数学必修二点线面位置关系

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高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系PPT

a
A
记为：a=A
33
直线与平面
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
21
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
22
平行直线
问题
已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
1
2.1 点、直线、平面之间的位置关系
2
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
3
2.1.1 平面
4
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小线无粗细面无厚薄
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
23
等角定理
定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
A /A C /C ,•A /A /B B
C
C
A
B
A
B
C
A
B
C
B
A
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.

高中数学必修二点、线、面之间的位置关系

1.2点、线、面之间的位置关系考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1.2.1 平面的基本性质重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．经典例题：如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCD-A1B1C1D1所在棱上的中点，求证：E，F，G，H，P，Q共面.当堂练习：1．下面给出四个命题：①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．若点N在直线a上，直线a又在平面内，则点N，直线a与平面之间的关系可记作（）A．N B．N C．N D．N3．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（）A．0B．1C．1或4D．无法确定4．空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下面结论成立的是（）A．四点中必有三点共线B．四点中必有三点不共线C．AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行D．直线AB与CD必相交5．空间不重合的三个平面可以把空间分成（）A．4或6或7个部分B．4或6或7或8个部分C．4或7或8个部分D．6或7或8个部分6．下列说法正确的是（）①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB, 则线段AB延长线上的任何一点一点必在平面内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A．①②③B．②③④C．③④D．②③7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n，则n的可能取值为（）A．1 B．1或3 C．1或2或3 D．1或48．如果那么下列关系成立的是（）A．B．C．D．9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（）A．7个B．6个C．5个D．4个10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（）A．两个公共点B．三个公共点C．四个公共点D．两条平行直线11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（）A．1或3个B．1或4个C．1个、3个或4个D．1个、2个或4个12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（）A．1个B．1个或2个C．1个或3个D．3个13．空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF GH=P，则点P（）A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上也不在直线BD上14．设平面与平面交于直线, 直线, 直线,, 则M_______．15．直线AB、AD，直线CB、CD，点E AB，点F BC，点G CD，点H DA，若直线HE直线FG=M，则点M必在直线___________上．16．如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为_______________．17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1的平面交于点M，则BM：MD1=________________．18．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线．19．证明梯形是平面图形．20．已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交．求证: 直线共面．21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M 的位置．参考答案：经典例题：证明：连接EF，QG，E，F，Q，G分别是A1D1，D1C1，A1A，C1C的中点，EF||A1C1||QG, 同理FG||EP，设E，F，G，Q确定平面，F，G，E，P确定平面，由于都经过不共线的三点E，F，G，故重合，即E，F，G，P，Q五点共面，同理可证E，F，G，H，Q五点共面，故E，F，G，H，P，Q共面．当堂练习：1.A;2.B;3.C;4.B;5.B;6.B;7.B;8.A;9.B; 10.D; 11.C; 12.C; 13.A; 14.; 15. BD; 16.; 17. 2:1;18.证明：E，. .. 同理可证O, , 即B、D、O三点共线．20.证明: 如图,设与分别交于A ,B ,C ,经过可确定一个平面经过a, b可确定一个平面.,同理B,则AB, 即因经过的平面有且只有一个, 与为同一平面.同理即共面．21.解: 连结D1B , A1B , CD1, 则D1B与A1C的交点即为所求作的点M.证明: D1B平面ABC1D1 , D1B平面A1BCD1 ,平面ABC1D1平面A1BCD1= D1B.A1C平面ABC1D1=M, M平面AB C1D1, M平面A1BCD1 ,M D1B．故M为D1B与A1C的交点．。

完整版高中数学必修2《点、直线、平面之间位置关系》知识点

第二章点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面1、平面及其表示A2、平面的根本性质①公理1：lBllAB②公理2：不共线的三点确定一个平面③公理3：Pl那么P lP二、点与面、直线位置关系1、A1、点与平面有2种位置关系2、B1、A l2、点与直线有2种位置关系2、B l三、空间中直线与直线之间的位置关系1、异面直线2、直线与直线的位置关系相交共面平行异面3、公理4和定理公理4：l1Pl3l1Pl2l2Pl3定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的步骤：①作：作平行线得到相交直线； ②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③构造三角形求出该角。

