【配套K12】2018版高中数学第四章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2
配套K122018版高中数学第四章圆与方程习题课学案新人教A版必修2
第四章 圆与方程习题课目标定位 1.能根据条件求直线或圆的方程. 2.能利用坐标法解决一些简单的位置关系问题.3.通过研究圆上任意一点与直线上任意一点之间距离的最值问题及两圆关于直线对称问题，体会数形结合.化归的思想方法及解析法思想.自 主 预 习1.直线l ：y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相切或相交 C.相交D.相切解析 l 过定点A (1，1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在，∴l 与圆一定相交，故选C. 答案 C2.已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，则a 等于( ) A. 2 B.2－ 2 C.2－1D.2＋1解析 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为3，所以圆心到直线的距离为1，即|a －2＋3|2＝1，解得a ＝±2－1，因为a >0所以a ＝2－1，故选C. 答案 C3.与圆(x －3)3＋(y ＋2)2＝4关于直线x ＝－1对称的圆的方程为( ) A.(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝4 B.(x －3)2＋(y ＋2)2＝4 C.(x －5)2＋(y ＋2)2＝4 D.(x －3)2＋y 2＝4解析 已知圆的圆心(3，－2)关于直线x ＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝4. 答案 A4.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A.(x －5)2＋(y －7)2＝25B.(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15 C.(x －5)2＋(y －7)2＝9D.(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则（x －5）2＋（y ＋7）2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则（x －5）2＋（y ＋7）2＝4－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9. 答案 D5．(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝（1－0）2＋（1－2）2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B. 答案 B6.两圆相交于点A (1，3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________.解析 由圆的几何性质得直线垂直平分AB ， 有⎩⎪⎨⎪⎧3＋11－m ＝－1，1＋m 2－1＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3.答案 3题型一 与圆有关的最值问题【例1】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值；解 (1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以3为半径的圆，设y x＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3. 故y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2， 故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.规律方法 在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.【训练1】 过直线x －y ＋4＝0上任意一点P (x ，y )向圆x 2＋y 2＝1引切线，求切线长的最小值.解 如图，过O 点向直线x －y ＋4＝0引垂线，垂足为P ，过P 作圆x 2＋y 2＝1的一条切线PA ，A 为切点，此时P 点是直线上所有点中到O 点的距离最小的点，又|PA |2＝|PO |2－|PA |2，|AO |＝r ，∴|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫422－1＝7，∴|PA |＝7，∴切线长的最小值为7.题型二 与圆有关的轨迹问题【例2】 已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上运动，求线段OP 的中点M 的轨迹方程.解 法一 设点M (x ，y )，点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x2，y ＝y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .∵点P (x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上， ∴x 20＋y 20－8x 0－6×y 0＋21＝0.∴(2x )2＋(2y )2－8×(2x )－6×(2y )＋21＝0.即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x －3y ＋214＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，连接OC ，PC ，取线段OC 的中点A ，连接MA . 圆C 的方程可化为(x －4)2＋(y －3)2＝4，圆心C (4，3)，|CP |＝2.则点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 如图，在△OCP 中，M ，A 分别是OP ，OC 的中点，则|MA |＝12|CP |，即|MA |＝1.又当O ，C ，P 三点共线时，|MA |＝1. ∴点M 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的圆.∴点M 的轨迹方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1. 规律方法 本题法一为代入法：它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可.本题法二为定义法：动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程.【训练2】 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2＋y 2＝36内的一点，A ，B 是圆上两动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.解 设AB 的中点为R (x ，y )，连接AO ，RO .在Rt △ARO 中， |AR |2＝|AO |2－|OR |2＝36－(x 2＋y 2). 又∵|AR |＝|PR |＝（x －4）2＋y 2，∴(x －4)2＋y 2＝36－(x 2＋y 2)，即x 2＋y 2－4x －10＝0.∴点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点也在所求的轨迹上运动. 设Q (x ，y )，R (x 1，y 1)，由R 为PQ 中点，得x 1＝x ＋42，y 1＝y 2.将x 1＝x ＋42，y 1＝y2代入方程x 2＋y 2－4x －10＝0，得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋422＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22－4·x ＋42－10＝0.整理，得x 2＋y 2＝56.即点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝56. 题型三 过交点的圆系方程的应用【例3】 求过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程.解 设过两圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与C 2：x 2＋y 2－6x ＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＋λ(x 2＋y 2－6x )＝0，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2－(4＋6λ)x ＋2y ＋1＝0.把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0， 解得λ＝－34.∴圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋8y ＋4＝0.规律方法 当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1)＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可.【训练3】 求过直线x ＋3y －7＝0与圆x 2＋y 2＋2x －2y －3＝0的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为－8的圆的方程. 解 设过直线与圆的交点的圆的方程为 (x 2＋y 2＋2x －2y －3)＋λ(x ＋3y －7)＝0， 即x 2＋y 2＋(2＋λ)x ＋(3λ－2)y －3－7λ＝0. 令y ＝0，得x 2＋(2＋λ)x －3－7λ＝0， ∴圆在x 轴上的两个截距之和为－2－λ. 令x ＝0，得y 2＋(3λ－2)y －3－7λ＝0， ∴圆在y 轴上的两个截距之和为2－3λ. 由题意得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2. 故所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x ＋4y －17＝0. 题型四 利用坐标法解决直线与圆的问题【例4】 街头有一片绿地，绿地如图①所示(单位：m)，其中ABC 为圆弧，求此绿地面积(精确到0.1 m 2).解 如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A (0，7)，B (3，8)，C (7，6)，所以过A ，B ，C 三点的圆弧方程为(x －3)2＋(y －3)2＝25(0≤x ≤7，y ＞0). ∵|AC |＝（7－0）2＋（6－7）2＝52，∴∠AEC ＝90°. 故所求的面积为S梯形AODC ＋S弓形ABC＝S梯形AODC＋(S 扇形ACE －S △ACE )＝（7＋6）×72＋14π×52－12×52＝33＋25π4≈52.6 m 2，所以绿地面积为52.6 m 2.规律方法 利用坐标法解决实际问题一般需要三个步骤：(1)建立坐标系，将实际问题转化为数学问题；(2)解决数学问题；(3)将数学问题还原成实际问题.【训练4】 如图所示，l 1，l 2是通过某城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连接M 、N 两地之间的铁路线是圆心在l 2上的一般圆弧，点M 在点O 正北方向，且|MO |＝3 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为4 km 和5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O 正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4 km ，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于26 km ，求校址距离点O 的最近距离.(注：校址视为一个点)解 (1)以城市开发中心O 为原点，分别以l 2、l 1为x 轴、y 轴，建立直角坐标系. 根据题意，得M (0，3)，N (4，5)，故k MN ＝5－34－0＝12，MN 的中点为(2，4)，∴线段MN 的垂直平分线方程为y －4＝－2(x －2).令y ＝0，得x ＝4，故圆心A 的坐标为(4，0)， 半径r ＝（4－0）2＋（0－3）2＝5. ∴圆A 的方程为(x －4)2＋y 2＝25，∴MN ︵的方程为(x －4)2＋y 2＝25(0≤x ≤4，3≤y ≤5).(2)设校址选在点B (a ，0)(a ＞4)，则（x －a ）2＋y 2≥26对0≤x ≤4恒成立， 整理得(8－2a )x ＋a 2－17≥0，①对0≤x ≤4恒成立.令f (x )＝(8－2a )x ＋a 2－17，∵a ＞4，∴8－2a ＜0.∴f (x )在[0，4]上为减函数，要使①恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4，f （4）≥0，时，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞4，（8－2a ）4＋a 2－17≥0，∴a ≥5，即校址距离点O 的最近距离为5 km. [课堂小结]1.求圆的方程时，当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心坐标和半径时，一般用圆的标准方程比较方便；否则，用圆的一般方程较好，特别是当给出圆上三个点的坐标时，用一般方程可以得到关于D ，E ，F 的三元一次方程组，这比用圆的标准方程简便得多.2.与圆有关的最值问题包含的情况(1)求圆上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |；(2)求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min ＝m －r ；(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①yx ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.3.坐标法贯穿解析几何的始终，通过平面直角坐标系，研究了直线和圆的有关问题；通过建立坐标系，把点与坐标、曲线与方程等联系起来，将几何问题转化为代数问题，优化了思维的过程.基 础 过 关1.若圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为22，则c 的取值范围是( ) A.[－22，22] B.(－22，22) C.[－2，2]D.(－2，2)解析 圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝(32)2.由题意知，圆心到直线的距离应小于等于2，所以d ＝|2－2＋c |2＝|c |2≤2，所以|c |≤2，即－2≤c ≤2.答案 C2.实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x －6y ＋12＝0，则y x的最大值为( ) A.3 2B.3＋2 2C.2＋ 2D. 6解析 设y x＝k ，则y ＝kx ，代入x 2＋y 2－6x －6y ＋12＝0得(1＋k 2)x 2－6x －6kx ＋12＝0， 即(1＋k 2)x 2－(6＋6k )x ＋12＝0.∴Δ＝[－(6＋6k )]2－4×12×(1＋k 2)≥0， ∴3－22≤k ≤3＋2 2.∴y x的最大值为3＋ 2. 答案 B3.设有半径为3公里的圆形村落，A ，B 两人同时从村落中心出发，A 向东，而B 向北前进，A 离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A ，B 两人的速度都一定，且其比为3∶1，问A ，B 两人在________相遇.解析 如图所示，以村落中心为坐标原咪，以东西方向为x 轴，建立平面直角坐标系，又设A 向东走到D 转向到C 恰好与B 相遇，设CD 方程为x a ＋yb＝1(a ＞3，b ≥3)，设B 的速度为v ，则A 的速度为3v ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|ab |a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v ＝bv.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝154.所以，B 向北走3.75公里时相遇.答案 B 向北走3.75公里处4.已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________.解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案 x ＋y －1＝05.P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程为________.解析 设P (4，－2)与圆上任一点连线的中点坐标为(x ，y )，则由题意可知圆上的点的坐标为(2x －4，2y ＋2).所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 整理得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝16.已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值.(1)证明 圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2. ∴已知圆过定点(4，－2).(2)解 圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2， 即2＋5（a －2）2＝5a 2， 解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|，即|5（a －2）2－2|＝5a 2， 解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去).综上所述，a ＝1±55. 7.求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程.解 法一 设经过两圆交点的圆系方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ.又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.法二 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点分别为A (－1，－1)、B (3，3)，线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为y －1＝－(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－（x －1），x －y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，所以所求圆的圆心为(3，－1)，半径为（3－3）2＋[3－（－1）]2＝4.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.能 力 提 升8.若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( ) A.y 2－4x ＋4y ＋8＝0 B.y 2＋2x －2y ＋2＝0 C.y 2＋4x －4y ＋8＝0D.y 2－2x －y －1＝0解析 由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2，2)，所以过点C (－2，2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理得y 2＋4x －4y ＋8＝0. 答案 C9.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|x （x －1）＋y （y －1）≤r ＋12，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，若A ⊆B ，则实数r 可以取的一个值是( ) A.2＋1B. 3C.2D.1＋22解析 对于集合A ，将式子x (x －1)＋y (y －1)≤r ＋12化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≤r ＋1.当r ＜－1时，集合A 表示空集；当r ＝－1时，集合A 表示单元素集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12；当r ＞－1时，集合A 表示圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝r ＋1及其内部，圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，半径为r ＋1. 对于集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2}，当r ＝0时，B ＝{(0，0)}；当r ≠0时，表示以原点O 为圆心、半径为|r |的圆及其内部.∴根据A ⊆B ，可得A 为空集或圆C 在圆O 的内部，因此r ≤－1，或者圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝r ＋1与圆x 2＋y 2＝r 2内含或内切，即⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤|r －r ＋1|，对照A 、B 、C 、D 各项，只有r ＝2＋1满足上述不等式.故选A. 答案 A10.(2015·湖南高考)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.解析 如图，过O 点作OD ⊥AB 于D 点，在Rt △DOB 中，∠DOB ＝60°，∴∠DBO ＝30°，又|OD |＝|3×0－4×0＋5|5＝1，∴r ＝2|OD |＝2.答案 211.如图所示，已知定点A (2，0)，点Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.解 过M 作MN ∥OQ 交AO 于N ，设M 点坐标为(x ，y )，∵OM 平分∠AOQ ，∴|AM |∶|MQ |＝|OA |∶|OQ |.又∵|AO |＝2，|OQ |＝1，∴|AM |∶|MQ |＝2∶1.∵|AM |∶|MQ |＝|AN |∶|NO |，∴|AN |∶|NO |＝2∶1＝2.∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，|MN |∶|OQ |＝|AN |∶|AO |＝2∶3， ∴|MN |＝23|OQ |＝23， 即M 点到N 点的距离为23. ∴M 点的轨迹是以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0为圆心，23为半径的圆. ∴动点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝49. 探 究 创 新12.有一种大型商品，A ，B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A ，B 两地的距离是10 km ，顾客选A 或B 地购买商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A ，B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 解 如图，以A ，B 所确定的直线为x 轴，A ，B 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A (－5，0)，B (5，0).设某地P 的坐标为(x ，y )，且P 地居民选择A 地购买商品便宜，并设A 地的运费为3a 元/km ，B 地的运费为a 元/km ，当P 地居民到A ，B 两地购物的总费用相等时，有价格＋x A 地运费＝价格＋x B 地运费.∴3a （x ＋5）2＋y 2＝a （x －5）2＋y 2..∵a ＞0，∴3（x ＋5）2＋y 2＝（x －5）2＋y 2，两边平方，得9(x ＋5)2＋9y 2＝(x －5)2＋y 2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542. ∴以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－254，0为圆心，154为半径的圆是这两地购货的分界线. 圆C 内的居民从A 地购货便宜；圆C 外的居民从B 地购货便宜；圆C 上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等，因此，可随意从A 、B 两地之一购货.。
高中数学第四章圆与方程章末复习与总结课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程章末复习与总结课件
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(2)设点 P(a，b)满足条件，不妨设直线 l1 的方程为 y－b＝k(x －a)，k≠0，则直线 l2 的方程为 y－b＝－1k(x－a)．因为圆 C1 和 圆 C2 的半径相等，且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等，所以圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等，即
译”了，必须结合图形，仔细观察分析，有时可能需要比较
“绕”的转化才能将一个看似奇怪(或者不好利用)的几何条件
列出一个相对简洁的式子，但这样可以在很大程度上减少计算
量，大大降低出错的概率．
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【例 5】 已知三条直线 l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：
②当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y＋3＝k(x＋4)， 即 kx－y＋4k－3＝0.
