第4讲 三角形的全等ASA、AAS
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
全等三角形判定(ASA和AAS)
D
或∠A=∠D （AAS）
E
或 AC=DF （SAS）
知识梳理: 三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全
等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
A
D
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
A_B_=_A__’__C_ （ 已知 ）
∠_B__=_∠__C__ （ 已知 ）
∴△A_B_E__≌△A_’__C_D（ ASA）
B
ED C
考考你
1、如图：已知AB∥DE，AC∥DF， BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
AD B EC F
证明：∵ BE=CF(已知)
∴BC=EF(等式性质)
∵ AB∥DE AC∥DF (已知)
∵∠1＝ ∴∠1＋ 即∠BAC＝
∠DAE 在△ABC和△ADC 中
C＝E（已知） BAC＝DAE（已证
∴
）
△ABC≌△ADE （AAS）
AB＝AD（已知）
5、在△ABC中，AB=AC，
A
AD是边∠BBACC上的的角中平线分，线证。明： ∠求B证A：D=BD∠C＝ACDD
B
DC
证明：∵AD是B∠CB边AC上的的角中平线分线（已知）
C
F
A
BD
E
例1 、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和 △ACD全等吗？为什么？
A 证明: 在△ABE与△ACD中
D
E
∠B=∠C （已知） AB=AC （已知）
∠A= ∠A （公共角）
B
4_三角形全等的判定(ASA_AAS)
三角形全等的判定3推论：
两个角和其中一个角的对边对应相等的 两个三角形全等． （简记为“角角边”或“AAS” ）．
A
D
B
C E
F
三角形全等的判定3
(角边角ASA)
(角角边AAS)
例2. 已知：如图，点B,F,C,D在一条直 线上，AB=ED,AB//ED，AC//EF. 求证：△ABC≌△DEF
复习回顾：
我们前面学习了哪几种判定三角形全等的方法
SSS SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全 等．（SAS）
①
③ ② 如果只能拿一块破碎玻璃，你会选择拿 哪一块呢？
已知两个角和一条线段，以这两个角为内角， 以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形．
45°
60°
4 cm
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比 较，所有的三角形都全等吗？ 都全等
试说明：BE＝DF
D E A F B A
C
D C
F
E B
变形，如图（2）将上题中的条件“BE⊥AC， DF ⊥ AC”变为“BE //DF”，结论还成立吗？ 请说明你的理由。
更上一层楼 4.若△ABC中, BE⊥AD于E, CF⊥AD F, 且于 BE=CF, 那么BD与CD相等吗？为什么？
A
证明：∵ BE⊥AD， CF⊥AD（已知） ∴∠BED=∠CFD= 900 (垂直的定义） 在△BDE和△CDF中 ∠BED=∠CFD（已证） ∠BDE=∠CDF（对顶角相等） BE=CF（已知） ∴△BDE≌△CDF（AAS）
F B D E C
小
结
• 1. 说说你的收获……… • 2. 目前我们学了几种判定三角形全等的方 法。 （1）三边 (SSS) 给定三个条件： （2）两边一角 (SAS) （3）一边两角 (ASA)或（AAS） （4）三角 (AAA)??? 思考：三个角对应相等的两个三角形全等吗？
人教版数学八年级上册第4讲 全等三角形的判定(SAS,AAS,ASA,HL)
第四讲全等三角形的判定（SAS,AAS,ASA，HL）知识点1、边角边定理[探究] 通过前面的操作，我们知道当满足三个角相等时，两个三角形不一定全等，当满足三条边相等时，两个三角形全等，如果满足二条边和一角对应相等时，两个三角形全等吗？[操作1]1、画∠AOB=30度。
2、在射线OA上取OD=6厘米3、以点A为圆心，以4厘米为半径作弧交射线OB于E，连结DE和同伴画的三角形比较，两个三角形全等吗？[思考]在以上的操作中，满足了哪些条件呢？[操作2]1、画∠AOB=30度。
2、在射线OA上取OD=6厘米3、在身线OB上取OE=4厘米，连结DE和同伴画的三角形比较，两个三角形现在全等吗？[思考]在以上的操作中，又满足了哪些条件呢？通过以上操作，你认为二个三角形满足什么条件时，就全等呢？知识点2、“边角边”定理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）．【例1】如图所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，•使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？【例2】(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．【例3】已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．【例4】如图 , 已知：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：∠BED=∠CED知识点3、“角边角定理（ASA）”[回顾]三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？___________________到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？_____________ 三角形中已知两角一边有几种可能？______________________[问题]如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？[做一做]三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，•你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？☑两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．[思考]在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？【例1】如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：☑两个角和其中一角的对边对应相等。
