2019年北师版文数高考一轮复习 第2章 第10节 导数的概念及运算
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的概念及运算教学案理解析版
[考纲传真] １．了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.２．能根据导数定义求函数y＝C （C为常数），y＝x，y＝x２，y＝x３，y＝错误!，y＝错误!的导数.３．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b）的复合函数）的导数．１．导数的几何意义函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率．相应地，切线方程为y—f（x0）＝f′（x0）（x—x0）．２．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝C（C为常数）f′（x）＝0f（x）＝xα（α是实数）f′（x）＝αxα—１y＝sin x y′＝cos xy＝cos x y′＝—sin xf（x）＝e x f′（x）＝e xf（x）＝a x（a＞0，a≠１）f′（x）＝a x ln_af（x）＝ln x f′（x）＝错误!f（x）＝log a xf′（x）＝错误!（a＞0，且a≠１）（１）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；（２）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；（３）错误!′＝错误!（g（x）≠0）．４．复合函数的导数复合函数y＝f（φ（x））的导数和函数y＝f（u），u＝φ（x）的导数间的关系为y x′＝[f（φ（x））]′＝f′（u）·φ′（x）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）f′（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率．（）（２）f′（x0）与[f（x0）]′表示的意义相同．（）（３）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（）（４）函数f（x）＝sin（—x）的导数是f′（x）＝cos x．（）[答案] （１）×（２）×（３）×（４）×２．已知f（x）＝x ln x，若f′（x0）＝２，则x0等于（）Ａ．e２Ｂ．eＣ．错误!Ｄ．ln ２B[∵f′（x）＝ln x＋x·错误!＝ln x＋１，由f′（x0）＝ln x0＋１＝２得ln x0＝１，∴x0＝e.]３．有一机器人的运动方程为s（t）＝t２＋错误!（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t＝２时的瞬时速度为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[由题意知，机器人的速度方程为v（t）＝s′（t）＝２t—错误!，故当t＝２时，机器人的瞬时速度为v（２）＝２×２—错误!＝错误!.]４．曲线y＝x２＋错误!在点（１,２）处的切线方程为________．x—y＋１＝0 [∵y′＝２x—错误!，∴y′|x＝１＝１，即曲线在点（１,２）处的切线的斜率k＝１，∴切线方程为y—２＝x—１，即x—y＋１＝0．]５．设f（x）＝ln（３—２x）＋cos ２x，则f′（0）＝________.—错误![∵f′（x）＝错误!—２sin ２x，∴f′（0）＝—错误!.]导数的计算１．已知f（x）＝x２＋２xf′（１），则f′（0）＝________.—４[∵f′（x）＝２x＋２f′（１），∴f′（１）＝２＋２f′（１），∴f′（１）＝—２．∴f′（0）＝２f′（１）＝２×（—２）＝—４．]２．求下列函数的导数：（１）y＝（x＋１）（x＋２）（x＋３）；（２）y＝sin 错误!错误!；（３）y＝错误!.[解] （１）因为y＝（x２＋３x＋２）（x＋３）＝x３＋6x２＋１１x＋6，所以y′＝３x２＋１２x＋１１．（２）因为y＝sin 错误!错误!＝—错误!sin x，所以y′＝错误!′＝—错误!（sin x）′＝—错误!cos x.（３）y′＝错误!′＝错误!＝—错误!.[规律方法] 导数计算的技巧１求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量.２复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元.►考法１求切线方程【例１】（２0１8·全国卷Ⅰ）设函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为（）Ａ．y＝—２xＢ．y＝—xＣ．y＝２xＤ．y＝xD[因为函数f（x）＝x３＋（a—１）x２＋ax为奇函数，所以f（—x）＝—f（x），所以（—x）３＋（a—１）（—x）２＋a（—x）＝—[x３＋（a—１）x２＋ax]，所以２（a—１）x２＝0，因为x∈R，所以a＝１，所以f（x）＝x３＋x，所以f′（x）＝３x２＋１，所以f′（0）＝１，所以曲线y＝f（x）在点（0,0）处的切线方程为y＝x.故选Ｄ．]►考法２求切点坐标【例２】已知曲线y＝错误!—３ln x的一条切线的斜率为—错误!，则切点的横坐标为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．错误!B[因为y＝错误!—３ln x，所以y′＝错误!—错误!.再由导数的几何意义，令错误!—错误!＝—错误!，解得x＝２或x＝—３（舍去）．故选Ｂ．]►考法３切线的条数问题【例３】过点A（２,１）作曲线f（x）＝x３—３x的切线最多有（）Ａ．３条Ｂ．２条Ｃ．１条Ｄ．0条A[由题意得，f′（x）＝３x２—３，设切点为（x0，x错误!—３x0），那么切线的斜率为k＝３x错误!—３，利用点斜式方程可知切线方程为y—（x错误!—３x0）＝（３x错误!—３）（x—x0），将点A（２,１）代入可得关于x0的一元三次方程２x错误!—6x错误!＋7＝0，令y＝２x错误!—6x错误!＋7，则y′＝6x错误!—１２x0.由y′＝0得x0＝0或x0＝２．当x0＝0时，y＝7＞0；x0＝２时，y＝—１＜0．结合函数y＝２x错误!—6x错误!＋7的单调性可得方程２x错误!—6x错误!＋7＝0有３个解，故过点A（２,１）作曲线f（x）＝x３—３x的切线最多有３条，故选Ａ．]►考法４求参数的值（范围）【例４】（２0１6·全国卷Ⅱ）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋２的切线，也是曲线y＝ln（x＋１）的切线，则b＝________.１—ln ２[设直线y＝kx＋b与两曲线的切点分别为P１（x１，ln x１＋２），P２（x２，ln（x２＋１））．∵y′１＝错误!，y′２＝错误!，∴错误!＝错误!，∴x１＝x２＋１．此时切点P１（x２＋１，ln（x２＋１）＋２）．故切线斜率k＝错误!＝２．由错误!＝２，得切点P１的坐标为错误!，∴切线方程为y—２＋ln ２＝２错误!.令x＝0，得y＝１—ln ２，即b＝１—ln ２．][规律方法] １求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f x在点P x0，f x0处的切线方程是y—f x0＝f′x0x—x0；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.２处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：１切点处的导数是切线的斜率；２切点在切线上；３切点在曲线上.切线方程为（）Ａ．y＝x—１Ｂ．y＝２x—１Ｃ．y＝２x—２Ｄ．y＝x（２）若曲线y＝ln x＋ax２（a为常数）不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．（0，＋∞）Ｄ．[0，＋∞）（３）（２0１9·青岛模拟）已知函数y＝f（x）及其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，则曲线y＝f （x）在点P处的切线方程是________．（１）C（２）D（３）x—y—２＝0 [（１）∵f（x）＝ln（２x—１），∴f′（x）＝错误!.∴f′（１）＝２，又∵f（１）＝0，∴切线方程是：y＝２x—２，故选Ｃ．（２）由题意得y′＝错误!＋２ax（x＞0）．因为曲线不存在斜率为负数的切线，则y′≥0恒成立，即a≥错误!m ax.因为x＞0，所以—错误!＜0，即a≥0，故选Ｄ．（３）根据导数的几何意义及图像可知，曲线y＝f（x）在点P处的切线的斜率k＝f′（２）＝１，又过点P（２,0），所以切线方程为x—y—２＝0．]１．（２0１6·全国卷Ⅲ）已知f（x）为偶函数，当x<0时，f（x）＝ln（—x）＋３x，则曲线y＝f （x）在点（１，—３）处的切线方程是________．y＝—２x—１[因为f（x）为偶函数，所以当x>0时，f（x）＝f（—x）＝ln x—３x，所以f′（x）＝错误!—３，则f′（１）＝—２．所以y＝f（x）在点（１，—３）处的切线方程为y＋３＝—２（x—１），即y＝—２x—１．]２．（２0１8·全国卷Ⅲ）曲线y＝（ax＋１）e x在点（0,１）处的切线的斜率为—２，则a＝________.—３[y′＝（ax＋１＋a）e x，由曲线在点（0,１）处的切线的斜率为—２，得y′|x＝0＝（ax＋１＋a）e x|x＝0＝１＋a＝—２，所以a＝—３．]。
2019年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第10节导数的概念及运算课件文北师大版
[ 基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( (2)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)．( ) ) ) )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( (4)若 f(a)＝a3＋2ax－x2，则 f′(a)＝3a2＋2x.(
