2020-2021北京丰台初三上期中数学试卷

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北京四中初三数学期中试题 (含答案)

初三数学试卷班级__________ 学号__________ 姓名__________ 成绩__________ 考生须知1．本试卷共8页，共26道题，满分100分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号。

3．答案一律填写在答题纸上，在试卷上作答无效。

4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回。

一、选择题（每题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．二次函数y =(1x +)22-的最小值是（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，40OCB ∠=︒，则A ∠的大小为（）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．100︒3．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则得到的新抛物线的表达式为（）A ．2521y x =-+（） B ．25+21y x =+（） C ．2521y x =--（） D ．25+21y x =-（） 4. 如图， AB 为⊙O 的弦，点C 为AB 的中点，AB =8，OC =3，则⊙O 的半径长为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知A （12-，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y=-(x -2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 1＜y 3＜y 2C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 1 6．如图，⊙O 中直径AB ⊥DG 于点C ，点D 是弧EB 的中点，CD 与BE 交于点F ．下列结论①∠A =∠E ，②∠ADB =90°，③FB=FD 中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3AB CO第2题图第4题图第6题图7．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x… 2- 1-0 1 23 … y…4-2 24-…下列结论：①抛物线开口向下； ②当−1<x <2时，y >0；③抛物线的对称轴是直线12x =； ④函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大值为2. 其中所有正确的结论为( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．①②③④ 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以 0) (3，为圆心作⊙P ， ⊙P 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C 2) (0，，Q 为⊙P 上不同于A 、B 的任意一点，连接QA 、QB ，过P 点分别作 PE ⊥QA 于E ，PF ⊥QB 于F ．设点Q 的横坐标为x ，y PF PE =+22．当Q 点在⊙P 上顺时针从点A 运动到点B的过程中，下列图象中能表示y 与x 的函数关系的部分．．图象是（）A. B.C.D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若抛物线26y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 .10．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为 .11．若点（1，5），（5，5）是抛物线y =x 2+bx +c(a ≠0)上的两个点，则b = ．第8题图BCAO第10题图12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为 m ．13．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 都在格点上，过A ，B ，C 三点作一圆弧，则圆心的坐标是． 14. 已知关于x 的二次函数42++=bx ax y 的图象如右图所示，则关于x 的方程02=+bx ax 的根为_____________. 15.元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为（2，0），点D 在⊙A 上，且∠ODB ＝30°，求⊙A 的半径. 元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程.解：如图2，连接BC. ∵∠BOC ＝90°，∴BC 是⊙A 的直径．（依据是___________________________________________）431254312OxyC BA 第13题图图1图2第12题图yx41-4O第14题图图2图1第15题图∵∠ODB ＝30°，∴∠OCB ＝∠ODB ＝30°．（依据是_________________________________________）∴BC OB 21=．∵OB=2,∴BC ＝4．即⊙A 的半径为2．16．抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ⊥abc ＜0； ⊥20a b +=； ⊥4a −2b +c >0； ⊥若，则1x m =-时的函数值小于1x n =-时的函数值．其中正确结论的序号是 .三、解答题 (本题共68分,第17题每小题5分共10分，第18、19、21、22、24题每题6分，第20、23、25、26题每题7分) 17. 解关于x 的方程.（1）0232=++x x ；（2）01222=--x x .18. 已知抛物线的顶点为（-2,2），且过坐标原点，求抛物线的解析式.19.如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D ，连接OA .若AB = 4，CD =1，求⊙O 半径的长.0m n >>C D OAB第16题图20. 已知抛物线y=-x 2+2x +3，回答下列问题： (1)画出该函数图象(要求列表、2B 铅笔画图)；(2)当−3<x <3时，y 的取值范围是__________．21. 如图，⊥ABC 中AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE AC 于点E . 求证：（1）BD=DC ;（2）DE 是⊙O 的切线.22. 学生会要组织“四中杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）．（1）如果有4支球队参加比赛，那么共进行场比赛；（2）如果全校一共进行36场比赛，那么有多少支球队参加比赛？x … ... y …...23.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法．某班“数学兴趣小组”根据学到的函数知识探究函数22||y x x =-的图象与性质，并利用函数图象解决问题．探究过程如下，请补充完整．（1）函数22||y x x =-的自变量x 的取值范围是________．（2）化简：当x >0时函数y =_________，当x <0时函数y =________.（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： ______________________________________________．（4）若直线y=k 与该函数只有两个公共点，根据图象判断 k 的取值范围为________．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+232y mx mx m =-+. （1）求抛物线的对称轴；（2）过点)20(，P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点M ，N .求点M ，N 的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如果抛物线和线段MN 围成的封闭区域内(不包括边界)恰有3个整点，求m 的取值范围．25. （1）已知等边三角形ABC ，请作出△ABC 的外接圆⊙O .在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC .①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.（2）已知⊙O ，请作出⊙O 的内接等腰直角三角形ABC ，∠C =90°.在⊙O 上任取一点P （异于A 、B 、C 三点），连结P A 、PB 、PC.①依题意补全图形，要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； ②请判断P A 、PB 、PC 的关系，并给出证明.26.在平面直角坐标系xOy 中，对于△ABC ，点P 在BC 边的垂直C ABO平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”.右图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”已知点P（0, 4），Q（a, 0）（1）如图1，a=4，在点A（1, 0）、B( 2, 2)、C( 2√3, 2√3) 、D( 5, 5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为.（2）如图2，a=4√3，①已知D(0 , 8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围;②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y=−√3x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围.图1图2初三期中测试数学学科参考答案：一、选择题1、D2、B3、A4、B5、B6、D7、A8、A 二、填空题9、9 10、110 11、-6 12、2 13、（2，1） 14、-3，0 15、90º的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等。

2020-2021北京市初三数学上期中试题(附答案)

2020-2021北京市初三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+2x ﹣3的图象如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣42．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④3．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=4．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（） A ．1B ．3C ．5D ．75．已知()222226x y y x +-=+，则22xy +的值是（）A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 6．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．17．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A ．B ．C ．D ．9．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．10．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（）A ．5B ．4C ．3D ．211．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x +=二、填空题13．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．15．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．16．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．17．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________． 18．关于x 的方程的260xx m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．19．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．20．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径为_____．三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ；（2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值；（3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小．23．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ．（I ）如图①，若BC 是⊙O 的直径，BC ＝4，求BD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠ABC 的平分线交AD 于点E ，求证：DE ＝DB ．24．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线. （2）若3DE =30C ∠=︒，求»AD 的长.25．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项B ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项C ，y 的最小值是﹣4，该选项错误；选项D ，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．2．D解析：D 【解析】【分析】【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下， ∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，∴﹣2ba ＞0， ∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0）， ∴a ﹣b+c=0，故②正确； ③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确； ④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确．故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．3．A解析：A 【解析】【分析】利用配方法把方程2680x x --=变形即可. 【详解】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17，故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．4．C解析：C 【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，∴13m -=-，25n -=-，解得：2m =-，7n =，则275m n +=-+= 故选C . 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260xyx y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．D解析：D 【解析】【分析】设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x 2﹣2x +1＝a ，∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0， ∴a 2+2a ﹣3＝0，解得：a ＝﹣3或1，当a ＝﹣3时，x 2﹣2x +1＝﹣3，即（x ﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a ＝1时，x 2﹣2x +1＝1，此时方程有解，故选：D ．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.7．D解析：D 【解析】【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=12×OD×CD=12t2（0≤t≤3），即S=12t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．8．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．B解析：B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．C解析：C 【解析】【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12bx a =-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++，∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12bx a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.11．B解析：B 【解析】分析：∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜0；故①错误。

2020-2021学年数学北京四中初三期中试卷

2020-2021学年数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分为120分）班级学号姓名分数一、选择题（每小题4分，共32分．下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．）1．下列事件是必然事件的是（）．A ．随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和是6B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．3个人分成两组，一定有两个人分在一组D ．打开电视，正在播放动画片2．抛物线2(1)2y x =-+可以由抛物线2x y =平移而得到，下列平移正确的是（）． A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．已知一顶圆锥形纸帽底面圆的半径为10cm ，母线长为50cm ，则圆锥形纸帽的侧面积为（）． A ．2250cm πB ．2500cm πC ．2750cm πD ．21000cm π4．两圆半径分别为2和3，圆心坐标分别为（1，0）和（-4，0），则两圆的位置关系是（）．A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切 5．同时投掷两枚硬币，出现两枚都是正面的概率为（）．A ． 14B ．13C ．34D ．126．如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴相切于点Q ，与y 轴交于(02)M ，，(08)N ，两点，则点P 的坐标是（）．A ．(53)，B ．(35)，C ．(54)，D ．(45)，7．抛物线21y x kx =++与2y x x k =--相交，有一个交点在x 轴上，则k 的值为（）． A ．0B ． 2C ．−1D ．148．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90C ∠=，6cm CD =，QPONxy MPQ ADCBAD ＝2cm ，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度都是1cm/s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．设P 点运动的时间为(s)t ，BPQ △的面积为y 2(cm )．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．二．填空题（每小题4分，本题共16分）9．正六边形边长为3，则其边心距是___________cm ．10．函数223(22)y x x x =+--≤≤的最小值为_________，最大值为__________．11．如图，在△ABC 中，BC =4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上一点，且∠EPF =40°，则图中阴影部分的面积是_______________．12．已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<；（2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有．①0a < ②0a b c -+< ③0c > ④20a b -> ⑤ 124b a -<三．解答题（每小题5分，本题共30分）13．计算：()3031221250-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---π 14．用配方法解方程： 212302x x --=15．已知221(1)(3)m m y m x m x m --=++-+，当m 为何值时，是二次函数？P AEFDC16．如图，在半径为6 cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离 OC 为3 cm ．试求：（1）弦AB 的长；（2） AB⌒ 的长．17．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的顶点位于x 轴下方，它到x 轴的距离为4，x 0 2 y−3−4−3（1（2）将表中的空白处填写完整；（3）在右边的坐标系中画出y =ax 2+bx +c 的图象；（4）根据图象回答：当x 为何值时，函数y =ax 2+bx +c 的值大于0．_______________________18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以OA 为半径的⊙O 经过点D ．（1）求证：BC 是⊙O 切线；（2）若BD =5，DC =3，求AC 的长．xO yOC B A O A CB。