全等三角形的判定ASA和AAS教案
全等三角形的判定ASA和AAS教案教案：全等三角形的判定（ASA和AAS）一、教学目标：1.知识与能力目标：（1）通过观察、发现和归纳，了解和掌握ASA和AAS全等定理；（2）熟练掌握ASA和AAS全等定理的应用，能够判定两个三角形是否全等。
2.过程与方法目标：（1）培养学生的观察、发现和分析问题的能力；（2）引导学生进行合作、探究和交流，培养学生的合作意识和学科交流能力。
二、教学重点：1.ASA和AAS全等定理的理解和掌握；2.ASA和AAS全等定理的应用，判定两个三角形是否全等。
三、教学过程：1.导入：（1）让学生回顾什么是全等三角形，以及如何判定两个三角形是否全等；（2）通过两个相同的三角形，引出全等定理是什么。
2.探索：（2）引导学生讨论、发现，如果两个三角形的一组对边相等并且夹角也相等，那么这两个三角形就是全等的；（3）引出ASA全等定理：如果两个三角形的两个对边和夹角分别相等，那么这两个三角形就是全等的；3.拓展：（1）让学生自己寻找一个例子，来应用ASA全等定理判断两个三角形是否全等；（2）让学生进行交流、展示，分析判断是否正确。
4.归纳：（1）让学生讨论和总结ASA全等定理的判断条件；（2）通过学生的总结，引出AAS全等定理：如果两个三角形的两个角和一边分别相等，那么这两个三角形就是全等的；5.深化：（1）让学生自己寻找一个例子，来应用AAS全等定理判断两个三角形是否全等；（2）让学生进行交流、展示，分析判断是否正确。
6.拓展与巩固：（1）让学生在教师的指导下，完成一些多种方法判定全等的练习题；（2）通过练习题的讲解和学生的互相交流，加深对ASA和AAS全等定理的理解和应用能力。
7.小结与拓展：（1）让学生总结归纳ASA和AAS全等定理的判定条件；（2）引导学生思考，是否只有ASA和AAS这两种情况可以判定三角形全等，还有没有其他的情况可以判定三角形全等。
四、教学评价：1.通过学生的课堂表现、问题回答和练习题的完成情况，评价学生对ASA和AAS全等定理的理解和掌握程度；2.评价学生在合作、探究和交流中的表现和能力。
三角形的全等判定(ASA、AAS、SSS、HL)和角的平分线
三角形的全等判定一、证明三角形全等的思路由于证明三角形全等的方法较多，因此证明两个三角形全等的思路与其他证明题目的思咱有所不同，它不是先想用什么方法去证，而是先分析条件，观察待证全等的两个三角形中，已经具备了哪些条件，然后以其为基础，观察其他需要的条件，最后证出需要的条件。
例如：易得两边对应相等，则应再找⎩⎨⎧）第三边相等（夹角相等2)1(，在（1）（2）中证出一个条件，则可以证出三角形的全等。
二、全等三角形的应用证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。
三、添辅助线构造全等三角形 常见的辅助线有：如下图，△ABC 中，BD=DC ， 延长AD 到E ，使DE=AD ，连结CD 或BE 。
则有结论△CDE ≌△BDA 或△BDE ≌△CDA ②题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图(1)，∠1=∠2，AB>AC ，则在AB 必有结论△ADE ≌△ADC.如图(2)，若延长AC 到E ，使AE=AB ，连结DE ，必有结论△ADE ≌△ADB.例1 已知：如图，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB 。
求证：AB=DC 。
分析：要证AB=DC ，只需证明△ABC ≌DCB 。
证明：说明：证明线段或角相等时，常归结到线段或角所在的三角形的全等上，这是三角形全等判断的一种应用。
本例要证明AB=DC ，以它们所在的三角形全等为证明的手段，就是这种应用的一个例子。
_ C _例2 已知：如图，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：BE ⊥AC 。
分析：本题考察“HL ”公理的应用。
要证BE ⊥AC ，可证∠C+∠1=90°，而∠2+∠1=90°，只需证∠2=∠C 。
从而转化为证明它们所在的△BDF 与△ADC 全等，而这由“HL ”公理不难得证。
全等三角形的判定(AAS和ASA)
全等三角形的判定【知识梳理】1、三角形全等的条件(三)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
2、三角形全等的条件(四)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
3、三个角对应相等的情形：三个角对应相等的两个三角形不一定全等。
4、三角形全等的条件的选用：要根据具体情况和题设条件确定，其基本思路见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS、AAS、ASA两角对应相等ASA、AAS两边对应相等SAS、SSS【例题精讲】【例1】如图⑴，AB=CD，AD=BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由。
若将过O点的直线旋转至图⑵、⑶的情况时，其他条件不变，那么图⑴中∠1与∠2的关系还成立吗？【变式1-1】如图，在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC，D为AC上一点，AE⊥BE交BD的延长线于E，BE⊥CF 于F，求证：EF=CF-AE。
【变式1-2】如图，AD∥BC，AB∥DC，MN=PQ，求证：DE=BE。
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E。
求证：BD=2CE。
【变式1-4】如图①所示，OP是∠MON的平分线，请利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：⑴如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；⑵如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而⑴中的其他条件不变，请在⑴中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