第
章
第十节
函数、导数及其应用
导数的概念及运算
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[ 考纲传真]
1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像直观理解导数的几何意
1 义.3.能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝x ，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数 的导数．
x x x x 3
1 2 2 (2)∵y＝x ＋1＋x2，∴y′＝3x －x3. 1 1 (3)∵y＝x－2sin x，∴y′＝1－2cos x.
cos x cos (4)y′＝ ex ′＝
2
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率 k＝1， ∴切线方程为 y－2＝x－1， 即 x－y＋1＝0.]
5．(2015· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图像在点(1，f(1))处的切线过点 (2,7)，则 a＝________.
1 [∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1， 解得 a＝1.]
f′xgx－fxg′x f x 2 [ g x ] (3) ′＝__________________ (g(x)≠0)． gx
推荐-高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用课件文北师大版
3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等 方面的应用是高考的重点与热点．
4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨 论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综 合与创新．
[导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图像、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数 的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用， 要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高 考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数 与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系． 3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化 思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．
再见
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲函数模型及其应用
第十讲 函数模型及其应用知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点 函数模型及其应用 1．几类常见的函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型f(x)＝ax ＋b(a ，b 为常数，a≠0)反比例函数模型 f(x)＝kx ＋b(k ，b 为常数且k≠0)二次函数模型 f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a≠0)指数函数模型 f(x)＝ba x＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blog a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) 幂函数模型f(x)＝ax n ＋b(a ，b 为常数，a≠0)2．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x(a>1)y ＝log a x(a>1) y ＝x n(n>0)在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快越来越慢相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x>x 0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：重要结论1．函数f(x)＝x a ＋bx (a>0，b>0，x>0)在区间(0，ab]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．2．直线上升、对数缓慢、指数爆炸双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) (3)幂函数增长比直线增长更快．( × ) (4)不存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0.( × ) [解析] (1)当x ＝－1时，2－1<(－1)2.(2)“指数爆炸”是针对b>1，a>0的指数型函数g(x)＝a ·b x＋c.(3)幂函数增长速度是逐渐加快的，当变量较小时，其增长很缓慢，题目说的太绝对，也没有任何条件限制．(4)当a∈(0，1)时存在x 0，使ax 0<x a0<log a x 0. 题组二 走进教材2．(必修1P 107BT1改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( D )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元3．(必修1P 107A 组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y 最适合的拟合函数是( D ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x[解析] 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意，故选D ．4．(必修1P 104例5改编)某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只[解析] ∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝alog 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝alog 3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log 3(x ＋1)， ∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A ．5．(必修1P 107AT2改编)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C(x)＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为18万件．[解析] 利润L(x)＝20x －C(x)＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L(x)有最大值． 题组三 走向高考6．(2020·全国Ⅲ，4)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e －0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( C )A ．60B ．63C ．66D ．69[解析] 本题以Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算．由题意可得I(t *)＝K 1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，化简得e －0.23(t *－53)＝119，即0.23(t *－53)＝ln 19，所以t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C ．考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点 函数模型及应用考向1 利用函数图象刻画实际问题的变化过程——自主练透例1 (1)(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳(2)(多选题)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述正确的是( ABC )A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个(3)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是( B )[解析] (1)通过题图可知A 不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B 正确．从图观察C 是正确的，D 也正确，1月至6月比较平稳，7月至12月波动比较大．故选A ．(2)由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，D 错误．故选A 、B 、C ．(3)由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ 为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A 、C 、D ，选B ．