2020—2021学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案

2020—2021学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就明白了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：25．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+18．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时刻为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形能够运算不能直截了当测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为__________m．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范畴为__________．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为__________cm．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为__________．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，同时图象通过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．19．关于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范畴__________．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范畴；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．24．百货商店服装柜在销售中发觉：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范畴．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？26．阅读明白得：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；假如这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判定点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．五．综合运用（27、28题7分，29题8分，共22分）27．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y=kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．28．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍旧成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边通过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．29．如图，已知抛物线通过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．【考点】比例的性质．【分析】依照等式的性质，可得用x表示y，依照分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得y=．===7．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y=是解题关键，又利用了分式的性质．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考点】位似变换．【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可得：五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值．【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，∴五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积比是：1：4．故选：D．【点评】此题考查了位似图形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比得出答案是解题关键．3．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】依照相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ABC∽△ADE，A正确；∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，B正确；∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，C正确；D不符合两边成比例且夹角相等，D错误；故选：D．【点评】此题要紧考查学生对相似三角形的判定方法的把握情形，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就明白了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】依照三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再依照相似三角形的判定解答．【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题要紧应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】依照二次函数图象得出顶点位置，进而依照各选项排除即可．【解答】解：依照二次函数顶点坐标位于第三象限，只有选项D的顶点符合要求，故选：D．【点评】此题要紧考查了二次函数图象，依照图象得出顶点位置是解题关键．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】依照二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数通过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都通过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数通过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数通过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象通过一、三象限；小于0，通过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特点．【专题】运算题．【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判定y1与y2的大小．【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，∴y1＜y2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判定自变量取值范畴内，函数值的大小．10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时刻为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再依照正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后依照“SAS”可判定△OBE ≌△OCF ，因此S △OBE =S △OCF ，如此S 四边形OECF =S △OBC =16，因此S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t ，然后配方得到S=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判定．【解答】解：依照题意BE=CF=t ，CE=8﹣t ，∵四边形ABCD 为正方形，∴OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE 和△OCF 中，∴△OBE ≌△OCF （SAS ），∴S △OBE =S △OCF ，∴S 四边形OECF =S △OBC =×82=16，∴S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t=t 2﹣4t+16=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8）， ∴s （cm 2）与t （s ）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t ≤8．故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先依照几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范畴．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形能够运算不能直截了当测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是2.4m ，在同一时刻测得某棵树的影长为15m ，则这棵树的高度约为10m ．【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，通过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：因为=，因此：树的高度=×树的影长=×15=10（m ）．故答案是：10．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后依照对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12．已知函数y=（k ﹣3）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范畴为k ≤4．【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】分为两种情形：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，求出△=b 2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k ﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X 轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，△=b 2﹣4ac=22﹣4（k ﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k ≤4；②当k ﹣3=0时，y=2x+1，与x 轴有交点；故k的取值范畴是k≤4，故答案为：k≤4．【点评】本题要紧考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的明白得和把握，能进行分类求出每种情形的k是解此题的关键．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为20cm．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由在▱ABCD中，且AE=4ED，易得DE：BC=1：5，△ADF∽△EBF，然后依照相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵AE=4ED，∴DE：AD=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE：BC=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=DF：BF=1：5，∵DF=4cm，∴BF=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练把握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特点．【分析】依照二次函数图象上点的坐标特点，把点P的坐标代入二次函数解析式运算即可得解；依照点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后依照顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特点，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为或3．【考点】相似三角形的判定．【分析】依照相似三角形的相似比求AF，注意分情形考虑．【解答】解：∵∠A=∠A，∴两种情形进行讨论：①当时，△ABC∽△AEF，即，解得：AF=；②当时，△ABC∽△AFE，即，解得：AF=3；综上所述：AF的长为或3；故答案为：或3．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练把握相似三角形的判定，分情形讨论是解决本题的关键．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①②③⑤．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特点．【分析】由抛物线满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；判定a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判定c与0的关系，然后依照对称轴及抛物线与x轴交点情形进行推理，进而对所得结论进行判定．【解答】解：∵（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象过（1，0）点，∵a＜b＜c，a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，故①③正确，∵图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象一定只是（﹣1，0）点，且另一交点坐标在（﹣1，0）右侧，∴a﹣b+c＜0，故②正确，∴图象对称轴一定在x轴的正半轴，∴0＜﹣＜1，∴a，b异号，∴a﹣2b＜0，故④此选项错误，∵b＜c，a+b+c=0，∴c=﹣（a+b），∴b＜﹣（a+b），即a+2b＜0，∴2b＜﹣a，∴＞，∴＞﹣，∴﹣＜，故⑤选项正确，故正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】运算题．【分析】第一依照∠ACD=∠B，∠A=∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到，再依照D是AB的中点和AB=10得到后代入以上比例式后即可求得AC的长．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．∵D是AB的中点，AB=10，∴．∴．∴AC2=50．∴（舍负）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，同时图象通过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化-对称．【分析】（1）直截了当利用对称性求解即可；（2）利用待定系数法把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式，解三元一次方程组可得y=x2﹣x﹣4．【解答】解：（1）∵二次函数图象的对称轴方程是x=1，∴此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标为：B′（﹣2，0）；（2）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式得：，解得：，故二次函数解析式为：．【点评】此题要紧考查了二次函数的概念、性质以及待定系数法求解析式，正确把握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．19．关于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范畴﹣1≤y＜3．【考点】二次函数的图象．【分析】（1）由于二次项系数是1，因此直截了当加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一样式转化为顶点式．（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；（3）依照函数图象回答即可．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1．∴抛物线的顶点式为故答案为：y=（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x …0 1 2 3 4 …y … 3 0 ﹣1 0 3 …函数图象如图所示：（3）依照函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范畴﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题要紧考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范畴是解题的关键．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）依照以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，能够得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．【解答】解：（1）如图：正确画出△AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出△A2B2C2，【点评】此题要紧考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）依照已知条件得到，由于∠A=∠A，因此得到△ADE∽△ACB；（2）依照相似三角形的性质得到∠ADE=∠C=90°，由垂直的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵，=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）∵△ABC∽△AED，∴∠ADE=∠C=90°，∴DE⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练把握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】第一由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，依照相似三角形的性质可知：，设DE=x，则EC=9﹣x，代入运算求出x的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD=BC=AB=9，∠D=∠C=90°，∴CF=BC﹣BF=2，在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED=90°，∵AE⊥EF于E，∴∠AED+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC，∴△ADE∽△ECF，∴，设DE=x，则E C=9﹣x，∴，解得x1=3，x2=6，∵DE＞CE，∴DE=6．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设DE=x，利用方程思想解决几何问题．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范畴；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）依照抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△＞0且m﹣2≠0，从而能够解答本题；（2）依照第一问求得的m的取值范畴，能够得到m的最大整数，从而能够求得抛物线与x 轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范畴是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△的值有关．24．百货商店服装柜在销售中发觉：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【分析】（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，依照题意列方程得，（40﹣x）=1200，解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）．答：每件童装降价20元；（2）设每天销售这种童装利润为y，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．【点评】此题要紧考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判定所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范畴．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？【考点】相似形综合题．【分析】（1）先判定△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2=135°，利用平角定义得到∠2++∠3=135°，则∠1=∠3，因此可依照有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）依照函数图象的顶点坐标可求出其最小值．【解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，∴，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y，∴，∴y=x2﹣x+1（0＜x）；（3）解：∵y=x2﹣x+1=，∴当x=时，y有最小值为，即BD=时，AE的最短长度是．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质定理和等腰直角三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理和二次函数的最值是解答此题的关键．26．阅读明白得：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；假如这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判定点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【考点】相似形综合题．。

北师大版2020-2021学年度九年级数学上册期中试卷及答案

2020-2021学年度九年级数学上册期中试卷一、精心选一选(每小题3分，共30分)1.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1, 2,3,4, 5,从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为()1 c2 「4A. 5 B, g C. § D. g2.方程(x+1) (x-3) =5的解是A. xi=l, X2=-3B. XI=4, X2=-2C. XI=-1 , X2=3D. xi=-4, x?=23.若O是四边形ABCD对角线的交点，且OA=OB=OC=OD,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形4.下列条件中能使平行四边形ABCD为菱形的是()匚AC二BD；□匚BAD = 90。

； CAB=BC： E1AC=BD.A.二二B.二二C.二二D. □□二5. 一元二次方程x? - 3x - 2=0的两根为xi，x?,则下列结论正确的是()A. xi= - 1, X2=2B. xi = l, X2= - 2C. XI+X2=3 D・XIX2=26.如图，以点O为位似中心，作△ABC的一个位似三角形A4G，A, B,。

的对应点分别为A , B- G，。

4与。

A的比值为&,若两个三角形的顶点及点。

均在如图所示的格点上，则攵的值和点G的坐标分别为()A. 2, (2,8) B, 4, (2,8) C. 2, (2,4) D. 2, (4,4)7.某市2015年的快递业务量为4. 4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素,快递业务迅猛发展.若该市2017年的快递业务量达到9.7亿件，设 2016年与2017年这两年的平均增长率为x,则下列方程正确的是()A- 4. 4(l+x)=9. 7 B. 4. 4(1+2x)=9. 7C, 4. 4(1+X)2=9. 7 D. 4. 4(l+x)+4. 4(l+x)2=9. 78.若实数 x, y 满足(x2+/+1)(x2+/ —2) = 0,则 xZ+y2的值是()A- 1 B. 2 C. 2 或一 1 D. 一2 或一 12 19.已知〃是方程1=0的一个根，则「J-一一的值为( )10.如图，已知在A5CD中，E,尸分别是A5,的中点，3。

2020-2021初三数学上期中试卷(附答案)

________．
20．如图，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转150 ，得到 ADE ，这时点 B、C、D 恰好在同
一直线上，则 B 的度数为______．
三、解答题
21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段 BC 扫过的面积（结果保留 π）．
ห้องสมุดไป่ตู้
12．若 a，b 为方程 x2 5x 1 0 的两个实数根，则 2 a2 3ab 8b 2a 的值为（）
A．-41
B．-35
C．39
D．45
二、填空题
13．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2+2（m+1）x+m2﹣1=0 的两实数根，且满足（x1﹣x2）
2=16﹣x1x2，实数 m 的值为________． 14．如图是两块完全一样的含 30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块
7．B
解析：B 【解析】【分析】 ①由抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当 x＞3 时，y＜ 0，故①正确；
②抛物线开口向下，故 a＜0，∵ x b 1，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正 2a
确；
③设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），则 y ax2 2ax 3a ，令 x=0 得：y=﹣ 3a．∵抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，3）之间，∴ 2 3a 3 ．解得： 1 a 2 ，故③正确；

北京四中2020--2021学年度初三上学期期中数学试题及详细解析

北京中2020-2021学年度初三上学期期中数学试卷及参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（)A. 6, 7, 8 B. 2, 3, 4C. 3, 4, 6D. 6, 8, 102.下列各式中，运算正确的是（） C. 2 + 0 = 27? D.后7 = -2A. 712=273A. 2B. 3ZACB = 90°,匕8 = 30°，点D 为AB 的中点，若AC = 2,则CD 的长为（C. 4D. 54.右图中阴影部分是由4个完全相同的的正方形拼接而成.若要在①，②，③.④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（）---1②1—③ 1---1A.区域①处B.区域②处C.区域③处D.区域④处5.用配方法解方程F-4x -1 = 0,方程应变形为（）A. (*+2)2=3 B. (x + 2)'=5 C. (x-2)=3D. (x -2)2=56.下列条件中，不能判定一个四边形是菱形的是（）A. 一组邻边相等的平行四边形 B. 一条对角线平分一组对角的四边形C.四条边都相等的四边形D.对角线互相垂直平分的四边形7.若。