【变式1-5】线段AC与BD相交于点O，连结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连结EF(如图所示)。
⑴添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE。
初二几何： 第四讲：全等三角形的判定
有两角和及其中 有三边对应相 有两边和它们的 有两角和它们的夹 一个角所对的边对 等的两个三角形 夹角对应相等的 边对应相等的两个 应相等的两个三角 全等. 两个三角形全等. 三角形全等. 形全等.
8
例、如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于
C
友情提示：公共边，公共角， 对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！
10
二.添条件判全等
B
4、如图，已知AD平分∠BAC， A D 要使△ABD≌△ACD， • 根据“SAS”需要添加条件 AB=AC ； C ∠BDA=∠CDA • 根据“ASA”需要添加条件 ； • 根据“AAS”需要添加条件 ∠B=∠C ；
A
D
E C
14
7.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ B 解：∵ ∠CAE=∠BAD(已知) D E ∴ ∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
(等量减等量，差相等)
C
A
即∠BAC=∠DAE 在△ABC和△ADE中， ∠B=∠D(已知) ∠BAC=∠DAE(已证) AC=AE(已知) ∴△ABC≌ △ADE (AAS)
A D
B
E
C
F
12
A
D
F E C B D A
三、熟练转化“间接条件”判全 等
6如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE， B △AFD与△ CEB全等吗？为什么？ 解答 7.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D， E AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？ 解答 为什么？ C 8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己 做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量， 就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予 说明。 解答
暑期备课笔记-初二数学第4讲：三角形全等的判定(教师版)
第四讲三角形全等的判定全等三角形的判定方法:(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形判定的书写格式:在△XXX和△XXX中_______________________________________∴△XXX≌△XXX（判定定理）1、全等三角形的判定方法:2、善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则∠ECA的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°解析：在BC上截取BF=AB，连DF，则有△ABD≌△FBD（SAS），∴DF=DA=DE，又∵∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°-∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°，∴△DCE≌△DCF（SAS），故∠ECA=∠DCB=40°．答案：C2、如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组解析：第①组满足SSS，能证明△ABC≌△DEF．第②组满足SAS，能证明△ABC≌△DEF．第③组满足ASA，能证明△ABC≌△DEF．第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△DEF．所以有3组能证明△ABC≌△DEF．故符合条件的有3组．答案：C3、如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是______度。
三角形全等的判定三AAS、ASA(课件)
∴∠C=180°-∠A-∠B，
同理∠F=180°-∠D-∠E ， 又∵∠A=∠D，∠B=∠E ， ∴∠C=∠F ， 在△ABC和△DEF中，
B E
BC
EF
C F
∴△ABC≌△DEF (ASA).
★“角角边”判定方法
◆文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (可以简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言：
5.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂
线BF上两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直
线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？
解：∵ AB⊥BF，DE⊥BF，
∴ ∠ABC=∠EDC=90° ， 在△ABC和△EDC中，
ABC EDC
1.如图，使△ABC≌△A′B′C′的条件是( B )
A.AB=A′B′，BC= B′C′ ，∠A=∠ A′
B.AB= A′B′ ，AC= A′C′ ，∠A=∠ A′
C.AB= A′B′ ，AC= A′C′ ，∠B=∠B′
D.AB= A′B′ ，BC= B′C′ ，∠C=∠ C′
2.如图，要使△ABC≌△DEF，已知∠A=∠D，∠C=∠F，则不能使之全
【分析】证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
证明：在△ACD和△ABE中，
A A
AC
AB
C B
∴ △ACD≌△ABE (ASA) ，
∴ AD=AE.
