湖北省武汉市高三数学理科调研考试卷

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湖北省武汉市部分学校2022-2023学年高三上学期九月调研考试数学试题(解析版)

2022~2023学年度武汉市部分学校高三年级九月调研考试数学试卷2022.9一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|560A x x x =+-<，{|2}B x x =>-，则A B = （）A.(2,)-+∞ B.(6,2)-- C.(2,1)- D.()2,6-【答案】C【详解】解：由2560x x +-<，即()()610x x +-<，解得61x -<<，所以{}{}2|560|61A x x x x x =+-<=-<<，又{|2}B x x =>-，所以{}|21A B x x =-<< ；故选：C 2.计算12i2i-=-（）A.43i 5-+ B.43i 5-- C.43i 5+ D.43i 5-【答案】D【详解】()()()()12i 2i 12i 2i 4i+243i2i 2i 2i 55-+-+--===--+，故选：D 3.记0.20.20.23,0.2,log 3a b c --===，则（）A.c<a<bB.c b a <<C.b<c<aD.a c b<<【答案】A【详解】0.200331a -<=<=，0.20.2201.0b ->==，0.20.2log 3log 10c =<=，故c<a<b .故选：A4.某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的体积为（）A.B.453π C. D.22π3【答案】D【解析】【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120︒的扇形，所以该扇形的弧长为120π32π180⨯=，设圆锥的底面半径为r ，则2π2πr =，解得：1r =，因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为h ==，该圆锥的体积为221122ππ1π333r h =⨯⨯=.故选：D5.函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x =（）A.2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.22sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.334x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】B【详解】由图象可得：521212T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴22πωπ==，再根据五点法作图可得22,122k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭，22,3k k Z πϕπ∴=+∈，2()sin 23f x A x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，又2(0)sin3f A π==，∴2A =，∴2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B6.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32187238,22S a a S S =+=+，则2a =（）A.4B.3C.2D.1【答案】A【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q （q >0），则由321238S a a =+得1232122238a a a a a ++=+，即123620a a a +-=，即()21620a q q+-=，即2620q q+-=，解得2q =（32q =-舍去）.由8722S S =+得872a S =+，即()7171121a q a q q-=+-，将2q =代入得()7171122212a a -=+-，解得12a=，则214a a q ==.故选：A.7.点声源在空间中传播时，衰减量L ∆与传播距离r （单位：米）的关系式为210lg 4rL π∆=（单位：dB ），取lg50.7≈，则r 从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为（）A.12dBB.14dBC.18dBD.21dB【答案】C【详解】解：因为衰减量L ∆与传播距离r （单位：米）的关系式为210lg 4rL π∆=，所以r 从5米变化到40米时，衰减量的增加值约为：2240510lg 10lg44ππ-10lg 6460lg 2==，()601lg5600.318=-≈⨯=，故选：C8.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线与双曲线右支交,A B两点，设AB 中点为P ，若1||AB P =，且145F PA ∠=︒，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.312+ D.512【答案】A【详解】解：根据题意可知，过2F 的直线斜率存在， AB 中点为P ，又1AB P=∴1AP =又 145F PA ∠=︒∴在1F AP △中，由余弦定理2221111cos 2PF PA AF F PA PA PF +-∠=⋅整理得：1AP AF =且190F AP ∠=，所以1APF △是等腰直角三角形.设1AF t =，则1AF AP BP t ===，2AB t=∴在1F AB 中，由勾股定理得：22211BF AB AF =+∴1BF 由双曲线定义可知：122AF AF a -=∴22AF t a =-∴222PF AP AF a=-=由双曲线定义可知：122BF BF a -=且222BF BP PF t a=+=+∴()22t a a-+=整理得：)1t a =，在12F F P 中，12=2F F c ，22PF a =，1=PF a=由余弦定理可得：2221212112cos 2PF PF F F F PA PF PF +-∠=⋅代入计算得：2262a c =∴离心率e ＝ca=故选：A.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某市今年夏天迎来罕见的高温炎热天气，当地气象部门统计进入八月份以来（8月1日至8月10日）连续10天中每天的最高温和最低温，得到如下的折线图：根据该图，关于这10天的气温，下列说法中正确的有（）A.最低温的众数为29C ︒B.最高温的平均值为37.7C ︒C.第4天的温差最大D.最高温的方差大于最低温的方差【答案】AC【详解】A 选项，由折线图可知最低温的众数为29C ︒，A 选项正确；B 选项，由折线图得最高温的平均值为3837373938393837393737.9C 10+++++++++=︒，B 选项错误；C 选项，由折线图得这10天的温差分别为9C ︒，7C ︒，9C ︒，12C ︒，9C ︒，10C ︒，10C ︒，7C ︒，8C ︒，8C ︒，其中温差最大的为第4天，C 选项正确；D 选项，由折线图可知最高温的方差()()()2222133837.943737.933937.90.6910s ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦高温，最低温的平均值为2930282729292830312929C 10+++++++++=︒，方差()()()()()22222214292923029228292729312910s ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+-+-⎣⎦低温1.20.69=>，D 选项错误；故选：AC.10.平面向量(cos ,sin ),(cos(),sin()),(cos(2),sin(2))a b c αααβαβαβαβ==++=++，其中0180β︒<<︒，则（）A.a b b c-=-r r r r B.()a c b+∥ C.若||||a c b +=，则30β=︒ D.若0a b c ++=，则120β=︒【答案】ABD【详解】如图所示，因为1a b c === ，故在单位圆中分别作出,,OA a OB b OC c ===.对A ，,a b AB b c BC -=-=r r r r，因为AOB BOC β∠=∠=，则AB BC =，即a b b c -=-r r r r，故A 正确；对B ，因为AOB BOC β∠=∠=，故OB 为,OA OC 的角平分线，且1OA OC ==，根据向量的加法法则可得()//a c b +r r r，故B 正确；对C ，当60β=︒时，易得,OAB BOC V V 均为正三角形，根据向量加法的平行四边形法则可得a c b +=r r r，此时a c b +=r r r ，故C 错误；对D ，由B ，设(),R a c b λλ+=∈r r r ，则因为0a b c ++=，故()10b λ+=r ，解得1λ=-，由平行四边形法则可得此时ABC 为正三角形，120β=︒，故D 正确；故选：ABD 11.圆()222:(2)3M x k y k -+-=与圆22:(1)1N x y -+=交于,A B 两点，若||AB =则实数k 的可能取值有（）A.2B.1C.0D.1-【答案】BCD【详解】解：因为圆()222:(2)3M x k y k -+-=与圆22:(1)1N x y -+=交于,A B 两点，所以两圆方程相减得直线AB 的方程：()242214430kx ky kk --++-=，由||AB =可得圆心N 到直线AB的距离为12d ==，12=，整理得()242422121k k k k ++=+-，0,1,1k =-时，满足上式，2k =不满足上式，故选：BCD12.已知函数1()e ln x f x x -=+，则过点(,)a b 恰能作曲线()y f x =的两条切线的充分条件可以是（）A.211b a =->B.211b a =-<C.21()a b f a -<<D.211b a <-- 【答案】AD 【解析】【详解】由1()e ln x f x x -=+，得11()e(0)x f x x x-'=+>，设切点为0100(,e ln )x x x -+，则切线的斜率为0101ex k x -=+，所以有00110001e ln e ()x x x b x a x --⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，整理得010000e(1)ln 10(0)x ax a x b x x ----++-=>，由题意可知此方程有且恰有两个解，令1()e(1)ln 1(0)x ag x x a x b x x-=---++->，11(1)e (11)ln11121ag a b b a -=---++-=+-，112211()e ()()e (0)x x a g x x a x a x x x x --⎛⎫'=--+=--> ⎪⎝⎭，令121()e(0)x F x x x -=->，则132()e 0(0)x F x x x-'=+>>，所以()F x 在(0,)+∞上递增，因为11(1)e 10F -=-=，所以当01x <<时，()0<F x ，当1x >时，()0F x >，①当1211a -<-<，即01a <<时，当0x a <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1<<a x 时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增，所以只要()0g a =或(1)0g =，即1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；②当211a -≤-，即0a ≤时，当01x <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当1x >时，()0g x '>，则()g x 递增，所以只要(1)0<g ，即21b a <-，而211a -≤-；③当211a ->，即1a >时，当01x <<时，()0g x '>，则()g x 递增，当1x a <<时，()0g x '<，则()g x 递减，当x a >时，()0g x '>，则()g x 递增，当x a =时，1()e ln a g a b a -=--，所以只要(1)0g =或()0g a =，由(1)0g =，得211b a =->，由()0g a =得1e ln ()a b a f a -=+=；④当1a =时，121()(1)e 0x g x x x -⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭，所以()g x 在(0,)+∞上递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；综上：0a ≤时，211b a <-≤-；01a <<时，1e ln ()a b a f a -=+=或21(1,1)b a =-∈-；1a >时，211b a =->或1e ln ()a b a f a -=+=，故A 正确，B 错误，C 错误，D 正确.故选：AD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.25()y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中33x y 的系数为_____________．【答案】5【详解】22555()()()y y x x y x x y x y x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭ ，其中5()x x y +的展开式通项为5655C C kkk kk k k T x xy x y --=⋅⋅=⋅⋅，0,1,2,3,4,5k =，故3k =时，得含33x y 的项为33333510C x y x y =；52()x x y y +的展开式通项为254255C C r r r rr r r y S x y x y x--+=⋅⋅=⋅⋅，0,1,2,3,4,5r =，故1r =时，得含33x y 的项为1333535x y x C y =.因此，式子25()y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含33x y 的项为3333331055x y x y x y =-，即系数为5.故答案为：5.14.已知4cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【答案】725【详解】因为4cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以227cos 22cos 13325ππαα⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22sin 2sin 2c 27cos os 233263522ππππαααπα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎛⎫-=⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：725.15.过抛物线28y x =焦点的直线与抛物线交于,M N 两点，设抛物线的准线与x 轴的交点为A ，当MA NA ⊥时，||MN =___________.【答案】8【详解】令过焦点直线为2x ky =+，代入28y x =得：28160y ky --=，所以16M N y y =-，则2(16)464M N x x -==，由MA NA ⊥，则1222()4N M N M M N M N M Ny y y y x x x x x x ⋅==-+++++，所以82()16M N x x ++=，即4M N x x +=，由抛物线定义知：||48M N MN x x =++=.故答案为：816.在四棱锥P ABCD -中，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒，且APC BPD ∠=∠，,PB PD PA ==，若该四棱锥存在半径为1的内切球，则PC =_______.【答案】++【详解】如图，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒ ，且APC BPD ∠=∠，∴可以在四棱锥上截取一个正四棱锥P AB C D '''-，此时四边形AB C D '''，AC '∴==，22212PA PC AC ''∴+==，90APC BPD ∴∠=∠= ，设0,,0PB PD t AC BD O PC x ==>==> ，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒ ，且PB PD =，,AB AD BC CD ∴==，AC BD ∴⊥，O 为BD 中点，PB PD = ，PO BD ∴⊥，又PO AC O ⋂= ，BD ∴⊥平面PAC ，90BPD ∠=，BD ∴==，1113323P ABCD B PAC D PAC PAC V V V BD S tx ---∴=+=⋅⋅=⋅= ，又因为四棱锥P ABCD -存在半径为1的内切球，()13P ABCD PAB PAD PBC PCD ABCD V S S S S S -∴=++++ 四边形111111sin 60sin 60sin 60sin 60322222PA PB PA PD PC PB PC PD AC BD ⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅ ⎪⎝⎭1131313131332222222223tx tx tx ⎛=⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+= ⎝⎭，即22x +=，即22x -=260x ∴-+=，解得x =，因为四棱锥P ABCD -存在半径为1的内切球，直径为2，2PC ∴>，而2<，故PC =，故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*1,(21,N)2,(2,N )2n n n k k S n n k k +⎧-=+∈⎪⎪=⎨⎪=∈⎪⎩（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）(1)nn a n =-×；（2）1n nT n =-+.【小问1详解】当n 为奇数且3n ≥时，11122n n n n n a S S n -+-=-=--=-，且111a S ==-，也满足该式；当n 为偶数时，()11122n n n n n a S S n -⎛⎫-+=-=--= ⎪⎝⎭.综上，(1)nn a n =-×.【小问2详解】由（1）知：()()21111111(1)111n n n a a n n n n n n ++⎛⎫==-=-- ⎪-⋅+++⎝⎭.故11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+-+⋯+-=--=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.18.如图，在图1的等腰直角三角形ABC 中，3AB CB ==，边,AB AC 上的点,E F 满足23AE AF AB AC ==，将三角形AEF 沿EF 翻折至三角形PEF 处，得到图2中的四棱锥P EFCB -，且二面角P EF B --的大小为60︒.（1）证明：平面PBC ⊥平面EFCB ；（2）求直线BE 与平面PFC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【小问1详解】因为23AE AF AB AC ==，所以//EF BC ，因为等腰直角三角形ABC 中，AB BC ⊥，所以EF AB ⊥，在四棱锥P EFCB -中，,EF EB EF EP ⊥⊥.所以PEB ∠为二面角P EF B --的平面角，即60PEB ∠= .又2,1PE BE ==，所以PB =，满足222PE BE PB =+.即BE PB ⊥，又BE BC ⊥，且PB BC B ⋂=，,PB BC ⊂平面PBC ，所以BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面EFCB ，所以平面PBC ⊥平面EFCB .【小问2详解】由,EF EB EF EP ⊥⊥，且EB EP E ⋂=，,EB EP ⊂平面PBE ，故EF ⊥平面PBE ，则有EF PB⊥.又//EF BC ，所以BC PB ⊥，即,,PB EB CB 两两垂直.以B 为坐标原点，,,BC BE BP的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：()()()(()0,0,0,0,1,0,3,0,0,,2,1,0B E C P F .()0,1,0BE =.设平面PFC 的法向量()((),,,3,0,,1,1,0n x y z PC FC ===-.300n PC x n FC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，得(n = .设所求角的大小为θ，则5sin cos ,5BE n BE n BE nθ⋅===⋅ .所以直线BE 与平面PFC.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且满足cos sin 2a C C b c +=+.（1）求角A ；（2）D 为BC 边上一点，DA BA ⊥，且4BD DC =，求cos C .【答案】（1）2π3A =（2）277【小问1详解】由sin sin sin a b c A B C==，得sin cos sin sin 2sin A C A C B C +=+.由()πB A C =-+，故()sin cos sin sin 2sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C C A C A C C +=++=++sin cos sin 2sin A C A C C =+，又因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠cos 2A A -=.即π2sin 26A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】由（1）知：2π3A =，所以2πππ326CAD ∠=-=.在CAD 中，πsin sin 6CD b ADC ∠=；在BAD 中，πsin sin 2BD c ADB ∠=.又sin sin ,4ADB ADC BD CD ∠∠==，代入得：2c b =.由余弦定理得：a ==，所以222cos 27a b c C ab +-==.20.某商场推出一项抽奖活动，顾客在连续抽奖时，若第一次中奖则获得奖金10元，并规定：若某次抽奖能中奖，则下次中奖的奖金是本次中奖奖金的两倍；若某次抽奖没能中奖，则该次不获得奖金，且下次中奖的奖金被重置为10元.已知每次中奖的概率均为14，且每次能否中奖相互独立.（1）若某顾客连续抽奖10次，记获得的总奖金为ξ元，判断()E ξ与25的大小关系，并说明理由；（2）若某顾客连续抽奖4次，记获得的总奖金为X 元，求()E X .【答案】（1）()25E ξ>，理由见解析（2）40532【小问1详解】()25E ξ>，理由如下：抽奖10次时，记中奖次数为Y ，则110,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.若每次中奖的奖金为固定10元，则此时总奖金的期望值为()()110101010254E Y E Y ==⨯⨯=.由题意，连续中奖时，奖金会翻倍，故总奖金必大于每次中奖的奖金为固定10元的情况.所以()25E ξ>.【小问2详解】X 的所有可能取值为0,10,20,30,40,70,150.()4181014256P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()3141110810C 144256P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()221127203144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()221127303144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3116402144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3116702144256P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()4111504256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.其分布列为：X01020304070150P812561082562725627256625662561256()1082727661405102030407015025625625625625625632E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点(1,1)--P 且与x 轴平行的直线与椭圆E 恰有一个公共点，过点P 且与y 轴平行的直线被椭圆E （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设过点P 的动直线与椭圆E 交于,M N 两点，T 为y 轴上的一点，设直线MT 和NT 的斜率分别为1k 和2k ，若1211k k +为定值，求点T的坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）()0,1-【小问1详解】解：由题意，椭圆的下顶点为()0,1-，故1b =.由对称性，椭圆过点1,2⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程有21314a +=，解得：2a =.故椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.【小问2详解】设点T 坐标为()0,t .当直线MN 斜率存在时，设其方程为()11y k x =+-，与2214x y +=联立得：()()()224181420kx k k x k k ++-+-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则()()1212228142,4141k k k k x x x x k k ---+==++.12121212121111x x x x k k y t y t kx k t kx k t +=+=+--+--+--，()()()()1212221212211(1)kx x k t x x k x x k k t x x k t +--+=+--++--，()()()()()()()232228281142811(1)41k k k k k t k k k k k t k t k -----=-----+--+，()()()2222881.4321(1)tk t ktk t k t -+=--+++1211k k +为定值，即与k 无关，则2(1)0,1t t +==-，此时12118k k +=-.经检验，当直线MN 斜率不存在时也满足12118k k +=-，故点T 坐标为()0,1-.22.已知函数1()(3)e x f x x k x k=---.（1）讨论函数()f x 的极值点个数；（2）当()f x 恰有一个极值点0x 时，求实数k 的值，使得()0f x 取最大值.【答案】（1）答案见解析（2）33e e 1+【小问1详解】()()()2e 1e 12e 1e 1xx xx x f x x k k k k ⎛⎫-+=---=- ⎪ ⎪+⎝⎭'；设()()2e e 1xxx g x k -=-+，则()()()2e e 1e1x x xx g x +-+'=；设()e 1xh x x =+-，显然()h x 是增函数，且()00h =；故0x <时，()()0,g x g x '<递减；0x >时，()()0,g x g x '>递增；又()01g k =--，且0x <时，()g x k <-.（i ）当10k --≥，即1k ≤-时，()()()0,0,g x f x f x ≤'≥递减，此时()f x 无极值点；（ii ）当10k k --<<-，即10k -<<时，存在120x x <<使得()()120g x g x ==，1x x <时，()()()0,0,g x f x f x '><递减；12x x x <<时，()()()0,0,g x f x f x '递增；2x x >时，()()()0,0,g x f x f x '><递减.此时()f x 有两个极值点.（iii ）当0k -<，即0k >时，存在0x ，使得()00g x =，0x x <时，()()()0,0,g x f x f x <'<递减；0x x >时，()()()0,0,g x f x f x '>>递增.此时()f x 有一个极值点.综上所述，当1k ≤-时，()f x 无极值点；当10k -<<时，()f x 有两个极值点；当0k >时，()f x 有一个极值点.【小问2详解】由（1）知，此时0k >，且()00fx '=，即()002e e 1xx x k -=+，此时02x >.此时()()()000000000000002e e 3e 13e 2e e 12x x x x x x x x f x x x x x x ⎛⎫--++=---=- ⎪ ⎪-+-⎝⎭.设()e 3(2)2x x x x x x ϕ-+=-->-，则()e 112x x x x ϕ+=--+-，()()()()()()223e 13e 1122x x x x x x x x ϕ-+---=--=--'-，2x >时，e 10x x +->，令()0x ϕ'=，得3x =.23x <<时，()()0,x x ϕϕ'>递增；3x >时，()()0,x x ϕϕ'<递减；故()()303e 3f x ϕ≤=--.()0f x 取得最大值时，03x =，此时()003032e e e 1e 1xx x k -==++.。

