(新课标)2019高考数学大一轮复习解答题专题突破(五)圆锥曲线的热点问题课时作业理

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2019届高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线常用解法、常规题型与性质

a2 xA 4 1 3 c
例 3、动圆 M 与圆 C1:(x+1) 2+y2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1) 2+y切时的“图形特征” ：两个圆心与切点这三点共线（如图中的 A 、M 、C 共线，
B 、 D、 M 共线）。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” （如图中的 MC MD ）。
在椭圆上，同样 C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到
x 轴上，立即可得
防
6
f (m) ( xB x A ) 2 ( xD xC ) 2 2 (xB xA ) ( xD X C )
2 ( xB xC ) (x A xD ) 2 ( xB X C )
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。
舍去）
2 )，它为直线 AF 与抛物线的另一交点，
（ 2）（ 1 ,1） 4
过 Q 作 QR⊥l 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时， BQ QF BQ QR 最小，此时 Q 点的纵坐标为 1，
3
代入
y
2
=4x
得 x=
1
，∴ Q(
1 ,1)
4
4
点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。
1
题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称
为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用
如“ 2x+y ”，令 2x+y=b，则 b 表示斜率为 -2 的直线在 y 轴上的截距；如“ x 2+y2” , 令 x 2 y 2 d ，

圆锥曲线全国卷高考真题解答题(含解析))

圆锥曲线全国卷高考真题解答题一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.9．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .10．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1P 4（1中恰有三点在椭圆C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.12．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．13．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.14．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN ∠=∠．15．2018年全国卷Ⅲ文数高考试题已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．16．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）设A 、B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．17．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .18．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.19．（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系xOy 中，直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H . （Ⅰ）求OH ON；（Ⅱ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.20．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上（1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线2:,2x C y D =，为直线12y上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为,A B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以50,2E ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程.22．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）设1F ， 2F 分别是椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点， M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a ， b .23．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.(1)求的轨迹方程；(2)当时，求的方程及的面积24．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ON ⋅＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.一、解答题1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.【答案】(1)见详解；(2) 3或【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t -然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=-，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥得出t 的值，从而求出M 坐标和EM 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t -,11(,)A x y ,则21112y x =．又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ，故1111()2y x x t +=-，整理得112210tx y -+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y -+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y -+=.于是直线2210tx y -+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y -+=.即2(21)0tx y +-+=，当20,210x y =-+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=，于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+212|||2(1)AB x x t =-==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭，由于EM AB ⊥，而()2,2EM t t =-，AB 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +-=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或. 【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小． 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．【答案】（1）12870x y --=；（2【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ）已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF ，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.【答案】（1）2214x y += （2）2y x =-【解析】试题分析：设出F ，由直线AFc ，结合离心率求得a ，再由隐含条件求得b ，即可求椭圆方程；（2）点l x ⊥轴时，不合题意；当直线l 斜率存在时，设直线:2l y kx =-，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得k 的范围，再由弦长公式求得PQ ，由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出k 值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设(),0F c ，因为直线AF，()0,2A -所以23c =，c =又222,2c b a c a ==- 解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）解：设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221{42,x y y kx +==-，消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k+==++. 所以PQ ==214k =+ 点O 到直线l的距离d =所以12OPQS d PQ ∆==0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得k =时取等号，满足234k >所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：2y x =-或2y x =-. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.4．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，47-或47+．【解析】试题分析：（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线OM 的斜率，再表示；（2）第一步由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ，直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足0k >，3k ≠的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．∴由2229y kx b x y m=+⎧⎨+=⎩得2222(9)20k x kbx b m +++-=， ∴12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+． ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-．即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-．（2）四边形OAPB 能为平行四边形． ∵直线l 过点(,)3mm ，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠ 由 (Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． ∴由2229,{9,y x k x y m =-+=得，即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x = 239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =247k =．∵0,3i i k k >≠，1i =，2，∴当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形．考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即2P M x x =，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0ax y a --=0ax y a ++=（Ⅱ）存在【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(2,)N a -，或(22,)M a -，,)N a a .∵12y x '=，故24x y =在x =2a a C 在(22,)a a 处的切线方程为(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.故24x y =在x =-22a 处的导数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：设的方程为．（1）由在线段上，又；（2）设与轴的交点为（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时．当与轴垂直时与重合所求轨迹方程为．试题解析：由题设，设，则，且．记过两点的直线为，则的方程为．．．．．．．．．．．．．3分（1）由于在线段上，故，记的斜率为的斜率为，则，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设与轴的交点为，则，由题设可得，所以（舍去），．设满足条件的的中点为．当与轴不垂直时，由可得．而，所以．当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．．．．．．．．．12分考点：1.抛物线定义与几何性质；2.直线与抛物线位置关系；3.轨迹求法．7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷）已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．（Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN 的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，写出A 点坐标，并求直线AM 的方程，将其与椭圆方程组成方程组，消去y ，用,t k 表示1x ，从而表示AM ，同理用,t k 表示AN ，再由2AM AN =及t 的取值范围求k 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN 的面积AMNS11212144227749=⨯⨯⨯=.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk xx t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=.由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-+，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =时上式不成立，因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332122022k k k k k k k -+-+-=<--，即3202k k -<-.由此得320{20k k ->-<，或320{20k k -<->，解得322k <<. 因此k 的取值范围是()32,2.【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系【名师点睛】由直线（系）和圆锥曲线（系）的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数（系数）的范围问题，常把所求参数作为函数值，另一个元作为自变量求解．8．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷）设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围. 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆定义求方程；（Ⅱ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

