋sin(A ＋B )＝2，又|cos(A －B )|≤1，|sin(A ＋B )|≤1，故cos(A －B )＝1且sin(A ＋B )＝1，即A ＝B 且A ＋B ＝90°，故选C.]12．B [由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2a 2＋2b 2c 2，得cos 2C ＝(a 2＋b 2－c 2)2(2ab )2＝a 4＋b 4＋c 4＋2a 2b 2－2c 2a 2－2b 2c 24a 2b 2＝12⇒cos C ＝±22.∴角C 为45°或135°.]第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．45°解析由正弦定理，sin A a ＝sin Bb .∴sin B b ＝cos Bb .∴sin B ＝cos B .∴B ＝45°.14．10 3解析设AC ＝x ，则由余弦定理得： BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ， ∴49＝25＋x 2－5x ，∴x 2－5x －24＝0. ∴x ＝8或x ＝－3(舍去)． ∴S △ABC ＝12×5×8×sin 60°＝10 3. 15．8 6 解析如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°， ∴MN ＝64×32＝326， ∴v ＝MN 4＝86(海里/小时)． 16.33 解析由(3b －c )cos A ＝a cos C ，得(3b －c )·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝33，由余弦定理得cos A ＝33. 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．解在△ACD 中，∠DAC ＝α－β，由正弦定理，得AC sin β＝DC sin (α－β)， ∴AC ＝a sin βsin (α－β)∴AB ＝AE ＋EB ＝AC sin α＋h ＝a sin βsin αsin (α－β)＋h .18．解 (1)∵a ＝2b sin A ，∴sin A ＝2sin B ·sin A ，∴sin B ＝12.∵0<B <π2，∴B ＝30°.(2)∵a ＝33，c ＝5，B ＝30°.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(33)2＋52－2×33×5×cos 30°＝7.∴b ＝7.19．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC ·cos θ＝5－4cos θ，所以y ＝S △OPC ＋S △PCD＝12×1×2sin θ＋34×(5－4cos θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534.(2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534.答四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.20．解 ①需要测量的数据有：A 点到M 、N 点的俯角α1、β1；B 点到M 、N 点的俯角α2、β2；A 、B 的距离d (如图所示)．②第一步：计算AM ，由正弦定理AM ＝d sin α2sin (α1＋α2)；第二步：计算AN .由正弦定理AN ＝d sin β2sin (β2－β1)；第三步：计算MN ，由余弦定理 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ×AN cos (α1－β1). 21．解 (1)由余弦定理及已知条件得 a 2＋b 2－ab ＝4. 又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，由此得ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2. (2)由正弦定理及已知条件得b ＝2a . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得⎩⎨⎧ a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233. ．解 ∵CP ∥OB ，∴∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∠OCP ＝120°. 在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CP sin θ， ∴2sin 120°＝CP sin θ，∴CP ＝43sin θ. 又OC sin (60°－θ)＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为 S (θ)＝12CP ·OC sin 120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32＝43sin θsin(60°－θ)＝43sin θ⎝⎛⎭⎪⎫32cos θ－12sin θ＝2sin θ·cos θ－23sin2θ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33∴θ＝π6时，S(θ)取得最大值为33.。

【数学】高二数学第一章解三角形单元测试题及答案03检测(人教版必修5)

解三角形一、选择题：（每小题5分，共计60分）1. △ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( ) A B C 等边三角形 D 等腰三角形2. 在△ABC 中，c=3，B=300，则a 等于（）A B ． C D ．23. 不解三角形，下列判断中正确的是（）A ．a=7，b=14，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（） A ．41- B ．41 C ．32- D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则C B A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33B ．3392C ．338D ．239 6. 在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则⋅的值为( )A ．79B ．69C ．5D ．-5 7.关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-C B A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形8. 设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( )A.0＜m ＜3B.1＜m ＜3C.3＜m ＜4D.4＜m ＜69. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( )A.60°B.120°C.60°或120°D.45°10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( )A.0°＜A ＜30°B.0°＜A ≤45°C.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60° 11.在△ABC 中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形12. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定二、填空题（每小题4分，满分16分）13.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA ；③acosB=bcosA ；④sin sin sin a b c A B C+=+. 其中恒成立的等式序号为______________14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是。