提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是 00,900。

四、空间中直线与平面之间的位置关系位置关系直线a 在平面内直线a 与平面相交直线a 与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a aI A aP 图形表示五、空间中平面与平面之间的位置关系位置关系两个平面平行两个平面相交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示 P I a图形表示直线、平面平行的判定及其性质一、线面平行1、判定：b a bPbPa〔线线平行，那么线面平行〕2、性质：aPaP abb〔线面平行，那么线线平行〕二、面面平行1、判定：aba b P PPbP〔线面平行，那么面面平行〕2、性质1：PI a aPbI b〔面面平行，那么线面平行〕性质2：PmPm〔面面平行，那么线面平行〕说明〔1〕判定直线与平面平行的方法：①利用定义：证明直线与平面无公共点。

②利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。

③利用面面平行的性质：两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

2〕证明面面平行的常用方法利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。

必修二第2章点线面的位置关系归纳整合

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(2)证明线线垂直的方法 ①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线； ②线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b； ③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.
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2．线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种 . (1)证明直线与平面平行的方法 ①线面平行的定义； ②判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α； ③平面与平面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β.
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3．三线共点问题证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．
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【例 1】如图所示，空间四边形 ABCD 中 E，F 分别为 AB， AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC ＝1∶2.求证：
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(2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
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4．证明空间线面平行或垂直需注意的三点 (1)由已知想性质，由求证想判定． (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论． 5．“升降维”思想用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决．用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法．平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程．

第1节.点线面的位置关系

α A
B
文字语言：公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内（即这条直线上的所有的点都在这个平面图形语言：内）。
l α A B
符号表示：符号语言： A l , B l , 且A , B l
观察下列问题，你能得到什么结论_？
B
A
B
C
必修二第二章
第一节.空间点、直线、平面之间的位置关系
一.平面的概念：光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
三.平面的画法：
（1）水平放置的平（2）垂直放置的平面：面： ß
2 3
3
1
1
2
3
l1
C
l2
A
B
l3
多线共点问题的证明
例2：如图，已知三个平面 , , , 且 a, b, c, a b P, 求证：点P在直线c
上.

b
c P

a

补充练习：
l 上的点，又点A不在平面内， 1、A为直线则l 与的公共点最多有 _______ 1 个.
概念巩固
下列五个命题中，正确的是( C、E ) A、四边形一定是平面图形 B、空间的三个点确定一个平面 C、梯形一定是平面图形 D、六边形一定是平面图形 E、三角形一定是平面图形
和平面相交的图形练习2：画出平面
练习3：画出满足下列条件的图形（其中 , a, b, l 为直线）为平面，
五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系： (1)点与直线的位置关系：

人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系知识点

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45o，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：αBA βαABαβαβBAAβαBA a ∉ 点A 不在直线a 上A α∈ 点A 在平面α内A α∉点A 不在平面α内b a Aa b A =I直线a 、b 交于A 点a α⊂直线a 在平面α内a α=∅I 直线a 与平面α无公共点a A α=I 直线a 与平面α交于点Al αβ=I 平面α、β相交于直线l二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；BA αA αAαA aaαaαa Aα推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭I 如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈I 公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