高考复习—高考数学专项练习与试卷：高考大题专项(五) 圆锥曲线的综合问题

高考大题专项(五) 圆锥曲线的综合问题突破1 圆锥曲线中的最大(小)值、范围问题1.(2020河南郑州模拟)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)上的点到右焦点F (c ,0)的最大距离是√2+1,且1,√2a ,4c 成等比数列. (1)求椭圆的方程;(2)过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M (m ,0),求实数m 的取值范围.2.(2020湖南湘潭一模)已知F (√3,0)为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的一个焦点,点M (√3,12)在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 与椭圆C 分别相交于A ,B 两点,且k OA +k OB =-12(O 为坐标原点),求直线l 的斜率的取值范围.3.已知椭圆E 的中心在原点,焦点F 1,F 2在y 轴上,离心率等于2√23,P 是椭圆E 上的点.以线段PF 1为直径的圆经过F 2,且9PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1. (1)求椭圆E 的方程;(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ,N.如果线段MN 被直线2x+1=0平分,求直线l 的倾斜角的取值范围.4.(2020宁夏银川模拟)如图,椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),直线l :x=a 2交x 轴于点A ,且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)求椭圆的方程;(2)过点F 1,F 2分别作互相垂直的两条直线与椭圆分别交于D ,E ,M ,N 四点,试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.5.(2020山东济宁一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√33,且椭圆C 过点(32,√22). (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 分别相交于A ,B 两点,且与圆O :x 2+y 2=2相交于E ,F 两点,求|AB|·|EF|2的取值范围.突破2 定点、定值问题1.(2019北京,理18)已知抛物线C :x 2=-2py 经过点(2,-1). (1)求抛物线C 的方程及其准线方程.(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y=-1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B.求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.2.(2020重庆模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.点M 在椭圆C 上运动,若△MF 1F 2的面积取得最大值4时,有且仅有2个不同的点M 使得△MF 1F 2为直角三角形. (1)求椭圆C 的方程;(2)过点P (0,1)的直线l 与椭圆C 分别相交于A ,B 两点,与x 轴交于点Q.设QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:λ+μ为定值,并求该定值.3.(2020甘肃白银联考)设椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,下顶点为A,O为坐标原点,点O到直线AF2的距离为√22,△AF1F2为等腰直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线l与椭圆C分别相交于M,N两点,若直线AM与直线AN的斜率之和为2,证明:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.4.(2020湖南郴州教学质量监测)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线分别交抛物线于A,B两点.(1)若以AB为直径的圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=16,求抛物线C的标准方程;(2)过点A,B分别作抛物线的切线l1,l2,证明:l1,l2的交点在定直线上.突破3证明、探索性问题1.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为12,直线l:y=k(x-4)(k≠0)与椭圆C交于不同两点M,N,直线FM,FN分别交y轴于A,B两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求证:|FA|=|FB|.2.如图,已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆C上一点,AF1与y轴相交于点B,|AB|=|F2B|,|OB|=43.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1,A2,过点A1,A2分别作x轴的垂线l1,l2,椭圆C的一条切线l:y=kx+m(k≠0)与l1,l2分别交于M,N两点,求证:∠MF1N=∠MF2N.3.(2020云南曲靖模拟)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,F为左焦点,过点F作x轴的垂线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3.(1)求椭圆C的方程.(2)在圆x2+y2=3上是否存在一点P,使得在点P处的切线l与椭圆C相交于M,N两点,且满足OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?若存在,求l的方程;若不存在,请说明理由.4.(2020江西新余模拟)已知F为椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,点P(2,√2)在椭圆C上,且PF⊥x轴.(1)求椭圆C的方程.(2)如图,过点F的直线l分别交椭圆C于A,B两点,交直线x=4于点M.判断直线PA,PM,PB的斜率是否构成等差数列?请说明理由.5.(2020湖南五市十校联考)已知动圆C过定点F(1,0),且与定直线x=-1相切.(1)求动圆圆心C的轨迹E的方程.(2)过点M(-2,0)的任意一条直线l与轨迹E分别相交于不同的两点P,Q,试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M),使得∠QNM+∠PNM=π?若存在,求点N的坐标;若不存在,说明理由.6.已知圆C :(x-1)2+y 2=14,一动圆与直线x=-12相切且与圆C 外切. (1)求动圆圆心P 的轨迹T 的方程.(2)若经过定点Q (6,0)的直线l 与轨迹T 交于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,过M 作x 轴的平行线与轨迹T 相交于点N ,试问是否存在直线l ,使得NA ⊥NB ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.参考答案高考大题专项(五) 圆锥曲线的综合问题突破1 圆锥曲线中的最大(小)值、范围问题1.解(1)由已知可得{a +c =√2+1,1×4c =2a 2,a 2=b 2+c 2,解得{a =√2,b =1,c =1,所以椭圆的方程为x 22+y 2=1.(2)由题意得F (1,0),设直线AB 的方程为y=k (x-1).与椭圆方程联立得{x 2+2y 2-2=0,y =k (x -1),消去y 可得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4k21+2k2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2k=-2k 1+2k2.可得线段AB 的中点为N2k21+2k2,-k 1+2k2.当k=0时,直线MN 为y 轴,此时m=0.当k ≠0时,直线MN 的方程为y+k1+2k 2=-1k (x -2k21+2k2), 化简得ky+x-k21+2k2=0.令y=0,得x=k21+2k2.所以m=k21+2k2=11k2+2∈(0,12).综上所述,实数m 的取值范围为[0,12).2.解(1)由题意知,椭圆的另一个焦点为(-√3,0),所以点M 到两焦点的距离之和为√(2√3)2+(12)2+12=4.所以a=2.又c=√3,所以b=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)当直线l 的斜率不存在时,结合椭圆的对称性可知,k OA +k OB =0,不符合题意. 故设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{x 24+y2=1,y =kx +m ,可得(4k 2+1)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0.则x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4(m 2-1)4k 2+1.而k OA +k OB =y1x 1+y2x 2=(kx 1+m )x 2+(kx 2+m )x 1x 1x 2=2k+m (x 1+x 2)x 1x 2=2k+-8km 24(m 2-1)=-2km 2-1.由k OA +k OB =-12,可得m 2=4k+1, 所以k ≥-14.又由Δ>0,得16(4k 2-m 2+1)>0,所以4k 2-4k>0,解得k<0或k>1,综上,直线l 的斜率的取值范围为[-14,0)∪(1,+∞). 3.解(1)依题意,设椭圆E 的方程为y 2a 2+x 2b2=1(a>b>0),半焦距为c.因为椭圆E 的离心率为2√23, 所以c=2√23a ,b 2=a 2-c 2=a 29.因为以线段PF 1为直径的圆经过点F 2,所以PF 2⊥F 1F 2.所以|PF 2|=b2a .因为9PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1, 所以9|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9b 4a 2=1.由{b 2=a 29,9b 4a 2=1,得{a 2=9,b 2=1,所以椭圆E 的方程为y 29+x 2=1.(2)因为直线x=-12与x 轴垂直,且由已知得直线l 与直线x=-12相交, 所以直线l 不可能与x 轴垂直, 所以设直线l 的方程为y=kx+m. 由{y =kx +m ,9x 2+y 2=9,得(k 2+9)x 2+2kmx+m 2-9=0.因为直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ,N ,所以Δ=4k 2m 2-4(k 2+9)(m 2-9)>0,即m 2-k 2-9<0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-2kmk 2+9.因为线段MN 被直线2x+1=0平分, 所以2×x 1+x 22+1=0, 即-2kmk 2+9+1=0.由{m 2-k 2-9<0,-2kmk 2+9+1=0,得(k 2+92k )2-(k 2+9)<0.因为k 2+9>0,所以k 2+94k2-1<0,所以k 2>3,解得k>√3或k<-√3.所以直线l 的倾斜角的取值范围为π3,π2∪π2,2π3. 4.解(1)由题意知,|F 1F 2|=2c=2,A (a 2,0),因为AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以F 2为线段AF 1的中点,则a 2=3,b 2=2,所以椭圆方程为x 23+y 22=1. (2)当直线DE 与x 轴垂直时,|DE|=2b2a=√3,此时|MN|=2a=2√3,四边形DMEN 的面积S=|DE |·|MN |2=4. 同理当MN 与x 轴垂直时, 也有四边形DMEN 的面积S=|DE |·|MN |2=4. 当直线DE ,MN 与x 轴均不垂直时,设直线DE :y=k (x+1)(k ≠0),D (x 1,y 1),E (x 2,y 2),代入椭圆方程,消去y 可得(2+3k 2)x 2+6k 2x+3k 2-6=0,则x 1+x 2=-6k22+3k 2,x 1x 2=3k 2-62+3k2,所以|x 1-x 2|=4√3×√k 2+12+3k2,所以|DE|=√k 2+1|x 1-x 2|=4√3(k 2+1)2+3k2.同理|MN|=4√3[(-1k)2+1]2+3(-1k )2=4√3(1k 2+1)2+3k 2,所以四边形DMEN 的面积S=|DE |·|MN |2=12×4√3(k 2+1)2+3k 2×4√3(1k 2+1)2+3k 2=24(k 2+1k 2+2)6(k 2+1k2)+13, 令u=k 2+1k2,则S=4-413+6u .因为u=k 2+1k2≥2,当且仅当k=±1时,等号成立,此时S=9625,且S 是以u 为自变量的增函数,则9625≤S<4.综上可知,9625≤S ≤4,故四边形DMEN 面积的最大值为4,最小值为9625. 5.解(1)由题意得c a =√33,所以a 2=32b 2,所以椭圆的方程为x 232b2+y 2b2=1,将点(32,√22)代入方程得b 2=2,即a 2=3,所以椭圆C 的标准方程为x 23+y 22=1.(2)由(1)可知,椭圆的右焦点为(1,0),①若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为x=1, 则A (1,2√33),B (1,-2√33),E (1,1),F (1,-1), 所以|AB|=4√33,|EF|2=4,|AB|·|EF|2=16√33.②若直线l 的斜率存在,则设直线l 的方程为y=k (x-1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立{x 23+y 22=1,y =k (x -1),消去y (2+3k 2)x 2-6k 2x+3k 2-6=0,则x 1+x 2=6k 22+3k2,x 1x 2=3k 2-62+3k2,所以|AB|=√(1+k 2)(x 1-x 2)2=√(1+k 2)[(6k22+3k2)2-4×3k 2-62+3k2]=4√3(k 2+1)2+3k2.因为圆心O (0,0)到直线l 的距离d=√k +1,所以|EF|2=4(2-k2k 2+1)=4(k 2+2)k 2+1,所以|AB|·|EF|2=4√3(k 2+1)2+3k2·4(k 2+2)k 2+1=16√3(k 2+2)2+3k2=16√33·k 2+2k 2+23=16√33(1+43k 2+23).因为k 2∈[0,+∞), 所以|AB|·|EF|2∈16√33,16√3.综上,|AB|·|EF|2的取值范围为16√33,16√3.突破2 定点、定值问题1.(1)解由抛物线C :x 2=-2py 经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C 的方程为x 2=-4y ,其准线方程为y=1.(2)证明抛物线C 的焦点为F (0,-1).设直线l 的方程为y=kx-1(k ≠0).由{y =kx -1,x 2=-4y ,得x 2+4kx-4=0. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1x 2=-4. 直线OM 的方程为y=y1x 1x.令y=-1,得点A 的横坐标x A =-x1y 1.同理得点B 的横坐标x B =-x2y 2.设y 轴上一点D (0,n ),则DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 1y 1,-1-n ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 2y2,-1-n ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2y 1y 2+(n+1)2=x 1x 2(-x 124)(-x 224)+(n+1)2=16x 1x 2+(n+1)2=-4+(n+1)2.令DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.综上,以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,-3).2.(1)解由题意知,当点M 在短轴端点时,△MF 1F 2为直角三角形且∠F 1MF 2=90°,S △MF 1F 2=4,所以b=c 且S=12·2c·b=bc=4,解得b=c=2,a 2=b 2+c 2=8, 所以椭圆C 的方程为x 28+y 24=1.(2)证明显然直线l 的斜率不为0,设直线l :x=t (y-1),联立{x 28+y 24=1,x =t (y -1),消去x ,得(t 2+2)y 2-2t 2y+t 2-8=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=2t 2t 2+2,y 1y 2=t 2-8t 2+2.令y=0,则x=-t ,所以Q (-t ,0),因为QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以y 1=λ(y 1-1), 所以λ=y1y 1-1. 因为QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以y 2=μ(y 2-1), 所以μ=y2y 2-1.所以λ+μ=y 1y 1-1+y 2y 2-1=2y 1y 2-(y 1+y 2)y 1y 2-(y 1+y 2)+1=83.3.(1)解由题意可知,直线AF 2的方程为xc +y -b =1,即-bx+cy+bc=0,√b +c 2=bc a =√22.因为△AF 1F 2为等腰直角三角形,所以b=c , 又a 2=b 2+c 2,可得a=√2,b=1,c=1, 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1. (2)证明由(1)知A (0,-1).当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=kx+t (t ≠±1),代入x 22+y 2=1,得(1+2k 2)x 2+4ktx+2t 2-2=0,所以Δ=16k 2t 2-4(1+2k 2)(2t 2-2)>0,即t 2-2k 2<1.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-4kt 1+2k2,x 1x 2=2t 2-21+2k2.因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,所以k AM +k AN =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+t+1x 1+kx 2+t+1x 2=2k+(t+1)(x 1+x 2)x 1x 2=2k-(t+1)·4kt2t 2-2=2, 整理得t=1-k.所以直线l 的方程为y=kx+t=kx+1-k=k (x-1)+1,显然直线y=k (x-1)+1经过定点(1,1). 当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x=m.因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2,设M (m ,n ),则N (m ,-n ),所以k AM +k AN =n+1m +-n+1m =2m =2,解得m=1,此时直线l 的方程为x=1,显然直线x=1也经过定点(1,1).综上,直线l 恒过点(1,1).4.(1)解设AB 中点为M ,A 到准线的距离为d 1,B 到准线的距离为d 2,M 到准线的距离为d ,则d=y M +p2.由抛物线的定义可知,d 1=|AF|,d 2=|BF|,所以d 1+d 2=|AB|=8, 由梯形中位线可得d=d 1+d 22=4,所以y M +p2=4. 又y M =3,所以3+p2=4,可得p=2, 所以抛物线C 的标准方程为x 2=4y. (2)证明设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由x 2=2py ,得y=x 22p ,则y'=x p ,所以直线l 1的方程为y-y 1=x1p (x-x 1),直线l 2的方程为y-y 2=x2λ(x-x 2),联立得x=x 1+x 22,y=x 1x22p ,即直线l 1,l 2的交点坐标为(x 1+x 22,x 1x 22p ).因为AB 过焦点F (0,p2),由题可知直线AB 的斜率存在,故可设直线AB 方程为y-p2=kx ,代入抛物线x 2=2py 中,得x 2-2pkx-p 2=0,所以x 1x 2=-p2,y=x 1x 22p =-p 22p =-p2,所以l 1,l 2的交点在定直线y=-p2上.突破3 证明、探索性问题1.(1)解由题意可得{c =1,ca=12,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =√3,所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)(x 1≠1且x 2≠1).联立{x 24+y 23=1,y =k (x -4)消去y ,得(4k 2+3)x 2-32k 2x+64k 2-12=0.依题意Δ=(-32k 2)-4(4k 2+3)·(64k 2-12)>0,即0<k2<14.则x 1+x 2=32k 24k 2+3,x 1x 2=64k 2-124k 2+3.因为k MF +k NF =y 1x 1-1+y 2x 2-1=k (x 1-4)x 1-1+k (x 2-4)x 2-1=k [2x 1x 2-5(x 1+x 2)+8](x 1-1)(x 2-1)=k [2·(64k 2-124k 2+3)-5·(32k24k 2+3)+8](x 1-1)(x 2-1)=0.所以直线MF 的倾斜角与直线NF 的倾斜角互补,即∠OFA=∠OFB. 又OF ⊥AB ,所以|FA|=|FB|.2.(1)解连接AF 2,由题意得|AB|=|F 2B|=|F 1B|,所以BO 为△F 1AF 2的中位线.又BO ⊥F 1F 2,所以AF 2⊥F 1F 2,且|AF 2|=2|BO|=b2a=83.又离心率e=c a=13,a 2=b 2+c 2,得a 2=9,b 2=8,故所求椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1.(2)证明由题可知,l 1的方程为x=-3,l 2的方程为x=3.直线l 的方程分别与直线l 1,l 2的方程联立得M (-3,-3k+m ),N (3,3k+m ),所以F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-3k+m ),F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,3k+m ), 所以F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-8+m 2-9k 2.联立{x 29+y 28=1,y =kx +m ,得(9k 2+8)x 2+18kmx+9m 2-72=0.因为直线l 与椭圆C 相切,所以Δ=(18km )2-4(9k 2+8)(9m 2-72)=0,化简得m 2=9k 2+8.所以F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-8+9k 2+8-9k 2=0,所以F 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故∠MF 1N=π2.同理F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3k+m ),F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3k+m ),F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠MF 2N=π2.故∠MF 1N=∠MF 2N.3.解(1)∵e=√1-b2a 2=12,∴3a 2=4b 2.又|AB|=2b2a=3,∴a=2,b=√3.∴椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)不存在.理由如下,假设存在点P ,使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 当直线l 的斜率不存在时, l :x=√3或x=-√3,与椭圆C :x 24+y 23=1相交于M ,N 两点,此时M (√3,√32),N √3,-√32或M -√3,√32,N -√3,-√32, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3-34=94≠0, ∴当直线l 的斜率不存在时,不满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 当直线l 的斜率存在时,设y=kx+m ,联立{y =kx +m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.∵直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点, ∴Δ>0,化简得4k 2>m 2-3. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),∴x 1+x 2=-8km3+4k2,x 1x 2=4m 2-123+4k2,y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3m 2-12k 23+4k2.∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴4m 2-123+4k2+3m 2-12k 23+4k2=0,∵7m 2-12k 2-12=0,又直线l 与圆x 2+y 2=3相切, ∴√3=√1+k ∴m 2=3+3k 2,∴21+21k 2-12k 2-12=0,解得k 2=-1,显然不成立,∴在圆上不存在这样的点P ,使OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立. 4.解(1)因为点P (2,√2)在椭圆C 上,且PF ⊥x 轴,所以c=2.设椭圆C 的左焦点为E ,则|EF|=2c=4,|PF|=√2.在Rt △EFP 中,|PE|2=|PF|2+|EF|2=18,所以|PE|=3√2. 所以2a=|PE|+|PF|=4√2,a=2√2. b 2=a 2-c 2=4, 故椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.(2)直线PA ,PM ,PB 的斜率构成等差数列,理由如下,由题意可设直线AB 的方程为y=k (x-2),令x=4得y=2k ,点M 的坐标为(4,2k ).联立{x 28+y 24=1,y =k (x -2),得(2k 2+1)x 2-8k 2x+8(k 2-1)=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=8k22k 2+1,x 1x 2=8(k 2-1)2k 2+1.①设直线PA ,PB ,PM 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,从而k 1=y 1-√2x 1-2,k 2=y 2-√2x 2-2,k 3=2k -√24-2=k-√22. 因为直线AB 的方程为y=k (x-2), 所以y 1=k (x 1-2),y 2=k (x 2-2),所以k 1+k 2=y 1-√2x 1-2+y 2-√2x 2-2=y 1x 1-2+y 2x 2-2−√2(1x 1-2+1x 2-2)=2k-√2·x 1+x 2-4x 1x 2-2(x 1+x 2)+4. ② 将①代入②,得k 1+k 2=2k-√2·8k22k 2+1-48(k 2-1)2k 2+1-16k22k 2+1+4=2k-√2.又k 3=k-√22,所以k 1+k 2=2k 3,故直线PA ,PM ,PB 的斜率成等差数列.5.解(1)(方法1)由题意知,动圆圆心C 到定点F (1,0)的距离与其到定直线x=-1的距离相等.由抛物线的定义,可得动圆圆心C 的轨迹是以F (1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其中p=2.所以动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2=4x.(方法2)设动圆圆心C (x ,y ),由题意知√(x -1)2+y 2=|x+1|,化简得y 2=4x ,即动圆圆心C 的轨迹E 的方程为y 2=4x. (2)存在.假设存在点N (x 0,0),满足题设条件.由∠QNM+∠PNM=π可知,直线PN 与QN 的斜率互为相反数,即k PN +k QN =0. ①由题意知直线PQ 的斜率必存在且不为0,设直线PQ 的方程为x=my-2. 联立{y 2=4x ,x =my -2,得y 2-4my+8=0.由Δ=(-4m )2-4×8>0,得m>√2或m<-√2. 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=8.由①式得k PN +k QN =y 1x 1-x 0+y2x 2-x 0=y 1(x 2-x 0)+y 2(x 1-x 0)(x 1-x 0)(x 2-x 0)=0,所以y 1(x 2-x 0)+y 2(x 1-x 0)=0, 即y 1x 2+y 2x 1-x 0(y 1+y 2)=0.消去x 1,x 2,得14y 1y 22+14y 2y 12-x 0(y 1+y 2)=0,14y 1y 2(y 1+y 2)-x 0(y 1+y 2)=0, 因为y 1+y 2≠0,所以x 0=14y 1y 2=2,所以存在点N (2,0),使得∠QNM+∠PNM=π.6.解(1)设P (x ,y ),分析可知动圆的圆心不能在y 轴的左侧,故x ≥0,因为动圆与直线x=-12相切,且与圆C 外切,所以|PC|-(x +12)=12, 所以|PC|=x+1, 所以√(x -1)2+y 2=x+1,化简可得y 2=4x.(2)存在.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由题意可知,当直线l 与y 轴垂直时,显然不符合题意,故可设直线l 的方程为x=my+6,联立{x =my +6,y 2=4x消去x ,可得y 2-4my-24=0, 显然Δ=16m 2+96>0, 则{y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-24,① 所以x 1+x 2=(my 1+6)+(my 2+6)=4m 2+12, ② 因为x 1x 2=y 124·y 224,所以x 1x 2=36,③ 假设存在N (x 0,y 0),使得NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,由题意可知y 0=y 1+y 22,所以y 0=2m , ④ 由点N 在抛物线上可知x 0=y 024,即x 0=m 2,⑤又NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-x 0,y 1-y 0),NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 0,y 2-y 0),若NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则x 1x 2-x 0(x 1+x 2)+x 02+y 1y 2-y 0(y 1+y 2)+y 02=0,将①②③④⑤代入上式化简可得3m 4+16m 2-12=0,即(m 2+6)(3m 2-2)=0, 所以m 2=23,故m=±√63,所以存在直线3x+√6y-18=0或3x-√6y-18=0,使得NA ⊥NB.。

