高中绝对值不等式(精华版)适合高三复习用可直接打印
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
（2018全国Ⅰ卷23）已知 f (x) x 1 ax 1. (1)当a 1时，求不等式f (x) 1的解集； (2)若x (0,1)时不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
（2017全国Ⅰ卷23）已知函数 f (x) x2 ax 4, g(x) x 1 x 1. (1)当a 1时，求不等式f (x) ≥ g(x)的解集； (2)若不等式f (x) ≥ g(x)的解集包含[1,1], 求a取值范围.
原不等式可化为
(
x
x 1 1)2 ≥ (
0 x
1)2
或
x
1≤ xR
0
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典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤ 4. 解析：(1)几何意义
所以原不等式的解集为[2,2].
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典例导练
例2.解不等式 x 1 x 1 ≤ 4.
2x, x 1
解析：(2)零点分段,因为 x 1 x 1 2, 1≤ x ≤1，所以原不等式等价于
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典例导练
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .
解析：（1）零点分段
原不等式可化为
1
x 1 x≥ x
或 1
x
x ≥1 1≥ x
1
解得x ≤ 0或x
所以原不等式的解集为（ ,0].
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典例导练
高三复习数学123_绝对值不等式习题课(有答案)
1.2.3 绝对值不等式习题课
一、解答题。
1. 若不等式|x−a|≤3的解集为[−1,5]，则实数a的值为（）
A.1
B.2
C.−1
D.−4
2. 不等式2|x+1|−|x−1|≥2√2的解集是（）
A.[3
4,+∞) B.[−3
2
,3
2
] C.(−∞,3
4
] D.[3
2
,+∞)
3. 若存在实数x使|x−a|+|x−1|≤3成立，则实数a的取值范围是（）
A.−2≤a<4
B.−1<a≤3
C.−2≤a≤4
D.−1≤a<3
4. 不等式|log2x|+|log2x2
2|>|log
2
x+log
2
x2
2
|的解集（）
A.(1,√2)
B.(−∞,1)∪(√2,+∞)
C.(1
2
,1) D.(0,1)∪
(√2,+∞)
5. 若不等式|x+1
x
|>|a−1|+1对x∈[2,+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）
A.(−1
2,5
2
) B.(−1,3)
C.[−1
2,5
2
] D.(−∞,−1)∪(3,+∞)
6. 已知函数f(x)=x|1−x|(x∈R)，则不等式f(x)>1
4
的解集为（）
A.(1−√2
2,1+√2
2
) B.(−∞,1−√2
2
) C.(1+√2
2
,+∞) D.(1
2
,+∞)
7. 若不等式|kx−4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k=________．
8. 在区间(4
3,3)上，∃x使|log
a
x|<1成立，则实数a的取值范围是________．
9. 若关于x的不等式x|x−a|≤1对x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围为________．
10. 已知x，y∈R，且x2+y2≤1．求证：1≤|x+y|+|3−x+y|≤5．
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3.数学思想 由特殊到一般，数形结合，分类讨论，化归等数学思想.
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课外作业
（2017全国Ⅰ卷23）已知函数 f (x) x2 ax 4, g(x) x 1 x 1.
(1)当a 1时，求不等式f (x) ≥ g(x)的解集； (2)若不等式f (x) ≥ g(x)的解集包含[1,1], 求a取值范围.
（1）当a 1时，求不等式f (x) 1的解集；
（2）若x (0,1)时，不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
(2)当x (0,1)时，x 1 x 1, f (x) x可化为 ax 1 1,
当x (0,1)时，不等式 1 ax 1 1恒成立，即0 ax 2恒成立，
“分”：0 a 2 恒成立，而x (0,1)时，2 (2,), a (0,2].