，b , c 满足，“+ +c = U,则关于x 的方程四勺队+。

= 0（。

0）的解是（）1一/? +。

=（）,A. 1, 0 B. -1. 0 C. 1, -1 D.无实数根8.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数.得到五个数据，并对数据进行整理和分析，给出如下信息:平均数中位数众数in67则卜列选项正确的是（）A.可能会有学生投中了8个B.五个数据之和的最大值可能为30C.五个数据之和的最小值可能为20D.平均数川一定满足4.2<w<5.8Z间9.如朗b将矩形ABCD和正方形的分别沿对角线AC和EG剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN,中间空白部分的四边形KRST是正方形.如果正方形与正方形KRST的而积分别是16和1,则矩形ABCD的面枳为（）第9题图2D.2510.如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D.设AE=x.矩形fCFG的而积为），，则y^x之间的关系描述正确的是（）A.y与】之间是函数关系，旦当x增大时，y先增大再减小B.y与工之间是函数关系，且当x增大时，，，先减小再增大C.），与工之间是函数关系，且当A■增大时，），一直保持不变D.y与x之间不是函数关系二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）11.vT算：已知x=J5+JJ,y=则TY=12.使二次根式有意义的;v的取值范围是13.如图.在平行四边形ABCD中，ED=2,8C=5,ZABC的平分线交4D于点E.则CD的长为__________14.写出一个一元二次方程，两个根之中有一个为2,此方程可以是.15.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。

2020—2021年北师大版九年级数学上册期中试卷及答案【各版本】

2020—2021年北师大版九年级数学上册期中试卷及答案【各版本】班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A ．224a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．3412()a a =D ．22()ab ab =2．若二次根式51x -有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ＞15B ．x ≥15C ．x ≤15D ．x ≤53．下列结论成立的是（）A ．若|a|＝a ，则a ＞0B ．若|a|＝|b|，则a ＝±bC ．若|a|＞a ，则a ≤0D ．若|a|＞|b|，则a ＞b ．4．若实数a 、b 满足a 2﹣8a+5=0，b 2﹣8b+5=0，则1111b a a b --+--的值是（） A ．﹣20 B ．2 C ．2或﹣20 D ．125．一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．对于①3(13)x xy x y -=-，②2(3)(1)23x x x x +-=+-，从左到右的变形，表述正确的是（）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解7．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A ．AB ∥DC ，AD ∥BCB ．AB=DC ，AD=BC C ．AO=CO ，BO=DOD ．AB ∥DC ，AD=BC8．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°9．如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（）A．14°B．15°C．16°D．17°10．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（）A．10 B．12 C．16 D．18二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13816-＝_____．2．分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）=_______．3．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于__________．4．如图，直线34y x=+与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是OB的中点，D是AB上一点，四边形OEDC是菱形，则△OAE的面积为________．5．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为________．6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则AEF的周长=__________cm．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程：2111 xx x+=--2．先化简，再求值：2211(1)m mm m+--÷，其中3．3．某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，其中BA是线段，且BA∥x轴，AC是射线．（1）当x≥30，求y与x之间的函数关系式；（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？4．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG 的度数．5．为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计．现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项）．并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．由图中提供的信息，解答下列问题：（1）求n的值；（2）若该校学生共有1200人，试估计该校喜爱看电视的学生人数；（3）若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名学生，求恰好抽到2名男生的概率．6．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、B3、B4、C5、A6、C7、D8、B9、C10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、22、（y﹣1）2（x﹣1）2．3、20284、5、6、9三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、32 x2、33、（1）y=3x﹣30；（2）4月份上网20小时，应付上网费60元；（3）5月份上网35个小时．4、(1)略;(2)45°；(3)略.5、（1）50；（2）240；（3）1 2 .6、（1）4元或6元；（2）九折.。

