运筹学简介
运 筹 学
三、运筹学的发展
绪
论
二、50年代初期到50年代末期，运筹学的成长时期 最早建立运筹学会的国家是英国（1948），接着 是美国（1952），法国（1956），日本和印度 （1957）。我国的运筹学会建立在1980年。
三、运筹学的发展
三、自60年代以来，运筹学迅速发展和普及时期
绪
论
运筹学进一步细分为各个分支，专业学术团体迅速增多， 更多期刊创办，运筹学书籍大量出版，更多学校将运筹学课 程纳入教学计划。
三、运筹学的发展
一、从l945年到50年代初，被称为创建时期。
绪
论
第一本运筹学杂志《运筹学季刊》(O．R．Quarterly) 1950年于英国创刊。
第一个运筹学会英国运筹学会于1948年成立。
主要研究伦敦周围高炮的布置问题。当然高炮越多打掉 敌机越多，漏掉越少，但高炮多到一定程度以后，打掉的敌 机数增加甚微。所以选择多少高炮数为最优和怎样布置是他 们要解决的问题。
对策论
“二指莫拉问题”，甲、乙二人游戏，每人出一个或两
个手指，同时又把猜测对方所出的指数叫出来。如果只有一
个人猜测正确，则他的赢得分数为二人所出指数之和、否则 重新开始。试写出该对策中各局中人的策略集及甲的赢得矩 阵，并说明是否存在某一种策略比其它策略更有利。 再如“囚徒困境”
A B 坦白 抵赖
坦白 抵赖
硕士研究生入学考试《运筹学》考试大纲
硕士研究生入学考试《运筹学》考试大纲
一、考试性质
运筹学是交通运输工程专业硕士生选考的一门专业基础课程。它的评价标准是优秀本科毕业生能达到的水平，以保证被录取者具有较好的运筹学理论基础。
二、考试形式与试卷结构
1、答卷方式：闭卷，笔试。
2、题型：填空、判断、计算、应用。
3、内容：线性规划基本概念，单纯形法，对偶原理，灵敏度分析，运输模型，整数规划，动态规划，图论与网络分析，目标规划，排队论。
4、参考书目：《管理运筹学》，韩大卫编，大连理工大学出版社,2011年版。
三、考查要点
1、线性规划的基本性质
会建立线性规划问题的数学模型；理解可行解、可行域、最优解、最优值、基本解等概念，了解线性规划解的性质。
2、单纯形法、对偶原理、灵敏度分析
会用单纯形法求解线性规划问题，掌握线性规划的对偶关系及对偶性质，掌握灵敏度分析的思想、方法。
3、运输模型
运输问题及其数学模型，会对有关应用问题建立模型；表上作业法的应用。
4、整数规划
整数规划问题及其数学模型；整数规划的一般解法；OT规划的分支定界法；指派问题及其解法。
5、动态规划
动态规划的基本概念；离散确定性典例。
6、网络分析
最小树问题的解法；最短路问题的标号算法；最大流问题的标号算法；最小费用最大流的求法。
7、排队论
排队论基本概念；指数服务排队模型的解法；其他模型。
8、目标规划
目标规划的模型、解法及应用。
运筹学在计算机网络优化中的应用研究
运筹学在计算机网络优化中的应用研究
随着计算机技术的不断发展和计算机网络的普及，网络运维已经成为各个企事业单位的重要部分。而如何对网络进行优化以提高其性能和稳定性，就成为了当前亟待解决的问题。在这个问题的解决过程中，运筹学展现出了不可替代的作用。
一、运筹学简介
运筹学（Operations Research，OR）是一门研究各类决策问题的数学学科。它可以帮助人们在面临不确定性的决策问题时，通过运用数学模型、统计分析、优化算法等工具和方法，获得全面的、科学的、合理的决策方案。在现实生活中，它广泛应用于物流、生产、金融、管理、交通等领域。
二、运筹学在计算机网络优化中的应用