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高三一轮复习 不等式选讲
第二节 绝对值不等式的解法
知识回顾
一般地说，解含有绝对值的不等式，关键在于设法去掉绝对值 符号，把问题转化为不含绝对值的普通不等式或不等式组求解. 去掉绝对值符号的常见方法有：
1.绝对值的几何意义； 2.零点分段； 3.分段函数图像； 4.平方(注意等价性). 高三一轮复习
高三一轮复习
典例导练
变式2.解不等式 x 1 ≥ x 1 .（利用绝对值几何意义求解）
【高中数学】秒杀秘诀MS绝对值不等式(高考版)
绝对值不等式（一）
秒杀秘籍：绝对值不等式c b x a x c
b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；
b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b
a b x a x -≥-+-利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。分区间讨论：()()()⎪⎩
⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤-II.当0＜c 时，不等式解集为：空集c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数
例1：若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．
解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．
若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．
解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，
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绝对值不等式
绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b |
基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b|
y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
所以函数的最小值是5,没有最大值
|y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5
由|y| < 5 得-5 < y < 5
即函数的最小值是-5 ,最大值是5
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5
［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) |
f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转
化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x)
1 1
解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^}
⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X
即
『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二*
[x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 6
高三数学一轮复习 第六章 第四节 绝对值不等式课件 理 新人教A版
【答案】 C
第六页，共39页。
2．(2013·肇庆统考(tǒnɡ kǎo))不等式|3x－4|≤4的解集是 ________．
【解析】 由|3x－4|≤4得－4≤3x－4≤4⇒0≤x≤83. 【答案】 {x|0≤x≤83}
第七页，共39页。
3．(2012·山东高考)若不等式|kx－4|≤2的解集为 {x|1≤x≤3}，则实数(shìshù)k＝________．
(2)由|x－1|≤1，|y－2|≤1分别求x、y的取值范围，然后运 用不等式的性质和绝对值的意义(yìyì)求解．
第十页，共39页。
【尝试解答】 法一 |x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2| ≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5， 当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值5. 法二 ∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2. 又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3， 从而(cóng ér)－6≤－2y≤－2. 由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0， ∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5. 【答案】 5
第二页，共39页。
2．绝对值不等式的解法(jiě fǎ) (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
分类解集
不等式
a>0
a＝0
a<0
高三复习数学122_绝对值三角不等式(有答案)
1.2.2 绝对值三角不等式
一、解答题。
1. 不等式|a−b|=|a|+|b|成立(a,b∈R)，则（）
A.ab<0
B.ab>0
C.ab≤0
D.ab≥0
2. 已知不等式|a−c|<|b|成立，且ab≠0，（）
A.b>a−c
B.a>c−b
C.|a|>|b|−|c|
D.|a|<|b|+|c|
3. 若a，b∈R，则使|a|+|b|>1成立的充分不必要条件是（）
A.|a+b|>1
B.|a|≥1
2，|b|≥1
2
C.|a|≥1
D.b>−1
4. 若a，b∈R，且ab≠0，下列不等式不成立的是（）
A.|a+b|≥||a|−|b||
B.|b
a +a
b
|<|b
a
|+|a
b
|
C.|a+b|+|a−b|≥2|a|
D.|b
a +a
b
|≥2
5. 已知|a|≠|b|，m=|a|−|b|
|a−b|，n=|a|+|b|
|a+b|
，则m，n之间的大小关系是（）
A.m>n
B.m<n
C.m≥n
D.m≤n
6. 对于实数x，y，若|x−1|≤1，|y−2|≤1，则|x−2y+1|的最大值为（）
A.9
B.7
C.5
D.3
7. 若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x−2|存在实数解，则实数a的取值范围是
________．
8. 已知对于任意的x∈R，不等式|x−3|+|x−a|>5恒成立，则实数a的取值范围是________．
9. 已知a∈R，函数f(x)=ax3−x，若存在t∈R，使得|f(t+2)−f(t))|≤2
3
，则实数a的最大值是________．
高三数学一轮复习 不等式选讲 第一节 绝对值不等式课
A.(-∞,4) B.(-∞,1)
C.(1,4) D.(1,5) 答案 A ①当x<1时,原不等式等价于1-x-(5-x)<2,即-4<2,其恒成立,∴x<1. ②当1≤x≤5时,原不等式等价于x-1-(5-x)<2,即x<4,∴1≤x<4.
③当x>5时,原不等式等价于x-1-(x-5)<2,即4<2,无解.
f(x)<-1的解集为
x
|
x
1 3
或x
5
.
(9分)
所以|f(x)|>1的解集为
x
|
x
1 3
或1
x
3或x
5.
(10分)
方法技巧 解绝对值不等式的基本方法: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通 不等式; (2)当不等式两端均非负时,可通过两边平方的方法转化为解不含绝对 值符号的普通不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.