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由题意可知|－k＋12＋＋k42k－3|2＋822＝52， 解得 k＝－43，即所求直线方程为 4x＋3y＋25＝0. 综上所述，满足题设的 l 方程为 x＝－4 或 4x＋3y＋25＝0.
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易错点 1 求解圆方程漏解致误
【例 6】 已知某圆圆心在 x 轴上，半径长为 5，且截 y 轴
所得线段长为 8，求该圆的标准方程．
【配套K12】2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.1.2
4.1.2 圆的一般方程学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点 圆的一般方程思考1 方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0，x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0分别表示什么图形？答案 对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x 2＋y 2－2x ＋4y ＋6＝0配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝－1，不表示任何图形． 思考2 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆？ 答案 对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方并移项，得(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F 4，①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，12D 2＋E 2－4F 为半径长的圆；②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，它表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形． 梳理类型一 圆的一般方程的概念例1 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求实数m 的取值范围，并写出圆心坐标和半径．解 由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0，解得m<15，即实数m的取值范围为(－∞，15)．圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m.反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．答案(1)(－2，－4)5(2)9π解析(1)由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×52＜0，∴a＝2不符合题意．当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－k2，－1)，由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，∴－k2＋1＋1＝0，得k＝4，∴圆x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的半径为1242＋22＋16＝3，∴该圆的面积为9π. 类型二 求圆的一般方程例2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)． (1)求△ABC 的外接圆的方程；(2)若点M (a,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值．解 (1)设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6. 引申探究若本例中将点“C (3，－1)”改为“圆C 过A ，B 两点且圆C 关于直线y ＝－x 对称”，其他条件不变，如何求圆C 的方程？解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为(72，52)，∵AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3(x －72)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－3(x －72)，得⎩⎨⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为(132，－132)，r ＝(132－2)2＋(－132－2)2＝ 3702， ∴圆C 的方程为(x －132)2＋(y ＋132)2＝1852.反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪训练2 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程．解 方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48. ④ 联立①②④解得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0，∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上， 设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径长 r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2.①由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋(432)2，代入①整理得a 2－6a ＋5＝0， 解得a 1＝1，a 2＝5， ∴r 1＝13，r 2＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37. 类型三 与圆有关的轨迹方程例3 已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0，求过点A (－3，－5)的直线交圆的弦PQ 的中点M 的轨迹方程．解 设所求轨迹上任一点M (x ，y )，圆的方程可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4，圆心坐标为C (3,3)．因为CM ⊥AM ，所以k CM ·k AM ＝－1， 即y －3x －3·y ＋5x ＋3＝－1， 即x 2＋(y ＋1)2＝25.所以弦PQ 的中点M 的轨迹方程为x 2＋(y ＋1)2＝25(已知圆内的部分)． 反思与感悟 求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P (x ，y )依赖于某圆上的一个动点Q (x 1，y 1)而运动，把x 1，y 1用x ，y 表示，再将Q 点的坐标代入到已知圆的方程中，得P 点的轨迹方程．易错警示 在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．跟踪训练3 已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上运动，求线段OP 的中点M 的轨迹方程．解 设点M (x ，y )，点P (x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y .∵点P (x 0，y 0)在圆C ：x 2＋y 2－8x －6y ＋21＝0上，∴x 20＋y 20－8x 0－6y 0＋21＝0，∴(2x )2＋(2y )2－8×(2x )－6×(2y )＋21＝0， 即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x －3y ＋214＝0.1．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的面积为( ) A ．8π B ．4π C ．2π D ．π 答案 C解析 原方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2， ∴半径r ＝2，∴圆的面积为S ＝πr 2＝2π.2．若点M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0内一点，则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0 D ．2x ＋y －6＝0答案 C解析 圆x 2＋y 2－8x －4y ＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M (3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由k ＝2－04－3＝2，可知C 正确．3．方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤2 B ．m ＜12C ．m ＜2D ．m ≤12答案 B解析 由D 2＋E 2－4F ＞0，得(－1)2＋12－4m ＞0， 即m ＜12.4．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为( ) A ．－2,4,4 B ．－2，－4,4 C ．2，－4,4 D ．2，－4，－4 答案 A解析 由方程得圆心坐标为(－a ，b2)，半径为r ＝4a 2＋b 2－4c 2.由已知，得－a ＝2，b2＝2，4a 2＋b 2－4c2＝2，解得a ＝－2，b ＝4，c ＝4.5.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程．解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .①因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4， 整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D 2＋E 2－4F 是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 2．待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D 、E 、F .3．求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x ，y )． (2)列出点M 满足条件的集合．(3)用坐标表示上述条件，列出方程f (x ，y )＝0. (4)将上述方程化简．(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．课时作业一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B.22C ．1 D. 2 答案 D解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2.2．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b ) 答案 D解析 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴方程表示点(－a ，－b )．3．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0 答案 C解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1,2)． ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r ＞0)的圆，则该圆的圆心在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是圆， 又方程可化为(x ＋a 2)2＋(y －a )2＝－34a 2－3a ，故圆心坐标为(－a 2，a )，r 2＝－34a 2－3a .由r 2＞0，即－34a 2－3a ＞0，解得－4＜a ＜0，故该圆的圆心在第四象限．5．若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞0 B ．m ＜12C ．0＜m ＜12D ．0≤m ≤12答案 C解析 x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0可化为(x －12)2＋(y ＋12)2＝12－m ，则12－m ＞0，解得m ＜12. 因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m ＞0， 即m ＞0，所以0＜m ＜12.故选C.6．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连线PQ 的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1 答案 C解析 设P (x 1，y 1)，PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )， ∵Q (3,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋32，y ＝y 1＋02，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，故选C.7．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43 答案 B解析 设△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，4＋3＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.即△ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2－2x －433y ＋1＝0. ∴圆心坐标为(1，233)， ∴圆心到原点的距离为 12＋(233)2＝213. 8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心C 的坐标为(a,0)，a >0，∴d ＝|3a ＋4|5＝2， ∴a ＝2，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.二、填空题9．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.答案 －2解析 由题意知，直线l ：x －y ＋2＝0过圆心(－1，－a 2)，则－1＋a 2＋2＝0，得a ＝－2. 10．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_____． 答案 (0，－1)解析 因为r ＝12k 2＋4－4k 2＝124－3k 2，所以当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x 2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．11．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析 由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4， 所以圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此得a －b ＜1.三、解答题12．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程．解 圆心C 的坐标为(－D 2，－E 2)， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2. ① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20. ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2. 又圆心在第二象限，所以－D 2<0，即D >0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4， 所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.四、探究与拓展13．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞) 答案 D解析 曲线C 的方程可化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，则曲线C 表示的是以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆．要使圆C 上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a )必须在第二象限，从而有a >0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C 的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a |，则有|－a |>2，故a >2.14．已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R)表示的图形是圆．(1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围．解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0，由二次函数的图象，解得－17<t <1. ∴t 的取值范围为(－17，1)． (2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝ －7(t －37)2＋167， ∴当t ＝37∈(－17，1)时，r max ＝477，此时圆的面积最大， 所对应的圆的方程是(x －247)2＋(y ＋1349)2＝167. (3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)×(4t 2)＋16t 4＋9<0时，点P 恒在圆内， ∴8t 2－6t <0，∴0<t <34，满足圆的定义． ∴t 的取值范围为(0，34)．。
【配套K12】2018版高中数学第四章圆与方程4.14.1.1圆的标准方程学案新人教A版必修2
4.1.1 圆的标准方程目标定位 1.探索并掌握圆的标准方程的特点，会根据圆的方程求出圆心坐标和半径.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.会用待定系数法求圆的方程.自主预习1.圆的定义及圆的标准方程(1)圆的定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径.(2)圆的标准方程2.点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：若|CM|＝r，则点M在圆上；若|CM|>r，则点M在圆外；若|CM|<r，则点M在圆内.(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：点M(m，n)在圆C上⇔(m－a)2＋(n－b)2＝r2；点M(m，n)在圆C外⇔(m－a)2＋(n－b)2>r2；点M(m，n)在圆C内⇔(m－a)2＋(n－b)2<r2.即时自测1.判断题(1)确定圆的标准方程需要三个独立的条件，即圆心的横、纵坐标及半径.(√)(2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.(√)(3)点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上和点在圆外.(√)(4)圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m＞0)的圆心坐标为(－1，2)，半径为m.(×)提示(4)圆的半径为m.2.圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2的半径为( ) A.1 B. 2 C.2 D.4答案 B3.已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，点P (x 0，y 0)在圆C 内部，且d ＝(x 0－1)2＋(y 0＋2)2，则有( ) A.d ＞2B.d ＜2C.d ＞4D.d ＜4解析 点P (x 0，y 0)在圆C 内部可知，(x 0－1)2＋(y 0＋2)2＜4，所以d ＜4. 答案 D4.给出以下五个点的坐标：①(1，1)，②(2，1)，③(0，0)，④(2，2)，⑤(2，0).以上各点在圆(x －1)2＋(y －1)2＝2上的是________.(写出所有可能的序号) 解析 分别将五个点的坐标代入圆的方程检验可知③⑤适合圆的方程. 答案 ③⑤类型一 点与圆的位置关系【例1】 已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围. 解 由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞). 规律方法 判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： ①当(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2时，点在圆内， ②当(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2时，点在圆上， ③当(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2时，点在圆外.【训练1】 点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上D.不确定解析 把点P (m 2，5)代入圆的方程x 2＋y 2＝24得m 4＋25>24，故点P 在圆外. 答案 A类型二 求圆的标准方程(互动探究)【例2】 求过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程.[思路探究]探究点一 如何确定该圆圆心？提示 由已知该圆圆心为线段AB 的垂直平分线与直线x ＋y －2＝0的交点，可通过解方程组求出圆心坐标.探究点二 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是什么？ 提示 (1)根据题意，设出标准方程； (2)根据条件，列关于a ，b ，r 的方程组； (3)解出a ，b ，r ，代入标准方程. 解 法一 设点C 为圆心， ∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a ，2－a ). 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |.∴（a －1）2＋（2－a ＋1）2＝（a ＋1）2＋（2－a －1）2， 解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1，1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二 由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝1－（－1）－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为 （1－1）2＋[1－（－1）]2＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.规律方法 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.【训练2】 以两点A (－3，－1)和B (5，5)为直径端点的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y －2)2＝10 B.(x －1)2＋(y －2)2＝100 C.(x －1)2＋(y －2)2＝5D.(x －1)2＋(y －2)2＝25解析 ∵点A (－3，－1)和B (5，5)的中点坐标为(1，2)， ∴以A 、B 为直径的圆的圆心坐标为(1，2)， 半径r ＝12（5＋3）2＋（5＋1）2＝5.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 答案 D类型三 圆的方程的综合应用【例3】 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1，0)，B (5，0)， (1)求此圆的标准方程；(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值. 解 (1)由已知，得C (3，0)r ＝|AB |2＝2∴所求方程为(x －3)2＋y 2＝4 (2)圆心C 到直线x －y ＋1的距离d ＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22＞2.∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.规律方法 解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题. 【训练3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0，1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|PA |2＋|PB |2，求d 的最大值及最小值. 解 设P (x ，y )，则d ＝|PA |2＋|PB |2＝2(x 2＋y 2)＋2. ∵|CO |2＝32＋42＝25， ∴(5－1)2≤x 2＋y 2≤(5＋1)2. 即16≤x 2＋y 2≤36.∴d 的最小值为2×16＋2＝34. 最大值为2×36＋2＝74. [课堂小结]1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.1.圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝2的圆心和半径分别是( ) A.(－2，3)，1 B.(2，－3)，3 C.(－2，3)， 2D.(2，－3)， 2解析 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2. 答案 D2.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是( )A.－1＜a＜1B.0＜a＜1C.a＜－1或a＞1D.a＝±1解析∵(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴2a2＋2＜4，∴a2＜1，∴－1＜a＜1.答案 A3.已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________.解析C1圆心为(5，3)，C2圆心为(2，－1)，则d＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.答案 54.求满足下列条件的圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)圆心坐标为(3，4)，半径是5；(3)经过点(5，1)，圆心坐标为(8，－3).解(1)x2＋y2＝9.(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5.(3)∵圆的半径r＝（5－8）2＋（1＋3）2＝5，圆心在点(8，－3)，∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.基础过关1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9解析由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.答案 D2.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝0解析圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.答案 D3.若点(4a －1，3a ＋2)不在圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25的外部，则a 的取值范围是( ) A.－55＜a ＜55 B.－1＜a ＜1 C.－55≤a ≤55D.－1≤a ≤1解析 由已知，得(4a )2＋(3a )2≤25. ∴a 2≤1，∴|a |≤1，即－1≤a ≤1. 答案 D4.圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________. 解析 设圆心(0，b )，设圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2＝1， 把(1，2)代入得12＋(2－b )2＝1，∴b ＝2. ∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案 x 2＋(y －2)2＝15.若圆C 的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________. 解析 由题意知圆C 的圆心为(0，1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 答案 x 2＋(y －1)2＝16.已知圆C ：(x －5)2＋(y －6)2＝10，试判断点M (6，9)，N (3，3)，Q (5，3)与圆C 的位置关系.解 圆心C (5，6)，半径r ＝10. |CM |＝（6－5）2＋（9－6）2＝10， |CN |＝（3－5）2＋（3－6）2＝13＞10， |CQ |＝（5－5）2＋（3－6）2＝3＜10. 因此点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内. 7.已知直线l 与圆C 相交于点P (1，0)和点Q (0，1). (1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程. 解 (1)PQ 的方程为x ＋y －1＝0，PQ 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y ＝x .(2)由条件设圆的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝1.由圆过P ，Q 点得：⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋b 2＝1，a 2＋（1－b ）2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.所以圆C 方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2＝1.能 力 提 升8.若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析 (－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，再由各象限内点的坐标的性质得解. 答案 D9.已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A.(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 B.(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 C.(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D.(x ＋2)2＋(y －3)2＝52解析 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝（2－0）2＋（－3－0）2＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13. 答案 B10.已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2，则t ＝y ＋3x ＋1的取值范围是________. 解析 y ＝9－x 2表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：A (－1，－3)，B (3，0)，C (－3，0)，则k AB ＝34，k AC ＝－32，∴t ≤－32或t ≥34.答案 t ≤－32或t ≥3411.求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程.解 圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1.设所求圆的圆心为(m ，n )，它与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1m －12·1＝－1，m ＋122－n －12＋1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝32. ∴所求圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52.∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝54.探 究 创 新12.已知点A (－2，－2)，B (－2，6)，C (4，－2)，点P 在圆x 2＋y 2＝4上运动，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最值.解 设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝4.|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y .∵－2≤y ≤2，∴72≤|PA |2＋|PB |2＋|PC |2≤88. 即|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72.。