在计算机网络中，路由算法、拥塞控制、分布式计算等问题都需要考虑网络节点之间的协作和数据传输的路由选择等方面的因素，这就需要对网络进行优化来提高网络性能。而运筹学在网络优化中的应用研究则可以提供有效的工具和方法。
（一）网络路由优化
网络路由优化是指通过合理的路由算法，将流量分配到不同的路由路径上，实现最优的性能和稳定性。在这个问题上，运筹学可以提供一系列的优化算法，如线性规划、整数规划、网络流模型等，可以帮助网络管理员对网络进行优化管理。例如，对于带宽有限的网络，运筹学可以提供合理的优化算法，将网络流量合理地分配到各条路径，达到最优状态。
（二）拥塞控制
网络拥塞是指网络中的数据流量过大，导致网络达到了其容量极限，从而造成数据包的丢失和延迟。为了避免网络拥塞，需要对网络进行拥塞控制。运筹学可以
提供不同的拥塞控制算法，如TCP-Vegas、SPEED、TCP-fair等，这些算法可以减
运筹学简介
• 课件公用邮箱 •用户名 •密码 yunchouxue_bjut@sohu.com yunchouxue
线性规划（ 第一章 线性规划（Linear Programming ）
教学目的：本章重点引入线性规划问题的模型、几何 教学目的： 模型、 模型 性质、单纯形解法和线性规划的对偶定理 对偶定理。 性质、单纯形解法 对偶定理 应理解和掌握线性规划的几何性质和求解 原理，能针对实际问题，建立相应的线性 规划模型。 重 点：线性规划问题的求解方法、解的基本性质以及 对偶原理。 点：线性规划的单纯形法求解思想、矩阵表述、对 偶理论以及灵敏度分析
例如：将下列线性规划问题化成标准型 min Z= x1+ 2 x2 2x1+ 3x2≤6 s.t. x1 + x2≥4 x1- x2=3 x1≥0 解：引进变量x3≥0、x4≥0，将自由变量换为x2= x3-x4 引进松弛变量x5≥0,松弛变量x6≥0得: max Z’= -x1- 2 x3 +2 x4+ 0x5+ 0x6 2x1+3x3-3x4+x5=6 s.t x1+x3 - x4- x6 =4 x1- x3 + x4=3 xj≥0, j=1,3,4,5,6
解：设 xij为从产地运往销地的物资数量(i=1,2；j=1,2,3), 则有，目标函数： min z = 2 x11+x12+3 x13+2x21+ 2x22+4x23 约束条件: x11+x12+ x13 = 50 x21+ x22+x23 = 30 x11+ x21 =40 x12+ x22 =15 x13+ x23 =25 xij≥0 i=1,2；j=1,2,3
运筹学简介要点20页
我国学术界1955年开始研究运筹学时,正是从《史记》 中摘取 “运筹”一词作为OR (Operations Research)的意 译,就是运用筹划、以智取胜的含义.
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2. 运筹学在国外 运筹学的产生
运筹学
Operational Research
1
运筹学简介
一、运筹学发展简介 二、运筹学的定义 三、运筹学在管理中的应用 四、运筹学的工作步骤 五、运筹学内容介绍
2Biblioteka Baidu
一、运筹学（OR）发展简介
1. 运筹学在国内
中国古代朴素的运筹学思想
田忌赛马
战国时代，齐王常与他的大将田忌赛马，双方约定每场各 出一匹马，分三场进行比赛。齐王的马有上、中、下三等， 田忌的马也有上、中、下三等，但每一等都比不上齐王同等 的马，于是田忌屡赛屡输。一日，田忌的宾客、对军事颇有 研究的孙膑给田忌出了一个主意，结果以二比一赢了齐王。 即要善于用局部的牺牲去换取全局的胜利,从而达到以弱胜强 的目的——典型的博弈问题.
