高三导数定积分复习学案

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高三第一轮复习导学案34定积分与微积分基本定理教师版

第三章导数及其应用3.4 定积分与微积分基本定理（仅限理科）【考纲要求】1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.【考点预测】高考中对定积分的考查频率不是很高,主要是考查定积分的概念和几何性质,以及使用微积分基本定理计算定积分、使用定积分求曲边图形面积,并能解决一些简单的物理问题等.【使用说明与学法指导】1.复习教材选修2-2 p34——p37，理解和掌握定义，并完成《优化设计》p47知识梳理部分，夯实基础。

2.对探究部分认真审题并完成；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【双基自测】1.根据定积分的定义，dx x ⎰22=( )A. n n i ni 1121⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑= B. n n i ni n 1121lim ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=∞→C. n n i ni 2221⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑= D. n n i n i n 2221lim ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2.()=--⎰dx x 1211( )A.1B.4π C. 2πD. π 解析：函数()211--=x y 的图像是圆心为()0,1，半径为1的圆的上半部分.由定积分的几何意义知道，所求定积分为圆面积的41，也即是4π，故选B. 3．下列命题：①已知()f x 在[]a b ，上连续，且()0b af x dx >⎰，则()0f x >；②应用微积分基本定理有211(2)(1)dx F F x =-⎰，则()ln()F x x =-；③ππ22π02cos 2cos xdx xdx -=⎰⎰；④2π0sin 4x dx =⎰．其中正确的是（）Ａ．①②③④Ｂ．③④ Ｃ．②③④ Ｄ．②③答案：Ｂ 4．π20sin 2xdx =⎰ ．答案：π25 列车以72km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m/s a =-，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？思路分析：因列车停在车站时，速度为０，故应先求速度的表达式，之后令0v =，求出t ，再据v 和t 应用定积分计算出路程.解：已知列车的速度072km/h 20m/s v ==，列车制动时获得的加速度20.4m/s a =-．设列车由开始制动到经过t 秒后的速度为v ，则00200.4200.4ttv v adt dt t =+=-=-⎰⎰．令0v =得50t =（s ）．设列车由开始制动到停止时所走过的路程为S ，则有5050(200.4)500S vdt t dt ==-=⎰⎰（m ）．∴列车应在到站前50s ，离车站500m 处开始制动．评注：本题考查的是定积分在变速直线运动中的应用，两次使用定积分物理意义不同，应细心体会.【探究案】探究点一用定积分的定义计算定积分例1. 求定积分⎰13xdx 的值.解析：（1）分割：把区间[0，1]等分成n 个小区间[n i n i ,1-]（i=1，2，…，n ）.其长度为△x=n1，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，其面积记为△S i （i=1，2，…，n ）.（2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积， △S i =f （n i 1-）△x=3)1(312-=⋅-⋅i nn i n i ，（i=1，2，…，n ）.（3）求和：n n n ni nS ni n i i123)]1(21[3)1(32121-⋅=-+++=-=∆∑∑==Λ. （4）取极限：S=23123lim )1(3lim 12=-⋅=-∞→=∞→∑n n i nn ni n . ∴⎰103xdx 23=.点评：本题如果用微积分基本定理或定积分的几何意义来求，更为简单，在此仅仅为了说明用定积分的定义可以计算定积分.通常在用微积分基本定理或定积分的几何意义计算定积分比较困难时，再用定积分的定义计算定积分。