2020-2021学年北京市丰台区九年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年北京市丰台区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）3．将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+34．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（）A．b＜0B．c＞0C．a+b+c＝0D．b2﹣4ac＜0 5．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（）A．G点B．H点C．M点D．N点6．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（）A．5B．10C．5D．107．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到△A'B'C，若B'恰好落在线段AB上，连接AA'，则下列结论中错误的是（）A．∠B'A'C＝25°B．AC＝AA'C．∠ACA'＝50°D．AB⊥AA'8．函数y＝x2﹣2|x|﹣1的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；④当﹣2＜a＜﹣1时，关于x的方程x2﹣2|x|﹣1＝a有4个实数根．其中正确的结论个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题（共8小题）.9．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为．10．如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，其中∠A＝80°，则∠C＝．11．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，﹣3），这个二次函数的解析式可以是．12．点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转°后能与原来的图案互相重合．13．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：x……12345678……y＝ax2+bx+c……﹣1.78﹣3.70﹣4.42﹣3.91﹣2.200.75 4.8810.27……根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于（结果保留小数点后一位）．14．如图，点P是⊙O的直径BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，若∠P＝30°，PB ＝6，则PC等于．15．若二次函数y＝2（x+1）2+k的图象上有两点A（﹣3，m），B（0，n），则m n．（填“＞”，“＝”或“＜”）16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为，⊙M的半径为．三、解答题（共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出此二次函数的对称轴和二次函数图象与y轴交点的坐标．18．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x……﹣3﹣2﹣101……y……03430……（1）求这个二次函数的解析式；（2）在直角坐标系中画出二次函数的图象；（3）结合图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．19．如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数．20．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O，则直线PQ是线段AC的线；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．（1）补全尺规作图并填空；（2）判断AD为高的依据是．21．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．22．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；（2）四边形AC1A1C的面积为．23．已知二次函数y＝x2﹣2x+2m﹣2的图象与x轴有公共点．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时二次函数与x轴的交点坐标．24．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．25．如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD 平分∠BAC．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若DE＝，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝a2x2﹣2a2x+4（a≠0）．（1）抛物线G的对称轴为x＝；（2）若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是；（3）若抛物线G的顶点纵坐标t的取值范围为0＜t＜3，求a的取值范围．27．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P′BA，连接PP′，可求出∠APB 的度数；思路二：将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△P′CB，连接PP′，可求出∠APB 的度数；请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，要使∠APB＝45°，线段PA，PB，PC应满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA，PB，PC满足的等量关系．28．对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“共径圆”点A，B的“共径圆”的示意图如图所示．（1）已知点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（3，4），则点A，B的“共径圆”的面积为；（2）已知点A在以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y＝﹣x+4上，求点A，B的“共径圆”的半径最小值；（3）已知点A的坐标为（0，0），点B是x轴及x轴上方的点，如果直线y＝x+b上存在两个点B，使得点A，B的“共径圆”的面积为4π，直接写出满足条件的b的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，故选：D．2．抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）解：∵y＝﹣5（x﹣1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B．3．将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+3B．y＝2（x﹣2）2﹣3C．y＝2（x+2）2﹣3D．y＝2（x+2）2+3解：将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝2（x+2）2；再向下平移1个单位为：y＝2（x+2）2﹣3．故选：C．4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（）A．b＜0B．c＞0C．a+b+c＝0D．b2﹣4ac＜0解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，即x＝﹣＞0，∴b＞0，故A错误；由图象可知抛物线与y轴的交点（0，c）在y轴的负半轴，∴c＜0，故B错误；当x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，故C正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故D错误；故选：C．5．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（）A．G点B．H点C．M点D．N点解：如图，观察图像可知，能被雷达监测到的最远点为点H．故选：B．6．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC＝5，∠BAC＝∠D．则AB的长为（）A．5B．10C．5D．10解：∵AC＝AC，∴∠D＝∠B，∵∠BAC＝∠D，∴∠B＝∠BAC，∴△ABC是等腰三角形，∵AB是直径，∴△ABC是等腰直角三角形，∵AC＝5，∴AB＝5，故选：C．7．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到△A'B'C，若B'恰好落在线段AB上，连接AA'，则下列结论中错误的是（）A．∠B'A'C＝25°B．AC＝AA'C．∠ACA'＝50°D．AB⊥AA'解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，∴∠BAC＝25°，∵将△ABC绕点C旋转到△A'B'C，∴BC＝B'C，AC＝A'C，∠BCB'＝∠ACA'，∠B'A'C＝∠BAC＝25°，故选项A不符合题意，∴∠B＝∠BB'C＝65°，∴∠BCB'＝50°＝∠ACA'，故选项C不符合题意，∴∠CAA'＝∠CA'A＝65°，∴∠BAA'＝90°，∴AB⊥AA'，故选项D不符合题意，∵△ACA'不是等边三角形，∴AC＝A'C≠AA'，故选项B符合题意，故选：B．8．函数y＝x2﹣2|x|﹣1的自变量x的取值范围为全体实数，其中x≥0部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；④当﹣2＜a＜﹣1时，关于x的方程x2﹣2|x|﹣1＝a有4个实数根．其中正确的结论个数是（）A．3B．2C．1D．0解：如图：①如图所示，函数图象关于y轴对称，故①符合题意．②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意．③如图所示，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故③符合题意．④如图所示，当﹣2＜a＜﹣1时，关于x的方程x2﹣2|x|﹣1＝a有4个实数根，故④符合题意．综上所述，正确的结论有3个．故选：A．二、填空题（共8小题）.9．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，2）．解：根据中心对称的性质，可知：点P（1，﹣2）关于原点O中心对称的点的坐标为（﹣1，2）．故答案是：（﹣1，2）．10．如图所示，四边形ABCD是圆内接四边形，其中∠A＝80°，则∠C＝100°．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100°．11．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，﹣3），这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2﹣3（答案不唯一）．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．∵抛物线开口向下，∴a＜0．∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），∴c＝﹣3．取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣3．故答案为：y＝﹣x2﹣3（答案不唯一）．12．点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O至少旋转72°后能与原来的图案互相重合．解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，∠AOE ＝＝72°．故答案为：72．13．在关于x的二次函数中，自变量x可以取任意实数，下表是自变量x与函数y的几组对应值：x……12345678……y＝ax2+bx+c……﹣1.78﹣3.70﹣4.42﹣3.91﹣2.200.75 4.8810.27……根据以上信息，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于 5.8（5.6至5.9均可）（结果保留小数点后一位）．解：由表格可知，当x＝5时，y＝﹣2.20＜0，当x＝6时，y＝0.75＞0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于5.8（5.6至5.9均可），故答案为：5.8（5.6至5.9均可）．14．如图，点P是⊙O的直径BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，若∠P＝30°，PB ＝6，则PC等于2．解：连接OC，∵PC切⊙O于C∴∠OCP＝90°，设⊙O的半径是R，则OP＝6﹣R，∵∠P＝30°，由30°角所对的直角边等于斜边的一半得，6﹣R＝2R，解得：R＝2，由勾股定理得：22+PC2＝（6﹣2）2，解得PC＝2故答案为：2．15．若二次函数y＝2（x+1）2+k的图象上有两点A（﹣3，m），B（0，n），则m＞n．（填“＞”，“＝”或“＜”）解：∵二次函数y＝2（x+1）2+k，∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线：x＝﹣1．∴点A（﹣3，m）关于对称轴的对称点为（1，m），∵﹣1＜0＜1，∴m＞n．故答案为＞．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），⊙M是△ABC的外接圆，则圆心M的坐标为（3，3），⊙M的半径为．解：∵点A，B，C的坐标分别是（0，2），（2，0），（4，0），∴BC的垂直平分线为直线x＝3，∵OA＝OB，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB的垂直平分线为第一、三象限的角平分线，即直线y＝x，∵直线x＝3与直线y＝x的交点为M点，∴M点的坐标为（3，3），∵MB＝＝，∴⊙M的半径为．故答案为（3，3），．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分，第23～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）用配方法将其化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出此二次函数的对称轴和二次函数图象与y轴交点的坐标．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4．（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4．∴对称轴为直线x＝1，当x＝0时，则y＝﹣3，∴函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与y轴交点坐标为（0，﹣3）．18．已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x……﹣3﹣2﹣101……y……03430……（1）求这个二次函数的解析式；（2）在直角坐标系中画出二次函数的图象；（3）结合图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围．解：（1）∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），（0，3），∴设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），把（0，3）代入得3＝a（0+3）（0﹣1），解得a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1），即y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图，（3）当y＞0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1．19．如图，△ABC为等边三角形，将AC边绕点C顺时针旋转40°，得到线段CD，连接BD，求∠ABD的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵将AC边绕点C顺时针旋转40°，∴∠ACD＝40°，AC＝CD＝BC，∴∠BCD＝100°，∴∠CBD＝∠D＝40°，∴∠ABD＝20°．20．下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC．求作：BC边上的高AD．作法：如图，（1）分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQ，交AC于点O，则直线PQ是线段AC的垂直平分线线；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，与CB的延长线交于点D，连接AD．线段AD即为所作的高．（1）补全尺规作图并填空；（2）判断AD为高的依据是直径所对的圆周角为直角．解：（1）如图，AD为所作；（2）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC．故答案为垂直平分线；直径所对的圆周角为直角．21．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端AB＝18分米，C为AB中点，D为拱门最高点，圆心O在线段CD上，CD＝27分米，求拱门所在圆的半径．解：连接AO，∵CD过圆心，C为AB的中点，∴CD⊥AB，∵AB＝18，C为AB的中点，∴AC＝BC＝9，设圆的半径为x分米，则OA＝OD＝x分米，∵CD＝27，∴OC＝27﹣x，在Rt△OAC中，AC2+OC2＝OA2，∴92+（27﹣x）2＝x2，∴x＝15（分米），答：拱门所在圆的半径是15分米．22．如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣3，3），B（0，1），C（﹣1，﹣1）．（1）请画出△ABC关于点B成中心对称的△A1BC1，并写出点A1，C1的坐标；（2）四边形AC1A1C的面积为16．解：（1）如图，△A1BC1为所作，点A1，C1的坐标分别为（3，﹣1），（1，3）；（2）∵AB＝A1B，CB＝C1B，∴四边形AC1A1C为平行四边形，∴四边形AC1A1C的面积＝4×4＝16．故答案为16．23．已知二次函数y＝x2﹣2x+2m﹣2的图象与x轴有公共点．（1）求m的取值范围；（2）当m为正整数时，求此时二次函数与x轴的交点坐标．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2x+2m﹣2的图象与x轴有公共点，∴△＝（﹣2）2﹣4（2m﹣2）≥0，∴m≤．（2）∵m为正整数，∴m＝1符合题意，∴y＝x2﹣2x．令y＝0，则x2﹣2x＝0．∴x1＝0，x2＝2，∴二次函数与x轴的交点坐标是（0，0）和（2，0）．24．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图2所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12m，拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+k，由题意，得：B（6，0）、C（0，6），∴y＝ax2+6，∴0＝a•62+6，解得a＝﹣，∴解析式为y＝﹣x2+6；（2）由题意得，水面宽度的横坐标为﹣5和5，∴y＝﹣×52+6＝﹣+6＝，∴水面上涨的高度为m．25．如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，P是⊙O外一点，AC⊥PD于点E，AD 平分∠BAC．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若DE＝，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∵AC⊥PD，∴∠AEP＝90°，∴∠ODP＝∠AEP＝90°，∴OD⊥PE，∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAE＝30°，∵AC⊥PE，DE＝，∴AD＝2DE＝2，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝2BD，设BD＝x，则AB＝2x，∵AD2+BD2＝AB2，∴x2+（2）2＝（2x）2，∴BD＝2，AB＝4，∴AO＝2，∴⊙O的半径为2．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝a2x2﹣2a2x+4（a≠0）．（1）抛物线G的对称轴为x＝1；（2）若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是m ＞2或m＜0；（3）若抛物线G的顶点纵坐标t的取值范围为0＜t＜3，求a的取值范围．解：（1）抛物线G的对称轴为直线x＝﹣＝1，故答案为1；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0；故答案为：m＞2或m＜0；（3）y＝a2x2﹣2a2x+4＝a2（x﹣1）2﹣a2+4，∵顶点纵坐标t的取值范围为0＜t＜3，∴0＜﹣a2+4＜3，∴1＜a2＜4，∴﹣2＜a＜﹣1或1＜a＜2．27．在学习利用旋转解决图形问题时，老师提出如下问题：（1）如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，你能求出∠APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P′BA，连接PP′，可求出∠APB思路二：将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△P′CB，连接PP′，可求出∠APB 的度数；请参照小明的思路，任选一种写出完整的解答过程；（2）如图2，若点P是正方形ABCD外一点，要使∠APB＝45°，线段PA，PB，PC应满足怎样的等量关系？请参考小明上述解决问题的方法进行探究，直接写出线段PA，PB，PC满足的等量关系．解：（1）思路一：如图1，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP＝3，BP'＝BP＝2，∠PBP'＝90°∴∠BPP'＝45°，根据勾股定理得，P'P＝＝＝2，∵AP＝1，∴AP2+P'P2＝1+8＝9，又∵P'A2＝32＝9，∴AP2+P'P2＝P'A2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'＝90°，∴∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝90°+45°＝135°．将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到△P′CB，连接PP′，∴P'B＝PB＝2，P'C＝AP＝1，∠P'BP＝90°，∠APB＝∠BP'C，∴∠BP'P＝45°，P'P＝＝＝2，∵PC＝3，P'C＝1，∴P'C2+PP'2＝PC2，∴∠PP'C＝90°，∴∠BP'C＝∠BP'P+∠PP'C＝45°+90°＝135°，∴∠APB＝∠BP'C＝135°；（2）线段PA，PB，PC满足的数量关系是PA2+2PB2＝PC2．如图3，将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'．则△ABP'≌△CBP，AP'＝CP，BP'＝BP，∠PBP'＝90°，∴∠BPP'＝45°，∵∠APB＝45°，∴∠APP'＝∠APB+∠BPP'＝45°+45°＝90°，∴PA2+P'P2＝AP'2，又∵△PBP'是等腰直角三角形，∴PB2+P'B2＝2PB2＝P'P2，28．对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“共径圆”点A，B的“共径圆”的示意图如图所示．（1）已知点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（3，4），则点A，B的“共径圆”的面积为25π；（2）已知点A在以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y＝﹣x+4上，求点A，B的“共径圆”的半径最小值；（3）已知点A的坐标为（0，0），点B是x轴及x轴上方的点，如果直线y＝x+b上存在两个点B，使得点A，B的“共径圆”的面积为4π，直接写出满足条件的b的取值范围．解：（1）由点A、B的坐标知，AB＝＝5，由圆的面积公式得：“共径圆”的面积πr2＝25π，故答案为25π；（2）如下图，当O、A、B三点共线，且OB⊥直线l时，共径圆”的半径最小，设直线与x、y轴的交点分别为N、M，由直线y＝﹣x+4知，点M、N坐标分别为（0，4）、（4，0），∠MNO＝45°，则ON＝4＝OM，则OB＝ON sin∠MNO＝4×sin45°＝2，故点A，B的“共径圆”的半径最小值为2﹣1；（3）设点B的坐标为（x，x+b），设AB之间的距离为r，则πr2＝4π，解得r＝2（负值已舍去），则AB＝x2+（x+b）2＝22＝4，化简得：2x2+2bx+b2﹣4＝0，∵满足条件的B点有2个，故△＝（2b）2﹣2×4（b2﹣4）＞0，解得﹣2＜b＜2，∵点B是x轴及x轴上方的点，故b＞0，而当b＝2时，点B在x轴上，故2≤b＜2．。