高中数学必修2第2章点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面间的位置关系一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2.三、直线与平面的位置关系四、平面与平面的位置关系1.三个公理的作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线． 2．异面直线的有关问题(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．(2)所成的角的求法：平移法．典题导入[例1] (2012·湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为A 1A 的中点，求证：CE ，D 1F ，DA 三线共点． [自主解答] ∵EF 綊12CD 1，∴直线D 1F 和CE 必相交．设D1F ∩CE ＝P ，∵P ∈D 1F 且D 1F ⊂平面AA 1D 1D ， ∴P ∈平面AA 1D 1D .又P ∈EC 且CE ⊂平面ABCD ， ∴P ∈平面ABCD ，即P 是平面ABCD 与平面AA 1D 1D 的公共点．而平面ABCD ∩平面AA 1D 1D ＝AD . ∴P ∈AD .∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．本例条件不变试证明E ，C ，D 1，F 四点共面．证明：∵E ，F 分别是AB 和AA 1的中点， ∴EF 綊12A 1B .又A 1D 1綊B 1C 1綊BC .∴四边形A 1D 1CB 为平行四边形． ∴A 1B ∥CD 1，从而EF ∥CD 1. ∴EF 与CD 1确定一个平面． ∴E ，C 1，F ，D 四点共面．由题悟法1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．以题试法1．(1)(2012·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()A．对边相等的四边形一定是平面图形B．四边相等的四边形一定是平面图形C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确．答案：(1)C(2)①④第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面1．下列符号语言表述正确的是()A．A∈l B．A⊂αC．A⊂l D．l∈α2．若一直线a在平面α内，则图示正确的是()3．(2013年安徽)在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间上述关系的集合表示是() A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α5．如图K2-1-1，用符号语言可表达为()图K2-1-1A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n6．过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是()A．3 B．4 C．5 D．67．E，F，G，H是三棱锥A-BCD棱AB，AD，CD，CB上的点，延长EF，HG交于点P，则点P()A．一定在直线AC上B．一定在直线BD上C．只在平面BCD内D．只在平面ABD内8．下列推理错误的是()A．若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂αB．若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝ABC．若l∈α，A∈l，则A⊂αD．若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合9．如图，ABCD -A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的序号是________．①A，M，O三点共线；②A，M，O，A1四点共面；③A，O，C，M四点共面；④B，B1，O，M四点共面．10．如图K2-1-3，在正方体ABCD -A′B′C′D′中，E，F分别是AA′，AB上一点，且EF∥CD′，求证：平面EFCD′，平面AC与平面AD′两两相交的交线ED′，FC，AD交于一点．图K2-1-3异面直线的判定典题导入[例2](2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[自主解答]图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．由题悟法1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．以题试法2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．则四个结论中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1．下面结论正确的是()A ．空间四边形的四个内角和等于180°B ．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C ．空间四边形的两条对角线可以相交D ．空间四边形的两条对角线不相交2．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或异面 D ．相交或异面 3．直线a ∥b ，b ⊥c ，则a 与c 的关系是( ) A ．异面 B ．平行 C ．垂直 D ．相交4．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC 5．如图，在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为B 1O 和C 1O 的中点，长方体的各棱中与EF 平行的有( )A ．一条B ．两条C ．三条D ．四条6．已知异面直线a ，b 分别在平面α，β内，而α∩β＝c ，则直线c ( ) A ．一定与a ，b 中的两条相交 B ．至少与a ，b 中的一条相交 C ．至多与a ，b 中的一条相交 D ．至少与a ，b 中的一条平行7．AB ，CD 是夹在两平行平面α，β之间的异面线段，A ，C 在平面α内，B ，D 在平面β内，若M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则有( )A ．MN ＝12()AC ＋BDB ．MN >12()AC ＋BD C ．MN <12()AC ＋BD D ．MN ≤12()AC ＋BD8．如图K2-1-5是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题正确的序号有________．①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直．