导数的运算法则和复合函数的导数
复合函数的导数及导数的运算法则
练习、已知函数f x 在R上满足f x=2 f 2 x x2 8x 8,
则曲线y=f x 在点1，f 1 处的切线方程为 A
A.y=2x-1
B . y=x
C .y=3x-2
D.y=-2x+3
课堂小结
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处 有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
6.若f(x) = e x，则f ' (x) = e x
7.若f(x) =
loga x，则f ' (x) =
1 xlna
8.若f(x) = lnx，则f ' (x) = 1 x
复 习:
二,导数的运算法则:
法则1: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2: f (x)• g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
复 习:
一,基本初等函数的导数公式
1.若f(x) = c，则f ' (x) = 0
2.若f(x) = xn，则f ' (x) = nxn-1 (n R)
3.若f(x) = sinx，则f ' (x) = cosx
4.若f(x) = cosx，则f ' (x) = -sinx
5.若f(x) = a x，则f ' (x) = a x lna
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（1）y (2x 3)2
（2）y e0.05 x1
（3）y sin( x ) (其中，均为常数)
注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函 数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后， 就不必再写中间步骤。
导数的四则运算及复合函数求导
经济应用数学数学
2. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
dy dx
dy du
du dx
f (u) (x)
说明: 最基本的公式 (C) 0
(sin x) cos x
y yuux
(ln x) 1
x
3. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
u x2 3复合而成, 所以 dy dy du
dx du dx
2sinu2x 0
4xsin x2 3
经济应用数学数学
例9 设y tan 1 2x2 , 求 dy dx
解 因y tan 1 2x2由y tan u, u= v,v=1-2x2复合而成，所以
2 1 sec x sec x tan x 2222
sec2 x tan x 22
经济应用数学数学
例11 求函数 y ln tan 2x 的导数.
解：y ln tan x 1 tan 2x .
tan 2x
1 sec2 2x 2x
tan 2x
经济应用数学数学
三、小结
1. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (uv) uv uv
注意：
(Cu) Cu ( C为常数 )
u
v
uv uv v2
(v 0)
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
[u( x)] u( x) . v( x) v( x)
f (x) f
( x)
f
(x)
i1 i
1
2
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。
2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。
4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。
那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。
5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。
根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。
例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。
导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（ ）
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
导数的四则运算与复合函数求导
导数的四则运算与复合函数求导在微积分学中，导数是描述函数变化率的重要概念。
导数的四则运算和复合函数求导是微积分中的基本技巧，本文将重点介绍这两个内容。
一、导数的四则运算导数的四则运算包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。
下面将逐一介绍这些法则的应用。
1. 常数倍法则设函数y=f(x)，其中f(x)可导，k为常数，则有：(d/dx)(k·f(x)) = k·(d/dx)f(x)即常数倍法则指出，常数与函数的导数之间可以交换次序。
2. 和差法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) ± g(x)) = (d/dx)f(x) ± (d/dx)g(x)即和差法则指出，函数的求和或求差的导数等于各函数的导数的和或差。
3. 乘积法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) · g(x)) = f(x)·(d/dx)g(x) + g(x)·(d/dx)f(x)即乘积法则指出，函数的乘积的导数等于其中一个函数乘上另一个函数的导数，再加上另一个函数乘上第一个函数的导数。
4. 商法则对于可导函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则有：(d/dx)(f(x) / g(x)) = (g(x)·(d/dx)f(x) - f(x)·(d/dx)g(x)) / (g(x))^2即商法则指出，函数的商的导数等于分子的导数与分母的导数的差再除以分母平方。
二、复合函数求导当函数是由一个函数与另一个函数组合而成时，就称之为复合函数。
求解复合函数的导数需要运用链式法则。
1. 链式法则设函数y=g(f(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则有：(d/dx)g(f(x)) = (dg/df)·(df/dx)即链式法则指出，复合函数的导数等于外层函数对内层函数求导的结果乘上内层函数对自变量求导的结果。
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
1.2.3导数的计算1-复合函数的导数
2.导数运算法则
1 . f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
2.