33
2-2 设函数f(x)= x 1 +|x-a|(a>0).证明: f(x)≥2.
x
1 2
,
(1)f(x)=
1,
1 2
x
1 2
,
2x,
x
1 2
.
(2分)
当x≤- 1 时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;
高三数学总结精华版第六不等式
高中数学第六章-不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │
§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.
（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质
（1）a b b a <⇔>（对称性）
（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）
（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）
（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.
（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）
(9)0,0a b a b c d c d
>><<⇒
>（异向不等式相除）
11(10),0a b ab a b
>>⇒
<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）
最新整理高中绝对值不等式 (精华版) 适合高三复习用 可直接打印备课讲稿
绝对值不等式
绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2
x －2x －6|<3x
［思路］利用｜f(x)｜
f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )
解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12
} (2)原不等式等价于－3x <2
x －2x －6<3x 即
222226360(3)(2)032(1)(6)0
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绝对值不等式
绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2
x －2x
－6|<3x
［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜
f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )
解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >1
高考数学复习3-3绝对值不等式及其解法
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谢谢！
ax＋b>c或ax＋b<－c
t>c或t<－c
②
分
段
讨
论
法
：
如
|ax
＋
b|≤c(c>0)
⇔
ax＋b≥0 ax＋b≤c
或
ax＋b<0 －ax＋b≤c
求解．
③形如|x－a|＋|x－b|＞c 等不等式的解法．常用零点分段
讨论法．
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[解析] ||xx＋ ＋12||≥1⇔|xx＋＋21≠|≥0|x＋2| ⇔xx＋＋21≠2≥0 x＋22 ⇔x≤－32且 x≠－2 [答案] {x|x≤－32且 x≠－2}
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解法二：(零点分区间法)由|x－1|＝0，|x＋2|＝0 得 x＝1， －2
①x－≤x－－21－x＋2≥5 ⇒x≤－3 ②－－2x<－x<11＋x＋2≥5 ⇒x∈∅ ③xx≥－11＋x＋2≥5 ⇒x≥2 由①、②、③并集得(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
1.已知，不等式的解集是
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若存在实数解，求实数的取值范围。
【答案】（Ⅰ）-2；（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）由含绝对值不等式解法转化为关于的一元一次不等式组求解，因为一次项系数
含参数，故需要分类讨论解出解决与已知原不等式解集比较，列出关于的方程，从而求出的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的值，将的解析式具体化，利用含绝对值不等式性质，求出的最小值，存在实数解，故，解此不等式得出不等式的解集就是实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由得：即
当时，原不等式的解集是，无解；
当时，原不等式的解集是，得（5分）
（Ⅱ）由题：
因为存在实数解，只需大于的最小值
由绝对值的几何意义，，所以
解得：（10分）
【考点】含绝对值不等式解法，含绝对值不等式性质，分类整合思想，含参数不等式有解问题
2.对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立，试求2+的最大值。
【答案】
【解析】本题主要考查恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式等基础知识，
考查学生的转化能力、计算能力．先将“对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立”转化为“”，利用绝对值的运算性质求出最小值，得到，再
利用柯西不等式求出，注意公式应用时等号成立的条件．
试题解析：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|="1" , 2分
故2+2≤1． 3分
(2+)2≤(22+12)( 2+2) ≤5． 5分
由 ,
即取=，时等号成立．故(2+)
=． 7分
max
【考点】恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式．
高三一轮复习课件绝对值不等式的解法(共16张PPT)
（2018全国Ⅰ卷23）已知 f (x) x 1 ax 1. (1)当a 1时，求不等式f (x) 1的解集； (2)若x (0,1)时不等式f (x) x成立，求a的取值范围.
（2017全国Ⅰ卷23）已知函数 f (x) x2 ax 4, g(x) x 1 x 1. (1)当a 1时，求不等式f (x) ≥ g(x)的解集； (2)若不等式f (x) ≥ g(x)的解集包含[1,1], 求a取值范围.
xa
a x, x a x a, x ≥ a
典例导练
例1.请利用绝对值的几何意义快速解出下列不等式的解集并完成表格.