2019高考数学(理)六大解答题突破高考解答题突破(五) 圆锥曲线的综合应用

高考解答题突破(五) 圆锥曲线的综合应用突破“两设”——设点、设线[思维流程][技法点拨]圆锥曲线解答题的常见类型是：第1问通常是根据已知条件，求曲线方程或离心率，一般比较简单．第2问往往是通过方程研究曲线的性质——弦长问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等，这一小题综合性较强，可通过巧设“点\”“线\”，设而不求．在具体求解时，可将整个解题过程分成程序化的三步：第一步，联立两个方程，并将消元所得方程的判别式与根与系数的关系正确写出；第二步，用两个交点的同一类坐标的和与积，来表示题目中涉及的位置关系和数量关系；第三步，求解转化而来的代数问题，并将结果回归到原几何问题中．在求解时，要根据题目特征，恰当的设点、设线，以简化运算．考向一圆锥曲线中的范围、最值问题解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．[解] (1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD ＝∠ADC.所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．解圆锥曲线范围、最值问题的要点求解范围或最值问题的关键是建立关于求解某个参数的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．[对点训练]1．(2018·郑州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于两点P ，Q ，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．[解] (1)由题意可知以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．∴|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)．∴a 2＝2b 2，∴b 2a 2＝12.∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a 2＝12＝22. (2)∵△PQF 2的周长为42，∴4a ＝42，∴a ＝2，由(1)知b 2a2＝12，∴b 2＝1， ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)．①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，直线l 的方程为x ＝－1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，x22＋y 2＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－22.∴P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，22，Q ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，－22， ∴F 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2，22，F 2Q →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2，－22，∴F 2P →·F 2Q →＝(－2)×(－2)＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＝4－12＝72.故F 2P →·F 2Q →＝72.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.∴F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1 ＝72－92(2k 2＋1)， ∵k 2>0，∴可得－1<F 2P →·F 2Q →<72，综上可得－1<F 2P →·F 2Q →≤72，∴F 2P →·F 2Q →的最大值是72.考向二圆锥曲线中的定点、定值问题1．定点问题的求解策略解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线y ＝kx ＋m (k 存在的情形)．然后利用条件建立k 与m 的关系．借助于点斜式方程思想确定定点坐标．2．定值问题的求解策略定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值，再给出一般化的证明或直接推证得出与参数无关的数值．在这类试题中选择消元的方法是非常关键的．[解] (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1，由已知可得，点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，22或⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，－22. 所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2.解答圆锥曲线的定值、定点问题应把握3点(1)从特殊情形开始，求出定值，再证明该值与变量无关； (2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值； (3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标．[对点训练]2．(2018·天津和平二模)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的右顶点为A ，若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于M 、N 两点(异于A 点)，且满足MA ⊥NA ，试证明直线l 经过定点，并求出该定点的坐标．[解] (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1.所以，椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：如图，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，整理，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0， x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k2. 从而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2，由椭圆E 的右顶点为A (2,0)，MA ⊥NA ，得y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1，得y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.则有3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，整理，得7m 2＋16km ＋4k 2＝0，解得m ＝－2k 或m ＝－2k7，均满足条件3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，直线l 的方程为y ＝k (x －2)，直线l 过定点A ，与题设矛盾；当m ＝－2k7时，直线l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0，所以直线l 经过定点，且定点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.考向三圆锥曲线中的探索性问题处理探索性问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出相符的结论，则存在性随之解决；若导出矛盾，则否定了存在性．[解]存在性问题的解题步骤[对点训练]3．(2018·河北唐山模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率e＝63，过点A (0，－b )和点B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点E (－1,0)，若直线y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆交于C ，D 两点，问：是否存在k ，使得以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．[解] (1)直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，ab(－a )2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝1.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)存在．理由：假设存在这样的k .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0.由题意知Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k1＋3k 2，②x 1x 2＝91＋3k 2，③ 而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，要使以CD 为直径的圆过点E (－1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时成立，则y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，∴(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝0，④ 将②③式带入④式整理得k ＝76.经验证，k ＝76时使得①式成立．综上可知，存在k ＝76使得以CD 为直径的圆过点E .专题跟踪训练(二十七)1．(2018·济南模拟)已知点P (－2,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)上，动点A ，B 都在椭圆上，且直线AB 不经过原点O ，直线OP 经过弦AB 的中点．(1)求椭圆C 的方程和直线AB 的斜率； (2)求△PAB 面积的最大值．[解] (1)将P (－2,1)代入x 2a 2＋y 22＝1，得(－2)2a 2＋122＝1，a 2＝8.故椭圆方程为x 28＋y 22＝1.当直线AB 斜率不存在时不合题意，故设直线AB ：y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 28＋y22＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－8＝0，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－4km 1＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋4k 2，直线OP 经过弦AB 的中点，则k OM ＝k OP ，y 0x 0＝－12，m －4km ＝－12，∴k ＝12，即直线AB 的斜率为12.(2)当k ＝12时，由Δ＝64－16m 2>0得－2<m <2，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4，|AB |＝1＋122|x 1－x 2|＝1＋122(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21＋122 4－m 2，点P 到直线AB ：y ＝12x ＋m 的距离d ＝|m －2|1＋122，△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝|m －2|4－m 2＝－(m －2)3(m ＋2).设f (m )＝－(m －2)3(m ＋2)(－2<m <2)，则f ′(m )＝－[3(m －2)2(m ＋2)＋(m －2)3]＝－4(m －2)2·(m ＋1)，求得f (m )max ＝f (－1)＝27，所以S max ＝27＝3 3.2．(2018·东北三校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为22，且过焦点的弦中最短的弦的长度为233.(1)求该椭圆C 的方程．(2)经过椭圆右焦点F 2的直线和该椭圆交于A ，B 两点，点P 在椭圆上，O 为原点，若OP →＝12OA →＋32OB →，求直线的方程．[解] (1)由题意得，在椭圆中c ＝2，所以a 2－b 2＝2.① 过焦点的弦中垂直于x 轴的弦最短，易得该直线与椭圆的交点的纵坐标为±b 2a.由弦的长度为233得2b 2a ＝233，即b 2a ＝33.②由①②式得a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，因为OP →＝12OA →＋32OB →，所以x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2.又因为点P 在椭圆上，所以x 233＋y 23＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 1＋32x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12y 1＋32y 22 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x 213＋y 21＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 223＋y 22＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2 ＝14＋34＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1x 2＋y 1y 2＝1，所以x 1x 2＋3y 1y 2＝0.①当直线斜率为0时，其方程为y ＝0，此时不妨设A (3，0)，B (－3，0)，不满足x 1x 2＋3y 1y 2＝0，不符合题意，舍去．②当直线斜率不为0时，设直线方程为x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x23＋y 2＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2＋22my －1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，y 1＋y 2＝－22m m 2＋3，y 1y 2＝－1m 2＋3.所以x 1x 2＋3y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋3y 1y 2＝m 2y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋2＋3y 1y 2＝(m 2＋3)×－1m 2＋3＋2m ×－22mm 2＋3＋2＝0，化简，得m 2－4m 2＋3＝0，解得m 2＝1，所以直线方程为x ＝±y ＋ 2.综上，直线方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.3．(2018·西安模拟)如图，点F 是抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)的焦点，点A 是抛物线上的定点，且AF →＝(2,0)，点B ，C 是抛物线上的动点，直线AB ，AC 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求抛物线Γ的方程；(2)若k 2－k 1＝2，点D 是B ，C 处切线的交点，记△BCD 的面积为S ，证明S 是定值．[解] (1)设A (x 0，y 0)，可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，故AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0，p2－y 0＝(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝p2代入x 2＝2py (p >0)，得4＝p 2，即p ＝2，∴抛物线Γ的方程为x 2＝4y .(2)证明：如图，过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ，并设B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 214，C ⎝⎛⎭⎪⎫x 2，x 224，由(1)得A (－2,1)，∴k 2－k 1＝x 224－1x 2＋2－x 214－1x 1＋2＝x 2－x 14，又k 2－k 1＝2，∴x 2－x 14＝2，即x 2－x 1＝8.又x 2＝4y 即y ＝14x 2，有y ′＝12x ，∴k BD ＝x 12，k CD ＝x 22，∴直线DB ：y ＝x 12x －x 214，直线CD ：y ＝x 22x －x 224.∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214，y ＝x 22x －x224解得⎩⎪⎨⎪⎧x D＝x 1＋x 22，y D＝x 1x24.又∵直线BC 的方程为y －x 214＝x 1＋x 24(x －x 1)，将x D 代入，得y E ＝x 21＋x 228.∴△BCD 的面积为S ＝12ED ·(x 2－x 1)＝12×(y E －y D )×(x 2－x 1)＝12×(x 2－x 1)28×(x 2－x 1)＝12×828×8＝32(定值)．4．(2018·郑州质检)已知椭圆x 2＋2y 2＝m (m >0)，以椭圆内一点M (2,1)为中点作弦AB ，设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C ，D 两点．(1)求椭圆的离心率；(2)试判断是否存在这样的m ，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上，并说明理由．[解] (1)将方程化成椭圆的标准方程x 2m ＋y 2m2＝1(m >0)，则a ＝m ，c ＝ m －m2＝m2，故e ＝c a ＝22. (2)由题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入x 2＋2y 2＝m (m >0)，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4k (1－2k )x ＋2(2k －1)2－m ＝0(m >0)．所以x 1＋x 2＝4k (2k －1)1＋2k 2＝4，即k ＝－1，此时，由Δ>0，得m >6.则直线AB 的方程为x ＋y －3＝0，直线CD 的方程为x －y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0，x 2＋2y 2＝m 得3y 2＋2y ＋1－m ＝0，y 3＋y 4＝－23，故CD 的中点N 为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－13.由弦长公式，可得 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝2·12(m －6)3. |CD |＝2|y 3－y 4|＝2·12m －83>|AB |，若存在圆，则圆心在CD 上，因为CD 的中点N 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪23－13－32＝423. |NA |2＝|NB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝6m －49，又⎝ ⎛⎭⎪⎫|CD |22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2·12m －832＝6m －49，故存在这样的m (m >6)，使得A ，B ，C ，D 在同一个圆上．。