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
特殊地： c f ( x) c f ( x)
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 3. ( g ( x ) 0) 2 g ( x) g ( x)
(2) y e
u
0.05 x 1
解 (2) 函数y e 0.05 x 1可以看作 函数y e 和u 0.05 x 1的复合函数。 根据复合函数求导法则有
y x ' yu ' u x ' ( e ) ' ( 0.05 x 1) '
u
e 0.05 0.05e
y ln u, u x 2 ② y ln( x 2)
2
2
y sin u, u 3v 1, v e
x
③ y=sin(3e 1)
x
象①②③这样的函数就是复合函数.
2.复合函数的定义
对于两(多)个函数y=f(u)和u=g(x),如果 通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个
1 2
1 x2 解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再 用复合函数求导法则.
y ( x ) 1 x 2 x ( 1 x 2 ) ( 1 x 2 )2 1 2x 2 1 x x 2 2 1 x 1 x2 (1 x 2 ) x 2 1 . 3 2 2 1 x (1 x ) (1 x 2 ) 2
复合函数的导数及导数的运算法则
复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。
在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。
设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。
根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。
Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。
Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。
下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。
1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。
根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。
例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。
例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。
例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。
导数的复合求导法则
导数的复合求导法则导数的复合求导法则是微积分中的重要内容，它可以帮助我们计算含有复合函数的导数。
在复合函数中，一个函数嵌套在另一个函数内部，我们需要利用复合求导法则来计算这个复合函数的导数。
复合求导法则有两个部分：链式法则和指数法则。
一、链式法则：链式法则是计算复合函数导数的一种方法，它适用于函数嵌套的情况。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = (dy/du) * (du/dx)其中，(dy/du)表示外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数，(du/dx)表示内函数u=g(x)对自变量x的导数。
链式法则的推导过程如下：1.设复合函数为y=f(g(x))，其中u=g(x)。
2. 通过求导的定义，可以计算出dy/du，即外函数f(u)对内函数u=g(x)的导数。
3. 通过求导的定义，可以计算出du/dx，即内函数u=g(x)对自变量x的导数。
4. 接着，将dy/du和du/dx相乘即可得到复合函数y=f(g(x))的导数：dy/dx = dy/du * du/dx。
链式法则的一个重要应用是计算嵌套函数的高阶导数。
利用链式法则，我们可以推导出计算嵌套函数高阶导数的公式。
例如，对于二阶导数，我们可以将链式法则应用两次来计算。
二、指数法则：指数法则是计算含有指数函数的复合函数导数的一种方法。
指数函数是指以常数e为底的自然指数函数，例如f(x) = e^x。
对于指数函数e^x，其导数等于其本身。
即d(e^x)/dx = e^x。
当复合函数中出现指数函数时，我们可以利用指数法则来计算其导数。
指数法则有两种形式：1. 对于一般形式的复合函数：y = e^(g(x))，其中u = g(x)。
则该复合函数的导数为dy/dx = (e^(g(x))) * g'(x)。
2. 对于特殊情况：y = a^(g(x))，其中a为常数。
则该复合函数的导数为dy/dx = (a^(g(x))) * ln(a) * g'(x)。
导数的运算法则及复合函数的导数
导数的运算法则及复合函数的导数导数是微积分中非常重要的概念，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，我们常常需要对函数进行一系列运算，包括加减乘除和复合函数等，了解导数的运算法则以及复合函数的导数可以帮助我们更好地进行运算和解决实际问题。
1.导数的运算法则：(1)和差法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的和、差的函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在区间I上仍然可导，并且有如下的导数公式：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(2)乘法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的乘积函数f(x)g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(3)除法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，并且g(x)≠0，则它们的商函数f(x)/g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]²(4)常数法则：设c为常数，函数f(x)在区间I上可导，则常数函数cf(x)在区间I 上可导，并且有如下的导数公式：(cf(x))' = cf'(x)(5)幂函数法则：设函数f(x)=x^n在区间(x>0)上可导，则幂函数f(x)=x^k在区间(x>0)上可导，并且有如下的导数公式：(x^k)' = kx^(k-1)2.复合函数的导数：复合函数是指一个函数内部存在另一个函数，即一个函数的输入是另一个函数的输出。
