数学必修二点线面位置关系

【模块标题】点线面的位置关系

【教材内容1】会判断空间中线线位置关系(3星)

知识回顾：

1．异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．比如下图中的,a b 即为异面直线．

2．有了异面直线的定义，我们即可总结空间中两条直线的位置关系：

位置关系 共面（相交） 共面（平行） 异面

图形

符号 a b P =

//a b ,,a A b A b αα=⊂∉

公共点个数 1

特征

两条相交直线确定一个平面

两条平行直线确定一个平面

两条异面直线不同在任

何一个平面内

3．公理4（平行公理）：平行与同一直线的两条直线互相平行．

4．定理：空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等（同向）或互补（反向）．

<承接>

通过例题及练习判断空间中直线与直线的位置关系． 例1．两条直线垂直，它们在空间中是什么关系（ ） A ．相交 B.异面 C.相交或异面 D.平行 画出图像，解释线线关系如下：

两直线垂直，可能有交点也可能没有交点，即可能是相交直线，也可能是异面直线． 例如上图中1AA 与AD 垂直，且相交；而1AA 与BC 垂直，但是没有交点，就是异面直线． 答案：C

练1.

分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( )

A ．异面

B ．平行

C ．相交

D ．以上都有可能 请老师画图进行讲解. 答案：D

例2.在正方体1111ABCD A B C D 中，与对角线1BD 既不相交又不平行的棱有( ) A ．3条 B ．4条 C ．6条 D ．8条 如图：

平面1111A B C D 上的四条棱中有1111,A B B C ， 在平面ABCD 上的四条棱中有,AD CD ， 上下两底面之间的四条棱中，有11,AA CC ， 故与1BD 既不相交又不平行的棱共有6条．

练2.与两条异面直线分别平行的两条直线的位置关系是( )

A ．平行

B ．相交

C ．异面

D ．相交或异面 如图，借助长方体模型，

1AA 与BC 异面，11111,AA CC DD BC

B C ‖‖‖，但1111CC B C C ⋂=，1DD 与11B C 异面． 答案：D

<承接>

由正方体的展开图，你能找到线线的位置关系吗？

例3.如图，是一个正方体的展开图，在原来正方体中，有下列命题： （1）,AB EF 所在的直线平行； （2）,AB CD 所在的直线异面； （3）,MN CD 所在的直线相交， 其中正确的命题是__________．

<板书演示>

通过展开图，想象立体图像中直线的位置，还原正方体，如下：

如图可知：AB EF ⊥且异面；,AB CD 异面；,MN CD 异面． 练3.如图是正方体的平面展开图，有下列四个命题： （1）在原正方体中BM 与ED 平行； （2）在原正方体中CN 与BE 是异面直线； （3）在原正方体中CN 与BM 不垂直； （4）在原正方体中DE 与BM 垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是_____________.

答案：（3）（4）

【教材内容2】会判断空间中直线与平面的位置关系 (3星)

空间中直线与平面的位置关系：

位置关系

公共点个数

图示

符号表示

直线在平面内 无数个

l α⊂

直线和平面相交 （特殊情况—垂直）

有且仅有1个 l P α=

直线和平面平行 无

l α

例4．已知直线a 不平行于平面α，给出下列四个结论： （1）α内的所有直线都与a 异面； （2）α内不存在与a 平行的直线； （3）α内的直线都与a 相交； （4）直线a 与平面α有公共点． 以上正确命题的序号是________．

先分析题干，分析可能出现的几种位置关系，

直线a 不平行于平面α，则可能出现的情况是直线a 与平面α相交或直线a 在平面α内， 然后再逐一分析（1）、（2）、（3）、（4）， （1）也有可能平行、相交，

（2）当a 在平面α内就存在与a 平行的直线， （3）也可能异面、平行， （4）正确．

分析时加上图示，帮助学生理解． 答案：（4）

练4．已知直线,a b ，平面α，满足a α⊆，则使得b α∥的条件是 ( )． A ．b a B ．b a 且b α⊄

C ．,a b 异面

D ．,a b 不相交

本题答案易得出，老师可详细询问学生每个选项中可能得出的线面关系有哪些. 对于A ：b α 可能出现两种情况 1.平面α外的直线b α 2.平面内的直线b α 只有情况1能得到b α .

对于B ：根据A 中的推导，属于第1种情况，成立． 对于C ：由,a b 异面可能得到 1.b α 2.b 与α相交．

对于D ：由,a b 不相交可能得到： 1.b α ， 2.b 与α相交， 3.b α⊆． 答案：B

例5.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,AB CC 的中点，在平面11ADD A 内且与平面1D EF 平行的直线（ ）．

A ．有无数条 Ｂ．有2条 Ｃ．有1条

Ｄ．不存在

先引导学生能不能把这种直线画出来，试过之后发现不行，只能找到两平面的公共点1D 那就只能分析题干条件：

平面11ADD A 与平面1D EF 必然不平行，那就一定相交，一定有交线，那么在平面11ADD A 内就有无数条直线平行于交线，根据线面平行的判定定理，平行于交线就平行于平面，故有无数条． 答案：A

<承接>

通过例题，我们会发现有时候题目给出图像，效果就跟给出文字表述或者数学符号表示一样，推导位置关系才是关键．上题出现了两相交平面的交线，我们也知道了平面外的直线平行于交线就平行于平面，下面这个练习也跟两平面的交线有关，给2分钟时间大家自己思考．

练5．已知l 是过正方体1111ABCD A B C D 顶点的平面11AB D 与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是（ ）．

A ．11D

B l B ．BD 平面11AD B

C ．l 平面11A

D B D ．11C B l 根据题意画出图像,可知D 错误．

<承接>

下面题目涉及平行及垂直知识点.