高三一轮复习导学案17 第03章第03节——导数的综合应用,定积分

§3.3导数的综合应用1.利用导数研究函数单调性的步骤(1)求导数f′(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)根据(2)的结果确定函数f(x)的单调区间.2.求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值.3.求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值与最小值(1)确定函数f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导；(2)求函数f(x)在开区间(a，b)内的极值；(3)求函数f(x)在[a，b]端点处的函数值f(a)，f(b)；(4)比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)的大小，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.4.生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：优化问题―→用函数表示数学问题↓优化问题答案用导数解决数学问题5.利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值；(3)在解决实际问题中的优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示出来，还应确定函数关系式中自变量的定义区间.[难点正本疑点清源]1.实际问题常要求解出最大值或最小值，即探求问题的最优解(最优化方法)，一元函数问题的最值可用求导数的方法解决，而且在求导后，导数为零处常常只有一个(即方程f ′(x )＝0在定义域内只有唯一解)，这个解通常就是最值点.但在解答过程中，还需对这一点的左、右函数的单调性加以验证.2.实际问题中，建模时使用的自变量不一定是求导的最“优”变量，灵活地运用换元的方法是优化解答过程的有效手段.3.求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围转化为研究新函数的值域问题.4.判断方程根的个数时，可以利用数形结合思想及函数的单调性.1.函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是__________.2.如图，水波的半径以50 cm/s 的速度向外扩张，当半径为250 cm 时，水波面的圆面积的膨胀率是__________ __ cm 2/s.3.若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________.4.(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件5.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为f (x )的导函数，函数 y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A.(－3，－2)∪(2,3)B.(－2，2)C.(2,3)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)题型一利用导数研究函数的零点或方程根的方法例1 已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.探究提高 (1)对于该问题的求解，一般利用研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象的交点情况，建立含参数的方程组(或不等式)求之，实现形与数的和谐统一.(2)本题常见的错误是不能把函数的极值与图象交点联系起来，缺乏转化与化归、数形结合的意识.已知函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a .(1)对∀x ↔R ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若函数f (x )有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围. 题型二利用函数研究恒成立及参数求解问题例2 已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值；(3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围.探究提高 (1)求函数的单调区间，直接求导，然后解不等式即可，注意函数的定义域.(2)参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的运用.设f (x )＝ax＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)如果存在x 1，x 2↔[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3)如果对任意的s ，t ↔⎣⎡⎦⎤12，2都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围. 题型三利用导数研究生活中的优化问题例3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5 (0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.2.二审结论会转换试题：(12分)已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方. 审题路线图求f (x )的极值↓(从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域) 求f ′(x )＝0的解，即f (x )的极值点 ↓(转化为求函数值)将极值点代入f (x )求对应的极大、极小值 ↓(转化为研究单调性) 求f (x )在[1，e]上的单调性 ↓(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值 ↓(构造函数进行转化) F (x )＝f (x )－g (x )↓(将图象的上、下关系转化为数量关系) 求证F (x )<0在(1，＋∞)上恒成立. ↓研究函数F (x )在(1，＋∞)上的单调性. 规范解答(1)解由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，[1分]令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)， [2分] 当x ↔(0,1)时，函数f (x )单调递减，[3分]当x ↔(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增，[4分]所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.[5分] (2)解当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数， [6分] ∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.[7分](3)证明设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x ，[9分]当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，∴在区间(1，＋∞)上，F (x )<0恒成立.即F (x )<g (x )恒成立.[11分]因此，当a ＝1时，在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )图象的下方.[12分]点评 (1)导数法是求解函数单调性、极值、最值、参数等问题的有效方法，应用导数求单调区间关键是求解不等式的解集；最值问题关键在于比较极值与端点函数值的大小；参数问题涉及的有最值恒成立的问题、单调性的逆向应用等，求解时注意分类讨论思想的应用.(2)对于一些复杂问题，要善于将问题转化，转化成能用熟知的导数研究问题.方法与技巧1.极值与最值的区别与联系.区别：极值是局部概念，只对某个领域有效，最值是全局概念，对整个定义域都有效.联系：最值一般是极值点、不可导点和端点函数值(可取到的话)中的最大值或最小值.最值不一定是极值，极值也不一定是最值.2.利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较. 失误与防范1.注意极大值未必大于极小值，极值仅仅体现在x 0处附近函数值的变化情况.2.要充分理解列表在研究函数极值过程中的重要性，以及列表的操作步骤与算法思想，能利用导数研究函数的极值与最值.§3.3 导数的综合应用(时间：60分钟) A 组专项基础训练题组一、选择题1.曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( )A.94e 2B.2e 2C.e 2D.e 222.已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( )A.m >－2 2B.m ≥－2 2C.m <2 2D.m ≤2 23.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的年关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 x >400，则总利润最大时，每年生产的产品是( ) A.100B.150C.200D.300 二、填空题4.设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1，3]，则点P 纵坐标的取值范围是________.5.若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则实数m 的取值范围为_____.6.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ↔[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________. 三、解答题7.设函数f (x )＝ax 3－3x 2 (a ↔R )，且x ＝2是y ＝f (x )的极值点. (1)求实数a 的值，并求函数的单调区间； (2)求函数g (x )＝e x ·f (x )的单调区间.8.已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝ln x －ax ＋1 (a ↔R ). (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数y ＝f (x )在R 上恰有5个零点，求实数a 的取值范围.B 组专项能力提升题组一、选择题1.函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤12，12e π2 B.⎝⎛⎭⎫12，12e π2 C.[1，e π2]D.(1，e π2)2.若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( )A.33B.3C.3＋1D.3－13.已知对任意x ↔R ，恒有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时有( )A.f ′(x )>0，g ′(x )>0B.f ′(x )>0，g ′(x )<0C.f ′(x )<0，g ′(x )>0D.f ′(x )<0，g ′(x )<0 二、填空题4.已知函数f (x )＝1－x ax ＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则正实数a 的取值范围为________.5.已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________.6.已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ↔(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是_______.三、解答题7.已知x ＝1是函数f (x )＝mx 3－3(m ＋1)x 2＋nx ＋1的一个极值点，其中m 、n ↔R ，m <0. (1)求m 与n 的关系表达式； (2)求f (x )的单调区间；(3)当x ↔[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.答案基础自测1.(－∞，0)2.25 000π3.[－1,1]4.C5.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ↔R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞). 当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a .由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a ).(2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知：实数m 的取值范围是(－3,1). 变式训练1 (1)－34 (2)a >52或a <2例2 解 (1)由题意f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2.∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax2.①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，∴a ＝－32(舍去).②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去).③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ，当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数；当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，∴a ＝－ e. 综上所述，a ＝－ e. (3)∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >0，∴a >x ln x －x 3. 令g (x )＝x ln x －x 3， h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x .∵x ↔(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数. ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数. g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立. 变式训练2 (1)x ＋y －3＝0 (2)满足条件的最大整数M 为4 (3)a ≥1例3 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5. 再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.又建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10). (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6. 解得x ＝5，x ＝－253(舍去).当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 变式训练3 (1)2(2)当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大课时规范训练 A 组1.D2.B3.D4.⎣⎡⎦⎤34，35.(－1,0]6.－137.解 (1)f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点，所以f ′(2)＝0，即6(2a －2)＝0，因此a ＝1.经验证，当a ＝1时，x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点. 所以f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2).所以y ＝f (x )的单调增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)；单调减区间是(0,2). (2)g (x )＝e x (x 3－3x 2)， g ′(x )＝e x (x 3－3x 2＋3x 2－6x ) ＝e x (x 3－6x )＝x (x ＋6)(x －6)e x ，因为e x >0，所以y ＝g (x )的单调增区间是(－6，0)，(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)，(0，6). 8.解 (1)设x <0，则－x >0， ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x )－ax －1，当x ＝0时，f (x )＝0， ∴函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －ax ＋1 (x >0)，0 (x ＝0)，－ln (－x )－ax －1 (x <0).(2)∵函数f (x )是奇函数，∴函数y ＝f (x )的零点关于原点对称，由f (x )＝0恰有5个不同的实数根知5个实数根中有两个正根、两个负根、一个零根，且两个正根和两个负根互为相反数.∴要使方程f (x )＝0恰有5个不同的实数根，只要使方程f (x )＝0在(0，＋∞)上恰有两个不同的实数根. 下面研究x >0时的情况： ∵f ′(x )＝1x－a ，∴当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数， ∴方程f (x )＝0在(0，＋∞)上不可能有两个不同的实数根. ∴当a >0时，f ′(x )＝－a ⎝⎛⎭⎫x －1a x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a.当0<x <1a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x >1a 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，∴函数f (x )在x ＝1a处取得极大值－ln a .又根据函数单调性可判断f (x )在趋近于0处及＋∞时，f (x )<0.∴要使方程f (x )＝0在(0，＋∞)上恰有两个不同的实数根，只要－ln a >0，解得0<a <1，故a 的取值范围是(0,1). B 组1.A2.D3.B4.[1，＋∞)5.[－2，－1]6.[4，＋∞)7.解 (1)f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋n . 因为x ＝1是f (x )的一个极值点，所以f ′(1)＝0，即3m －6(m ＋1)＋n ＝0，所以n ＝3m ＋6.(2)由(1)知，f ′(x )＝3mx 2－6(m ＋1)x ＋3m ＋6＝3m (x －1)⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫1＋2m . 当m <0时，有1>1＋2m，当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化如下表：由上表知，当m <0时，f (x )在⎝⎭⎫－∞，1＋2m ，(1，＋∞)上单调递减，在⎝⎭⎫1＋2m ，1上单调递增.(3)由已知，得f ′(x )>3m ，即mx 2－2(m ＋1)x ＋2>0. ∵m <0，∴x 2－2m (m ＋1)x ＋2m <0，即x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1m x ＋2m<0，x ↔[－1,1].① 设g (x )＝x 2－2⎝⎛⎭⎫1＋1m x ＋2m ，其函数图象开口向上. 由题意①式恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)<0，g (1)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＋2m ＋2m <0，－1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4m <－3，－1<0⇒m >－43.又m <0，∴－43<m <0.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－43，0.§3.4定积分1.用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为__________、____________、________、________.2.定积分的定义如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式______________.当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作____________，即ʃb a f(x)d x＝______________，其中f(x)称为________________，x称为________________，f(x)d x称为__________，[a，b]为________________，a为____________，b为______________，“ʃ”称为积分号.3.ʃb a f(x)d x的实质(1)当f(x)在区间[a，b]上大于0时，ʃb a f(x)d x表示______________________________，这也是定积分的几何意义.(2)当f(x)在区间[a，b]上小于0时，ʃb a f(x)d x表示________________________________.(3)当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，ʃb a f(x)d x表示介于x＝a，x＝b (a≠b)之间x轴上、下相应的曲边梯形的面积的代数和.4.定积分的运算性质(1)ʃb a kf(x)d x＝____________ (k为常数).(2)ʃb a[f(x)±g(x)]d x＝______________________.(3)ʃb a f(x)d x＝__________________________.5.微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a).这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式.可以把F(b)－F(a)记为F(x)|b a.即ʃb a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a).6.利用牛顿——莱布尼茨公式求定积分的关键是____________________，可将基本初等函数的导数公式逆向使用.7.定积分的简单应用(1)求曲边梯形的面积(2)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t ) (v (t )≥0)在时间区间[a ，b ]上的定积分，即s ＝__________________. (3)变力作功公式一物体在变力F (x )(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b (a <b )(单位：m)，则力F 所作的功为W ＝______________. [难点正本疑点清源] 1.定积分与曲边梯形的面积定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来定：设阴影部分面积为S .(1)S ＝ʃb a f (x )d x ；(2)S ＝－ʃba f (x )d x ； (3)S ＝ʃc a f (x )d x －ʃbc f (x )d x ；(4)S ＝ʃb a f (x )d x －ʃb a g (x )d x ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x .2.利用微积分基本定理求定积分的关键是找原函数利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼茨公式)求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找被积函数f (x )的原函数F (x )，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法则从反方向上求出F (x ).1.直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________.2.求由y ＝e x ，x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为________.3.ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.4.由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为____.5.设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( ) A.56B.12C.23D.16题型一利用微积分基本定理求定积分例1 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ；(3)ʃ20x (x ＋1)d x ；(4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ；(5)ʃπ20sin 2x 2d x . 探究提高计算一些简单的定积分，解题的步骤是：①把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；②把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；③分别用求导公式找到一个相应的原函数；④利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算原始定积分的值.求下列定积分：(1)ʃ20(4x 3＋3x 2－x )d x ；(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (3)ʃ0－π(cos x ＋e x )d x ；(4)ʃ20|1－x |d x .题型二求曲边梯形的面积例2 如图所示，求由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成的图形的面积. 探究提高对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间.(2012·菏泽调研)求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积.题型三定积分在物理方面的应用例3一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12 s ～6 s 间的运动路程为__________.探究提高定积分在物理方面的应用主要包括：①求变速直线运动的路程；②求变力所做的功.某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2(0≤t ≤10)，4t ＋60 (10<t ≤20)，140 (20<t ≤60).某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？7.利用函数思想研究定积分中的问题试题：(12分)在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值.审题视角 (1)题目要求是求S 1与S 2之和最小，所以要先构造S ＝S 1＋S 2的函数，利用函数思想求解.(2)S 1、S 2的面积只能通过定积分求解.所以要选准积分变量. 规范解答解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.[2分]S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.[4分]所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).[6分]令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0时，得t ＝0或t ＝12.[8分] t ＝0时，S ＝13；t ＝12时，S ＝14；t ＝1时，S ＝23.[10分] 所以当t ＝12时，S 最小，且最小值为14.[12分]批阅笔记 (1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识.(2)本题易错点有：一是缺乏函数的意识；二是不能正确选择被积区间.方法与技巧 1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强.(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a ).(3)利用定积分的几何意义求定积分当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分.如：定积分ʃ101－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以ʃ101－x 2d x ＝π4. 2.求曲边多边形的面积其步骤为：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和. (4)计算定积分. 失误与防范1.被积函数若含有绝对值号，应去绝对值号，再分段积分.2.若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3.定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限.4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷.§3.4 定积分(时间：60分钟) A 组专项基础训练题组一、选择题 1.π2π2-⎰(sin x ＋cos x )d x 的值是( )A.0B.π4C.2D.42.已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求π2π2-⎰f (x )d x 的值，结果是 ( )A.16＋π2 B.π C.1D.03.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ↔[0，1]，2－x ， x ↔(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D.不存在二、填空题4.汽车以v ＝3t ＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是_____________ m.5.曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形的面积为___________.6.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为___________.三、解答题7.一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(单位：m/s)运动.求： (1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程.8.曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝⎛⎭⎫12，0，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.B 组专项能力提升题组一、选择题1.(2011·福建)ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( )A.1B.e －1C.eD.e ＋12.(2011·课标全国)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为 ( ) A.103 B.4 C.163D.6 3.图中阴影部分的面积是( )A.16B.18C.20D.22二、填空题4.(2010·陕西)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为___________.5.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ↔R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为___________.6.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是___________.7.由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为__________.三、解答题8.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，ʃ10f (x )d x ＝－2， (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值.答案要点梳理1.分割近似代替求和取极限2.∑ni ＝1f (ξi )Δx ʃb a f (x )d x lim n →∞∑ni ＝1 b －a nf (ξi ) 被积函数积分变量被积式积分区间积分下限积分上限3.(1)由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积 (2)由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数4.(1)k ʃb a f (x )d x (2)ʃb a f (x )d x ±ʃb a g (x )d x (3)ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (a <c <b )6.求被积函数的原函数7.(2)ʃb a v (t )d t (3)ʃb a F (x )d x基础自测1.832.[0,2]3.124.π20⎰cos x d x －3π2π2⎰cos x d x ＋2π3π2⎰cos x d x5.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x＝ʃ21x 2d x ＋ʃ212x d x ＋ʃ211d x＝x 33|21＋x 2|21＋x |21＝193. (2)ʃπ0(sin x －cos x )d x＝ʃπ0sin x d x －ʃπ0cos x d x＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)ʃ20x (x ＋1)d x ＝ʃ20(x 2＋x )d x＝ʃ20x 2d x ＋ʃ20x d x ＝13x 3|20＋12x 2|20＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143. (4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝ʃ21e 2x d x ＋ʃ211xd x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2.(5)π20⎰sin 2x 2d x ＝π20⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝π20⎰12d x －12π20⎰cos x d x＝12x |π20－12sin x |π20＝π4－12＝π－24. 变式训练1 解 (1)ʃ20(4x 3＋3x 2－x )d x＝ʃ20(4x 3)d x ＋ʃ20(3x 2)d x －ʃ20x d x＝x 4|20＋x 3|20－12x 2|20＝(24－0)＋(23－0)－12(22－0) ＝16＋8－2＝22.(2)ʃ21⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝ʃ21x d x －ʃ21x 2d x ＋ʃ211x d x ＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21 ＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (3)ʃ0－π(cos x ＋e x )d x＝ʃ0－πcos x d x ＋ʃ0－πe x d x＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1e π. (4)ʃ20|1－x |d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＋⎝⎛⎭⎫12x 2－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. 例2 解由题意，知抛物线y ＝－x 2＋4x －3在点A 处的切线斜率是k 1＝y ′|x ＝0＝4，在点B 处的切线斜率是k 2＝y ′|x ＝3＝－2.因此，抛物线过点A 的切线方程为y ＝4x －3，过点B 的切线方程为y ＝－2x ＋6.设两切线相交于点M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6 消去y ，得x ＝32，即点M 的横坐标为32. 在区间⎣⎡⎦⎤0，32上，曲线y ＝4x －3在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方；在区间⎣⎡⎦⎤32，3上，曲线y ＝－2x ＋6在曲线y ＝－x 2＋4x －3的上方.因此，所求的图形的面积是：S ＝320⎰[(4x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋332⎰[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x ＝320⎰x 2d x ＋332⎰(x 2－6x ＋9)d x＝98＋98＝94. 变式训练2 解由⎩⎨⎧ y ＝x y ＝2－x 得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x y ＝－13x 得交点B (3，－1).故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2|10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2|31 ＝23＋16＋43＝136. 例3 494m 变式训练3 解由变速直线运动的路程公式，可得s ＝ʃ100t 2d t ＋ʃ2010(4t ＋60)d t ＋ʃ6020140d t＝13t 3|100＋(2t 2＋60t )|2010＋140t |6020 ＝7 133 13(m)<7 673 (m). ∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一. 课时规范训练A 组1.C2.B3.C4.6.55.32－ln 26.337.解 (1)在时刻t ＝4时该点的位置为ʃ40(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t |40＝43(m)，即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43m. (2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0，在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为S ＝ʃ10(t 2－4t ＋3)d t ＋|ʃ31(t 2－4t ＋3)d t |＋ʃ43(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t |10＋|⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t |31|＋⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t |43＝43＋43＋43＝4 (m) 即质点在4 s 内运动的路程为4 m.8.解设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′＝6x 2－6x －2，则y ′|x ＝x 0＝6x 20－6x 0－2，切线方程为y ＝(6x 20－6x 0－2)⎝⎛⎭⎫x －12，则y 0＝(6x 20－6x 0－2)⎝⎛⎭⎫x 0－12，即2x 30－3x 20－2x 0＋1＝(6x 20－6x 0－2)⎝⎛⎭⎫x 0－12，整理得x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0，解得x 0＝0，则切线方程为y ＝－2x ＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋1y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32y ＝－2，由y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1与y＝－2x ＋1的图象可知S ＝320⎰[(－2x ＋1)－(2x 3－3x 2－2x ＋1)]d x ＝320⎰(－2x 3＋3x 2)d x ＝2732. B 组1.C2.C3.B4.135.－16.437. 3 8.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2－a b ＝0， ∴f (x )＝ax 2＋2－a .又ʃ10f (x )d x ＝ʃ10[ax 2＋2－a ]d x＝⎣⎡⎦⎤13ax 3＋(2－a )x |10＝2－23a ＝－2， ∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ↔[－1,1]. ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.。