在实际运算中，我们还需要计算复合函数的导数，可以利用链式法则来求解。
(1)链式法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由两个函数构成的复合函数，在函数f和g 满足一定的条件下dy/dx = dy/du * du/dx具体地，对于复合函数y=f(g(x))，先计算出f对u的导数df/du，再计算出g对x的导数dg/dx，最后将两个结果相乘即可得到复合函数对x的导数。
复合导数公式及运算法则
复合导数公式及运算法则1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。
其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方，v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是. 熟悉了以后根本不用列这么多，直接写就行。
导数的运算法则和复合函数的导数
导数的运算法则和复合函数的导数导数是微积分中一个非常重要的概念，它表征了函数在其中一点上的变化率。
导数的运算法则以及复合函数的导数是我们在求导过程中经常用到的方法和技巧。
下面我将分别介绍导数的运算法则和复合函数的导数，并给出相应的例子进行说明。
一、导数的运算法则1. 常数规则：常数的导数为零。
即对于任意常数c，有d/dx (c) = 0。
例如，d/dx (3) = 0。
2. 幂规则：对于任意实数a和正整数n，有d/dx (x^n) = n *x^(n-1)。
例如，d/dx (x^2) = 2x。
3. 和差规则：两个函数的和(差)的导数等于两个函数分别的导数的和(差)。
即d/dx (f(x) ± g(x)) = d/dx (f(x)) ± d/dx (g(x))。
例如，如果f(x) = 2x^2和g(x) = 3x，则d/dx (f(x) + g(x)) = d/dx(2x^2) + d/dx (3x) = 4x + 34. 积法则：两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数再乘以第二个函数的导数。
即d/dx (f(x) *g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
例如，如果f(x) = x^2和g(x) = 3x，则d/dx (f(x) * g(x)) = 2x * 3x + x^2 * 3 = 6x^2 + 3x^35. 商法则：两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数再乘以分母函数的导数，最后再除以分母函数的平方。
即d/dx (f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2、例如，如果f(x) = x^2和g(x) = 3x，则d/dx (f(x) / g(x)) = (2x * 3x- x^2 * 3) / (3x)^2 = (6x^2 - 3x^2) / (9x^2) = 3x / 9x^2 = 1 /3x。
导数的运算法则及复合函数的导数公式
(2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
函数y=ln(3x+2)的导数呢？ 基本初等函数的导数公式
则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 求y=2x2+3x+1的导数 P18页 练习 第2题 （5）、（6）题
(3) f(x)= ax + xa + logax 求y= 的导数 基本初等函数的导数公式
(1) y = x3·ex
ln x (3) y = x
(2) y = x2·2x
ex x (4) y = 2
思考：如何求y=tanx导数呢？
(2)公式法：运用已知函数的导数公式及导数的 则运算法则求导数．
(3) y=sin( x+ ) (其中 、 均为常数）
本题可先将tanx转化为sinx和cosx的比值， 如何求函数y=ln(x+2)的导数呢？
基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
(2) y= 3cosx - 4sinx (3) f(x)= ax + xa + logax (4) y= ex + ln x
思考: 如何求下列函数的导数?
(1 )y(x1 )x (2)
(2)yx x
ex
(3) y x2
导数的运算法则:(积、商的导数)
求导法则及复合函数求导
求导法则及复合函数求导引言求导法则是微积分中的重要内容之一，它描述了如何对各种类型的函数进行求导运算。
在数学和物理等学科中，求导法则被广泛应用于函数的变化率、最优化问题以及解析几何中的切线和法线等问题。
本文将介绍几种常见的求导法则，并讨论复合函数的求导方法。
一、基本求导法则1.1 常数求导法则如果函数f(x)是常数，即f(x)=C，其中C是一个常数，则它的导数为零。
这是因为常数函数在任何值上的斜率都为零。
1.2 变量求导法则如果函数f(x)是一个变量，即f(x)=x，则它的导数为1。
这是因为变量x的导数是其本身。
1.3 幂函数求导法则幂函数是指函数f(x)=x n，其中n是一个实数。
根据幂函数求导法则，幂函数的导数等于指数乘以基数的指数减一，即$\\frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$。
1.4 指数函数求导法则指数函数是指函数f(x)=a x，其中a是一个正实数且a≠1。
根据指数函数求导法则，指数函数的导数等于该函数的自变量乘以函数值的自然对数和底数的乘积，即$\\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \\ln a$。
1.5 对数函数求导法则对数函数是指函数$f(x) = \\log_a{x}$，其中a是一个正实数且a≠1。
根据对数函数求导法则，对数函数的导数等于该函数的自变量的倒数除以底数的自然对数，即$\\frac{d}{dx} (\\log_a{x}) = \\frac{1}{x \\ln a}$。
1.6 三角函数求导法则常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
根据三角函数求导法则，正弦函数的导数等于余弦函数，余弦函数的导数等于负的正弦函数，正切函数的导数等于正弦函数的平方的倒数。
例如，$\\frac{d}{dx} (\\sin{x}) = \\cos{x}$，$\\frac{d}{dx} (\\cos{x}) = -\\sin{x}$，$\\frac{d}{dx} (\\tan{x}) =\\frac{1}{\\cos^2{x}}$。