图K2-1-5 图K2-1-69．如图K2-1-6，过正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作________条．10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点．(1)求直线AB 1和CC 1所成的角的大小； (2)求直线AB 1和EF 所成的角的大小．2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1．若直线m∥平面α，直线n∥平面α，则直线m与直线n的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能2．长方体中ABCD -A1B1C1D1，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3条B．4条C．5条D．6条3．b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是()A．b与α内一条直线不相交B．b与α内两条直线不相交C．b与α内无数条直线不相交D．b与α内任意一条直线不相交4．若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是()A．三个平面共线B．有两个平面平行且都与第三个平面相交C．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交D．三个平面两两相交5．对于直线m，n和平面α，下列说法中正确的是()A．如果m⊂α，nα，m，n异面，那么n∥αB．如果m⊂α，nα，m，n异面，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n6．已知直线a⊂平面α，直线b与a没有公共点，则()A．b⊂αB．bαC．b∥αD．以上都有可能7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是()A．平行B．相交C．重合D．平行或相交8．下列四个命题：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内所有直线都没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确命题的序号是__________．9．若A∈α，B∈α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．10．图K2-1-8是一个正方体(如图K2-1-7)的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．(1)求MN和PQ所成角的大小；(2)求四面体M-NPQ的体积与正方体的体积之比．图K2-1-7 图K2-1-82.2直线、平面平行的判定及其性质2．2.1直线与平面、平面与平面平行的判定1．若直线与平面没有交点，则这条直线与这个平面内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交D．三条直线不相交2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是()A．b∥αB．b与α相交C．b∥α或b与α相交D．b⊂α3．已知三条互相平行的直线a，b，c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α，β的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定4．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，下列四对截面彼此平行的一对截面是()A．面A1BC1和面ACD1B．面BDC1和面B1D1CC．面B1D1D和面BDA1D．面A1DC1和面AD1C5．设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，m∥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥βC．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥βD．若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β6．若a，b是异面直线，过b且与a平行的平面()A．不存在B．存在但只有一个C．存在无数个D．只存在两个7．如图K2-2-1，在长方体ABCD -A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是：________；(2)与直线AA1平行的平面是：________；(3)与直线AD平行的平面是：________.图K2-2-1 图K2-2-28．如图K2-2-2，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点．图中EO与哪个平面平行___________．9．(2013年山东节选)如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：CE∥平面P AD.10．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC 和SC的中点，求证：平面EFG∥平面BB1D1D.图K2-2-41．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α有公共点2．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是()A．过点A有且只有一个平面平行于a，b B．过点A至少有一个平面平行于a，b C．过点A有无数个平面平行于a，b D．过点A且平行a，b的平面可能不存在3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()A．平行B．平行和异面C．平行和相交D．异面和相交4．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是()A．α，β都平行于直线l，m B．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β5．在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是________．6．如图已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH ∥FG.求证：EH∥BD.7．如图，已知在四面体A-BCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，则与MN 平行的平面是____________________．8．