高三定积分学案

一元二次不等式及其解法高考要求：1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．3．高考中多考查利用定积分求不规则图形面积、变力做功、变速运动的位移等，常与几何概型结合在一起来考查．知识再现：1、定积分⎰ba dx x f )(的大小（）A 、与)(x f 和积分区间[]b a ,有关，与i ξ的取法无关B 、与)(x f 有关，与区间[]b a ,及i ξ的取法无关C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]b a ,无关D 、与)(x f 、区间[]b a ,和i ξ的取法都有关 2. dx x e x )210+⎰（等于( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋13.由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )．A.12 B ．1 C.32 D.3 4.设f (x )＝⎰20sin πtdt ，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值等于( )．A ．－1B ．1C ．－cos 1D ．1－cos 15.曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14典型例题例1 （1）dx x x )102-⎰（例2．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，1f(x)d x＝－2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．例3.求由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积.巩固练习1.函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积(） A.32 B ．1 C ．2 D.122．若S 1＝dx x ⎰212，S 2＝dx ⎰21x1，S 3＝dx e x ⎰21，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 13.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为______．4.如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.4π5.2ln 3)12(1+=+⎰dx xx a ，且1>a ，则a 的值为（）. A ．6 B ．4 C ．3 D ．26.函数F (x )＝⎰xt (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 7．定积分dx x ⎰32-9的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π8.__________22-4-=+⎰dx x9.设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a ，则a ＝________.10.如图所示，过点A (6,4)作曲线f (x )＝4x －8的切线l .(1)求切线l 的方程；(2)求切线l ，x 轴及曲线f (x )＝4x －8所围成的封闭图形的面积S .。