高中数学第一章解三角形课时作业1正弦定理新人教B版必修013

答案：D
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝，试判断△ABC的形状．
解：由正弦定理＝＝＝2R，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
代入＝＝中，得
＝＝，
即＝＝，
∴tanA＝tanB＝tanC，即ABC中，已知a＝3，B＝60°，cosA＝，则b＝()
A. B.
C. D.
解析：∵0<A<π，cosA＝，∴sinA＝，由正弦定理得b＝＝＝ .故选C.
答案：C
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝ b，则角A等于()
A. B.
C. D.
解析：∵2asinB＝ b，∴2sinAsinB＝ sinB.
∵sinB≠0，∴sinA＝ .
∵A∈ ，∴A＝ .故选A.
答案：A
4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()
A．x>2 B．x<2
C．2<x<2 D．2<x<2
解析：∵满足条件的三角形有两解，∴asinB<b<a，即xsin45°<2<x，解得2<x<2 .
B组
(限时：30分钟)
1．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC等于()
A．3－ B.
C．2 D．3＋
解析：在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴BC＝ ·sin45°.
又∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝，
∴BC＝ × ＝3－ .
课时作业(一)正弦定理

高二新课程数学第一章解三角形预习导学案新必修五

必修5第一章《解三角形》测试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 在∆ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有2个解的是（） A . b=10，A= 45，C= 70 B .a=60，c=48，B=60 C .a=7，b=5，A=80 D .a=14，b=16，A=452. 在∆ABC 中，24,34,60===⋅b a A ，则B 等于（）A.13545或 B.135 C.45 D. 以上答案都不对3. 在∆ABC 中，)1+3(:6:2=sin :sin :sin C B A ，则三角形的最小内角是（）A.60 B.45 C.30 D.以上答案都不对 4. 在∆ABC 中，A =60，b=1，面积为3，求CB A cb a sin sin sin ++++的值为（）A.3392 B. 13 C. ２13 D.339 5. 在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则BC AB ∙的值为（） A. 19B. -14C. -18D. -196. A 、B 是△ABC 的内角，且53cos =A ，135sin =B ，则C sin 的值为（） A.65156563-或 B. 6563C.65636516-或 D.65167. ∆ABC 中，a=2，A=30，C=45，则∆ABC 的面积为（）A. 2B. 22C. 1+3D. )1+3(218. 在ABC ∆中，2cos sin sin 2A C B =⋅，则∆ABC 是（） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 9. 已知∆ABC 中， AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是（） A. 60π≤<C B. 20π<<C C.26ππ<<C D.36ππ≤<C10. 在∆ABC 中，若B c C b CB bc 2222sin sin cos cos 2+=，那么∆ABC 是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形11. 若以2，3，x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围是（）A. 1<x<5B.5<<5x C. 13<<1x D.13<<5x12. 在∆ABC 中，三边a ，b ，c 与面积s 的关系式为),(41222c b a s -+=则角 C 为（）A.30 B.45 C.60 D.90 二、填空题（每题5分，共20分）13. 三角形两条边长分别为3cm ，5cm ，其夹角的余弦是方程06752=--x x 的根，则三角形面积为14．在ABC ∆中，若A=60°，b=1，三角形的面积S=3，则ABC ∆外接圆的直径为_________ 15. ∆ABC 中，（a+b+c ）（b+c-a ）=3bc ，则角A=16. ∆ABC 中，(sin sin )a B C -(sin sin )c A B +-+(sin sin )b C A -=三．解答题（每题10分，共20分）17．在ABC ∆中，已知A C B sin cos sin 2=⋅，120=A ，1=a ，求B 和ABC ∆的面积．18．不等边三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且最大边a 满足222c b a +<，求角A 的取值范围。

2016-2017学年高二数学人教A5学案：第一章解三角形章末复习提升含答案

1．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理,但也可用余弦定理．(1）利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理错误!＝错误!，得sin B＝错误!.若sin B〉1，无解；若sin B＝1，一解；若sin B<1,两解．（2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A。

由余弦定理a2＝c2＋b2－2cb cosA，即c2－（2b cos A)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解,则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解,则三角形有两解．2．三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径:一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如：a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B）＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B 或A＋B＝错误!等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A＝a2R(R为△ABC外接圆半径)，cos A＝错误!等,通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断．3．解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化,哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求.题型一利用正、余弦定理解三角形解三角形的一般方法：（1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C,由正弦定理求a、b.（2）已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C,应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3）已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况．（4）已知三边a、b、c,可应用余弦定理求A、B、C.例1 在△ABC中，角A，B,C所对的边长分别为a，b,c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和错误!＝错误!＋错误!，求A和tan B的值．解由余弦定理cos A＝错误!＝错误!，A∈（0°，180°）．因此A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B。