高中数学第4章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2
高中数学第4章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2求圆的方程【例1】 求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程．[解] 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12，r ＝|b |.又圆心(a ，b )在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝12，r＝1，b＝±1.所以所求圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋(y－1)2＝1，或⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋(y＋1)2＝1.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组)．(3)解出a, b, r(或D, E, F)．(4)代入圆的方程．1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．[解]设圆心为M(m，0)(m∈Z)，由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以|4m－29|5＝5，即|4m－29|＝25，因为m为整数，故m＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.直线与圆的位置关系(1)m∈R时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．[解](1)直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4, －3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．(2)如图，当圆心C (3, －6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，所以直线l 的斜率为－13，所以m ＝－16.在△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5， 所以|AP |2＝|AC |2－|PC |2＝25－10＝15， 所以|AP |＝15，所以|AB |＝215， 即最短弦长为215.直线与圆位置关系的判断：直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法. 一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．2．已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得弦长相等，求此时直线l 1的方程．[解] (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a , －a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2，解得a ＝－2. 因为圆心C (－2，0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1，所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.圆与圆的位置关系C 1x 2y 2x y C 2x 2y 2x y (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．[解] (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2，2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝（－2－4）2＋（2＋2）2＝213＝r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0， 即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.判断两圆位置关系的两种比较方法：(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系．(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能象几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A , B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．x ＋y －3＝0 [AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3，0)，C 2(0，3)，所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.]空间中点的坐标及距离公式的应用【例4】 如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．[解] 由题意应先建立坐标系，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B (a ，a ，0)，A ′(a ，0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0，0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a .根据空间两点间的距离公式， 可得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝（ 1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.。
高中数学第四章圆与方程复习教案新人教A版必修2
1.了解解析几何的基本思想 ,了解用坐标法研究几何问题 ;掌握圆的标准方程和一 般方程,加深对圆的方程的认识. 教 学 目 标 2.能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能用直线与圆 的方程解决一些简单问题. 3.了解空间直角坐标系 ,会用空间直角坐标系刻画点的位置,会用空间两点间的距 离公式. 4.通过本节的复习,使学生形成系统的知识结构,掌握几种重要的数学思想方法,形 成一定的分析问题和解决问题的能力. 教 学 教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成. 重、 教学难点:整理形成本章的知识系统和网络. 难 点 教 学 多媒体课件 准 备
2 2 所以圆心 C(2,1),r=|CA|= (5 2) ( 2 1) 10
所以所求圆的方程为(x－2) ＋(y－1) =10. 点评: 本题介绍了几何法求圆的标准方程 ,利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用 两圆相切时连心线过切点,可得圆心满足的一条直线方程 ,结合其他条件可确定圆 心,由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到圆的标准方程.其实求圆的标准方 程,就是求圆的圆心和半径,有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算,可大大简 化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程,则需要三个独立的条件,“选 标准,定参数”是解题的基本方法,其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方 程形式,进而确定其中三个参数. 变式训练 圆：x +y -4x+6y=0 和圆：x +y -6x=0 交于 A、B 两点,则 AB 的垂直平分线的方 程是( A.x+y+3=0 D.4x-3y+7=0 答案：C(由平面几何知识知 AB 的垂直平分线就是连心线.) 例 2 两定点 A、B 相距为 8,求到 A、B 的距离的平方和为 50 的点 P 的轨迹方程. ) B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.1.2
4.1.2 圆的一般方程[学习目标] 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般方程.知识点一 圆的一般方程的定义1.当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，22.当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2.3.当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形.思考 若二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，表示圆，需满足什么条件？ 答 ①A ＝C ≠0；②B ＝0；③D 2＋E 2－4AF ＞0. 知识点二 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0).则其位置关系如下表：题型一 圆的一般方程的定义例1 判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长.解 方法一 由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0，知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， 故D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.方法二 原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2. 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆.此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径长r ＝5|m －2|.反思与感悟 对形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断D 2＋E 2－4F 是否为正.若D 2＋E 2－4F ＞0，则方程表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方变为“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆. 跟踪训练1 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.题型二 求圆的一般方程例2 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解 方法一 设△ABC 的外接圆方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵A ，B ，C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二 设△ABC 的外接圆方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(4－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(3－b )2＝r 2，(4－a )2＋(－5－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 方法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 反思与感悟 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .跟踪训练2 已知一个圆过P (4,2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两根， ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.①将P ，Q 两点的坐标分别代入圆的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＝－20，②D －3E －F ＝10.③解①②③联立成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10625，E ＝－565，F ＝48425.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10625x －565y ＋48425＝0.题型三 求动点的轨迹方程例3 已知直角△ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)，求直角顶点C 的轨迹方程.解 方法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3，且x ≠－1.又因为k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简，得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法二 同方法一，得x ≠3，且x ≠－1. 由勾股定理，得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.所以直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3，且x ≠－1). 方法三 设AB 的中点为D ，由中点坐标公式，得D (1,0). 由直角三角形的性质，知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义，知动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，以2为半径长的圆(因为A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点).设C (x ，y )，则直角顶点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3，且x ≠－1). 反思与感悟 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. (3)相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.跟踪训练3 求到点O (0,0)的距离是到点A (3,0)的距离的12的点的轨迹方程.解 设M (x ，y )到O (0,0)的距离是到A (3,0)的距离的12.则|MO ||MA |＝12.∴x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12. 化简，得x 2＋y 2＋2x －3＝0.即所求轨迹方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.代入法求圆的方程例4 已知定圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，点A (1,0)为定圆上的一个点，点C 为定圆上的一个动点，M 为动弦AC 的中点，求点M 的轨迹方程.分析 由于点M 依赖于动点C ，且动点C 在圆上，故只要找到点M 与点C 的坐标关系，再利用点C 的坐标满足圆的方程，即可求得点M 的轨迹方程. 解 设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为M 是动弦AC 的中点，所以由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .① 因为点C 与点A 不重合，所以x 0≠1，即x ≠1. 又因为点C (x 0，y 0)在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上， 所以(x 0＋1)2＋y 20＝4(x 0≠1)，②将①代入②，得(2x －1＋1)2＋(2y )2＝4(x ≠1)， 即x 2＋y 2＝1(x ≠1).因此，动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(x ≠1).解后反思 对于“双动点”问题，若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，则通常采用本例的方法，这种求轨迹方程的方法叫做代入法.忽略有关圆的范围求最值致误例5 已知圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，点P (x ，y )在圆上运动，求2x 2＋y 2的最值.分析 由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0，求得x 的范围.而点P (x ，y )在圆上，则可将2x 2＋y 2转化为关于x 的二次函数，就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题. 解 由x 2＋y 2－2x ＝0，得y 2＝－x 2＋2x ≥0. 所以0≤x ≤2.又因为2x 2＋y 2＝2x 2－x 2＋2x ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， 所以0≤2x 2＋y 2≤8.所以当x ＝0，y ＝0时，2x 2＋y 2有最小值0， 当x ＝2，y ＝0时，2x 2＋y 2有最大值8. 故2x 2＋y 2有最小值0，最大值8.1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2,3)B.(－2,3)C.(－2，－3)D.(2，－3)答案 D解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).2.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12 B.k ＝12 C.k ≥12 D.k <12答案 D解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.3.M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，过点M 的最长弦所在的直线方程是( ) A.x ＋y －3＝0 B.x －y －3＝0 C.2x －y －6＝0 D.2x ＋y －6＝0答案 B解析 过点M 的最长弦应为过点M 的直径所在的直线.易得圆的圆心为(4,1)，则所求直线的方程为y －10－1＝x －43－4，即x －y －3＝0.4.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A.2 B.22C.1D.2 答案 D解析 易得圆的圆心为(1，－2)，它到直线x －y ＝1的距离为|1＋2－1|12＋12＝ 2.5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 答案114解析 因(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ， ∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.一、选择题1.圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径长分别为( ) A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4 C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16答案 C解析 由x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0，得(x ＋2)2＋(y －3)2＝16，故圆心为(－2,3)，半径长为4. 2.圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程是( ) A.(x ＋1)2＋(y －2)2＝5 B.(x ＋4)2＋(y －1)2＝5 C.(x ＋2)2＋(y －3)2＝5 D.(x －2)2＋(y ＋3)2＝5答案 C解析 把圆C 的方程化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，∴圆心C (2，－1)，设圆心C 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C ′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－(－1)x 0－2＝－1，y 0－12＝x 0＋22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝3，故C ′(－2,3)∴圆C 关于直线y ＝x ＋1对称的圆的方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝5.3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0答案 C解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.4.已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 的面积最小值是( )A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22 D.3－22答案 A解析 直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|1－0＋2|2＝322，所以，圆上任意一点到直线AB 的最小距离为322－1，S △ABC ＝12×|AB |×⎝⎛⎭⎫322－1＝12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－ 2. 5.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎤0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 答案 A解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14，故选A.6.若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( ) A. 5 B.5 C.2 5 D.10 答案 B解析 直线l 过圆心C (－2，－1)，则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.7.已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形直角顶点P 的轨迹方程是( ) A.x 2＋y 2＝4(x ≠±2) B.x 2＋y 2＝4 C.x 2＋y 2＝2(x ≠±2) D.x 2＋y 2＝2 答案 A解析 设P (x ，y )，则PM ⊥PN . 又k PM ＝y －0x －(－2)＝yx ＋2(x ≠－2)，k PN ＝y －0x －2＝yx －2(x ≠2)， ∵k PM ·k PN ＝－1，∴y x ＋2·yx －2＝－1，即x 2－4＋y 2＝0，即x 2＋y 2＝4(x ≠±2).当x ＝2时，不能构成以MN 为斜边的直角三角形， 因此不成立.同理当x ＝－2时也不成立. 故点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝4(x ≠±2). 二、填空题8.已知点A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，则m 的取值范围是________.答案 m ＜－13解析 因为A (1,2)在圆x 2＋y 2＋2x ＋3y ＋m ＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m ＜0，解得m ＜－13. 又由4＋9－4m ＞0，得m ＜134. 综上，m ＜－13.9.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6.若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝9解析 设圆心为M (x ，y ).由|AB |＝6，知圆M 的半径长r ＝3，则|MC |＝3，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝3，所以(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.10.点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________. 答案 x 2＋y 2＝4解析 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.11.光线从点A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于______. 答案 62－2解析 ∵A (1,1)关于y 轴对称点为A ′(－1,1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2， |A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2. 三、解答题12.已知一圆过P (4，－2)、Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程. 解 方法一 设圆的方程为： x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，① 将P 、Q 的坐标分别代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0，④由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程④的两根. ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.⑤解②③⑤联立成的方程组， 得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求方程为：x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 求得PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.① ∵所求圆的圆心C 在直线①上， 故设其坐标为(a ，a －1)，又圆C 的半径r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2 .②由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆C 到y 轴的距离为|a |. r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322，代入②并将两端平方， 得a 2－6a ＋5＝0， 解得a 1＝1，a 2＝5. ∴r 1＝13，r 2＝37.故所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.13.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆. (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3,4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围.解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1>0， 由二次函数的图象解得－17<t <1.(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7(t －37)2＋167，∴当t ＝37∈(－17，1)时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是(x －247)2＋(y ＋1349)2＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9<0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t <0，∴0<t <34.。
2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义第四章圆与方程章末复习课 Word版含答案
学习目标.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程，能解决直线与圆的综合问题，并学会运用数形结合的数学思想．
．圆的方程
()圆的标准方程：(－)＋(－)＝.
()圆的一般方程：＋＋＋＋＝(＋－>)．
．点和圆的位置关系
设点(，)及圆的方程(－)＋(－)＝.
()(－)＋(－)>⇔点在圆外．
()(－)＋(－)<⇔点在圆内．
()(－)＋(－)＝⇔点在圆上．
．直线与圆的位置关系
设直线与圆的圆心之间的距离为，圆的半径为，则>→相离；＝→相切；<→相交．
．圆与圆的位置关系
设与的圆心距为，半径分别为与，则
位置关系相离外切相交内切内含
图示
与，的关系>＋＝＋－<<＋＝－<－.求圆的方程时常用的四个几何性质
．与圆有关的最值问题的常见类型
()形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
()形如＝＋形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
()形如(－)＋(－)形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．
．计算直线被圆截得的弦长的常用方法
()几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
()代数方法
运用根与系数的关系及弦长公式
＝－
＝.
