2014中考数学复习课件23与圆有关的计算-第一轮复习第六单元圆

例 12(2013· 乐山)如图， 小方格都是边长为 1 的正方 形， 则以格点为圆心， 半径为 1 和 2 的两种弧围成的“叶 状”阴影图案的面积为 2π－4 .
解析：如图，连接 AB，根据轴对称与旋转对称的 性质，从图中可知，S
2
阴影
＝ 2(S
扇形
AOB － S△AOB) ＝
90π×2 1 2×( － ×2×2)＝2π－4. 360 2
例 8．(2013· 德州)如图，扇形 AOB 的半径为 1， ∠AOB＝90° ，以 AB 为直径画半圆，则图中的阴影部 分的面积为( C )
1 A. π 4
1 B．π－ 2
1 C. 2
1 1 D. π＋ 4 2
解析：因为扇形 AOB 的半径为 1，∠AOB＝90° ， 1 所以 AB＝ 2，△AOB 的面积为 ，扇形 AOB 的面积为 2 90×π×1 π π 1 ＝ ， 所以弓形的面积为 － .又因为半圆的面 360 4 4 2 1 22 π π π 1 积为 π×( ) ＝ ，所以阴影部分的面积为 － ( － ) 2 2 4 4 4 2 1 ＝ .故选 C. 2
例 5 如图， 在 Rt△ ABC 中， ∠C＝90° ， ∠A＝30° ， AB＝2.将△ ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转至△ AB′C′ 的位置，B，A，C′三点共线，则线段 BC 扫过的区域 5 面积为 π . 12
3 解析：在 Rt△ABC 中，AC＝AB· cos 30° ＝2× ＝ 2 3.∠BAB′ ＝ ∠CAC′ ＝ 150° . 把 △AB′C′ 按逆时针旋转 到△ABC 的位置， 则阴影部分恰好为一个完整的扇环， 150π× 22 150π× 32 所以 S 阴影＝S 扇形 BAB′－S 扇形 CAC′＝ － ＝ 360 360 5 π. 12
例 11(2013· 温州)在△ ABC 中， ∠C 为锐角， 分别以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作 BAC ，如图 π 所示，若 AB＝4，AC＝2，S1－S2＝ ，则 S3－S4 的值 4 是( D ) 23π B. 4 5π D. 4 29π A. 4 11π C. 4
1 AB 2 1 AC 2 解析： ∵S1＋S3＝ π( ) ＝2π①， S2＋S4＝ π( ) 2 2 2 2 π 3π ＝ ②，∴①－②，得(S1－S2)＋(S3－S4)＝ .∵S1－S2 2 2 π 3π π 5π ＝ ，∴S3－S4＝ － ＝ . 4 2 4 4
【点拨】如图，连接 AD，DB，BC，CA，OE， O3E，将每个小圆外面两个弓形放进正方形空白处，阴 影部分正好是正方形 ADBC， ∴S 阴影＝S 正方形 ADBC＝42÷ 2 ＝8.
【答案】 A
方法总结 求不规则图形的面积， 首先将不规则图形进行分割 或补形，拼成规则图形或转化为几个规则图形的和或 差，然后利用规则图形的面积公式进行计算 .
方法总结 在矩形翻滚的过程中，顶点 A 经过的路径长是多 段弧的和，各段弧的圆心角都是 90° ，半径分别为矩形 的两边和对角线的长 .
考点二 例2
不规则图形的面积 (2013· 泰安)如图， AB， CD 是⊙O 的两条互
相垂直的直径，点 O1，O2，O3，O4 分别是 OA，OB， OC，OD 的中点，若⊙O 的半径是 2，则阴影部分的面 积为( A．8 C．4π＋4 ) B．4 D．4π－4
(2)连接 OB，由(1)知∠C＝30° ， ∴∠AOD＝60° ，∴∠AOB＝120° . 在 Rt△AOF 中，AO＝1，∠AOF＝60° ， 3 1 ∴AF＝ ，OF＝ ，∴AB＝ 3. 2 2 120×π×12 1 1 1 ∴S 阴影＝S 扇形 AOB－S△AOB＝ － × 3× ＝ π 360 2 2 3 3 － . 4
2014中考复习第一轮
第23讲
与圆有关的计算
2014中考复习第一轮
第23讲
与圆有关的计算
│考点随堂练│
考点一 弧长、扇形的面积 1.圆的周长公式是 2 r
2.如果弧长为 l，圆心角为 n° ，圆的半径为 r，那 nπr 么弧长的计算公式为：l＝ . 180
r n° l
3.圆的面积公式是 r 4.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成 的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为 n° ，所在圆的半 nπr2 径为 r，弧长为 l，面积为 S，则 S＝ 或 360 1 S＝ lr. 2 r l (注：公式中的 n 表示 1° 的 圆心角的倍数，所以不写单位) n°
解：(1)如图，连接 O1A， ∵⊙O1 与 O2C，O2D 分别相切于点 A，B， ∴O1A⊥O2C，O2E 平分∠CO2D. 1 ∴∠AO2O1＝ ∠CO2D＝30° . 2 ∴O1O2＝2x(cm)． ∴FO2＝EF－EO1－O1O2＝24－3x， 即扇形 O2CD 的半径为全面积
1.如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它 的侧面展开图是一个扇形． 扇形的弧长等于底面的周 长．
n l 2 2.圆锥的侧面积 S 圆锥侧= rl = 360
3.圆锥的全面积 S 圆锥全=S 圆锥侧+S 底面= rl r
2
n°
l
考点三
阴影部分的面积
例 4 一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为 10 和 16 的矩形，则该圆柱的底面圆的半径是( C 5 A. π 8 B. π 5 8 C. 或 π π )
10 16 D. 或 π π
解析：由题意知，该圆柱的底面圆的周长为 10 或 5 8 16，即 2πr＝10 或 2πr＝16，∴r＝ 或 .故选 C. π π
B．16π－32 D．16π－12 7
解析： 由题意可知， 该图形关于直线 AD 成轴对称， 所以 AD⊥BC，BD＝DC.因为 BC＝12，所以 BD＝6. 在 Rt△ABD 中，AD＝ AB2－BD2＝ 82－62＝2 7， 1 1 所以 S△ABD＝ · AD· BD＝ ×2 7×6＝6 7.由于阴影部 2 2 分的面积即为半圆 ADB 的面积减去△ABD 面积的 2 倍， 1 2 所以 S 阴影＝2×( π×4 －S△ABD)＝2×(8π－6 7)＝16π 2 －12 7.故选 D.