2021_2022学年高中数学第1章解三角形章末综合提升学案

第1章解三角形[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin (A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin (A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ，又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .[跟进训练]1．如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． [解] (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin (∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得 BD ＝AB sin ∠BAD sin ∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.判断三角形的形状【例2】在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．[解] 法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C . ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°. ∴2sin 60°＝sin (120°－C )＋sin C . 展开整理得32sin C ＋12cos C ＝1. ∴sin (C ＋30°)＝1. ∵0°<C <120°， ∴C ＋30°＝90°. ∴C ＝60°，则A ＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，b ＝a ＋c2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，化简得(a －c )2＝0. ∴a ＝c .又B ＝60°，∴a ＝b ＝c . ∴△ABC 为等边三角形．根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．[跟进训练]2．在△ABC 中，若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C 1＋cos 2B ，试判断△ABC 的形状．[解] 由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos C c cos B ，得cos C cos B ＝bc . 可有以下两种解法．法一：(利用正弦定理，将边化角)由正弦定理得b c ＝sin B sin C ，∴cos C cos B ＝sin Bsin C ，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B .∵B ，C 均为△ABC 的内角， ∴2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°. 即B ＝C 或B ＋C ＝90°.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理，将角化边) ∵b c ＝cos C cos B， ∴由余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ，即(a 2＋b 2－c 2)c 2＝b 2(a 2＋c 2－b 2). ∴a 2c 2－c 4＝a 2b 2－b 4，即a 2b 2－a 2c 2＋c 4－b 4＝0. ∴a 2(b 2－c 2)＋(c 2－b 2)(c 2＋b 2)＝0，即(b 2－c 2)(a 2－b 2－c 2)＝0. ∴b 2＝c 2或a 2－b 2－c 2＝0，即b ＝c 或a 2＝b 2＋c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．正、余弦定理的实际应用【例3】如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a 经过三个景点A 、B 、C .景区管委会开发了风景优美的景点D .经测量景点D 位于景点A 的北偏东30°方向上8 km 处，位于景点B 的正北方向，还位于景点C 的北偏西75°方向上．已知AB ＝5 km.(1)景区管委会准备由景点D 向景点B 修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C 与景点D 之间的距离．(结果精确到0.1 km)(参考数据：3≈1.73，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)思路探究：(1)以BD 为边的三角形为△ABD 和△BCD ，在△ABD 中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD 中利用余弦定理求解DB .(2)以CD 为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．[解] (1)设BD ＝x km ，则在△ABD 中，由余弦定理得52＝82＋x 2－2×8x cos 30°，即x 2－83x ＋39＝0，解得x ＝43±3.因为43＋3>8，应舍去，所以x ＝43－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9 km.(2)在△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ADB ，所以sin ∠ABD ＝sin ∠CBD ＝ADAB ·sin∠ADB ＝45＝0.8，所以cos ∠CBD ＝0.6.在△CBD 中，sin ∠DCB ＝sin (∠CBD ＋∠BDC )＝sin(∠CBD ＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD ＝sin ∠DBC ×BDsin ∠DCB ≈3.9.故景点C 与景点D 之间的距离约为3.9 km.正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．[跟进训练]3．如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后监测点A ，20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km).[解] (1)由题意得P A －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km). ∴PB ＝x －12，PC ＝18＋x . 在△P AB 中，AB ＝20 km ， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－（x －12）22x ·20＝3x ＋325x .同理cos ∠P AC ＝72－x3x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327.(2)作PD ⊥a 于D ，在Rt △PDA 中，PD ＝P A cos ∠APD ＝P A cos ∠P AB ＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325≈17.71(km). 所以静止目标P 到海防警戒线a 的距离为17.71 km.与三角形有关的综合问题 [探究问题]1．如图所示，向量AB →与BC →的夹角是∠B 吗？在△ABC 中，AB →·AC →的数量积与余弦定理有怎样的联系？[提示] 向量AB →与BC →的夹角是∠B 的补角，大小为180°－∠B ，由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝bc cos A .所以AB →·AC →＝bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)，有时直接利用此结论解决与向量数量积有关的解三角形问题．2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？[提示] 用余弦定理可以根据角的余弦值的符号直接判断是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要结合已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角，避免讨论．【例4】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos (B －C )的值．思路探究：(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a ，c 的方程组即可求解． (2)由(1)结合正弦定理分别求出B ，C 的正、余弦值，利用差角余弦公式求解． [解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2. 又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429. 因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos (B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.1．(变条件，变结论)将本例中的条件“a >c ，BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3”变为“已知S△ABC＝30且cos A ＝1213”求AB →·AC →的值．[解] 在△ABC 中，cos A ＝1213， ∴A 为锐角且sin A ＝513，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·513＝30.∴bc ＝156.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝bc cos A ＝156×1213＝144.2．(变条件，变结论)在“母题探究1”中再加上条件“c －b ＝1”能否求a 的值？ [解] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×113＝25，∴a ＝25＝5.正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．。