注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
．空间中两点的距离公式
空间中点(，，)，点(，，)之间的距离＝.。
高中数学 第四章 圆与方程章末复习课 新人教A版必修2
【金版学案】2016-2017学年高中数学第四章圆与方程章末复习课新人教A版必修2[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．注意轨迹与轨迹方程的区别(1)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．(2)求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由条件判断轨迹图形，再由图形求方程．2．注意条件，避免忽略隐含条件致错圆的方程问题的破解关键是“圆心”和“半径”，特别是对于圆的一般方程，一定要注意其隐含条件，即D2＋E2－4F>0，否则，易造成增解或漏解．3．注意过程，避免忽略多解致错有关圆的方程的问题在求解的过程中要特别注意漏解的情况，因为决定圆的方程的条件一般是圆心和半径，但符合条件的圆往往不止一个，因此要特别注意多解的产生．4．运用代数法判断两圆位置关系时的易错点用代数法判断两圆的位置关系时，方程组一解或无解时两圆的位置关系不确定，还需进一步判断．当两圆的方程组成的方程组无解时，两圆无公共点，两圆可能相离也可能内含；只有一组解时，两圆只有一个公共点，两圆可能外切也可能内切．专题一 求圆的方程圆的方程有两种形式，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2明确了圆心和半径，圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)体现了圆的二元二次方程的特点．在实际求解中常常先求出圆的标准方程，再化简为一般方程，求圆的方程常用的方法为几何法和待定系数法．[例1] 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－1，5)，B (－2，－2)，C (5，5)，求其外接圆的一般方程．解：法一 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)， 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20.故圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.法二 由题意可求得弦AC 的中垂线方程为x ＝2，BC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以圆心P 的坐标为(2，1)． 圆半径r ＝|AP |＝（2＋1）2＋（1－5）2＝5. 所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25， 即x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. 归纳升华用待定系数法求圆的方程的一般步骤第一步：选择圆的方程的某一形式；第二步：由题意，得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)； 第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F )； 第四步：代入圆的方程．在高考中单独求圆的方程的情况不多，一般在考查直线与圆的位置关系中间接考查． [变式训练] 已知△ABC 三边所在直线的方程为AB ：x ＋2y ＋2＝0，BC ：2x －y －6＝0，CA ：x －2y ＋6＝0，求△ABC 的外接圆的方程．解：由题先求出△ABC 的三个顶点． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，2x －y －6＝0得B (2，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6＝0，x －2y ＋6＝0得C (6，6)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋6＝0得A (－4，1)， 又A 、B 、C 都在外接圆上，故设外接圆方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，（6－a ）2＋（6－b ）2＝r 2，（－4－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，得a ＝1，b ＝72，r 2＝1254.所以所求外接圆方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －722＝1254.专题二 直线与圆的位置关系讨论直线与圆的位置关系时，一般可以从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(直线到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中用几何特征解决与圆有关的问题比较简捷实用．如直线与圆相交求弦长时，利用公式⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2(其中，弦长为l ，弦心距为d ，半径为r )比利用代数法求弦长要简单实用．[例2] (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：(1)由题意，知点M 在圆外，则a 2＋b 2>1.圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．(2)由圆的方程可知，圆心为(2，－1)，半径r 为2.如图所示，设已知直线被圆截得的弦为AB ，取弦AB 的中点P ，连接CP ，则CP ⊥AB ，圆心到直线AB 的距离d ＝|CP |＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355.在Rt △ACP 中，|AP |＝r 2－d 2＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝555， 故直线被圆截得的弦长|AB |＝2|AP |＝2555.答案：(1)B (2)2555归纳升华1．确定直线与圆的位置关系可用几何法，也可用代数法，但代数法计算较为烦琐，而几何法的关键在于比较圆心到直线的距离与半径的大小关系．同学们应熟练掌握几何法．2．求直线与圆相交形成的弦长问题，一般不采用代数法，而是利用圆的几何性质构造相应的直角三角形，利用数形结合求解．[变式训练] (1)已知过点P (2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________． 解析：(1)由题意，知圆心为(1，0)．由圆的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x ＋ay ＋c ＝0.因为切线x ＋ay ＋c ＝0过点P (2，2)，所以c ＝－2－2a ，所以|1－2－2a |1＋a2＝5，解得a ＝2. (2)x 2＋y 2＋2ay ＝6，x 2＋y 2＝4， 两式相减得y ＝1a.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1a ，x 2＋y 2＝4，消去y 得x 2＝4a 2－1a2(a >0)．所以24a 2－1a＝23，解得a ＝1.答案：(1)C (2)1 专题三 圆中的对称问题圆关于点、直线对称的圆形仍然是一个和原来的图形全等的圆．因此，求对称的圆的方程，只需要求出圆心关于点、直线对称的点的坐标即可，半径大小不变．[例3] 求圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l ：x ＋y ＋1＝0对称的圆C ′的方程． 解：法一 由条件，知所求圆的圆心C ′(a ，b )与圆C 的圆心C (2，3)关于直线l 对称．故有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －2·（－1）＝－1，a ＋22＋b ＋32＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.即C ′(－4，－3)．故圆C ′的方程为(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝1.法二 设M (x ，y )为曲线C ′上的任意一点，并设点M 关于直线l: x ＋y ＋1＝0的对称点为M ′(x 0，y 0)，则点M ′(x 0，y 0)在曲线C 上，即(x 0－2)2＋(y 0－3)2＝1.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0－yx 0－x ＝1，x ＋x 02＋y ＋y 02＋1＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1－y ，y 0＝－1－x . 代入(x 0－2)2＋(y 0－3)2＝1，得(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝1. 故圆C ′的方程为(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝1. 归纳升华点关于点对称，直线关于点对称，主要是利用中点坐标公式；点关于直线对称，利用垂直和中点坐标公式；直线关于直线对称，有可能平行，也有可能相交，都可利用点到直线的距离公式．[变式训练] 自点A (－3，3)发出的光线射到x 轴上，被x 轴反射后，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求入射光线l 所在的直线方程．解：如图所示，圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆C ′为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，由题意设过A 点与圆C ′相切的直线斜率为k ，则l ：y －3＝k (x ＋3)．点(2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋3k ＋3|1＋k2＝1，解得k ＝－34或k ＝－43.所以入射光线l 的方程为：3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.专题四 数形结合思想1．数形结合的思想方法是一种重要的方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围，其中可先找出要求最值的量的几何意义，再应用平面几何知识求解．2．与圆有关的最值问题是本章中的一个难点，常见的类型包括以下几种． (1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝|OP |－r ；(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离： 设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min ＝|m －r |； (3)已知某点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求y x ，y －m x －n，x 2＋y 2等式子的最值，一般运用几何法求解．[例4] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1)．所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.图1 图2 图3(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)． 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 归纳升华此类问题应首先从代数式的几何意义入手，把代数问题转化为几何问题，再作出几何图形，根据图形的几何性质，观察最值出现的位置，从而解决代数式的最值问题，这是用几何方法解决代数问题的常用方法．[变式训练] (1)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2(2)已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值． (1)解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径长为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：B(2)解：设x ＋y ＝t ，由题意，知直线x ＋y ＝t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点， 所以d ≤r ，即|3＋3－t |2≤ 6.所以6－23≤t ≤6＋2 3.所以x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.。
人教A版高中数学必修2 第4章 圆与方程【导学案】
§4.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程.学习过程一、课前准备（预习教材P124~P127，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学※学习探究新知：圆心为(,)A a b，半径为r的圆的方程222()()x a y b r-+-=叫做圆的标准方程.特殊：若圆心为坐标原点，这时a b==，则圆的方程就是222x y r+=探究：确定圆的标准方程的基本要素？※典型例题例写出圆心为(2,3)A-，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(5,1)M M---是否在这个圆上.小结：点00(,)M x y与圆222()()x a y b r-+-=的关系的判断方法：⑴2200()()x a y b-+->2r，点在圆外；⑵2200()()x a y b-+-=2r，点在圆上；⑶2200()()x a y b-+-<2r，点在圆内.变式:ABC的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B-(2,8)C-，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r的方程组，求,,a b r或直接求出圆心(,)a b和半径r.2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例2已知圆C经过点(1,1)A和(2,2)B-,且圆心在直线:10l x y-+=上,求此圆的标准方程.※动手试试练1.已知圆经过点(5,1)P，圆心在点(8,3)C-的圆的标准方程.练2.求以(1,3)C为圆心，并且和直线3470x y--=相切的圆的方程三、总结提升※学习小结一．方法规纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于a b r、、的方程组，解方程组得到a b r、、得值，写出圆的标准方程.⑵根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(2,4),(4,0)A B-，则以AB为直径的圆的方程（）.A．22(1)(2)52x y++-=B．22(1)(2)52x y+++= C．22(1)(2)52x y-+-=D．22(1)(2)52x y-++= 2.点2(,5)P m与圆的2224x y+=的位置关系是（）.A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定3.圆心在直线2x=上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)A B--，则圆C的方程为（）. A．22(2)(3)5x y-+-=B．22(2)(3)25x y-+-= C．22(2)(3)5x y-++=D．22(2)(3)25x y-++= 4.圆关于22(2)5x y++=关于原点(0,0)对称的圆的方程5.过点(2,4)A向圆224x y+=所引的切线方程.1.已知圆的圆心在直线20x y+=上，且与直线10x y+-=切于点(2,1)-，求圆的标准方程.2.已知圆2225x y+=求：⑴过点(4,3)A-的切线方程.⑵过点(5,2)B-的切线方程§4.1圆的一般方程1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件；2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程；3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力127130，找出疑惑之处）1．已知圆的圆心为),(b a C ，半径为r ，则圆的标准方程，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.二、新课导学※学习探究问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以(,22D E--为圆心为半径的圆；⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2Dx =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？※典型例题例1判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例2已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.※动手试试练1.求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2.已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.三、总结提升※学习小结1．方程220x y Dx Ey F ++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握.3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组；⑶解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则有（）.A ．2m ≤ B.2m <C ．12m <D ．12m ≤2.圆22410x y x +--=的圆心和半径分别为（）.A ．(2,0),5B．(0,-．．(2,2),53.动圆222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=的圆心轨迹是（）.A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．210x y -+=D ．210x y --=4.过点(1,1),(1,3)C D -，圆心在x 轴上的圆的方程是.5.圆22450x y x +--=的点到直线3420x y -+0=的距离的最大值为.1.设直线2310x y ++=和圆22230x y x +--=相交于,A B ，求弦AB 的垂直平分线方程.2.求经过点(2,4)A --且与直线:3260l x y +-=相切于点(8,6)B 的圆的方程.§4.2直线、圆的位置关系1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．133136，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=整理为圆的一般方程.把22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->整理为圆的标准方程为.2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学※学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点；⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※典型例题例1用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例2如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为5,求l 的方程图2变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++0=所得的弦长.※动手试试练1.直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2.求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升※学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法1判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b 无解,则直线与圆相离2如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =.⑴如果d r <直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切;⑶如果d r >直线与圆相离.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心2.若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（）.A ．0或2B ．2C D ．无解3已知直线l 过点(2,0)-当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）.A．(-B．(C．(44-D ．11(,)88-4.过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为.5.圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为.1.圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=的点的坐标.2.若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.§4.2圆与圆的位置关系1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3．会用连心线长判断两圆的位置关系．一、课前准备（预习教材P 136~P 137，找出疑惑之处）1．直线与圆的位置关系，，.2．直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长.3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？4.设圆两圆的圆心距设为d.当d R r >+时，两圆当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆二、新课导学※学习探究探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决※典型例题例1已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x 24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.※动手试试练1.已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=问m 取何值时，两圆相切.练2.求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程三、总结提升※学习小结1．判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系.2．对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.3．一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.4．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知01r <<，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是（）.A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含2.两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长（）.A．5B ．1C．5D ．23.两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有（）.A ．1条B ．2条C ．4条D ．3条4.两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是.5.两圆221x y +=和()2234x y -+=的外公切线方1.已知圆C 与圆2220x y x +-=相外切,并且与直线0x =相切于点,求圆C 的方程.2.求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.§4.2.3直线与圆的方程的应用1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．138140，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有. 2．圆224450x y x y++--=和圆2284x y x y+-+70+=的位置关系为. 3．过两圆22640x y x+--=和22628x y y++-0=的交点的直线方程.二、新课导学※学习探究1．直线方程有几种形式?分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程?4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※典型例题例1已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m=,拱高4OP m=,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱22A B的高度(精确0.01m)变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※动手试试练1.求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2.讨论直线2y x =+与曲线y =的交点个数.三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．3．解实际问题的步骤：审题—化归—解决—反馈.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.一动点到(4,0)A -的距离是到(2,0)B 的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）.A ．()2244x y -+=B ．()22416x y -+=C ．22(4)4x y +-=D ．22(4)16x y +-=2.如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则yx的最大值为（）A ．1B.33.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程.5.求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.1.坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2.机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.§4.2.3直线，圆的方程（练习）1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．※学习探究（预习教材P 124~P 140，找出疑惑之处）一．圆的标准方程例1一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线3100x y --=上,求此圆的方程二．直线与圆的关系例2求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离三．轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式.