基本导数运算法则
基本导数运算法则导数是微积分学中最重要的概念之一，它吃述某个函数在某一点的斜率，表达函数变化的快慢程度。
导数运算的基本法则包括常数运算法则、加法和减法运算法则、乘法和除法运算法则、指数函数和对数函数的运算法则、复合函数的运算法则以及三角函数的运算法则等。
一、常数运算法则令函数f（x）的导数为f'(x)，设k是常数，则1. 当k为正数： kf（x）的导数为kf'(x)2. 当k为负数： -kf（x）的导数为-kf'(x)3. 当k为零： 0f（x）的导数为0二、加法和减法运算法则设函数f（x）和g（x）的导数分别为f'(x)和g'(x)，定义函数h（x）为f（x）加g（x），即h （x）=f（x）+g（x），则其导数为h（x）= f'(x) + g'(x)对函数h（x）=f（x）-g（x）也有h'(x)=f'(x) - g'(x)三、乘法和除法运算法则1. 乘法运算法则：设函数f（x）和g（x），定义函数h（x）=f（x）× g（x），则h（x）的导数为h'（x）=f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x）2. 除法运算法则：设函数f（x）和g（x），定义函数h（x）=f（x）/ g（x），则h（x）的导数为h'（x）= (f'(x)*g(x) - g'(x)*f(x)) /(g(x))²四、指数函数和对数函数的运算法则1. 指数函数的运算法则：设函数y= ax，其中a为正数，那么它的导数为y' = a * ln a * ax2. 对数函数的运算法则：设函数y=ln x，那么它的导数为y' =1/x五、复合函数的运算法则设函数f（x）和g（x），定义函数h（x）=f（g （x）），则它的导数为h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)六、三角函数的运算法则1. 正弦函数：设y=sin x，那么它的导数为y' = cos x2. 余弦函数：设y=cos x，那么它的导数为y' = -sin x3. 正切函数：设y=tan x，那么它的导数为y' = sec² x4. 反正切函数：设y= cot x，则它的导数为y' = -csc² x以上就是基本导数运算法则的介绍，这些法则是微积分学中应用最广泛的运算规则，我们应好好理解并运用它们，这有助于提高计算精度。
复合导数运算
复合导数运算导数的加(减)法则是[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'；乘法法则是[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)；除法法则是[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2，复合导数也是在此基础上进行运算的。
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
导数是微积分中的重要基础概念，具有广泛的应用。
常见的导数公式有：y=f(x)=c(c为常数)，则f'(x)=0；f(x)=x^n(n不等于0)，f'(x)=nx^(n-1)(x^n表示x的n次方)；f(x)=sinxf'(x)=cosx；f(x)=cosxf'(x)=-sinx；f(x)=a^x，f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1，x>0)；f(x)=e^x，f'(x)=e^x；f(x)=logaX，f'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1，x>0)；f(x)=lnx，f'(x)=1/x(x>0)；f(x)=tanx，f'(x)=1/cos^2x；f(x)=cotx，f'(x)=-1/sin^2x；不是所有的函数都可以求导；可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导(如y=|x|在y=0处不可导)。
导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx 趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
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∴k＝x10，kx0＝1＝ln x0. ∴x0＝e，k＝1e. 结合图象知：当 k≤0 或 k＝1e时， 方程 ln x＝kx 有一解． 当 0<k<1e时，方程 ln x＝kx 有两解． 当 k>1e时，方程 ln x＝kx 无解．
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数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数 乘上分母减去分子乘上分母的导数，再
除以分母的平方
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2.复合函数的求导法则
复合函数 的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
题型二 求复合函数的导数 【例 2】 求下列函数的导数．
(1)y＝ 1－1 2x2； (2)y＝e2x＋1； (3)y＝( x－2)2； (4)y＝5log2(2x＋1)． [思路探索] 可分析复合函数的复合层次，再利用复合函数的 求导法则求解．
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(2)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
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(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的 导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及gfxx′＝ gf′′xx这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求 导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则 中分子上是“－”．
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(3)法一 ∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4，
∴y′＝x′－(4 x)′＋4′
＝1－4×
＝1－
2 x.