2021-2022学年初三年级第一学期期中考试数学试卷

2021—2022学年度第一学期期中考试初三年级数学试卷说明：1. 答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．2. 考生必须在答题卷上按规定作答，凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．3. 全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分．一、选择题（每题3分，共30分）1．下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是 ( )A B C D2．下列光线所形成的投影不是中心投影的是 ( ) A ．太阳光线 B ．台灯的光线 C ．手电筒的光线D ．路灯的光线3．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率是 ( )A ．1B ．12 C ．13D ． 14 4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) A ．两组对边分别平行且相等 B ．邻角互补 C ．对角线相等D ．对角线互相垂直5．下列命题是真命题的是 ( ) A ．正方形是轴对称图形，但不是中心对称图形 B ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C ．四条边相等的四边形是菱形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形6．如图，在平面直角坐标系中，OAB △的顶点坐标为()0,0O 、()4,3A 和()3,0B ．以点O 为位似中心，在第三象限内作与OAB △的位似比为13的位似图形OCD △，则OCD △的面积是 ( )A ．1B ．12C ．32D ．927．如图，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧xyDOABC交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点,B D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，连接DE ，则下列结论中不正确的是 ( ) A ．BE DE = B ．DE 垂直平分线段AC C ．3EDC ABC S S =△△ D ．2BD BC BE =⋅第6题图第7题图第12题图8．2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病．感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现．在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了 ( )A ．10人B ．11人C ．12人D ．13人 9．若关于x 的方程()2204kkx k x +++=有实数根，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．1k ≥- B ．10且k k ≥-≠ C ．10且k k >-≠ D ．1k ≤-10．设,,,A B C D 是反比例函数1y x=图象上的任意四点，现有以下结论： ①存在无数个四边形ABCD 是平行四边形； ②存在无数个四边形ABCD 是菱形； ③存在无数个四边形ABCD 是矩形； ④至少存在一个四边形ABCD 是正方形. 其中正确结论的个数是 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0 二、填空题（每题3分，共15分） 11．已知13a b =，则a b b +的值是________.12．如图是小孔成像原理的示意图，点O 与物体AB 的距离为30cm ，与像CD 的距离是14cm ，ABCD . 若物体AB 的高度为15cm ，则像CD 的高度是_________cm .13．四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，70A ∠=︒，108B ∠'=︒，92C ∠'=︒，则D ∠=_____． 14．如图，矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数ky x=的图象上，且点D 在第一象限，顶点,B CB16．（10分）解方程：(1) 2450x x --= (2) 2350x x +-= 17．（7分）如图，在ABC △中，点D 在BC 上，AD AEAB AC=，BAD ∠ (1)求证：BAC DAE △∽△；(2)当40B ∠=︒时，求ACE ∠的大小．18．（7分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：(1)请直接写出上表中的a = ，b = ；(2)请直接写出事件“摸到白球”的概率的估计值是（精确到0.1）； (3)如果袋中有12个白球，请你估计袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？19．（6分）应用题：（本题第一问要求列方程作答）某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？(2)若某支球队参加3场后，因故不参与以后的比赛，问实际共比赛多少场？20．（8分）如图，O 为平行四边形ABCD 的对称中心，对角线AC AB ⊥，过点O 作直线EF AB ，分别交,AD BC 于,E F ，连接,AF CE ．等边APE △，如图1，当点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接、CE CA ，则BP 与CE 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；（类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究：(2)若四边形ABCD 是正方形，点P 是射线BD 上一动点，以AP 为直角边在AP 边的右侧作等腰Rt APE △，其中90,APEAP PE ∠=︒=.①如图2，当点P 在对角线BD 上时，小组发现点E 恰好在射线CD 上，求BP 与CE 之间的数量关系（过程只用说明点E 在线段CD 上的情况即可）；②如图3，当P 是对角线BD 的延长线上一动点时，小组发现点E 恰好在射线CD 上，连接BE ，若6,2BE AB ==，求BPE △的面积．图1 图2 图3B深圳中学初中部2021-2022学年第一学期期中考试初三年级数学试卷答案二、填空题三、解答题（本题目共55分）16．(1)原方程可化为： (2) 1,3,5a b c ===-()()510x x -+= ∴()243241529b ac =-=-⨯⨯-=△∴50x -=或10x += ∴x ==解得：15=x ，21x =- 即1x 2x = 17．(1)证明：∵∠BAD =∠CAE ，∴∠BAD +∠DAC =∠DAC +∠CAE ，即∠DAE =∠BAC ， ∵ADAB =AEAC ，∴ABAD =ACAE ， ∴△BAC ∽△DAE ；(2)解：∵∠BAD =∠CAE ，ADAB =AEAC ∴△BAD ∽△CAE∴∠ACE =∠B ，又∵∠B =40∘， ∴∠ACE =40∘．18．解：(1)0.59a =，116b =． (2) 0.6；(3)120.6128÷-=（个)．答：除白球外，还有大约8个其它颜色的小球19．(1)设应该邀请x 支球队参加比赛，依题意，得：12x （x ﹣1）＝15，解得：x 1＝6，x 2＝﹣5（不合题意，舍去）．答：应该邀请6支球队参加比赛． (2)3+12×5×4＝13（场）．答：实际共比赛13场．20．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD//BC∴∠AEO=∠CFO ∵O 为AC 的中点 ∴OA=OC在△AOE 和△COF 中AOE COF OA OCAEO CFO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOE COF ∆≅∆ ∴OE=OF∴四边形AFCE 是平行四边形 ∵AC AB ⊥∴90BAC ∠=︒ ∵EF AB∴90FOC BAC ∠=∠=︒∴AC EF ⊥，又∵四边形AFCE 是平行四边形 ∴四边形AFCE 是菱形(2) ∵四边形AFCE 是正方形∴∠AFC=90°，AF=CF ，∠CAF=∠ACF=45 ∵AC AB ⊥ ∴90BAC ︒∠= ∴∠B=45°∴ABC 是等腰直角三角形 ∴2BC AB 又∵6BC = ∴32AB21．解：（1）∵反比例函数y =k 2x的图象过点A （﹣1，4），B （4，n ）∴k 2＝﹣1×4＝﹣4，k 2＝4n∴n ＝﹣1∴B （4，﹣1）∵一次函数y ＝kx +b 的图象过点A ，点B ∴{−k +b =44k +b =−1，解得：k ＝﹣1，b ＝3∴直线解析式y ＝﹣x +3，反比例函数的解析式为y =−4x ；（2）x ＜﹣1或0＜x ＜4；（3）()0,7P 或()0,1P -22．解：（1）BP =CE ，理由如下： ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC ，又∵∠ABC =60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB =AC ，∠BAE =60°，又∵△P AE 是等边三角形， ∴AP =AE ，∠P AE =60°，∴∠BAP +∠P AC =∠EAC +∠P AC ， ∴∠BAP =∠EAC ， ∴△ABP ≌ACE （SAS ） ∴BP =CE ；（2）2CE BP =，理由如下：如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，AB =BC ，∠ABD =∠ACE =∠BAC =45°， ∴22222AC AB BC AB =+=， ∴2AC AB =，∵△APE 为等腰直角三角形，∠APE =90°， ∴∠P AE =45°，∴∠BAP +∠P AC =∠EAC +∠P AC ， ∴∠BAP =∠CAE ，∴△BAP ∽△CAE ， ∴2CE ACBP AB== ∴2CE BP =；（3）连接AC 交BD 于F ，过点E 作EG ⊥BD 于G ， ∵四边形ABCD 是正方形，2AB =，∴2BC AB ==，∠ABD =∠BAC =45°，∠AFB =∠AFD =90°， ∴12=222AF BF AC AB ===∴∠F AP +∠AFP =90°，又∵△APE 是等腰直角三角形， ∴AP =EP ，∠APE =90°， ∴∠APF +∠EPG =90°， ∴∠F AP =∠EPF ，又∵∠AFP =∠EGP =90°， ∴△AFP ≌△PGE （AAS ）， ∴2PG AF EG FP ==，，设FP =GE =x ，则22BG BF FP PG x =++=， ∵222BG EG BE +=， ∴()22226xx +=，解得42x =， ∴24BP x ==，∴(1144282222BPE S BP EG =⋅=⨯⨯=-△。

丰台区初三数学上学期期中试卷

丰台区初三数学上学期期中试卷(含解析解析)丰台区2021九年级数学上学期期中试题(含答案解析)一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 假如，那么下列比例式成立的是A．B．C．D．2．二次函数的最大值为A．1B．－1 C．3D．－33．⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，假如O1O2=5cm，那么⊙O1和⊙O2的位置关系是A．内含B．内切C．相交D．外切4. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，假如∠BAC=30°，那么∠BO C的度数是A．60○B．45○C．30○D．15○5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，假如AC= 3，AB=6，那么AD的值为A. B. C. D.6．如图，扇形折扇完全打开后，假如张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm，那么这把折扇的扇面面积为A．B．C．D．7. 假如点A ，B ，C 都在反比例函数的图象上，那么A．B．C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，2），动点A以每秒1个单位长的速度从点O动身沿轴的正方向运动，M是线段AC的中点，将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转得到线段AB．联结CB．设△ABC的面积为S，运动时刻为秒，则下列图象中，能表示S与的函数关系的图象大致是A B C D二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）9．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，假如AD∶DB=3∶2，EC=4，那么AE的长等于．10．如图，AB是⊙O的弦，OC ⊥AB于点C，假如AB= ，OC=3，那么⊙O的半径等于．11．在某一时刻，测得一身高为1.80m的人的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．12．在正方形网格中，的位置如图所示，则tanB的值为_____ _____．13．关于x的二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．14．在平面直角坐标系中，关于点，其中，我们把点叫做点P的衍生点.已知点的衍生点为，点的衍生点为，点的衍生点为，…，如此依次得到点，，，…，，…，假如点的坐标为，那么点的坐标为________；假如点的坐标为，且点在双曲线上，那么________．三、解答题（本题共20分，每小题5分）15．运算：.16．已知二次函数y = x2－4x＋3.（1）把那个二次函数化成的形式；（2）画出那个二次函数的图象，并利用图象写出当x为何值时，y0．17．如图，矩形ABCD中，AP平分∠DAB，且AP⊥DP于点P，联结CP，假如AB﹦8，AD﹦4，求sin∠DCP的值.18．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象分别交于M，N 两点，已知点M（-2，m）.（1）求反比例函数的表达式；（2）点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直截了当写出点P 的坐标．四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20，21题每小题6分）19．某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发觉，该种产品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足（20≤≤40），设销售这种产品每天的利润为W（元）（1）求销售这种产品每天的利润W（元）与销售单价（元）之间的函数表达式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少元？20. 如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，现在望见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C 为中心的12海里内为军事演习的危险区.请通过运算说明:假如这艘渔船连续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能. （参考数据: ）21．如图，PB切于点B，联结PO并延长交于点E，过点B作BA ⊥PE交于点A，联结AP，AE．（1）求证：PA是的切线；（2）假如OD＝3，tan∠AEP＝，求的半径．22．关于两个相似三角形，假如对应顶点沿边界按相同方向顺序围绕，那么称这两个三角形互为同相似，如图1，∽，则称与互为同相似；假如对应顶点沿边界按相反方向顺序围绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图2，∽，则称与互为异相似.图1 图2（1）在图3、图4和图5中，△ADE∽△ABC，△HXG∽△HGF，△OPQ∽△OMN，其中△ADE与△ABC互为相似，△HXG与△HGF互为相似，，△OPQ与△OMN互为相似；图3 图4 图5（2）在锐角△ABC中，?A?C，点P为AC边上一定点（不与点A，C 重合），过这个定点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为异相似，符合条件的直线有_____条.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25 题8分）23. 已知抛物线与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范畴；（2）假如A 、B 是抛物线上的两个不同点，求的值和抛物线的表达式；（3）假如反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为，且满足45，请直截了当写出k的取值范畴.24. 已知：如图，矩形ABCD中，AB AD.（1）以点A为圆心，AB为半径作弧，交DC于点E，且AE＝AB，联结AE，BE，请补全图形，并判定∠AEB与∠CEB的数量关系；（2）在（1）的条件下，设，，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明.25．我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做那个点对这条线段的视角.如图1，关于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C 对线段AB的视角.如图2，在平面直角坐标系中，已知点D（0，4），E（0，1）.（1）⊙P为过D，E两点的圆，F为⊙P上异于点D，E的一点.①假如DE为⊙P的直径，那么点F对线段DE的视角∠DFE为_________度；②假如⊙P的半径为，那么点F对线段DE的视角∠DFE为________ _度；（2）点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段DE的视角∠D GE最大时，求点G的坐标.丰台区2021九年级数学上学期期中试题(含答案解析)参考答案及评分参考一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A D A A C B C二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）题号9 10 11 12 13 14答案6 5 15答案不唯独1三、解答题（共20分，每小题5分）15．解：原式＝------3分------5分16．解：（1）∵．------2分（2）二次函数图象如右图，当时，．------5分17．解：过点P作PE⊥CD于点E，------1分∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝8，∠DAB＝∠ADC＝90°．∵AP是∠DAB的角平分线，∴∠DAP＝∠DAB＝45 °．∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°．∴∠ADP＝45°．∴∠CDP＝45°．在Rt△APD中，AD＝4，∴DP＝AD?sin∠DAP＝．------2分在Rt△DEP中，∠DEP＝90°，∴PE＝DP?sin∠CDP＝2，DE＝DP?cos∠CDP＝2．∴CE＝CD—DE＝6．------3分在Rt△DEP中，∠CEP＝90°，. ------4分∴sin∠DCP＝. ------5分18．解：（1）∵点M（-2，m）在正比例函数的图象上，∴．------1分∴M（-2，1）．------2分∵反比例函数的图象通过点M（-2，1），∴k＝-2×1＝-2．∴反比例函数的解析式为．------ 3分（2）点P的坐标为（0，）或（0，）-------5分四、解答题（本题共22分，第19，22题每小题5分，第20，21题每小题6分）19．解：（1）------- 1分．------- 3分（2）．------4分∴当销售单价定为30元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是2 00元．------5分20．解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．由题意可知，------- 1分在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝20 ．------- 3分在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，∴CD＝CB?sin∠CBD＝（海里）．------- 5分∵﹥12，∴这艘渔船连续向东航行追赶鱼群可不能进入危险区．------- 6分21．（1）证明：如图，联结OA，OB ．∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°．------- 1分∵OA＝OB，BA⊥PE于点D，∴∠POA＝∠POB．------- 2分又∵PO＝PO，∴△PAO≌△PBO．∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∴PA⊥OA．∴直线PA为⊙O的切线．------- 3分（2）在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∵tan∠AEP＝＝，∴设AD＝x，DE＝2x．----- 4分∴OE＝2x—3．在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32．------5分解得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．∴AD＝4，OA＝OE＝2x －3＝5．即⊙O的半径的长5．------ 6分22．解：（1）同，异，同．------3分（2）1或2．------5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）依照题意得，，------1分解得------2分（2）由题意知，抛物线对称轴为直线x＝1，点A和点B是抛物线上的两个对称点，则，解得------3分∴点A（-1，0），∴------5分（3）------7分24．解：（1）如图1，------1分∠AEB＝∠CEB．------2分（2）. ------3分证明：如图2，作过点A作AF⊥BE于点F，------4分∵AB＝AE，∴∵∠AFB＝∠C=90°，∠ABE＝∠CEB，∴△ABF∽△BEC. ------5分∴．------6分即------7分25.解：（1）①90°；------1分②60°或120°．------3分（2）如图，当⊙P与x轴相切，G为切点时，∠DGE最大．------4分由题意知，点P在线段ED的垂直平分线上，∴PG＝2.5. ------5分过点P作PH⊥DE于点H，∴------6分∵PG⊥x轴，∴四边形PHOG为矩形.联结PE，在Rt△PEH中，PE＝PG＝2.5，EH＝1.5，∴PH＝2．唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。