高考数学总复习定积分学案

高考数学总复习定积分学案定积分学案一、复习目标：1、了解定积分的实际背景，基本思想，了解微积分基本定理的含义，会计算简单的微积分；2、能利用定积分求曲边梯形的面积；二、定向导学互动展示自研自探环节合作探究环节展示提升环节质疑提升环节自学指导（内容学法时间）互动策略展示方案（内容方式时间）【考点1】曲边梯形的面积的求法学法指导：认真自研选修2-2第38至47页，分析课本中如何求曲边梯形的面积，解决以下问题：1、用化归法计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为有哪些。

（建议自已推导下）2、通过解决问题1，定积分的定义(作图给予合理的说明)如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点将区间［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i=1,2,…,n)，作和式、当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］上的定积分,记作 , 即 = ,其中f(x)称为 ,x称为 ,f(x)dx称为，［a,b］为，a 为，b为，“”称为积分号、3、回顾定积分有哪些性质。

自我巩固：利用定积分定义，计算的值（步骤准确）（2）（1）①两人对子间相互批改自学指导内容，并用红笔予以等级评定，针对批改中存在的疑惑对子间相互交流，进行初步解决：②六人共同体先解决对子间存在的疑惑，并结合议题中的具体问题探讨疑难，重点交流议题一：“交流如何求曲边梯形的面积”；议题二：“重点交流如何运用微积分基本定理解决问题”；议题三：“探讨交流在应用定积分解决问题应注意什么”③针对本组抽到的展示任务在组长的主持下进行展示任务分工，做好展示前的准备。

【议题1】（方案提示：①分析下列问题，回顾运用知识点，②先展示本组在解决题目是时遇到的困惑，在展示你们是如何解决困惑的；③归纳解决此类问题的方法及其注意点）1、利用定积分的含义，求下列的值2、试用定积分的几何意义说明的大小3、计算下列定积分，并从几何上解释这些值分别表示什么。

高中数学导数复习课教案

高中数学导数复习课教案主题：导数复习目标：通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生复习巩固导数的相关知识，提高他们的求导能力。

时间：1课时教学步骤：一、复习导数的基本概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点处的变化率，即函数的斜率。

2. 导数的符号表示：记为f'(x)，读作f prime of x。

3. 导数的几何意义：导数表示函数图像在某一点处的切线斜率。

二、求导法则的复习1. 常数函数的导数：f'(x) = 02. 幂函数的导数：f'(x) = nx^(n-1) （n为常数）3. 指数函数的导数：f'(x) = a^x * ln(a)4. 对数函数的导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))5. 三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)，cos'(x) = -sin(x)，tan'(x) = sec^2(x)三、求导实例练习1. 求函数f(x) = x^2 + 2x的导数2. 求函数g(x) = e^x * sin(x)的导数3. 求函数h(x) = ln(x)的导数四、求导技巧和综合练习1. 复合函数的求导法则2. 链式法则的应用3. 综合练习：求函数i(x) = (x^2 + 1) * e^x的导数五、作业布置1. 完成课堂练习题目2. 预习下节课内容，复习导数的基本概念和求导法则教学反思：本节课通过复习导数的基本概念和求导法则，帮助学生加深对导数的理解，提高他们的求导能力。

同时，通过实例练习和综合练习，巩固学生的求导技巧和应用能力。

在后续的教学中，需要加强对导数在实际问题中的应用，引导学生将导数与现实生活相结合，提升他们的数学建模能力。

高中数学高三一轮复习教案：导数概念及其运算、定积分

导数概念及其运算、定积分教学目标知识与技能：1.了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．过程与方法：能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．情感与价值观：主要通过导数的运算及导数的几何意义考查逻辑推理和数学运算能力.第一课时【课题】导数概念及其运算、定积分【授课时间】年月日班级：【教学重点】了解导数概念的实际背景【教学难点】能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数【课型】复习课【教学用具】班班通【教学方法】引导法，练习法，探究法【教学过程】初次备课二次备课二、预习检测：1．什么是导数？三、新课引入：1．函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数．记作f′(x)或y′.2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin xf ′(x )＝cos_x f (x )＝cos xf ′(x )＝－sin_x f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x(a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a 3.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．定积分(1)定积分的概念在⎠⎛a bf (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a b f (x )d x (k 为常数)； ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a bf 2(x )d x ；③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )．1．若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝________.答案：2e2．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________．答案：2x －y ＋1＝01．(2020·珠海调考)下列求导运算正确的是( )。

高中导数、定积分的复习讲义(含答案)

一、知识点梳理1.导数：当x ∆趋近于零时，xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2.导数的四则运算法则：1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（(3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a xx ln )(='例题：对下面几个函数求导（1）、12832++=x x y（2）xxa x x e x f -+=ln 5)((3)22ln 3)(x xe xf x +=3.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

导数、定积分精品学案

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第38讲导数、定积分一．课标要求：1．导数及其应用（1）导数概念及其几何意义① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

（2）导数的运算① 能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数；② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b））的导数；③ 会使用导数公式表。

（3）导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

（5）定积分与微积分基本定理① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。

（6）数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。

二．命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。

在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2013年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）2013年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。