2020届湖北省武汉市高三起点调研考试数学(理)试题Word版含解析

2020届湖北省武汉市高三起点调研考试数学（理）试题一、选择题 1．设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】本题选择C 选项. 2．设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】由，其中是实数，得：，所以在复平面内所对应的点位于第四象限. 本题选择D 选项.3．已知等比数列{}n a 中， 23a ， 32a ， 4a 成等比数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于（）A. 139B. 3或139C. 3D. 79【答案】B【解析】因为23a ， 32a ， 4a 成等比数列， 3224311134,34a a a a q a q a q +=∴+=，整理可得，2430,q q -+=， 1q ∴=或3q =，当1q =时，则33333S a a a ==，当3q =时，则3131131399S a a a ==，故选B.4．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程210ax bx ++=有实数解的概率是（）A. 736B. 12C. 1936D. 518【答案】C【解析】若方程210ax bx ++=有实根，则必有240b a ∆=-≥，若1a =，则2,3,4,5,6b =；若2a =，则3,4,5,6b =；若3a =，则4,5,6b =；若4a =，则4,5,6b =若5a =，则5,6b =；若6a =，则5,6b =， ∴事件“方程210ax bx ++=有实根”包含基本事件共54332219+++++=， ∴事件的概率为1936，故选C. 5．函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（） A. (),2-∞- B. (),1-∞- C. ()2,+∞ D. ()5,+∞ 【答案】D【解析】由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >，根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上，因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数，由1a >得： ()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D.6．一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 28B.C.D.【答案】D 【解析】如图所示，三视图所对应的几何体是长宽高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱：ABIE-DCJH ，该几何体的表面积为：.本题选择D 选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．7．已知,x y R ∈，且0x y >>，若1a b >>，则一定有（） A.a bx y> B. sin sin ax by > C. log log a b x y > D. x y a b > 【答案】D【解析】对于A ，当3,2,3,2a b x y ====时不成立，排除A ；对于B ， 30,20,,24a b x y ππ====时，不成立，排除B ；对于C ， 3,2,3,2a b x y ====时不成立，排除C ，故选D.8．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（）A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x 桶， y 桶，利润为z 元，则根据题意可得2212{212 ,0,,x y x y x y x y N+≤+≤≥∈ ， 300400z x y =+作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线:3004000L x y +=，然后把直线向可行域平移，可得0,6x y ==，此时z 最大2400z =，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9．已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(),P x y到直线y =和直线y =的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（） A. ()2,0 B. ()3,0 C. ()0,2 D. ()0,3 【答案】A【解析】直线y =与y =夹角为60，且2230x y ->， PA ∴与PB 夹角为120，2234x y PA PB -==，)221312032PAB S PA PB sin x y ∆==-=，即P 点轨迹方程为22113x y -=，半焦距为2c =， ∴焦点坐标为()2,0，故选A. 10．执行下面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x 、y 的值满足（）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x = 【答案】C【解析】试题分析：运行程序，0,1x y ==，判断否，12,,22n x y ===，判断否，33,,62n x y ===，判断是，输出3,62x y ==，满足4y x =.【考点】程序框图.11．已知,A B 分别为椭圆22219x y b+=（03b <<）的左、右顶点， ,P Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，若点A到直线y =的距离为1，则该椭圆的离心率为（） A.1213【答案】B【解析】设()00,P x y ，则()00,Q x y -， 0000,33y y m n x x -==-+， 20209y mn x =--，又()222009,99b b y x mn ∴=--∴=，点A到y =的距离为1d ===，解得263,834c b c e ====，故选B. 【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程以及几何性质、离心率的求法，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．12．设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（）A.5B. 2C. 1D. 3【答案】A【解析】设P 在平面ABCD 上的射影为',P M 在平面11BB C C 上的射影为'M ，平面1D PM 与平面ABCD 和平面11BCC B 成的锐二面角分别为,B α，则111''cos ,cos PM C DP MD PM D PMS S B S S α∆∆∆∆==， 1''cos cos ,DP M PM C B S S α∆∆=∴=，设P 到1'C M 距离为d，则1112,22d d =⨯⨯=点P 在与直线1'C MP ∴到1C的最短距离为d =，故选A.【方法点晴】本题主要考查的是正方体的性质、二面角的求法、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于难题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误，求二面角的常见方法有：1、利用定义找到二面角的平面角，根据平面几何知识求解；2、利用公式'cos S Sθ= ，求出二面角的余弦，从而求得二面角的大小；3、利用空间相夹角余弦公式．二、填空题13．设向量(),1a m =， ()1,b m =，且3a b a b +=-，则实数m =__________．【答案】2【解析】()()()(),1,1,,1,1,1,1a m b m a b m m a b m m ==∴+=++-=--，由3a b a b +=-，得()()22223,2161a b a b m m +=-∴+=-，解得2m =±，故答案为23.14．123312x x ⎛⎫- ⎪展开式中2x 的系数为__________．（用数学填写答案）【答案】552-【解析】12的二项展开式的通项公式为122311212rrr r T C x -+⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令12223r -=，求得3r =，故展开式中2x 的系数为31215582C -⨯=-，故答案为552-.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15．设等差数列{}n a 满足3736a a +=， 46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为__________．【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3736a a +=，所以4636a a +=， 4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根，由2362750t t -+=得()()25110t t --=， 125t ∴=或211t =，当4625,11a a ==时， 6411257642a a d --===--， ()44753n a a n d n ∴=+-=-+，当10,0n n a a +><时， 1n n a a +取得最小值，由()7530{71530n n -+>-++<解得465377n <<， 7n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-，当4611,25a a ==时，6425117642a a d --===-， ()44717n a a n d n ∴=+-=-，当10,0n n a a +时， 1n n a a +取得最小值，由()7170{71170n n -<+->解得101777n <<， 2n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-，故答案为12-.16．已知函数()()sin f x x πωϕ=+（0a ≠， 0ω>， 2πϕ≤），直线y a =与()f x 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[]2,4上的值域是a ⎡⎤⎣⎦；②在[]2,4上，当且仅当3x =时函数取最大值；③该函数的最小正周期可以是83；④()f x 的图象可能过原点.其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号）【答案】③【解析】对于①，a 符号不确定， ∴该函数在[]2,4上的值域不一定是a ⎡⎤⎣⎦，故①错误；对于②， 3x =时函数也可能取最小值，故②错误；对于③，由32k ππωϕπ+=+，令,04k πϕ=-=，可得328,3434T πωπ===，故③正确；对于④， ()f x 过原点与()()24f f a==相矛盾，④错误，故答案为③.三、解答题 17．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：(1)由题意可得数列的公比为2，则数列的通项公式为.(2)首先由题意求得数列的公差，然后结合等差数列前n 项和公式可得或.试题解析：（1）设的公差为，的公比为，则，.由，得 ① 由，得②联立①和②解得（舍去），或，因此的通项公式.（2）∵，∴，或，∴或8.∴或.18．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值；（2）若b =b a ≤，求a 的取值范围. 【答案】(1) 3A π=；(2) )a ∈.【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 044B A B B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭化简得sin A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故3A π=.（2）∵b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤由正弦定理得：sin sin a bA B=即：=32sin a B =由1sin 2B ⎛∈ ⎝⎦知)a ∈. 19．甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78 84 乙 78 82 88 82 95 90 （1）用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（2）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于85分的次数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X 及方差()D X .【答案】(1) 故选乙；(2) ()13?13E X ==， ()1223?•333D X ==.【解析】试题分析：（1）根据茎叶图的定义，观察数据的平均值以及数据分散与集中程度可得结果；（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是13，成绩高于85分的次数为X 服从二项分布，从而可得分布列，利用二项分布的期望与方差公式可得结果. 试题解析：（1）由图可知乙的平均水平比甲高，故选乙．（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是13，成绩高于85分的次数为X 服从二项分布，()13?13E X ==， ()1223?•333D X ==20．如图1，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =， E 是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE .（1）设F 为1CD 的中点，试在AB 上找一点M ，使得//MF 平面1D AE ；（2）求直线1BD 与平面1CD E 所成的角的正弦值.【答案】（1）14AM FL AB ==；(2) 正弦值为3. 【解析】试题分析：（1）取1D E 中点L ，连接AL ，由等比例定理及平行线的性质可得//MF 平面1AD E ，则//MF AL ，∴AMFL 为平行四边形，所以14AM FL AB ==；（2）由等积变换可求出点B 到平面1CD E 的距离，又知1D B =，从而可得直线1BD 与平面1CD E 所成的角的正弦值.试题解析：（1）14AM AB =取1D E 中点L ，连接AL ，∵//FL EC ， //EC AB ，∴//FL AB 且14FL AB =，所以,,,M F L A 共面，若//MF 平面1AD E ，则//MF AL ，∴AMFL 为平行四边形，所以14AM FL AB ==（2）设点B 到1CD E 的距离为d ，由11B BCD D BCE V V --=可得1•CED d S ∆=.设AE 中点为H ，作HG 垂直直线CE 于G ，连接DG ，∵1D E ⊥平面AECB ∴1D G EC ⊥，则1DG = 1D B =，∴111••2CED S EC D G ∆==3d =，所以直线1BD 与平面1CD E 所成的角的正弦值为3. 21．已知抛物线2:2C x py =（0p >）和定点()0,1M ，设过点M 的动直线交抛物线C 于,A B 两点，抛物线C 在,A B 处的切线交点为N .（1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若三角形ABN 的面积最小值为4，求抛物线C 的方程.【答案】(1) 2p =；(2) 24x y =.【解析】试题分析：（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，导数的几何意义，结合,A B 处的切线斜率乘积为1221x x p=-可得结果；（2）根据弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可以得到1••42ABN S AB d ∆==≥=，从而可得结果.. 试题解析：（1）可设:1AB y kx =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ，将AB 方程代入抛物线C 方程得2220x pkx p --=则122x x pk +=， 122x x p =- ①又22x py =得x y p '=，则,A B 处的切线斜率乘积为12221x x p p=-=- 则有2p =（2）由①可得122N x x x pk +==21AB x =-=点N 到直线AB的距离d ==1••2ABN S AB d ∆==≥∴4=，∴2p =，故抛物线C 的方程为24x y =22．已知函数()1x f x e ax =--（a R ∈）（ 2.71828e =…是自然对数的底数）.（1）求()f x 单调区间；（2）讨论()()1•2g x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,1内零点的个数. 【答案】(1) 当0a ≤时， ()0f x '>， ()f x 单调增间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时， ()f x 单调减间为(),ln a -∞，增区间为()ln ,a +∞(2) 所以1a ≤或1a e>-或)21a =时， ()g x 有两个零点；当11a e <≤-且)21a ≠时， ()g x 有三个零点【解析】试题分析：(1) 求出()'f x ，讨论0a ≤， 0a >两种情况，分别令()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；(2)要求()()1•2g x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,1内零点的个数，考虑()f x 在区间[]0,1的零点个数，利用导数研究函数的单调性，分三种情况1a ≤， a e ≥ ， 11a e <≤-，分别求出零点个数即可.试题解析：（1）()x f x e a '=-当0a ≤时， ()0f x '>， ()f x 单调增间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时， ()f x 单调减间为(),ln a -∞，增区间为()ln ,a +∞（2）由()0g x =得()0f x =或12x = 先考虑()f x 在区间[]0,1的零点个数当1a ≤时， ()f x 在()0,+∞单调增且()00f =， ()f x 有一个零点；当a e ≥时， ()f x 在(),1-∞单调递减， ()f x 有一个零点；当1a e <<时， ()f x 在()0,ln a 单调递减， ()ln ,1a 单调递增.而()11f e a =--，所以1a ≤或1a e >-时， ()f x 有一个零点，当11a e <≤-时， ()f x 有两个零点而12x =时，由102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得)21a =所以1a ≤或1a e >-或)21a =时， ()g x 有两个零点；当11a e <≤-且)21a ≠时， ()g x 有三个零点. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间.。

新编湖北省武汉市部分学校高三9月起点调研考试数学(理)试题(含答案)

湖北省武汉市部分学校20xx —20xx 学年度新高三起点调研数学（理）试题说明：全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标后。