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为此，一些科学家就如何合理运用雷达开始了研究。 1939年，英国皇家空军指挥部组织了一个小组，即成立了 英国第一个运筹小组，组长是曼彻斯特大学物理学家、英 国战斗机司令部顾问P.M.S.Blackett（战后因在宇宙射线 方面的研究成果而获得诺贝尔物理学奖）。组员：2位理论 数学家，2位应用数学家，1位天文物理学家， 1位普通物 理学家，3位心理学家，1位海军军官，1位陆军军官，l位 测量员）。——“Blackett杂技团”。 他们研究的问题是：设计将雷达信息传递到指挥系统和武 器系统的最佳方式；雷达与武器的最佳配置。他们对探测、 信息传递、作战指挥、战斗机与武器的协调等做了系统的 研究，并获得成功。他们在秘密报告中使用了 “Operational Research”一词，即“运筹学”。
运筹学课件PPT课件
目 录
• 运筹学简介 • 线性规划 • 整数规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 模拟退火算法
01 运筹学简介
定义与起源
定义
运筹学是一门应用数学学科，通过数 学方法和计算机技术解决实际优化问 题。
起源
起源于二战时期的军事战略和资源优 化问题，后来逐渐扩展到商业、交通、 医疗等领域。
非线性规划的解法
总结词
非线性规划的解法主要包括梯度法、牛顿法、拟牛顿 法、共轭梯度法等。
详细描述
非线性规划的解法有多种，其中梯度法是最早且最常用 的方法之一。该方法通过不断迭代，逐步逼近最优解。 牛顿法是一种基于泰勒展开式的迭代方法，具有较高的 收敛速度，但需要计算二阶导数矩阵。拟牛顿法是牛顿 法的改进，通过构造一个近似于海森矩阵的矩阵来代替 二阶导数矩阵，减少了计算量。共轭梯度法则是结合了 梯度法和牛顿法的优点，既具有较好的收敛性，又避免 了计算二阶导数矩阵的麻烦。
04 非线性规划
非线性规划的定义
总结词
非线性规划是一种数学优化方法，用于解决目标函数和约束条件均为非线性函数的优化 问题。
详细描述
非线性规划是运筹学的一个重要分支，主要研究在有限资源条件下如何通过合理安排和 调配，以达到最优化的目标。非线性规划的目标函数和约束条件通常是非线性的，这使
得问题在求解上具有一定的挑战性。
运筹学
线性规划问题解的概念
假设A的秩为m，因为m＜n，故它有无穷多个解。 假设前m个变量的系数列向量是线性独立的，这 时
a11 a12 a1m b1 a1,m1 a1n a21 a22 a2 m b2 a2,m1 a2 n x1 x2 xm xm 1 xn a a a b a a m1 m2 mm m m,m1 mn
2. 基 设A为约束方程组的m×n维系数矩阵，其秩为m。B 是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（︱B︱≠0）则 称B是线性规划问题的一个基。 a11 a12 a1m B p1 , p2 ,, pm a a a mm m1 m 2
称Pj为基向量，与基向量Pj相应的变量xj (j=1,2, „，m)为基变量，否则称为非基变量。
应用运筹学原则
为了有效地应用运筹学，前英国运筹学学会会长 托姆林森提出六条原则： 合伙原则 催化原则 互相渗透原则 独立原则 宽容原则 平衡原则
运筹学展望
运筹数学到20世纪70年代发展完善，忽略了解决 实际问题的研究，招致了批评。 现代运筹学工作者面临的大量新问题是经济、技 术、社会、生态和政治等因素交叉在一起的复杂系统， 运筹学向系统分析发展的趋势较为明显。 传统运筹学方法为硬系统思考，无法胜任结构不 明确的系统。这就应采用软系统思考方法，将过分理 想化的“最优解”换成“满意解”。
运筹学知识体系概述
运筹学知识体系概述
于玉琪
中科院上海药物研究所
摘要：运筹学是包含多种学科的综合性学科，是最早形成的一门软科学.它把科
学的方法、技术和工具应用到包括一个系统管理在内的各种问题上，以便为那些掌管系统的人们提供最佳的解决问题的办法。本文首先对运筹学做了简单介绍，并回顾了运筹学的产生和历史，同时介绍了运筹学研究对象、定义和特点，重点介绍了运筹学的各个分支及主要解决方法，深入探讨了各个分支的应用领域和具体解决问题。
关键词：运筹学；分支；解决方法
1运筹学简介
运筹学是包含多种学科的综合性学科,是最早形成的一门软科学。它把科学
的方法、技术和工具应用到包括一个系统管理在内的各种问题上，以便为那些掌
管系统的人们提供最佳的解决问题的办法。它用科学的方法研究与某一系统的最
优管理有关的问题。它能帮助决策人解决那些可以用定量方法和有关理论来处理
的问题。
现在普遍认为，运筹学是近代应用数学的一个分支,主要是将生产、管理等
事件中出现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行解
决。前者提供模型，后者提供理论和方法.