【数学】高二数学第一章解三角形单元测试题及答案(1)(人教版必修5)

高中数学（必修5）第一章：解三角形测试（一）班级：姓名成果：__________正弦定理与余弦定理：1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角与随意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角与其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边与他们的夹角，求第三边与其他两角.4．断定三角形形态时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些根本关系式进展三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-[根底训练A 组]一、选择题1．在ABC ∆中，角::1:2:3A B C =，则边::a b c 等于（）．A ．1:2:3B ．3:2:1C ．2D ．22．以4、5、6为边长的三角形肯定是（）．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形3．在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则角A 等于（）．A ．3060,或B ．4560,或C ．12060,或D ．30150,或4．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的与是（）．A ．90 B ．120 C ．135 D ．1505．在ABC ∆中，若()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 等于（）．A ．30 B ．60 C ．90 D ．1206．在ABC ∆中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（）． A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 7．在ABC ∆中，若角B A 2=，则边a 等于（）．A ．A b sin 2B ．A b cos 2C ．B b sin 2D ．B b cos 28．在ABC ∆中，)13(:6:2sin :sin :sin +=C B A ，则三角形最小的内角是（）．A ．60°B ．45°C ．30°D ．以上都错9．在ABC ∆中，若90C =，则三边的比c b a +等于（）． A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2sin 2B A - 10．在ABC ∆中，若():():()5:6:7b c c a a b +++=，则cos B 的值为（）．A ．1116B ．1114C ．911D ．7811．在ABC ∆中，若2a b c ===，则角A 的大小为（）．A ．030B ．060C ．090D ．012012．在△ABC 中，60A =，45C =，2b =，则此三角形的最小边长为（）．A 1B ．1) C 1 D ．1)二、填空题13．在ABC ∆中，若222a b bc c =++，则角A =_________．14．在ABC ∆中，若2,30,135b B C ===，则边a =_________．15．在ABC ∆中，若sin cos cos A B C a b c ==，则△ABC 的形态是_________．16．在ABC ∆中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________．三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，证明：C B A c b a sin )sin(222-=-． 18．在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请推断三角形的形态．19．在△ABC 中，若120A B +=，则求证：1=+++c a b c b a ． 20．在△ABC 中，ab =sin sin B C =，面积为b 边的长．在△ABC 中，最大角A 为最小角C 的2倍，且三边,,a b c 为三个连续整数，求,,a b c 值．。

人教版高中数学高二-第一章解三角形综合检测

第一章解三角形综合检测一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b =ac ,则角B 的值为（）A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π解析：A2. 在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（） A ．无解 B ．一解 C ．二解 D ．不能确定解析：B3. 在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解析：B4在∆ABC 中，60A ︒∠=，16AC =，面积为BC 的长度为（）A ．25B ．51C ．D ．49解析：D ．1sin 602ABC SAB AC ︒=⋅⋅==,得55AB =，再由余弦定理，有222165521655cos602401BC ︒=+-⨯⨯⨯=，得49BC =．5. 给出四个命题 (1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形以上正确命题的个数是( )A 1B 2C 3D 4解析其中(3）(4）正确答案 B6．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析：2sin A cos B ＝sin （A ＋B ）＋sin （A －B ）又∵2sin A cos B ＝sin C ， ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 答案：C7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则m 的取值是（）A 、-1B 、1C 、-2D 、2解析：特殊化处理，不妨设△ABC 为直角三角形，则圆心O 在斜边中点处，此时有OH OA OB OC =++，1m =，选B 。

