高等教育出版社,袁德美主编的概率论与数理统计习题五的答案-医学课件
概率论与数理统计参考答案——习题五
概率论与数理统计参考答案——习题五
1、题略。解：样本平均值
n
i
i1
1
x x
n
=
=∑=40.50；样本方差
n
22
i
i1
1
s(x x)
n1
=
=-
-
∑=4.66，
样本标准差s=2.1587；样本二阶中心矩V2
n
2
i
i1
1
(x x)
n
=
=-
∑=4.1940。
2、题略。解：样本平均值
L
i i
L
i1
i
i1
1
x n x
n=
=
=∑
∑
=3.14；样本方差
L
22
i i
L
i1
i
i1
1
s n(x x)
n1=
=
=-
-
∑
∑
=2.1216；样本二阶中心矩
L
2
i i
L
i1
i
i1
1
n(x x)
n
2
V
=
=
=-
-
∑
∑
=2.1004。
3、题略。解：（1）样本平均值
L
i i
i
i1
a b
x f
2
=
+
=∑=13.4167；
样本方差
2
L
2i i
i
L
i1
i
i1
a b
1
s x n
2
n1=
=
+
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
-
∑
∑
=0.0122；
样本的二阶中心矩V2=
2
L
i i
i
L
i1
i
i1
a b
1
x n
2
n=
=
+
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
∑
∑
=0.0122。
（2）作直方图
4、从总体中抽取容量为n 的样本X1,X2,...,Xn ，设c 为一常数，k 为任何正数，做变换
i i Y k(X c),i 1,2,...,n =-=，证明：
（1）Y X c k =+；（2）2y 2
x 2S S k
=。 证明：（1）
n n n n
i i i i i 1i 1i 1i 1
1111Y Y k(X c)k [X nc]k[X c]kX c n n n n k ======-=-=-=-∑∑∑∑， 变形得到 Y
X c k
=
+。 （2）n n 222
22y
i i i x i 1i 111k (Y Y)[k(X c)k(X c)](X X)k S n 1n 1n 1
概率论和数理统计(第五版)习题集答案解析
第三章
所以X 的概率分布列为 X ()i x X P =01
2343449
22092201=EX 43
0⨯449
1⨯+2209
2⨯+2201
3⨯+.
3.0==2EX 43
02⨯449
12⨯+2209
22⨯+2201
32⨯+.22
9=()22EX EX DX -=1009229-=.319.0≈DX X =σ.565.0≈
《概率论与数理统计》课后习题答案(第五版)
第三章
所以X 的概率分布列为 X ()i x X P =01
2343449
22092201=EX 43
0⨯449
1⨯+2209
2⨯+2201
3⨯+.
3.0==2EX 43
02⨯449
12⨯+2209
22⨯+2201
32⨯+.22
9=()22EX EX DX -=1009229-=.319.0≈DX X =σ.565.0≈
《概率论与数理统计答案》第五章
课
答案与提示： σ 的置信度 95%的置信区间为 ( 7.43, 21.10 ) 。
后
答
σ 的置信度为 0.95 的置信区间是(13.76,36.51)。
案
(2) σ 2 的置信度为 0.95 的置信区间是（189.47,1333.33） ；
1 1 1 X1 + X 2 + X 3 ； 4 2 4 2 1 1 X1 + X 2 + X 3 ； 3 4 12
由有效估计定义可判断
1 1 1 X 1 + X 2 + X 3 较好。 4 2 4
15．设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为
估计值。
案
网
其中 θ > 0 为未知参数。又设 x1，x 2， "，x n 是 X 的一组样本观察值，求 θ 的极大似然
U V n
—1—
.k
所服从的分布。 ，再利用 F 分布的定义即可。
hd a
w. c
om
第五章 习题参考答案与提示
Y=
1 ~ F (n,1) 。 X2
2 X 12 + " + X 10 所服从的分布。 2 2 2( X 11 + " + X 15 )
概率论与数理统计习题册 第五章 答案
16 ⋅100
400
近似服从正态分布 N (0,1) ，则
P{V
>
1920}
=
P
⎧V ⎨ ⎩
− 1600 400
>
1920 − 1600 ⎫
400
⎬ ⎭
=
1
−
P
⎧V ⎨ ⎩
− 1600 400
≤
0.8⎫⎬ ⎭
≈ 1 − Φ(0.8) = 0.2119
即寿命总和大于 1920 小时的概率为 0.2119。
那么由中心极限定理得所求概率49500015000155500014955500010950001095000109第五章大数定律和中心极限定理03234545某药厂声称试制成功一种治疗贫血的新药平均有效率达到80卫生部门为了检验此药的效果在100名患者中进行了试验决定若有75名或者更多的患者显示有效时即批准该厂投入生产问若该厂声称的治愈率80确是事实则该药品能通过这一检验的概率是多少
布中心极限定理，随机变量
近似服从正态分布 N (0,1)
5000
∑ Z = k=1 Xi − 0.5× 5000 = X − 2500
0.1⋅ 5000
50
P{ X
>
2510}
=
P
⎧ ⎨
X
−
2500
>
概率论与数理统计》课后习题习题详解第五章
习题解答
习题5.1
1．设样本值如下：
15， 20， 32， 26， 37， 18， 19， 43
计算样本均值、样本方差、2阶样本矩及2阶样本中心矩．
解 由样本均值的计算公式，有
()8111
152032263718194326.2588
i i x x ===⨯+++++++=∑
由样本方差的计算公式，有
()
2
82
1
1102.2181i i s x x
==-=-∑
由2阶样本矩的计算公式，有
82
21
1778.58i i a x ===∑
由2阶样本中心矩的计算公式，有
()
2
8
21
189.448i i b x x
==-=∑
2. 设总体~(12,4)X N ，125(,,,)X X X 是来自总体X 的样本，求概率
12345