求证：如果一条直线和两个相交的平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．已知：如图，α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.9．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，E是侧棱PD上一点，且PB∥平面EAC.求证：E是PD的中点．1．下列说法正确的是()A．如果两个平面有三个公共点，则它们重合B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行2．已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线3．已知α∥β，下面正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，则a，b异面C．若a⊂α，b∥β，则a∥b D．若a⊂α，b⊂β，则a∥β，b∥α4．过平面α外一点P与平面α平行的平面的个数为()A．只有一个B．至多一个C．至少一个D．无数个5．以下能得到平面α∥平面β的是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α6．已知点A，B，C不共线，AB∥平面α，AC∥平面α，则BC与平面α的位置关系是() A．相交B．平行C．直线BC在平面α内D．以上都有可能7．如图，一个四面体S -ABC的六条棱长都为4，E为SA的中点，过点E作平面EFH ∥平面SBC.且平面EFH∩平面ABC＝FH.则三角形HFE面积为__________．8．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有______条．9．如图(1)，在透明塑料制成的长方体ABCD -A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当容器倾斜如图(2)时，EB·BF是定值．其中正确说法的序号是__________．10．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点D是AB的中点．求证：AC1∥平面CDB1.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2．3.1 直线与平面垂直的判定1．下面条件中，能判定直线l ⊥平面α的一个是( )A ．l 与平面α内的任意一条直线垂直B ．l 与平面α内的无数条直线垂直C ．l 与平面α内的某一条直线垂直D ．l 与平面α内的两条直线垂直 2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条弦；④正六边形的两条边．不能保证该直线与平面垂直的是( )A ．①③B ．①②C ．②③④D ．①②④3．已知直线a ，b 和平面α，则下列结论错误的是( )A. ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥bB. ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥αC. ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b b ⊥α⇒a ∥α或a ⊂α D.⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊂α⇒a ∥b 4．下列说法中正确的是( )A ．平面外的点和平面内的点之间的线段叫平面的斜线段B ．过平面外一点和平面内一点的直线是平面的斜线C ．过平面外一点的平面的垂线有且只有一条D ．过平面外一点的平面的斜线有且只有一条5．若斜线段AB 是它在平面α内的射影长的2倍，则AB 与平面α所成的角为( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．120°6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.638．如图K2-3-1，平行四边形的一个顶点A 在平面α内，其余顶点在α的同侧，已知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面α的距离可能是：①1；②2；③3；④4.以上结论正确的为__________(写出所有正确结论的序号)．图K2-3-1 图K2-3-29．已知：如图K2-3-2，在空间四边形ABCD 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，取BC 中点E ，连接AE ，DE ，求证：BC ⊥平面AED .10．如图K2-3-3，已知点P 是△ABC 所在平面外一点，P A ，PB ，PC 两两垂直，点H为△ABC 的垂心，求证：PH ⊥平面ABC .图K2-3-32.3.2平面与平面垂直的判定1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有条件()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β2．下列说法正确的是()A．二面角的大小范围是大于0°且小于90°B．一个二面角的平面角可以不相等C．二面角的平面角的顶点可以不在棱上D．二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中，其中正确的命题是()A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β4．在三棱锥A-BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么() A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面BCD⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BCD5．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，DC＝AD，点E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是__________．7．在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是__________．8．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图K2-3-4，在△ABC中，∠ABC＝90°，点P为△ABC所在平面外一点，P A＝PB ＝PC，求证：平面P AC⊥平面ABC.图K2-3-410．如图K2-3-5，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；(2)求证：A1B∥平面ADC1.图K2-3-52.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质1．