高中数学人教B版学案：第1章阶段复习课 Word版含答案

第一课解三角形[核心速填] 1．正弦定理及其推论设△ABC的外接圆半径为R，则(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R.(2)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.(3)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.(4)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.2．余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.(2)cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔∠C为直角；c2>a2＋b2⇔∠C为钝角；c2<a2＋b2⇔∠C为锐角．3．三角形面积公式(1)S＝12ah a＝12bh b＝12ch c.(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B.[体系构建][题型探究]∠ADC＝45°，求AD的长度．图1-1[解]在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝23，由余弦定理，得cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ×AC ＝32，∴sin C ＝12.在△ADC 中，由正弦定理，得AD sin C ＝ACsin ∠ADC，∴AD ＝222×12＝ 2. [规律方法] 解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知∠A 、∠B 和c ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝π求∠C ，由正弦定理求a 、b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和∠C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和∠A ，应先用正弦定理求∠B ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝π求∠C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求∠A 、∠B 、∠C . [跟踪训练]1．如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.图1-2(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长． [解] (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7.命题角度1 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC的形状.[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2 [sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2b 2sin A cos B ＝2a 2cos A sin B ，即a 2cos A sin B ＝b 2 sin A cos B ，法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B .∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A sin B ≠0， ∴sin A cos A ＝sin B cos B . ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0<2∠A <2π，0<2∠B <2π， ∴2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝π－2∠B ， ∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形命题角度2 三角形边、角、面积的求解△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cosC ＋c sin B .(1)求∠B ；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．[解] 由正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B . 又∠A ＝π－(∠B ＋∠C )， ∴sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋sin C cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ∴cos B sin C ＝sin C sin B ， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝sin B 且∠B 为三角形内角， ∴∠B ＝π4.(2)S △ABC ＝12ac sin B ＝24ac ，由正弦定理知a ＝b sin A sin B ＝222×sin A ＝22sin A ，同理，c ＝22sin C ，∴S △ABC ＝24×22sin A ×22sin C ＝22sin A sin C ＝22sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A＝22sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4cos A －cos 3π4sin A＝2(sin A cos A ＋sin 2A ) ＝sin 2A ＋1－cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＋1∴当2∠A －π4＝π2，即∠A ＝3π8时， S △ABC 有最大值2＋1.[规律方法] 该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等.[跟踪训练]2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角∠A ，∠B ，∠C 的对边，若a ＝2，∠C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S .[解] 因为cos B ＝2cos 2B 2－1＝35，故∠B 为锐角，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin (π－B －C ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B＝7210. 由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)图1-3[解] 由题意，设AC ＝x ，则BC ＝x －217×340＝x －40. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝BA 2＋AC 2－2×BA ×AC ×cos ∠BAC ，即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，所以CH＝AC×tan ∠CAH＝140 3.所以该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．[规律方法]应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.[跟踪训练]3．甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？[解]设甲、乙两船经t小时后相距最近且分别到达P、Q两处，因乙船到达A处需2小时．①当0≤t <2时，如图(1)，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ，所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ×AP ×cos 120° ＝(20－10t )2＋(8t )2－2×(20－10t )×8t ×(－12)＝84t 2－240t ＋400 ＝221t 2－60t ＋100； ②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16； ③当t >2时，如图(2)，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ×AP ×cos 60° ＝221t 2－60t ＋100. 综合①②③知，PQ ＝221t 2－60t ＋100(t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小．所以甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．。

高中数学第一章解三角形 1.2 应用举例第1课时解三角形的实际应用学业分层测评新人教A版

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1。

2 应用举例第1课时解三角形的实际应用(建议用时：45分钟）[学业达标］一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1.2.8，测得下面四组数据，较合理的是（）图12。

8A．c与αB．c与bC．b,c与βD．b,α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b,α与γ.【答案】D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则14时两船之间的距离是（) A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝错误!＝70 （n mile）．【答案】B3．如图1。

29，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C,D两点，测得∠ACB＝60°,∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20（错误!＋1),则A,B间距离是（)图129A．20错误!米B．20错误!米C．20错误!米D．40错误!米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(错误!＋1),∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝206(米）．【答案】C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为（) A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图,设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中,∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60,∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】C5．如图12。