名师点拨 MING SHI DIAN BO 1.用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．2．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考向2 已知函数模型解决实际问题——师生共研例2 (2020·北京十一中月考)已知14C 的半衰期为5 730年(是指经过5 730年后，14C 的残余量占原始量的一半)．设14C 的原始量为a ，经过x 年后的残余量为b ，残余量b 与原始量a 的关系为b ＝ae－kx，其中x 表示经过的时间，k 为一个常数．现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.请你推断一下马王堆汉墓修建距今约2_292年．(参考数据：log 20.767≈－0.4)．[解析] 由题意可知，当x ＝5 730时，ae －5 730k＝12a ，解得k ＝ln 25 730.现测得湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时14C 的残余量约占原始量的76.7%.所以76.7%＝e －ln 25 730x ，得ln 0.767＝－ln 25 730x ，x ＝－5 730×ln 0.767ln 2＝－5 730×log 2 0.767≈2 292.〔变式训练1〕(2020·山西太原模拟)某公司为了业务发展，制定了一项激励销售人员的奖励方案：销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元，若公司拟定的奖励模型为y ＝alog 4x ＋b(其中x 为销售额，y 为相应的奖金)．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1_024万元．[解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧alog 48＋b ＝1，alog 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，有2log 4x －2＝8，解得x ＝1 024. 考向3 构建函数模型解决实际问题——多维探究 角度1 一次函数、二次函数分段函数模型例3 某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力指标．该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下： f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧100a t10－60（0≤t≤10），340（10<t≤20），－15t ＋640（20<t≤40）(a>0且a≠1)．若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题： (1)求a 的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由； (3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？ [解析] (1)由题意得，当t ＝5时，f(t) ＝140， 即100·a 510－60＝140，解得a ＝4.(2)因为f(5)＝140，f(35)＝－15×35＋640＝115，所以f(5)>f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中．(3)①当0<t≤10时，由(1)知，f(t)＝100·4t10－60≥140，解得5≤t≤10； ②当10<t≤20时，f(t) ＝340>140恒成立；③当20<t≤40时，f(t)＝－15t ＋640≥140，解得20<t≤1003.综上所述，5≤t≤1003.故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持1003－5＝853分钟．名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏． (3)分段函数的最大(小)值是各段最大(小)值中的最大(小)值． 角度2 指数函数与对数函数模型例4 候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋blog 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ [分析](1)根据已知列出方程组→解方程组求a ，b 的值 (2)由（1）列出不等式→解不等式求Q 的最小值[解析] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，则a ＋blog 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 则a ＋blog 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋blog 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．名师点拨 MING SHI DIAN BO指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．〔变式训练2〕(1)(角度1)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R 元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎪⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( A )A ．[4，8]B ．[6.10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%](2)(角度2)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] (1)根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝ ⎛⎭⎪⎫30－52R ×160×R%≥128，整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8]． (2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，∴e －8b ＝12.令y ＝18a ，即ae －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，∴再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG函数y ＝x ＋ax(a>0)模型及应用例5 (2021·烟台模拟)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W(x)万元．在年产量不足8万件时，W(x)＝13x 2＋x(万元)；在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)因为每件产品售价为5元，则x 万件产品的销售收入为5x 万元，依题意得： 当0<x<8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3.当x≥8时，L(x)＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x<8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x≥8.(2)当0<x<8时，L(x)＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L(x)取得最大值L(6)＝9(万元)．当x≥8时，L(x)＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L(x)取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元． 名师点拨 MING SHI DIAN BO (1)解决此类问题时一定要关注函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax ＋bx 求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．〔变式训练3〕某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室、在矩形温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为40_m ，20_m 时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是648_m 2.[解析] 设矩形温室的左侧边长为x m ，则后侧边长为800x m ，所以蔬菜种植面积y ＝(x －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1 600x (4<x<400)． 因为x ＋1 600x≥2x ·1 600x＝80，所以y≤808－2×80＝648.当且仅当x ＝1 600x ，即x ＝40时取等号，此时800x＝20，y max ＝648.即当矩形温室的相邻边长分别为40 m ，20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是648 m 2.。
高三数学一轮复习——导数的概念及运算