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结

2019新课标高考压轴题圆锥曲线题型归类总结圆锥曲线的七种常考题型题型一：定义的应用圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。

在定义的应用方面，我们可以寻找符合条件的等量关系和进行等价转换，数形结合。

需要注意的是，定义的适用条件也要考虑清楚。

典型例题：例1：已知动圆M与圆C1：(x+1)^2+y^2=36内切，与圆C2：(x-1)^2+y^2=4外切，求圆心M的轨迹方程。

例2：已知方程x^2/y^2+1=1表示的曲线是什么？题型二：圆锥曲线焦点位置的判断在判断焦点位置之前，需要先将圆锥曲线化成标准方程。

对于椭圆，焦点在分母大的坐标轴上；对于双曲线，焦点在系数为正的坐标轴上；对于抛物线，焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

典型例题：例1：已知方程x^2/a^2+y^2/b^2=1表示的焦点在y轴上的椭圆，求m的取值范围。

例2：已知方程9-x^2/5-y^2/k=0，求k的取值使得方程为椭圆或双曲线。

题型三：圆锥曲线焦点三角形问题圆锥曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

常用正弦、余弦定理求解。

同时，PF，PF' = n，m+n，m-n，mn，m+n这四个关系也有应用。

典型例题：例1：椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1上一点P与两个焦点F1，F2的张角为α，求ΔF1PF2的面积。

例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2=60，求ΔF1PF2的面积。

双曲线的标准方程为什么？题型四：圆锥曲线中离心率、渐近线的求法在求离心率、渐近线时，需要利用a、b、c三者的相等或不等关系式进行计算，同时注重数形结合思想和不等式解法。

典型例题：例1：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是多少？例2：已知双曲线(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1的焦点为F1、F2，渐近线方程为y=(b/a)x，求a、b、c的大小关系式和渐近线的最值或范围。

高考数学一轮复习第8章平面解析几何解答题专项突破(五)圆锥曲线的综合问题创新教学案(含解析)新

解答题专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、X 围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第(2)问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．热点题型1 圆锥曲线中的定点问题典例1(2019·高考)抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)． (1)求抛物线C 的方程及其准线方程．(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解题思路 (1)根据抛物线C 过点(2，－1)，列方程求p ，得抛物线C 的方程，进而得出其准线方程．(2)设直线l 的方程，与抛物线C 的方程联立，用根与系数的关系推出关于M ，N 两点坐标的等量关系，设所求定点坐标为(0，n )，利用DA →·DB →＝0列方程式求n的值．规X 解答 (1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得22＝－2p (－1)，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1)．设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，那么DA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB→＝x 1x 2y 1y2＋(n ＋1)2 ＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2 ＝－4＋(n ＋1)2.令DA →·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．典例2(2019·某某模拟)Q 为圆x 2＋y 2＝1上一动点，Q 在x 轴，y 轴上的射影分别为点A ，B ，动点P 满足BA→＝AP →，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－35的直线与曲线C 交于M ，N 两点，判断以MN 为直径的圆是否过定点？假设是，求出定点的坐标；假设不是，请说明理由．解题思路 (1)设Q (x 0，y 0)，P (x ，y )，利用所给条件建立两点坐标之间的关系，利用Q 在圆上可得x ，y 的方程，即为所求．(2)设定点为H ，及直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，及HM →·HN→＝0，得出恒等式，求得定点的坐标．规X 解答 (1)设Q (x 0，y 0)，P (x ，y )，那么x 20＋y 20＝1，由BA →＝AP →，得⎩⎨⎧x 0＝x2，y 0＝－y ，代入x 20＋y 20＝1，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的定点，由对称性可知，该定点在y 轴上，设定点为H (0，m )，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －35，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －35，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－245kx －6425＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝24k 51＋4k 2，x 1x 2＝－64251＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－65＝－651＋4k2，y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－35⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－35＝k 2x 1x 2－35k (x 1＋x 2)＋925＝9－100k 2251＋4k 2， ∵HM →＝(x 1，y 1－m )，HN →＝(x 2，y 2－m )， ∴HM →·HN →＝x 1x 2＋y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2＝100m 2－1k 2＋25m 2＋30m －55251＋4k2＝0，∵对任意的k 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧100m 2－1＝0，25m 2＋30m －55＝0，解得m ＝1，即定点为H (0,1)，当直线l 的斜率不存在时，以MN 为直径的圆也过定点(0,1)．综上，以MN 为直径的圆过定点(0,1)．热点题型2 圆锥曲线中的定值问题典例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l ：x ＝－12，点P 在直线l 上移动，R 是线段FP 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．解题思路 (1)R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP →RQ 是线段PF 的垂直平分线→|PQ |＝|QF |→点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线→确定焦准距，根据抛物线的焦点坐标，求出抛物线的方程．(2)①求|TS |的依据：a ＝2r 2－d 2，其中a 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到弦所在直线的距离．②策略：设曲线C 上点M (x 0，y 0)，用相关公式求r ，d ；用x 0，y 0满足的等量关系消元．规X 解答 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |，又|PQ |是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为y 2＝2x (x >0)． (2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0，圆的半径r ＝|MA |＝x 0－12＋y 20，那么|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1，∵点M 在曲线C 上， ∴x 0＝y 202，∴|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．典例2(2019·某某三模)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，称圆心在原点O ，半径为a2＋b2的圆为椭圆C的“准圆〞．假设椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为 3.(1)求椭圆C的方程和其“准圆〞方程；(2)假设点P是椭圆C的“准圆〞上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆〞于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．解题思路(1)根据椭圆的几何性质求a，c，再用b2＝a2－c2求b，可得椭圆C 的方程，进而可依据定义写出其“准圆〞方程．(2)分以下两种情况讨论：①l1，l2中有一条斜率不存在；②l1，l2斜率存在．对于①，易知切点为椭圆的顶点；对于②，可设出过P与椭圆相切的直线，并与椭圆方程联立后消元，由Δ＝0推出关于椭圆切线斜率的方程，利用根与系数的关系进行证明．规X解答(1)∵椭圆C的一个焦点为F(2，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为 3.∴c＝2，a＝3，∴b＝a2－c2＝1，∴椭圆方程为x23＋y2＝1，∴“准圆〞方程为x2＋y2＝4.(2)证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，那么l1：x＝±3，当l1：x＝3时，l1与“准圆〞交于点(3，1)，(3，－1)，此时l2为y＝1(或y＝－1)，显然直线l1，l2垂直；同理可证当l 1：x ＝－3时，直线l 1，l 2垂直． ②当l 1，l 2斜率存在时，设点P (x 0，y 0)，其中x 20＋y 20＝4.设经过点P (x 0，y 0)与椭圆相切的直线为 y ＝t (x －x 0)＋y 0，∴由⎩⎨⎧y ＝t x －x 0＋y 0，x 23＋y 2＝1，得(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0.由Δ＝0化简整理，得(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0，∵x 20＋y 20＝4，∴有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0.设l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，∵l 1，l 2与椭圆相切，∴t 1，t 2满足上述方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋(x 20－3)＝0，∴t 1·t 2＝－1，即l 1，l 2垂直．综合①②知，l 1⊥l 2.∵l 1，l 2经过点P (x 0，y 0)，又分别交其“准圆〞于点M ，N ，且l 1，l 2垂直． ∴线段MN 为“准圆〞x 2＋y 2＝4的直径，|MN |＝4， ∴线段MN 的长为定值．热点题型3 圆锥曲线中的证明问题典例1抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)假设AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解题思路 (1)判断△ABD 的形状，求|FD |，|AB |.由△ABD 的面积为1，列方程求p ，得抛物线的方程．(2)将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立，消去y 并整理，结合根与系数的关系用k ，p 表示M ，N 的坐标．求k AN ：①斜率公式，②导数的几何意义，两个角度求斜率相等，证明相切．规X 解答 (1)∵AB ∥l ，∴△ABD 为等腰三角形，且FD ⊥AB ，又|FD |＝p ，|AB |＝2p .∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p 2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p .由⎩⎨⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2.∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22px 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线的斜率k ′＝x 1p . ∴直线AN 与抛物线相切．典例2(2019·某某二模)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(1<a <5)上，该椭圆的左顶点A 到直线x －y ＋5＝0的距离为322.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设线段MN 平行于y 轴，满足(ON →－2OM →)·MN →＝0，动点P 在直线x ＝23上，满足ON →·NP→＝2.证明：过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F . 解题思路 (1)根据椭圆的左顶点A 到直线x －y ＋5＝0的距离为322，列关于a 的等量关系求解，得椭圆C 的方程．(2)设出M ，N ，P 的坐标(注意M 与N 的横坐标相同，P 的横坐标)．先用(ON →－2OM →)·MN →＝0和ON →·NP →＝2推出坐标之间的关系，再利用这些等量关系证明NF →·OP→＝0. 规X 解答 (1)设左顶点A 的坐标为(－a,0)， ∵|－a ＋5|2＝322，∴|a －5|＝3，解得a ＝2或a ＝8(舍去)， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：由题意，设M (x 0，y 0)，N (x 0，y 1)，P (23，t )，且y 1≠y 0，由(ON →－2OM →)·MN →＝0，可得(x 0－2x 0，y 1－2y 0)·(0，y 1－y 0)＝0，整理可得y 1＝2y 0，由ON →·NP →＝2，可得(x 0,2y 0)·(23－x 0，t －2y 0)＝2，整理，得23x 0＋2y 0t ＝x 20＋4y 20＋2＝6，由(1)可得F (3，0)， ∴NF →＝(3－x 0，－2y 0)， ∴NF →·OP →＝(3－x 0，－2y 0)·(23，t )＝6－23x 0－2y 0t ＝0， ∴NF ⊥OP ，故过点N 且垂直于OP 的直线过椭圆C 的右焦点F . 热点题型4 圆锥曲线中的最值与X 围问题典例1(2019·某某二模)设F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，A 是C 上一点，F A 的延长线交y 轴于点B ，A 为FB 的中点，且|FB |＝3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于M ，N 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，求四边形MDNE 面积的最小值．解题思路(1)由题意画出图形，结合条件列式求得p ，那么抛物线C 的方程可求．(2)由直线l 1的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝k (x －1)，与抛物线方程联立，求出|MN |，同理可求|DE |⎝ ⎛⎭⎪⎫实际上，在|MN |的表达式中用－1k 代替k 即可，可得四边形MDNE 的面积表达式，再利用基本不等式求最值．规X 解答 (1)如图，∵A 为FB 的中点，∴A 到y 轴的距离为p4， ∴|AF |＝p 4＋p 2＝3p 4＝|FB |2＝32，解得p ＝2. ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由直线l 1的斜率存在且不为0，设其方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.∵Δ>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2＋4k 2，那么|MN |＝x 1＋x 2＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2；同理设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，∴x 3＋x 4＝2＋4k 2，那么|DE |＝x 3＋x 4＋2＝4(1＋k 2)．∴四边形MDNE 的面积S ＝12|MN |·|DE |＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋k 2＋1k 2≥32.当且仅当k ＝±1时，四边形MDNE 的面积取得最小值32.典例2 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2，0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A 且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，假设S △P AM ∶S △PBN ＝λ，某某数λ的取值X 围．解题思路 (1)求点B 的坐标→根据k AB ＝12列方程→由题意得a ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解方程组求a ，b ，c ，写出椭圆C 的标准方程．(2)S △P AM ∶S △PBN ＝λ――→面积公式PM →与PN →的关系→点M ，N 坐标之间的关系→直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 整理→用根与系数的关系得出点M ，N 的坐标之间的关系式→推出λ与k 的关系，并根据k >12求X 围，找到λ所满足的不等式，求出λ的取值X 围．规X 解答 (1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b 2a a ＋c＝12，a 2＝b 2＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1. (2)因为S △P AM S △PBN＝12|P A |·|PM |·sin ∠APM12|PB |·|PN |·sin ∠BPN＝2·|PM |1·|PN |＝λ⇒|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM→＝－λ2PN →. 由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k >12，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，化简得，(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3，x 1x 2＝－84k 2＋3.(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，2－λ2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，那么1<2－λ2λ<4且λ>2⇒4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值X 围为(4,4＋23)．热点题型5 圆锥曲线中的探索性问题典例1(2019·某某一模)抛物线E ：y 2＝4x ，圆C ：(x －3)2＋y 2＝1.(1)假设过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l的方程；(2)在(1)的条件下，假设直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M(t,0)使∠AMO＝∠BMO(O为坐标原点)？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．解题思路(1)求得抛物线的焦点，设出直线l的方程，运用直线l和圆C相切的条件：d＝r，解方程可得所求直线方程．(2)设出A，B的坐标，联立直线l的方程和抛物线E的方程，运用根与系数的关系和直线的斜率公式，依据∠AMO＝∠BMO，即k AM＋k BM＝0列方程化简整理，解方程可得t，即得点M的坐标，从而得到结论．规X解答(1)由题意，得抛物线的焦点F(1,0)，当直线l的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，所以直线l的斜率存在．设直线l的斜率为k，方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，由圆心(3,0)到直线l的距离为d＝|3k－k|1＋k2＝2|k|1＋k2，当直线l与圆C相切时，d＝r＝1，解得k＝±3 3，即直线l的方程为y＝±33(x－1)．(2)由(1)，当直线l的方程为y＝33(x－1)时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立抛物线E的方程可得x2－14x＋1＝0，那么x 1＋x 2＝14，x 1x 2＝1，x 轴上假设存在点M (t,0)使∠AMO ＝∠BMO ，即有k AM ＋k BM ＝0，得y 1x 1－t＋y 2x 2－t ＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0，由y 1＝33(x 1－1)，y 2＝33(x 2－1)，可得2x 1x 2－(x 1＋x 2)－(x 1＋x 2－2)t ＝0，即2－14－12t ＝0，即t ＝－1，M (－1,0)符合题意；当直线l 的方程为y ＝－33(x －1)时，由对称性可得M (－1，0)也符合条件．所以存在定点M (－1,0)使∠AMO ＝∠BMO .典例2(2019·某某模拟)点A (0，－1)，B (0,1)，P 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1上异于点A ，B 的任意一点．(1)求证：直线P A ，PB 的斜率之积为－12；(2)是否存在过点Q (－2,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，使得|BM |＝|BN |？假设存在，求出直线l 的方程；假设不存在，请说明理由．解题思路(1)设点P (x ，y )(x ≠0)，代入椭圆方程，由直线的斜率公式，即可得证． (2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交，讨论直线的斜率是否为0，联立直线方程和椭圆方程，运用根与系数的关系和两直线垂直的条件：由|BM |＝|BN |想到在△BMN 中，边MN 所在直线的斜率与MN边上的中线所在直线的斜率之积为－1，可得所求直线方程．规X 解答 (1)证明：设点P (x ，y )(x ≠0)，那么x 22＋y 2＝1，即y 2＝1－x 22， ∴k P A ·k PB ＝y ＋1x ·y －1x ＝y 2－1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22－1x 2＝－12，故得证．(2)假设存在直线l 满足题意．显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆C 不相交．①当直线l 的斜率k ≠0时，设直线l 为y ＝k (x ＋2)，联立椭圆方程x 2＋2y 2＝2，化简得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0，由Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0，解得－22<k <22(k ≠0)，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4k ＝k ·－8k 21＋2k 2＋4k ＝4k 1＋2k 2，取MN 的中点H ，即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，那么y1＋y22－1x1＋x22·k＝－1，即2k1＋2k2－1－4k21＋2k2·k＝－1，化简得2k2＋2k＋1＝0，无实数解，故舍去．②当k＝0时，M，N为椭圆C的左、右顶点，显然满足|BM|＝|BN|，此时直线l的方程为y＝0.综上可知，存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝0.。