导数与定积分

全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）导数与定积分本章知识结构图第一节导数的概念与运算考纲解读1、了解导数概念的实际背景.2、能理解导数的几何意义.3、能根据导数的定义，求函数y=c （c为常数），y = X, y = X2, y =x3, y =丄,y = T X 的导数.x4、能利用常见基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限形如f（ax + b ）的复合函数）的导数.命题趋势探究预测今年高考依然以考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线斜率为主，可能出选择题、填空题，也可能在解答题中出现，较容易.o图3-1Xo知识点精讲一、基本概念 1、导数的概念设函数y = f (x 在x = xo 附近有定义，如果心X T o 时，心y 与心x 的比型(也叫函数的平均变化率)有极限，即空无限趋近于某个常数，ZA x我们把这个极限值做函数y =f (x ) 在x=x o 处的导数，记作f '(x o )或y [x 仝.即 …也y ・■f (Xo +A x )— f (Xo ) ■■ f (x )—f (Xo )f(x oT im 瓦x —xo2、导数的几何意义函数y = f (x 在x o 处的导数f '(x0)，表示曲线y=f(x )在点P (x o ,f (xo )) 处的切线PT 的斜率，即tana = f'(x0 )，其中a 为切线的倾斜角，如图 3— 1所示，过点P 的切线方程为y-y o =「(x o )(x -x o )同样，可以定义曲线y = f (X 在X =X o 的法线为过点P (x o , f (xo )与曲线y = f (x )在x= x o 的切线垂直的直线.过点P 的法线方程为y-y o =1亦x-x 叫)“)理意义:车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离S = S (t)在t o ~t i 时刻，车接近时，该平均速度近似于t o 时刻的瞬时速度.若令t i ~t o ，则可以认lim St^St o［即s(to )就是t o 时刻的瞬时速度.t<tot1— o二、基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式如表 3—13、导数的物走了 S(t i )-S(t o ,这一段时间里车的平均速度为殂止如,当t i 与t o 很t i -t o全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）表3 —1注：(cf (x )) =cf '(x l c 亡 R. 四、复合函数的导数有关系y x 二y u u x ,该关系用语言表述就是“ y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是先把g(x )当作一个整体，把y=flg(x)］对g (x )求导，再把g (x )对x 求导，这两者的乘积就是复合函数y= 4(x )1对x 的导数，即(f l g (x 卩)=「g (x )]&(x ).题型归纳及思路提示题型39导数的定义注：(低)1斗2jx (x 丿， 1 (in X ) =— • x三、导数的运算法则(和、差、积、商) 设u =u(x)v=v(x )均可导，贝y (1) (u ±v )(ku ) = ku '(k 亡 R )(3) (uv ) = u V + uv ；(4)f u 、 u v -uv\ 二c 、匕厂复合函数y = fg(x)I 的导数与函数 y = f(u )u = g(x )的导数之间具相同，然后根据导数定义直接写出. 例3.1设f \x0存在，求下列各极限 (1)f (Xo +3"f (Xo ).4导数的定义中，增量A x 的形式是多样的，但不论从选择哪种形式，A y 必须选择相应的形式.利用函数f(X 在点X o 处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式. O) ■■ f (x o +3A x )—f (xo )f (x o 中 3 也 X )—f (xo )3 3f 丫、，I⑴ to —仏—— --------------------------------- 3=3f (Xo)..f (Xo —h )— f (Xo )f (xo — h )— f (Xo )—、…、|im —h —Fm -------------------- (-i A-f (xo)… kf (x )—f (Xo ) ■■ f (Xo +h )—f (Xo ) ■■ f (Xo )—f (xo — h )奉fg Ai x m x-xoFm h =也等.侬+23俶)=1,则 f ・(xo )=()A 、思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构解析-h评注「(xo mj m f gM x A f g )的几种等价形式:变式2设f (x )在X o 处可导，则f (X o +心X )— f (X o -3心x )_ ( 、to A x =()A 、2 f '(x 0 )B 、f '(x 0)C 、3f '(Xo )D 、4f '(Xo )全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）题型40求函数的导数思路提示：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题例3.2求下列函数的导数.y =V7;(4) y = 10X; (5) y = log 2X ；变式1求下列函数的导数.例3.3求下列函数的导数按照导数的运算法则计算即可，注意常用导数公式的正确使(1)y=x 5；⑵⑴解析 (1) y ，=5x 5-* =5x 4;(2)Z 3 > rLC 2 "(3) y '= X 53 -5 3--X （、55Vx 2(5) y =- 1 ; (6)p y =xln评注对于基本初等函数（指数函数、y ，=(X 鼻)=Yx 丄」=Vx"5 =——对数函数、幕函数、三角函数），这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式 .根式一般化成分数指数幕求n丫 12(1) y =V X; ( 2) y =—(3) y = log 3X ； (4) y = cos X.(3) y=log 3X ；(4) y =cosx . (1)43X 2丹 X；（ 2）^ln ^；（小©*1）…4）y = ^分析可以直接根据导数公式求解其导数, y =10Xl n10;(6) y =sin .(sin X ) = cosx.2全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）⑵ 八右“十财迸卜珂—卜1—y = 0 +1) e x] =(2x +i y e x+(2x +1) ■(e xy = 2e x+(2x + 1) e^ (2x + 3) ^e x；(cosx) ‘ e X -cosx (e X )’ -sinx^X —cosx e X sin x + cosx/ X\ 2(e )步，熟练以后可适当简化运算过程例3.4求下列函数的导数.分析设出中间变量，按照复合函数求导法则进行解析（1）设u=3x+2，则y = e u，由复合函数求导法则，有y' = (e u)'(3x+2)'=3e u，再把 u =3x+2代入得 /=3e3x^(2)设 u，则 y =log 2u ，所以 y = (log 2 u ) (2x+ 1)=「^，再把u l n 2u=2x+l 代入，可得y =(2x+l)ln 2「X 4) f x 3) f x 2)解析（八丁⑺+㈢⑷r 3 2+ (x )=x + X -x +/ X\ 2(e )评注利用导数的运算法则求导数时,要根据法则逐步进行, 不要跳变式 1求下列函数的导数.y=x 4-丄；（2）y=xl nx ；（ 3）xy=e X sinx ； (5) y=sin2x ； (6)Xr ；2x-3 y = x +1变式 2求下列函数的导数.(1) y =xX 2+]+AI ( 2) y = x 2cosx ； I X X 丿（3）厂沁；（4）（1）y=e 3x七；（2） y=log 2（2x+1）；（3）y =sin 〔2x +工 \ ；(4)1yPU =2x +工3y=(f兀、)u=2 i x +二(2 c o sI 3/评注设U =1—X，则y J，所以y・=u1](1-X)・=--12%(-1)=A=^1^l u 丿U U (1 — X) 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数y = f (ax + b)型的求导.这里设中间变量u=ax+b，按照复合函数求导法贝y.y' = f '(ax +b)>q ax +b)' = af (ax +b)，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.变式1求下列函数的导数.(1) y=l n(2x +1) ; ( 2) y=si n f2x--〕I 4丿(3) y=22x十+1 n(3x+5); (4) y = (x2+2x-"e2」.题型41导数的几何意义思路提示函数y=f(x)在点x o处的导数，就是曲线y= f(x)在点P(x o,f(x o))处的切线的斜率•这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.(1)已知f(x)在点(X0,f(X0))处的切线方程为y-y o = f (X0)(x-X o).(2)若求曲线y = f(x)过点(a,b)的切线方程，应先设切点坐标为(x o, f (x o))，由y-y o=f x( o x x J过点(a, b)，求得x o的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上例3.5设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为〔0,-],则点P横坐标的取值范围为([4」A •卜1，£B.[—1,0] C.〔0,1] D. U,』[2」分析根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线C在P处切线的斜率的范围是0,1],根据导数的几何意义，只要函数y = x2+2x + 3的导数在这个范围即可.解析厂=2x+2，由于曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为〔0二I所以其切线的斜率的范围为[0,1],根据导数的几何意义，得L 4」1 0<2x+2<1，即一1<x<--.故选 A.评注函数y = f(x)在某点处的导数、曲线y = f(x)在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.变式1设f(x)是偶函数，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率为1 , 则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为例3.6 (1)曲线y=x在点(1,1)处的切线方程为；过点(1,1) 的切线方程为(2)过点(-1,1)的直线I与曲线y = x3-x2-2x + 1 相切，且(-1,1)不是切点，则直线I的斜率是(A. 2B. 1C. —1分析若求曲线在点(X0,f(X0))处的切线方程，则点(X0,f(X0))为切点;若求曲线过点(X0,f(X0))处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入(X0,f(X0))，求其切点坐标.解析 (1)曲线y=x3在点(1,1)处的切线的斜率为y2=3，切线方程为y_1=3(x_1)，即3x_y_2=0.设过点(1, 1)的切线的切点坐标为(X o'X；),则切线方程为y_x0 ^^(x — X o),代入点(1,1)得,1 —X； =3玮(1一％0)，即(1-X o)(1 +Xo+ x：)-13x o(1—X o)，得"-1)2(2x o+1) =o，解得X o=1 或x^--，所以切线方程为y -1 =3(x-1)或y -(-1) =?(x +1)，即3x -y -2 = o 或3x-4y +1 = o .8 4 2(2)依题意，设切点坐标为，则切线方程为y-(X -x O -2x o +1)= (3x o -2x o -2)(x —X o) 代入点(- 11 - X o ( -X o -2X o +1 X，(即0 ~3X o +1) (-X o 光1) =~02, 得) X o 丰-1或)X o =1，又X o工-1，所以X o =1，直线I的斜率为y'h4 = -1，故选C. 变式1 (优质试题安徽理19)设函数f (x)=ae X +丄+ b(a>0)，设曲ae线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为"手，求a,b的值.变式2 (优质试题北京理18)已知函数f(X)=ax2+1(aA0)，g(x) =x3+bx，若曲线y = f(x)与曲线y = g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值.变式 3 已知函数f(x) =ax3+3x2-6ax-11，g(x) =3x2+6x+12 和直线m: y =kx+9，又f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k，使直线m既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线y = g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.例3.7在平面直线坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)=e x(xA0)的图像上的动点，该图像在P处的切线I交y轴于点M，过点P作I的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值分析先设切点坐标(X 0,e*)，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，从而求出M 的纵坐标，同理可求出N 的纵坐标，将t 表示成X 0的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值解析设 P(x 0,e X0) , k = f Zx) I x^ yX 0, l 的方程为 y —e*=e"(x —X 0)，令1x =0，得 M0e X 1 为0 .PN 的方程为 y-e^ =-K(x-X 0)，令 x = 0，得 eN 仏冷 + 身］，故 t 二耳“②―X 0)+40r ］，设 g(x) =(2 —x)e X + xe 」(x>0), I e 丿 2 I e 」则 g(x) =(^x)(e X+e^), 令 g'(x )= 0, 得 x =1 ,当 0<x<1 时，g(x)> 0 g (在(0,1)上单调递增；当 X"时，gYx)cO=g(x)在(1,垃)上单调递减’故g(x)max=g(i)=W ，所以的最大值是W 评注利用切点横坐标X o 可以表示曲线上任一点处切线的方程为:y —f(X o ) =f '(X o )(x —X)).线y =ln(2x)上,则PQ 的最小值为( )A . 1-1 n2B .72(1-1 n2)C . 1+1 n2最有效训练题14 (限时45分钟)1 .设 f(x) =xlnx ，若 f'(x 。