高三数学一轮复习——导数的概念及运算考试要求 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；2.体会极限思想；3.通过函数图象直观理解导数的几何意义；4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数；5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数；6.会使用导数公式表.知识梳理1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limx∆→f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝0limx∆→ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limx∆→ΔyΔx＝0limx∆→f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).~2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.3.导数公式表基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f (x )＝x α(α∈Q *) 】f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝a x (a ＞0) ~f ′(x )＝a x ln af (x )＝ln x f ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；~(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0). 5.复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. [微点提醒]′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0. ′＝－f ′(x )[f (x )]2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.—4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( ) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.( )】解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(选修2－2P19B2改编)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A.－9B.－3解析 因为y ＝x 3＋11，所以y ′＝3x 2，所以y ′|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线方程为y －12＝3(x －1).令x ＝0，得y ＝9.&答案 C3.(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－＋＋10，则运动员的速度v ＝________ m/s ，加速度a ＝______ m/s 2.解析 v ＝h ′(t )＝－＋，a ＝v ′(t )＝－. 答案 －＋ －4.(2019·青岛质检)已知函数f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 019，则x 0等于( )2解析 f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x .)由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案 B5.(2018·天津卷)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为________. 解析 由题意得f ′(x )＝e x ln x ＋e x ·1x ，则f ′(1)＝e. 答案 e6.(2017·全国Ⅰ卷)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1，2)处的切线方程为________. 解析 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝2x －1x 2， 所以f ′(1)＝2－1＝1，?所以在(1，2)处的切线方程为y －2＝1×(x －1)， 即y ＝x ＋1. 答案 y ＝x ＋1考点一 导数的运算多维探究角度1 根据求导法则求函数的导数 【例1－1】 分别求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；;(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)f (x )＝ln1＋2x .解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x . (2)因为y ＝x 3＋1＋1x 2，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝ln 1＋2x ＝12ln ()1＋2x ，所以y ′＝12·11＋2x ·(1＋2x )′＝11＋2x .角度2 抽象函数的导数计算【例1－2】 (2019·天津河西区调研)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( )》A.－eC.－2解析 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2. 答案 B规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 【训练1】 (1)若y ＝x －cos x 2sin x2，则y ′＝________. (2)已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.<解析 (1)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12sin x ′＝x ′－⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝1－12cos x .(2)∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 答案 (1)1－12cos x (2)－4 考点二 导数的几何意义 多维探究角度1 求切线方程'【例2－1】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( ) ＝－2x ＝－x ＝2x＝x解析 因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以a －1＝0，则a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x . 答案 D角度2 求切点坐标【例2－2】 (1)(2019·聊城月考)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( ):(2)设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.解析 (1)设切点的横坐标为x 0(x 0>0)， ∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0＝12，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3. (2)∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x ，∴曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1.设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，;由题意知k 1k 2＝－1，即1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1. 又∵点P 在曲线y ＝1x (x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1，1). 答案 (1)A (2)(1，1)角度3 求参数的值或取值范围【例2－3】 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)(2)(2019·河南六市联考)已知曲线f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝________.]解析 (1)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x . 因为x ＞0，所以2－1x ＜2，所以a 的取值范围是(－∞，2). (2)f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ，又f (1)＝1＋a ＋b ，∴曲线在(1，f (1))处的切线方程为y －(1＋a ＋b )＝(1－a )(x －1)，即y ＝(1－a )x ＋2a ＋b ，根据题意有⎩⎨⎧1－a ＝2，2a ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝7，∴a －b ＝－1－7＝－8. 答案 (1)B (2)－8[规律方法 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.【训练2】 (1)(2019·东莞二调)设函数f (x )＝x 3＋ax 2，若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋y ＝0，则点P 的坐标为( ) A.(0，0) B.(1，－1)C.(－1，1)D.(1，－1)或(－1，1)(2)(2018·全国Ⅱ卷)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________________. 