例3求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程四弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算例4直线l 经过点()5,5，且和圆2225x y +=相交，截得的弦长为l 的方程.五．对称问题（圆关于点对称，圆关于圆对称）例5求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.练习1.求圆()()22114x y -+-=关于直线220x y --=对称的圆的方程2.由圆外一点(2,1)P 引圆22:4O x y +=的割线交圆于A,B 两点,求弦AB 的中点的轨迹.3.等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?4．已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点的量长的弦所在的直线方程是（）.A 30x y +-=B 30x y --=C 260x y --=D 260x y +-=2.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（）.A ．()4,6 B.[)4,6 C.(]4,6 B.[]4,63.已知点()1,1A -和圆C ：22(5)(7)4,x y -+-=一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是（）.A ．10B.226- C.64 D.84.设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点P （3，1），则直线AB 的方程为__________________.5.圆心在直线y x =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程_______________________.1.从圆外一点(1,1)P 向圆221x y +=引割线,交该圆于,A B 两点,求弦AB 的中点的轨迹方程.2．2.2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为.§4.3空间直线坐标系学习目标1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2能够在空间直角坐标系中求出点的坐标学习过程一、课前准备（预习教材P142~P144，找出疑惑之处）1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、新课导学※学习探究1.怎么样建立空间直角坐标系？2.什么是右手表示法？3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程※典型例题例1在长方体OBCD D A B C''''-中，3,4OA OC== 2.OD'=写出,,,D C A B'''四点坐标.反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标.讨论：若以C点为原点，以射线,,BC CD CC'方向分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？变式：已知(2,3,4)M-，描出它在空间的位置例2V ABCD-为正四棱锥，O为底面中心，若2,3AB VO==，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.※动手试试练1.建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.练2.已知ABCD A B C D ''''-是棱长为2的正方体，,E F 分别为BB '和DC 的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标三、总结提升※学习小结1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.4.关于一些对称点的坐标求法(,,)P x y z 关于坐标平面xoy 对称的点1(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面yoz 对称的点2(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面xoz 对称的点3(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于x 轴对称的点4(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于y 对轴称的点5(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于z 轴对称的点6(,,)P x y z --；※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.关于空间直角坐标系叙述正确的是（）.A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2.已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（）.A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)-D ．(4,1,3)-3.已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，则ABC ∆的重心坐标为（）.A ．7(6,,3)2B ．7(4,,2)3C ．14(8,,4)3D ．7(2,,1)64.已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1)A B -，(3,7,5)C -则顶点D 的坐标.5.方程222(2)(3)(1)36x y z -+++-=的几何意义是.1.在空间直角坐标系中，给定点(1,2,3)M -，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.2.设有长方体ABCD A B C D ''''-，长、宽、高分别为4,3,5,AB cm AD cm AA cm N '===是线段CC '的中点.分别以,,AB AD AA '所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.⑴求,,,,,,,A B C D A B C D ''''的坐标；⑵求N 的坐标；§4.3.2空间两点间的距离公式1.通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2.掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.一、课前准备（预习教材P 145~P 146，找出疑惑之处）1.平面两点的距离公式？2.我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3.建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、新课导学※学习探究1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？33.3.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中1212,,,x x y y 12,z z 可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=这一依据.探究：⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)o 的距离？⑵如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？※典型例题例1求点P 1(1,0,-1)与P 2(4,3,-1)之间的距离变式：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离例2在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是15(1,2,3),(2,2,3),(,3)22A B C --.求证：ABC ∆是直角三角形.※动手试试练1.在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.练2.试在xoy 平面上求一点，使它到(1,1,5)A -,(3,4,4)B 和(4,6,1)C 各点的距离相等.三、总结提升※学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.※知识拓展1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.平面上1122(,),(,)P x y Q x y 两点间的距离公式d =3.平面上圆心在原点的圆的方程222x y r +=.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．空间两点(3,2,5),(6,0,1)A B --之间的距离（）.A ．6B ．7C ．8D ．92．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P的距离为，则点P 为（）.(9,0,0)B ．(1,0,0)-C ．(9,0,0)(1,0,0)-D ．都不是3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB =（）.A ．10BCD ．384．已知(3,5,7)A -(B -AB 在坐标平面yoz 上的射影长度为.5．已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)A B --，(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为.1.已知三角形的顶点为(1,2,3),(7,10,3)A B 和(1,3,1)C -.试证明A 角为钝角.2.在河的一侧有一塔5CD m =，河宽3BC m =，另侧有点A ，4AB m =，求点A 与塔顶D 的距离.第四章圆与方程复习1.掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2.掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3.掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.一、课前准备（复习教材P124~P152，找出疑惑之处）复习知识点1.圆的方程⑴标准式：圆心在点(,)a b，半径为r的圆的标准方程为当圆心在坐标原点时，圆的方程为.⑵一般式：.⑶圆的一般式方程化为标准式方程为.⑷是求圆的方程的常用方法.2.点与圆的位置关系有，判断的依据为：3.直线与圆的位置关系有，判断的依据为：4.圆与圆的位置关系有，判断的依据为：5.空间直角坐标系⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对表示.⑵空间两点间的距离公式，如果1111(,,)P x y z，2222(,,)P x y z，则两点间的距离为12PP=.⑶点(,,)M a b c关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标⑴关于坐标平面xoy对称的点；⑵关于坐标平面yoz对称的点；⑶关于坐标平面xoz对称的点；⑷关于x轴对称的点；⑸关于y对轴称的点；⑹关于z轴对称的点.※典型例题例1求经过(2,4),(3,1)P Q--两点,并且在x轴上截得的弦长等于6的圆.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例2在圆224x y+=上与直线43120x y+-=距离最短的点是.※动手试试练.求过直线240x y ++=和圆2224x y x y ++-10+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.⑴过原点；⑵有最小面积.三、总结提升※学习小结1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程.2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来判断更方便.3.直线与圆相交，求弦长，或求与弦长有关系的问题，利用平面几何中的垂径定理往往非常简单.4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写现圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率k 的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上.5.学习过程中要注意数形结合思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量、节省时间，提高准确度，事半功倍.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆方程是2210x y +-=，则实数a 的值是（）.A ．0B ．1C ．2D ．2±2.圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（）.A ．2B．1+C．2+D．1+3.2kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（）.A．k =B ．(2,2)k ∈-C ．2k <-或2k >D ．2k <-或2k >或k =4.如果直线l 将圆22460x y x y +-+=坐标原点到直线l 的距离最大值为.5.若圆2221:()()1O x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4O x y +++=的周长，则实数,a b 的关系是.1.讨论两圆：221:16161632610C x y x y +++-=与2221:(sin )(1)16C x y α-+-=的位置关系.2.已知点(,0),(0,)A a B b （其中,a b 均大于4），直线AB 与圆22:4440C x y x y +--+=相切⑴求证：(4)(4)8a b --=；⑵求线段AB 的中点M 的轨迹方程.。
教育最新K122018版高中数学第四章圆与方程4.14.1.2圆的一般方程学案新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程目标定位 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.3.体验求曲线方程(点的轨迹)的基本方法，概括其基本步骤.自 主 预 习1.圆的一般方程的定义(1)当D 2＋E 2－4F >0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为D 2＋E 2－4F2.(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2.(3)当D 2＋E 2－4F <0时，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0不表示任何图形. 2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M (x 0，y 0)和圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则其位置关系如下表：1.判断题(1)方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的是一个圆.(×)(2)点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，满足x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√) (3)给出圆上三个点的坐标时，用一般方程求圆的方程.(√)(4)二元二次方程Ax 2＋By 2＋Cxy ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是A ＝B ≠0，C ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.(√)提示 (1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，当D 2＋E 2－4F ＜0时，不表示任何几何图形，当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆.2.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A.(2，3) B.(－2，3) C.(－2，－3)D.(2，－3)解析 －D 2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).答案 D3.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A.以(a ，b )为圆心的圆 B.以(－a ，－b )为圆心的圆 C.点(a ，b )D.点(－a ，－b )解析 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b ). 答案 D4.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0的直径为3，则m 的值为________. 解析 因(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－m ，∴r ＝5－m ＝32，∴m ＝114.答案114类型一 圆的一般方程的概念【例1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径. (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.解 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同，∴它不能表示圆. (2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项. ∴它不能表示圆.(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5，∴它不能表示圆.(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －542＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫542，∴它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0为圆心，54为半径长的圆. 规律方法 二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.【训练1】 如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________. 解析 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，54类型二 求圆的一般方程【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1，4)，B (－2，3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径. 解 法一 设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二 设△ABC 的外接圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，（4－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，r ＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 法三 ∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC 的中点， 坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5.∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25. 展开得一般方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0. 规律方法 应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【训练2】 已知A (2，2)，B (5，3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程. 解 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0. 类型三 求动点的轨迹方程(互动探究)【例3】 等腰三角形的顶点是A (4，2)，底边一个端点是B (3，5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么. [思路探究]探究点一 直接法求轨迹方程的一般步骤是什么？ 提示 求轨迹方程的一般步骤： ①建系：建立适当的平面直角坐标系；②设点：用(x ，y )表示轨迹(曲线)上任一点M 的坐标； ③列式：列出关于x ，y 的方程； ④化简：把方程化简为最简形式；⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤⑤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明.探究点二 动点的轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？提示 (1)求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时会根据已知条件先判断出轨迹图形，然后再由图形求方程.(2)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.解 设另一端点C 的坐标为(x ，y ).依题意，得|AC |＝|AB |.由两点间距离公式，得（x －4）2＋（y －2）2＝（4－3）2＋（2－5）2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4，2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、B 、C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线.即点B 、C 不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点.因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3，5). 又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点，所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1).故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4，2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题常用的方法.①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.③相关点法：若动点P (x ，y )随着圆上的另一动点Q (x 1，y 1)运动而运动，且x 1，y 1可用x ，y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程.【训练3】 已知直角△ABC 的两个顶点A (－1，0)和B (3，0)，求直角顶点C 的轨迹方程. 解 法一 设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线， 所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3. 且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·yx －3＝－1， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).法二 △ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，设顶点C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.由勾股定理得|AC |2＋|BC |2＝|AB |2， 即(x ＋1)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝16， 化简得x 2＋y 2－2x －3＝0. 因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1).[课堂小结]1.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，来源于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.1.方程x 2＋y 2－x ＋y ＋k ＝0表示一个圆，则实数k 的取值范围为( ) A.k ≤12B.k ＝12C.k ≥12D.k <12解析 方程表示圆⇔1＋1－4k >0⇔k <12.答案 D2.若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( ) A.D ＝E B.D ＝F C.E ＝FD.D ＝E ＝F解析 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.答案 A3.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________. 解析 圆心(1，2)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3. 答案 34.求过三点A (0，5)，B (1，－2)，C (－3，－4)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为点A ，B ，C 在圆上，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D ，E ，F 的三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0，D －2E ＋F ＋5＝0，3D ＋4E －F －25＝0，解这个方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝－2，F ＝－15. 于是得到所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0.基 础 过 关1.已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是( ) A.(2，－1)，3 B.(－2，1)，3 C.(－2，－1)，3D.(2，－1)，9解析 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.答案 A2.若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A.－2或2 B.12或32 C.2或0D.－2或0解析 由圆的方程得圆心坐标为(1，2).再由点到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22，解得a＝2或a ＝0. 答案 C3.当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A.x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B.x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C.x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D.x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0，得C (－1，2). ∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0. 答案 C4.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________. 