运筹学主要研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方
面的问题。当然，随着客观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事
活动，有些已经深入到日常生活当中去了。运筹学可以根据问题的要求，通过数
学上的分析、运算，得出各种各样的结果,最后提出综合性的合理安排，以达到
最好的效果。
虽然不大可能存在能处理及其广泛对象的运筹学，但是在运筹学的发展过程
中还是形成了某些抽象模型，并能应用解决较广泛的实际问题。
运筹学简介
对偶理论与灵敏度分析（第2章） • 存储论
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运筹学省级精品课程网站 http://glxy.hfut.edu.cn/ycx 运筹学精品课程网站 http://jpkc.scu.edu.cn/2005/575/htm/kcwz11.htm
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“运筹学”这一名词最早出现在第二次世界大战期间—— 美、英等国家的作战研究小组为了解决作战中所遇到的许 多错综复杂的战略、战术问题而提出的。 例如：如何合理运用雷达有效地对付德国空袭；对商船队 如何进行编队护航，在船队遭受德国潜艇攻击时使船队损 失最少；反潜深水炸弹在各种情况下 如何调整其爆炸深度， 才能增加对德国潜潜艇的杀伤力等。 1935年，英国科学家华生华特(Waston-Wart)发明了雷达， 丘吉尔命令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密雷达站。 当时，德国已经拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到 达英国本土。雷达作为防空系统的一部分，从技术上是可 行的，但是实际运用时却不理想。在如此短的时间里，如 何预警和拦截德国飞机成为一大难题。
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国内： 1956年钱学森（系统工程专家）、许国志（数学家）从美 国回来，刘源张（质量管理专家）从日本回来，周华章（经 济学家、凯恩斯的学生）从英国回来。他们将运筹学由西方 引入我国，最初译为“运用学”。 1957年从“运筹帷幄之中，决胜千里之外”中摘取“运筹” 二字，将O.R.正式命名为“运筹学”。 1956年，我国第一个运筹学小组在中科院力学研究所成立。 1958年分别在中国科学院力学研究所、数学研究所成立了二 个运筹学研究室。1960年二个运筹学研究室合并。 1978年以前（文革期间）钱学森在七机部负责我国“两弹一 星”的研究工作。 1978年以后钱学森认为应向社会推广，成立了中国军事运筹 学会，1980年成立了中国运筹学会和中国系统工程学会。 我国于1982年加入国际运筹学联合会，并于1999年8月组织 了第15届大会。
运筹学涉及的数学知识
运筹学涉及的数学知识
摘要：
一、引言
二、运筹学简介
三、线性规划
四、整数规划
五、动态规划
六、网络优化
七、总结
正文：
运筹学是一门运用数学和统计学方法对实际问题进行建模、优化和求解的学科。它广泛应用于生产调度、交通运输、资源分配等领域。本文将简要介绍运筹学涉及的数学知识。
首先，线性规划是运筹学的基础知识。线性规划研究在一定约束条件下线性目标函数的最优化问题。它可以用矩阵表示，并使用单纯形法等数学方法求解。
其次，整数规划是线性规划的特殊情况，要求部分或全部变量取整数值。整数规划在运输、调度和选址等问题中具有重要意义。常用的求解方法有分枝定界法、割平面法等。
动态规划是另一种重要的优化方法。它将问题分解成相互联系的子问题，通过求解子问题并将结果存储起来，以避免重复计算，从而提高效率。动态规
划广泛应用于最短路径、背包问题等领域。
网络优化是运筹学的另一个重要分支，研究在网络结构中的最优化问题。这类问题可以描述为带权的有向图，通过求解最短路径、最大流等问题，可以有效地改善网络的性能。
总之，运筹学涉及的数学知识包括线性规划、整数规划、动态规划和网络优化等。
《运筹学》教学大纲(本科)
运筹学
一、课程简介