解析 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2，得f ′(x )＝3x 2＋2ax . 根据题意可得f ′(x 0)＝－1，f (x 0)＝－x 0，、可列方程组⎩⎨⎧x 30＋ax 20＝－x 0， ①3x 20＋2ax 0＝－1， ②解得⎩⎨⎧x 0＝1，a ＝－2或⎩⎨⎧x 0＝－1，a ＝2.当x 0＝1时，f (x 0)＝－1， 当x 0＝－1时，f (x 0)＝1.∴点P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).(2)由题意得y ′＝2x ＋1.在点(0，0)处切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝2.∴曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x . 答案 (1)D (2)y ＝2x,[思维升华]1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解. [易错防范]1.求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )[g (x )]2，(cos x )′＝ sin x ；③复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.?基础巩固题组 (建议用时：35分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是( ) A.(3x )′＝3x ln 3 B.(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x x,x )))′＝x sin x －cos xx 2—D.(sin x ·cos x )′＝cos 2x解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误. 答案 C2.(2019·日照质检)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )2,2)2解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案 B3.函数y ＝x 3的图象在原点处的切线方程为( )$＝x ＝0＝0D.不存在解析 函数y ＝x 3的导数为y ′＝3x 2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y －0＝0(x －0)，即y ＝0. 答案 C4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( ) 秒末秒末和2秒末秒末秒末和4秒末解析s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义知v＝s′(t)，'令s′(t)＝0，得t＝2或4，即2秒末和4秒末的速度为零.答案D5.(2019·南阳一模)函数f(x)＝x－g(x)的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－x－1，则g(2)＋g′(2)＝()D.－4解析∵f(x)＝x－g(x)，∴f′(x)＝1－g′(x)，又由题意知f(2)＝－3，f′(2)＝－1，∴g(2)＋g′(2)＝2－f(2)＋1－f′(2)＝7.答案A，6.已知e为自然对数的底数，曲线y＝a e x＋x在点(1，a e＋1)处的切线与直线2e x －y－1＝0平行，则实数a＝()＝a e＋1，又切线解析∵y′＝a e x＋1，∴在点(1，a e＋1)处的切线的斜率为y′|x＝1与直线2e x－y－1＝0平行，∴a e＋1＝2e，解得a＝2e－1e.答案B7.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()]解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上是单调递减的，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也是单调递减的，故可排除A ，C ；又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.答案 D8.(2019·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) 2－ln 2 ＋ln 2解析 由y ＝x ln x 得y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝ln x 0＋1，∵切点(x 0，y 0)(x 0>0)既在曲线y ＝x ln x 上又在直线y ＝kx －2上，∴⎩⎨⎧y 0＝kx 0－2，y 0＝x 0ln x 0，∴kx 0－2＝x 0ln x 0，∴k ＝ln x 0＋2x 0，则ln x 0＋2x 0＝ln x 0＋1，∴x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1. 答案 D?二、填空题9.已知曲线f (x )＝2x 2＋1在点M (x 0，f (x 0))处的瞬时变化率为－8，则点M 的坐标为________.解析 由题意得f ′(x )＝4x ，令4x 0＝－8，则x 0＝－2，∴f (x 0)＝9，∴点M 的坐标是(－2，9).答案 (－2，9)10.(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________.解析 f (1)＝a ，切点为(1，a ).f ′(x )＝a －1x ，则切线的斜率为f ′(1)＝a －1，切线方程为：y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0得出y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.答案 1—11.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________.解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.答案 －9412.已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________________.解析 由题意，知f (2)＝2×2－1＝3，∴g (2)＝4＋3＝7，"∵g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，∴g ′(2)＝2×2＋2＝6，∴曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.答案 6x －y －5＝0能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2019·深圳二模)设函数f (x )＝x ＋1x ＋b ，若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处的切线经过坐标原点，则ab ＝( )C.－1D.－2解析 由题意可得，f (a )＝a ＋1a ＋b ，f ′(x )＝1－1x 2，所以f ′(a )＝1－1a 2，故切线方程是y －a －1a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(x －a )，将(0，0)代入得－a －1a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2(－a )，故b ＝－2a ，故ab ＝－2.答案 D14.已知函数f (x )＝|x 3＋ax ＋b |(a ，b ∈R )，若对任意的x 1，x 2∈[0，1]，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 当x 1＝x 2时，f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|恒成立；当x 1≠x 2时，由f (x 1)－f (x 2)≤2|x 1－x 2|得f （x 1）－f （x 2）|x 1－x 2|≤2，故函数f (x )在[0，1]上的导函数f ′(x )满足|f ′(x )|≤2，函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，其中[0，1]上的值域为[a ，a ＋3]，则有⎩⎨⎧|a |≤2，|a ＋3|≤2，解得－2≤a ≤－1.综上所述，实数a 的取值范围为[－2，－1].答案 [－2，－1]15.函数g (x )＝ln x 图象上一点P 到直线y ＝x 的最短距离为________.解析 设点(x 0，ln x 0)是曲线g (x )＝ln x 的切线中与直线y ＝x 平行的直线的切点，因为g ′(x )＝(ln x )′＝1x ，则1＝1x 0，∴x 0＝1，则切点坐标为(1，0)， ∴最短距离为(1，0)到直线y ＝x 的距离， 即为|1－0|1＋1＝22. 答案 22 16.若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号).答案 [2，＋∞)新高考创新预测17.(新定义题型)定义1：若函数f (x )在区间D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在区间D 上也可导，则称函数f (x )在区间D 上存在二阶导数，记作f ″(x )＝[f ′(x )]′. 定义2：若函数f (x )在区间D 上的二阶导数恒为正，即f ″(x )>0恒成立，则称函数f (x )在区间D 上为凹函数.已知函数f (x )＝x 3－32x 2＋1在区间D 上为凹函数，则x 的取值范围是________.解析 因为f (x )＝x 3－32x 2＋1，因为f ′(x )＝3x 2－3x ，f ″(x )＝6x －3，令f ″(x )>0，解得x >12，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算(含答案)