非选择题用黑包墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上。

答在试题卷上无效。

3．考试结束后，监考人员将本试题和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是 A ．（2，4） B ．（2，－4） C ．（4，－2） D ．（4，2） 2．已知全集为R ，集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∩（∁R B ）＝ A ．{x |0＜x ＜1} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜1} D ．{x |1＜x ＜2} 3．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是A ．p 为真B ．﹁q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真 4．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是5．执行右边的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．64B ．72C ．80D ．1127．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为 A ．35m B ．30m C ．25m D ．20m 8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0．表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0），满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是A ．（－∞，43）B ．（－∞，13）C ．（－∞，－23）D ．（－∞，－53）9．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为A ．2＋2B ．5＋1C ．3＋1D ．2＋110．若函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f （x 1）＝x 1，则关于x 的方程3（f （x ））2＋2af （x ）＋b ＝0的不同实数根的个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为．12．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足＝2，则·＝．13．将序号分别为1，2，3，4，5的5张电影票全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张电影票连号，那么不同的分法种数是． 14．设θ为第二象限角，若tan （θ＋π4）＝12，则sin θ＋cos θ＝．15．已知数列{a n }的各项均为正整数，S n 为其前n 项和，对于n ＝1，2，3，…，有 a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧3a n＋5，a n 为奇数，a n 2k ，其中k 是使a n ＋1为奇数的正整数，a n 为偶数．（Ⅰ）当a 3＝5时，a 1的最小值为；（Ⅱ）当a 1＝1时，S 1＋S 2＋…＋S 10＝．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos （B －C ）＋1＝4cos B cos C ．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ＝27，△ABC 的面积为23，求b ＋c ． 17．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点， AA 1＝AC ＝CB ＝22A B ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ；（Ⅱ）求二面角D -A 1C -E 的正弦值． 18．（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列{a n }的首项为1，且a 2， a 5，a 14构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n ．19．（本小题满分12分）现有A ，B 两球队进行友谊比赛，设A 队在每局比赛中获胜的概率都是23．（Ⅰ）若比赛6局，求A 队至多获胜4局的概率；（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望． 20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为22．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分14分）已知函数f （x ）＝2－x x －1＋a ln （x －1）（a ∈R ）．（Ⅰ）若f （x ）在[2，＋∞）上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当a ＝2时，求证：1－1x －1＜2ln （x －1）＜2x －4（x ＞2）；（Ⅲ）求证：14＋16＋…＋12n ＜ln n ＜1＋12＋…＋1n －1（n ∈N *，且n ≥2）．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．C 4．A 5．B 6．B 7．D 8．C 9．D 10．A 二、填空题11．3 12．56 13．96 14．－105 15．（Ⅰ）5；（Ⅱ）230三、解答题16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由2cos （B －C ）＋1＝4cos B cos C ，得 2（cos B cos C ＋sin B sin C ）＋1＝4cos B cos C ，即2（cos B cos C －sin B sin C ）＝1，亦即2cos （B ＋C ）＝1， ∴cos （B ＋C ）＝12．∵0＜B ＋C ＜π，∴B ＋C ＝π3．∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝2π3．………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得A ＝2π3．由S △ABC ＝23，得12bc sin 2π3＝23，∴bc ＝8． ①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得（27）2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即b 2＋c 2＋bc ＝28，∴（b ＋c ）2－bc ＝28． ② 将①代入②，得（b ＋c ）2－8＝28，∴b ＋c ＝6．………………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连结DF ，则BC 1∥DF ． ∵BC 1⊄平面A 1CD ，DF ⊂平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1C D ．………………………………………………………………4分（Ⅱ）由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥B C ．以C 为坐标原点，的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ．设CA ＝2，则D （1，1，0），E （0，2，1），A 1（2，0，2）， ∴＝（1，1，0），＝（0，2，1），＝（2，0，2）．设n ＝（x 1，y 1，z 1）是平面A 1CD 的法向量，则即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0．可取n ＝（1，－1，－1）．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则可取m ＝（2，1，－2）．从而cos ＜n ，m ＞＝n ·m |n ||m |＝33，∴sin ＜n ，m ＞＝63．故二面角D -A 1C -E 的正弦值为63．……………………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则 ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列， ∴a 25＝a 2a 14，即（1＋4d ）2＝（1＋d ）（1＋13d ），解得d ＝0（舍去），或d ＝2． ∴a n ＝1＋（n －1）×2＝2n －1．……………………………………………………4分（Ⅱ）由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －（1－12n －1）＝12n ．∴b n a n ＝12n ，n ∈N *．由（Ⅰ），知a n ＝2n －1，n ∈N *， ∴b n ＝2n －12n ，n ∈N *．又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1．两式相减，得12T n ＝12＋（222＋223＋…＋22n ）－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， ∴T n ＝3－2n ＋32n ．…………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“比赛6局，A 队至多获胜4局”为事件A ，则P （A ）＝1－[C 56（23）5（1－23）＋C 66（23）6]＝1－256729＝473729．故A 队至多获胜4局的概率为473729．………………………………………………4分（Ⅱ）由题意可知，ξ的可能取值为3，4，5． P （ξ＝3）＝（23）3＋（13）3＝927＝13，P （ξ＝4）＝C 23（23）2×13×23＋C 23（13）2×23×13＝1027， P （ξ＝5）＝C 24（23）2（13）2＝827． ∴ξ的分布列为：ξ 3 4 5 P131027827∴E （ξ）＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727．…………………………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设F （c ，0），当l 的斜率为1时，其方程为x －y －c ＝0，∴O 到l 的距离为|0－0－c |2＝c2，由已知，得c 2＝22，∴c ＝1．由e ＝c a ＝33，得a ＝3，b ＝a 2－c 2＝2．……………………………………4分（Ⅱ）假设C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有＝＋成立，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则P （x 1＋x 2，y 1＋y 2）．由（Ⅰ），知C 的方程为x 23＋y 22＝1．由题意知，l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝ty ＋1．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，x 23＋y 22＝1．消去x 并化简整理，得（2t 2＋3）y 2＋4ty －4＝0．由韦达定理，得y 1＋y 2＝－4t2t 2＋3， ∴x 1＋x 2＝ty 1＋1＋ty 2＋1＝t （y 1＋y 2）＋2＝－4t 22t 2＋3＋2＝62t 2＋3，∴P （62t 2＋3，－4t2t 2＋3）．∵点P 在C 上，∴(62t 2＋3)23＋(－4t 2t 2＋3)22＝1，化简整理，得4t 4＋4t 2－3＝0，即（2t 2＋3）（2t 2－1）＝0，解得t 2＝12．当t ＝22时，P （32，－22），l 的方程为2x －y －2＝0；当t ＝－22时，P （32，22），l 的方程为2x ＋y －2＝0．故C 上存在点P （32，±22），使＝＋成立，此时l 的方程为2x ±y －2＝0．…………………………………………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，得f （x ）＝－1＋1x －1＋a ln （x －1），求导数，得f ′（x ）＝－1(x －1)2＋ax －1． ∵f （x ）在[2，＋∞）上是增函数，∴f ′（x ）≥0在[2，＋∞）上恒成立，即a ≥1x －1在[2，＋∞）上恒成立，∴a ≥（1x －1）max．∵x ≥2，∴0＜1x －1≤1，∴a ≥1．故实数a 的取值范围为[1，＋∞）．………………………………………………4分（Ⅱ）当a ＝2时，由（Ⅰ）知，f （x ）在[2，＋∞）上是增函数， ∴当x ＞2时，f （x ）＞f （2），即－1＋1x －1＋2ln （x －1）＞0， ∴2ln （x －1）＞1－1x －1．令g （x ）＝2x －4－2ln （x －1），则g ′（x ）＝2－2x －1＝2(x －2)x －1．∵x ＞2，∴g ′（x ）＞0，∴g （x ）在（2，＋∞）上是增函数，∴g （x ）＞g （2）＝0，即2x －4－2ln （x －1）＞0， ∴2x －4＞2ln （x －1）．综上可得，1－1x －1＜2ln （x －1）＜2x －4（x ＞2）．………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ），得1－1x －1＜2ln （x －1）＜2x －4（x ＞2），令x －1＝k ＋1k ，则1k ＋1＜2ln k ＋1k ＜2·1k ，k ＝1，2，…，n －1．将上述n－1个不等式依次相加，得1 2＋13＋…＋1n＜2（ln21＋ln32＋…＋lnnn－1）＜2（1＋12＋…＋1n－1），∴12＋13＋…＋1n＜2ln n＜2（1＋12＋…＋1n－1），∴14＋16＋…＋12n＜ln n＜1＋12＋…＋1n－1（n∈N*，且n≥2）．………………14分。

湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷(含解析)

湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若复数z 满足B. D.2．已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则( )A. B.C.展开式的常数项为 D.的展开式中各项系数的和为13．已知，向量，，且，则在上的投影向量为( )D.4．已知等差数列的前n 项和为,若,,则( )A.288B.144C.96D.255．已知函数的解集为( )A. B. C. D.6．灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为，其中R 是球的半径，h 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm ，圆柱的高为4cm ，圆柱的底面圆直径为24c m ，则该灯笼的体积为（取）( )()1i z -=-12-2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭5n =8n =2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭20-2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ∈R (),2a x =()2,1b =- a b ⊥ a b + a )1,2()2,1-{}n a n S 39S =981S =12S =()f x ()()21f x f x >-1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()2π33V R h h =-π3=A.32000cm 3B.33664cm 3C.33792cm 3D.35456cm 37．已知抛物线的焦点为F ，过F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为M ，N ，若和的面积分别为8和4，则的面积为( )A.32B.16C.8．设A. B. C. D.二、多项选择题9．下列说法正确的是( )C.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好10．下列说法正确的是( )A.若，则C.，11．已知无穷数列中，，，…，是以10为首项，以为公差的等差数列，，，…，，对一切正整数n ，都有.设数列的前n 项和为，则( )()2:20C y px p =>AFM △BFN △MFN △112024101212e 1,e 1,sin tan2024a b c ⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭b ac >>b c a >>a b c >>b c a>>r 22ac bc >a b >a b ∀>m >b m a m+<++{}n a 1a 2a m a 2-1m a +2m a +2a )3,m m ≥∈*N 2n m n a a +={}n a n SA.当时，时，C.当时， D.不存在m ，使得成立三、填空题12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为____________.13．函数的部分图象如图所示,则____________.的轨迹方程为，其中，则的最小值为______________.四、解答题15．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.（1）求B ；（2）已知的最大值.16．如图,在四棱锥中,平面平面ABCD ,,,.（1）证明:;（2）若,求平面BPC 与平面PCD 的夹角的余弦值.17．已知函数.3m =12a =232=-8m =20244a =10m =2024331396m S +≥()21f x +[)1,1-()1f x -()()()2sin 21πf x x ϕϕ=++<ϕ=(),P x y 2240x y m -+=1,4m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦ABC △()2cos cos 0a c B b C --=b =2c +P ABCD -PAC ⊥//AD BC 2AB AD CD ===4BC =AB PC ⊥PA PC AC ==2()(2)ln f x ax a x x =+--（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a 的取值范围.18．已知点P 是圆上的动点，，M 是线段上一点，且（1）求轨迹C 的方程；（2）设不过原点的直线l 与C 交于A ，B 两点，且直线，的斜率的乘积为面上一点D满足，连接交C 于点N （点N 在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.19．利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设，则，即，解得这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.每局比赛的结果互不影响.规定：净胜m 局指的是一方比另一方多胜m 局.（1）如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；（2）如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.①求甲获胜的概率；②求.()f x ()f x ()22:116E x y -+=()1,0F -EP PM OA OB OA AD =BD BD NAB △0.31 0.31x = 31.31100x = 31100x x +=0.31= ()3,2,1,0,1,2,3i i =---i i P i X ()i E X 0P ()0E X参考答案1．答案：D 解析：,,则其虚部为故选:D.2．答案：D解析：由题可知，，则.则AB 错误；展开式中的第项为.令，得，则，故C 错误；令得，则的展开式中各项系数的和为1，故选：D.3．答案：C解析：由，则有，即，则.故选：C.4．答案：B解析：由题意,即,解得.于是.故选:B.5．答案：A解析：由,故在上单调递增,()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222z +-+====-+--+11i 22=---264n =6n =62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1k +6621662C (1)2C kk k k k k kk T x xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭620k -=3k =()333664612C 160T x-=-⨯⨯=-1x =62111⎛⎫-= ⎪⎝⎭62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭a b ⊥ 220a b x ⋅=-=1x =(3,1a b += ()1,2a == 319132392989812S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩11349a d a d +=⎧⎨+=⎩112a d ==⎧⎨⎩12121112121442S ⨯=⨯+⨯=()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥==⎨-<⎩()f x R由,有,即故选:A.6．答案：B解析：该灯笼去掉圆柱部分的高为cm ，则cm ，由圆柱的底面圆直径为24cm ，则有，即，可得，则，.故选：B.7．答案：C解析：设直线代入抛物线方程，消元可得，设，，则，，，，()()21f x f x >-21x x >-x >40832-=32162R h -==()22212R h R -+=2221612R +=20R =4h =()2324π2+22412ππ202604433V V V V =-=⨯⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯圆柱球球缺345632000179233664=+-=:AB x my =+2220y pmy p --=211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,2y B y p ⎛⎫⎪⎝⎭212y y p =-122y y pm +=21111182222AFMy p S AM y y p ⎛⎫=⋅==+⋅= ⎪⎝⎭△22221142222BFNy p S BN y y p ⎛⎫=⋅=+⋅= ⎪⎝⎭△()()22122212122114444AFM BFNy y p S S y y y y p ⎡⎤∴⋅=+++⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦△△，于是，即故选：C.8．答案：A解析：令,易求,当时,,所以在单调递增,所以,所以,即,所以.令,,则,令,,则因为,则,,,,则,所以在内单调递增,则,即在内恒成立,则在内单调递增,()422222211424444p pp m p pp⎡⎤=++⋅+⋅⎢⎥⎣⎦()4214pm=+()42184324AFM BFNpS S m⋅=+=⨯=△△21m+=122MFNpS y y p p∴=-====△()()2e12e1x xh x=---()00h=x>0()22e2e0x xh x'=->()h x(0,)+∞()()00h x h>=12024h⎛⎫>⎪⎝⎭()1202410121e12e102024h⎛⎫=--->⎪⎝⎭b a> ()()2e1sin tanxf x x x=---π0,6x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2e cosxf x x'=--π0,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()g x f x='π0,6x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2e sinxg x x'=+-π0,6x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2e2x>0sin x<<cos1x<<2<=<11()22022g x'>+-=>()g xπ0,6⎛⎫⎪⎝⎭()(0)0g x g>=()0f x'>π0,6⎛⎫⎪⎝⎭()f xπ0,6⎛⎫⎪⎝⎭可得,即,综上所述:故选:A.9．答案：ABD解析：对A ：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，一定过样本点中心，故B 正确；对D：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故D 正确.故选：ABD.10．答案：AD解析：对于A ，若，则，A 正确;对于C ，若，，但是与0的大小不能确定，故C 错误；取等号，D 正确.故选：AD.11．答案：ABD解析：等差数列通项公式：，m ，且，等比数列通项公式：，m ，且，对一切正整数n ，都有，数列为周期数列，周期为，当时，1(0)02024f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭1202412e 1sin 2024⎛⎫->+ ⎪⎝⎭c >b a c >>()x y 22ac bc >a b >2a b ≥a b ≤-a b >m >()()()b a m a b m b m a m a a m +-++-==++()0m b a -<()a a m +≥=0x =()()1012212n a n n =+--=-+n ∈*N m n ≤1111222n m n mn a ---⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭n ∈*N 2m n m <≤2n m n a a +=∴2m 3m =312612a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭当时，由题意知，是等差数列中的项，在等差数列中，令，得，对一切正整数n ，都有，则有，，解得，B 选项正确；当时，由题意知，4是等差数列中的项，在等差数列中，令，得，对一切正整数n ，都有，则有，，得，方程有多组解，如等等，C 选项错误；，若，则有，令，函数图象抛物线对称轴，所以在或时取最大值，令，则，所以不可能成立，即不存在m ，使得，D 选项正确.故选：ABD.12．答案：解析：由函数的定义域为，则有，令，解得.232a =-2-2122n -+=-7n =2n m n a a +=72237km m +=⎧⎨≥⎩(),k m ∈*N 8m =20244a =2124n -+=4n =2n mn a a +=4220244km m +=⎧⎨≥⎩(),k m ∈*N ()1010,km k m =∈*N 5m =()()20243212311122110121012102+10861212mm m m m S S a a a m +⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭=+++=+⨯-+++ ⎪- ⎪⎪⎝⎭()220243110121110361012313962mm S m m +⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭()211012113036010122mm m ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭()()2101211f m m m =-112m =∉*N ()f m 5m =6m =()()()max 5630360f m f f ===()130********mg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()30360g m >()211012113036010122mm m ⎛⎫-≥+ ⎪⎝⎭2024331396m S +≥(]2,2-()21f x +[)1,1-[)211,3x +∈-113x -≤-<22x -<≤故答案为：.解析：令,则根据图象得则,则,则,，则且，当且仅当.15．答案：（1）解析：（1），由正弦定理得，，即，所以，，，，(]2,2-()()2sin210f x xϕ=++=()sin2xϕ+=x=π22π4kϕ⎛⎫⨯-+=-⎪⎝⎭∈Z2πkϕ=∈π0k=ϕ=t=≥2224x t y=+20t t m-+===≥≥x=y=π3B=()2cos cos0a c Bb C--=()2sin sin cos sin cos0A CB B C--=2cos sin cos sin sin cos0B A BC B C--=2cos sin sin cos cos sinB A BC B C=+()2cos sin sin sinB A BC A=+=()0,πA∈∴sin0A≠∴cos B=0πB<<∴B=，，又为锐角，16．答案：（1）证明见解析;解析：如图,取BC 的中点E ,连接AE ,因为,,所以四边形ADCE 为平行四边形.因为,所以四边形ADCE 为菱形,所以,即点A 在以BC 为直径的圆上,所以.因为平面平面ABCD ,平面平面,平面ABCD ,所以平面PAC因为平面PAC ,所以.（2）由（1）可知平面PAC ,因为,取AC 中点为O ,连PO ,所以.因为,O 为AC 中点,所以,又因为平面平面ABCD ,平面平面,平面PAC ,所以平面ABCD ,2sin sin c b C B ====∴12π2sin 4sin sin 4sin 23a c A C A A ⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭()sin 2sin 3sin A A A A A A ϕ=++=+=+ 0A <<ϕ∴(A ϕ+∴122a +//EC AD EC AD =AD DC =AE BE EC ==AB AC ⊥PAC ⊥PAC ABCD AC =AB ⊂AB ⊥PC ⊂AB PC ⊥AB ⊥PA PC =PO AC ⊥AE EC =OE OC ⊥PAC ⊥PAC ABCD AC =PO ⊂PO ⊥因为平面ABCD ,所以,所以OE ,OC ,OP 两两互相垂直,以点O 为原点,OE 为x 轴,OC 为y 轴,OP 为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,所以,,.设平面PBC 的法向量为,由得,取,得,则,设平面PCD 的法向量为,由得,取,得,则,所以设平面BPC 与平面PCD 的夹角为,则17．答案：（1）见解析（2）解析：（1），OE ⊂PO OE ⊥()2,0B ()0C ()1,0,0D -()0,0,3P ()0,3CP = ()2,0BC =- ()0DC = ()111,,m x y z = 00CP m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11113020z x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩11z =1y =13x =()m = ()222,,n x y z = 00DC n CP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2222030x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩21z =2y =23x =-()3,n =- cos ,m n m n m n ⋅=== θcos cos ,m n θ==()0,1()()()()()1211220ax x f x ax a x x x-+'=+--=>若，，上单调递减；若，当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增.（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意.若，由（1）可知，的最小值为令，，所以在上单调递增，又，当时，，至多一个零点，不符合题意，当时，又因为，结合单调性可知在有一个零点，令，时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为，所以，当，结合单调性可知在有一个零点，综上所述，若有两个零点，a 的范围是.（2）是，，所以点M 的轨迹是以点E ，F 为焦点的椭圆，在0a ≤()0f x '<()f x ()0,+∞0a >10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0a ≤()f x ()0,+∞()f x 0a >()f x 11ln 1f a a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()1ln 1h a a a =-+()2110h a a a'=+>()h a ()0,+∞()10h =()0h a ≥[)1,a ∈+∞()f x ()0h a <()0,1a ∈21210e e e e a a f ⎛⎫⎛⎫=++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 11,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()ln g x x x =-()11g x x '=-=()0,1∈()g x ()1,x ∈+∞()g x ()g x ()110g =>ln x x >x >()()()()()2222ln 2330f x ax a x x ax a x x ax a x x ax a =+-->+--=+-=+->()f x 3,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ()0,1213y +=NAB S =△42PM EP EF ==>=设，则，即.由知.（2）设，，则由，得.因为点A ，B 均在曲线C 上，所以，，整理得：，又因为，所以设，则，，整理得：，，代入上式得：，即，又因为，所以所以()2222:10x y C a b a b+=>>24a =2a =1c =b ==213y +=()11,A x y ()22,B x y OA AD = ()112,2D x y 22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()22222212122111912y y x y x y +++=()2212121*********x x y y x y x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭1212OA OB y y k k x x ==1203y y +=12211122AOB S x y x y =-=⨯=△BN BD λ= ()()12122121N Nx x x y y y λλλλ=+-⎧⎪⎨=+-⎪⎩()2122113y y λλ+-⎡⎤⎣⎦+=()()2222221112122244111434343x y x x y y x y λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2112121,0343y x x y y +=+=2213y +=()22411λλ+-=2520λλ-=0λ>λ2255NAB DAB OAB S S S ===△△△解析：（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局甲胜，概率为4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各得一分，并且第3，4局乙胜，概率为（2）①在甲在净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，，同理，，，，由，，得，与联立消去，，又，，即，因此②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了()07X =212212C 333⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭⨯212211C 333⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭481+=1P -2123P P --=1022133P P P --=+0112133P P P -=+1202133P P P =+212133P P =+1202133P P P =+212133P P =+104377P P =+0112133P P P -=+1P 0181213P P -=+2123P P --=1022133P P P --=+1067P P -=0P =()1E X -局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则，即，同理，即，，即，，即，，即，联立与，得联立与，得，代入，得，所以.()11E X -+2121()[()1]133E X E X --=++⨯212()()13E X E X --=+10221()[()1][()1]33E X E X E X --=+++10221()()()133E X E X E X --=++01121()[()1][()1]33E X E X E X -=+++01121()()()133E X E X E X -=++12021()[()1][()1]33E X E X E X =+++12021()()()133E X E X E X =++2121()1[()1]33E X E X =⨯++211()()13E X E X =+12021()()()133E X E X E X =++211()()13E X E X =+103()()7E X E X =+212()()13E X E X --=+10221()()()133E X E X E X --=++10612()()77E X E X -=+01121()()()133E X E X E X -=++000315612()()7721()[[13773E X X E X E ++=++0()7E X =。