《运筹学》是公共事业管理专业的专业基础课程，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际工作中提出的专门问题，为决策者选择满意方案提供定量依据。课程的目的与任务是使学生掌握整体优化的基本思想，培养学生的逻辑思维能力和创新素质；使学生掌握运筹学的工作步骤，培养学生运用模型和算法并借助计算机手段解决实际问题的能力；使学生了解本领域的发展动态。
通过本课程的教学，力图使学生获得系统的运筹学（I）各分支的基本知识（如线性规划及单纯形法、对偶理论与灵敏度分析、运输问题、整数规划、动态规划的基本方法及应用、图与网络分析、网络计划技术、排队论等）。要求学生在掌握基本概念、基本方法的基础上，掌握其基本原理；会操作运筹学应用软件，并能编写某些算法的计算机源程序。
二、理论教学内容
1.绪论
掌握内容：运筹学的概念和应用。
了解内容：运筹学的常用软件。
2.线性规划及单纯形法
掌握内容：线性规划的性质和性质；运筹学的内容；线性规划的性质和性质，图解法求线性规划，利用单纯形法求解线性规划问题。
了解内容：线性规划的概念，大M法和两阶段法。
3.线性规划问题的对偶与灵敏度分析
掌握内容：对偶问题、对偶单纯形法、影子价格的定义及应用、对偶单纯形法的适用范围；线性规划的对偶理论，增加变量及约束条件对最优解的影响。
了解内容：线性规划的对偶的求解。
4.运输问题
掌握内容：运输问题的模型及概念、表上作业法、闭回路的概念及性质；表上作业法。
了解内容：基变量的概念及性质。
5.动态规划
掌握内容：动态规划模型的类型。
了解内容：动态规划模型的应用。
运筹学笔记
运筹学笔记
运筹学笔记主要包括以下内容：
运筹学简介：运筹学是应用数学和形式科学的跨领域分支，利用数学及优化理论的量化原理来描述管理行为，通过决策提供依据，并系统的利用和创造资源。
线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，用于解决资源优化配置问题。线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一组线性函数的最大值或最小值。
整数规划：整数规划是线性规划的一个扩展，要求决策变量取整数值。整数规划问题在现实生活中应用广泛，如生产计划、物流配送等。
动态规划：动态规划是一种解决优化问题的数学方法，它通过将一个复杂问题分解为若干个子问题，然后逐个求解子问题，最终得到原问题的最优解。
图论：图论是运筹学中用于研究图的结构和性质的一个分支。图论中的优化问题包括最小生成树、最短路径、最大流等。
排队论：排队论是研究排队等待现象的数学理论，主要应用于服务系统的设计和优化，如医院、银行、机场等场所的排队等待问题。
存储论：存储论是研究存储策略和物资管理问题的数学理论，主要应用于物资的存储、订货和补货等问题。
决策分析：决策分析是运筹学中用于解决决策问题的数学方法，
包括风险决策、不确定决策、多目标决策等。
启发式算法：启发式算法是一种基于经验和直观的优化算法，通常用于解决难以用数学模型描述的问题。常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。
多目标规划：多目标规划是运筹学中用于解决多个相互冲突的目标的优化问题的数学方法。在多目标规划中，通常需要权衡不同目标之间的利益关系，寻求最优的解决方案。
以上是运筹学笔记的主要内容，通过学习和掌握这些内容，可以帮助解决各种实际问题，提高管理和决策效率。
运筹学简介
课程内容
线性规划 非线性规划 动态规划
参考书
运筹学(Operations Research) 数学规划原理与方法(Mathematic Programming) 线性与非线性规划 线性规划(Linear Programming) 非线性规划(Nonlinear Programming) 最优化方法(Optimization) 动态规划(Dynamic Programming)
• 扩展：战后用于民用事业 • 成型：各个分支成熟 • 成熟：计算机、信息技术结合
自60年代以来，被认为是运筹学普及和发展的时 期。
• 发展：学科结合、渗透 应用广度和深度、方法和算法的完善
我国的第一个运筹学小组是在1956年在中国科学 院研究所成立。
运筹学释义
