原子物理试题

《原子物理学》试题(B)

1. 设想铅（Z =82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为本10-10米的球形原子内，如果有能量为106eV 的α粒子射向这样一个“原子”，试通过计算论证这样的α粒子不可能被具有上述设想的原子产生散射角大于900的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差得很远，这就说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。 解：利用高斯定理对于电荷均匀分布的球体，电场为： E=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥R r R Zer R r r Ze ,41

,413020πεπε

(1) 当b ≥R 时，由库伦散射公式 ctg 2θ= 420Ze

Eb πε=846.9 得：θ =8'。可见，这种情况只能得到很小的散射角。

(2) 当b

则得：ctg 2θ= 43320/R b Ze Eb πε= 423

20b

R Ze E πε 恒大于846.9，散射角也就恒小于8'。

(3) 当b =0时，ctg 2

θ= ∞，θ = 00。 可见J.J Thomsom 模型不管在什么情况下，都不可能产生散射角大于900的散射。

2. Li 原子序数Z=3,其光谱的主线系可用下式表示：

ν~=2)5951.01(+R -2)0401

.0(-n R 已知Li 原子电离成Li +++离子需要203.44eV 的功。问如果把Li +离子电离成Li ++离子，需要多少电子伏特的功？

解：第一步，由已知公式求出Li →Li +所需的功：

E 1= hc ∞ν~= hc 2

)5951.01(+R = 6.6262⨯10-34⨯3⨯108⨯275951.11009727.1⨯ = 8.5728⨯10-19[J] =5.358 eV 。

第二步，Li ++→Li +++所需的功, 由类氢原子公式得：

E 3= Z 2hcR= 9hcR =196.31⨯10-19[J] =122.69 eV 。

最后，Li +→Li ++所需的功为：

E 2= 203.44－(E 1+E 3) = 75.392 eV 。

3. 试证明自由运动的粒子（势能)0≡V 的能量可以有连续的值。 证：∵ ,0≡V 薛定谔方程为： 0222=+∇Eu m u

， 即 022222222=+∂∂+∂∂+∂∂Eu m z u y u x u

， 令 )()()(),,(z Z y Y x X z y x u ⋅⋅=，代入上式，整理得：

021112

222222=+++E m dz Z d Z dy Y d Y dx X d X ， 因为式中 2

21dx X d X 与z y x ,,都无关，所以它应等于一个常数。其它两项也一样，这样就得到三个常微分方程：

x k dx X d X =221， y k dy Y d Y =2

21， z k dz Z d Z =221， 以及条件：E m k k k z y x 22

-=++ 再令 x x E m k 22 -=，就给出X 的方程： 02222=+X E m dx X d x

， 其通解为：(),21sin )(0⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=x x mE N x X x x

同理可得： (),21sin )(0⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=y y mE N y Y y y ()⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=021s i n )(z z mE N z Z z z 正弦函数都满足连续、单值、有限的条件。唯一限制是要求z y x E E E ,,为正数。从而z y x E E E E ++=也必须是正数。这表明自由质点能量可以有连续的值。

4. Na 原子的基态为3S ，已知主线系第一条谱线波长为6707Ǻ，第一辅线 (漫线) 系第一条的波长为8193Ǻ，柏格曼 (基线) 系第一条的波长为18459Ǻ，主线系的线系限波长为2413Ǻ。试求3S 、3P 、3D 、4F 各谱项的项值。 解：由Na 原子的线系公式：

主线系： ,...

5,4,3,3~=-=n nP S ν 第二辅线系： ,...6,5,4,3~=-=n nS P ν

第一辅线系： ,...

5,4,3,3~=-=n nD P ν 柏格曼线系： ,...6,5,4,3~=-=n nF D ν 61010697.11058931133~⨯=⨯==-=-共共

λνP S m -161010144.410

2413113~⨯=⨯===-∞∞主主λνS m -1 610110221.110

81931133~⨯=⨯==-=-漫漫λνD P m -1 610110417.510

184591143~⨯=⨯==-=-柏柏λνF P m -1

∴ 3S = 4.14⨯106 m -1

610447.2~33⨯=-=共

νS P m -1

6110226.1~33⨯=-=漫νP D m -1 61

106843.0~34⨯=-=柏νD F m -1 5．Zn （Z=30）原子基态时的电子组态是4s4s,当其中有一个被激发，考虑两种情况：(1)那电子被激发到5s ；(2)它被激发到4p 态。试求：(1)在L-S 耦合下这两种电子组态分别组成的原子态; (2)分别画出两种情况相应的能级跃迁图。

解：基态电子组态4s4s 形成1S 0原子态。

(1) 4s5s 电子组态：l 1=0 , l 2=0 , L =0 ; s 1=1/2 , s 2=1/2 , S = 0,1

当S=0时，J=0，原子态为1S 0；

当S=1时，J=1，原子态为3S 1；

(2) 4s4p 电子组态：l 1=0 , l 2=1 , L =1 ; s 1=1/2 , s 2=1/2 , S = 0,1

当S=0时，J=1， 原子态为1P 1

当S=1时，J=2,1,0，原子态为3P 2 , 1, 0

(3) 第一种情况的能级图和由选择定则确定的光谱跃迁如下图所示。

第二种情况的能级谱线跃迁：只有一条谱线即41P 1→ 41S 0的跃迁。

6、设两个价电子l 1=2和l 2=3，求：(1) 若它们发生L-S 耦合，写出其总角动量量子数J 的可能值及原子态符号；(2) 若它们发生j-j 耦合，写出其总