湖北省武汉市高三毕业生四月调研数学(理)试题含答案

武汉市２０１８届高中毕业生四月调研测试理　科　数　学武汉市教育科学研究院命制２０１８．４．１９本试卷共６页，２３题（含选考题）。

全卷满分１５０分。

考试用时１２０分钟。

★祝考试顺利★注意事项：１答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

２选择题的作答：每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

３非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

４选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用２Ｂ铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

５考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１复数５ｉ－２的共轭复数是Ａ２＋ｉＢ－２＋ｉＣ－２－ｉＤ２－ｉ２已知集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２＝１｝，Ｎ＝｛ｘ｜ａｘ＝１｝，若ＮＭ，则实数ａ的取值集合为Ａ｛１｝Ｂ｛－１，１｝Ｃ｛１，０｝Ｄ｛１，－１，０｝３执行如图所示的程序框图，如果输入的ｔ∈［－２，２］，则输出的Ｓ属于Ａ［－４，２］Ｂ［－２，２］Ｃ［－２，４］Ｄ［－４，０］４某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为槡Ａ３槡Ｂ６槡Ｃ２３槡Ｄ２６５一张储蓄卡的密码共有６位数字，每位数字都可以从０～９中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过２次就按对的概率为Ａ２５Ｂ３１０Ｃ１５Ｄ１１０６若实数ａ，ｂ满足ａ＞ｂ＞１，ｍ＝ｌｏｇａ（ｌｏｇａｂ），ｎ＝（ｌｏｇａｂ）２，ｌ＝ｌｏｇａｂ２，则ｍ，ｎ，ｌ的大小关系为Ａｍ＞ｌ＞ｎＢｌ＞ｎ＞ｍＣｎ＞ｌ＞ｍＤｌ＞ｍ＞ｎ７已知直线ｙ＝ｋｘ－１与双曲线ｘ２－ｙ２＝４的右支有两个交点，则ｋ的取值范围为Ａ（０，槡５２）Ｂ［１，槡５２］Ｃ（－槡５２，槡５２）Ｄ（１，槡５２）８在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对应边分别为ａ，ｂ，ｃ，条件ｐ：ａ≤ｂ＋ｃ２，条件ｑ：Ａ≤Ｂ＋Ｃ２，那么条件ｐ是条件ｑ成立的Ａ充分而不必要条件Ｂ必要而不充分条件Ｃ充要条件Ｄ既不充分又不必要条件９在（ｘ＋１ｘ－１）６的展开式中，含ｘ５项的系数为Ａ６Ｂ－６Ｃ２４Ｄ－２４１０若ｘ，ｙ满足｜ｘ－１｜＋２｜ｙ＋１｜≤２，则Ｍ＝２ｘ２＋ｙ２－２ｘ的最小值为Ａ－２Ｂ２１１Ｃ４Ｄ－４９１１函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ（ｗｘ＋π３）（ｗ＞０）的图象在［０，１］上恰有两个最大值点，则ｗ的取值范围为Ａ［２π，４π］Ｂ［２π，９π２）Ｃ［１３π６，２５π６）Ｄ［２π，２５π６）１２过点Ｐ（２，－１）作抛物线ｘ２＝４ｙ的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ，ＰＡ，ＰＢ分别交ｘ轴于Ｅ，Ｆ两点，Ｏ为坐标原点，则△ＰＥＦ与△ＯＡＢ的面积之比为Ａ槡３２Ｂ槡３３Ｃ１２Ｄ３４二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分。

武汉市部分学校2024年高三第一次教学质量检查考试数学试题

武汉市部分学校2024年高三第一次教学质量检查考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种 B ．36种 C ．24种D ．18种2．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．3．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 4．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．1,C ．(),1-∞D ．(],1-∞5．已知双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为( )A ．2214y x -=B ．221520y x -=C ．221205x y -=D ．2214x y -=6．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（） A ．3B ．4C ．7D ．87．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（） A ．31-B ．31+C ．132+D ．132-8．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或159．已知等式2324214012141(1(2))x x x a a x a x a x -+⋅-=++++成立，则2414a a a +++=（）A ．0B ．5C ．7D ．1310．已知复数168i z =-，2i z =-，则12z z =（） A ．86i -B ．86i +C ．86i -+D ．86i --11．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦12．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2023-2024学年高三下学期数学2月调研考试试卷(含答案)