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.求证AB=AD.
证明：∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
全等三角形的四种判定方法
全等三角形的四种判定方法
1.SSS判定法（边-边-边）：
SSS判定法是通过比较两个三角形的边长来判断它们是否全等。
当三
个边的长度完全相等时，两个三角形就是全等的。
这是最直观的方法，也
是最易判定的方法之一
2.SAS判定法（边-角-边）：
SAS判定法是通过比较两个三角形的边长和夹角来判断它们是否全等。
当两个三角形的一对相邻边和它们之间的夹角相等时，这两个三角形就是
全等的。
3.ASA判定法（角-边-角）：
ASA判定法是通过比较两个三角形的两个角度和它们之间的夹边来判
断它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和它们之间的夹边相等时，这
两个三角形就是全等的。
4.AAS判定法（角-角-边）：
AAS判定法是通过比较两个三角形的两个角度和一个非夹角边来判断
它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和一个非夹角边相等时，这两个
三角形就是全等的。
这些判定方法都基于三角形的重要性质：对于两个全等的三角形，它
们的对应边长相等，对应角度相等。
因此，通过比较两个三角形的边长和
角度可以判断它们是否全等。
在实际应用中，这些判定方法可以用来解决各种问题，比如计算三角形的面积、寻找相似三角形等。
此外，全等三角形的概念也是其他几何学概念的基础，比如正方形和正五边形都是全等三角形的特殊情况。
综上所述，全等三角形的判定方法有四种：SSS、SAS、ASA和AAS。
通过比较边长和角度的相等性可以确定两个三角形是否全等。
这些方法在解决几何问题中非常有用，并且为其他几何学概念的理解提供了基础。
三角形全等的判定ASA、AAS课件人教版数学八年级上册
D
E
∴ △ABE ≌△ACD（ASA）．
∴ AE =AD．
B
C
初中数学
练习 AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2，
求证：AB=AD．
A
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC ，
12
∴∠B=∠D=90°.
在△ABC 和△ADC 中，
∠B=∠D=90°，
B
D
∠1=∠2， AC =AC ， ∴ △ABC ≌△ADC（AAS）． C
分别是什么？它们之间有什么共同点和区别？
∠A=∠A′ ∠B=∠B′
B
证明：∵ ∠1=∠2，
A
C
初中数学
同学们，再见！
求证：AC=AB．
A
证明：∵ ∠1=∠2， ∴ ∠1+∠3 =∠2+ ∠3，
13 2
D
E
即∠DAC =∠EAB.
∵ AE⊥BE，AD⊥DC，
∴ ∠D =∠E =90°.
B
C
初中数学
例 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB=∠EAC．
求证：AC=AB．
A
证明：在△ADC 和△AEB 中,
①注意图形中隐藏的条件. A
A
A
D
E
B
D
B
C
F
D
B
C
公共角
初中数学
C 公共边
E
对顶角
课堂小结 在证明三角形全等的过程中，往往需要我们构造 所需条件.
②利用等式性质或几何知识转化条件.
A
B
D
E
A
1
C2
D
初中数学
B
C
三角形全等的判定ASA,AAS
OA=OC _____________
∠A =∠C _____________
根据： ASA __
根据：ASA
例1. 如图,O是AB的中点， A =
AOC
与 BOD
B ，
C
全等吗? 为什么？
两角和夹 边对应相 等
A
O
B
D
例2 、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和 △ACD全等吗？为什么？ A D E 证明: 在△ABE与△ACD中 ∠B=∠C （已知）
_____________ OA=OC _____________ ∠AOB=∠COD
D
* O * C
∠AOB=∠COD _____________
_____________ ∠AOB=∠COD
_____________ OB=OD 根据：_ SAS ___
_____________ OB=OD
_____________ ∠B =∠D
请先画图试试看
议一议
Ⅲ
某科技小组的同学 Ⅱ 们在活动中，不小 Ⅰ 心将一块三角形形 状的玻璃摔成三块。 （如图），他们决 定到市场去配一块 同样形状和大小的 利用“角边角定理”可知, 玻璃，应该怎么办 带Ⅲ 块去，可以配到一个 与原来全等的三角形玻璃。 呢？
考考你
1、如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 角边角（ASA）
2、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 角角边（AAS） C F
A
B
D
E
课堂例题1
如图 , AC与BD相交于点O , 则: 1.图中可看出相等的是 ∠AOB = ______. ______ ∠COD
第十二章 第4课 全等三角形的判定(3)(4)——ASA,AAS
第 4 课 全等三角形的判定(3)(4)——ASA，AAS
1．已知：如图，点 A，D，C 在同一直线上，AB∥EC，AC＝CE， ∠ACB＝∠CED. 求证：BC＝DE.