2023届高三一轮复习《定积分》学案

定积分课前一题：定积分⎰-11||x d x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4考纲要求： 1．了解定积分的概念、几何意义。

2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。

3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。

难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。

知识点1 定积分的相关概念在⎰bax f )(d x 中，分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式．知识点2定积分的几何意义设函数()x f 在区间[]()b a b a ≠,上连续. ①在[]b a ,上，当0)(≥x f 时，定积分⎰bax f )(d x 在几何上表示由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的；②在[]b a ,上，当0)(≤x f 时，由曲线)(x f y =以及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分⎰bax f )(d x 在几何上表示曲边梯形面积的；③在[]b a ,上，当)(x f 既取正值又取负值时，曲线)(x f y =的某些部分在x 轴的上方，而其他部分在x 轴下方，如果我们将在x 轴上方的图形的面积赋予正号，在x 轴下方的图形的面积赋予负号；在一般情形下，定积分⎰bax f )(d x 的几何意义是曲线)(x f y =，两条直线bx a x ==,与x 轴所围成的各部分面积的 .① ② ③类型一：利用定积分的几何定义求定积分例1．说明定积分⎰-224x d x 所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。

【变式1】若f (x )＝3＋2x －x 2，则⎰31)(x f d x 为_____． P48——例5（2）【变式2】用定积分表示下列图形的阴影部分的面积（1）（2）知识点3 定积分的性质（1）⎰ba x kf )(d x= （k 为常数）（2）)]()([21x fx f ba +⎰d x =（3）⎰b ax f )(d x= （其中b c a <<）（4）利用函数的奇偶性求积分：若函数)(x f y =在区间],[b b -上是奇函数，则⎰-bb x f )(d x= ；若函数)(x f y =在区间],[b b -上是偶函数，则⎰-bbx f )(d x= .知识点4 微积分基本定理微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:如果)(x f 在[]b a ,上连续，且)()(x f x F ='，则⎰bax f )(d x=其中)(x F 叫做)(x f 的一个原函数. 类型二：运用微积分定理求定积分例2．计算：⎰-π)cos (sin x x d x ＝________．【变式】计算下列定积分的值：（1）⎰+-22)13(x x d x （2）⎰+20)sin (πx x d x （3） ⎰-18)8(x x d x类型三：运用积分的性质求定积分例3．求定积分：⎰-3|1|x d x【变式】(设f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧∈∈],1(,1]1,0[,2e x xx x (e 为自然对数的底数)，则⎰e x f 0)(d x 的值为________．P48——例5（1）、（3）例4.设()x f 是偶函数，若⎰2)(x f d x 2=，则⎰-22)(x f d x =____________；【变式】求定积分：⎰-2222cos 2ππx d x知识点5 应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x b a b x a x ),(,<==轴（即直线0)(==x g y ）及一条曲线)(x f y = ()0)(≥x f 围成的曲边梯形的面积：2．如图，由三条直线x b a b x a x ),(,<==轴（即直线0)(==x g y ）及一条曲线)(x f y = ()0)(≤x f 围成的曲边梯形的面积：3．由三条直线x b c a b x a x ),(,<<==轴及一条曲线)(x f y =（不妨设在区间],[c a 上0)(≤x f ，在区间],[b c 上0)(≥x f ）围成的图形的面积：4. 如图，由曲线)()(),(),(212211x f x f x f y x f y ≥==及直线)(,b a b x a x <==围成图形的面积：类型四：利用定积分求平面图形面积例5.[一题多解]由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________．【变式1】由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．【变式2】设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．知识点5 定积分在物理中的应用①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数)0)()((≥=t v t v v 在时间区间],[b a 上的定积分，即⎰=badt t v S )(.②变力作功物体在变力)(x F 的作用下做直线运动，并且物体沿着与)(x F 相同的方向从a x =移动到)(b a b x <=，那么变力)(x F 所作的功⎰=badx x F W )(.例6：有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 的速度为2228)(t t t v -=（速度的正方向与x 轴正方向一致）.求（1）P 从原点出发，当t ＝3时，离开原点的路程；（2）当t ＝5时，P 点的位置；（3）从t ＝0到t ＝5时，点P 经过的路程。