《课堂新坐标》高考数学一轮总复习课件：专题突破高考解析几何问题的求解策略(共25张PPT)

新课标 ·文科数学（广东专用）
当且仅当m＝1－m，即m＝12时，上式等号成立，又m＝12满足Δ＝4m－4m2＞0. ∴d的最大值为1. 【反思启迪】 1.求解的关键在于利用点差法，确定直线斜率k与点Q的坐标间的关系，进而表示直线AB的方程． 2．(1)涉及弦长计算，要充分借助方程思想，利用韦达定理表示y1＋y2，y1y2“设而不求”，整体转化．(2)注意“Δ＞ 0”，应代入检验，判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据．
圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一
|AB| 小题，最常见的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系．另外抛物线的准
∴d＝＝2 m（1－m）≤m＋(1－m)＝1，线，双曲线的渐近线也是命题的热点．
小题，最常见的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系．另外抛物线的准
线，双曲线的渐近线也是命题的热点．
2．(1)涉及弦长计算，要充分借助方程思想，利用韦达定理表示y1＋y2，y1y2“设而不求”，整体转化．(2)注意“Δ＞0”，应代入检验，判别
式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据．
D.2x02 ＋y52＝1
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【解析】 ∵椭圆的离心率为 23， ∴ac＝ a2a－b2＝ 23，∴a＝2b. ∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0， ∴渐近线x－y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交
点为(2 5 5b，2 5 5b)， ∴由圆锥曲线的对称性得4(2 5 5b×2 5 5b)＝16， ∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20. ∴椭圆C的方程为2x02 ＋y52＝1.

【新】2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题53圆锥曲线的取值范围问题

专题53 圆锥曲线的取值范围问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。

常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b+< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。

【新】2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题52几何关系巧解圆锥曲线问题

专题52 几何关系巧解圆锥曲线问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题. 高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.解决圆锥曲线中的范围、最值问题一般有三种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解；三是通过建立不等式、解不等式求解.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用几何关系解答圆锥曲线的综合问题，特别是最值（范围）问题的常见解法.1、利用几何关系求最值的一般思路:（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到.因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值.所以只有共线时才有可能达到最值.要注意动点与定点相对位置关系.一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上.（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段进行表示，进而找到最值位置（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置. 2、常见的线段转移：（1）利用对称轴转移线段（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移.（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化.（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径（注意点在双曲线的哪一支上） 3、与圆相关的最值问题：（1）已知圆C 及圆外一定点P ，设圆C 的半径为r 则圆上点到P 点距离的最小值为PM PC r =-，最大值为PN PC r =+（即连结PC 并延长，M 为PC 与圆的交点，N为PC 延长线与圆的交点（2）已知圆C 及圆内一定点P ，则过P 点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为AB =AB 最小，则d 要取最大，在圆中CP 为定值，在弦绕P 旋转的过程中， d CP ≤，所以d CP =时，AB 最小N（3）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则圆上点到直线距离的最小值为C l PM d r -=-，距离的最大值为C l PN d r -=+（过圆心C 作l 的垂线，垂足为P ，CP 与圆C 交于M ，其反向延长线交圆C 于N（4）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则过直线l 上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM解：PM =PM 最小，则只需CP 最小即可，所以P 点为过C 作l 垂线的垂足时，CP 最小∴过P 作圆的切线，则切线长PM 最短4、与圆锥曲线相关的最值关系：（1）椭圆：设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>① 焦半径：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c -② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为22b a ，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（2）双曲线：设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>① 焦半径：焦半径的最小值为a c -，无最大值② 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为22b a，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直（3）抛物线：设抛物线方程为22y px =① 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即2p ② 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为2p【经典例题】例1.已知点3,12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在抛物线()2:20E x py p =>的准线上，过点P 作抛物线的切线，若切点A 在第一象限，F 是抛物线的焦点，点M 在直线AF 上，点N 在圆()()22:221C x y +++=上，则MN 的最小值为（）A.15 B. 65C. 2D. 1 【答案】A611155C l MN d r -≥-=-=-= 例 2.【2018届湖南省长沙市长郡中学模拟二】已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：设为椭圆的左焦点，连接，由椭圆的对称性，结合椭圆的定义可得，利用点与直线的距离不小于列不等式求解即可. 详解：可设为椭圆的左焦点，连接，解得，椭圆的离心率的取值范围是，故选B.点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.例3.【2018届四川省成都市第七中学三诊】已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M到直线的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．详解：由双曲线方程可得，双曲线的右顶点为，渐近线方程为，即．∴，∴抛物线的方程为，焦点坐标为．如图，设点M到直线的距离为，到直线的距离为，则，∴．结合图形可得当三点共线时，最小，且最小值为点F到直线的距离．故选B．点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．例4.【2018届安徽省芜湖市5月模拟】已知椭圆的右焦点为．圆上所有点都在椭圆的内部，过椭圆上任一点作圆的两条切线，为切点，若，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B同理，当点为椭圆的右顶点时，最大，可得解得，离心率，故选B.点睛：本题的关键是能够分析出当取得最大值及最小值时，点的位置，再结合平面几何知识列出方程，联立而后求出的值.例5.【2018届天津市部分区质量调查（二）】设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．详解：∵为圆上的点，∴是的中点，又是的中点，且，又是圆的切线，又∴双曲线方程为．故选D．例6.【2018届浙江省绍兴市5月调测】点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则与面所成角的正切值的最小值是A. B. C. D.【答案】C，其中为定值，则满足题意时，有最大值即可，设圆的半径为，则，，即：,则，中，由勾股定理可得，中，由勾股定理可得，为的中位线，则,，则，综上可得，与面所成角的正切值的最小值是：.本题选择C 选项.例7.已知点()4,0A 和()2,2B ，M 是椭圆221259x y +=上一动点，则MA MB +的最大值为_________【答案】10+例8.【2018年理北京卷】已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．【答案】 2双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，例9.【2018届江西省重点中学协作体第二次联考】设是过抛物线焦点的弦，其垂直平分线交轴于点，设，则的值是________【答案】【解析】分析：首先画出题中所给的条件的示意图，然后结合抛物线的定义整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，设AB中点为E，作准线于点，准线于点，准线于点，由抛物线的定义可知：，则，轴，，则：，据此可知四边形EHFG是平行四边形，则，从而：.例10.【2018届江西省景德镇市第一中学等盟校第二次联考】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，以为直径的动圆内切于圆.（1）求椭圆的方程；（2）延长交椭圆于点，求面积的最大值.【答案】(1) .(2)3.详解：（1）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：，当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即∴，即，又∴∴椭圆方程为：（2）由已知可设直线，令，原式=，当时，∴.【精选精练】1．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线的对称轴与准线交于点，为抛物线上的动点，，当最小时，点恰好在以，为焦点的椭圆上，则椭圆的长轴长为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出，过点作垂直与准线，则，记，则，当最小时，由最小值，设，利用定义，即可求解答案．x^kw点睛：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，以及椭圆的定义域标准方程的应用，其中解答中得出当最小时，由最小值，此时直线与抛物线相切于点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．2．【河北省衡水中学2018年高考押题三】已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：画出如图所示的示意图，根据点在抛物线上，可得，由椭圆的性质，分别表示出，根据直线被截得的弦长，可得线段之间的关系，从而得到，之后将两式联立，求出的值，代入到相应的式子求得结果.详解：如图所示：由题意：在抛物线上，则，则，（1）点睛：该题考查的是有关椭圆和抛物线的定义和性质的问题，在解题的过程中，首先利用点在抛物线上得到，结合椭圆的性质以及线段之间的关系，得到，联立求得，代入求得结果.3．【2018届河北省衡水中学三轮复习七】已知双曲线，、是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以线段为斜边的直角三角形，所以以为直径的圆与直线有两个交点，，，，，，故选B.点睛：求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.4．【2018届江西师大附中三模】已知椭圆的左焦点为，点为椭圆上一动点，过点向以为圆心，为半径的圆作切线，其中切点为，则四边形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由切线的性质可得S四边形PMFN==|PM|．因此要使四边形PMFN面积取得最大值，|PM|必须取得最大值，因此|PF|必须取得最大值，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c．详解：如图所示，当P点为椭圆的右顶点时，|PF|取得最大值a+c=4+1=5．∴|PM|=2，∴四边形PMFN面积最大值为=2××|PM|×|MF|=2．故选：A．5．【2018届湖南省湘潭市四模】已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D所以6.【2018届山东省济南市二模】设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用椭圆定义的周长为，结合三点共线时，的最小值为，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：的周长为，∴故选：A7．【2018届四川省冲刺演练（一）】已知圆：经过椭圆：的一个焦点，圆与椭圆的公共点为，，点为圆上一动点，则到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A∴或∴或∵当时，圆与椭圆无交点∴联立，得.∵∴，即线段所在的直线方程为∵圆与椭圆的公共点为，，点为圆上一动点∴到直线的距离的最大值为故选A.8．【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月测试】已知是双曲线的左，右焦点，是双曲线上一点，且，若△的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】C可得，因为△的内切圆半径为，所以由三角形的面积公式可得，化为，即，两边平方可得，可得，解得，故选C.9.【2018届四川省成都市模拟一】过点的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，当的周长最大时，的面积为__________．【答案】【解析】分析：根据椭圆的定义和性质可得右焦点，当且仅当共线时周长最长，再根据两点式求出直线的方程，进而求解面积.则，所以，所以此时的面积为.10.【2018届山东省潍坊市三模】设抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，满足，已知为抛物线准线上任一点，当取得最小值时，的外接圆半径为______.【答案】【解析】分析：根据抛物线的定义可知，解得，得，作抛物线的焦点，关于抛物线准线的对称点得，连接交抛物线的准线于点，使得取得最小值，此时点的坐标为，在中，分别应用正、余弦定理，即可求解结果.此时点的坐标为，在中，，由余弦定理得，则，由正弦定理得，所以，即三角形外接圆的半径为.11.【2018届山东省烟台市高三高考适应性练习（一）】已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=__________．【答案】3【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可．详解：画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点，准线为．∴．又，即，解得．12.【2018届山东省威海市二模】抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为______.【答案】【解析】分析：设|PF|=2a，|QF|=2b，．由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案.∴cosθ=，当且仅当a=b时取等号，∴θ≤，故答案为：点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出MN和PQ,其二是得到后要会利用基本不等式求最值.。