法二 令 u＝ x－2，则 y′x＝y′u·u′x＝2( x－2)·( x－2)′
＝2(
x－2)12·1x－0＝1－
2 x.
(4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1，
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(12 分)
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【题后反思】 点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不 一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交 点，解题时注意不要失解．
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【变式3】 若将本例改为求曲线y＝x3－2x在点A(1，－1)处的切线 方程，结果会怎样？ 解 ∵点A(1，－1)在曲线上，点A是切点，∴在A处的切线方 程为x－y－2＝0.
(3 分) (4 分)
∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x03－2x0) ＝(3x20－2)(1－x0)．
(6 分)
解得 x0＝1 或 x0＝－12.
(8 分)
故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－54(x－1)． (10 分)
即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.
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(2)y＝3x2＋xcos x；(3)y＝ex·ln x；(4)y＝lg x－x12. 解 (1)y′＝－12x2； (2)y′＝(3x2＋xcos x)′＝6x＋cos x－xsin x； (3)y′＝exx＋ex·ln x； (4)y′＝xln110＋x23.
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1．导数运算法则
法则 [f(x)±g(x)]′＝
f′(x)±g′(x) [f(x)·g(x)]′＝ f′(x)·g(x)＋ f(x)·g′(x)
自学导引
语言叙述
两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差)
两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函
＝sin24x＋cos24x2－2sin24xcos24x ＝1－12sin22x＝1－12·1－c2os x＝34＋14cos x， ∴y′＝－14sin x.
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(3)∵y＝11＋ － xx＋11－＋ xx＝11＋－xx2＋1－1－xx2 ＝21＋－2xx＝1－4 x－2，
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名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项
(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进
行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的 和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f′n (x)． ②[ af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)； ③当 f(x)＝1 时，有g1x′＝－gg′2xx.
复合函数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x) 的求导法 的导数间的关系为yx′＝ yu′·ux′，即y对x的导
则 数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
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想一想：若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成， 则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？ 提示 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y ＝f(u)的定义域的子集．
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【示例】 讨论关于 x 的方程 ln x＝kx 解的个数． [思路分析] 通过求导的方法求出曲线 y＝ln x 与直线 y＝kx 相 切时 k 的值，借助图形回答问题． 解 如图，方程 ln x＝kx 的解的个数就是直线 y＝kx 与曲线 y ＝ln x 交点的个数． 设直线 y＝kx 与 y＝ln x 切于 P(x0，ln x0) ，则 kx0＝ln x0. ∵(ln x)′＝1x，
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题型一 利用导数的运算法则求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x·tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝xx2＋＋33；(4)y＝xsin x－co2s x；
(5)y＝
x5＋
x7＋ x
x9；
(6)y＝x－sin2xcos2x.
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知识回顾 Knowledge
Review
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解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点， 选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、 差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求 导，以减少运算量．
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【变式 1】 求下列函数的导数：(1)y＝5－4x3；
∴y′＝1－4 x－2′＝－411－－xx2′＝1－4 x2.
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题型三 求导法则的应用 【例3】 求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
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[规范解答] 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝3x20－2(2 分) 故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0) ① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0 ② 又∵(1，－1)在切线上，
(4)y′＝(xsin
x)′－co2s
x′＝sin
x＋xcos
x－2csoisn2xx.
(5)∵y＝
x5＋
x7＋ x
x9＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
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(6)先使用三角公式进行化简，得 y＝x－sin2xcos2x＝x－12sin x， ∴y′＝x－12sin x′＝x′－12(sin x)′＝1－12cos x.
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[思路探索] 可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式 和四则运算法则求解．
解 (1)y′＝(x·tan x)′＝xcsoisn xx′
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
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2．复合函数求导 对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如(sin 2x)′＝2cos 2x，而(sin 2x)′≠cos 2x.
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方法技巧 数形结合思想在导数中的应用 数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质 和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时， 由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性 质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时， 既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相 辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分 析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之 后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为 简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．