《大英百科全书》:“运筹学是一门应用于 管理有组织系统的科学”，“运筹学为 掌管这类系统的人提供决策目标和数量 分析的工具 ” 《中国大百科全书 》:“用数学方法研究 经济、民政和国防等部门在内外环境的 约束条件下合理分配人力、物力、财力 等资源，使实际系统有效运行的技术科 学．它可以用来预测发展趋势．制定行 动规划或优选可行方案”
运筹学简介
运筹学简史
运筹学(Operations Research)的起源 • 起源：古代战争、娱乐、建设 • 学科产生：第二次世界大战
从1945年到50年代初，被称为创建时期。1951年 莫尔斯和金博尔合著的《运筹学方法》标志着 这门学科的形成。 50年代初期到末期。电子计算机的发展起到非常 重要的作用，是的诸如单纯形法、动态规划等 得以在实际管中应用。
875运筹学参考书目
875运筹学参考书目
摘要：
一、运筹学简介
- 运筹学的定义
- 运筹学的研究对象和内容
二、运筹学参考书目
- 1.《运筹学》(第四版)
- 2.《运筹学教程》(第三版)
- 3.《运筹学》(第五版)
- 4.《运筹学及其应用》(第四版)
- 5.《运筹学与控制论》(第二版)
三、参考书目的特点和涵盖内容
- 基本概念、方法和技术
- 实际应用中的运用
正文：
运筹学是一门研究如何有效地运用数学方法和技术进行决策的科学。它涉及多个学科领域，如数学、工程学、经济学和管理学等。以下是几本关于运筹学的参考书目:
一、运筹学简介
运筹学是一门研究如何有效地运用数学方法和技术进行决策的科学。它的研究对象包括运筹学的基本概念、方法和技术，以及其在实际应用中的运用。
运筹学广泛应用于工业、商业、政府等各个领域，可以帮助人们制定出更科学、更有效的决策。
二、运筹学参考书目
以下是几本关于运筹学的参考书目:
1.《运筹学》(第四版)
这本书由胡运权、郭耀煌共同撰写，清华大学出版社出版。该书系统地介绍了运筹学的基本概念、方法和技术，包括线性规划、整数规划、动态规划、排队论等。该书适合初学者使用，也可以作为运筹学的教材。
2.《运筹学教程》(第三版)
这本书由吴祈耀、胡运权共同撰写，清华大学出版社出版。该书是一本面向初学者的教程，介绍了运筹学的基本概念、方法和技术，并以大量的实例和习题帮助读者加深理解。
这些参考书目涵盖了运筹学的基本概念、方法和技术，以及其在实际应用中的运用。
运筹学教学大纲
运筹学教学大纲
一、课程简介
运筹学是一门应用数学学科，旨在通过建立数学模型、运用数学技术和计算工具来解决实际问题。该课程主要介绍基本的运筹学概念、原理和应用，培养学生的问题分析和决策能力。
二、教学目标
1. 理解和掌握运筹学的基本概念、方法和技巧；
2. 学会用数学模型分析和解决实际问题；
3. 培养学生的逻辑思维、系统思考和决策能力；
4. 掌握运筹学软件和工具的使用。
三、教学内容及安排
1. 线性规划
- 概念和基本性质
- 图形解法和单纯形法
- 对偶理论与灵敏度分析
- 整数规划
2. 非线性规划
- 梯度法和牛顿法
- 限制性条件和约束条件的处理 - 全局最优解和局部最优解
3. 动态规划
- 最优子结构和递推方程
- 状态转移表和决策路径
- 应用案例分析
4. 排队论
- M/M/1模型和M/M/s模型
- 排队规则和性能指标
- 应用案例分析
5. 库存管理
- 最优订货策略和补货策略
- ABC分析和经济批量模型
- 应用案例分析
6. 网络优化
- 最小生成树和最短路径
- 关键路径和关键活动
- 资源分配和调度
四、教学方法
1. 理论讲授：介绍概念、原理和方法；
2. 实例分析：通过实际案例讲解运筹学在问题解决中的应用；
3. 计算机实验：利用运筹学软件进行数学建模和求解；
4. 小组讨论：激发学生的思考和交流，培养合作能力；
5. 课堂互动：引导学生提问、解答问题，加强学生的主动学习。
五、教学评估
1. 平时成绩：包括课堂表现、小组讨论、作业完成情况等；
2. 期中考试：检测学生对基本知识和方法的掌握程度；
3. 实践项目：要求学生选择一个实际问题，用运筹学方法进行分析和解决；
运筹学简解
在相邻的两个变量以及最后一个变量与第 一个变量之间用一条水平直线或沿垂直线连接 起来，形成一个以这些变量为拐角点（或称顶 点）的回路，我们把这种回路称为闭回路。
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闭回路有以下几何特征： （1）每个拐角点必定只有两条边连接； （2）每条边都是水平的或垂直的； （3）每一行（一列）若有闭回路的拐角点， 那么必定只有两个。