备战2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题55圆锥曲线的探索性存在性问题

路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库专题 55 圆锥曲线的探索性、存在性问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利探索性、存在性问题的解法. 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示.再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标 x0, y0 （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解. 4.探索性问题命题背景宽，涉及知识点多，综合性强，探究平分面积的线、平分线段的线，或探究等式成立的参数值，探索定点、定值的存在性等．常与距离、倾斜角、斜率及方程恒成立问题综合，形成知识的交汇．化解探索性问题的方法：首先假设所探求的问题结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题做出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有1什么差别．路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库【经典例题】例 1.【2018 届江苏省南京师大附中考前模拟】如图，已知椭圆 C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，若椭圆 C 经过点(0， )，离心率为，直线 l 过点 F2 与椭圆 C 交于 A、B 两点．（1）求椭圆 C 的方程；（2）若点 N 为△F1AF2 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2 与△F1AF2 面积的比值；（3）设点 A，F2，B 在直线 x＝4 上的射影依次为点 D，G， E．连结 AE，BD，试问当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点 T？若是，请求出定点 T 的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）见解析（2）因为点 N 为△F1AF2 的内心，所以点 N 为△F1AF2 的内切圆的圆心，设该圆的半径为 r.则＝＝＝＝.（3）若直线 l 的斜率不存在时，四边形 ABED 是矩形，2路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库此时 AE 与 BD 交于 F2G 的中点( ，0)，下面证明：当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T( ，0). 设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为直线 l 经过椭圆 C 内的点(1，0)，所以△＞0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝.＝＝＝＝0，所以点 T( ，0)在直线 AE 上，同理可证，点 T( ，0)在直线 BD 上.所以当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 T( ，0).例 2.【2018 届浙江省金华市浦江县高考适应性考试】设椭圆顶点为 ,离心率为且.3左右焦点为上（Ⅰ）求椭圆的方程；路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库（Ⅱ）设是轴正半轴上的一点，过点任作直线与相交于两点，如果定点的位置，并求的最大值.，是定值，试确【答案】(1).(2),.（Ⅱ）设的方程为x*/k/w它满足 4这时路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库这时.例 3.【2018 届广东省东莞市考前冲刺】在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，若椭圆：经过点，抛物线和椭圆有公共点，且.（1）求抛物线和椭圆的方程；（2）是否存在正数，对于经过点且与抛物线有两个交点的任意一条直线，都有焦点在以为直径的圆内？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,（2）所以，解得，所以抛物线，焦点，由题意知解得所以椭圆：故抛物线的方程为，椭圆的方程为.（2）假设存在正数适合题意，由题意知直线的斜率一定存在，设直线的方程为5路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库由消去，整理得由题意知恒成立，所以恒成立因为，所以，解得又因为，所以故存在正数适合题意，此时 d 取值范围为.例 4.【2018 届山东省日照市校际联考】已知椭圆：点为圆心的圆与直线相交于，两点，且，的焦距为，以椭圆的右顶 .（1）求椭圆的标准方程和圆的方程；（2）不过原点的直线与椭圆交于，两点，已知直线，，的斜率，，成等比数列，记以线段，线段为直径的圆的面积分别为，，的值是否为定值？若是，求出此值；若不是，6说明理由.路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库【答案】（1）椭圆的方程为，圆的方程为【解析】分析：（1）设为的中点，连接，则，所以；（2），又为定值，定值为 .，所以，由已知得,所以椭圆的方程为，，所以，所以，所以，所以圆的方程为．7路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库则故为定值，该定值为．例 5.【2018 届江西省重点中学协作体第二次联考】已知椭圆：轴为 .点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）答案见解析.的离心率为，短为定值？【解析】分析：（1）由题意结合平面向量数量积的坐标运算可得的方程为.8路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库（2）当不为轴时，设：，、.联立与的方程可得，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算可得.当为轴时，也满足上述结论.则存在使得所以，，因为为定值，所以，解得.此时定值为 .当为轴时，，.综上，存在使得为定值 .. .例 6.【2018 届四川省成都市第七中学三诊】设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，的最大值为 1.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为 ( 与不重合)，则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.9【答案】(1)路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库;(2)见解析.设，则∵ ∴当，，，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 1，即，解得，故所求的椭圆方程为．（2）由得消去 x 整理得，显然．设，，则，10路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库即当．∴直线与轴交于定点．例 7.【2018 届山东省威海市二模】已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，点为椭圆上一动点，（1）求椭圆的标准方程；面积的最大值为 .（2）设分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆 .若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断值，并说明理由.是否为定【答案】（1）（2）3【解析】分析：(1)根据题意得关于 a,b,c 的方程组，解之即得椭圆的方程.(2)先求出点,11路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库所以，设点，则，圆的半径为则直线的方程为的方程设为，则化简得由所以点，得 ,所以点在椭圆上，∴，即.12路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库例 8.【2018 届河北省武邑中学一模】已知椭圆坐标依次为和.（1）求椭圆的标准方程；’经过点，且两个焦点的（2）设是椭圆上的两个动点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为，若，证明：直线与以原点为圆心的定圆相切，并写出此定圆的标准方程.【答案】(1);(2)见解析.详解：（1）由椭圆定义得即，又，所以，得椭圆的标准方程为（2）设直线的方程为，，，直线的方程与椭圆方程联立，消去得13，，当判别式路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库时，得，所以直线与一个定圆相切，定圆的标准方程为.例 9.【2018 届上海市徐汇区二模】如图，是椭圆重合的相异两点，设直线的斜率分别是.(1)求的值；长轴的两个端点，是椭圆上与均不(2)若直线过点，求证：；(3)设直线与轴的交点为 ( 为常数且 )，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【答案】（1） 14（2）见解析（3）落在定直线上路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库（3）同（2）法，由点的纵坐标，求出直线的方程，联立两直线方程，求出其交点的横坐标与点的坐标无关，从而可判断交点落在定直线试题解析：(1)设，由于，上，从而问题可得解.所以，因为在椭圆上，于是，即，所以.(2)设直线得于是，，由，，(3)由于直线与轴的交点为，于是．，联立直线与椭圆的方程，可得15于是因为直线路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库，，直线，于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．例 10.【2018 届山东省潍坊市二模】已知平面上动点 P 到点 F 3, 0 的距离与到直线 x 4 3 的距离之比 3为 3 ，记动点 P 的轨迹为曲线 E . 2（1）求曲线 E 的方程；（2）设 M m, n 是曲线 E 上的动点，直线 l 的方程为 mx ny 1.①设直线 l 与圆 x2 y2 1 交于不同两点 C ， D ，求 CD 的取值范围；②求与动直线 l 恒相切的定椭圆 E 的方程；并探究：若 M m, n 是曲线： Ax2 By2 1 A B 0 上的动点，是否存在直线 l ： mx ny 1恒相切的定曲线？若存在，直接写出曲线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1） x2 y2 1 ；（2）见解析 416路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库【解析】分析：（1）设设 P x, y ，根据动点 P 到点 F 3, 0 的距离与到直线 x 4 3 的距离之比为 3 ，32x2 y2 1 A B 0 .AB详解：（1）设 P x, y ，由题意，得 x 3 2 y2 3.x4 323整理，得 x2 y2 1 ，所以曲线 E 的方程为 x2 y2 1 .44（2）①圆心 0, 0 到直线 l 的距离 d 1m2 n2∵直线于圆有两个不同交点 C ， D x/k..w∴CD24 1m21 n2 又∵ m2 n2 1n 04∴CD24 1 4 3m2 42 17路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库②当 m 0， n 1时，直线 l 的方程为 y 1；当 m 2 ， n 0 时，直线 l 的方程为 x 1 ，根据椭圆对 2称性，猜想 E '的方程为 4x2 y2 1.下证：直线 mx ny 1n 0 与 4x2 y2 1相切，其中 m2 n2 1，即 m2 4n2 4 .44x2 y2 1 由{ y 1 mx 消去 y 得： m2 4n2 x2 2mx 1 n2 0 ，即 4x2 2mx 1 n2 0 . n ∴ 4m2 16 1 n2 4 m2 4n2 4 0 恒成立，从而直线 mx ny 1与椭圆 E '： 4x2 y2 1恒相切.若点 M m, n 是曲线： Ax2 By2 1 A B 0 上的动点，则直线 l ： mx ny 1与定曲线 ' ：x2 y2 1 A B 0 恒相切.AB【精选精练】 1．【2018 届宁夏银川市第二中学二模】设动圆 P(圆心为 P)经过定点(0，2)，被 x 轴截得的弦长为 4，P 的轨迹为曲线 C (1) 求 C 的方程 (2) 设不经过坐标原点 O 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，O 在以线段 AB 为直径的圆上，求证：直线 l 经过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由圆的几何性质布列方程组，消去参数即可得到轨迹方程；18路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库（2）设不经过坐标原点 O 的直线的方程为，，则：，解得：线 l 经过定点.详解：（1）设动圆 P 圆心为，利用根与系数的关系表示垂直关系可得，半径为，被 x 轴截得的弦为依题意的：化简整理得：，从而得到直，，或所以直线 l 经过定点（舍去）2．【2018 届辽宁省部分重点中学协作体模拟】已知是椭圆该椭圆的左右焦点，且.（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为探究是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.上的一点，是，且.试【答案】(1) 椭圆 19;(2)见解析.【解析】分析：(1)由路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库，可得，根据椭圆定义，可得，从而所以所以，因此，椭圆.（用待定系数法，列方程组求解同样给分）（2）设直线，消去 y 得，由因为即，所以，解得所以，点睛：本题主要考查待定待定系数法求抛物线及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点在曲线上问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库3．【2018 届吉林省梅河口市第五中学二模】已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为，且过点，圆是以线段（1）求椭圆及圆的方程；为直径的圆，经过点且倾斜角为的直线与圆相切.（2）是否存在直线，使得直线与圆相切，与椭圆交于两点，且满足求出直线的方程，若不存在，请说明理由.？若存在，请【答案】（1）椭圆的方程为，圆的方程为；（2）不存在由题可知，解得，所以椭圆的方程为，圆的方程为.（2）假设存在直线满足题意.由，可得，故．（ⅰ）当直线的斜率不存在时，此时的方程为．21路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库因为直线与圆相切，所以，整理得①由消去 y 整理得设，则因为所以则所以，，，，，即，所以，整理得②由①②得，此时方程无解.故直线不存在．22，，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库由（i）（ii）可知不存在直线满足题意.4．【2018 届河北省武邑中学四模】已知椭圆，为左焦点，为上顶点，为右顶点，若，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为 .（1）求的标准方程；（2）是否存在过点的直线，与和交点分别是和的方程；如果不存在，请说明理由.，使得？如果存在，求出直线【答案】（1）；（2）或（2）依题意可知的方程为设直线方程为，，假设存在符合题意的直线，，联立方程组，得，由韦达定理得，则，联立方程组，得，由韦达定理得，所以，若，则，即，解得，所以存在符合题意的直线方程为或.点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进23路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题. 5．【2018 届湖南省长沙市长郡中学模拟卷（二）】已知动点到定直线：离大 2. （1）求动点的轨迹的方程；的距离比到定点的距（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与曲线交于，两点，使得为定值.如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）化简得，所以轨迹的方程为（2）假设存在满足条件的点（. ），直线：有，设，，有，，，，，据题意，于是为定值，则，则有，解得，故当时，为定值，所以.6.【2018 届浙江省杭州市学军中学模拟】是抛物线 24，的焦点，是抛物线上位于第一象路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为 .（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值.【答案】(1).(2)【解析】分析：（1）设的方程.(2)先求出详解：（1）抛物线. ，先求得，再根据抛物线的定义求得 p=1，即得抛物线，再利用换元和导数求其最小值.的焦点，设25路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库又∵ 到的距离 ∴ ∴ ∴令，则令，则∴时.点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是求出，这个计算量有点大.其二是换元得到新的函数.7．【2018 届安徽省宿州市第三次检测】已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为 . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；，以椭（Ⅱ）若经过点的直线交椭圆于两点，是否存在直线，使得到直线的距离满足恒成立，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.26路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库则存在直线，使得到直线的距离满足恒成立.详解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，∵，∴，又∵，∴，由，解得，，.所以椭圆的标准方程为.（Ⅱ）若直线的斜率不存在,则直线为任意直线都满足要求；27路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库，，.综上可知存在直线，使得到直线的距离满足恒成立.点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形．8．【2018 届安徽省示范高中（皖江八校）5 月联考】如图已知抛物线的焦点为，圆，直线：与抛物线和圆从下至上顺次交于四点，，， .（1）若 28，求的值；路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库（2）若直线点.于点，直线与抛物线交于点，，设，的中点分别为，求证：直线过定【答案】（1）；（2）得，，，，(Ⅱ) ∵，∴,用替换可得，∴∴ 的直线方程为 ∴直线过定点 .，化简得，9.【2018 届重庆市三诊】已知椭圆的离心率为，经过椭圆的右焦点的弦中最短弦长为 2.（1）求椭圆的的方程；（2）已知椭圆的左顶点为为坐标原点，以为直径的圆上是否存在一条切线交椭圆于不同的两点，且直线与的斜率的乘积为？若存在，求切线的方程；若不存在，请说明理由.29路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 百度文库【答案】(1);(2).【解析】分析：第一问利用题中所给的椭圆的离心率，以及焦点弦中通径最短的结论，以及椭圆中三者之间的关系求得椭圆的方程；第二问先设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，得到系数之间的关系，与椭圆方程联立，根据题的条件，得到相应的等量关系式，最后求得结果即可.详解：（1）由题意有：；（2）设切线方程为，则有，③时，；④时，；所以直线为.10.【2018 届天津市河北区二模】设椭圆 C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，在 x 轴负半轴上有一点 B，满足为线段的中点，且 AB⊥ 。