(1) x 1; (2) x 0 ; (3) x 1; (1)x 1 x 1 (2) (3)
(4) x 1; (5) x 0 ; (6) x 1. (4)x x 1或x 1 (5)x x 0 (6)R
含有绝对值不等式 x a 与 x a 的解集：
不等式
a0
a0
a0
x a
x a x a
x a
x x a或x a x x 0
R
高三一轮复习
典例导练 变式1.不等式 x 1 1的解集为 (0,2) . （利用绝对值几何意义求解）
x 1 1
f (x) 1
f (x) a, a 0
f (x) a, a 0 a f (x) a f (x) a, a 0 f (x) a或f (x) a
高三数学(文科)一轮复习《绝对值不等式》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：
不等式 |x|＜a |x|＞a
a＞0
a＝0
{x_|－__a_＜_x_＜__a}
_∅____
{x_|_x＞__a_或__x_＜_－__a_} {x_|x_∈__R_且__x_≠_0}
a＜0 __∅___ __R___
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. (3)|x － a| ＋ |x － b|≥c(c ＞ 0) 和 |x － a| ＋ |x － b|≤c(c ＞ 0) 型 不 等 式 的 解 法． ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想． ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思
考点三 绝对值不等式的综合应用 [应用性、创新性]
[例3] [2022·惠州市高三调研考试]已知f(x)＝|x＋1|＋|ax－a＋1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若x≥1时，不等式f(x)≥x＋2恒成立，求a的取值范围．
考点一 含绝对值不等式的解法 [基础性、应用性]
[例1] [2021·全国甲卷]已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.
高三数学绝对值不等式试题
高三数学绝对值不等式试题
1.对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立，试求2+的最大值。
【答案】
【解析】本题主要考查恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力．先将“对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立”转化为“”，利用绝对值的运算性质求出最小值，得到，再利用柯西不等式求出，注意公式应用时等号成立的条件．
试题解析：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|="1" , 2分
故2+2≤1． 3分
(2+)2≤(22+12)( 2+2) ≤5． 5分
由 ,
=． 7分
即取=，时等号成立．故(2+)
max
【考点】恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式．
2.若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不等式对于一切非零实数均成立.由.所以.解得.故选C.
【考点】1.绝对值不等式.2.恒成立问题.
3.解不等式：3≤|5－2x|<9.
【答案】(－2，1]∪[4，7)．
【解析】得解集为(－2，1]∪[4，7)．
4.解不等式：|x＋3|－|2x－1|<＋1.
【答案】{x|x<－或x>2}
【解析】①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.
②当－3≤x<时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x<－.
③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.
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高中绝对值不等式(精华版)适合高三复
习用可直接打印 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
绝对值不等式
绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5
即函数的最小值是-5，最大值是5
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5
［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2
x －2x
－6|<3x
［思路］利用｜f(x)｜
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )
解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >1
2
}
(2)原不等式等价于－3x <2
x －2x －6<3x
即
222
226360
(3)(2)032(1)(6)0
16263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2 所以原不等式的解集是{x |2 1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234x x -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2 -3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2 -3x-4) ② 解①得：1-2 故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝ 分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2 -x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14)2 +74>0 所以｜x-x 2 -2｜中的绝对值符号可直接去掉. 故原不等式等价于x 2-x+2>x 2 -3x-4 解得：x>-3 ∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234 x x -≤1求解，但过 程较繁，由于不等式234 x x -≤1两边均为正，所以可平方后 求解. 原不等式等价于2 234 x x -≤1 ⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2 +16≥0 ⇒x 2≤1或x 2 ≥16 ⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4 注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程. 第2变 含两个绝对值的不等式 ［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜ f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2 (x)两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 ［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有： |x －1|2 <|x +a |2 即有2 x －2x +1<2x +2ax +2 a ，整理得(2a +2)x >1－ 2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >12(1－ a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1 (1)2 a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5. 解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5⇒-2x>6⇒x<-3. 当-3 ［请你试试4—2］ 1 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1) 解析：易知－1 lg(1)lg(1)||||lg lg x x a a -+> ∴22 |lg(1)||lg(1)| x x - >+ 于是2 2 lg (1)lg (1)0x x --+> ∴ [lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0x x x x -++--+> ∴2 1lg(1)lg 01x x x -->+ ∵－1 x <1 ∴lg (1－2x )<0 ∴1lg 1x x -+<0 ∴1011x x -< <+ 解得0 2．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。 解： |x+3|-|2x-1|=⎪⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎧ -≤-<<-+≥-)3(4) 213(24)21(4x x x x x x ∴当21 ≥x 时124+<-x x ∴x>2 当-3 2 3-<<-x