证明：∵AB∥EC，∴∠A＝∠ECD.
在△ABC 和△CDE 中，
∠A＝∠ECD， AC＝CE， ∠ACB＝∠CED， ∴△ABC≌△CDE (ASA)．
∴BC＝DE.
2．如图，已知 AF＝DC，∠1＝∠2，AB∥DE.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AF＝DC， ∴AF＋FC＝DC＋FC. 即 AC＝DF.
∵AB∥DE.
∴∠A＝∠D.
在△ABC 和△DEF 中，
∠2＝∠1， AC＝DF， ∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF.
3．如图，点 D 是△ABC 边 BC 的中点，连接 AD，过 C 作 CE⊥AD， 过 B 作 BF⊥AD.求证：CE＝BF.
AC＝AE
∴△ABC≌△ADF(AAS)
∴AD＝AB
3．如图，已知 AD∥BC，点 E 为 CD 上一点，AE，BE 分别平分 ∠DAB，∠CBA.
(1)求证：AE⊥BE； (2)求证：DE＝CE； (3)若 AE＝4，BE＝6，求四边形 ABCD 的面积．
(1)证明：∵AD∥BC ∴∠DAB＋∠ABC＝180° ∵AE、BE 分别平分∠DAB，∠CBA ∴∠EAB＋∠ABE＝90° ∴∠AEB＝90°.∴AE⊥BF
S△ABF＝(BF×2AE)＝12× 2 4＝24
∴四边形ABCD面积是24.
谢谢欣赏
地的距离相等．A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE
相等吗？为什么？
解：AD＝BE，理由如下： 在△CAD和△CBE中，
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第五讲 三角形的全等（ASA 、AAS ）
一、典型例题
【例1】已知：如图，PM ＝PN ，∠M ＝∠N ．求证：AM ＝BN ．
证明：在△______与△______中，
⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),
______(______),
______(______),______(______ ∴ △______≌△______ （ ）．
∴PA ＝______ （ ）．
∵PM ＝PN （ ），
∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．
【例2】已知：如图 , FB=CE , AB ∥ED , AC ∥FD.F 、C 在直线 BE 上．求证：AB=DE , AC=DF ．
【例3】如图 , △ABC 中 , AD 是从顶点A 引出的一射线交BC 于D , BE ⊥AD 于E , CF ⊥AD 于F , 且BE=CF , 求证：BD=DC 。
二、课堂练习
1、已知：如图AC ⊥CD 于C , BD ⊥CD 于D , M 是AB 的中点 , 连结CM 并延长交BD 于点F 。
求证：AC=BF ．
2、如图在△ABC和△DBC中, ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P是BC上任意一点。
求证：PA=PD.
3、已知：如图, AB=CD , AD=BC ,O为BD中点, 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF
4、已知：如图, BC是△ABC和△DCB 的公共边, AB=DC , AC=DB , AE、DF分别垂直BC于E , F．求证：AE=DF．
三、挑战题目
1、如图，△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB，求证：AC=AE+CD
2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90。
，点E在AC上，CE=AB,点D在BA延长线上，BD=AC,EF⊥BC于点F，DG⊥BG于点G。
已知EF=3，DG=7，求BC的长。
四、课后作业
1、已知：如图 , 四边形 ABCD中 , AD∥BC , F是AB的中点, DF交CB延长线于E , CE=CD．
求证：∠ADE=∠EDC
2、已知：如图, AE=BF , AD∥BC , AD=BC.AB、CD交于O点．求证：OE=OF
3、已知：如图AC∥BD , AE和BE分别平∠CAB∠DBA ,CD过点E．求证AB ＝AC＋BD
4、如图所示，已知AB∥DC，AB=CD，BF=DE．求证：AE∥CF，AF∥CE．。