【100所名校】江西省高安中学2020届高三上学期第四次月考(期中)考试数学(理)试卷Word版含解析

【100所名校】江西省高安中学2020届上学期第四次月考（期中）考试

高三数学（理）试卷

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题

1．设集合A＝，B＝{﹣1，0，1，2，4}，则A B＝_____________．

2．已知复数，其中i是虚数单位，则的值是_____________．

3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．

4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．

5．如图是一个算法的流程图，则输出a的值是_____________．

6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则

实数p 的值为_____________．

7．已知，则＝_____________．

8．已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数a

的取值范围为_____．

9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线(a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P

处的切线与直线

垂直，则2a ＋3b 的值是_______．

10．若函数在上不单调，则的取值范围是____．

11．如下图，在ABC ∆中， 1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ====

．若1

2

BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅=__________．

12．已知函数，则关于x 的方程的解的个数为

_____________．

13．已知正数a ，b ，c 满足

，则的最大值为_____________．

14．若存在正数x ，y ，使得，其中e 为自然对数的底数，

则实数

的取值范围是_____________．

二、解答题

15．如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；

（2）PD⊥BC．

16．已知，，，，，

．

（1）求的值；

（2）求的值．

17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt △FHE，H是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝米，记∠BHE＝．

（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域；

（2）当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L．

18．在平面直角坐标系xOy中，圆O：与坐标轴分别交于A1，A2，B1，B2(如图)．

（1）点Q是圆O上除A1，A2外的任意点(如图1)，直线A1Q，A2Q与直线交于不同的两点M，N，求线段MN长的最小值；

（2）点P是圆O上除A1，A2，B1，B2外的任意点(如图2)，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E．设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2m﹣k为定值．

（图1）（图2）

19．设函数，其中x＞0，k为常数，e为自然对数的底数．

（1）当k≤0时，求的单调区间；

（2）若函数在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；

（3）证明：对任意给定的实数k，存在()，使得在区间(，)上单调递增．

20．若数列同时满足：①对于任意的正整数n，恒成立；②若对于给定的正整数k，对于任意的正整数n(n＞k)恒成立，则称数列是“R(k)数列”．

（1）已知，判断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由；

（2）已知数列是“R(3)数列”，且存在整数p(p＞1)，使得，，，

成等差数列，证明：是等差数列．

21．二阶矩阵M对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)．

（1）求矩阵M的逆矩阵；

（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：，求l的方程．

22．在极坐标系中，设圆上的点到直线的距离为d，求d的最大值．

23．如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝OC＝2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A—BE—C的余弦值．

24．已知，．

（1）若，求中含x2项的系数；

（2）若是展开式中所有无理项的系数和，数列是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：．

【100所名校】江西省高安中学2020届上学期第四次月考（期中）考试

高三数学（理）试卷参考答案

1．{1，2}

【解析】

【分析】

先化简集合A，然后求交集即可.

【详解】

集合A＝，又B＝{﹣1，0，1，2，4}

∴A B＝{1，2}

【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．

2．

【解析】

【分析】

利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【详解】

复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，

∴|z|==．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

3．4

【解析】

【分析】

先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．

【详解】

一组数据2，4，5，6，8，

这组数据的平均数==5，

这组数据的方差S2=[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．

【点睛】

本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．