(新)高中数学第一章解三角形本章整合学案新人教B版必修51

第一章解三角形本章整合知识网络专题探究专题一判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，利用余弦定理的推论如cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 把角的余弦化边，或利用sin A ＝a 2R把角的正弦化边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°；②若a 2＋b 2>c 2，则∠C <90°；③若a 2＋b 2<c 2，则∠C >90°；④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2．【应用1】在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．解析：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，根据正弦定理，得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4．设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m (m >0)，∵c >b >a ，∴∠C >∠B >∠A ．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4m 2＋9m 2－16m 22×2m ×3m ＝－14<0． ∴∠C 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形．答案：钝角【应用2】在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．解：解法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C ．∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°．∴∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－∠C )＋sin C ，展开，整理得32sin C ＋12cos C ＝1． ∴sin(∠C ＋30°)＝1．∴∠C ＋30°＝90°．∴∠C ＝60°．故∠A ＝60°．∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．∵∠B ＝60°，b ＝a ＋c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°．整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c ．从而a ＝b ＝c ．∴△ABC 为等边三角形．专题二恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．【应用1】在△ABC 中，求证：(1)a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C； (2)a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．证明：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝ k ，显然 k ≠0，所以，左边＝k 2sin 2A ＋k 2sin 2B k 2sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C＝右边，即原等式成立． (2)根据余弦定理，右边＝2⎝⎛ bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＋ca ·c 2＋a 2－b 22ca ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝(b 2＋c 2－a 2)＋(c 2＋a 2－b 2)＋(a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2＋c 2＝左边，即原等式成立．【应用2】已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．求证：cot A ＋cot B ＋cot C ＝a 2＋b 2＋c 24S．提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．证明：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以cot A ＝cos A sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc sin A ＝b 2＋c 2－a 24S，同理可得cot B ＝a 2＋c 2－b 24S ，cot C ＝a 2＋b 2－c 24S ，所以cot A ＋cot B ＋cot C ＝b 2＋c 2－a 24S ＋a 2＋c 2－b 24S ＋a 2＋b 2－c 24S ＝a 2＋b 2＋c 24S．专题三三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式：(1)S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ． (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ． (3)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫其中p ＝a ＋b ＋c 2．【应用】 (2013·重庆高考，文18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc ．(1)求∠A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时∠B 的值．提示：(1)利用余弦定理求∠A ；(2)利用正弦定理及面积公式将面积S 表示出来，再用三角变换的知识求出最值．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32．又因0<∠A <π，所以∠A＝5π6． (2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A·a sin C ＝3sin B sin C ，因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(∠B －∠C )．所以，当∠B ＝∠C ，即∠B ＝π－∠A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3．专题四正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．【应用1】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos C cos B ＝2a －c b． (1)求cos B 的值；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac 的技巧．解：(1)由cos C cos B ＝2a －c b ＝2sin A －sin C sin B，得 cos C ·sin B ＝2sin A ·cos B －cos B ·sin C ．∴2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ．∵sin A ≠0，∴cos B ＝12． (2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，又a ＋c ＝4，∴(a ＋c )2－3ac ＝7．∴ac ＝3．∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334．【应用2】在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ．(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a ，b 的方程求解，注意整体技巧．解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得a c ＝2sin A 3＝sin A sin C ． ∵sin A ≠0，∴sin C ＝32． ∵△ABC 是锐角三角形，∴∠C ＝π3． (2)∵c ＝7，∠C ＝π3．由面积公式，得 12ab sin π3＝332，∴ab ＝6．① 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7．② 由①②，得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5．专题五正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：实际问题――→抽象概括解三角形问题――→推理演算三角形问题的解还原，实际问题的解【应用1】如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD ．提示：要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC 的长．解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠ACB ＝25°－15°＝10°．根据正弦定理，得BC ＝AB sin∠BAC sin∠ACB ＝5sin 15°sin 10°≈7．452 4(km)，CD ＝BC tan∠DBC ＝BC ×tan 8°≈1．047(km)．答：山的高度约为1．047 km ．【应用2】如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．解：设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，∴(14x )2＝ 92＋ (10x )2 －2×9×10x cos 120°，化简，得32x 2－30x －27＝0．解得x ＝32或x ＝－916(舍去)． ∴BC ＝ 10x ＝15，AB ＝14x ＝21．又∵sin∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314， ∴∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)．∴38°13′＋45°＝83°13′．答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1．5小时才能追赶上该走私船．。