平面α⊥平面β，直线a ∥α，则( )A ．a ⊥βB ．a ∥βC ．a 与β相交D ．以上都有可能2．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a 垂直于第二个平面内的一条直线b ，那么( )A ．直线a 垂直于第二个平面B ．直线b 垂直于第二个平面C ．直线a 不一定垂直于第二个平面D ．过a 的平面必垂直于过b 的平面 3．已知平面α⊥平面β，则下列命题正确的个数是( ) ①α内的直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线； ③α内的任何一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α. A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 4．在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行 5．如图K2-3-6，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( )图K2-3-6A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1角为60°6．已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，并且P A ＝6，AB ＝3，AD ＝4，则点P 到BD 的距离是( )A.6 295B ．6 29C ．3 5D ．2 137．已知△ABC 所在平面外面一点V ，VB ⊥平面ABC ，平面VAB ⊥平面VAC 平面．求证：AC ⊥BA .8．如图K2-3-7，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .则以下命题中：图K2-3-7①点H 是△A 1BD 的垂心；②AH 垂直平面CB 1D 1；③AH 的延长线经过点C 1；④直线AH 和BB 1所成角为45°；其中正确的命题的序号是____________． 9．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 到平面B 1C 的距离为________，A 到平面BB 1D 1D 的距离为________，AA 1到平面BB 1D 1D 的距离为________．10．如图K2-3-8，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，CE＝CA＝2BD，M 是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.图K2-3-8第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．1.1 平面1．A 2.A 3.A 4.B 5.A 6.D 7.B 8.C 9.④10．证明：∵E ，F 分别是AA ′与AB 上一点，∴EF ≠CD ′. 又∵EF ∥CD ′，∴四边形EFCD ′是梯形，直线ED ′和FC 相交于一点，设此点为P ， ∵P ∈ED ′⊂平面AA ′D ′D ，P ∈FC ⊂平面ABCD ， ∴P 是平面AA ′D ′D 与平面ABCD 的公共点． ∵平面AA ′D ′D ∩平面ABCD ＝AD ，∴P ∈AD . ∴ED ′，FC ，AD 交于一点P .2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1．D 2.C 3.C 4.C 5.B6．B 解析：若c 与直线a ，b 都不相交，由公理4可知三条直线平行，与题设矛盾．故选B.7．C 解析：如图D52，连接AD ，取AD 中点G ，连接MG ，NG ，显然M ，N ，G 不共线，则MG ＋NG >MN ，即MN <12()AC ＋BD .图D528．③④ 9.410．解：(1)如图D53，连接DC 1，图D53∵DC 1∥AB 1，∴DC 1 和CC 1所成的锐角∠CC 1D 就是AB 1和CC 1所成的角． ∵∠CC 1D ＝45°，∴AB 1 和CC 1所成的角是45°. (2)如图45，连接DA 1，A 1C 1， ∵ EF ∥A 1D ，AB 1∥DC 1，∴∠A 1DC 1是直线AB 1和EF 所成的角． ∵△A 1DC 1是等边三角形， ∴∠A 1DC 1＝60°，即直线AB 1和EF 所成的角是60°.2．1.3 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1.D2．C 解析：如图D54，用列举法知符合要求的棱为：BC ，CD ，C 1D 1，BB 1，AA 1，故选C.图D543．D 4.C 5.C 6.D 7.D 8．④ 9.无数10．解：(1)MN 与PQ 是异面直线，如图D55，在正方体中，PQ ∥NC ，∠MNC 为MN 与PQ 所成角，因为MN ＝NC ＝MC ，所以∠MNC ＝60°.图D55(2)设正方体棱长为a ，则正方体的体积V ＝a 3，而三棱锥M -NPQ 的体积与三棱锥N -PQM 的体积相等，且NP ⊥面MPQ ，所以V N -PQM＝13·12MP ·MQ ·NP ＝16a 3，即四面体M -NPQ 的体积与正方体的体积之比为1∶6.2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．2.1 直线与平面、平面与平面平行的判定 1．C 2.C 3.C 4.A 5.D 6.B 7．(1)面A 1C 1，面DC 1 (2)面BC 1，面DC 1 (3)面BC 1，面A 1C 18．平面P AD 与平面PCD 9．证明：∵四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点，取P A 的中点H ，则由HE ∥AB ，HE ＝12AB ，而且CD ∥AB ，CD ＝12AB ，可得HE 和CD 平行且相等，故四边形CDHE 为平行四边形，故CE ∥DH .由于DH ⊂P AD ，而 CE P AD ，故有CE ∥平面P AD .10．证明：E ，F 分别为BC ，DC 为中点，EF 为△BCD 中位线，则EF ∥BD . 又EF 平面BB 1D 1D ，BD ⊂平面BB 1D 1D ，故EF ∥平面BB 1D 1D .连接SB ，同理可证EG ∥平面BB 1D 1D .又EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG ∥平面BB 1D 1D . 2．2.2 直线与平面平行的性质 1．D 2.D 3.B 4.D 5．BD 1∥平面AEC 6．证明：⎭⎪⎬⎪⎫EH ⊄平面BCD FG ⊂平面BCD EH ∥FG⇒EH ∥平面BCD ，平面BCD ∩平面ABD ＝BD ⇒EH ∥BD .7．平面ABD 与平面BCD8．证明：过a 作平面γ交平面α于b ， ∵a ∥α，∴a ∥b .同样，过a 作平面δ交平面β于c ， ∵a ∥β，∴a ∥c .∴b ∥c . 