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§6.3 二元线性规划的图象解法
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例 : 在约束条件
下，求： max z 10x1 11x2 max z 4 x1 2 x2
3 x1 4 x2 9 5 x 2 x 8 1 2 x1 2 x2 1 x1 0, x2 0
(1) (2) (3)
min z 10x1 11x2
的最优解。
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1 在平面（直角）坐标系下画出可行域。
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2 在可行域中找出最优解。
当可行域是有界凸多边形时，不论目标函数怎 样变化，其最优解总能在可行域这个凸多边形的一 个顶点处达到。因此，求最优解，不必在可行域的 所有点处去找（可行域，一般有无穷多个点），而 只在可行域的各顶点处比较它们的目标函数z的值， 最大（小）者为最大（小）值，对应最大（小）值 的顶点的坐标就是最优解。这种方法也叫顶点法或 枚举法。
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其数学模型为：
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为此，一些科学家就如何合理运用雷达开始了研究。 1939年，英国皇家空军指挥部组织了一个小组，即成立 了英国第一个运筹小组，组长是曼彻斯特大学物理学家、英 国战斗机司令部顾问P.M.S.Blackett（战后因在宇宙射线方 面的研究成果而获得诺贝尔物理学奖）。组员：2位理论数 学家，2位应用数学家，1位天文物理学家， 1位普通物理 学家，3位心理学家，1位海军军官，1位陆军军官，l位测 量员）。——“Blackett杂技团”。 他们研究的问题是：设计将雷达信息传递到指挥系统和武 器系统的最佳方式；雷达与武器的最佳配置。他们对探测、 信息传递、作战指挥、战斗机与武器的协调等做了系统的研 究，并获得成功。他们在秘密报告中使用了“Operational Research”一词，即“运筹学”。
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“运筹帷幄中,决胜千里外”
在公元前3世纪楚汉相争中,汉高祖刘邦的著名谋士张良 为推翻秦朝,打败项羽,统一全国,立下大功,刘邦赞誉他"运筹 帷幄中,决胜千里外".
《史记》在《高祖本纪》 、《留侯世家》多处提及"运筹 帷幄中,决胜千里外".
这里的"运筹",指张良在帷幄中制定作战谋略的过程.在西 汉时代, "运筹"已被当作制定谋略与决策职能分工的代名词.
1935年，英国科学家华生华特(Waston-Wart)发明了雷 达，丘吉尔命令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密 雷达站。当时，德国已经拥有一支强大的空军，起飞17分 钟即可到达英国本土。雷达作为防空系统的一部分，从技术 上是可行的，但是实际运用时却不理想。在如此短的时间里， 如何预警和拦截德国飞机成为一大难题。
运筹学
Operational Research
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运筹学简介
一、运筹学发展简介 二、运筹学的定义 三、运筹学在管理中的应用 四、运筹学的工作步骤 五、运筹学内容介绍
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一、运筹学（OR）发展简介
1. 运筹学在国内
中国古代朴素的运筹学思想
田忌赛马
战国时代，齐王常与他的大将田忌赛马，双方约定每场各 出一匹马，分三场进行比赛。齐王的马有上、中、下三等， 田忌的马也有上、中、下三等，但每一等都比不上齐王同等 的马，于是田忌屡赛屡输。一日，田忌的宾客、对军事颇有 研究的孙膑给田忌出了一个主意，结果以二比一赢了齐王。 即要善于用局部的牺牲去换取全局的胜利,从而达到以弱胜强 的目的——典型的博弈问题.