【新】2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题56利用点的坐标处理圆锥曲线问题

专题56 利用点的坐标处理圆锥曲线问题【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明.1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理.然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与12121212,,,x x x x y y y y ++相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐.所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段.2、利用点坐标解决问题的优劣：（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受12121212,,,x x x x y y y y ++形式的约束（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐.那么此类问题则要考虑看能否有机会进行整体的代入 3、求点坐标的几种类型：（1）在联立方程消元后，如果发现交点的坐标并不复杂（不是求根公式的形式），则可考虑把点的坐标解出来（用核心变量进行表示）（2）直线与曲线相交，若其中一个交点的坐标已知，则另一交点必然可求（可用韦达定理或因式分解求解）4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件紧密联系，若能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算.（整体代入是解析几何运算简化的精髓）.有时利用‘点差法’，确定坐标关系，效果也好，需灵活处理.【经典例题】例1.【2018年理新课标I卷】设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.例2.【2018年理数全国卷II】设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．（1）求的方程；（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．【答案】(1) y=x–1,(2)或．详解：（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程为y=x–1．（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为，即．设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则解得或因此所求圆的方程为或．例3.【2018年理数天津卷】设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y 1=9y 2．由方程组消去x ，可得．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组消去x ，可得．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k 的值为或例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点,A B 分别是椭圆C 的左右顶点（1）求圆O 和椭圆C 的方程（2）已知,P Q 分别是椭圆和圆上的动点（,P Q 位于y 轴的两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线,AP BP 分别与y 轴交于点,M N ，求证：MQN ∠为定值【答案】（1）椭圆方程为22142x y +=，圆方程为222x y +=；（2）见解析.QM QN ⋅，考虑利用条件设出,AP BP 方程，进而,M N 坐标可用核心变量00,x y 表示，再进行数量积的坐标运算可得0QM QN ⋅=，从而2MQN π∠=，即为定值解：设()00,P x yPQ 与x 轴平行，∴设()10,Q x y ，由,P Q 所在椭圆和圆方程可得：22220000222210104214222x y x y x y x y ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⎪⎩+=⎩ 由椭圆可知：()()2,0,2,0A B - 002AP y k x ∴=+ ()00:22y AP y x x ∴=++ 令0x =，可得：0020,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭QM QN ∴⊥，即2MQN π∠=为定值思路二：本题还可以以,AP BP 其中一条直线为入手点（例如AP ），以斜率k 作为核心变量，直线AP 与椭圆交于,A P 两点，已知A 点坐标利用韦达定理可解出P 点坐标（用k 表示），从而可进一步将涉及的点的坐标都用k 来进行表示，再计算0QM QN ⋅=也可以，计算步骤如下：解：设()00,P x y ，由椭圆方程可得：()()2,0,2,0A B - 所以设直线():2AP y k x =+，联立方程：()()2222221218840422x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩22002284422121A k k x x x k k --∴=⇒=-++，代入到直线方程可得：02421k y k =+222424,2121k k P k k ⎛⎫-∴- ⎪++⎝⎭2224121422221BP k k k k k k +∴==----+ ()1:22BP y x k∴=--，由():2AP y k x =+，令0x =可得：()10,2,0,M k N k ⎛⎫⎪⎝⎭QM QN ∴⊥，即2MQN π∠=为定值 .例5.【2018届江苏省南京市三模】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且．（1）求的值；（2）若为抛物线上异于的两点，且．记点到直线的距离分别为，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用抛物线的定义求p的值.(2)先求出a的值，再联立直线的方程和抛物线的方程得到韦达定理，再求|(y1＋2) (y2＋2)|的值.详解：（1）因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，且AF=2，所以＋1＝2，所以p＝2.（2）由(1)得抛物线方程为y2＝4x．因为点A(1，a) (a＞0)是抛物线C上一点，所以a＝2．点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义及简单几何性质，考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)本题的关键是看到d1d2＝|(y1＋2) (y2＋2)|要联想到韦达定理,再利用韦达定理解答.例6.【2018年江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C 的方程为．点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．例7. 【2018年新课标I卷文】设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．【答案】(1) y=或． (2)见解析.（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．当l与x轴不垂直时，设l的方程为，M（x1，y1），N（x2， y2），则x1>0，x2>0．由得ky2–2y–4k=0，可知y1+y2=，y1y2=–4．直线BM，BN的斜率之和为．①将，及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得．所以k BM+k BN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM+∠ABN．综上，∠ABM=∠ABN．例8.【河南省洛阳市2018届三模】已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.（1）求直线斜率的取值范围；（2）求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）设，得出关于的函数，根据的范围得出的范围；（2）根据，的方程得出点坐标，根据距离公式计算，，得出关于的函数，再根据函数单调性得出最大值．详解：（1）由题可知，，设，，所以，故直线斜率的取值范围是.，则，当时，当时，故在上单调递增，在上单调递减.故，即的最大值为.例9.【2018届安徽省合肥市第一中学冲刺高考最后1卷】如图所示，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左顶点，为椭圆上位于轴上方的点，直线交轴于点，点在轴上，且，设直线交椭圆于另一点，求的面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据离心率为，短轴长为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可求得椭圆的标准方程；（2）联立消解得或，则，同理可得，的面积.详解：（1）由题意得，解得，所以椭圆的标准方程为. （2）由题可设直线的方程为，则，又且，所以，所以直线的方程为，则，联立消去并整理得点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.例10.【2018届福建省三明市5月测试】在平面直角坐标系中，已知，若直线⊥于点，点是直线上的一动点，是线段的中点，且，点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过点作直线交于点，交轴于点，过作直线，交于点．试判断是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）2【解析】分析：（1）设，由题意得，由，得到曲线的方程；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，因为，所以的方程为，联立方程分别求出，，即可作出判断.详解：（1）设，由题意得，所以，所以，化简得，由解得，所以，，，所以＝2．【精选精练】1．【2018年四川省成都市高考模拟一】设双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线的两渐近线分别交于点,并且,则双曲线的离心率为( ）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】分析：由题意，双曲线的左焦点和渐近线方程为，求得过焦点且斜率为的直线方程为，联立方程组，解得的坐标，根据，所以，即，求解的关系式，即可求解双曲线的离心率. ‘所以点的坐标为，又因为，所以，则，所以，可得，整理得，所以双曲线的离心率为，故选A.2.【2018届辽宁省大连市二模】设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C3．【2018届安徽省江南十校二模】已知双曲线：的左右焦点为、，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点，则的面积为__________．【答案】【解析】分析：先求出渐近线方程，然后求出过一个焦点且与渐近线平行的直线方程，代入双曲线方程求得交点M的坐标，从而可得三角形面积．详解：双曲线的焦点为，渐近线方程为，过与一条渐近线平行的直线方程为，由得，即，∴．故答案为．4．【2018届安徽省宿州市第三次检测】抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若，，则__________．【答案】1或3结合可得：，直线的方程为：，与抛物线方程整理可得：，则：，结合可得：，则；当点B位于点A下方时，由几何关系可知：，代入抛物线方程可得：，综上可得，p的值为1或3.5．【2018届河南省商丘市夏邑县第一高级中学二轮调研】已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，，射线，分别交抛物线于异于点的点，，若，，三点共线，则__________．【答案】【解析】分析：求出所在的直线方程，与抛物线的方程联立，分别求出的坐标，再由，6．【2018届河南省新乡市三模】已知抛物线的焦点为为坐标原点，点，射线分别交抛物线于异于点的点，若三点共线，则的值为__________．【答案】2【解析】分析：由题意联立直线方程与抛物线方程可得A,B两点的坐标，然后利用斜率相等得到关于p的又，所以，，因为A，B，F三点共线，所以k AB=k BF，即，解得p=2.7．【2018届江苏省扬州树人学校模拟（四）】在平面直角坐标系中，椭圆：（）的短轴长为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标．【答案】(1) .(2) .详解：（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，所以解得所以椭圆的方程为．（2）因为为椭圆的上顶点，所以．设（），则.又，所以，所以，解得.所以点的坐标为．8．【2018届河南省洛阳市第三次统一考试】已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.（1）求直线斜率的取值范围；（2）求的最大值.【答案】(1);(2).【解析】分析：（1）设，得出关于的函数，根据的范围得出的范围；（2）根据，的方程得出点坐标，根据距离公式计算，，得出关于的函数，再根据函数单调性得出最大值．详解：（1）由题可知，，设，，所以，故直线斜率的取值范围是.（2）直线，直线，联立直线，方程可知点的横坐标为故，即的最大值为.9．【2018届湖南省湘潭市四模】已知点是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）若是上一动点，且不在直线：上，交于，两点，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为．证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】分析：（1）利用已知条件，布列关于与的方程组，从而得到A的坐标以及P，即可得到抛物线方程；（2）由（1）知，联立得4x2﹣16x﹣9=0，求出E，F坐标，设出P的坐标，然后转化求∴．设（，且），则的横坐标为，易知在上，则．由题可知：，与联立可得，所以，则，故．10．【2018届山东省烟台市高考适应性练习（二）】已知椭圆，点在椭圆上，过的焦点且与长轴垂直的弦的长度为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作两条相交直线，与椭圆交于两点（点在点的上方），与椭圆交于两点（点在点的上方），若直线的斜率为，，求直线的斜率. 【答案】(1) .(2) .详解：（1）由已知得：，解得,.故椭圆的方程为.（2）由题设可知:的直线方程为.联立方程组，整理得:..∴.∵，∴，即.∴.∴.解得，∴.故直线的斜率为.点睛：本题主要考查了直线和椭圆的位置关系，将三角形的面积比转化为线段比，线段比转化为坐标比，进而利用设而不求的思想，利用直线和椭圆联立，借助韦达定理处理即可. 11．【2018届安徽省合肥市三模】已知抛物线()的焦点为，以抛物线上一动点为圆心的圆经过点F.若圆的面积最小值为.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)当点的横坐标为1且位于第一象限时，过作抛物线的两条弦，且满足.若直线AB恰好与圆相切，求直线AB的方程.【答案】(1);(2).【解析】分析：(Ⅰ)由抛物线的性质知，当圆心位于抛物线的顶点时，圆的面积最小，由可得的值；(Ⅱ)依横坐标相等可得，轴，，设()，则直线的方程为，代入抛物线的方程得，利用韦达定理求出的坐标，同理求出的坐标，求出的斜率为定值，设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于半径，列方程解得，从设()，则直线的方程为，∴，代入抛物线的方程得，，∴，∴.将换成，得，∴.设直线的方程为，即.由直线与圆相切得，，解得.经检验不符合要求，故舍去.∴所求直线的方程为.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.12．【2018届江苏省苏锡常镇四市调研（二）】如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）求证：为定值．【答案】(1) .(2) 或.(3)见解析.【解析】分析: (1) 由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1,列方程组解方程组即得椭圆的标准方程.(2)先求出点D的坐标，再根据点C，D的坐标求直线l的斜率，即得直线l的方程. (3) 设D坐标为(x3，y3）,先求出直线BD和AC的方程，再联立两个方程化简即得=2为定值.代入椭圆方程得或，所以或，所以或.所以的方程为：或.（3）设D坐标为(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直线的方程，联立椭圆方程得：解得,.由，得直线BD的方程：，。