湖北省武汉市2023-2024学年高三下学期数学2月调研考试试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2024高三下·武月考）已知集合A ={x|2x 2+x −1<0}，B ={y|y =lg(x 2+1)}，则A ∩B =（） A ．(−1，0]B ．[0，12)C ．(−12，0]D ．[0，1)2．（2024高三下·武汉月考）复数z 满足2z +3z̅=5−2i ，则|z|=（）A ．√3B ．2C ．√5D ．√63．（2024高三下·武汉月考）已知ab ≠1，log a m =2，log b m =3，则log ab m =（）A ．16B ．15C ．56D ．654．（2024高三下·武汉月考）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（） A ．7B ．8C ．9D ．105．（2024高三下·武汉月考）设抛物线y 2=2x 的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若∠PQF =30°，则|PQ|=（） A ．23B ．√33C ．34D ．√326．（2024高三下·武汉月考）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为P 0，记P k 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率T k =P k P k−1=12k ，其中k =1，2，3…n ，为使得P n P 0≥2−2024，则n 的最大值为（）A ．31B ．32C ．63D ．647．（2024高三下·武汉月考）如图，在函数f(x)=sin(ωx +φ)的部分图象中，若TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点A 的纵坐标为（）A ．2−√22B ．√3−12C ．√3−√2D ．2−√38．（2024高三下·武汉月考）在三棱锥P −ABC 中，AB =2√2，PC =1，PA +PB =4，CA −CB =2，且PC ⊥AB ，则二面角P −AB −C 的余弦值的最小值为（） A ．√23B ．34C ．12D ．√105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9．（2024高三下·武汉月考）已知向量a⃗=(cosθ，sinθ)，b⃗=(−3，4)，则（）A．若a⃗//b⃗，则tanθ=−43B．若a⃗⊥b⃗，则sinθ=35C．|a−b⃗|的最大值为6D．若a⃗⋅(a⃗−b⃗)=0，则|a−b⃗|=2√610．（2024高三下·武汉月考）将两个各棱长均为1的正三棱锥D−ABC和E−ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A．该几何体的表面积为3√32B．该几何体的体积为√36C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D．直线AD//平面BCE11．（2024高三下·武汉月考）已知函数f(x)=a(e x+1)ln(1+x1−x)−e x+1恰有三个零点，设其由小到大分别为x1，x2，x3，则（）A．实数a的取值范围是(0，1e)B．x1+x2+x3=0C．函数g(x)=f(x)+kf(−x)可能有四个零点D．f′(x3)f′(x1)=e x3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（2024高三下·武汉月考）在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=3π4，b=6，a2+c2=2√2ac，则△ABC的面积为．13．（2024高三下·武汉月考）设椭圆x29+y25=1的左右焦点为F1，F2，过点F2的直线与该椭圆交于A，B两点，若线段AF2的中垂线过点F1，则|BF2|=．14．（2024高三下·武汉月考）“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．各项均不为0的数列{a n}对任意正整数n满足：1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1=1−12a n+1．（1）若{a n}为等差数列，求a1；（2）若a1=−27，求{a n}的前n项和S n．16．（2024高三下·武汉月考）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=PB，DA= DB=√2，AB=2，PD=1，点E，F分别为AB和PB的中点．（1）证明：CF⊥PE；（2）若PE=1，求直线CF与平面PBD所成角的正弦值．17．（2024高三下·武汉月考）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：附：经验回归方程y ̂=b ̂x +a ̂，其中b̂=∑(x i −x ̅)n i=1(y i−y ̅)∑(x i −x̅)2n i=1=∑x i ni=1y i −nx̅y ̅∑x i 2n i=1−nx ̅2，a ̂=y̅−b ̂x ̅，样本相关系数r =i ̅ni=1i ̅√∑(x i −x̅)2i=1√∑(y i −y̅)2i=1=i ni=1i ̅̅√∑x i 2i=1−nx̅2√∑y i 2i=1−ny̅2；参考数据：∑x i 6i=1y i =2463.4，√∑(y i −y ̅)26i=1=20√70．（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．18．（2024高三下·武汉月考）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1的左右焦点为F 1，F 2，其右准线为l ，点F 2到直线l 的距离为32，过点F 2的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，|AB|=6．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线AF 1与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．19．（2024高三下·武汉月考）已知函数f(x)=e x −1x．（1）求曲线y =f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）证明：f(x)是其定义域上的增函数；（3）若f(x)>a x ，其中a >0且a ≠1，求实数a 的值．答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：由2x 2+x −1<0，解得−1<x <12，则集合A ={x|−1<x <12}，因为x 2+1≥1，所以lg(x 2+1)≥0，则集合B ={y|y =lg(x 2+1)}={y|y ≥0}，所以A ∩B =[0,12).故答案为：B.【分析】解一元二次不等式求得集合A ；求对数函数的值域得集合B ，再根据集合的交集运算求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：设复数z =x +yi,x,y ∈R ，则2z +3z̅=2(x +yi)+3(x −yi)=5x −yi =5−2i ，所以5x =5,−y =−2，解得x =1,y =2，所以|z|=√12+22=√5. 故答案为：C.【分析】设复数z ，根据已知条件结合复数相等求得x,y ，再根据复数模长公式计算即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：由换底公式可得：log m a =1log a m =12，log m b =1log b m =13，所以log ab m =1log m ab =1log m a+log mb =65.故答案为：D.【分析】根据对数的换底公式以及对数的运算性质求解即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：先将3个红球分成3组，则有0，1，2和1，1，1两种分组形式；当红球分组形式为0，1，2时，将红球放入三个不同的袋中有A 33=3×2×1=6放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可；当红球分组形式为1，1，1时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可，综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为6+1=7种. 故答案为：A.【分析】先将红球分组，再分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示：M 为准线与x 轴的交点，因为∠PQF =30°，且|PF|=|PQ|，所以∠PFQ =30°,∠QPF =120°，因为FM//PQ ，所以∠QFM =30∘，因为tan30∘=|QM||MF|=|QM|1=|QM|=√33，所以|QF|=2√33，所以|PF|=|PQ|=|QF|21cos30∘=√33√32=23. 故答案为：A.【分析】由题意得∠QFM =30∘，结合正切定义以及|FM|=1可得|QF|，求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：由题意P n P n−1=12n ,P n−1P n−2=12n−1,⋯,P 1P 0=12，所以P n P 0=12n ×12n−1×⋯×12=12n(n+1)2≥2−2024，所以n(n+1)2≤2024，即n(n +1)≤4048，易知f(n)=n(n +1)关于n 单调递增，其中n ∈N ∗，又因为f(63)=4032<4048<f(64)=4160，所以n 的最大值为63. 故答案为：C.【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得P n P 0=12n(n+1)2≥2−2024，进一步得 n(n +1)≤4048，再结合数列单调性求解即可. 7．【答案】B【解析】【解答】解：由图可知ωx T +φ=3π2，则x T =3π2ω−φω，则T(3π2ω−φω,0)，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，因为TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x 2+3π2ω−φω2=x 1y 22=y 1，解得{x 2=2x 1−3π2ω+φωy 2=2y 1，所以2y 1=y 2=f(x 2)=f(2x 1−3π2ω+φω)=sin(2ωx 1−3π2+2φ) =cos(2ωx 1+2φ)=1−2sin 2(ωx 1+φ)=1−2y 12，所以2y 12+2y 1−1=0，又因为y 1>0，所以y 1=√3−12.故答案为：B.【分析】由题意求得得T(3π2ω−φω,0)，进一步得由TA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得{x 2=2x 1−3π2ω+φωy 2=2y 1，代入函数表达式结合诱导公式、余弦的二倍角公式求解即可.8．【答案】A【解析】【解答】解：因为PA +PB =4=2a ，所以a =2，点P 的轨迹方程为x 24+y 22=1（椭球），又因为CA −CB =2，所以点C 的轨迹方程为x 2−y 2=1，（双曲线的一支）过点P 作PH ⊥AB,AB ⊥PC ，而PH ∩PC =P,PF,PC ⊂面PHC ，所以AB ⊥面PHC ，设O 为AB 中点，则二面角P −AB −C 为∠PHC ，所以设OH =2cosθ，θ∈(0,π2]，PH =√2sinθ，CH =√4cos 2θ−1，所以cos∠PHC =2sin 2θ+4cos 2θ−1−12√2sinθ√4cos θ−1=2cos 2θ2√2sinθ√4cos θ−1=√22⋅1−sin 2θsinθ√3−4sin θ，所以cos 2∠PHC =12⋅(1−sin 2θ)2sin 2θ(3−4sin 2θ)，令1−sin 2θ=t,0<t <1，所以cos 2∠PHC =12⋅(1−sin 2θ)2sin 2θ(3−4sin 2θ)=12⋅t 2(1−t)(4t−1)≥12⋅t 2(1−t+4t−12)2=29，当且仅当t =25=1−sin 2θ等号成立，所以当且仅当sinθ=√155,cosθ=√105时，(cos∠PHC)min =√23. 故答案为：A.【分析】根据已知条件求得点P,C 的轨迹方程，进一步作二面角P −AB −C 的平面角∠PHC ，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式求解即可.9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A 、若a ⃗ //b ⃗ ，则4cosθ=−3sinθ，解得tanθ=−43，故A 正确； B 、若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则−3cosθ+4sinθ=0，解得tanθ=34，所以sinθ=±35，故B 错误； C 、因为|a |=√cos 2θ+sin 2θ=1，|b ⃗ |=√(−3)2+42=5，而|a −b ⃗ |≤|a |+|b⃗ |=6，当且仅当a ⃗，b ⃗ 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量a ⃗ ，b ⃗ 的起点为坐标原点，向量a⃗ 的终点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上，向量b ⃗ =(−3,4)终点在第二象限，当a⃗ ，b ⃗ 反向，则向量a ⃗ =(cosθ,sinθ)的终点应在第四象限，此时cosθ=35，sinθ=−45，故C 正确； D 、若a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=0，则cosθ(cosθ+3)+sinθ(sinθ−4)=0，即cos 2θ+3cosθ+sin 2θ−4sinθ=0，所以4sinθ−3cosθ=1，|a −b ⃗ |=√(cosθ+3)2+(sinθ−4)2=√6cosθ−8sinθ+26，所以|a −b ⃗ |=√24=2√6，故D 正确. 故答案为：ACD.【分析】根据a ⃗ //b ⃗ ，有4cosθ=−3sinθ，即可判断A ；根据a ⃗ ⊥b ⃗ ，得−3cosθ+4sinθ=0，即可判断B ；根据向量减法三角形法则有|a −b ⃗ |≤|a |+|b ⃗ |=6，分别求出|a |，|b ⃗ |，有a ⃗ ，b ⃗ 反向时|a −b ⃗ |取得最大值，根据向量的几何意义即可判断C ；根据a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )=0，得4sinθ−3cosθ=1，又|a −b ⃗ |=√6cosθ−8sinθ+26，可计算|a −b⃗ |，即可判断D. 10．【答案】A,C【解析】【解答】解：A 、S △ABD =12×1×1×√32=√34，所以表面积为6×√34=3√32，故A 正确；B 、如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以AO =23AM =23×1×√32=√33，又因为AD =1，所以正三棱锥D −ABC 的高为DO =√AD 2−AO 2=√1−13=√63，所以几何体的体积为V =2V D−ABC =2×13×√63×√34=√26，故B 错误；C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知D,O,E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ，所以平面ADE ⊥平面ABC ，故C 正确；D 、建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC ，因为AO =√33,OM =√32−√33=√36，所以B(12,√36,0),C(−12,√36,0),E(0,0,−√63),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−√36,−√63)，设平面BCE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，所以{−x =0−12x −√36y −√63z =0，不妨取z =1，解得y =−2√2,x =0，所以取n ⃗ =(0,−2√2,1)，又A(0,−√33,0),D(0,0,√63),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√33,√63)，而AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2√63+√63=−√63≠0，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错误.故答案为：AC.【分析】求其中一个正三角形的面积，即可求得几何体的表面积，判断A ；先求得V D−ABC ，进一步即可验算即可判断B ；证明面ADE ⊥面ABC 即可判断C ；建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可判断D.11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A 、aln(1+x 1−x)=−1−e x e x +1，设p(x)=aln(1+x 1−x ),m(x)=−1−e x e x +1，则p ′(x)=2a 1−x 2,m ′(x)=2e x (e x +1)2，所以p ′(0)=2a,m ′(0)=12，从而0<2a <12,0<a <14，故A 错误； B 、f(x)=0⇔aln(1+x 1−x)+1−e x e x +1=0，设ℎ(x)=aln(1+x 1−x)+1−e xe x +1，则它的定义域为(−1,1)，它关于原点对称，且ℎ(−x)=aln(1−x 1+x )+1−e −x e −x +1=−(aln(1+x 1−x )+1−e xe x +1)=−ℎ(x)，所以ℎ(x)是奇函数，由题意ℎ(x)=0有三个根x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3=0，故B 正确；C 、由f(x)+kf(−x)=0⇒a(e x +1)ln(1+x 1−x )−e x +1+[a(e −x +1)ln(1−x 1+x)−e −x +1]=0，所以aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1+k[a ln(1+x1−x )e x −1−e x e x (1+e x )]=0，所以aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1=k e x [aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1]，即[aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1](1−k e x)=0已经有3个实根x 1,x 2,x 3，当k >0时，令1−ke x =0，则x =lnk ，只需保证lnk ≠x 1,x 2,x 3可使得方程有4个实根，故C 正确；D 、由B 可知，x 1=−x 3，而f ′(x 3)f ′(x 1)=e x 3⇔f ′(x 3)=e x 3f ′(−x 3)，又f ′(x)=ae x ln 1+x 1−x +a(e x +1)21−x 2−e x ,e x 3f ′(−x 3)=aln 1−x 31+x 3+a(e x 3+1)21−x 32−1，所以f ′(x 3)=ae x 3ln 1+x 31−x 3+a(e x 3+1)21−x 32−e x 3 =aln1−x 31+x 3+a(e x 3+1)21−x 32−1+ae x 3ln 1+x 31−x 3−aln 1−x 31+x 3−e x 3+1=e x 3f ′(−x 3)+a(e x 3+1)ln 1+x31−x 3−e x 3+1=e x 3f ′(−x 3)，故D 正确；故答案为：BCD.【分析】通过构造函数可得0<p ′(0)=2a <m ′(0)=12，由此即可判断A ；f(x)=0⇔ℎ(x)=0，证明函数ℎ(x)=aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1是奇函数即可判断B ；将方程等价变形为[aln(1+x 1−x )+1−e x e x +1](1−k e x)=0，由此即可判断C ；由x 1=−x 3，而f ′(x 3)f ′(x 1)=e x 3⇔f ′(x 3)=e x 3f ′(−x 3)，进一步求导运算即可判断D.12．【答案】3【解析】【解答】解：在△ABC 中，B =3π4，b =6，a 2+c 2=2√2ac ，由余弦定理可得b 2=a 2+c 2−2accosB =2√2ac −2accos 3π4=3√2ac ，解得ac =6√2，所以S △ABC =12acsinB =12×6√2×√22=3. 故答案为：3.【分析】根据B =3π4，b =6，a 2+c 2=2√2ac ，利用余弦定理求得ac =6√2，再由三角形面积公式求解即可.13．【答案】107【解析】【解答】解：设线段AF 2的中垂线与AF 2相交于点M ，易知a =3，b =√5，c =2；由已知可得|AF 1|=|F 1F 2|=2c =4，点A 在椭圆上，由椭圆定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a =6，所以|AF 2|=2，|AM|=|MF 2|=1，在Rt △F 1F 2M 中，cos∠F 1F 2M =|F 2M||F 1F 2|=14，∠F 1F 2M +∠F 1F 2B =π， cos∠F 1F 2B =−14，点B 在椭圆上，根据椭圆定义有：|BF 1|+|BF 2|=2a =6，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=6−m ，|F 1F 2|=4，在△F 1F 2B 中由余弦定理有：cos∠F 1F 2B =|F 1F 2|2+|BF 2|2−|BF 1|22|F 1F 2|⋅|BF 2|=16+m 2−(6−m)28m =−14，解得m =107，即|BF 2|=107. 故答案为：107. 【分析】由椭圆方程确定a ，b ，c 的值，结合已知条件及椭圆定义求出|AF 2|=2，在Rt △F 1F 2M 中，求出cos∠F 1F 2M =|F 2M||F 1F 2|=14，再由诱导公式求出cos∠F 1F 2B =−14，设|BF 2|=m ，则|BF 1|=6−m ，在△F 1F 2B 中由余弦定理构造方程16+m 2−(6−m)28m =−14，解出m 值即可. 14．【答案】1013【解析】【解答】解：设从i 出发最终从1号口出的概率为P i ，所以{P 1=23+13P 2P 2=13P 1+0+13P 3=13P 1+16P 2P 3=12P 2，解得P 1=1013. 故答案为：1013. 【分析】定义从i 出发最终从1号口出的概率为P i ，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.15．【答案】（1）解：由题意1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n a n+1=1−12a n+1，当n ≥2，n ∈N ∗时，1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n−1a n=1−12a n ，两式相减得1a n a n+1=12a n −12a n+1⇒a n+1−a n =2，n ≥2，因为{a n }为等差数列，在式子：1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a n−1a n=1−12a n 中令n =1，得1a 1a 2=1−12a 2，所以a 2=1a 1+12，所以a 2−a 1=1a 1+12−a 1=2⇒a 1=−2或a 1=12，若a 1=−2，则a 2=0，但这与a n ≠0矛盾，舍去，所以a 1=12. （2）解：因为a 1=−27，所以a 2=−72+12=−3，而当n ≥2，n ∈N ∗时，a n+1−a n =2，所以此时a n =−3+2(n −2)=2n −7，所以此时S n =−27+(n−1)(−3+2n−7)2=n 2−6n +337，而n =1也满足上式，综上所述，{a n }的前n 项和S n =n 2−6n +337. 【解析】【分析】（1）由递推关系求得1a n a n+1=12a n −12a n+1⇒a n+1−a n =2,n ≥2，结合已知数列{a n }为等差数列，再令n =1，求解即可；（2）先求a 2，由n ≥2，n ∈N ∗时，a n+1−a n =2，推出{a n }的通项，再根据等差数列的求和公式计算即可.16．【答案】（1）证明：取PE 的中点G ，连接DG ，FG ，由DA =DB =√2，AB =2，易知△DAB 为等腰直角三角形，此时DE =1，又PD =1，所以PE ⊥DG .因为PA =PB ，所以PE ⊥AB ，由FG//EB ，即FG//AB ，所以PE ⊥FG ，此时，CD//AB//FG ，有C ，D ，G ，F 四点共面，FG ∩DG =G ，所以PE ⊥平面CDGF ，又CF ⊂平面CDGF ，所以CF ⊥PE .（2）解：由AB ⊥PE ，AB ⊥DE ，且PE ∩DE =E ，所以AB ⊥平面PDE .由PE =DE =PD =1，得△PDE 为等边三角形，以E 为原点，EB ，ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，P(0，12，√32)，D(0，1，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，F(12，14，√34)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−12，√32)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，−1，0)，设平面PBD 的法向量n ⃗ =(x ，y ，z) 由{n ⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12y +√32z =0x −y =0，取z =1，n ⃗ =(√3，√3，1)，又FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32，34，−√34)，设直线CF 与平面PBD 所成角为θ，则sinθ=|cos⟨n ⃗ ，FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩|=|n ⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |⋅|FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√37⋅3=2√77，所以直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值为2√77. 【解析】【分析】（1）取PE 的中点G ，连接DG ，FG ，通过证明PE ⊥平面CDGF ，再由线面垂直的性质定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式求解即可.17．【答案】（1）解：x ̅=1+2+3+4+5+66=72，y ̅=15.4+25.4+35.4+85.4+155.4+195.46=85.4， ∑x i 26i=1−6x ̅2=1+4+9+16+25+36−6×494=17.5，所以r =∑x 6i=1y −6x ̅y ̅√∑x i 2i=1−6x ̅2√∑y i 2i=1−6y ̅2=2463.4−6×72×85.417.5×2070=67020×35≈0.96. （2）解：由题意b ̂=∑x i 6i=1y i−6x ̅y ̅∑x i 26i=1−6x ̅2=2463.4−6×72×85.417.5≈38.3，所以a ̂=85.4−72×38.3=−48.7，所以y 关于x 的经验回归方程为y =38.3x −48.7，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为y =38.3×7−48.7=219.4万元.【解析】【分析】（1）由题意根据参考公式先分别算得x ̅,y ̅以及∑x i 26i=1−6x̅2，再代入相关系数公式求解即可；（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得b ̂,a ̂，由此即可得经验回归方程并预测.18．【答案】（1）解：由题意{ c −a 2c =b 2c =322b 2a =6a 2+b 2=c 2⇒{a =1b =√3，所以双曲线E 的标准方程为x 2−y 23=1. （2）证明：由题意l ：x =12，设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，F 1(−2，0)，{x =my +23x 2−y 2=3,⇒(3m 2−1)y 2+12my +9=0，所以Δ=144m 2−36(3m 2−1)=36(m 2+1)>0，y 1y 2=93m 2−1，y 1+y 2=−12m 3m 2−1，直线AF 1的方程为：y =y 1x 1+2(x +2)，∴P(12，5y 12(x 1+2))，所以PB 的方程为y =y 2−5y 12(x 2+2)x 2−12(x −x 2)+y 2，由对称性可知PB 过的定点一定在x 轴上，令y =0⇒x =−y 2(x 2−12)y 2−5y 12(x 1+2)+x 2=−2y 2(x 1+2)(x 2−12)2x 1y 2+4y 2−5y 1+my 2+2 =−2y 2(my 1+4)(my 2+32)2(my 1+2)y 2+4y 2−5y 1+my 2+2 =−2y 2(m 2y 1y 2+32my 1+4my 2+6)+2m 2y 1y 22+8my 22−5my 1y 22my 1y 2+8y 2−5y 1+2 =−8my 1y 2−12y 22my 1y 2+8y 2−5y 1+2，又{y 1y 2=93m 2−1y 1+y 2=−12m 3m 2−1⇒my 1y 2=−34(y 1+y 2)，所以x =6(y 1+y 2)−12y 2−32(y 1+y 2)+8y 2−5y 1+2=6y 1−6y 2132y 2−132y 1+2=1413，所以直线PB 过定点(1413，0). 【解析】【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合a,b,c 之间的平方关系求解即可；（2）设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F 1(−2,0)，联立双曲线方程消元整理由韦达定理得my 1y 2=−34(y 1+y 2)，用m 以及A,B 的坐标表示出点P 以及PB 的方程，根据对称性可知，只需在PB 的直线方程中，令y =0，证明相应的x 为定值即可.19．【答案】（1）解：由题意f(1)=e −1，即切点为(1，e −1)，f ′(x)=xe x −e x +1x 2，k =f ′(1)=1，所以曲线y =f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y =x −1+e −1，即y =x +e −2；（2）证明：由f ′(x)=(x−1)e x +1x 2，设g(x)=(x −1)e x +1，则g ′(x)=xe x ，所以当x <0时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，当x >0时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，又g(0)=0，所以对于任意的x ≠0有g(x)>0，即f ′(x)>0，因此f(x)在(−∞，0)单调递增，在(0，+∞)单调递增，即ℎ(x)=e x −x −1，则ℎ′(x)=e x −1，所以x <0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x −1>x ，即e x −1x<1， x >0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即e x −1>x ，即e x −1x>1，所以f(x)是其定义域上的增函数.（3）解：由（2）可知，x <0时，f(x)<1，所以a x <1，故a >1，令a =e k ，k >0，F(x)=e (1−k)x −e −kx −x ，由题意x <0时，F(x)<0，x >0时，F(x)>0，若k ≥1，则当x >1时，F(x)=e (1−k)x −e −kx −x ≤1−e −kx −x <0，不满足条件，所以0<k <1，而F ′(x)=(1−k)e (1−k)x +ke −kx −1，令G(x)=F ′(x)，则G ′(x)=(1−k)2e (1−k)x −k 2e −kx =e −kx [(1−k)2e x −k 2]，令G ′(x)=0，得x =2ln k 1−k， F ′(x)在(−∞，2ln k 1−k )单调递减，在(2ln k 1−k ，+∞)单调递增，若2ln k 1−k <0，则当2ln k 1−k<x <0时，F ′(x)<F ′(0)=0，F(x)单调递减，此时F(x)>F(0)=0，不满足题意；若2ln k1−k >0，则当0<x<2lnk1−k时，F′(x)<F′(0)=0，F(x)单调递减，此时F(x)<F(0)=0，不满足题意；若2ln k1−k=0，则当x<0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)<F(0)=0，且当x>0时，F′(x)>F′(0)=0，F(x)单调递增，此时F(x)>F(0)=0，满足题意，所以2ln k1−k =0，解得k=12，综上所述，a=√e.【解析】【分析】（1）由题意f(1)=e−1求得切点坐标，再求出切点处的导数值得切线斜率，即可求得切线方程；（2）对f(x)求导后，令g(x)=(x−1)e x+1，对g(x)继续求导发现，对于任意的x≠0有f′(x)>0，故只需要证明x<0时，e x−1x<1，x>0时，ex−1x>1即可；（3）由（2）得a>1，进一步令a=e k,k>0，F(x)=e(1−k)x−e−kx−x，结合题意知x<0时，F(x)<0，x>0时，F(x)>0，对k分类讨论即可求解.。