第10节导数的概念与计算课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.在曲线y=x2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则为( C )(A)Δx++2 (B)Δx--2(C)Δx+2 (D)Δx-+2解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)=[(1+Δx)2+1]-2=(Δx)2+2·(Δx),∴=Δx+2,选C.2.若f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(0)等于( D )(A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x,∴f′(1)=2f′(1)+2,∴f′(1)=-2,∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4.故选D.3.(2013合肥模拟)函数y=x2cos x在x=1处的导数是( B )(A)0 (B)2cos 1-sin 1(C)cos 1-sin 1 (D)1解析:∵y′=(x2cos x)′=(x2)′cos x+x2(cos x)′=2xcos x-x2sin x,∴在x=1处的导数为2cos 1-sin 1,故选B.4.(2013中山市期末)函数f(x)=x2-bx+a的图象如图所示,则函数g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( B )(A)(,)(B)(,1)(C)(1,2)(D)(2,3)解析:由题图知f(1)=1-b+a=0,0<f(0)=a<1,所以1<b<2.g(x)=ln x+2x-b,易知g(x)为(0,+∞)上的增函数,又g(1)=2-b>0,g()=ln +1-b<0,故函数g(x)的零点所在区间为(,1),故选B.5.(2013深圳调研)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程为( C )(A)y=-x-1 (B)y=-x+3(C)y=x+1 (D)y=x-1解析:y′=2-,所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为k=2-1=1,因此,在点(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即y=x+1,故选C.6.(2013潍坊模拟)若曲线f(x)=x·sin x+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a等于( D )(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析:f′(x)=sin x+xcos x,依题意,f′()=1,且-×1=-1,解得a=2,故选D.7.(2013惠阳一中实验学校高三月考)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( D )(A)6e2(B)4e2(C)2e2(D)e2解析:∵y′=·,∴y′|x=4=·e2.∴曲线y=在点(4,e2)处的切线方程为y-e2=·e2(x-4).令y=0,得x=2,令x=0,得y=-e2,所以,切线与坐标轴所围成的三角形面积S=×2×|-e2|=e2.故选D.二、填空题8.设直线y=x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为.解析:由已知条件可得直线的斜率k=,y′=(ln x)′==,得切点的横坐标为x=2,切点坐标为(2,ln 2).由点(2,ln 2)在切线y=x+b上可得b=ln 2-×2=ln 2-1.答案:ln 2-19.(2013广东六校第三次联考)设P为曲线C:y=x3-x上的点,则曲线C 在点P处的切线的倾斜角的取值范围为.解析:设点P的横坐标是x,则曲线C在点P处的切线斜率是k=3x2-1≥-1,设切线的倾斜角是α,则tan α≥-1,α∈[0,π),解得α∈[0, )∪[,π).答案:[0, )∪[,π)10.等比数列{a n}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)],∴f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)]′∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a2012=(a1·a2012)1006=41006=22012.∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22012x.答案:y=22012x11.(2013广州高三调研)若直线y=2x+m是曲线y=xln x的切线,则实数m的值为.解析:设切点为(x0,x0ln x0),由y′=(xln x)′=ln x+x·=ln x+1得切线斜率为k=ln x0+1,故切线方程为y-x0ln x0=(ln x0+1)·(x-x0),整理得y=(ln x0+1)x-x0,与y=2x+m比较得解得答案:-e三、解答题12.(1)求下列函数的导数.①y=(2x2+3)(3x-1);②y=(-2)2;③y=x-sin cos;(2)设f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,试确定常数a,b,c,d,使得f′(x)=xcos x.解:(1)①法一y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′=4x(3x-1)+3(2x2+3)=18x2-4x+9.法二∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.②∵y=(-2)2=x-4+4,∴y′=x′-(4)′+4′=1-4×=1-2.③∵y=x-sin cos=x-sin x,∴y′=x′-(sin x)′=1-cos x.(2)由已知f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′=[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asinx+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. ∵f′(x)=xcos x,∴必须有即⇒a=d=1,b=c=0.13.已知函数f(x)=在x=处的切线为l,直线g(x)=kx+与l平行,求f(x)的图象上的点到直线g(x)的最短距离.解:因为f(x)=,所以f′(x)=.所以切线l的斜率为k=f′()=1,切点为T(,).所以切线l的方程为x-y+=0.因为切线l与直线g(x)=kx+平行,所以k=1,即g(x)=x+.f(x)的图象上的点到直线g(x)=x+的最短距离为切线l:x-y+=0与直线x-y+=0之间的距离,所以所求最短距离为=.14.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,∴当x=2时,y′=-1,y=,∴斜率最小的切线过,斜率k=-1,∴切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,∴tan α≥-1,∴α∈∪.B组15.(2012年高考辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为( C )(A)1 (B)3 (C)-4 (D)-8解析:y=,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2,点P的坐标为(4,8),点Q的坐标为(-2,2),∴在点P处的切线方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2,解得A(1,-4),则A点的纵坐标为-4.故选C.16.(2013河北保定一模)设函数f(x)=|sin x|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为α,则α等于( B )(A)-cos α(B)tan α(C)sin α(D)π解析:如图,若直线与函数有且仅有三个公共点,则直线y=kx与曲线y=-sin x(x∈[π,2π])相切,设切点为(α,-sin α),则-sin α=kα且k=-cos α,所以α=tan α.故选B.。
2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10讲导数的概念及运算课件
板块二 典例探究·考向突破
考向 导数的基本运算 例 1 求下列函数的导数： (1)y＝coesxx； (2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝x－sin2xcos2x； (4)y＝ln x＋1x. 解 (1)y′＝coesxx′＝cosx′exe－xc2 osxex′ ＝－sinx＋excosx.
的导数，记作0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝
xΔ＝lixxm→0，0 fx0＋ΔΔxx－fx0
.
2．几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y ＝f(x)上点(x0，f(x0))处的 切线的斜率 (瞬时速度就是位移 函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为
A．3
B．－1
C．1
D．－3
解析 因为直线 x＋3y＋1＝0 的斜率为－13，所以切线
l 的斜率为 3，即 y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以 a＝2；又 曲线过点(0,2)，所以 e0＋b＝2，解得 b＝1.故选 A.