又∵b β，且c ⊂β，∴b ∥β.又平面α经过b 交β于l ，∴b ∥l . 又a ∥b ，∴a ∥l .9．证明：连接BD ，设AC 与BD 交于点O ，连接EO ， ∴EO 是平面PBD 与平面EAC 的交线．∵PB ⊂平面PBD ，PB ∥平面EAC ，∴PB ∥EO . 又∵O 为BD 中点，∴E 为PD 中点．2．2.3 平面与平面平行的性质 1．C 2.D 3.D 4.A 5.D 6.B 7.3 8.69．①③④ 解析：对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确．10．证明：设B 1C 与BC 1相交于点D 1，连接DD 1. ∵点D ，D 1分别是AB ，BC 1的中点， ∴DD 1∥AC 1.又∵AC 1平面CDB 1，DD 1⊂平面CDB 1. ∴AC 1∥平面CDB 1.2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 2．3.1 直线与平面垂直的判定 1．A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B7．D 解析：取AC 的中点O ，连接D 1O ，过点D 作DE ⊥D 1O .在正方体中，DD 1⊥面ABCD ，∴DD 1⊥AC ，又AC ⊥OD ，∴AC ⊥面DD 1O .∴AC ⊥DE .∴DE ⊥面ACD 1，即∠DD 1O 是D 1D 与平面ACD 1所成的角．又BB 1∥DD 1，∴BB 1与平面ACD 1所成角即为DD 1与平面ACD 1所成角．设DD 1＝a ，则DO ＝22a ，D 1O ＝62a ，所求角的余弦值为DD 1D 1O ＝63.8．①③ 解析：若点B ，D 到平面α的距离分别为1,2，则点D ，B 的中点到平面α的距离为32，所以点C 到平面α的距离为3；若点B ，C 到平面α的距离分别为1,2，设点D 到平面α的距离为x ，则x ＋1＝2或x ＋2＝1，即x ＝1.所以点D 到平面α的距离为1；若点C ，D 到平面α的距离分别为1,2，同理可得，点B 到平面α的距离为1.故选①③. 9．证明：∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，E 为BC 中点， ∴AE ⊥BC ，DE ⊥BC .又∵AE 与DE 交于点E ，∴BC ⊥平面AED . 10．证明：如图D56，连接AH ，图D56⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥PBP A ⊥PC PB ∩PC ＝P ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥面PBC BC ⊂面PBC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫P A ⊥BC点H 为垂心⇒AH ⊥BC P A ∩AH ＝A ⇒⎭⎪⎬⎪⎫BC ⊥面P AH PH ⊂面P AH ⇒PH ⊥BC .同理可证PH ⊥AC ，又AC ∩BC ＝C ，所以PH ⊥平面ABC .2．3.2 平面与平面垂直的判定 1．D 2.D 3.B 4.C5．C 解析：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β不正确；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β正确；③l ∥α，l ⊥β⇒α⊥β正确，所以正确的命题有2个．6．垂直解析：∵AD ＝DC ，点E 是AC 的中点，∴DE ⊥AC .同理BE ⊥AC .又BE ∩DE ＝E ，∴AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面ABC . ∴平面ABC ⊥平面BDE . 7．60°8．B 解析：只有①④是正确命题．9．证明：取AC 的中点O ，连接PO ，OB . ∵AO ＝OC ，P A ＝PC ，∴PO ⊥AO . 又∵∠ABC ＝90°，∴OB ＝OA . 又∵PB ＝P A ，PO ＝PO ，∴△POB ≌△POA ，∴PO ⊥OB .又∵OA ⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，且OA ∩OB ＝O ， ∴PO ⊥平面ABC . 又∵PO ⊂平面P AC ， ∴平面P AC ⊥平面ABC .10．证明：(1)因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为DC 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥DC 1.(2)如图D57，连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OD ，则O 为A 1C 的中点．因为D 为BC 的中点，所以OD ∥A 1B . 因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B 平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.图D572．3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质1．D 2.C3．B 解析：画正方体验证α内可以有直线不与β垂直，或平行或相交，③错误．4．D 5.D 6.A7．证明：如图D58，过点B 作BD ⊥VA 于D .∵平面VAB ⊥平面VAC ，∴BD ⊥平面VAC .∴BD ⊥AC .又∵VB ⊥平面ABC ，∴VB ⊥AC .又∵BD ∩VB ＝B ，∴AC ⊥平面VBA .∴AC ⊥BA .图D588．①②③ 9.a 22a 22a 10．证明：(1)如图D59，取EC 中点F ，连接DF .∵EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，∴DB ⊥平面ABC .图D59∴DB ⊥AB ，EC ⊥BC .∵BD ∥CE ，BD ＝12CE ＝FC ， ∴四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC .又BA ＝BC ＝DF ，∴Rt △DEF ≌Rt △ABD ，故DE ＝DA .(2)取AC 中点N ，连接MN ，NB ，∵M 是EA 的中点，∴MN 綊12EC .由BD 綊12EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形．于是DM ⊥MN .∵DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴DM ⊥EA .又EA∩MN＝M，∴DM⊥平面ECA.而DM⊂平面BDM，则平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM⊥平面ECA，DM⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.。