2020-2021北京丰台区第二中学九年级数学上期中模拟试题及答案

2020-2021北京丰台区第二中学九年级数学上期中模拟试题及答案一、选择题1．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） A ． B ．C ．D ．2．下列事件中，属于必然事件的是（）A ．随时打开电视机，正在播新闻B ．优秀射击运动员射击一次，命中靶心C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上D ．长度分别是3cm ，5cm ，6cm 的三根木条首尾相接，组成一个三角形3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150°4．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（） A ． B ． C ．D ．5．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0；④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）7．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20） 8．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20179．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（） A ．1 B ．3C ．5D ．7 10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0；③213a -≤≤-； ④248acb a ->；其中正确的结论是（）A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④11．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（）．A ．摸出的4个球中至少有一个球是白球B ．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C ．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的4个球中至少有两个球是白球12．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA 'B ′C '的位置，则点B '的坐标为_____．14．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2.15．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC =105°，则∠C = __．16．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________17．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．18．关于x 的方程的260x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．19．在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是 _________.20．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是．三、解答题21．已知：如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（﹣1，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M 为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积MCB S V ．（3）在坐标轴上，是否存在点N ，满足△BCN 为直角三角形？如存在，请直接写出所有满足条件的点N ．22．某店铺经营某种品牌童装，购进时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低1元，就可多售出20件．（1）求出销售量y 件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求出销售该品牌童装获得的利润W （元）与销售单价x 元）之间的函数关系式；（3）若装厂规定该品牌童装的销售单价不低于56元且不高于60元，则此服装店销售该品牌童装获得的最大利润是多少？23．如图，ABO V 与CDO V 关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且AF=CE ．求证：FD=BE ．24．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.25．如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2．D解析：D【解析】分析：根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．详解：A．是随机事件，故A不符合题意；B．是随机事件，故B不符合题意；C．是随机事件，故C不符合题意；D．是必然事件，故D符合题意．故选D．点睛：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．3．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD 即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD ，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，4．B解析：B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.故选B.5．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2②错误；∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1，则2a ﹣b=0，③正确；∵抛物线的顶点在x 轴的上方， ∴244ac b a＞0，④错误；故选B.6．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)

2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20） 3．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（）A ．3B ．5C ．6D ．8 4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（） A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 6．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（） A ．2(2)3x += B ．2(2)5x += C ．2(2)3x -= D ．2(2)5x -= 7．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB 的度数为（）A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°8．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 9．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 10．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 11．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（）A ．-41B ．-35C ．39D ．45 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是；17．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．18．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .19．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.20．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.22．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．23．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．求证：PA是的切线；若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.2．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）．故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 3．A解析：A【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3可得：x≤﹣3．【详解】∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a取何值，x≤﹣3．故选D．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x2-4x-1=0，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.8．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．9．D解析：D【解析】【分析】求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．【详解】x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键10．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．11．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a3ab8b2a++-=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=ba-，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．12．A 解析：A 【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数．【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．二、填空题13．8【解析】【分析】连接AD 根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°故可得出AD=BD 再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形利用勾股定理求出AB 的长在Rt△ABC 中利用勾股定解析：8【解析】【分析】连接AD ，根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，∵∠ACB=90°，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴2．∵AB 是⊙O 的直径，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AB=22AD BD +=10．∵AC=6，∴BC=2222106AB AC -=-=8．故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．14．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864．故答案为：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x ）即100（1-x ）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1-x ）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x ）（1-x ），即100（1-x ）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（1-x ）2元．根据题意，得100（1-x ）2=64，即（1-x ）2=0.64，解得x 1=1.8，x 2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO ∴∠QOP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°18．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单解析：25(1)1y x =-+-【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可．【详解】抛物线251y x =-+的顶点坐标为（0，0），∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度，∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2），∴所得抛物线的解析式是()2511y x =-+-．故答案为：()2511y x =-+-．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 19．x1=1x2=2【解析】【分析】整体移项后利用因式分解法进行求解即可得【详解】x(x-2)-(x-2)=0x-1=0或x-2=0所以x1=1x2=2故答案为x1=1x2=2【点睛】本题考查了解一元二解析：x 1=1, x 2=2.【解析】【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.【详解】x(x-2)-(x-2)=0，()()120x x--=，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2，故答案为x1=1，x2=2.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.20．-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根代入可得9-3+c=0解得c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0即（x+2）（x-3）=0解得x=-2或x=3即可得方程的另一个根是x=解析：-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，代入可得9-3+c=0，解得，c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得，x=-2或x=3，即可得方程的另一个根是x=-2．三、解答题21．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【详解】（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得10 930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．23．（1）x=﹣2或x=4；（2）52＜x＜3【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）分别求不等式，再确定公共解集．【详解】解：（1）∵（x+2）（x ﹣4）=0，∴x+2=0或x ﹣4=0，解得：x=﹣2或x=4；（2）解不等式x ﹣3（x ﹣２）＜1，得：x ＞52，解不等式12x -＜1，得：x ＜3， ∴不等式组的解集为52＜x ＜3．【点睛】考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．24．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35．又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000∵k=﹣200＜0，∴P随x的增大而减小，∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA；，；而，；而，；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。