2019届高二数学第1章解三角形单元测试

(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填在题中横线上) 1．在△ABC 中，a ＝1，A ＝30°，B ＝60°，则b 等于________．解析：由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝2R ，故1sin 30°＝bsin 60°，解之得b ＝ 3.答案： 32．在三角形中，60°角的两边长分别是16和55，则其对边a 的长是________．解析：由余弦定理得a 2＝162＋552－2×16×55cos 60°＝492，∴a ＝49. 答案：493．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________三角形．解析：由正弦定理得sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin Ccos C 2，即sin A 2＝sin B 2＝sin C 2.由于A 2，B 2，C 2均为锐角，故有A 2＝B 2＝C 2，所以△ABC 为等边三角形．答案：等边4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－ac ＝b 2，则角B 的大小为________．解析：∵a 2＋c 2－ac ＝b 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∴B ＝60°.答案：60°5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1＋tan A tan B ＝2cb，则角A 的大小为________．解析：∵1＋tan A tan B ＝2c b ，∴1＋sin A cos B cos A sin B ＝2sin Csin B，即得sin （A ＋B ）cos A sin B ＝2sin C sin B ，∴1cos A ＝2，即得cos A ＝12，解得A ＝π3.答案：π36．△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a 、b 、c .若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B ＝________．解析：由正弦定理，得sin A a ＝sin Bb，又∵a ＝52b ，A ＝2B ，∴sin 2B 52b ＝sin B b ，b ≠0，sin B ≠0， ∴2cos B 52＝1，∴cos B ＝54.答案：547．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B ，可得sin A ＝12sin B ，又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12.所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°. 又因为a ＜b ，所以只有0°＜A ≤30°. 答案：0°＜A ≤30°8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcosA的值等于__________，AC 的取值范围为________．解析：如图，AC sin B ＝1sin A .又B ＝2A ， ∴1sin A ＝AC sin 2A ＝AC 2sin A cos A . ∴AC cos A＝2， ∵在锐角△ABC 中，B ＝2A ， ∴0<A <π4.又C ＝π－A －B ＝π－3A ，∴0<π－3A <π2，即π6<A <π3.∴π6<A <π4，22<cos A <32. ∴AC ＝2cos A ∈(2，3)．答案：2 (2，3)9．△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )满足p ∥q ，则C ＝________．解析：由p ∥q ，得3(a 2＋b 2－c 2)＝4S ＝2ab sin C ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理的变式，得cos C ＝33sin C ，即tan C ＝3，因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.故填π3. 答案：π310．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理知：bc cos A ＝12(b 2＋c 2－a 2)①ca cos B ＝12(c 2＋a 2－b 2)②ab cos C ＝12(a 2＋b 2－c 2)③①＋②＋③得：bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝12(a 2＋b 2＋c 2)＝12(32＋42＋62)＝612. 答案：61211．在△ABC 中，若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值是________．解析：设BC ＝x ，则AC ＝2x ，根据面积公式，得S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2x 1－cos 2B ，根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝4＋x 2－（2x ）24x ＝4－x 24x ，将其代入上式，得 S △ABC ＝x1－（4－x 24x）2＝128－（x 2－12）216，由三角形三边关系有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x ＞2，x ＋2＞2x ，解得22－2＜x ＜22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值2 2. 答案：2 212．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．解析：法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2，故△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点A 作BC 的高线AE ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝22－（12）2＝152，∴sin B ＝AE AB ＝1522＝154.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得c 2＝1＋4－2×1×2×14＝4，∴c ＝2.∵cos C ＝14，∴sin C ＝ 1－cos 2C ＝154.又由正弦定理c sin C ＝b sin B 得sin B ＝b sin C c ＝sin C ＝154.答案：15413．已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，P ＝sin B ＋cos B ，则P 的取值范围为________．