Operations Research Societies, IFORS).
1952年世界上第一个运筹学会在美国成立，并出版期刊《运筹
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学》。
运筹学的成长时期（20世纪50年代初到20世纪50年代末）
形成了比较完备的一套理论，如规划论、排队论、存贮论、决
策论等。
1957年在英国牛津大学召开了第一届运筹学国际会议。
1959年成立了国际运筹学学会(International Federation of
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“运筹学”这一名词最早出现在第二次世界大战期间—— 美、英等国家的作战研究小组为了解决作战中所遇到的许多 错综复杂的战略、战术问题而提出的。
例如：如何合理运用雷达有效地对付德国空袭；对商船队 如何进行编队护航，在船队遭受德国潜艇攻击时使船队损失 最少；反潜深水炸弹在各种情况下 如何调整其爆炸深度， 才能增加对德国潜潜艇的杀伤力等。
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虽然作为统帅的纳尔森阵亡，但留下了秘密备忘录中的纳 尔森秘诀。
1914年英国人兰彻斯特(F.W.Lanchester)针对该秘诀进 行研究，发布了关于人与火力的优势与胜利之间的理论文章， 这就是军事运筹学中著名的“兰彻斯特战斗方程”。
第一次世界大战期间，英国生理学教授希尔领导了一个防 空实验小组，他们专门研究高射炮的利用，研究如何部署高 射炮在阵地中的位置，从而使敌机受到的打击最大，而自己 一方受到的损失最小。因此，后来的科学家、军事学家、工 程师们认为希尔领导的防空实验小组是运筹组织的萌芽，希 尔就被称为“运筹学之父”。
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3. 运筹学的发展
运筹学的创建时期（1945-20世纪50年代初）
1947年，美国数学家丹捷格(G.B.Dantizg)发表了关于线性规
划的研究成果，所解决的问题是美国空军军事规划时提出的，并
给出了求解线性规划问题的单纯形算法。
1948年英国成立了运筹学俱乐部，定期讨论如何把运筹学用于
民用事业，并取得了成果。
我国学术界1955年开始研究运筹学时,正是从《史记》中 摘取 “运筹”一词作为OR (Operations Research)的意 译,就是运用筹划、以智取胜的含义.
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2. 运筹学在国外 运筹学的产生
运筹学的早期历史可以追溯到19世纪中叶，特拉法加尔 (Trafalgar)海战和纳尔森(Nelson)秘诀。法国拿破仑统帅 大军要与英国争夺海上霸主地位。英国海军统帅、海军中将 纳尔森亲自制定了周密的战术方案。1805年10月21日，这 场海上大战爆发了。英国是纳尔森亲自统帅的地中海舰队， 由27艘战舰组成；另外一方是由费伦钮夫(Villenuve)率领 的法国-西班牙联合舰队，共有33艘战舰。在一场海战后， 法国-西班牙联合舰队以惨败告终：联合舰队司令费伦钮夫 连同12艘战舰被俘，8艘沉没，仅13艘逃走，人员伤亡 7000人。而英国战舰没有沉没，人员伤亡1663人。
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1736年，欧拉(Euler)解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。 1909年,丹麦电气工程师爱尔朗(A.K.Erlang)为解决自动 电话交换系统的系统排队与系统拥挤现象，提出了有关排队 论的理论与方法，标志着排队论的诞生。 1915年，哈里斯(F.W.Harris)推导出了经济订货批量公式。 1928年,冯.诺伊曼(John Von Neumann 1903-1957） 以研究二人零和对策的一系列论文为对策论奠基. 1939年,苏联的康托洛维奇(L.V.kantorovich,19121986)发表《生产组织和计划中的数学方法》一书是规划论 的开始. 这些工作,仍是现在运筹学研究的领域.但作为一门学科, 运筹学诞生于20世纪第二次世界大战期间,运筹学起源于军 事、管理、经济.