{m a x (,,,,)12}
P X X X X X >. 解 12345{m a x (,,,,)12}
P X X X X X > []5
51311(0) 1()232
=-Φ=-=
3. 设总体X ～ P （λ），X 是容量为n 的样本的均值，求 ()E X 和 ()D X . 解 因总体X ～ P （λ），故有(),()E X D X λλ==，于是
()()E X E X λ==
()()D X D X n n
λ
=
= 4. 某保险公司记录的6n =起火灾事故的损失数据如下（单位：万元）：1.86, 0.75, 3.21，2.45， 1.98, 4.12. 求该样本的经验分布函数.
解 将样本观测值排序可得：
0.75
1.86 1.98
2.45
3.21
<<<<< 则经验分布函数为
概率论与数理统计(第五版)习题问题详解
第三章
所以X 的概率分布列为 X ()i x X P =01
2343449
22092201=EX 43
0⨯449
1⨯+2209
2⨯+2201
3⨯+.
3.0==2EX 43
02⨯449
12⨯+2209
22⨯+2201
32⨯+.22
9=()22EX EX DX -=1009229-=.319.0≈DX X =σ.565.0≈
概率论与数理统计课后习题参考问题详解高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题参考答案
高等教育
习题1.1解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}
{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数
之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；
{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；
{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；
Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；
{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A
3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下
事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
概率论与数理统计第五章习题参考答案
F = S甲2 ~ F (4,4) S乙2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S甲2 S乙2
<
F 1−
0.05
(4,4)
U
2
S甲2 S乙2
>
F0.05
2
(4,4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： F0.05 (4,4) = 9.6,
2
F 1−
0.05
2
(4,4)
=
1 F0.025 (4,4)
=
0.1042
，
故拒绝域为 (0, 0.142) U (9.6, + ∞) .
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 :σ = σ 0 = 0.005 H1 :σ > σ 0 = 0.005
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
K = (9 − 1)S 2 ~ χ 2 (8) (0.005) 2
由
⎧ P⎨
⎩
8S 2 (0.005)
2
>
χ
2 0.05
⎫ (8)⎬
=
代入样本值 x = 0.452%, s = 0.037% 得 K 值为 K = 9 × (0.037%) 2 = 7.7006 > 3.325 (0.04%) 2
所以接受 H 0 ，拒绝 H1 。
5. 一种元件，用户要求元件的平均寿命不得低于 1200 小时，标准差不得超过 50 小时，今在一批元 件中抽取 9 只，测得平均寿命 x = 1178 小时，标准差 s = 54 小时。已知元件寿命服从正态分布， 试在α = 0.05 下确定这批元件是否合乎要求？
概率论与数理统计课后习题参考答案高等教育出版社
概率论与数理统计课后习题参考答案
高等教育出版社 习题1、1解答
1、 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}
{=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)}
2、 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之与为偶数”,“点数之
与小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件
D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(ΛΛΛΛ=Ω; {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ;
{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(Λ=+B A ;
Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ;
{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A
3、 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报与体育报。试用C B A ,,表示以
下事件:
(1)只订阅日报; (2)只订日报与晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。
《概率论与数理统计》习题五答案
《概率论与数理统计》习题及答案
习题五
1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10<X <18}.