解析：由余弦定理知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 又b 2＝ac ，∴ac ＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴(1＋2cos B )ac ＝a 2＋c 2， ∵(a －c )2≥0，故a 2＋c 2≥2ac ，即(1＋2cos B )ac ≥2ac ，∴cos B ≥12，∴0＜B ≤π3，∴P ＝sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)，∵0＜B ≤π3，∴π4＜π4＋B ≤π3＋π4， ∴sin π4＜sin(B ＋π4)≤1，∴22＜sin(B ＋π4)≤1， ∴P 的取值范围为(1， 2 ]．答案：(1， 2 ] 14．如图，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达点B ，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，则cos θ＝________．解析：在△ABC 中，AB ＝a ，∠CAB ＝α，∠ACB ＝β－α，由正弦定理，得AB sin （β－α）＝BCsin α，∴BC ＝a sin αsin （β－α）.在△BDC 中，由正弦定理得 CD sin β＝BCsin ∠BDC， ∴sin ∠BDC ＝BC sin βCD ＝a sin αsin βh sin （β－α）.又∠BDC ＝90°＋θ，∴sin ∠BDC ＝sin(90°＋θ)＝cos θ. ∴cos θ＝a sin αsin βh sin （β－α）.答案：a sin αsin βh sin （β－α）二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，sin B ∶sin C ＝2∶3.(1)求bc的值；(2)若AB 边上的高为33，求a 的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b ∶c ＝sin B ∶sin C .又∵sin B ∶sin C ＝2∶3，∴b ∶c ＝2∶3，即b c ＝23.(2)∵AB 边上的高为33，A ＝60°，由面积相等可求得b ＝6，又b c ＝23，∴c ＝9. 又根据余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将b ＝6，c ＝9，A ＝60°代入上式，得a 2＝63， ∴a ＝37.16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解：(1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A.所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.17．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ＝4，A ＝60°，当b 满足下列条件时，解三角形：(1)b ＝433；(2)b ＝22＋263；(3)b ＝833；(4)b ＝8.解：(1)∵a ＞b ，∴B 为锐角，由正弦定理，得 sin B ＝b a sin A ＝12，∴B ＝30°，C ＝90°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝833.(2)由正弦定理，得sin B ＝b a ·sin A ＝22＋2634×32＝6＋24，当B 为锐角时，B ＝75°，C ＝45°.由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝463，当B 为钝角时，B ＝105°，C ＝15°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝22－263.(3)法一：由正弦定理，得sin B ＝ba ·sin A ＝1，∴B ＝90°，C ＝30°，由正弦定理，得c ＝a sin A ·sin C ＝433. 法二：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝643＋c 2－833c ，即c 2－833c ＋163＝0.∴(c －433)2＝0.∴c ＝433，由正弦定理，得sin C ＝c a ·sin A ＝12.∵a ＞c ，∴C 为锐角，∴C ＝30°，B ＝90°. (4)由正弦定理，得sin B ＝ba·sin A ＝3＞1，三角形无解．18. (本小题满分16分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于点E ，AB ＝2.求：(1)cos ∠CBE 的值； (2)AE 的长．解：(1)因为∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，所以∠CBE ＝15°.所以cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24. (2)在△ABE 中，AB ＝2，由正弦定理知AE sin 30°＝2sin 105°，故AE ＝2sin 30°cos 15°＝6－ 2.19．(本小题满分16分) 如图所示的四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝135°.(1)求sin ∠ADB ； (2)求BC 的长．解：(1)不妨设∠ADB ＝x ，则∠ABD ＝180°－∠BAD －∠ADB ＝120°－x ，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，即14sin x ＝10sin （120°－x ）， ∴7sin(120°－x )＝5sin x ，整理可得，73cos x ＝3sin x ，结合sin 2 x ＋cos 2 x ＝1及x ∈(0°，90°)．可解得cos x ＝3926，sin x ＝71326.∴sin ∠ADB ＝71326.(2)在△ABD 中利用正弦定理得， AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD，即1471326＝BD 32，解得BD ＝239. 在△BDC 中利用正弦定理得， BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ，即BC sin （90°－∠ADB ）＝239sin 135°，∴BC ＝239×cos ∠ADB sin 135°＝239×392622＝3 2.20．(本小题满分16分)在△ABC 中，c ＝2＋6，C ＝30°，求a ＋b 的取值范围．解：由正弦定理有c sin C ＝a sin A ＝bsin B ＝a ＋b sin A ＋sin B .又c ＝2＋6，C ＝30°，∴a ＋bsin A ＋sin B ＝2＋6sin 30°，A ＋B ＝180°－30°＝150°. ∴a ＋b ＝2(2＋6)[sin A ＋sin(150°－A )] ＝2(2＋6)×2sin 75°cos(75°－A ) ＝2(2＋6)×2×6＋24cos(75°－A ) ＝(2＋6)2cos(75°－A )．①当A ＝75°时，(a ＋b )max ＝8＋4 3.②∵A ＋B ＝150°，∴0°＜A ＜150°，－150°＜－A ＜0°. ∴cos(75°－A )∈(cos 75°，1]．又(2＋6)2cos 75°＝(2＋6)2×6－24＝2＋6，∴2＋6＜a ＋b ≤8＋4 3. 综上，a ＋b ∈(2＋6，8＋43]．。