高三数学一轮复习精品学案2：3.4 定积分

3.4 定积分『导学目标』1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义.3.初步掌握定积分的主要应用： ①利用定积分求曲边梯形的面积； ②利用定积分求变速直线运动物体的路程； ③利用定积分求变力作的功. 『知识梳理』1.定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间『a ，b 』上连续，用分点将区间『a ，b 』等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式∑=-ni i f nab 1)(ξ.当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间『a ，b 』上的定积分，记作，即⎠⎛ab f (x )d x ＝∑=∞→-ni i n f nab 1)(limξ.其中f (x )称为________，x 称为__________，f (x )d x 称为__________，『a ，b 』为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号.(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为、近似代替、求和、 .2.定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝ (k 为常数)；(2)⎠⎛a b 『f 1(x )±f 2(x )』d x ＝； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝ (其中a ＜c ＜b ). 3.微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间『a ，b 』上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么⎠⎛ab f (x )d x＝，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式.常常把F (b )－F (a )记作，即⎠⎛ab f (x )d x ＝＝ .4.定积分在几何中的简单应用(1)当函数f (x )在区间『a ，b 』上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝ .(2)当函数f (x )在区间『a ，b 』上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝ .(3)当x ∈『a ，b 』有f (x )＞g (x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝ .一般情况下，定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.(4)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝ (其中a >0)；若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x＝ (其中a >0).5.定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t )，速度方向不变)在时间区间『a ，b 』上所经过的路程S ＝____________.(2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .(3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .『典例解析』类型一计算简单函数的定积分计算下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (3)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .计算下列定积分：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ； (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x ； (3)⎠⎛0π(1－cos x )d x .类型二计算分段函数的定积分求⎠⎛－22|x ＋1|d x .求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x |≤2，1＋x 2，2＜x ≤4. 在区间『－2，4』上的定积分.类型三利用定积分求平面图形的面积求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积.(2013·北京)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2C.83D.1623类型四定积分在物理中的简单应用一质点在直线上从时刻t ＝0开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)做减速运动，求质点初次减速到0时经过的路程.设有一长为25 cm 的弹簧，若加以100 N 的力，则弹簧伸长到30 cm ，那么将弹簧由25 cm 拉长到40 cm 克服弹力所作的功为 J.『课堂小结』1.用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F (x ).2.利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.3.利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决.『巩固提升』定积分⎠⎛013x d x 的值为( )A ．3B ．1C.32D.12已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ＜1，2，1≤x ≤2.则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3由曲线y ＝x ，y ＝x 2围成的封闭图形的面积为( ) A.16B.14C.13D.112定积分⎠⎛1e 1xd x 的值为________.已知甲、乙两车同时、同地、同向行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).甲、乙两车行驶的路程分别为S 甲和S乙，则在t 0时刻，S甲和S乙的大小关系是 .答案『知识梳理』1.(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数积分变量被积式积分区间 (2)分割取极限2.(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3.F (b )－F (a ) F (x )|b a F (b )－F (a ) F (x )|ba4.(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b 『f (x )－g (x )』d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05.(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x解：(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)d x＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＋⎠⎛121d x＝x 33|21＋x 2|21＋x |21＝193. (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22|21－x 33|21＋ln x|21＝32－73＋ln2＝ln2－56. (3)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x＝sin x|0－π＋e x | 0－π＝1－1eπ. 『评析』求定积分的步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和与差；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )；④利用牛顿一莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．解：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ＝⎠⎛02(x 2＋x )d x ＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛02x d x ＝13x 3|20＋12x 2|20＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143. (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x ＝⎠⎛12e x d x ＋⎠⎛121xd x ＝e x |21＋ln x|21＝e 2－e ＋ln2.(3)⎠⎛0π(1－cos x )d x ＝⎠⎛0π1d x －⎠⎛0πcos x d x＝x|π0－sin x|π0＝π. 解：∵|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－2≤x ＜－1，x ＋1，－1≤x ≤2.∴⎠⎛－22|x ＋1|d x ＝⎠⎛－2－1(－x －1)d x ＋⎠⎛－12(x ＋1)d x＝⎝⎛⎭⎫－12x 2－x |-1-2＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |2-1＝5. 『评析』对分段函数f (x )求积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛ab f (x )d x＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x 求解．解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x )|2-2＋⎝⎛⎭⎫x ＋13x 3|42 ＝(6－2)＋⎝⎛⎭⎫4＋643－2－83 ＝743. 解：如图所示，所求面积S ＝S A ＋S B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，得交点坐标为(2，2)，(8，－4)．A 部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以： S A ＝⎠⎛02『2x －(－2x )』d x ＝22⎠⎛02x 12d x＝22·23x 32|20＝163.B 部分：S B ＝⎠⎛28『4－x －(－2x )』d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －12x 2＋223x 32|82＝383. 于是S ＝163＋383＝18.『评析』用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝ 2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －112x 3|20＝2⎝⎛⎭⎫2－812＝83.故选C.解：由v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)＝0，得t ＝1或3(舍去)．所以路程 s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2＋3t |10＝43(m)．『评析』物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．解：设弹簧伸长x cm ，F (x )表示加在弹簧上的力，则F (x )＝kx (k 是比例系数)．依题意，100＝5k ，k ＝20.故弹簧由x ＝0 cm 到x ＝15 cm 所作的功为： W ＝⎠⎛01520x d x ＝10x 2|150＝2250(N·cm)＝22.5(J)．故填22.5. 『巩固提升』解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C. 解：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛011d x ＋⎠⎛122d x ＝x|10＋2x|21＝(1－0)＋(4－2)＝3.故选D. 解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2得两条曲线的交点为(0，0)，(1，1)．∴S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3|10＝16.故选A .解：⎠⎛1e 1xd x ＝ln x|e 1＝lne －ln1＝1.故填1.解：由路程S ＝⎠⎛0t v (t )d t 的意义可知，S 甲＞S 乙．故填S 甲＞S 乙．。

高三数学一轮复习定积分导学案理

高三数学理科复习45----定积分【高考要求】：定积分(A) 【学习目标】：了解定积分的实际背景；初步了解定积分的概念；会求简单的定积分.直观了解微积分基本定理的含义. 【知识复习与自学质疑】(一)问题:1.定积分的概念是什么?2. 定积分的几何意义是什么?3.微积分基本定理的内容是什么?(一)练习:1.已知质点的速度10v t =，则从0t =到0t t =质点所经过的路程是_______.2.已知在区间(),a b 上()0f x <,且由直线,,0x a x b y ===及曲线()y f x =所围成的图形面积为S ,则()baf x dx =⎰_____________.3.(1)11x dx -=⎰________. (2) 1-=⎰________.4.求下列定积分: (1)2dx π-=⎰________. (2) 312x dx =⎰________.(3)1831x dx -=⎰________. (4) ()122x x dx ---=⎰________.4.求下列定积分: (1)24cos xdx ππ-=⎰________. (2) 236sin xdx ππ-=⎰________.(3)22x dx =⎰________. (4) 21eedx x=⎰________. 【例题精讲】1.根据()233312123n n ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+,利用定积分定义,求130x dx ⎰.2.已知直线y ax =与曲线xy e b =+相交于点()()00,0,1,y ,求直线y ax =与曲线x y e b =+所围成的图形的面积.3.直线l 与抛物线2:x y C =交与B A ,两点，C l 与所围成的图形面积为34，求线段AB 中点的轨迹方程．【矫正反馈】1.做变速直线运动的物体，初速度为m 1/s ,ts 后速度21--=t e v ,则物体停止运动时,运动的路程是 .2.如图,一条水渠的横截面为抛物线型,渠宽m AB 4=,渠深m CO 2=,当水面距地面m 5.0时,水的横截面的面积为 .3.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-dx x x 2222sin 2cos ππ .4.若一商店出售q 台复读机的利润()L q （单位：元）的变化率为1()12.5(0)40L q q q '=-≥，则售出40台后，每台的平均利润为元.5.已知函数)()112(1),(01)()1223x x x f x x x --⎧+≤≤=≤≤⎪≤≤⎩求()dx x f ⎰30.【迁移应用】1.已知抛物线2:C y x =上一点P 处的切线l 与x 轴、抛物线C 所围成的图形的面积为112,试求l 的方程.2.设S 为曲线)1(2+=x x y 与直线)10)(1(2≤≤+=k x k y 所围成的面积，试求当S 有最小值时k 的值.。

【精】高三导数定积分复习学案

高三导数定积分复习学案一.课标要求：1.导数及其应用(1)导数概念及其几何意义①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵;②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。

(2)导数的运算①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数;②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b))的导数;③会使用导数公式表。

(3)导数在研究函数中的应用①结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间;②结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

(4)生活中的优化问题举例例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

(5)定积分与微积分基本定理①通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念;②通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义。

(6)数学文化收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。

二.命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。

在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2019年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：(1)考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题;(2)2019年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。

高三数学第一轮复习导学案：18.定积分与微积分基本定理

【学习目标】 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2．了解微积分基本定理的含义．预习案1．定积分的定义：如果函数f (x )在区间上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间等分成n 个小区间，在每个区间上取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式，当n →＋∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间上定积分，记作，即其定义体现求定积分的四个步骤：① ；② ；③ ；④ ．2．定积分运算律(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝； (2)⎠⎛ab d x ＝； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么，这个结论叫做微积分基本定理．4．定积分的几何和物理应用(1)①如图所示，由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )(不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0)及直线x ＝a ，x＝b (a <b )围成图形的面积为： S ＝⎠⎛a b f 1(x )d x －⎠⎛ab f 2(x )d x②如图所示，在区间上，f (x )≤0，则曲边梯形的面积为S ＝＝(2)作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v ＝v (t )在时间区间上的定积分，即s ＝ .(3)如果物体在变力F (x )的作用下做直线运动，并且物体沿着与F (x )相同的方向从x＝a 移动到x ＝b (a <b )，那么变力F (x )所做的功W ＝ .【预习自测】1.⎠⎛01 (e x ＋2x )d x 等于 ( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋12．一个弹簧压缩x cm 产生4x N 的力，那么将它从自然长度压缩0.05 cm 所做的功是( )A ．50 JB ．0.5 JC ．500 JD ．5 J3．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．4．已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 ( )A.2π5B.43C.32D.π25．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.探究案题型一：求定积分例1.计算以下定积分：（1）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212；（2）dx x x 2321⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+；（3）dx x x )2sin (sin 30-⎰π （4）dx x ⎰-2123：（5）()dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛---10211题型二求平面图形的面积例2 求由曲线y ＝x 2和直线y ＝x 和y ＝2x 围成的图形的面积．探究1. (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7 －3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A．1＋25ln5 B．8＋25ln 113C．4＋25ln5 D．4＋50ln2(2)由曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝t2，t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为________．题型三:定积分在物理中的应用例3.(1)A、B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站．电车行驶t s后到达途中C点，这一段速度为1.2 t m/s，到C点的速度达24 m/s ，从C点到B 点站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经t s后，速度为(24－1.2t) m/s，在B点恰好停车，试求：①A、C间的距离；②B、D间的距离．（2)设力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求力F(x)对质点M所作的功．探究2.(1)列车以72 km/h速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？(2)一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5 米/秒的速度自由落下，则下落后第二个4s 内经过的路程是________米．拓展：1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1、S 2、S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 12．计算定积分＝________.3．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是( )A.16＋π2B ．πC ．1D ．我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。