解析 由表示圆的条件知a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)＞0， 即3a 2＋4a －4＜0，解得－2＜a ＜23.答案 －2＜a ＜235.点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________.解析 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 答案 x 2＋y 2＝46.设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3，1)，求直线AB 的方程.解 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2，0)，半径为r ＝3. (2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ， ∴k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即：x ＋y －4＝0.7.已知一曲线是与两个定点O (0，0)、A (3，0)距离的比为12的点的轨迹，求出曲线的方程.解 在给定的坐标系中，设M (x ，y )是曲线上的任意一点，点M 在曲线上的条件是|MO ||MA |＝12.由两点的距离公式，上式用坐标表示为 x 2＋y 2（x －3）2＋y 2＝12. 两边平方并化简，得曲线方程x 2＋y 2＋2x －3＝0. 将方程配方，得(x ＋1)2＋y 2＝4.∴所求曲线是圆心C (－1，0)，半径为2的圆(如图).能 力 提 升8.圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14 解析 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则圆心在直线上，求得a ＋b ＝1，ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14，ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14，故选A. 答案 A9.已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( ) A.3－ 2B.3＋ 2C.3－22D.3－22解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到l 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1. ∴S min ＝12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案 A10.光线从点A (1，1)出发，经y 轴反射到圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4的最短路程等于________.解析 ∵A (1，1)关于y 轴对称点为A ′(－1，1)， ∴所求的最短路程为|A ′C |－2，|A ′C |＝62＋62＝6 2. ∴所求的最短路程为62－2. 答案 62－211.动点M 到点A (2，0)的距离是它到点B (8，0)的距离的一半，求： (1)动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹.解 (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 适合的条件可表示为 （x －2）2＋y 2＝12（x －8）2＋y 2平方后再整理，得x 2＋y 2＝16. 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程.(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1). 由于A (2，0)，且N 为线段AM 的中点， 所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12.所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y .① 由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点， 所以M 的坐标(x 1，y 1)满足x 21＋y 21＝16.② 将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4.所以M 的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆.探 究 创 新12.已知方程x 2＋y 2－2(t ＋3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0(t ∈R )表示的图形是圆. (1)求t 的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P (3，4t 2)恒在所给圆内，求t 的取值范围.解 (1)已知方程可化为(x －t －3)2＋(y ＋1－4t 2)2＝(t ＋3)2＋(1－4t 2)2－16t 4－9， ∴r 2＝－7t 2＋6t ＋1＞0， 由二次函数的图象解得－17＜t ＜1.(2)由(1)知r ＝－7t 2＋6t ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫t －372＋167，∴当t ＝37∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，1时，r max ＝477，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2472＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋13492＝167.(3)当且仅当32＋(4t 2)2－2(t ＋3)×3＋2(1－4t 2)·(4t 2)＋16t 4＋9＜0时， 点P 恒在圆内，∴8t 2－6t ＜0，∴0＜t ＜34，即t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.。
【新】版高中数学第四章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2
第四章圆与方程章末复习课1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.方法一函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a ，b ，r (或D ，E ，F ).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程.【例1】 求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程.解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12，r ＝|b |.又圆心(a ，b )在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝1，或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝1.【训练1】 已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程.解 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2. ∵圆过点A (2，－1)，∴5＋2D －E ＋F ＝0，① 又圆心在直线2x ＋y ＝0上，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，即2D ＋E ＝0.②将y ＝x －1代入圆方程得 2x 2＋(D ＋E －2)x ＋(1－E ＋F )＝0. Δ＝(D ＋E －2)2－8(1－E ＋F )＝0.③将①②代入③中，得(－D －2)2－8(1－2D －5)＝0，即D 2＋20D ＋36＝0， ∴D ＝－2或D ＝－18.代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－18，E ＝36，F ＝67.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0 或x 2＋y 2－18x ＋36y ＋67＝0.法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0). ∵圆心在直线y ＝－2x 上，∴b ＝－2a ， 即圆心为(a ，－2a ).又圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2，即(3a －1)2＝2(2－a )2＋2(－1＋2a )2， 解得a ＝1或a ＝9.∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝132， 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2， 或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338. 方法二 数形结合思想数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度. 【例2】 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点. (1)求y －2x －1的最大值与最小值； (2)求x －2y 的最大值与最小值. 解 (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1，2)连线的斜率.令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1，2)的圆C 的两条切线的斜率.对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，∴k ＝3±34. 故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34. (2)令u ＝x －2y ，则u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.【训练2】 当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤512，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ 解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2，4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0，1)到直线PC 的距离等于半径2，即|－1－2k 0－4|1＋k 20＝2，k 0＝512.直线PA 的斜率为k 1＝34. 所以，实数k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 C方法三 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.【例3】 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋ (y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0.由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝52， 解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.【训练3】 如图，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1，则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.1．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2解析 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C2.(2015·安徽高考)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12D.2或12解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D. 答案 D3.(2015·北京高考)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D.(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 D4.(2015·全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 3，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 32＝213.故选B.答案 B5.(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2B.－4C.－6D.－8解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ∴圆心坐标(－1，1)半径r 2＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2∴22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4. 答案 B6．(2016·全国Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________． 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，则y 1＋y 2＝33，又y 2＝23，∴y 1＝3，∴A (－3，3)，B (0，23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4. 答案 48.(2015·重庆高考)若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.解析 点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x 2＋y 2＝5，设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，圆心到直线的距离d ＝|－k ＋2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，∴直线为－12x －y ＋52＝0，即x ＋2y －5＝0.答案 x ＋2y －5＝09.(2015·浙江高考)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.解析 因为实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10.令z ＝－3x －4y ＋10，则3x ＋4y －10＋z ＝0.当直线3x ＋4y －10＋z ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切时，z 取最值，故|z －10|5＝1，∴z ＝5或z ＝15，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值为15. 答案 15。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 4.3.1~4.3.2
4.3.1空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式[学习目标] 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间两点间的距离公式.知识点一空间直角坐标系1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y 轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.2.空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z).其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.知识点二空间两点间的距离1.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.2.空间中的中点坐标公式在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标是⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.题型一 求空间中点的坐标例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 在线段BC 1上，且|BM |＝2|MC 1|，N 是线段D 1M 的中点，求点M ，N 的坐标. 解 如图，过点M 作MM 1⊥BC 于点M 1，连接DM 1，取DM 1的中点N 1，连接NN 1. 由|BM |＝2|MC 1|， 知|MM 1|＝23|CC 1|＝23，|M 1C |＝13|BC |＝13.因为M 1M ∥DD 1，所以M 1M 与z 轴平行，点M 1与点M 的横坐标、纵坐标相同，点M 的竖坐标为23，所以M ⎝⎛⎭⎫13，1，23. 由N 1为DM 1的中点，知N 1⎝⎛⎭⎫16，12，0. 因为N 1N 与z 轴平行，且|N 1N |＝|M 1M |＋|DD 1|2＝56，所以N ⎝⎛⎭⎫16，12，56.反思与感悟 建立空间直角坐标系的技巧(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性.(2)求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标. 跟踪训练1 如图所示，在单位正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，M 是B 1B 的中点，N 是CC 1的中点，AP ＝2P A 1，Q 是OA 反向延长线上的一点，且OA ＝2OQ ，求点B ，C ，A 1，O 1，B 1，C 1，M ，N ，P ，Q 的坐标. 解 由于点B 在xOy 平面内，竖坐标为0， ∴B 点坐标为(1,1,0).C 点在y 轴上且OC ＝1，横坐标、竖坐标均为0，∴C 点坐标为(0,1,0)，A 1点在xOz 平面内，纵坐标为0， ∴A 1点的坐标为(1,0,1)， O 1点在z 轴上，且OO 1＝1， ∴O 1点的坐标为(0,0,1).B 1点所在平面A 1B 1C 1O 1与xOy 平面平行， 竖坐标为1，∴B 1点的坐标为(1,1,1).C 1点在yOz 平面内，横坐标为0，纵坐标为1， ∴C 1点的坐标为(0,1,1). 同理得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. N 点为CC 1的中点，∴其横坐标为0，竖坐标为12，∴N 点坐标为⎝⎛⎭⎫0，1，12. 同理可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，0，23， Q 点坐标为(－12，0,0).题型二 求空间中对称点的坐标例2 在空间直角坐标系中，点P (－2,1,4). (1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标； (3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标.解 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4).(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4).(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点，由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12， 所以P 3(6，－3，－12).反思与感悟 任意一点P (x ，y ，z )，关于原点对称的点是P 1(－x ，－y ，－z )；关于x 轴(横轴)对称的点是P 2(x ，－y ，－z )；关于y 轴(纵轴)对称的点是P 3(－x ，y ，－z )；关于z 轴(竖轴)对称的点是P 4(－x ，－y ，z )；关于xOy 平面对称的点是P 5(x ，y ，－z )；关于yOz 平面对称的点是P 6(－x ，y ，z )；关于xOz 平面对称的点是P 7(x ，－y ，z ).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆. 跟踪训练2 求点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标. 解 如图所示，过点A 作AM ⊥坐标平面xOy 交平面于点M ，并延长到点C ，使AM ＝CM ，则点A 与点C 关于坐标平面xOy 对称，且点C (1,2,1). 过点A 作AN ⊥x 轴于点N 并延长到点B ，使AN ＝NB ， 则点A 与B 关于x 轴对称且点B (1，－2,1).∴点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点为C (1,2,1)； 点A (1,2，－1)关于x 轴对称的点为B (1，－2,1).(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出) 题型三 空间中两点之间的距离例3 已知△ABC 的三个顶点A (1,5,2)，B (2,3,4)，C (3,1,5). (1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度. 解 (1)由空间两点间距离公式得 |AB |＝ (1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3， |BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29， ∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫4－722＝12. 反思与感悟 解决空间中的距离问题就是把点的坐标代入距离公式计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为面A 1B 1C 1D 1的中心，求证：AP ⊥B 1P . 证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设棱长为1，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，1.由空间两点间的距离公式，得 |AP |＝(1－12)2＋(0－12)2＋(0－1)2＝62，|B 1P |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫1－122＋(1－1)2＝22， |AB 1|＝(1－1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＝ 2. 所以|AP |2＋|B 1P |2＝|AB 1|2，所以AP ⊥B 1P . 转化思想例4 已知正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动.若|CM |＝|BN |＝a (0＜a ＜2). (1)求MN 的长度；(2)当a 为何值时，MN 的长度最短.分析 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ，所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直.因此可以通过建立空间直角坐标系，先利用空间两点间的距离公式把|MN |表示为参数a 的函数，再利用函数求最值.解 取B 为坐标原点，BA ，BE ，BC 所在直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内，且在正方形ABCD 的对角线上， 所以M ⎝⎛⎭⎫22a ，0，1－22a .因为点N 在坐标平面xBy 内，且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ，所以N ⎝⎛⎭⎫22a ，22a ，0.(1)由空间两点间的距离公式，得 |MN |＝⎝⎛⎭⎫22a －22a 2＋⎝⎛⎭⎫0－22a 2＋⎝⎛⎭⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1，即MN 的长度为a 2－2a ＋1.(2)由(1)，得|MN |＝a 2－2a ＋1＝ ⎝⎛⎭⎫a －222＋12.当a ＝22(满足0＜a ＜2)时， ⎝⎛⎭⎫a －222＋12取得最小值，即MN 的长度最短，最短为22.解后反思 由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此可建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题求解.利用空间两点间的距离公式求得MN 的长度，并利用二次函数求MN长度的最小值.建系选取位置错误例5 已知在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有的棱长都是1，且侧棱AA 1⊥底面ABC ，建立适当的坐标系，并写出各顶点的坐标.分析 由于所有棱长都是1，则△ABC 是等边三角形，而AA 1垂直于底面，因此可选取适当位置建系.解 如图，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.因为三棱柱各棱长均为1，所以|OA |＝|OC |＝|O 1C 1|＝|O 1A 1|＝12，|OB |＝32.因为点A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0. 又因为点A 1，C 1，在yOz 平面内， 所以A 1(0，－12，1)，C 1(0，12，1).又因为点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且|BB 1|＝1，所以B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1.所以各顶点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫0，－12，0，B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1⎝⎛⎭⎫0，－12，1，B 1⎝⎛⎭⎫32，0，1，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，1. 解后反思 在此题中易出现以点A 作为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立坐标系，由于∠BAC ≠90°，故这种建系的方法是错误的.建系时应该选取从一点出发的三条两两垂直的直线作为坐标轴.1.点P (－2,0,3)位于( )A.y 轴上B.z 轴上C.xOz 平面内D.yOz 平面内 答案 C解析 因为点P 在y 轴上的坐标为0，所以点P 位于xOz 平面内.2.设点P 在x 轴上，它到点P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为( ) A.(1,0,0)B.(－1,0,0)C.(1,0,0)或(0，－1,0)D.(1,0,0)或(－1,0,0)答案 D解析 因为点P 在x 轴上， 所以设点P 的坐标为(x,0,0). 由题意，知|PP 1|＝2|PP 2|， 所以(x －0)2＋(0－2)2＋(0－3)2 ＝2(x －0)2＋(0－1)2＋(0＋1)2. 解得x ＝±1.所以所求点为(1,0,0)或(－1,0,0).3.已知A (－1,2,7)，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为( ) A.(－1，－2，－7) B.(－1，－2,7) C.(1，－2，－7) D.(1,2，－7)答案 A解析 点A 关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵、竖坐标变为原来的相反数，故选A. 4.已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( ) A.