【解】设i X 表每次掷的点数，则41i i X X
==∑
22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666
i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而 2
2
291735()()[()].6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又X 1,X 2,X 3,X 4独立同分布.
从而441
17()()()414,2i i i i E X E X E X =====⨯
=∑∑ 4411
3535()()()4.123i i i i D X D X D X =====⨯
=∑∑ 所以 235/3{1018}{|14|4}10.271,4
P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间
的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？
【解】令1,,
0,i i X ⎧⎨⎩若第个产品是合格品其他情形.
而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且
X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=0.8.
现要求n ,使得
1{0.760.84}0.9.n i i X P n =≤
≤≥∑
即
0.80.9n
i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得
0.840.80.760.80.9,0.160.16n n n n n n --⎛⎫⎛⎫Φ-Φ≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
概率论与数理统计第五章习题解答
第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解
解：这是检验正态总体数学期望μ是否为
提出假设：0.32:,
0.32:10≠=μμH H
由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验
当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61
.10
.320
N X n X U -=
-=
σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u
计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(6
1=+++++⨯=x
89.061
.10
.326.310
-=-=
-=
n x u σμ
因 0.89 1.96u =<
它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为
0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显着为
32.0kg/cm 2。
解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10
提出假设：10:,
10:10>≤μμH H 即：10:,
10:10>=μμH H
由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ，
km x 万1.10=，所以用U 检验
当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51
.010
N X n X U -=
-=
σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251
.010
1.100
=-=
-=
n x u σμ 因 2.24 1.64u =>
它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ
概率论和数理统计(第五版)习题集答案解析
第三章
所以X 的概率分布列为 X ()i x X P =01
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22092201=EX 43
0⨯449
1⨯+2209
2⨯+2201
3⨯+.
3.0==2EX 43
02⨯449
12⨯+2209
22⨯+2201
32⨯+.22
9=()22EX EX DX -=1009229-=.319.0≈DX X =σ.565.0≈
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案
1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．
(1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；
(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．
解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有
30)(=X E ，1.29)(=X D ，
由切比雪夫不等式，得
)
3040303020()4020(-<-<-=<<X P X P )103010(<-<-=X P )1030(<-=X P 709.010
1.2912=-≥．(2)设X 为200个新生儿中男孩的个数，则X ～)200,5.0(B ，有
100)(=X E ，50)(=X D ，
由切比雪夫不等式，得
)
10012010010080()12080(-<-<-=<<X P X P )2010020(<-<-=X P )20100(<-=X P 8
7205012=-≥．2．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X P ．
解：设i X 为该骰子掷第i 次出现的点数，则
61)(=
=k X P i ，6,,2,1 =i ，6,,2,1 =k ．27)654321(61)(=+++++=i X E ，691)654321(61)(2222222=+++++=i X E ，35)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，4,3,2,1=i ．因为4321X X X X X +++=，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，
概率论与数理统计[第五版]习题答案
![概率论与数理统计[第五版]习题答案](https://img.taocdn.com/s3/m/960a903b240c844768eaee5d.png)
概率论与数理统计[第五版]习题
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第三章
所以X 的概率分布列为 X ()i x X P =01
2343449
22092201=EX 43
0⨯449
1⨯+2209
2⨯+2201
3⨯+.
3.0==2EX 43
02⨯449
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22⨯+2201
32⨯+.22
9=()22EX EX DX -=1009229-=.319.0≈DX X =σ.565.0≈
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2
6
由辛钦大数定律得
Yn
1 n
n
X
2 i
i 1
P 6
5
5.10 计算机在进行加法时,遵循四舍五入原则,为简单计, 假设每个加数按四舍五入取为整数.试求(1)随机取1000 个数相加,问误差总和的绝对值超过10的概率是多少? (2)要想使误差总和的绝对值小于10的概率超过90％,最 多随机取几个数相加?
解
(1E)设(X第i ) i个0加, D数(X的i )误 差112为,i Xi1,,
则Xi～U[－0.5,0.5] 2, ,1000
1000
则误差总和X Xi
i 1
E(X ) 0, D(X ) 1000 250 12 3
P( X 10)1 P( X 10) 1 P(10 X 10)
5.1 设随机变量X的数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,使用切 比雪夫不等式估计概率P(|X－μ|≥3σ)的上界
解 P( X
3
)
2
3 2
1 9
1
5.2 已知正常成年男性每毫升的血液中,含白细胞平均数 是7.3×106,标准差是0.7×106.使用切比雪夫不等式,估计每 毫升血液中含白细胞数在5.2×106到9.4×106之间的概率.