例 14(2013· 雅安)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，D 为⊙O 上的一点，CD＝CB, 延长 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证： CD 为⊙O 的切线； (2)若 BD 的弦心距 OF＝1, ∠ABD＝30° ，求图中阴影 部分的面积(结果保留 π)．
(1)求证： CD 为⊙O 的切线； 解：(1)证明：如图，连接 OD， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴∠ABC＝90° . ∵CD＝CB， ∴∠CBD＝∠CDB. ∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB. ∴∠ODC＝∠ABC＝90° . ∴CD 是⊙O 的切线
例 6 如图，在⊙O 中，直径 AB＝2，CA 切⊙O 于 点 A，BC 交⊙O 于点 D，若∠C＝45° ，则 (1)BD 的长是 2 ；
(2)求阴影部分的面积．
解：(1)连接 AD, 在 ⊙ O 中， ∵ AB 是直径， ∴∠ ADB＝ 90° . 又 ∵ CA 切 ⊙ O 于点 A， ∴∠ BAC＝ 90° . 又 ∵∠ C＝ 45° ， ∴ AC＝ AB＝ 2， BC＝ 2 2. 在等腰直角 △ ABC 中， ∵∠ ADB＝ 90° . 1 ∴ BD＝ DC＝ AD＝ BC＝ 2. 2
2
例 9．如图①，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一 个半径为 1 cm 的圆，使之恰好围成图②所示的圆锥， 则圆锥的高为( C )
1
r r
1
A. 17 cm
B． 4 cm
C. 15 cm
D. 3 cm
解析：设扇形的半径为 R cm，∵圆锥的底面周长 90π· R 等于扇形的弧长，∴ ＝2π，∴R＝4，即圆锥的母 180 线长等于 4 cm，∴圆锥的高＝ 42－12＝ 15(cm)．故 选 C.
例 13 (2013· 威 海 ) 如 图 ， CD 为 ⊙O 的 直 径 ， CD⊥AB，垂足为 F，AO⊥BC，垂足为点 E，AO＝1. (1)求∠C 的大小； (2)求阴影部分的面积．
解：(1)∵ CD 为 ⊙ O 的直径， CD⊥ AB， 1 ∴∠ C＝ ∠ AOD. 2 ∵∠ AOD＝ ∠ COE， 1 ∴∠ C＝ ∠ COE. 2 ∵ AO⊥ BC， ∴∠ C＝ 30° .
(2)在半圆 ADB 中， ∵△ ADB 是等腰直角三角形， 1 1 ∴ S 阴影 ＝ DC· AD＝ × 2× 2＝ 1. 2 2
例 7．如图，在△ ABC 中，AB＝AC，AB＝8，BC ＝12，分别以 AB，AC 为直径作半圆，则图中阴影部分 的面积是( D )
A．64π－12 7 C．16π－24 7
2
例 15 某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组 成．如图，在⊙O1 和扇形 O2CD 中，⊙O1 与 O2C，O2D 分别相切于点 A，B.已知∠CO2D＝60° ，E，F 是直线 O1O2 与⊙O1、扇形 O2CD 的两个交点，且 EF＝24 cm， 设⊙O1 的半径为 x cm. (1)用含 x 的代数式表示 扇形 O2CD 的半径； (2)若⊙O1 和扇形 O2CD 两个区域 的制作成本分别 2 为 0.45 元 /cm 和 0.06 元 /cm2，当⊙O1 的半径为多少 时，该玩 具的制作成本最 小？
考点三 圆锥的侧面积与全面积(选学) 例 3 (2013· 眉山)用一圆心角为 120° ， 半径为 6 cm 的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是 ( ) A．1 cm C．3 cm B．2 cm D．4 cm
【点拨】 设圆锥的底面半径为 r cm ，则 2πr ＝ 120π×6 ，解得 r＝2.故选 B. 180 【答案】 B 方法总结 圆锥的底面圆的周长与其侧面展开图的弧长相等.
(2)若 BD 的弦心距 OF＝1, ∠ABD＝30° ， 求图中阴 影部分的面积(结果保留 π)． (2)在 Rt△OBF 中， ∵∠ABD＝30° ，OF＝1， ∴∠BOF＝60° ，OB＝2, BF＝ 3. ∵OF⊥BD， ∴BD＝2BF＝2 3，∠BOD＝2∠BOF＝120°. ∴S 阴影＝S 扇形 BOD－S△BOD 120×π×2 1 4π ＝ － ×2 3×1＝ － 3. 360 2 3