－3或4 B.6或2 C.3或－4 D.6或－2 答案 D解析 由题意得(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2＝26，解得x ＝－2或x ＝6. 5.已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________. 答案 (4,0，－1)解析 设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1).1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力.2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想.一、选择题1.点P (2,3,4)关于yOz 平面对称的点的坐标为( ) A.(－2,3,4) B.(－2，－3,4) C.(2，－3，－4) D.(－2,3，－4)答案 A解析 关于yOz 平面对称的点，在y 轴上，z 轴上的坐标不变，在x 轴上的坐标变为原来的相反数，故选A.2.已知A (1,2,3)，B (3,3，m )，C (0，－1,0)，D (2，－1，－1)，则( ) A.|AB |＞|CD | B.|AB |＜|CD | C.|AB |≤|CD | D.|AB |≥|CD |答案 D解析 |AB |＝22＋12＋(m －3)2＝5＋(m －3)2，|CD |＝22＋02＋(－1)2＝ 5.因为(m －3)2≥0， 所以|AB |≥|CD |.3.已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫72，4，－1 B.(2,3,1) C.(－3,1,5) D.(5,13，－3)答案 D解析 设▱ABCD 的对角线交点为M ，点D 的坐标为(x ，y ，z ).∵A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，∴AC 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫72，4，－1，BD 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫2＋x 2，－5＋y 2，1＋z 2， ∴⎝⎛⎭⎫72，4，－1＝⎝⎛⎭⎫2＋x 2，－5＋y 2，1＋z 2，即x ＝5，y ＝13，z ＝－3.∴点D 的坐标为(5,13，－3).4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1，A 1C 的中点E 到AB 的中点F 的距离为( ) A.2a B.22a C.a D.12a 答案 B解析 由题意得F ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，A 1(a,0，a )，C (0，a,0)，∴E ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，则|EF |＝⎝⎛⎭⎫a －a 22＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 22＋⎝⎛⎭⎫0－a 22＝22a .5.已知点A (1，a ，－5)，B (2a ，－7，－2)(a ∈R )，则|AB |的最小值是( ) A.3 3 B.3 6 C.2 3 D.26 答案 B解析 |AB |2＝(2a －1)2＋(－7－a )2＋(－2＋5)2 ＝5a 2＋10a ＋59 ＝5(a ＋1)2＋54.∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54. ∴|AB |min ＝54＝3 6.6.△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2B.2C. 3D.3 答案 C解析 BC 的中点坐标为M (1,1,0)， 又A (0,0,1)，∴|AM |＝12＋12＋(－1)2＝ 3.7.在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( ) A.62 B. 3 C.32 D.63答案 A解析 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.二、填空题8.已知△ABC 的顶点为A (1,1,1)，B (0，－1,3)，C (3,2,3)，则△ABC 的面积是________. 答案 92解析 |AB |＝1＋4＋4＝3，|AC |＝4＋1＋4＝3， |BC |＝9＋9＋0＝3 2. 因为|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，所以△ABC 为直角三角形. 所以S △ABC ＝12×3×3＝92.9.对于任意实数x ，y ，z 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2的最小值为______. 答案6解析 设P (x ，y ，z )，M (－1,2,1)， 则(x ＋1)2＋(y －2)2＋(z －1)2＋x 2＋y 2＋z 2 ＝|PM |＋|PO |.由于x ，y ，z 是任意实数，即点P 是空间任意一点，则|PM |＋|PO |≥|OM |＝1＋4＋1＝6，故所求的最小值为 6.10.已知点A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为________. 答案355解析 由空间中两点的距离公式，得|AB |＝(2－1＋t )2＋(t －1＋t )2＋(t －t )2＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95.当t ＝15时，|AB |取最小值，最小值为355. 11.点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 平面的对称点，则|AB |＝________. 答案 10解析 ∵点B 的坐标为B (2，－3，－5)， ∴|AB |＝(2－2)2＋(－3＋3)2＋(5＋5)2＝10. 三、解答题12.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，AB ＝4，DE ⊥AC ，垂足为E ，求B 1E 的长.解 如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.则D (0,0,0)，B 1(2,4,2)，A (2,0,0)，C (0,4,0)， 设点E 的坐标为(x ，y,0)，在坐标平面xOy 内，直线AC 的方程为x 2＋y 4＝1， 即2x ＋y －4＝0，又DE ⊥AC ，直线DE 的方程为x －2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －4＝0，x －2y ＝0得⎩⎨⎧ x ＝85，y ＝45，∴E (85，45，0). ∴|B 1E |＝ (85－2)2＋(45－4)2＋(0－2)2＝6105， 即B 1E 的长为6105. 13.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在面对角线A 1B 上，点Q 在面对角线B 1C 上.(1)当点P 是面对角线A 1B 的中点，点Q 在面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值；(2)当点Q 是面对角线B 1C 的中点，点P 在面对角线A 1B 上运动时，求|PQ |的最小值；(3)当点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动时，求|PQ |的最小值. 解 以顶点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .因为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，所以可得点A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0).(1)因为点P 是面对角线A 1B 的中点，所以由射影的概念，得P ⎝⎛⎭⎫1，12，12. 又因为点Q 在面对角线B 1C 上运动，所以可设点Q (b,1，b )，b ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝(1－b )2＋⎝⎛⎭⎫12－12＋⎝⎛⎭⎫12－b 2 ＝ 2b 2－3b ＋32＝ 2⎝⎛⎭⎫b －342＋38. 所以当b ＝34时，|PQ |取得最小值64. 此时Q ⎝⎛⎭⎫34，1，34. (2)因为点Q 是面对角线B 1C 的中点，所以由射影的概念，得Q ⎝⎛⎭⎫12，1，12. 又因为点P 在面对角线A 1B 上运动，所以可设点P (1，a,1－a )，a ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝ ⎝⎛⎭⎫1－122＋(a －1)2＋⎝⎛⎭⎫1－a －122 ＝⎝⎛⎭⎫122＋(a －1)2＋⎝⎛⎭⎫12－a 2 ＝ 2a 2－3a ＋32＝ 2⎝⎛⎭⎫a －342＋38. 所以当a ＝34时，|PQ |取得最小值64， 此时P ⎝⎛⎭⎫1，34，14. (3)因为点P 在面对角线A 1B 上运动，点Q 在面对角线B 1C 上运动， 所以可设点P (1，a,1－a )，Q (b,1，b )，a ，b ∈[0,1].由空间两点间的距离公式，得|PQ |＝(1－b )2＋(a －1)2＋(1－a －b )2＝2a 2＋2b 2－4a －4b ＋2ab ＋3＝ 2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－12＋32⎝⎛⎭⎫b －232＋13. 所以当b ＝23时，代入a ＋b 2－1＝0，得a ＝23， 即当a ＝b ＝23时，|PQ |取得最小值33， 此时P ⎝⎛⎭⎫1，23，13，Q ⎝⎛⎭⎫23，1，23.。
【人教A版】高中数学必修二：第4章《圆与方程》导学案设计(含答案) 第四章 第四章 章末检测
章末检测一、选择题1.已知圆C ：x 2＋y 2－4x －5＝0，则过点P (1,2)的最短弦所在直线l 的方程是( ) A.3x ＋2y －7＝0 B.2x ＋y －4＝0 C.x －2y －3＝0 D.x －2y ＋3＝0答案 D解析 将圆C 的一般方程化成标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，∴C (2,0).由题意知，过点P (1,2)的最短弦所在的直线l 应与PC 垂直，故有k l ·k PC ＝－1.由k PC ＝2－01－2＝－2，得k l ＝12.∴直线l的方程为y －2＝12(x －1)，即x －2y ＋3＝0.2.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx －y －9＝0的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 A解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 2＋kx －y －9＝0，得(1＋k 2)x 2＋2kx －9＝0.设直线与圆的两交点的横坐标为x 1，x 2.∵x 1，x 2关于y 轴对称，∴x 1＋x 2＝－2k1＋k 2＝0，∴k ＝0.3.空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为( ) A.2 B.－8 C.2或－8 D.8或－2 答案 C解析 由空间中两点的距离公式，得(x ＋3)2＋(－1－4)2＋(6－0)2＝(86)2.解得x ＝2或x ＝－8.4.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 答案 B解析 由圆的方程，知O 1(1,0)，O 2(0,2)，r 1＝1，r 2＝2. 所以|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝ 5. 又因为|r 1－r 2|＜5＜r 1＋r 2，所以两圆相交.5.已知直线x －2y －3＝0与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E ，F 两点，则△EOF (O 是原点)的面积为( )A.32B.34C.2 5D.655答案 D解析 该圆的圆心为A (2，－3)，半径长r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|2＋6－3|1＋4＝5，弦长为2r 2－d 2＝29－5＝4.因为原点到直线的距离为|0－0－3|1＋4＝35，所以S ＝12×4×35＝655.6.若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程是( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x ＋y －1＝0 C.x －y －3＝0 D.2x －y －5＝0答案 C解析 设圆心为C ，则C 点坐标为(1,0)且AB ⊥CP ，k CP ＝－1－02－1＝－1，∴k AB ＝1，直线AB 的方程为y ＋1＝x －2即x －y －3＝0.7.过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( ) A.4 B.2 C.85 D.125答案 A解析 P 为圆上一点，则有k OP ·k l ＝－1，而k OP ＝4－1－2－2＝－34，∴k l ＝43.∴a ＝4，∴m ：4x －3y ＝0，l ：4x －3y ＋20＝0.∴l 与m 的距离为|20|42＋(－3)2＝4.8.直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )答案 B解析 由题意，得圆M ：(x －a )2＋(y ＋b )2＝a 2＋b 2.∵圆M 过原点(0,0)，∴排除A ，C 选项.选项B ，D 中，圆心M (a ，－b )在第一象限，∴a ＞0，b ＜0，∴直线ax －y ＋b ＝0经过第一、三、四象限，故B 选项符合.9.若x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，则x 2＋y 2的最小值是( ) A.5－5 B.5－5 C.30－10 5 D.无法确定答案 C解析 设P (x ，y )是圆C 上一点.配方，得(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，圆心坐标为C (1，－2)，半径r ＝5.∵x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，∴要使x 2＋y 2最小，则线段PO 最短.如图，当点P ，O ，C 在同一直线上时，|PO |min ＝|PC |－|OC |＝5－12＋(－2)2＝5－5，即(x 2＋y 2)min ＝30－10 5.10.当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，512 B.⎝⎛⎦⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎤512，34 D.⎝⎛⎭⎫512，＋∞ 答案 C解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0,1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2,4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0,1)到直线PC 的距离等于半径2，即|－1－2k 0＋4|1＋k 20＝2，k 0＝512. 直线P A 的斜率为k 1＝34.所以，实数k 的取值范围是512<k ≤34. 二、填空题11.已知M (3,0)是圆x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0内一点，则过点M 的最长的弦所在直线方程为________.答案 x －y －3＝0解析 因为直径是圆的最长的弦，所以圆心(4,1)在所求的直线上. 所以所求的直线方程为y －01－0＝x －34－3，即x －y －3＝0.12.对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________. 答案 相切或相交解析 ∵(3x －y )k ＋2x －2＝0，∴直线恒过点(1,3).又∵点(1,3)在圆上，∴直线与圆相切或相交.13.以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________. 答案 x 2＋y 2＝25解析 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.14.过点M (3,2)作圆O ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的切线方程是________________. 答案 y ＝2或5x －12y ＋9＝0解析 由圆的方程可知，圆心为(－2,1)，半径为1，显然所求直线斜率存在，设直线的方程为y －2＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋2＝0，由|－2k －1－3k ＋2|k 2＋(－1)2＝1，解得k ＝0或k ＝512，所以所求直线的方程为y ＝2和5x －12y ＋9＝0.三、解答题15.已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点. (1)当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程.解 (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因为直线l 过点P ，C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，直线l 垂直于PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.16.已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0(m ∈R ). (1)判断直线l 与圆C 的位置关系；(2)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长. 解 (1)直线l 可变形为y －1＝m (x －1)，因此直线l 过定点D (1,1)， 又12＋(1－1)2＝1<5，所以点D 在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交. (2)由题意知m ≠0，所以直线l 的斜率k ＝m ， 又k ＝tan 120°＝－3，即m ＝－ 3.此时，圆心C (0,1)到直线l ：3x ＋y －3－1＝0的距离d ＝|－3|(3)2＋12＝32， 又圆C 的半径r ＝5， 所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝⎛⎭⎫322＝17. 17.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使得|PM |取得最小值时点P 的坐标.解 (1)将圆C 整理，得(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时，设切线方程为y ＝kx ，∴圆心到切线的距离为|－k －2|k 2＋1＝2，即k 2－4k －2＝0，解得k ＝2± 6.∴切线方程为y ＝(2±6)x .②当切线在两坐标轴上的截距不为0时，设切线方程为x ＋y －a ＝0，∴圆心到切线的距离为|－1＋2－a |2＝2，即|a －1|＝2，解得a ＝3或－1.∴切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上所述，所求切线方程为y ＝(2±6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)∵|PO |＝|PM |，∴x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，即2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x－4y ＋3＝0上.当|PM |取最小值时，|OP |取得最小值，此时直线OP ⊥l ，∴直线OP 的方程为2x ＋y ＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35. 18.如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点. (1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度.解(1)因为点M的坐标为(3，1)，所以点M到x轴的距离为1，即圆M的半径长为1，则圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径长为r，连接MA，NC，OM，如图所示，则MA⊥x轴，NC⊥x轴.由题意，知点M，N都在∠COD的平分线上，所以O，M，N三点共线.由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM∶ON＝MA∶NC，即23＋r＝1r⇒r＝3.则|OC|＝33，N(33，3)，则圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过点A与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y＝3－133－3(x－3)＝33(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到该直线的距离d＝|33－3×3－3|1＋(3)2＝32，则弦长为2r2－d2＝33.。
【配套K12】2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程疑难规律方法
1 圆的两种方程的区别与联系圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；而二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，当D 2＋E 2－4F >0时，表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆，叫做圆的一般方程．二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程，而一般方程经过配方后就转化为了标准方程．掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮助的．(2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r (或D 、E 、F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定系数的值．标准方程与一般方程的差别主要表现在以下两点： 1．二者确定圆的条件不同例1 圆心P 在直线y ＝x 上，且与直线x ＋2y －1＝0相切的圆，截y 轴所得的弦长|AB |＝2，求此圆的方程．解 ∵圆心P 在直线y ＝x 上， ∴可设P 的坐标为(k ，k )，设圆的方程为(x －k )2＋(y －k )2＝r 2(r >0)．作PQ ⊥AB 于Q ，连接AP ，在Rt △APQ 中，|AQ |＝1， |AP |＝r ，|PQ |＝|k |，∴r ＝1＋k 2.又r ＝|k ＋2k －1|12＋22，∴|k ＋2k －1|12＋22＝k 2＋1，整理得2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－12.当k＝2时，圆的半径为r＝k2＋1＝5，故圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.当k＝－12时，圆的半径为r＝k2＋1＝52，故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x＋122＋⎝⎛⎭⎫y＋122＝54.因此所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5或⎝⎛⎭⎫x＋122＋⎝⎛⎭⎫y＋122＝54.例2已知△ABC各顶点的坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的方程．分析可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程．解设过A、B、C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧－D＋5E＋F＋26＝0，－2D－2E＋F＋8＝0，5D＋5E＋F＋50＝0，解得D＝－4，E＝－2，F＝－20，∴其外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.评注圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用标准方程；而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计算．另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单．2．二者的应用方面不同例3若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线y＝33x(x≥0)相切，求这个圆的方程．分析利用“半径为1的圆与y轴的正半轴相切”这一条件可以直接求得圆心的横坐标，这是本题方程求解的一个突破口．解由题意知，圆心的横坐标及半径为1，纵坐标大于0，设圆心纵坐标为b(b＞0)，则圆的方程为(x－1)2＋(y－b)2＝1(b＞0)，∵圆与射线y ＝33x (x ≥0)相切，∴⎪⎪⎪⎪33－b⎝⎛⎭⎫332＋1＝1，解得b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合方程理论的运用．2 圆弦长的求法1．利用两点间的距离公式若直线与圆相交的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 例1 求过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长．解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知直线的方程为y ＝3x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，x 2＋y 2－4y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(0－3)2＋(0－3)2＝2 3.评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求解．这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法． 2．利用勾股定理若弦心距为d ，圆的半径为r ，则弦长|AB |＝2r 2－d 2.例2 求直线x ＋2y ＝0被圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长|AB |. 解 把圆x 2＋y 2－6x －2y －15＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝25， 所以其圆心坐标为(3,1)，半径为r ＝5.因为圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离为d ＝|3＋2×1|12＋22＝5，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝4 5.3．利用弦长公式若直线l 的斜率为k ，与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].例3 求直线2x －y －2＝0被圆(x －3)2＋y 2＝9所截得的弦长|AB |.解 设直线与圆相交时的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，(x －3)2＋y 2＝9，消去y 整理得5x 2－14x ＋4＝0，则x 1＋x 2＝145，x 1x 2＝45. ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452－4×45＝21455. 评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去y (或x )转化为关于x (或y )的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解.3 妙用对策简解“圆”的问题在学习圆的知识时，往往会遇到一些综合性强、运算量大的问题，解决这类问题的关键是避开复杂运算，减少运算量．