即部件损坏的个数不能超过15个.
∴系统工作的概率为
P( X
15)
P(
X
10 3
15
10 ) 3
(1.67)
0.9525
9
5.14 假设某生产线的产品其次品率为10％.求在新生产的 600件产品中,次品的数量介于50和60之间的概率.
解 设X为600件产品中次品的个数,则X～B(600,0.1)
lim
n
P
1n
1n
n
k 1
Xk
n
k 1
pk
0
4
5.9 设相互独立的r.v.序列 Xn, n 1
且每个Xn都服从参数为2的泊松分布, 问当n→∞时,
Yn
1 n
n
i 1
X
2 i
依概率收敛于哪个常数值随机变量?
解
E
(
X
2 i
)
D( Xi ) [E( Xi )]2
10
5.15 某专卖店销售三种品牌的台灯,由于售出哪一种台灯 完全是随机的,因而售出一盏台灯的价格是一个随机变量, 它取100元,200元,300元的概率分别为0.6,0.2和0.2.若一段 时间内售出了100盏台灯,求(1)收入至少14800元的概率.
解 (1)设收入为Y,售出(i×100)元的台灯个数Xi ,(i=1,2,3)
且E(X ) 60, D(X ) 54
P(50 X 60) P(50 60 X 60 60 60)
54
54
54
P(50 60 X 60 60 60) P( 10 X 60 0)
54
54
54
3 6 54
(0) (1.36) 0.5 (1 0.9131) 0.4131
n i 1
Xi
E(X )
0, D(X )
n 12
P( X 10) P(10 X 10) P( 10 X 10 ) nnn
2(10 12 ) 1 0.9 n
12 12 12
(10 12 ) 0.95 查表得10 12 1.65
n
n
n 10 12 n 440.8 故最多随机取440个数相加 1.65
YX110X02X1
X3 100 200X 2
300 X 3
14800
X1 X1
X2 2X
X3 100 2 3X3 148
令X 2
0,
此时X
有最大值，
1
X1 3(100 X1) 148 X1 76
11
解对每次售出的台灯价格进行考查,
2
5.5 设随机变量X～P(λ),使用切比雪夫不等式证明
P(0 X 2) 1
解 P(0 X 2)
P( X )
P( X )
1
1 2
1
3
5.6 设相互独立的r.v.序列 Xn, n 1 满足 P Xk 1 pk , P Xk 0 1 pk , k 1, 2,
要么售出价格为100元的台灯,要么不是售出价格为 100元的台灯.
则X1 B(100, 0.6), E( X1) 60, D( X1) 24
P(Y
14800)
P( X1
76)
P(
X1
60 24
76
60) 24
(3.27) 0.9995166
12
5.15 某专卖店销售三种品牌的台灯,由于售出哪一种台 灯完全是随机的,因而售出一盏台灯的价格是一个随机变 量,它取100元,200元,300元的概率分别为0.6,0.2和0.2.若 一段时间内售出了100盏台灯,求(2)出售价格为200元的 台灯多于10盏的概率.
试证明对于任意给定的ε ＞0,总有
lim
n
P
1n
1n
n
k 1
Xk
n
k 1
pk
0
解 Xk B(1, pk ) , k 1, 2, ,
Fra Baidu bibliotek E( Xk ) pk , D( Xk ) pk (1 pk ) 1
且X1, X2 ,
X
之间相互独立
n
由切比雪夫大数定律得
6
1 P( 10 X 10 ) 250 250 250
3
3
3
1 P( 1.2 X 1.2) 250 3
1[2( 1.2) 1] 2[1 (1.1)] 2[1 0.8643] 0.2714
7
解 (2)设最多随机取n个数相加,
则误差总和X
解 设正常成年男性每毫升的血液中,含白细胞数量为随 机变量X P(5.2106 X 9.4106 )
P(2.1106 X 7.3106 2.1106 )
P( X 7.3106 2.1106)
1
0.7 106 2.1106
2
2
8 9
8
5.13 某复杂系统由100个相互独立起作用的部件组成.在 整个运行期间,每个部件损坏的概率为0.1,为了使整个系统 起作用,至少需有85个部件工作.求整个系统工作的概率.
解 设X为100个部件损坏的个数, 则X～B(100,0.1)
且E(X ) 10, D(X ) 9
要使整个系统工作, 至少需要85个部件工作,