5．[2018·秦皇岛模拟]函数 f(x)＝exln x 在点(1，f(1))处 的切线方程是( )
【变式训练】 已知函数 f(x)在 x＝1 处的导数为－12， 则 f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝12x2－ln x B．f(x)＝xex C．f(x)＝(3x2－4x)(2x＋1) D．f(x)＝1x＋ x
解析 A 中 f′(x)＝12x2－ln x′＝x－1x， B 中 f′(x)＝(xex)′＝ex＋xex， C 中 f(x)＝6x3－5x2－4x，所以 f′(x)＝18x2－10x－4，
高考一轮复习第2章函数导数及其应用第10二讲第1课时导数与函数的单调性
(3)f(x)的定义域为{x|x≤1}，
f′(x)＝1－ .令f′(x)＝0，得x＝0.
当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
(4)f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
令f′(x)＝xcos x>0，
(3)当不等式f′(x)>0或f′(x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，对f′(x)化简，根据f′(x)的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f′(x)的符号，得单调区间．
考向2 含参数的函数的单调性——师生共研
例2 已知函数f(x)＝ (x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
注：文科(sin 2x)′＝(2sin xcos x)′＝2[(sin x)′·cos x＋sin x·(cos x)′]＝2(cos2x－sin2x)＝2cos 2x.
考点突破·互动探究
考点 函数的单调性
考向1 不含参数的函数的单调性——自主练透
例1 (1)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( A )
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数．
③若a>1，则0< <1，
当x∈ 时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
北师大版高二数学导数知识点汇总
北师大版高二数学导数知识点汇总一、导数的概念与定义导数是微积分中的重要概念，表示函数在某一点的变化率。
导数的定义公式为：\[f'(x)=\lim_{{\Delta x \to 0}}\frac{{f(x+\Delta x)-f(x)}}{{\Delta x}}\]二、导数的基本运算法则1. 导数的线性性质：若函数f(x)和g(x)在点x处可导，则有以下运算法则：(a) (cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；(b) (f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)；2. 导数的乘积法则：若函数f(x)和g(x)在点x处可导，则有以下运算法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；3. 导数的商法则：若函数f(x)和g(x)在点x处可导且g(x)≠0，则有以下运算法则：\[\left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\right)'=\frac{{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}}{{(g(x))^2}}\]三、常见函数的导数1. 常数函数的导数：常数函数f(x)=c，其中c为常数，导数为零，即f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，导数为f'(x)=nx^{n-1}。
3. 指数函数的导数：指数函数f(x)=a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=a^xln(a)。
4. 对数函数的导数：对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，导数为f'(x)=\frac{1}{{xln(a)}}。
5. 三角函数的导数：常见的三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)等的导数分别为cos(x)、-sin(x)和sec^2(x)。
四、高阶导数和隐函数的导数1. 高阶导数：若函数f(x)在某一区间内的每一个点处都存在导数f'(x)，则f'(x)也是一个函数，称为f(x)的一阶导函数。
高考数学(文)一轮复习 2-10导数的概念及运算
ΔΔyx为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的
导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝__Δ_li_xm→_0__f_x_0_＋__ΔΔ_xx_－__f__x_0____.
2．几何意义
函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的___切__线__的__斜__率_____ (瞬 时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为_y_－__f_(x_0_)_＝__f′__(_x_0)_(_x_－__x0)．
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高考一轮总复习 ·数学（文）
板块一 知识梳理·自主学习
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高考一轮总复习 ·数学（文）
[必备知识]
考点 1 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数
1．定义 称函数 y＝f(x)在
x＝x0
处的瞬时变化率___Δl_ixm_→_0 _f__x0_＋__Δ_Δx_x_－__f_x_0____＝Δlixm→0
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高考一轮总复习 ·数学（文）
【变式训练1】 求下列各函数的导数． (1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sinx； (3)y＝xl2n＋x1；
解 (1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
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高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十节导数的概念及运算定积分与微积分基本定理课件文北师大版
Δy Δx
为函数y＝
(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的 ______________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为 ___________________． (3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝__________________________为f(x)的导函数．
挖掘1 利用导数几何意义求切点、斜率、
切线/ 互动探究
[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数ƒ(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若ƒ(x)为奇函数，
则曲线y＝ƒ(x)在点(0，0)处的切线方程为( )
A．y＝－2x
B．y＝－x
C．y＝2x
D．y＝x
[解析] 法一：∵ƒ(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴ƒ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又ƒ(x)为奇函数，∴ƒ(－x)＝－ƒ(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－ 1)x2－ax恒成立， ∴a＝1，∴ƒ′(x)＝3x2＋1，∴ƒ′(0)＝1， ∴曲线y＝ƒ(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x. 故选D.
挖掘2 根据导数的几何意义求解析式中的参数/ 互动探究
[例2] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为
y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
[解析] y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1， ∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. 又∵切线方程为y＝2x＋b， ∴abe＝＋－1＝1，2，即a＝e－1，b＝－1.故选D. [答案] D
近年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.10导数的概念及运算学案文(2021年整理)
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.10 导数的概念及运算学案文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.10 导数的概念及运算学案文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.10 导数的概念及运算［知识梳理]1．变化率与导数(1)平均变化率(2)导数2．导数的运算[诊断自测］1．概念思辨(1)f′(x0）与（f（x0)）′表示的意义相同．( )（2)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．（)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（)(4）曲线y＝f(x)在点P(x0,y0）处的切线与过点P（x0，y0）的切线相同．（）答案（1）×（2）×（3）×（4）×2．教材衍化(1）(选修A1－1P74思考）若函数f（x）＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点（1＋Δx,1＋Δy)，则错误!等于（）A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2答案C解析Δy＝(1＋Δy)－1＝f（1＋Δx）－f(1)＝2（1＋Δx）2－1－1＝2（Δx）2＋4Δx,∴错误!＝2Δx＋4.故选C。
（2）(选修A1－1P85T7）f(x）＝cos x在错误!处的切线的倾斜角为________．答案错误!解析f′（x）＝（cos x）′＝－sin x，f′错误!＝－1,tanα＝－1，所以α＝错误!。
高考数学一轮复习 必考部分 第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算课件 文 北师大版
(4)f(x)=x-sin x cos x 22
=x- 1 sin x. 2
f′(x)=1- 1 cos x. 2
反思归纳
导数计算的方法
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函
数,再求导;
知识梳理
1.导数的概念
(1)函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为 f x2 f x1 ,若Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1),
x2 x1
则平均变化率表示为 y . x
(2)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数
解析:因为s′=-1+2t,所以物体在3秒末的瞬时速度大小为-1+2×3=5. 故选C.