北京市丰台区2021届九年级上期中数学复习试卷含答案解析

北京市丰台区2021届九年级上期中数学复习试卷含答案解析一、选择题1．使二次根式有意义的x的取值范畴是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥12．估量+1的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间3．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B．C．D．4．当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（）A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a5．已知，则2xy的值为（）A．﹣15 B．15 C．D．二、填空题6．运算：=．7．若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是．8．运算（+）（﹣）的结果等于．9．已知x=，则x2+x+1=．10．已知（a﹣）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范畴是．三、解答题11．运算：（2﹣）2021•（2+）2021﹣2|﹣|﹣（﹣）0．12．先化简，再求值：（1）（﹣x﹣1）÷，其中x=，y=；（2）﹣﹣，其中a=2﹣．13．已知x，y为实数，且满足﹣（y﹣1）=0，求x2021﹣y2021的值．14．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=．15．阅读与运算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数专门奇异，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发觉了许多意想不到的结果，在实际生活中，专门多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有专门多有味的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数能够用 [﹣]表示（其中，n ≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请依照以上材料，通过运算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．2021-2021学年北京市丰台区一般中学九年级（上）期中数学复习试卷（二次根式及其运算）参考答案与试题解析一、选择题1．（2021•宁波）使二次根式有意义的x的取值范畴是（）A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1【考点】二次根式有意义的条件．【分析】依照二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，把握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．2．（2021•淮安）估量+1的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【分析】直截了当利用已知无理数得出的取值范畴，进而得出答案．【解答】解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，∴+1在在3和4之间．故选：C．【点评】此题要紧考查了估算无理数大小，正确得出的取值范畴是解题关键．3．（2021•自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B．C．D．【考点】最简二次根式．【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，确实是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的确实是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：因为==2，因此不是最简二次根式．故选B．【点评】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4．（2020•荆门）当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（）A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a【考点】二次根式的性质与化简．【分析】利用a的取值范畴，进而去绝对值以及开平方得出即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．故选：B．【点评】此题要紧考查了二次根式的性质与化简，正确开平方得出是解题关键．5．（2011•凉山州）已知，则2xy的值为（）A．﹣15 B．15 C．D．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】第一依照二次根式有意义的条件求出x的值，然后代入式子求出y的值，最后求出2xy的值．【解答】解：要使有意义，则，解得x=，故y=﹣3，∴2xy=2××（﹣3）=﹣15．故选：A．【点评】本题要紧考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一样．二、填空题6．（2021•聊城）运算：=12．【考点】二次根式的乘除法．【分析】直截了当利用二次根式乘除运算法则化简求出答案．【解答】解：=3×÷=3=12．故答案为：12．【点评】此题要紧考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．7．（2020•自贡）若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是7．【考点】估算无理数的大小．【分析】先估算的范畴，再估算+1，即可解答．【解答】解：∵，∴，∵x＜+1＜y，∴x=3，y=4，∴x+y=3+4=7．故答案为：7．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范畴．8．（2021•天津）运算（+）（﹣）的结果等于2．【考点】二次根式的混合运算．【分析】先套用平方差公式，再依照二次根式的性质运算可得．【解答】解：原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练把握平方差公式与二次根式的性质是关键．9．（2020•黔西南州）已知x=，则x2+x+1=2．【考点】二次根式的化简求值．【分析】先依照完全平方公式变形，再代入求出即可．【解答】解：∵x=，∴x2+x+1=（x+）2﹣+1=（+）2+=+=2．故答案为：2．【点评】本题考查了完全平方公式和二次根式的化简求值的应用，能正确代入是解此题的关键，难度适中．10．（2020•杭州）已知（a﹣）＜0，若b=2﹣a，则b的取值范畴是2﹣＜b＜2．【考点】二次根式有意义的条件；不等式的性质．【分析】依照被开方数大于等于0以及不等式的差不多性质求出a的取值范畴，然后再求出2﹣a的范畴即可得解．【解答】解：∵（a﹣）＜0，∴＞0，a﹣＜0，解得a＞0且a＜，∴0＜a＜，∴﹣＜﹣a＜0，∴2﹣＜2﹣a＜2，即2﹣＜b＜2．故答案为：2﹣＜b＜2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的差不多性质，先确定出a 的取值范畴是解题的关键．三、解答题11．（2021秋•丰台区期中）运算：（2﹣）2021•（2+）2021﹣2|﹣|﹣（﹣）0．【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．【分析】先利用积的乘方和零指数幂的意义得到原式=[（2﹣）（2+）]2021•（2+）﹣2×﹣1，然后利用平方差公式运算．【解答】解：原式=[（2﹣）（2+）]2021•（2+）﹣2×﹣1=（4﹣3）2021•（2+）﹣﹣1=2+﹣﹣1=1．【点评】本题考查了二次根式的运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．12．（2021秋•丰台区期中）先化简，再求值：（1）（﹣x﹣1）÷，其中x=，y=；（2）﹣﹣，其中a=2﹣．【考点】分式的化简求值．【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，化简后代入求出即可；（2）先开方，约分，算加减，最后代入求出即可．【解答】解：（1）（﹣x﹣1）÷=÷=•=﹣当x=，y=时，原式=﹣=﹣1+；（2）∵a=2﹣，∴a﹣1＜0，∴﹣﹣=﹣﹣=a﹣1﹣﹣=a﹣1+﹣=a﹣1，当a=2﹣时，原式=1﹣．【点评】本题考查了分式的混合运算和求值的应用，能正确依照分式的运算法则进行化简是解此题的关键．13．（2021秋•丰台区期中）已知x，y为实数，且满足﹣（y﹣1）=0，求x2021﹣y2021的值．【考点】二次根式的性质与化简．【分析】由题意可知：原式化为+=0，分别求出x与y的值即可．【解答】解：由题意可知： +=0，∴1+x=0，1﹣y=0，∴x=﹣1，y=1，∴x2021﹣y2021=﹣1﹣1=﹣2【点评】本题考查代入求值，涉及二次根式的性质．14．（2020•越西县校级一模）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5．【考点】估算无理数的大小．【分析】只需第一对5﹣估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用5﹣﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行运算．【解答】解：因为2＜＜3，因此2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对比，因为结果不含，因此6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．因此2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题要紧考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．15．（2020•山西）阅读与运算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数专门奇异，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发觉了许多意想不到的结果，在实际生活中，专门多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有专门多有味的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数能够用 [﹣]表示（其中，n ≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请依照以上材料，通过运算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．【考点】二次根式的应用．【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可．【解答】解：第1个数，当n=1时，[﹣]=（﹣）=×=1．第2个数，当n=2时，[﹣]= [（）2﹣（）2]=×（+）（﹣）=×1×=1．【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，明白得题意，找出运算的方法是解决问题的关键．。

北京市八中2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)