湖北省武汉市高三年级调研考试数学理试题及答案

湖北省武汉市高三年级调研考试理科数学试题本试卷150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．本卷1—10题为选择题，共50分；11—21题为非选择题，共100分。

请把答案全部写在答题卷上，答在试题卷上无效。

考试结束后，监考人员将答案卷收回。

2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定的位置。

3．选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

4．非选择题请用0.5毫米黑色签字笔答在答题卷上每题所对应的答题区域内，答在指定区域外无效。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A · B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 334R V π=球其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2024-2025学年湖北省武汉市部分学校高三(上)调研数学试卷(9月份)(含答案)

2024-2025学年湖北省武汉市部分学校高三（上）9月调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 满足z +2z =2−i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i2.已知集合A ={x|x 2−2x−3<0}，B ={y|y =lg(x 2+1)}，则A ∩B =( )A. (−1,3)B. (−1,0]C. [0,3)D. (−∞,3)3.(2x−1x 2)7的展开式中1x 2项的系数是( )A. 672B. −420C. 84D. −5604.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10−S 3=35，a 3+a 10=7，则{a n }的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 45.某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥体积为( )A. 3π8B. π8C.3π8D.3π246.已知a >0且a ≠1，若函数f(x)={a x−a ,x ≤alog a (x +a)+1,x >a 的值域为R ，则a 的取值范围是( )A. (0,12]B. [12,1)C. (1,2]D. [2,+∞)7.已知函数f(x)=tanθ−tan (x +θ)1−2tan(x +θ)是[−π2024,π2024]上的奇函数，则tanθ=( )A. 2B. −2C. 12D. −128.设椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1，F 2，右顶点为A ，已知点P 在椭圆E 上，若∠F 1PF 2=90°，∠PAF 2=45°，则椭圆E 的离心率为( )A. 57B.63C. 2−2 D.3−1二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某科技公司统计了一款App 最近5个月的下载量如表所示，若y 与x 线性相关，且线性回归方程为y =−0.6x +a ，则( )月份编号x 12345下载量y(万次)54.543.52.5A. y 与x 负相关B.a =5.6C. 预测第6个月的下载量是2.1万次D. 残差绝对值的最大值为0.210.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示，则( )A. φ=5π6B. ω=2C. f(x)的图象关于直线x =5π3对称 D. f(x)在[π4,5π6]上的值域为[−2,1]11.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x +1)=f(x)−x ，当0<x ≤1时，f(x)=x −x ，则( )A. 当2<x ≤3时，f(x)=x−2−2x +2B. 当n 为正整数时f(n)=n−n 22C. 对任意正实数t ，f(x)在区间(t,t +1)内恰有一个极大值点D. 若f(x)在区间(0,k)内有3个极大值点，则k 的取值范围是(7336,19364]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

湖北省武汉市部分学校新度高三数学8月起点调研测试试题理(含解析)

武汉市部分学校新高三8月起点调研测试理科数学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第Ⅰ卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}{}24,0A y y x B x x x A B ==≤≤=->⋂=，则A.(]()12-∞⋃+∞，，B. ()()012-∞⋃，，C.∅D. (]12，2.已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数，则实数t 等于 A.34B.43C. 43-D. 34-3.已知命题()2:,log 310xp x R ∃∈+≤，则 A.p 是假命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+≤ B. p 是假命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+> C. p 是真命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+≤ D. p 是真命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+>4.一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆. 中的A.①②B.②③C.③④D.①④5.已知x ，y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是A.34 B.14C. 211D.46.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为 A.1008 B.2015C.1007D. 1007- 7.已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是8.已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. (][),10,-∞-⋃+∞9.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 在线段AC 上，AD=k AC （k 为常数，且01k <<），BD=l 为定长，则△ABC 的面积最大值为A. 221l k -B. 21l k -C. ()2221l k -D.()221lk - 10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是 A. a c b << B. b c a << C. a b c << D. c a b <<第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则a =________.12.设随机变量()()()2~,1=2=0.3N P P ξμσξξ<->，且，则()20=P ξ-<<______.13.如右图，在ABC ∆中，若313=2AB AC AB AC BC ===uu u r uuu r g ，，，则_. 14.学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法.15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos cos 0,0f x a x x x a ωωωω=+>>的最大值为2，且最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式及其对称轴方程；（II ）若()4,sin 436fπαα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求的值.17. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ∆∆与是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上. （I ）求证：DE//平面ABC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值.18. （本小题满分12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”.（I ）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（II ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（I ）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（II ）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n .20. （本小题满分13分）已知函数()()()cos ,2xf x xg x e f x π⎛⎫'=-=⋅ ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数. （I ）求曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程；（II ）若对任意,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()g x x f x m ≥⋅+恒成立，求实数m 的取值范围；（III ）试探究当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()()g x x f x =⋅的解的个数，并说明理由.21. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其中12,F F 为左、右焦点，O 为坐标原点.直线l 与椭圆交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点.当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4π时，原点O 到直线l.又椭圆上的点到焦点F 21. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）以OP ，OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNPOQNP 的对角线之积ON PQ ⋅的最大值；（III ）若抛物线()22220C y px p F =>：以为焦点，在抛物线C 2上任取一点S （S 不是原点O ），以OS 为直径作圆，交抛物线C 2于另一点R ，求该圆面积最小时点S 的坐标.2015-2016 学年度武汉市部分学校新高三8月起点调研测试理科数学参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. DABBB DADCA 1.解析: 答案D ，{}[0,2],|01,(1,2]A B x x x A B ==<>∴⋂=或.故选D.2.解析: 答案A ,求出z 1·2z 的虚部，令其为0. ∵复数z 1=3+4i ，z 2=t +i ， ∴z 1•2z =（3t +4）+（4t ﹣3）i ，∵z 1•2z 是实数，∴4t ﹣3=0，∴t =34.故选A. 3.解析: 答案B ,由2log (31)0x +≤ 得311x+≤即30x≤,显然无解，所以p 是假命题，又由含量词命题的否定易得⌝p ：R x ∀∈,2log (31)0x +>.故选B.4.解析：答案B ，若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.5.解析: 答案B ，先画出x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如右图：由2y xx y =⎧⎨+=⎩，得B (1，1)，由x a y x =⎧⎨=⎩，得C (a ，a )，当直线2z x y=+过点B (1，1)时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点C (a ，a )时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以a =14，故选B.6.解析：答案D ，由程序框图可知123201320141007(1)1007S =-+-+-=⨯-=-.所以选D.7.解析：答案A ，本题可用排除法，∵f （x ）=14x 2+sin(π2+x )，∴()f x '=12x +cos(π2+x )= 12x ﹣sin x ．∴函数()f x '为奇函数，故B 、D 错误；又ππ()1024f '=-<，故C 错误；故选A ．8.解析:答案D ,当1a ≤-时，2()22af a -=≥，解得12a ≤-，此时1a ≤-；当1a >-时，()222f a a =+≥，解得0a ≥，此时0a ≥.故实数a的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞．故选D．9. 解析: 答案 C，如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设(),,0A x y y>，AB AC=，AD kAC kAB∴==，即22A D k A B=，222x l y k x y∴-+=+（）（），整理得：()()22222222222221221111k x lx l l l k ly x xk k k k--+-==-+-≤----，即m a x21klyk=-，BD l=，∴()()()2max max2121ABC ABDlS Sk k==-.故选C.10. 解析: 答案 A，利用条件构造函数h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x ＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=12f（12）=h （12），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln12）f（ln12）=h（ln12）=h（﹣ln2）=h （ln2），又2＞ln2＞12，∴b＞c＞a．故选A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.; 14. 10 ； 15.(2π2+.11.，由题意知e= =2，（a＞0），由此可以求出a12.解析：答案 0.2 ，因为(1)(1)P Pξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y轴对称，又因为(2)0.3Pξ>=，所以(20)Pξ-<<=120.30.22-⨯=.13.解析：答案BC=，因为,60AB AC=,所以2213213cos60BC=+-⨯⨯⨯=7.14.解析：答案 10，分1个篮球3个排球和2个篮球2个排球两种情况.124410C C+=.15.解析：答案(2π2+，每次转动一个边长时，圆心角转过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点.在这11次中，半径为1的63次，半径为0的 2次，点A 走过的路径的长度=121612π⨯⨯⨯+12312π⨯=(22π．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.解析：（Ⅰ）x x a x f ωω2cos 32sin )(+=)x ωϕ=+, 由题意知：()f x 的周期为π，由2ππ2ω=，知1ω= ………………………………………………………2分由)(x f 最大值为2，故232=+a ，又0>a ，1=∴a ∴π()2sin(2)3f x x =+………………………………………………………………………………………………………4分令232x k πππ+=+，解得()f x 的对称轴为ππ()122k x k Z =+∈ ……………………………………6分（Ⅱ）由4()3f α=知π42sin(2)33α+=，即π2sin(2)33α+=，∴ππππsin 4sin 22cos226323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………………………………………10分22π2112sin 212339α⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………12分17.解析：（Ⅰ）证明：由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥，又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴60EBF ∠=︒，易求得∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ，∴//DE 平面 ABC …………6分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可知平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,,(1,0,0)C -,设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =, 则，2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可求得(3,n =-分1213,13||||n n n n n n ⋅>==⋅ 又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E BC A --的余弦值为分(18)解：（Ⅰ）设i A 表示所取3人中有i 个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A ，则312737013310109849()()()12060C C C P A P A P A C C =+=+==……………6分（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 , 37343(0)()101000P ξ=== ; 12337441(1)()10101000P C ξ==⋅⋅=;22337189(2)()10101000P C ξ==⋅⋅=; 3327(3)()101000P ξ===.分布列为……………10分3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分注：用二项分布直接求解也可以．19．解：（Ⅰ）设232n n b a =-，因为2122122133(21)3223322n n n nn n a n a b b a a +++++--==--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-,所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. ……… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+，所以12121111[()()]692()692333n n n n n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++21112[()()]6(12)9333n n n=-+++-++++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+-2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+ (10)分显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减，又当1n =时，273S =＞0，当2n =时，489S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0；22122315()36232n n n n S S a n n -=-=⋅--+，同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0，综上，满足n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 12分20.解：（Ⅰ）依题意得，()()sin ,e cos .x f x x g x x ==⋅()00e cos01g ==，()e cos e sin ,x x g x x x '=-(0)1g '=,所以曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程为 1y x =+………………………………………4分（Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()min []m g x x f x -⋅≤．设()()()h x g x x f x =-⋅，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+ 因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤，所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． 10分（Ⅲ）设()()()H x g x x f x =-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H =->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． 13分21.解析：（Ⅰ）直线l 的倾斜角为4π，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-，=，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点， 22TF =2200(1)x y -+=222002(1)(1)(1)x x a a-+--=22021()x a a -≥21)-，0a x a -≤≤,当0x a =时，11a -=，a =b =椭圆C 的方程 22132x y +=..………………………5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而112S x y ==111x y ==, 知ON PQ ⋅=当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=，0∆>，即2232k m +>,2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++, 12PQ x =-==, d =，11222POQS d PQ ∆=⋅⋅==, 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=，422222912412840k k m k m m ++--+=,得到，222(322)0k m +-=,则22322k m +=，满足0∆>,由前知12322x x k m +=-，2121231()222y y x x k k m m m m++=+=-+=，设M 是ON 与PQ 的交点，则222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m++=+=+=-, 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++,22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+，即m =时等号成立，综上可知OM PQ ⋅的最大值为52. ON PQ ⋅=2OM PQ ⋅的最大值为5. ………………………10分（Ⅲ）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅= , 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ）,所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=, 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,所以221222256323264y y y =++≥=，当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y 2＝±4时等号成立. 圆的直径|OS===,因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，min OS =所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）..……………………14分。