3.(2015达州模拟)已知函数f(x)=ln x,f′(x)是f(x)的导数,f′(x) 的大致图象是( C )
解析:因为函数 f(x)=ln x 的定义域为(0,+∞), 所以 f′(x)= 1 的定义域也为(0,+∞),
解析:令 2x=Δx,由 x→0 得Δx→0,
则有 lim f 1 x f 1 =-1,即 f′(1)=-1,
x0
x
由导数的几何意义知 y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为-1.
2.如果一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是米,t的单位是 秒,那么物体在3秒末的瞬时速度大小是( C ) (A)7米/秒 (B)6米/秒 (C)5米/秒 (D)8米/秒
x 所以其图象为反比例函数图象在第一象限的部分.
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3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 y＝c(c 为常数) y＝xα(α∈常数) y＝sin x y＝cos x y＝ex 导函数
0 y′＝__
y′＝_____ αxα－1
cos x y′＝____ －sin x y′＝______ ex y′＝__
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1 4．(2017· 全国卷Ⅰ)曲线 y＝x ＋x 在点(1,2)处的切线方程为________． 1 x－y＋1＝0 [∵y′＝2x－x2，∴y′|x＝1＝1，
2
即曲线在点(1,2)处的切线的斜率 k＝1， ∴切线方程为 y－2＝x－1， 即 x－y＋1＝0.]
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第
章
第十节
函数、导数及其应用
导数的概念及运算
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双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练
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[ 考纲传真]
1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像直观理解导数的几何意
1 义.3.能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝x ，y＝x2，y＝x3，y＝ x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数 的导数．
f(x)的导函数，通常也简称为导数． 2．导数的几何意义
(x0，f(x0)) 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点_____________
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ． 处的切线的斜率 ___________．相应地，切线方程为_____________________
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3．(2016· 天津高考)已知函数 f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为 f(x)的导函数，则 f′(0)的 值为________．
3 [因为 f(x)＝(2x＋1)ex， 所以 f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex， 所以 f′(0)＝3e0＝3.]
f′(x)±g′(x) (1)[ f(x)± g(x)] ′＝______________ ； f′(x)· g(x)＋f(x)· g′(x) (2)[ f(x)· g(x)] ′＝_____________________ ；
f′xgx－fxg′x f x 2 [ g x ] (3) ′＝__________________ (g(x)≠0)． gx
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[ 基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．( (2)求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)．( ) ) ) )
(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( (4)若 f(a)＝a3＋2ax－x2，则 f′(a)＝3a2＋2x.(
y＝ax(a＞0，a≠1) y＝ln x y＝logax(a＞0，a≠1) y＝tan x y＝cot x
axln a y′＝______
1 y′＝___ x
1 y′＝______ xln a
1 y′＝cos2x 1 y′＝－sin2x
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4．导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有
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5．(2015· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图像在点(1，f(1))处的切线过点 (2,7)，则 a＝________.
1 [∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1， 解得 a＝1.]
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(对应学生用书第 30 页) [ 基础知识填充] 1．导数与导函数的概念
平均变化率趋于一个固定的值 ，那 (1)当 x1 趋于 x0，即 Δx 趋于 0 时，如果____________________________
么这个值就是函数 y＝f(x)在 x0 点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为 函数 y＝f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝
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(对应学生用书第 31 页)
导数的计算
求下列函数的导数： (1)y＝exln x；
2 1 1 (2)y＝xx ＋x ＋x3；
x x (3)y＝x－sin2cos2； cos x (4)y＝ ex . 【导学号：00090059】
[ 答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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3 2．(教材改编)有一机器人的运动方程为 s(t)＝t ＋时的瞬时速度为( 19 A． 4 15 C. 4
) 17 B. 4 13 D. 4
3 D [由题意知，机器人的速度方程为 v(t)＝s′(t)＝2t－t2，故当 t＝2 时，机 3 13 器人的瞬时速度为 v(2)＝2×2－22＝ 4 .]
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[ 知识拓展] 1．曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”的区别： 前者 P(x0，y0)为切点，而后者 P(x0，y0)不一定为切点． 2．直线与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相切只有一个公共点；直线与 非二次曲线相切，公共点不一定只有一个．
fx1－fx0 fx0＋Δx－fx0 lim lim Δx x1→x0 x1－x0 Δx→0 __________________ ＝__________________.
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(2)如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为
fx＋Δx－fx lim Δx f′(x)：f′(x)＝_________________ ，则 f′(x)是关于 x 的函数，称 f′(x)为 Δx→0