2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期22.3、实际问题与二次函数教案26

实际问题与二次函数（第1课时）课型：新授课教学目标知识与技能：1.经理探索物体运动中的最大高度等问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值。

2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值），发展解决问题的能力。

过程与方法：经理物体运动中的最大高度等问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观：体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。

教学重点：1、探究运动中的最大高度等问题2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数学关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大（小）值，发展解决问题的能力。

教学难点运用二次函数解决实际问题教学方法：讲解、归纳、讨论、分析、练习教学过程：一、创设问题情境，引入新课。

前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图像和性质，掌握了二次函数的表达式，首先我们来回顾二次函数的两种形式y＝a(x-h)2＋k和 y＝ax2＋bx＋c各有怎样的性质：1．二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象和性质(1)当a>0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。

(2)当a<0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质(1)当a>0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。

(2)当 a <0 时，二次函数的图象(抛物线)开口______，有最______点，对称轴是____ ，顶点坐标是___ 。

根据上述性质你能尝试解决下面的问题吗？1、二次函数 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） （A ）开口向下，对称轴为x = –3 ，顶点坐标为（3，5）， （B ）开口向下，对称轴为x = 3 ，顶点坐标为（3，5） （C ）开口向上，对称轴为x = –3 ，顶点坐标为（-3，5） （D ）开口向上，对称轴为x = 3 ，顶点坐标为（-3，5）2、抛物线y =x 2–2x –3 的对称轴和顶点坐标分别是( ) A ．x =1，(1，-4) B ．x =1，(1，4) C ．x =-1，(-1，4) D ．x =-1，(-1，-4)由此可以看出由二次函数的解析式可以求出相应函数的最大（小）值，这节课我们就来学习用二次函数解决实际问题。

二、新授问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球的运动时间 t（单位：s ）之间的关系式是h= 30t - 5t 2（0≤t ≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？分析：我们可以借助函数图像解决这个问题。

画出函数的图像。

可以看出，这个函数的图像抛物线的一部分。

这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值因此，当 时，h 有最大值 也就是说，小球运动的时间是 3 s 时，小球最高． 小球运动中的最大高度是 45 m ．如何求出二次函数 y = ax 2+ bx + c 的最小（大）值？ 由于抛物线 y = ax 2+ bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时， 22(3)5y x =--+303225bt a =-=-=⨯-（），2243045445ac b h a --===⨯-（）．abx 2-=．ab ac y 442-=二次函数 y = ax 2+ bx + c 有最小（大） 值类比引入，探究问题 探究1：用总长为 60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化．当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？ 解：602S l l ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 整理后得 （0＜l ＜30）． ∴ 当()3015221b l a =-=-=⨯- 时， S 有最大值为 ．当 l 是 15 m 时，场地的面积 S 最大． 归纳探究，总结方法：1．由于抛物线 y = ax 2+ bx + c 的顶点是最低（高）点，当时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 2．列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围.3．在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值. 三、运用新知，拓展训练 ：问题2：为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙 （墙长 25 m ）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD ，绿 化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m ，绿化带的面积为 y m 2． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？ 四、课堂小结（1） 如何求二次函数的最小（大）值，并利用其解决实际问题？（2） 在解决问题的过程中应注意哪些问题？你学到了哪些思考问题的方法？ll S 302+-=225442=-ab ac ab x 2-=．ab ac y 442-=五．布置作业教科书习题 22.3 第 1，4，5 题．（第2课时）课堂教学程序设计 一、复习巩固1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。

(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象； (3)说出它的顶点坐标和对称轴。

答案：(1)y ＝x 2＋x ＋1，(2)图略，(3)对称轴x ＝－12，顶点坐标为(－12，34)。

3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴，顶点坐标各是什么?[对称轴是直线x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b24a)]二、范例例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

分析：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 通过配方可得y ＝a(x ＋h)2＋k 的形式称为顶点式，(－h ，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： y ＝a(x －8)2＋9由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a 的值。

请同学们完成本例的解答。

例2．已知抛物线对称轴是直线x ＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数的解析式是y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c ＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x ＝2，可以得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝29a ＋3b ＝6解这个方程组，得：⎩⎨⎧a ＝－2b ＝8所以所求的二次函数的关系式为y ＝－2x 2＋8x －5。

解法二；设所求二次函数的关系式为y ＝a(x －2)2＋k ，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到⎩⎨⎧a(3－2)2＋k ＝1a(0－2)2＋k ＝－5 解这个方程组，得：⎩⎨⎧a ＝－2k ＝3所以，所求二次函数的关系式为y ＝－2(x －2)2＋3，即y ＝－2x 2＋8x －5。

例3。

已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

解法1：设所求的函数关系式为y ＝a(x ＋h)2＋k ，依题意，得y ＝a(x －2)2－4因为抛物线与y 轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a ＝2。

所以，所求二次函数的关系式为y ＝2(x －2)2－4，即y ＝2x 2－8x ＋4。

解法2：设所求二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c?依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝24ac －b 24a ＝－4c ＝4解这个方程组，得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8c ＝4所以，所求二次函数关系式为y ＝2x 2－8x ＋4。

三、课堂练习1. 已知二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，且当x ＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为图象过点(0，3)，所以c ＝3，又由于二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，可以得到：⎩⎨⎧－b2a＝－312a －b24a＝－1 解这个方程组，得：⎩⎨⎧a ＝49b ＝83所以，所求二次函数的关系式为y ＝49x 2＋83x ＋3。

解法2：所求二次函数关系式为y ＝a(x ＋h)2＋k ，依题意，得y ＝a(x ＋3)2－1因为二次函数图象过点(0，3)，所以有 3＝a(0＋3)2－1 解得a ＝49所以，所求二次函数的关系为y ＝44/9(x ＋3)2－1，即y ＝49x 2＋83x ＋3．小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。

2．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

简解：依题意，得⎩⎨⎧－p 2＝54q －p24＝－2 解得：p ＝－10,q ＝23 所以，所求二次函数的关系式是y ＝x 2－10x ＋23。

四、小结1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?[两种类型：(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(2)顶点式：y ＝a(x ＋h)2＋k ，其顶点是(－h ，k)] 2．如何确定二次函数的关系式?让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。

在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。