【新】2019年高考数学大一轮复习热点聚焦与扩展专题48圆锥曲线的几何性质

专题48 圆锥曲线的几何性质【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对椭圆的考查，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查椭圆的标准方程，结合椭圆的基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查椭圆的几何性质，较多地考查离心率问题；四是考查直线与椭圆的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式等. 高考对双曲线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质，较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查双曲线与圆、椭圆或抛物线相结合的问题，综合性较强.命题以小题为主，多为选择题或填空题. 高考对抛物线的考查，主要考查以下几个方面：一是考查抛物线的标准方程，结合抛物线的定义及抛物线的焦点，利用待定系数法求解；二是考查抛物线的几何性质，较多地涉及准线、焦点、焦准距等；三是考查直线与抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等，其中，过焦点的直线较多.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明圆锥曲线的几何性质有关问题的解法与技巧，离心率问题在下一专题讲述. （一）椭圆： 1、定义和标准方程：（1）平面上到两个定点12,F F 的距离和为定值（定值大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距（2）标准方程：①焦点在x 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221x y a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-②焦点在y 轴上的椭圆：设椭圆上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离和122PF PF a +=，则椭圆的标准方程为：22221y x a b+=，其中()2220,a b b a c >>=-焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大2、椭圆的性质：以焦点在x 轴的椭圆为例：()222210x y a b a b+=>>（1）a ：与长轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为长轴长 b ：与短轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为短轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距（2）对称性：椭圆关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）椭圆上点的坐标范围：设()00,P x y ，则00,a x a b y b -≤≤-≤≤ （4）通径：焦点弦长的最小值 ① 焦点弦：椭圆中过焦点的弦② 过焦点且与长轴垂直的弦22b PQ a=说明：假设PQ 过()1,0F c -，且与长轴垂直，则()()00,,,P c y Q c y ---，所以2242002221c y b y a b a +=⇒=，可得20b y a =.则22b PQ a = （5）离心率：ce a=，因为c a <，所以()0,1e ∈ （6）焦半径公式：称P 到焦点的距离为椭圆的焦半径① 设椭圆上一点()00,P x y ，则1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为a c +，最小值为a c - （7）焦点三角形面积：122tan2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）证明：1212121sin 2PF F S PF PF F PF =⋅ 且222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-()()212121221cos PF PF PF PF F PF =+-+()2212124421cos c a PF PF FPF ∴=-+ 2221212122221cos 1cos a c b PF PF F PF F PF -∴==++12212121212112sin sin 221cos PF F b SPF PF F PF F PF PF F =⋅=⋅+ 22121212sin tan 1cos 2F PF F PFb b F PF =⋅=+因为1200122PF F Sc y c y =⋅⋅=⋅，所以2120tan 2F PFb c y =⋅，由此得到的推论： ① 12F PF ∠的大小与0y 之间可相互求出 ② 12F PF ∠的最大值：12F PF 最大⇔12PF F S 最大⇔0y 最大⇔P 为短轴顶点（二）双曲线：1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支2、标准方程：① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221x y a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221y x a b-=，其中()2220,0,a b b c a >>=-焦点在哪个轴上，则对应字母作为被减数2、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()222210,0x y a b a b-=>>（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长 b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长 c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距（2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈（4）离心率：ce a=，因为c a > ，所以()1,e ∈+∞ （5）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线.① 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出y关于x 的直线即可.例如在()222210,0x y a b a b -=>>中，求渐近线即解：22220x y a b-=，变形为b y x a =±，所以by x a=±即为双曲线的渐近线 ② 渐近线的几何特点：直线,,,x a x a y b y b ==-==-所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,a b c 的关系. （6）通径：① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ x ⊥轴，22b PQ a=（7）焦半径公式：设双曲线上一点()00,P x y ，左右焦点分别为12,F F ，则 ① 1020,PF a ex PF a ex =+=-（可记为“左加右减”） ② 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为c a - （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点()00,P x y ，则122cot 2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）（三）抛物线：1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨迹为抛物线2、抛物线的标准方程及焦点位置：（1）焦点在x 轴正半轴：()220y px p =>，焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭ （2）焦点在x 轴负半轴：()220y px p =->，焦点坐标,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭（3）焦点在y 轴正半轴：()220x py p =>，焦点坐标0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （4）焦点在y 轴负半轴：()220x py p =->，焦点坐标0,2p ⎛⎫-⎪⎝⎭小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上；其坐标为一次项系数除以4，例如：24x y =，则焦点在y 轴上，且坐标为()0,1 3、焦半径公式：设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，(),A x y ，则2p AF x =+4、焦点弦长：设过抛物线()220y px p =>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，则12AB x x p =++（AB AF BF =+，再由焦半径公式即可得到）【经典例题】例1.【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 【答案】B 【解析】则双曲线C 的方程为2145x y 2-= .故选B.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a b λλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可. 例2.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .【答案】y x =点睛：1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为122=+By Ax 的形式，当0>A ，0>B ，B A ≠时为椭圆，当0<AB 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．例3.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）3 D. 5 【答案】A【解析】先从常系数方程入手，抛物线212y x =的焦点为()3,0，即双曲线中的3c =，所以2225b c a =-=，从而双曲线方程为：22145x y -=，其渐近线方程：2y x =±，由对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择:20l y -=，右焦点()23,0F ，所以2F l d -==答案：A点睛：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐标，进而解出其他圆锥曲线的要素.例4.【2018届湖南省湘潭市四模】已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为（）A.B.C. D.【答案】D所以例5.【2018届重庆市第三次抽测】直线过抛物线的焦点F 且与抛物线交于A,B两点，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：是焦半径，故可用焦半径公式把转化为，联立直线方程和抛物线方程后再利用韦达定理可求此值.点睛：圆锥曲线中的定值问题，需要把目标代数式转化为关于（或）的代数式（为直线与圆锥曲线的两个交点），通过联立方程组消元后利用韦达定理求定值.例6.【2018届天津市部分区质量调查（二）】设分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且满足，，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据圆的半径得出，根据中位线定理和勾股定理计算，从而得出，即可得出双曲线的方程．详解：∵为圆上的点，例7.【2018届河南省郑州市第三次预测】已知为椭圆上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意设PA与PB的夹角为，通过解直角三角形求出PA，PB的长，由向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简，然后换元后利用基本不等式求出最值．详解：如图，由题意设，则，∴，故选C．例8.【2018届河北省唐山市三模】已知是抛物线上任意一点，是圆上任意一点，则的最小值为（）A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】分析：可设点的坐标为，由圆方程得圆心坐标，求出的最小值，根据圆的几何性质即可得到的最小值.详解：设点的坐标为，由圆的方程可得圆心坐标，，，是圆上任意一点，的最小值为，故选D.例9.已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，若点，则的最小值为___________．【答案】5点睛：该题考查的是抛物线上的动点到抛物线内一个定点到焦点的距离和的最小值问题，在解题的过程中，利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到其准线的距离，结合图形，可以断定当三点共线时满足条件，最小值为定点到准线的距离，利用公式求得结果.例10.【2018届山东省威海市二模】抛物线的焦点为，是抛物线上的两个动点，线段的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，若，则的最大值为______.【答案】【解析】分析：设|PF|=2a，|QF|=2b，．由抛物线定义得|PQ|=a+b，由余弦定理可得（a+b）2=4a2+4b2﹣8abcosθ，进而根据基本不等式，求得的θ取值范围，从而得到本题答案.∴cosθ=，当且仅当a=b时取等号，∴θ≤，故答案为：点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和基本不等式等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是要联想到抛物线的定义解题，从而比较简洁地求出MN和PQ,其二是得到后要会利用基本不等式求最值.【精选精练】1．【2018届山西省大同市与阳泉市第二次监测】已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】B由直线与圆相交的弦长为，可得，解得，则椭圆方程为，故选B.点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.2．【2018届江西省南昌市二模】已知双曲线的两焦点分别是，双曲线在第一象限部分有一点，满足，若圆与三边都相切，则圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】A3．【2018届河南省洛阳市三统】已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A. B. 3 C. 5 D.【答案】A【解析】分析：首先求出抛物线的焦点坐标，之后利用双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，，先求出，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，之后应用点到直线的距离公式求得结果.详解：因为抛物线的焦点坐标为，依题意，，所以，所以双曲线的方程为，所以其渐近线方程为，所以双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，故选A.4．【2018届山西省大同市与阳泉市第二次监测】已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的弦长为，则实数的值为（）A. 3 B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】分析：由离心率公式，可得a=b，求得渐近线方程，以及圆的圆心和半径，求得圆心到直线的距离，由弦长公式，解方程可得所求值．详解：由题可得：c=，即有a=b，渐近线方程为y=±x，圆（x-m）2+y2=4（m＞0）的圆心为（m，0），半径为2，可得圆心到直线的距离为d=，则直线被圆截得的弦长为，解得m=2（-2舍去），故选：D．5．【2018届重庆市三诊】已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形为矩形，则矩形的面积是（）A. B. C. D. 3【答案】A所以，从而求得四边形的面积为.点睛：该题考查的是有关抛物线及圆的有关性质以及矩形的面积公式，在解题的过程中，MN 和PQ关于圆心对称是最关键的一步，此时可以求得点M的横坐标，借助于抛物线的方程，求得其纵坐标，从而求得对应的边长，利用面积公式，求得结果.6．【2018届重庆市巴蜀中学月考九】已知抛物线，直线与抛物线交于两点，若中点的坐标为，则原点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】D，故选D.7．【2018届四川省冲刺演练（一）】为椭圆：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点，使得，记动点的轨迹为，设点为椭圆短轴上一顶点，直线与交于，两点，则_______．【答案】【解析】分析：利用椭圆的定义以及已知条件转化求解即可详解：∵|PF1|+|PF2|=2a=2，|PQ|=|PF2|，所以|PF1|+|PQ|=|QF1|=2．动点Q的轨迹为Ω，为以F1为圆心半径为的圆，∵|BF1|=|BF2|=．|F1F2|=2，∴BF1⊥BF2，则|MN|=2=2．故答案为：2．8.如图，抛物线和圆，其中，直线经过的焦点，依次交于四点，则的值为______．【答案】【解析】分析：设抛物线的焦点为F，易得：|AB|=|AF|﹣|BF=x1+﹣=x1，同理可知|CD|=x2，从而求出•．同理|CD|=x2，∴•=||•||•cos＜＞=x1x2=．故答案为：．点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点的坐标．2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．9．设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过作，为垂足，如果直线的斜率为，那么________________【答案】.由可得A点坐标为∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为,代入抛物线方程,得P点坐标为(6,)，∴.故答案为8.10．【2018届山东省烟台市高三高考适应性练习（一）】已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=__________．【答案】3【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可．详解：画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点，准线为．设抛物线的准线与y轴的交点为，过M作准线的垂线，垂足为，交x轴于点．即，解得．11．【2018届湖南省长郡中学一模】已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，，为的准线上一点，则的面积为__________．【答案】36【解析】分析：可由得出，从而可得抛物线方程，抛物线的准线方程，因此的边上的高易得.详解：不妨设抛物线方程为，，，∴准线方程为，到直线的距离为6，∴.故答案为36.点睛：过抛物线的焦点与对称轴垂直的弦是抛物线的通径，通径长为.12.【2018届广东省湛江市二模】平面直角坐标系中，椭圆（）的离心率，，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点.则__________．【答案】【解析】分析：由题意首先设出椭圆方程，结合几何关系确定直线的斜率，然后由弦长公式求得弦长，最后求解的值即可.详解：如图所示，设，即，由弦长公式可得：，在中，，故.小中高精品教案试卷制作不易推荐下载21。