北京市八中2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题数学一、选择题（每题3分，共30分）1．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）2．（3分）如果⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，那么⊙O和直线l的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，∠AOB＝70°，则∠ACB的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．70°4．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．6．（3分）将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x﹣4）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2﹣37．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°8．（3分）已知：A、B、C是⊙O上的三个点，且∠AOB＝60°，那么∠ACB的度数是（）A．30°B．120°C．150°D．30°或 150°9．（3分）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（）A．60°B．75°C．80°D．90°10．（3分）四位同学在研究二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x＝1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x＝2时，y＝5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题（每题2分，共16分）11．（2分）若将抛物线y＝﹣x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是．12．（2分）如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是（写出一个即可）13．（2分）已知圆锥的侧面展开的扇形面积是24π，扇形的圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，AB．若OA＝1，∠APB ＝60°，则△PAB的周长为．15．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），点B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＜mx+n的解集为．16．（2分）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为°．17．（2分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么一元二次方程ax2+bx+c＝m（a≠0，m为常数且m≤4）的两根之和为．18．（2分）如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为．三、解答题（19-25每题5分，26题7分，27、28每题6分，共54分）19．（5分）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图1，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图2，①作射线OP；②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；③连接并延长BA与⊙A交于点C；④作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（）（填推理的依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（）（填推理的依据）．20．（5分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2．求⊙O的半径．21．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．（1）求证：△ADE∽△BEC．（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．22．（5分）已知一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若抛物线y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m经过原点，求m的值．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与x轴交于A，B两点，且点A的坐标为（3，0）．（1）求点B的坐标及m的值；（2）画出函数的图象；（3）当﹣2＜x＜3时，结合函数图象直接写出y的取值范围．24．（5分）如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G，EF⊥OG于点F．若BC＝6，DE＝4．（1）求证：∠FEB＝∠ECF；（2）求⊙O的半径长．（3）求线段EF的长．25．（5分）某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如表：x…﹣3﹣﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y…﹣2﹣m 2 1 2 1﹣﹣2 …其中m＝；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，写出：①该函数的一条性质；②直线y＝kx+b经过点（﹣1，2），若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，则b的取值范围是．26．（7分）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使得利润最大？小明同学，为了完成以上问题，小明分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．小明先探索了涨价的情况，下面是小明的思路，请你帮助小明完善以下内容：（1）假设每件涨价x元，则所得利润y与x的函数关系式为；其中x的取值范围是；在涨价的情况下，定价元时，利润最大，最大利润是．（2）请你参考小明（1）的思路继续思考，在降价的情况下，求最大利润是多少？（3）在（1）（2）的讨论及现在的销售情况，回答商家如何定价能使利润能达到最大？27．（6分）已知：△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F．（1）若点D是AB的中点，①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；②如图2，连结EF，若EF∥AB，求线段EF的长；③请写出求线段EF长度最小值的思路．（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是．28．（6分）已知⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反演点的定义如下：若点P'在射线CP上，满足CP'•CP＝r2，则称点P'是点P关于⊙C的反演点．图1为点P及其关于⊙C的反演点P'的示意图．（1）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为6，⊙O与x轴的正半轴交于点A．①如图2，∠AOB＝135°，OB＝18，若点A'，B'分别是点A，B关于⊙O的反演点，则点A'的坐标是，点B'的坐标是；②如图3，点P关于⊙O的反演点为点P'，点P'在正比例函数y＝x位于第一象限内的图象上，△P'OA的面积为6，求点P的坐标；（2）点P是二次函数y＝x2﹣2x﹣3（﹣1≤x≤4）的图象上的动点，以O为圆心，OP为半径作圆，若点P关于⊙O的反演点P'的坐标是（m，n），请直接写出n的取值范围．北京市八中2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试题参考答案一、选择题（每题3分，共30分）1．【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．【解答】解：∵y＝（x+2）2﹣1是抛物线的顶点式，∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的三种形式是解题的关键．2．【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为7cm，圆心O到直线l的距离为d，且d＝5cm，∴5＜7，∴直线l与⊙O的位置关系是相交，故选：A．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意：已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交．3．【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝∠AOB，即可计算出∠ACB．【解答】解：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．4．【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．5．【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．6．【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．7．【分析】根据圆心角与弦的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．【解答】解：∵＝＝，∠BOC＝40°∴∠BOE＝3∠BOC＝120°∴∠AOE＝180﹣∠BOE＝60°故选：B．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系的掌握情况．8．【分析】本题有两种情况，一种情况是点C位于优弧AB上，此时根据圆周角定理可知∠ACB＝∠AOB＝30°，当点C位于劣弧AB上，此时∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝150°，即可得出∠ACB的度数．【解答】解：如图1，当点C位于弧AB上时，∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的角，∴∠AOB＝2∠ACB，∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°；如图2，当点C位于劣弧AB上，∠ACB＝（360°﹣∠AOB）＝150°．故选：D．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．9．【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．【解答】解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ，在△APQ与△CQN中，∴△APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN∵∠AQP+∠PAQ＝90°，∴∠AQP+∠CQN＝90°，∴∠AQC＝90°，即所对的圆心角的大小是90°，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．10．【分析】分别根据四个人的信息得到相应的关系式，依次假设不对时，其它三个条件是否同时成立；【解答】解：对称轴是直线x＝1时，b＝﹣2a①；3是一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根时，3a+b+1＝0 ②；函数的最大值为4时，b2＝﹣4a③；当x＝2时，y＝5时，2a+b﹣1＝0 ④；当甲不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足③，故不成立；当乙不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，不满足④，故不成立；当丙不对时，由②和④联立a＝﹣2，b＝5，不满足①，故不成立；当丁不对时，由①和③联立a＝﹣1，b＝2，成立；故选：D．【点评】本题考查一元二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的性质，假设分析结论是解题的关键．二、填空题（每题2分，共16分）11．【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，函数y＝﹣x2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位所得到的图象的函数关系式是：y＝﹣（x+3）2﹣2．故答案为：y＝﹣（x+3）2﹣2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．【分析】利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．【解答】解：当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．故答案为EF∥BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．13．【分析】设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可．【解答】解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．由题意，＝24π，解得r＝12或﹣12（舍弃），∵扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，∴＝2•π•R，∴R＝2，故答案为：2．【点评】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．【分析】根据切线长定理和切线的性质得PA＝PB，OA⊥PA，OP平分∠APB，则∠APO＝∠APB＝30°，△PAB为等边三角形，然后计算出PA，从而得到△PAB的周长．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA＝PB，OA⊥PA，OP平分∠APB，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝∠APB＝30°，△PAB为等边三角形，在Rt△OAP中，∵∠APO＝30°，∴PA＝OA＝，∴△PAB的周长＝3PA＝3．故答案为3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和等边三角形的判定与性质．15．【分析】将不等式ax2+bx＜mx+n的解集问题转化为直线与抛物线函数图象上点的特点求解即可．【解答】解：设y1＝ax2+bx，y2＝mx+n，则ax2+bx＜mx+n即为y1＜y2，∵直线与抛物线交点为结合函数图象可知A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2），∴x＜﹣3或x＞1，故答案为x＜﹣3或x＞1．【点评】本题考查二次函数与不等式；将所求不等式问题转为函数图象，利用函数图象上点的特点求解不等式是解题的关键．16．【分析】先根据AB＝CD．C是的中点，得到＝＝，再由圆周角定理得到∠A＝∠ACB＝∠COD ＝×（180°﹣50°×2）＝40°，最后根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．∴＝＝，∵∠ODC＝50°，∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．【点评】本题考查了圆的有关性质．解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．【分析】利用函数图象得到抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），根据抛物线与x轴的交点问题得到ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣3，x2＝1，则根据根与系数的关系得到＝2，然后求一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0的两根之和．【解答】解：∵抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣3，x2＝1，∴﹣3+1＝﹣，即＝2，∴一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0的两根之和＝﹣＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．18．【分析】根据正方形的性质得出另外两个顶点C、D的坐标，继而得出对角线的交点P的坐标，代入解析式求解可得．【解答】解：∵点A（﹣4，0）、B（﹣2，0），∴点C（﹣4，﹣2）、D（﹣2，﹣2），则对角线AC、BD交点P的坐标为（﹣3，﹣1），根据题意，将点P（﹣3，﹣1）代入解析式y＝2x2﹣nx﹣n2﹣1，得：18+3n﹣n2﹣1＝﹣1，整理，得：n2﹣3n﹣18＝0，解得：n＝﹣3或n＝6，故答案为：﹣3或6．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握正方形的性质找到符合条件的点P的坐标．三、解答题（19-25每题5分，26题7分，27、28每题6分，共54分）19．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据圆周角定理得到∠BPC＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC＝90°（直径所对的圆周角是直角），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．20．【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为x．∵直径AB⊥弦CD，∴，在Rt△OEC中，由勾股定理可得x2＝（x﹣2）2+42，解得x＝5，∴⊙O的半径为5．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出CE是解此题的关键．21．【分析】（1）由AD∥BC、AB⊥BC可得出∠A＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得出∠ADE＝∠BEC，进而即可证出△ADE∽△BEC；（2）根据相似三角形的性质即可求出BE的长度，结合AB＝AE+BE即可求出AB的长度．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°．∵∠DEC＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC．（2）解：∵△ADE∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝，∴AB＝AE+BE＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE∽△BEC；（2）利用相似三角形的性质求出BE的长度．22．【分析】（1）根据二次函数的根的判别式△＝b2﹣4ac的符号来判断方程的根的情况；（2）抛物线过原点，则m2﹣m＝0，即可求解．【解答】解：（1）由题意有△＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4（m2﹣m）＝1＞0．∴不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）抛物线过原点，则m2﹣m＝0，解得m＝0或1．【点评】本题考查了抛物线和x轴的交点、根与系数的关系等，熟练掌握根的判别式是解题的关键．23．【分析】（1）先把A点坐标代入mx2﹣2mx﹣3＝0求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，再解方程x2﹣2x﹣3＝0得B点坐标；（2）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），再求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；（3）先计算x＝﹣2时，y＝5，然后利用图象写出对应的y的范围．【解答】解：（1）把A（3，0）代入mx2﹣2mx﹣3＝0得9m﹣6m﹣3＝0，解得m＝1，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以B点坐标为（﹣1，0）；（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），如图，（3）当﹣2＜x＜3时，y的取值范围为﹣4≤y＜5．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．24．【分析】（1）利用切线的性质得出∠OCD＝∠OCB，再根据直角三角形两锐角互余，对顶角、等量代换可得答案；（2）利用勾股定理求出BE，再根据勾股定理列方程可求出半径；（3）根据勾股定理求出OC，OE，再根据相似三角形的性质求出EF．【解答】解：（1）∵CB，CD是⊙O的切线，∴CB＝CD，∠ODC＝∠OBC＝90°，又∵OB＝OD，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠OCD＝∠OCB，又∵EF⊥OG，∴∠EFO＝90°，∴∠OEF+∠EOF＝90°，∵∠BOC+∠BCO＝90°，∠EOF＝∠BOC，∴∠FEB＝∠ECF；（2）在Rt△BCE中，BE＝＝＝8，在Rt△OED中，设OD＝x，则OB＝x，OE＝8﹣x，DE＝EC﹣CD＝10﹣6＝4，由勾股定理得，DE2+OD2＝OE2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴OD＝3，即⊙O的半径为3；（3）由勾股定理得，OE＝＝＝5，OC＝＝＝3，∵∠FEO＝∠DCO，∠EFO＝∠CDO＝90°，∴△EOF∽△COD，∴＝，即：＝，∴EF＝2．【点评】本题考查切线的性质和判定，勾股定理、相似三角形等知识，知识的综合应用是本题的显著特点．25．【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解释式即可得m的值；（2）描点、连线即可得到函数的图象；（3）①根据函数图象得到函数y＝x2﹣2|x|+1的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而减少；②根据函数的图象即可得到b的取值范围是1＜b＜2．【解答】解：（1）当x＝﹣2时，m＝﹣（﹣2）2+2×|﹣2|+1＝﹣4+4+1＝1．（2）如图所示：（3）①答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称．②由函数图象知：∵关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝kx+b有4个互不相等的实数根，∴b的取值范围是1＜b＜2．故答案为：1；函数图象关于y轴对称；1＜b＜2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．26．【分析】（1）由题意得y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，即可求解；（2）设每件降价x元，则毎星期售出商品的利润w，则w＝（20﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，（3）比较（1）、（2）的最大利润即可求解．【解答】解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，∴每星期实际可卖出（300﹣10x）件，则y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000，而300﹣10x≥0且x≥0，解得0≤x≤30；∵函数的对称轴为x＝﹣＝5，当x＝5时，y的最大值为6250；故答案为：y＝﹣10x2+100x+6000，0≤x≤30，5，6250元；（2）设每件降价x元，则毎星期售出商品的利润w元，则w＝（20﹣x）（300+20x）＝﹣20x2+100x+6000，∵函数的对称轴为x＝2.5，∴当x＝2.5（元）时，则w＝6125（元）；（3）∵6250＞6125，故当x＝5元时，利润最大，即定价为65元时，利润最大．【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案27．【分析】（1）①先作出CD的垂直平分线，即可作出图形；②先判断出△ABC是直角三角形，即可得出，EF是⊙O的直径，再用平行线的性质和同弧所对的圆周角相等得出∠A＝∠CDF，进而得出∠CFD＝90°，得出判断出CD是直径即可；③利用圆中直径大于等于圆中任何一条弦即可得出CD是直径时，EF最小；（2）先得出CD⊥AB时，CD最小，即：EF最小，最后用面积公式即可求出．【解答】解：（1）①如图1，所示，②如图2，连结CD，FD，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴AC2+BC2＝AB2∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴EF是⊙O的直径，∵D是AB中点，∴DA＝DB＝DC＝5，∴∠B＝∠DCB，∵EF∥AB，∴∠A＝∠CEF，∵∠CDF＝∠CEF，∴∠A＝∠CDF，∵∠A+∠B＝90°，∴∠CDF+∠DCB＝90°，∴∠CFD＝90°，∴CD是⊙O的直径，∴EF＝CD＝5，③由AC2+BC2＝AB2可得∠ACB＝90°，所以，EF是⊙O的直径．由于CD是⊙O的弦，所以，有EF≥CD，所以，当CD是⊙O的直径时，EF最小，（2）如图3，由（1）③知，CD是⊙O的直径时，EF最小，即：最小值为CD 当点D在边AB上运动时，只有CD⊥AB时，CD最小，由（1）②知，△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝＝，故答案为：．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了基本作图，直角三角形的判定，圆的性质，三角形的面积公式，判断出CD是直径是EF最小，是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．28．【分析】（1）①根据反演点的定义求出OB′的长即可解决问题．②解法一：过点P'作P'E⊥x轴于点E，如图3中，求出OF、PF即可解决问题．解法二：过点A作AH⊥PP'于点H，如图4中，求出OF、PF即可解决问题．（2）①当点P是抛物线顶点（1，﹣4）时，作PE⊥x轴于E，过反演点P'作P′F⊥x轴于F．求出点P′的纵坐标即可．②当P点坐标为（4，5）时，求出反演点P'的纵坐标，即可解决问题．【解答】解：（1）如图2中，∵OA•OA′＝62，∴OA′＝6，∴A′（6，0），∵OB•OB′＝62，∴OB′＝2，∵∠AOB＝135°，易知B′（﹣，）．故答案为A'（6，0），B′（﹣，）．②解法一：过点P'作P'E⊥x轴于点E，如图3中，∵S△OAP′＝•OA•P′E＝6，∴P′E＝2，∵点P'在正比例函数y＝x位于第一象限内的图象上，∴y P′＝2，∴x P'＝2．∴OP'＝4，∠P'OE＝60°．∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴OP'•OP＝62．∴OP＝9．过点P作PF⊥x轴于点F．∴OF＝，PF＝，∴点P的坐标为P（，）．解法二：过点A作AH⊥PP'于点H，如图4中，∵点P'在正比例函数y＝位于第一象限内的图象上，∴设点P的坐标为（t，t），其中t＞0．∴tan∠POA＝＝，∴∠POA＝60°，在Rt△OHA中，AH＝OA•sin∠AOH＝3，∵S△OAP′＝•OP′•PAH＝6，∴OP'＝4．∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴OP'•OP＝62．∴OP＝9．过点P作PF⊥x轴于点F．在Rt△OFP中，t2+（t）2＝92，解得t＝或﹣（舍去），∴点P的坐标为P（，）．（2）如图5中，①当点P是抛物线顶点（1，﹣4）时，作PE⊥x轴于E，过反演点P'作P′F⊥x轴于F．∵OP＝，r＝，∴OP′＝＝，∵PE∥P′F，∴＝＝，∴P′F＝1，∴n＝﹣1，②当P点坐标为（4，5）时，同法可得反演点P'的纵坐标n＝，综上所述，﹣1≤n≤．【点评】本题考查二次函数综合题、圆、勾股定理，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考创新题目．。