空间几何中的点线面的位置关系

空间几何中的点线面的位置关系在空间几何学中，点、线和面是最基本的几何元素。

它们在空间中的位置关系对于理解和解决几何问题至关重要。

本文将讨论点线面在空间中的常见位置关系以及它们之间的相互作用。

一、点与线的位置关系1.1 点在直线上当一个点位于一条直线上时，称该点在直线上。

点在直线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上。

1.2 点在直线上的延长线上当一个点位于直线的延长线上时，称该点在直线上的延长线上。

点在直线延长线上的特点是它与直线上的任意两个点都在同一直线上，包括线的两个端点。

1.3 点在线段上当一个点位于一条线段上时，称该点在线段上。

点在线段上的特点是它位于线段的两个端点之间。

1.4 点在线段的延长线上当一个点位于线段的延长线上时，称该点在线段的延长线上。

点在线段延长线上的特点是它位于线段的两个端点之外。

二、点与面的位置关系2.1 点在平面上当一个点位于一个平面上时，称该点在平面上。

点在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。

2.2 点在平面上的延长线上当一个点位于平面的延长线上时，称该点在平面上的延长线上。

点在平面延长线上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上，包括平面的边界和内部点。

2.3 点在平面外当一个点不在平面上时，称该点在平面外。

点在平面外的特点是它无法与平面上的任意两个点构成一条直线。

三、线与面的位置关系3.1 线在平面上当一条线位于平面内时，称该线在平面上。

线在平面上的特点是它与平面上的任意两个点都在同一平面上。

3.2 线平行于平面当一条线与平面上的所有点都不相交时，称该线平行于平面。

平行于平面的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都平行。

3.3 线与平面相交于一点当一条线与平面上的某个点相交时，称该线与平面相交于一点。

线与平面相交于一点的特点是线上的所有点与平面上的任意两个点的连线都相交于同一点。

四、面与面的位置关系4.1 平行面当两个面的法向量平行时，称这两个面为平行面。

高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案(K12教育文档)

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D CB Aα 第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长(如图）（2)平面通常用希腊字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理:（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理1作用：判断直线是否在平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表示为:A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α, 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。

推论2:两条平行直线确定一个平面。

推论3：两条相交直线确定一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号表示为：P ∈α∩β =〉α∩β=L,且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2。

必修二数学点直线平面位置关系知识点

必修二数学点直线平面位置关系知识点编辑短评提高数学考试成绩诀窍方法之一是，在考试前进行高水平高效率的复习和知识点总结，花时间去攻克自己不熟悉的题目，不断地把陌生转化为熟悉。

下面提供必修二数学点直线平面位置关系知识点给教师和学生，仅供学习参考！前言下载提示：经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。

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esp.空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

高中数学必修二第二章点直线平面间的位置关系

§1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质1．公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫A ∈αB ∈α⇒AB ⊂α 2．公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．简单说成，不共线的三点确定一个平面． (1)推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．用符号表示为：⎭⎪⎬⎪⎫P ∈αP ∈β⇒α∩β＝l 且P ∈l ．一、填空题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m ，宽是20 m ；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确的是________．2．若点M 在直线b 上，b 在平面β内，则M 、b 、β之间的关系用符号可记作____________．3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有________条．4．已知α、β为平面，A 、B 、M 、N 为点，a 为直线，下列推理错误的是__________(填序号)．①A ∈a ，A ∈β，B ∈a ，B ∈β⇒a ⊂β； ②M ∈α，M ∈β，N ∈α，N ∈β⇒α∩β＝MN ；③A ∈α，A ∈β⇒α∩β＝A ； ④A 、B 、M ∈α，A 、B 、M ∈β，且A 、B 、M 不共线⇒α、β重合．5．空间中可以确定一个平面的条件是________．(填序号)①两条直线； ②一点和一直线； ③一个三角形； ④三个点．6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有__________个．7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)AD/∈α，a ⊂α________． (2)α∩β＝a ，PD/∈α且PD/∈β________．(3)a ⊄α，a ∩α＝A________． (4)α∩β＝a ，α∩γ＝c ，β∩γ＝b ，a ∩b ∩c ＝O________．8．已知α∩β＝m ，a ⊂α，b ⊂β，a ∩b ＝A ，则直线m 与A 的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面； ④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．二、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．1．2．2空间两条直线的位置关系1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：________、____________、____________．2．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角____ 或____．4．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，使__________，__________，我们把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．若两条直线所成的角是直角，则两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角α的取值范围是____________．一、填空题1．若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是____________．2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是______________．3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是________．5．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．6．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．二、解答题10．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．11．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．1.2.3 直线与平面的位置关系12．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．一、填空题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是_____________.4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是___________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．。