14数学全国教师2(理)

全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(二)

第二单元 函数的概念及其性质

(120分钟 150分)

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.

1.函数y=|x-1|+1的图象的对称轴方程为

A.x=1

B.x=-1

C.y=1

D.y=-1

解析:通过平移y=|x|的图象,可得y=|x-1|+1的图象,所求对称轴为x=1. 答案:A

2.函数y= a 2x (a ≠0)的定义域为

A.[0,+∞)

B.(0,+∞)

C.{0}

D.以上答案都不对

解析:因为a 2x ≥0,且a 2>0,解得x ≥0,所以函数y=2x 的定义域为{x|x ≥0}. 答案:A

3.直角梯形ABCD 如图,动点P 从点B 出发,由B →C →D →A 沿边运动,设点P 运动的路程为x,△ABP 的面积为f(x),如果函数y=f(x)的图象如图,则△ABC 的面积为

A.10

B.16

C.18

D.32

解析:结合函数y=f(x)的图象,得BC=4, CD=9-4=5, AD=14-9=5,所以AB=5+ 52-42=8. 所以△ABC 的面积为1

2

AB×BC=12

×8×4=16,选B. 答案:B

4.已知函数f(x)= (2-a )x -4a , x <1,ax , x ≥1

是(-∞,+∞)上的增函数,则实数a 的取值范围是

A.(0,1

3)

B.[1

3,2) C.(-1,0) D.(-1,2)

解析:2-a>0,

a>0,

a≥2-a-4a.

⇒

1

3

≤a<2.

答案:B

5.若函数f(x)=x2+ax+b-3(x∈R)的图象恒过点(2,0),则a2+b2的最小值为

A.4

B.1

4C.5 D.1

5

解析:函数f(x)=x2+ax+b-3的图象恒过点(2,0),所以4+2a+b-3=0,即b=-2a-1.

所以a2+b2=5a2+4a+1=5(a+2

)2+

1

≥

1

,当a=-

2

时,取等号,选D.

答案:D

6.已知函数f(x)=1, x≥0,

-1, x<0,g(x)=x

3,则f(x)·g(x)的奇偶性为

A.是奇函数不是偶函数

B.是偶函数不是奇函数

C.是奇函数也是偶函数

D.不是奇函数也不是偶函数

解析:f(x)·g(x)=x3, x≥0,

-x3, x<0为偶函数不是奇函数,选B.

答案:B

7.已知图甲为函数y=f(x)的图象,则图乙中的图象对应的函数可能为

A.y=f(x)

B.y=f(x)

C.y=f(-x)

D.y=-f(-x)

解析:由图乙可以知道,该函数为偶函数,且x>0时,函数图象与原函数图象相同,

左边图象与右边对称,只有y=f(x)符合要求.

答案:B

8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则

f(2011)+f(2013)的值为

A.-1

B.1

C.0

D.无法确定

解析:g(x)=f(x-1),g(-x)=f(-x-1),g(-x)=-g(x),f(x+1)=-f(x-1),f(x-1)=-f((x-1)+2)⇒f(t)=-f(t+2)⇒f(t+4)=f(t),所以函数f(x)的周期为4,f(2011)+f(2013)=f(3)+f(1)=f(-1)+f(1)=2f(-1),g(0)=f(-1)=0,选C.

答案:C

9.某商店按每件80元的价格购进某种时装1000件.根据市场预测,当每件售价100元时,可全部售完;定价每提高1元,销售量就减少5件.若要获得最大利润,则售价应定为

A.110元

B.130元

C.150元

D.190元

解析:设售价为100+x,则利润y=(1000-5x)(100+x)-80×1000=-5x2+500x+105-80000,当x=-500

2×(-5)

=50,即售价为100+x=150元时,获得的利润最大,选C.

答案:C

10.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上递增,则

A.f(3)

B.f(3)

C.f(2)

D.f(2)

解析:由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x),故偶函数f(x)是周期为2的周期函数,画出草图,选A.

答案:A

11.设f(x)和g(x)均为奇函数,h(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,那么h(x)在区间(-∞,0)上的最小值为

A.-5

B.-1

C.-3

D.以上都不对

解析:当x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞),因为h(x)=af(x)+bg(x)+2在区间(0,+∞)上有最大值5,即当x∈(0,+∞)时,h(x)=af(x)+bg(x)+2≤5.

所以h(-x)=af(-x)+bg(-x)+2≤5,又f(x)和g(x)均为奇函数,

所以-af(x)-bg(x)+2≤5,即af(x)+bg(x)≥-3,所以当x∈(-∞,0)时,h(x)=af(x)+bg(x)+2≥-3+2=-1,选B.

答案:B

12.已知定义在R上的函数f(x)不恒等于零,同时满足f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,f(x)>1,那么当x<0时,一定有

A.f(x)<-1

B.-1

C.f(x)>1

D.0

解析:令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)f(y),得f(0)=f(0)f(0),f(0)=0或f(0)=1.若f(0)=0,取x=1,y=0,则

f(1+0)=f(1)f(0)=0,即f(1)=0这与已知当x>0时,f(x)>1矛盾,故f(0)=1.

设x<0,则-x>0,于是,有f(-x)>1.

所以,由f(x-x)=f(x)f(-x)=1,得f(x)=1

f(-x)

∈(0,1),选D.

答案:D

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.

13.已知函数f(x)=2x-3,x>0,

g(x),x<0

是(-∞,+∞)上的奇函数,则g(-1)=.

解析:依题意g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(2×1-3)=1.

答案:1

14.已知函数f(x)=x2+2x+4.若x1+x2=0且x1

解析:f(x)=x2+2x+4的对称轴为x=-1,又x1+x2=0且x10且x1,x2与原点距离相等,∴x2对应的点离对称轴远,从而f(x2)>f(x1).

答案:f(x1)

15.已知函数f(x)=x2-2x+a(x∈[0,3]),它的任意三个函数值总可以作为一个三角形的三边长,则a的取值范围是.