现举例介绍求解圆问题的三条简解对策． 1．合理选用方程要学会选择合适的“圆的方程”，如果方程选择得当，运算量就会减少，解法就简捷．如果问题中给出圆心坐标关系或圆心的特殊位置或半径大小时，选用标准方程；否则，选用一般方程．例1 求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A (5,2)，B (3，－2)的圆的方程． 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 因为圆过点A (5,2)，B (3，－2)，所以圆心一定在线段AB 的垂直平分线上． 易得线段AB 的垂直平分线方程为y ＝－12(x －4)．又因为圆心在直线2x －y －3＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12(x －4)，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即圆心坐标为(2,1)．又圆的半径为r ＝(5－2)2＋(2－1)2＝10.所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.2．数形结合，充分运用圆的几何性质求解直线与圆的位置关系问题时，为避免计算量过大，可以数形结合，充分运用圆的几何性质求解．比如，圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上；计算弦长时，可用半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形；涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径等． 例2 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. (1)证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．方法一 (1)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，(x －1)2＋(y ＋1)2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝[－(2－4k )]2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． (2)解 设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 则直线l 被圆C 截得的弦长为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝28－4k ＋11k 21＋k 2＝211－4k ＋31＋k 2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0， 当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0， 解得－1≤t ≤4，且t ≠0，故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.方法二 (1)证明 圆心C (1，－1)到直线l 的距离为d ＝|k ＋2|1＋k2，圆C 的半径为R ＝23，R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k 2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0， 故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，所以R 2－d 2>0，即d <R ，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． (2)解 由平面几何知识， 知|AB |＝2R 2－d 2＝28－4k ＋11k 21＋k 2，下同方法一．方法三 (1)证明 因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0，1)，而|PC |＝5<23＝R ，所以点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总经过圆C 内部的定点P . 所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)解 由平面几何知识知，过圆内定点P (0,1)的弦，只有和AC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点，由勾股定理，知|AB |＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.评注 在直线与圆的位置关系中，直线与圆相交时研究与弦长有关的问题是一个重点内容．解决这类弦长问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形这一结论． 3．设而不求，整体代入对于圆的一些综合问题，比如弦的中点问题，常运用整体思想．整体思想就是在处理问题时，利用问题中整体与部分的关系，灵活运用整体代入、整体运算、整体消元(设而不求)、整体合并等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美． 例3 已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0，设l 与圆C 交于A ，B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )． 当直线l 不垂直于x 轴时，依题意，得x 21＋(y 1－1)2＝5， ① x 22＋(y 2－1)2＝5.②由①－②，可得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－(y 1＋y 2－2)(y 1－y 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2－(y 1＋y 2－2)＝2x －(2y －2)＝x1－y.而直线恒过点(1,1)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －1，所以y －1x －1＝x1－y ，即x 2－x ＋(y －1)2＝0，即(x －12)2＋(y －1)2＝14.当直线l 垂直于x 轴时，点M (1,1)也适合方程(x －12)2＋(y －1)2＝14.综上所述，点M 的轨迹方程是(x －12)2＋(y －1)2＝14.评注 本题中设出A ，B 两点的坐标，但求解过程中并不需要求出来，只是起到了中介桥梁的作用，简化了解题过程．这种设而不求，整体处理的技巧，常能起到减少运算量、提高运算效率的作用.4 解析几何中数学思想的应用1．数形结合思想数形结合的思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化．例1 已知点P (x ，y )在圆O ：x 2＋y 2＝1上，求(x ＋2)2＋(y －3)2的最小值．分析 从(x ＋2)2＋(y －3)2的几何意义打开思维，通过数形结合，辅之以临界点来求解． 解 如图，设点M (－2,3)，则(x ＋2)2＋(y －3)2表示|PM |2.因为|MO |2＝(－2)2＋32＝13>1，所以点M 在圆O 外．连接MO 并延长，顺次交圆O 于D ，E 两点，则|MD |≤|PM |≤|ME |， 即|MO |－r ≤|PM |≤|MO |＋r .所以|PM |的最小值为|MO |－r ＝13－1，即(x ＋2)2＋(y －3)2的最小值为(13－1)2＝14－213. 评注 本例从运动变化的角度出发(让点P 在圆上运动)，在运动中寻觅最值取得的条件，从而使问题获解． 2．方程思想通过观察、分析、判断将问题化归为方程的问题，利用方程的性质，实现问题与方程的互相转化，达到解决问题的目的．例2 已知过点(3,0)的直线l 与圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (其中O 为原点)，求直线l 的方程．分析 由条件OP ⊥OQ ，若设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1－0x 1－0·y 2－0x 2－0＝－1.由P ，Q 在圆及直线上，可借助方程求解．解 设直线l 的方程为x ＋ay －3＝0(a ≠0)，则点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0，x ＋ay －3＝0，消去y ，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x a 2＋x －6·3－x a ＋3＝0，即⎝⎛⎭⎫1＋1a 2x 2＋⎝⎛⎭⎫－6a 2＋6a ＋1x ＋9a 2－18a ＋3＝0， 所以x 1x 2＝3a 2－18a ＋9a 2＋1.①由方程组消去x ，得(3－ay )2＋y 2＋(3－ay )－6y ＋3＝0， 即(a 2＋1)y 2－(7a ＋6)y ＋15＝0，所以y 1y 2＝15a 2＋1.②因为OP ⊥OQ ，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，由①②，得3a 2－18a ＋9a 2＋1＋15a 2＋1＝0.整理得a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4. 故直线l 的方程为x ＋2y －3＝0或x ＋4y －3＝0.评注 本题巧用根与系数的关系与方程思想，使问题得以顺利解决． 3．转化思想所谓转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决问题的一种方法．一般地，总是将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题．例3 求圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝4上的点到直线x －y ＋2＝0的最大距离与最小距离． 分析 圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最大(小)距离为圆心到直线的距离加上(减去)半径．解 由圆的方程(x －2)2＋(y ＋3)2＝4易知，其圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2.所以圆心(2，－3)到直线x －y ＋2＝0的距离为d ＝|2＋3＋2|2＝722.故圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝4上的点到直线x －y ＋2＝0的最大距离为722＋2，最小距离为722－2.评注 凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题．以上三例告诉我们，在平面解析几何初步相关问题中，蕴含着丰富的数学思想，合理且正确地运用这些数学思想，对数学问题的有效解决意义重大．因此在平时的学习中应注意这些数学思想的运用，并及时加以体会和总结.5 圆与圆位置关系考点透视圆与圆的位置关系在近年高考命题中，常以选择题或填空题形式出现，难度不大，属于基础题或中档题．因此，知识的熟练性与常规技能的全面性是正确求解此类问题的关键． 1．直接判断圆与圆的位置关系已知两圆的方程，让我们根据方程直接判断两圆的位置关系．例1 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析 由圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，得(x －1)2＋y 2＝1， 即圆心O 1(1,0)，半径r 1＝1.由圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋(y －2)2＝4， 即圆心O 2(0,2)，半径r 2＝2. 则|O 1O 2|＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，1＝|r 1－r 2|<|O 1O 2|<|r 1＋r 2|＝3， 故两圆位置关系为相交，故选B. 答案 B评注 要判断两圆的位置关系，可以通过研究它们圆心距与半径之间的关系． 2．以逆向思维的形式考查圆与圆的位置关系即已知两圆的位置关系，要求同学们能准确描绘图形，建立方程或不等关系，借以求得参数值或范围，或确定圆的方程．例2 与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是__________________________． 解析 曲线可化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝52，根据图示可知，所求的最小圆的圆心在直线y ＝x 上，其到直线x ＋y －2＝0的距离为2，所以圆心坐标为(2,2)． 故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 答案 (x －2)2＋(y －2)2＝2评注 解析几何是数形结合的有效载体，因此，在求解解析几何问题时，要充分利用画图，从而简洁、迅速解题．6 公共弦问题解析两个圆相交，它们有两个交点，连接这两个交点，可得两圆的公共弦．公共弦与两个圆的特征量(圆心和半径)都有联系，因此，它是沟通两圆的一个桥梁．下面分类解析，供参考． 1．求公共弦所在直线的方程问题例1 圆C 1：(x －1)2＋(y ＋1)2＝3与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2y －3＝0的公共弦所在直线的方程为______________．求解提示 把圆的方程化为一般方程，然后两圆方程相减，所得方程即为公共弦所在的直线方程．解析 把圆C 1的方程化为一般式，得x 2＋y 2－2x ＋2y －1＝0.两圆方程相减，并整理得2x －2y －1＝0，即为两圆公共弦所在直线的方程． 答案 2x －2y －1＝0评注 两相交圆的一般方程相减后，会得到一个关于x ，y 的二元一次方程，它表示一条直线，又是两圆方程的公共解，即两圆交点的坐标一定是这个方程的解，所以这个方程表示的直线过两圆交点，所以它是两圆公共弦所在的直线方程．2．求公共弦长问题例2 求圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋6x ＋2y －40＝0的公共弦长．求解提示 求出两圆公共弦所在的直线的方程，然后在一个圆中运用圆的弦长公式求两圆的公共弦长．解 两圆方程相减，并整理，得公共弦所在的直线方程为4x ＋3y －10＝0.把圆C 1的方程化为标准方程是(x －5)2＋(y －5)2＝50，它的圆心坐标为C 1(5,5)，半径为r 1＝5 2.又圆心C 1到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d ＝|4×5＋3×5－10|42＋32＝5， 所以公共弦长为2r 21－d 2＝250－25＝10.评注 求两圆的公共弦长，需先求出公共弦所在的直线方程，然后在一个圆中运用圆的弦长公式求公共弦长，即把两圆的公共弦长转化为一个圆的弦长求解．3．公共弦的性质的应用问题例3 已知圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：(x －5)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)的公共弦的长为7，求r 的值．求解提示 利用两圆连心线垂直平分公共弦这一性质，分两圆圆心在公共弦的异侧和同侧两种情况，讨论求解．解 设两圆的公共弦的两个端点为A 、B .如图，当两圆圆心在公共弦异侧时，连接C 1A 、C 2A 、C 1C 2，则C 1C 2⊥AB .设C 1C 2∩AB ＝M ，则M 是AB 的中点．在Rt △C 1MA 中，可得|C 1M |＝|C 1A |2－|AM |2＝4－(72)2＝32， 又|C 1C 2|＝(5)2＋22＝3，所以|MC 2|＝|C 1C 2|－|C 1M |＝3－32＝32， 所以|AC 2|＝|AC 1|＝2，即r ＝2.如图，当两圆圆心在公共弦同侧时，连接C 1A 、C 2A 、C 1C 2，则C 1C 2⊥AB .设C 1C 2∩AB ＝M ，则M 是AB 的中点．在Rt △C 1MA 中，可得|C 1M |＝|C 1A |2－|AM |2＝4－(72)2＝32， 又|C 1C 2|＝(5)2＋22＝3， 所以|MC 2|＝|C 1M |＋|C 1C 2|＝32＋3＝92， 所以|AC 2|＝|MA |2＋|MC 2|2＝(72)2＋(92)2＝22，即r ＝22. 评注 因为解答本题要同时在两个圆中展开计算，所以必须运用公共弦的性质，方可保证运算畅通．忽视两圆圆心在公共弦同侧的情形是本题的一个易错点．7 空间两点间距离公式的应用在空间直角坐标系中，设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)为空间中的两点，则|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2，此公式应用比较广泛，下面举例说明其在以下几类问题中的应用．1．求距离例1 求点A (0,1,3)与点B (2,0,1)之间的距离．分析 解答本题可直接利用空间两点间的距离公式．解 |AB |＝(0－2)2＋(1－0)2＋(3－1)2＝3.评注 利用空间两点的距离公式可求空间中任意两点的距离．2．判断三角形的形状例2已知点A(10，－1,6)，B(4,1,9)，C(2,4,3)，求证：△ABC为等腰直角三角形．分析利用空间两点间的距离公式，求出三角形的三边长，从而判断三角形的形状．证明利用空间两点间的距离公式，得|AB|＝(4－10)2＋(1＋1)2＋(9－6)2＝7，|BC|＝(2－4)2＋(4－1)2＋(3－9)2＝7，|AC|＝(2－10)2＋(4＋1)2＋(3－6)2＝72，所以有|AB|＝|BC|且|AC|2＝|AB|2＋|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．评注有关三角形形状的判断，常常根据两点间的距离公式求出边长，然后根据勾股定理等知识再去判断．3．判断三点共线例3已知A(3，－2，－1)，B(－1，－3,2)，C(－5，－4,5)，求证：A、B、C三点共线．分析利用空间两点间的距离公式求出任意两点的距离，从而判断三点是否在一条直线上．证明利用空间两点间的距离公式，得|AB|＝(3＋1)2＋(－2＋3)2＋(－1－2)2＝26，|BC|＝(－1＋5)2＋(－3＋4)2＋(2－5)2＝26，|AC|＝(3＋5)2＋(－2＋4)2＋(－1－5)2＝226.所以|AC|＝|AB|＋|BC|，所以A，B，C三点共线．评注运用此种方法可以证明三点共线问题．4．求点的坐标例4在空间直角坐标系中，已知点P(1,0,1)，Q(4,3，－1)，在z轴上是否存在一点M，使|MP|＝|MQ|？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析对于点M是否存在，可先在z轴上设出点M的坐标，再根据点M满足的条件去求解判断．解假设在z轴上存在点M，设为(0,0，z)．由|MP|＝|MQ|，得12＋0＋(1－z)2＝42＋32＋(－1－z)2，两边平方整理得z2－2z＋2＝z2＋2z＋26，即z＝－6.所以在z轴上存在一点M(0,0，－6)，使|MP|＝|MQ|.评注此题属于“存在性”开放题，对于此类问题的求解，先假设存在，通过解方程得出结论，然后检验是否符合条件或所学知识，符合则存在，不符合则不存在．倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
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第四章圆与方程章末复习课1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.方法一函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a ，b ，r (或D ，E ，F ).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程.【例1】 求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程.解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12，r ＝|b |.又圆心(a ，b )在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝1，或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝1.【训练1】 已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程.解 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2. ∵圆过点A (2，－1)，∴5＋2D －E ＋F ＝0，① 又圆心在直线2x ＋y ＝0上，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，即2D ＋E ＝0.②将y ＝x －1代入圆方程得 2x 2＋(D ＋E －2)x ＋(1－E ＋F )＝0. Δ＝(D ＋E －2)2－8(1－E ＋F )＝0.③将①②代入③中，得(－D －2)2－8(1－2D －5)＝0，即D 2＋20D ＋36＝0， ∴D ＝－2或D ＝－18.代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－18，E ＝36，F ＝67.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0 或x 2＋y 2－18x ＋36y ＋67＝0.法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0). ∵圆心在直线y ＝－2x 上，∴b ＝－2a ， 即圆心为(a ，－2a ).又圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2，即(3a －1)2＝2(2－a )2＋2(－1＋2a )2， 解得a ＝1或a ＝9.∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝132， 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2， 或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338. 方法二 数形结合思想数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度. 【例2】 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点. (1)求y －2x －1的最大值与最小值； (2)求x －2y 的最大值与最小值. 解 (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1，2)连线的斜率.令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1，2)的圆C 的两条切线的斜率.对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，∴k ＝3±34. 故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34. (2)令u ＝x －2y ，则u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.【训练2】 当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤512，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ 解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2，4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0，1)到直线PC 的距离等于半径2，即|－1－2k 0－4|1＋k 20＝2，k 0＝512.直线PA 的斜率为k 1＝34. 所以，实数k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 C方法三 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.【例3】 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋ (y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0.由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝52， 解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.【训练3】 如图，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1，则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.1．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2解析 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C2.(2015·安徽高考)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12D.2或12解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D. 答案 D3.(2015·北京高考)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D.(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 D4.(2015·全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 3，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 32＝213.故选B.答案 B5.(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2B.－4C.－6D.－8解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ∴圆心坐标(－1，1)半径r 2＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2∴22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4. 答案 B6．(2016·全国Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________． 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，则y 1＋y 2＝33，又y 2＝23，∴y 1＝3，∴A (－3，3)，B (0，23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4. 答案 48.(2015·重庆高考)若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.解析 点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x 2＋y 2＝5，设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，圆心到直线的距离d ＝|－k ＋2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，∴直线为－12x －y ＋52＝0，即x ＋2y －5＝0.答案 x ＋2y －5＝09.(2015·浙江高考)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.解析 因为实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10.令z ＝－3x －4y ＋10，则3x ＋4y －10＋z ＝0.当直线3x ＋4y －10＋z ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切时，z 取最值，故|z －10|5＝1，∴z ＝5或z ＝15，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值为15. 答案 15。