2019-2020学年高考数学第一轮复习定积分学案.doc

2019-2020学年高考数学第一轮复习定积分学案一、知识点与方法：1、定积分的概念设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式1()nn i i I f x ξ==∆∑（其中x ∆为小区间长度），把n →∞即0x ∆→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：⎰b a dx x f )(，即⎰b a dx x f )(＝1lim ()n i n i f x ξ→∞=∆∑。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。

(1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ⎰的几何意义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。

(2)定积分的性质①⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；②⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③⎰⎰⎰+=b a ca bc dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。

2、微积分基本定理如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b ba a f x dx F x Fb F a ==-⎰3、定积分的简单应用(1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的曲边梯的面积⎰=ba dx x f S )(。

高中数学选修22导数与定积分复习资料

课题：导数及其定积分【课前思考】1.曲线的割线的斜率与切线的斜率有什么关系？2.变速运动在某一时刻的瞬时速度的含义是什么？3.如果一个函数的导数处处为零,这个函数是什么函数？4.函数)(x f y =的导数与在0x 处的导数有什么区别？有什么联系？5.商()()xx f x x f ∆-∆+与x 有关吗？令0→∆x ,x 是否保持不变？6.①u k y 1=,又x k u 2=,能写出y 与x 的函数关系吗？能根据'u y 与'x u 写出'x y 吗？ ②设)(),(x g u u f y ==,能写出y 与x 的函数关系吗？能根据'u y 与'x u 写出'x y 吗？7.什么叫曲边梯形？8.⎰ba dx 1的几何意义是什么？一、知识要点 1.导数的概念——⑴定义:设函数)(x f y =在0x 附近有定义,当自变量0x x =处有增量x ∆时, 函数)(x f y =相应地也有增量y ∆.如果当0→∆x 时,xy∆∆有极限,就说这个函数)(x f y =在0x x =处可导,并把这个极限叫做函数)(x f y =在0x x =处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00000'limlim)(. 如果函数)(x f 在点0x 处可导,则函数)(x f 在0x 处连续.⑵如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每一点处都可导,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)('x f ,从而构成了一个新的函数)('x f ,称这个函数)('x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的可导函数,记作)('x f 或'y ：⑶几何意义:导数)(0'x f 的几何意义是曲线)(x f y =在点())(,00x f x P 处的切线PT 的斜率k ;也就是说,曲线)(x f y =在点())(,00x f x P 处的切线PT 的斜率)(0'x f k =.相应地))(()(00'0x x x f x f y -=-瞬时速度就是位移函数)(t s 对时间t 的导数. 2.导数的计算—— ⑴几个常见函数的导数①'C 0=（其中C 为常数）； ②2'11x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ; ()x x 21'=； ③1')(-=n n nx x)(Q n ∈⑵导数的运算法则①'''()u v u v ±=±. ②'''()uv u v uv =+. ③'''2()(0)u u v uv v v v-=≠通过②可以得出[])()(''x cf x cf = ④)]([x g f y =的导数'''x u x u y y ⋅=,（其中)(x g u =）.3.定积分——⑴直线0),(,=≠==y b a b x a x 和曲线)(x f y = ①求曲边梯形的面积的步骤:分割→近似→求和→取极限.②求变速直线运动物体在某段时间运动的路程的步骤: 分割→近似代替→求和→取极限.如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,用分点b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110,将区间],[b a 分成n 个小区间,在每个小区间],[1i i x x -上取一点),,2,1(n i i =ξ,作和式∑∑==-=∆ni i ni i i f n ab x f 11)()(ξξ,当+∞→n 时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分,记作⎰b a dx x f )(,即∑⎰=+∞→-=n i i n b a f n ab dx x f 1)(lim )(ξ.这里a 与b 分别叫做积分下限与积分上限,区间],[b a 叫做积分区间,函数)(x f 叫做被积函数,x 叫做积分变量,dxx f )(叫做被积式.①⎰⎰=ba ba dx x f k dx x kf )()(,（k 为常数） ③⎰⎰⎰+=bc ca ba dx x f dx x f dx x f )()()(，（其中)bc a <<为常数） 4.微积分基本定理——一般地,如果)(x f 是区间],[b a 上的连续函数,并且)()('x f x F =,则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰,这个结论叫做微积分基本定理,又叫牛顿-莱布尼茨公式.常常记作abx F a F b F )()()(=-,即有:当对应的曲边梯形位于x 轴上方时,定积分的取值为正值,且等于曲边梯形的面积;当对应的曲边梯形位于x 轴下方时,定积分的取值为负值,且等于曲边梯形的面积的相反数;当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形的面积时,定积分的值为0,且等于位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积.:做变速直线运动的物体所经过的路程s ,等于其速度函数)0)()((>=t v t v v 在时间区间],[b a 上的定积分,即⎰=ba dt t v s )(;如果物体在变力)(x F 的作用下做直线运动,并且物体沿着与)(x F 相同的方向从a x =移动到)(b a b x <=,则变力)(x F 所做的功⎰=ba dx x F W )(.二、金典例题题型一:导数的几何意义及其应用【☞例1】⑴曲线33+-=x x y 在点)3,1(处的切线方程为. ⑵过原点作曲线x e y =的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.点评:求曲线在某一点的切线方程,首先需要判断该点是否在曲线上.若点不在切线上,需设切点坐标,然后构建方程(组)求解.题型二:导数的运算【☞例2】求下列函数的导数点评:运用导数的求导法则与导数公式求可导函数的导数,一般先分析函数的结构特点进行化简后再选择合适的求导法则与导数公式求导;对多项式相乘的函数求导,可先计算后求导,也可根据导数的乘法法则直接求导.题型三:利用定积分求平面图形的面积【☞例3】计算由22,x y x y ==所围成的图形的面积.点评:一般步骤:画图→确定图形范围,求出交点横坐标,定积分上下限→确定被积函数→写出平面图形的定积分表达式→运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.三、基础过关1.已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1,3）,则b 的值为（）A.3 B.-3 C.5 D.-52.一质点做直线运动,由始点经过t s 后的路程为t t t s 3263123+-=,则速度为0的时刻是（）A.4s 末B.8s 末C.0s 末或8s 末D. 4s 末或8s 末3.已知函数x x x x f cos sin )(+=,则)2('πf 的值为（）A.2π B.0 C.-1 D.14.过曲线23-+=x x y 上的点0P 的切线平行于直线14-=x y ,则切点0P 的坐标为（） A.(0，-1)或(1，0) B.(1，0)或(-1，-4) C.(-1，-4)或(0，-2) D.(1，0)或（2.8）5.如图,直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成的图形未面积相等的两部分,求k 的值.四、课堂小结与作业高考对本节内容的考查以选择和填空题型为主,考查形式有两种:一种是利用导数求切线方程;另一种是利用微积分基本定理进行计算.故在复习时,要做到对导数与微积分概念的充分理解,且能灵活应用导数的几何意义与微积分基本定理解决简单的相关问题.【作业】1.如图,由曲线2x y =和直线)1,0(,,1,02∈===t t y x x 所围成的图形（阴影部分）的面积的最小值为（）A.32 B.31 C.21 D.41 2.已知函数2ln )(bx x a x f -=的图象上一点))2(,2(f P ,点P 处的切线方程为22ln 22++-=x y ,求b a ,的值.。