湖北省武汉市高三数学9月调考理科试卷新人教A版

湖北省武汉市高三数学9月调考理科试卷新人教A版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．212(1)ii +=-（）A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i - 【答案】B ．【解析】试题分析：2121211(1)22i i i i i ++==-+--．考点：复数的计算．2．已知集合{1,}A a =，{1,2,3}B =，则"3"a =是""A B ⊆的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A ．【解析】试题分析：若3a =：则有A B ⊆，若A B ⊆：则2a =或3，∴是充分不必要条件．考点：1．集合间的关系；2．充分必要条件．3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A ．ˆ0.4 2.3yx =+ B ．ˆ2 2.4y x =- C ．ˆ29.5yx =-+ D ．ˆ0.3 4.4y x =-+ 【答案】A ．【解析】试题分析：由变量x 与y 正相关，排除C ，D ，再由线性回归方程过样本中心点(3,3.5)可知选A ．考点：线性回归分析．4．已知向量a ，b 的夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b ＝（） A ．2 B ．22 C ．32 D ．42 【答案】C ．【解析】试题分析：∵|2|10a b -=，∴2222|2|(2)4410a b a b a a b b -=-=-⋅+=，即2||22||60b b --=，解得||32b =．考点：平面向量数量积．5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（） A ．112 B ．5 C ．92D ．4【答案】D ．【解析】试题分析：由题意可知，该几何体为一直六棱柱，∴底面六边形的面积可以看成一个矩形与两个等腰直角三角形的面积和，即11221242S =⨯+⨯⨯⨯=，∴4V Sh ==．考点：空间几何体的体积． 6．在△ABC 中，7AC =，2BC =，60B =，则BC 边上的高等于（）A 3B 33C ．362D ．3394【答案】B ．【解析】试题分析：由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-⋅，即2742c c =+-，∴3c =，∴1133sin sin 222ABC S ac B ah h c B ∆==⇒==．考点：正余弦定理解三角形．7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（） A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1- 【答案】D ．【解析】试题分析：如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线y ax =，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线y ax =的斜率，要与直线220x y -+=或20x y +-=的斜率相等，∴2a =或1-．考点：线性规划．8．如图，互不相同的点1A ，2A ，，n A ，和1B ，2B ，，n B ，分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形1!n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =，若11a =，22a =，则9a ＝（）A ．19B ．22C ．5D ．27【答案】C ．【解析】试题分析：由题意可知，1122OA B A B ∆∆，∴11222121()4OA B OA B S OA S OA ∆∆==，∴11112213OA B A B B A S S ∆=，同理1199OA B OA B ∆∆，∴119921991()5138OA B OA B S OA OA S OA ∆∆==⇒=+⨯，即95a =．考点：1．相似三角形的性质；2．数列的通项公式． 9．已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（） A．(-∞ B．(-∞ C．( D．( 【答案】B ．【解析】试题分析：由题意可得，存在0x <，使得221()ln()2x x e x x a +-=-+-+成立，即．1ln()2x e x a -=-+， 1ln()02x e x a ---+=，令1()ln()2x h x e x a =---+，若0a >：则问题等价于1()ln()2x h x e x a =---+在(,0)-∞上存在零点，易证，当x →-∞时，()h x →-∞，()h x 在(,0)-∞上单调递增，∴只需(0)0h >，即11ln 002a a -->⇒<<，若0a ≤：则问题等价于1()ln()2x h x e x a =---+在(,)a -∞上存在零点，易证，当x →-∞时，()h x →-∞，()h x 在(,)a -∞上单调递增，∴只需当x a →时，()0h x >，易得当x a →时，()h x →+∞，∴0a ≤符合题意，综上所述，实数a的取值范围是(-∞．考点：函数的性质与应用．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）10．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是（）A ．8 B ．4 C ．2D 【答案】B ．【解析】试题分析：由题意，设2(,)A a a ，2(,)B b b ，(0)ab <∴2222OA OB a b ab ab ⋅=+=⇒=-，又∵F 为抛物线2y x =的焦点，∴1(,0)4F ，∴11||24AFO BFO S S b a ∆∆+=⨯⨯-， ∵222||22248b a a b ab ab ab ab -=+-≥--=-=，当且仅当a b =-时，等号成立，∴min ||b a -=，∴min ()4AFO BFO S S ∆∆+=．考点：1．抛物线的标准方程；2．基本不等式．11．设二项式5的展开式中常数项为A ，则A ＝．【答案】10-．【解析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第1r +项为5552326155(1)(1)r rr r rr rr T C xC x---+=-=-，令55026r -=，则3r =，∴335(1)10A C =-=-．考点：二项式定理．12．如果执行如图所示的程序框图，输入1x =-，3n =，则输出的数S ＝．【答案】4-．【解析】试题分析：依次执行程序框图中的语句：①：6(1)213S =⨯-++=-，1i =；②：3(1)115S =-⨯-++=，0i =；③：5(1)014S =⨯-++=-，1i =-，跳出循环语句，∴输出4S =-．考点：程序框图．13．正方形的四个顶点(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)C ，(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是．【答案】23．【解析】试题分析：首先求第一象限内阴影部分的面积，1231001211|33x dx x -=-=⎰，根据对称性以及几何概型的相关内容可知，所求概率为22313P ==．考点：1．定积分求曲边图形的面积；2．几何概型求概率．14．已知椭圆C ：22143x y +=，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．【答案】8．【解析】试题分析：如图，设MN 的中点为P ，由题意可知，1PF ，2PF 分别为AMN ∆，BMN ∆的中位线，∴12||||2(||||)248AN BN PF PF +=+=⨯=．考点：椭圆的性质．15．平面几何中有如下结论：如图1，设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有112AQ AR+=．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有．【答案】1113AQ AR AP++=．【解析】试题分析：设O到各个平面的距离为d，而11113326R AQP AQP V S AR AQ AP AR AQ AP AR -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，又∵111333R AQP O AQP O ARP O AQR AQP ARP AQR V V V V S d S d S d ----∆∆∆=++=⋅+⋅+⋅1()6AQ AP AR AP AQ AR d=⋅+⋅+⋅，∴11()66AQ AP AR AQ AP AR AP AQ AR d ⋅⋅=⋅+⋅+⋅，即111d AQ AR AP++=，而111233436A BDC BDC V S h -∆=⋅=⋅⋅⋅=，∴11318O ABD A BDC V V --==，即1111333218ABD S d d d ∆⋅⋅=⋅⋅=⇒=，∴1113AQ AR AP ++=．考点：立体几何类比推理题．三、解答题（题型注释）16．已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-．（1）若sin()4πα+=，且0απ<<，求()f α的值；（2）当()f x 取得最小值时，求自变量x 的集合．【答案】（1）1()2f α=-；（2）3{|,}8x x k k Z ππ=-∈．【解析】试题分析：（1）首先根据α的范围0απ<<，可求得4πα+的范围5444πππα<+<，再由三角函数的性质可知在5(,)44ππ上，满足正弦值为2的角只有一个34π，故有344ππα+=，从而2πα=，111()cos (sin cos )cos (sin cos )222222f πππαααα=+-=+-=-；（2）利用二倍角公式的降幂变形结合辅助角公式，可将()f x 的表达式化简为形如正弦型函数sin()A x ωϕ+的形式，再结合正弦函数sin y x =在22x k ππ=-，k Z ∈上取到最小值，即可求解： 2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+-11sin 2cos 2)2224x x x π=+=+， ∴当2242x k πππ+=-，k Z ∈，即38x k ππ=-，k Z ∈时，()f x 取得最小值，此时自变量x 的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=-∈．试题解析：（1）∵0απ<<，∴5444πππα<+<， 2分又∵sin()42πα+=，∴344ππα+=，∴2πα=， 4分 ∴111()cos (sin cos )cos (sin cos )222222f πππαααα=+-=+-=-； 6分（2）2111cos 21()sin cos cos sin 22222x f x x x x x +=+-=+- 7分11sin 2cos 2)224x x x π=+=+， 8分 ∴当2242x k πππ+=-，k Z ∈，即38x k ππ=-，k Z ∈时，()f x 取得最小值， 10分此时自变量x 的集合为3{|,}8x x k k Z ππ=-∈． 12分考点：1．三角恒等变形；2．三角函数的性质．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）当λ为何值时，数列{}n a 为等差数列？并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）4λ=，理由详见解析．【解析】试题分析：（1）欲证2n n a a λ+-=，由条件11n n n a a S λ+=-，考虑到1n n n a S S +=-，因此可以利用11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减，即可消去n S 得到121()n n n n a a a a λ+++-=，再由10n a +≠，即可得到2n n a a λ+-=；（2）由11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，再由（1）2n n a a λ+-=可知31a λ=+，故若数列{}n a 为等差数列，则有2132a a a =+，解得4λ=，接下来只需证明当4λ=时，数列{}n a 确实为等差数列，结合（1）首先对n 的奇偶性进行分类讨论：由（1）可得21{}n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2114(1)41n a n n -=+-=-，而2{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，234(1)41n a n n =+-=-，因此21n a n =-，12n n a a +-=，故当4λ=时，数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．试题解析：（1）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-， 2分两式相减，得121()n n n n a a a a λ+++-=， 3分 ∵10n a +≠，∴2n n a a λ+-=； 4分（2）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-， 5分由（1）知，31a λ=+，若数列{}n a 为等差数列，则2132a a a =+，解得4λ=， 6分故24n n a a +-=，由此可得21{}n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2114(1)41n a n n -=+-=-， 7分2{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，234(1)41n a n n =+-=-， 8分∴21n a n =-，12n n a a +-=， 10分因此当4λ=时，数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列． 12分考点：1．数列的通项公式；2．等差数列的证明．18．如图，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连结GH ．（1）求证：AB ∥GH ；（2）求平面PAB 与平面PCD 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2．【解析】试题分析：（1）欲证//AB GH 结合条件中出现的中点，因此可以考虑利用三角形的中位线性质定理来证明线线平行：由D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，可知//EF AB ，//DC AB ，故//EF DC ，从而有//EF 平面PCD ，再根据性质“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”，可知EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ平面PCD GH =，故有//EF GH ；（2）根据条件D 为AQ 中点及2AQ BD =可知AB BQ ⊥，再结合条件PB ⊥平面ABQ ，因此可以以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设2BA BQ BP ===，则可知(0,2,0)BQ =为平面PAB 的一个法向量，再设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0n DP ⋅=，0n CP ⋅=，得2020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得(0,2,1)n =，因此两个法向量夹角的余弦值2cos ,5||||5n BQ n BQ n BQ ⋅⨯<>===⋅，从而平面PAB 与平面PCD 5=．试题解析：（1）∵D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 1分 ∴//EF AB ，//DC AB ， 2分 ∴//EF DC ，又∵EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， ∴//EF 平面PCD ， 3分又∵EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ平面PCD GH =， 4分 ∴//EF GH ，又∵//EF AB ，∴//AB GH ； 6分（2）在ABQ ∆中，∵2AQ BD =，AD DQ =，∴90ABQ ∠=，即AB BQ ⊥，又∵PB ⊥平面ABQ ，∴BA ，BQ ，BP 两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BA BQ BP ===，则(0,0,0)B ，(0,2,0)Q ，(1,1,0)D ，(0,1,0)C ，(0,0,2)P ，(注：坐标写对给2分)∴(1,1,2)DP =--，(0,1,2)CP =-， 8分设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由0n DP ⋅=，0n CP ⋅=，得2020x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩，取1z =，得(0,2,1)n =， 10分又∵(0,2,0)BQ =为平面PAB 的一个法向量，∴2225cos ,5||||52n BQ n BQ n BQ ⋅⨯<>===⋅⨯，故平面PAB 与平面PCD 22551()5-=12分考点：1．线线平行的证明；2．利用空间向量求线面角．19．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上作物产量（kg ） 300 500 概率 0．50．6作物市场价格（元/kg ） 6 10 概率0．40．6（1）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率． X 4000 2000 800 P 0．30．50．2（2）0.896P =．【解析】试题分析：（1）根据条件中的表格可知，作物产量与市场价的可能的组合总共有四种情况：产量500kg ，市场价10元/kg ；产量500kg ，市场价6元/kg ；产量300kg ，市场价10元/kg ；产量300kg ，市场价6元/kg ；因此作物的利润的计算也应分四种情况进行计算：5001010004000⨯-=，500610002000⨯-=，3001010002000⨯-=，30061000800⨯-=，若设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，则X 取到各个值的概率为：(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===-⨯-=，(2000)()()()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=，(800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=，即可知X 的分布列；（2）由（1）可知，事件2000X ≥等价于事件2000X =或4000，因此(2000)(4000)(2000)0.30.50.8P X P X P X ≥==+==+=，而所求事件的概率等价于3季的利润都不少于2000元或3季当中有2季利润不少于2000元，根据二项分布的相关内容，可知所求概率为32230.80.8(10.8)0.5120.3840.896P C =+⨯⨯-=+=．试题解析：（1）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知()0.5P A =，()0.4P B =，（注：基本事件叙述各1分）2分 ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为：5001010004000⨯-=，500610002000⨯-=，3001010002000⨯-=，30061000800⨯-=， 4分(4000)()()(10.5)(10.4)0.3P X P A P B ===-⨯-=，(2000)()()()()(10.5)0.40.5(10.4)0.5P X P A P B P A P B ==+=-⨯+⨯-=，(800)()()0.50.40.2P X P A P B ===⨯=，∴的分布列为（2）设i C 表示事件“第i 季利润不少于2000元”(1,2,3)i =， 8分由题意知1C ，2C ，3C 相互独立，由（1）知，()(4000)(2000)0.30.50.8(1,2,3)i P C P X P X i ==+==+==，∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为32230.80.8(10.8)0.5120.3840.896P C =+⨯⨯-=+=． 12分考点：1．相互独立事件的概率乘法公式；2．离散型随机变量及其分布列．20．如图，动点M 与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）设直线2y x m =-+（其中2m <）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围．【答案】（1）221(1)3y x x -=>；（2）||||PR PQ 的取值范围是(1,7)．【解析】试题分析：（1）首先由题意可知，显然0x >，当90MBA ∠=时，点M 的坐标为(2,3)±，当90MBA ∠≠时，2x ≠，可将2MBA MAB ∠=∠转化为正切值即斜率之间的关系，从而可以得到x ，y 所满足的关系式，即可得到轨迹方程C ：22tan tan 1tan MABMBA MAB∠∠=-∠，即22||||1||21()1y y x y x x +-=--+，化简可得，22330x y --=，而点(2,3)±也在曲线22330x y --=，轨迹C 的方程为221(1)3y x x -=>；（2）首先将直线方程2y x m =-+与轨迹C 的方程221(1)3y x x -=>联立，消去y 并化简后可得：22430(*)x mx m -++=，故若设Q ，R 的坐标分别为(,)Q Q x y ，(,)R R x y ，则问题等价于在22430(*)x mx m -++=有两个大于1的根R x ，Q x ，且R Q x x >的条件下，求RQx x 的取值范围，因此首先根据方程(*)有两个大于1的正根，可求得m 的取值范围是12m <<，再由求根公式，可将RQx x 表示为关于m的函数关系：1R Q x x ===-+，在12m <<下，可得117<-+<，即||||PR PQ 的取值范围是(1,7)．试题解析：（1）设M 的坐标为(,)x y ，显然有0x >，且0y ≠， 1分当90MBA ∠=时，点M 的坐标为(2,3)±， 2分当90MBA ∠≠时，2x ≠，由2MBA MAB ∠=∠，有22tan tan 1tan MAB MBA MAB ∠∠=-∠，即22||||1||21()1y y x y x x +-=--+， 4分化简可得，22330x y --=，而点(2,3)±也在曲线22330x y --=， 5分综上可知，轨迹C 的方程为221(1)3y x x -=>； 6分（2）由22213y x m y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 并整理，得22430(*)x mx m -++=， 7分由题意，方程(*)有两根且均在(1,)+∞内．设f(x)＝x 2－4mx ＋m 2＋3，∴2222412(1)1430(4)4(3)0mf m m m m -⎧->⎪⎪⎪=-++>⎨⎪∆=--+>⎪⎪⎩，解得1m >，且2m ≠， 9分又∵2m <，∴12m <<， 10分设Q ，R 的坐标分别为(,)Q Q x y ，(,)R R x y ，由||||PQ PR <及方程(*)有2R x m =2Q x m =∴||1||RQxPRPQ x====-由12m<<，得117<-+<， 12分故||||PRPQ的取值范围是(1,7)． 13分考点：1．圆锥曲线轨迹；2．直线与双曲线相交综合题．21．已知函数()lnf x ax x x=+的图象在点x e=（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若2()f x kx≤对任意0x>成立，求实数k的取值范围；（3）当1n m>>*(,)m n N∈mn>．【答案】（1）1a=；（2）1k≥；（3）详见解析．【解析】试题分析：（1）由'()ln1f x a x=++结合条件函数()lnf x ax x x=+的图象在点x e=处的切线的斜率为3，可知'()3f e=，可建立关于a的方程：ln13a e++=，从而解得1a=；（2）要使2()f x kx≤对任意0x>恒成立，只需max2()[]f xkx≥即可，而由（1）可知()lnf x x x x=+，∴问题即等价于求函数1ln()xg xx+=的最大值，可以通过导数研究函数()g x的单调性，从而求得其最值：221(1ln)ln'()x x xxg xx x⋅-+==-，令'()0g x=，解得1x=，当01x<<时，'()0g x>，∴()g x在(0,1)上是增函数；当1x>时，'()0g x<，∴()g x在(1,)+∞上是减函数，因此()g x在1x=处取得最大值(1)1g=，∴1k≥即为所求；（3）考虑采用分析法证明欲证的不等式：1111111111ln lnln ln(1)ln(1)ln11 n m n mm n m m n m n m nn n m n m ---->⇔>⇔>⇔->-⇔>--，故可考虑构造函数ln ()1x xh x x =-，则问题等价于证明()h x 在(1,)+∞上单调递增，可以考虑利用导数求证：21ln '()(1)x xh x x --=-，由（2）知，1ln (0)x x x ≥+>，∴'()0h x ≥，∴()h x 是(1,)+∞上的增函数，即欲证不等式得证．试题解析：（1）∵()ln f x ax x x =+，∴'()ln 1f x a x =++， 1分又∵()f x 的图象在点x e =处的切线的斜率为3，∴'()3f e =，即ln 13a e ++=， ∴1a =； 2分（2）由（1）知，()ln f x x x x =+， ∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立， 4分令1ln ()xg x x +=，则问题转化为求()g x 的最大值， 221(1ln )ln '()x x xx g x x x ⋅-+==-，令'()0g x =，解得1x =， 5分当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数． 6分故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求； 8分（3）令ln ()1x xh x x =-，则21ln '()(1)x x h x x --=-， 9分由（2）知，1ln (0)x x x ≥+>，∴'()0h x ≥， 10分 ∴()h x 是(1,)+∞上的增函数，∵1n m >>，∴()()h n h m >，即ln ln 11n n m mn m >--， 11分 ∴ln ln ln ln mn n n n mn m m m ->-， 12分即ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+，ln ln ln ln mnm mn n nm m n +>+，ln()ln()n m m n mn nm >， 13分∴()()n mm nmn nm >mn>． 14分考点：1．利用导数求切线方程；2．利用导数判断函数单调性与求函数极值．。

湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷含答案

武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷（答案在最后）武汉市教育科学研究院命制2024.4.24本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数2ii 1iz =++，则z =（）A.12.已知集合{}{}22230,40,A xx x B x x x x =--<=-<∈Z ∣∣，则A B ⋂=（）A.{}2,3,4 B.{}1,2 C.{}0,1,2 D.{}1,2,33.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若,m αβ⊥∥α，则m β⊥B.若,m αβα⊥⊂，则m β⊥C.若m∥,n αα⊥，则m n⊥D.若,m n m ⊥∥α，则n α⊥4.()523(1)x x --的展开式中含3x 项的系数为（）A.-50B.50C.-10D.105.记0.20.20.23,0.3,log 0.3a b c -===，则（）A.a b c>> B.b c a>>C.c b a >>D.b a c>>6.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8128,26S S ==，则4S =（）A.1B.2C.3D.47.点P 是边长为1的正六边形ABCDEF 边上的动点，则PA PB ⋅的最大值为（）A.2B.114C.3D.1348.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，其左右顶点分别为,A B ，过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线E 于,M N 两点，设线段MF 的中点为P ，若直线BP 与直线AN 的交点在y 轴上，则双曲线E 的离心率为（）A.2B.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知函数()2πsin2sin 23f x x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，则（）A.函数π3f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是奇函数 B.函数π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数C.()f xD.()f x 在区间π7π,612⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数11.定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若()()32g x f x --=，()()1f x g x '=-'，且()()22g x g x -+=-+，则下列说法中一定正确的是（）A.()2g x +为偶函数B.()2f x '+为奇函数C.函数()f x 是周期函数D.20241()0k g k ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设椭圆2212512x y +=的左右焦点为12,F F ，椭圆上点P 满足12:2:3PF PF =，则12PF F 的面积为__________.13.已知圆台12O O 的体积为14π，其上底面圆1O 半径为1，下底面圆2O 半径为4，则该圆台的母线长为__________.14.设,,A B C 是一个三角形的三个内角，则()cos 3sin 4sin A B C +的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知ABC 三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 3C Ac b a=-.（1）求sin C 的值；（2）若ABC 的面积S =，且)c a b =-，求ABC 的周长.16.（15分）已知函数()2ln f x x ax x =-+.（1）若1a =-，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调性.17.（15分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面1,2,ABC AB BB AC ===160B BA ∠=，点D 是棱11A B 的中点，4,BC BE DE BC =⊥.（1）证明：1AC BB ⊥；（2）求直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值.18.（17分）已知抛物线2:E y x =，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .（1）证明：点P 在定直线上；（2）若PMN，求点P 的坐标；（3）若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.19.（17分）已知常数()0,1p ∈，在成功的概率为p 的伯努利试验中，记X 为首次成功时所需的试验次数，X 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X 的概率分布为几何分布.（1）对于正整数k ，求()P X k =，并根据11()()lim ()n n k k E X kP X k kP X k ∞→∞==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑求()E X ；（2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为p 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为2E ，现提供一种求2E 的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是2E ，即总的试验次数为()21E +；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为()22E +.（i ）求2E ；（ii ）记首次出现连续n 次成功时所需的试验次数的期望为n E ，求n E .武汉市2024届高中毕业生四月调研考试数学试卷参考答案及评分标准选择题：填空题：12.1214.108-解答题：15.（13分）解：（1）由题意，cos cos sin 3sin sin C AC B A=-，得：3sin cos sin cos cos sin B C A C A C -=.所以()3sin cos sin cos cos sin sin B C A C A C A C =+=+.又()()sin sin πsin A C B B +=-=，且sin 0B ≠，所以1cos 3C =.由sin 0C >，故22sin 3C ==.（2）1sin 2S ab C ==15ab =.由余弦定理，222222cos 10c a b ab C a b =+-=+-.又()22226()6180c a b a b=-=+-.联立得：2234,a b c +==8a b +==.所以ABC 的周长为8a b c ++=+.16.（15分）解：（1）1a =-时，()()21ln ,12f x x x x f x x x=++++'=.()()14,12f f =='.所求切线方程为()412y x =-+，整理得：42y x =-.（2）()21212x ax f x a x x x-+=-+='.因为0x >，故0a ≤时，()()0,f x f x '>在()0,∞+上递增.当0a >时，对于2221,Δ8y x ax a =-+=-.若0a <≤，则Δ0≤，此时()()0,f x f x '≥在()0,∞+上递增.若a >2210x ax -+=，得804a x ±=>.804a x <<时，()()0,f x f x '>递增；84a x >时，()()0,f x f x '>递增；8844a a a a x <<时，()()0,f x f x '<递减；综上所述：a ≤()f x 在()0,∞+上递增；a >()f x 在0,4a ⎛ ⎪⎝⎭上递增，在,44a a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上递减，在,4a ∞⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭上递增，17.（15分）解：（1）连接111,,1,2,60,DA EA DA AA DA A DE ∠=====.满足22211DA DA AA +=，所以1DA DA ⊥，即DA AB ⊥.平面11ABB A ⊥平面ABC ，且交线为AB ，由DA AB ⊥，得DA ⊥平面ABC .由BC ⊂平面ABC ，得DA BC ⊥，又DE BC ⊥，且DA DE D ⋂=，所以BC ⊥平面DAE .由AE ⊂平面DAE ，得BC AE ⊥.设,3BE t CE t ==，有2222(3)BA t AC t -=-，解得：1t =.所以4BC =，满足222BA AC BC +=，即AC AB ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A .由1BB ⊂平面11ABB A ，得1AC BB ⊥.（2）以A 为坐标原点，,,AB AC AD为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系.((1333,,,1,0,322D E A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()11531,0,0,,322DA EA ⎛=-=-- ⎝ .设平面1DEA 的法向量(),,n x y z =，由1100n DA n EA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即0533022x x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取1z =，得到平面PBD 的一个法向量()0,2,1n =.又(113BB AA ==-，设直线1BB 与平面1DEA 所成角的大小为θ，则111315sin cos ,1054||n BB n BB n BB θ⋅====⋅⋅.所以直线1BB 与平面1DEA 所成角的正弦值为1510.18.（17分）解：（1）设()()()1122,,,,,P P A x y B x y P x y .由2y x =，得2y x '=，所以1l 方程为：()1112y x x x y =-+，整理得：2112y x x x =-.同理，2l 方程为：2222y x x x =-.联立得：1212,2P P x x x y x x +==.设直线AB 的方程为()12y k x =-+，与抛物线方程联立得：220x kx k -+-=故1212,2x x k x x k +==-，所以,22P P kx y k ==-，有22P P y x =-.所以点P 在定直线22y x =-上.（2）在12,l l 的方程中，令0y =，得12,0,,022x x M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以PMN 面积()12121124P S MN y x x x x =⋅=-=.故()()22121232x x x x -=，带入可得：()()22484432k k k k -+-+=.22(2)8(2)40k k ⎡⎤⎡⎤-+--=⎣⎦⎣⎦，解得：0k =或4k =.所以点P 的坐标为()0,2-或()2,2.（3）抛物线焦点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭得直线MF 斜率1112MFMP k x k =-=-，所以MFMP ⊥，同理NF NP ⊥，所以PF 是PMN 外接圆的直径.若点T 也在该圆上，则TF TP ⊥.由74TF k =，得直线TP 的方程为：()4127y x =--+.又点P 在定直线22y x =-上，联立两直线方程，解得点P 的坐标为1614,99⎛⎫⎪⎝⎭.19.（17分）解：（1）()1(1)k P X k p p -==-，1211(1)12(1)3(1)(1),nk n k k p p p p p n p --=⎡⎤-=+-+-++-⎣⎦∑ ，记()211213(1)(1)n n S p p n p -=+-+-+⋯+-，则()()()21112(1)1(1)(1)n n n p S p p n p n p --=-+-+⋯+--+-，相减得：()2111(1)(1)(1)n nn pS p p p n p -=+-+-+⋯+---()1(1)1(1)(1)(1)11n n nnp p n p n p p p----=--=----由题意：()1(1)1()lim lim (1)n n n n n p E X pS n p p p→∞→∞⎡⎤--==--=⎢⎥⎣⎦.（2）（i ）()()()()222211212E p E p p p E =-⋅++⋅+-⋅+.解得：221pE p +=.（ii ）期待在1n E -次试验后，首次出现连续()1n -次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为()11n E -+；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是n E ，此时总的试验次数为()11n n E E -++.即()()()11111n n n n E p E p E E --=⋅++-⋅++.整理得：()111n n E E p -=+，即111111n n E E p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭.所以1111111n n E E p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭.由（1）知11E p=，代入得：()11nn np E p p -=-.。

高中数学2024届武汉市九月调考数学试卷解析版

湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期九月调研考试数学试题一、单选题1．已知集合=2−2−8<0，{2,1,0,1,2}B =--，则A B = （）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{1,0,1,2}-C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1}--2．复数2i2iz -=+，则z z -=（）A ．65-B ．65C ．8i 5-D ．8i53．两个单位向量1e 与2e 满足120e e ⋅= ，则向量12e 与2e的夹角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒4．要得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可以将函数()sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π4个单位B ．向左平移π8个单位C ．向右平移π4个单位D ．向右平移π8个单位5．某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm ），则该玻璃杯所用玻璃的体积（单位：3cm ）为（）A ．43π6B ．47π6C ．516πD ．55π66．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N （mg/L ）与时间t （h ）的关系为0e ktN N -=，其中0N 为初始污染物的数量，k 为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（）A ．49%B ．51%C ．65.7%D ．72.9%7．过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点F 作222x y a +=的一条切线，设切点为T ，该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ，若3FA FT =，则双曲线E 的离心率为（）A B C ．2D ．28．已知,,,A B C D的球体表面上的四点，2AB =，90ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，则平面CAB 与平面DAB 的夹角的余弦值为（）A ．4B ．12C ．13D ．3二、多选题9．四个实数1-，2，x ，y 按照一定顺序可以构成等比数列，则xy 的可能取值有（）A ．18-B ．2-C ．16-D ．32-10．直线y kx k =-过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点且与该抛物线交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则下列说法中正确的是（）A ．1p =B ．抛物线E 的准线方程是=1x -C ．以MN 为直径的圆与定直线相切D ．MON ∠的大小为定值11．已知实数a ，b 满足e ln 3a a b b ==，则（）A ．ln a b=B ．e ab =C ．e 1b a -<-D ．e 14a b +<+<12．若函数()cos 2cos f x x x k =-+存在连续四个相邻且依次能构成等差数列的零点，则实数k 的可能取值有（）A ．2-B ．98C ．0D ．12三、填空题13．5(1)(12)x x +-的展开式中含3x 项的系数为．14．圆心在直线10x y +-=上且与直线210x y --=相切于点(1,1)的圆的方程是．15．若函数()(21)f x x lnx ax =+-是(0,)+∞上的增函数，则实数a 的最大值为．16．甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中，投掷n 次骰子后（*n ∈N ），记球在甲手中的概率为n p ，则3p =；n p =．四、解答题17．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，有()2(2)1n n S n a =+-．(1)证明：数列11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为常数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2a B c b =-．(1)求角A ；(2)若7a =，且ABC V 的内切圆半径r =ABC V 的面积S ．19．近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200名学生进行紧急避险知识测试，其中男生110名，女生90名．所有学生的测试成绩都在区间[50,100]范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率分布直方图．(1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m 的值；(2)规定测试成绩不低于80分为优秀，已知共有45名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概率值0.05α=的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？性别测试成绩合计优秀不优秀男生45女生合计参考公式与数据：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.01x α2.7063.8416.63520．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足AB CB =，AD CD =90ABC ︒∠=，棱PD 上的点E 满足2PE DE =．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)若PB =PD PA PC =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．21．椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左顶点为A ，右顶点为B ，满足|A|=4，且椭圆E (1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部，直线AT 和直线BT 分别与椭圆E 交于另外的点C 和点D ，若CDT 的面积为117，求t 的值．22．已知函数()()2e xf x x mx n =++．(1)若0m n ==，求()f x 的单调区间；(2)若2m a b =++，222n a b =++，且()f x 有两个极值点，分别为1x 和()212x x x <，求()()2121e e x x f x f x --的最小值．参考答案：1．B【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式2280x x --<，得24-<<x ，即{|24}A x x =-<<，而{2,1,0,1,2}B =--，所以{1,0,1,2}A B =- .故选：B 2．C【分析】利用复数除法求出复数z ，再利用共轭复数与复数加减法的意义求解作答.【详解】依题意，(2i)(2i)34i 34i (2i)(2i)555z ---===-+-，于是34i 55z =+，所以34348(i)(i)i 55555z z -=--+=-.故选：C 3．D【分析】由题意可得11e = ，21e = ，根据12e =122e =，设12e - 与2e的夹角为θ，利用122cos e e θ-⋅= .【详解】由题意可得11e = ，21e = ，且120e e ⋅= ，所以122e ==.设12e - 与2e的夹角为θ，0180θ︒≤≤︒，则1221222cos 122e e e e θ=⋅⋅==-⨯ 所以150θ=︒.故选；D.4．B【分析】()πππsin 2sin23812f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据三角函数图象的平移变换即可求解.【详解】因为()πππsin 2sin23812f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,所以将函数()sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位可得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选:B.5．A【分析】根据给定条件，利用柱体体积公式、台体体积公式计算作答.【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为222313343ππ()6π[()11]423226⨯⨯-⨯⨯+⨯+⨯=.故选：A 6．C【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答.【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为070%N ，于是20070%e kN N -=，解得2e 0.7k -=，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为62330000e (e )0.70.343k k N N N N N --===⨯=，所以前6小时共能过滤掉污染物的000.34365.7%N N N -=.故选：C 7．C【分析】取线段AT 中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】令双曲线E 的右焦点为F '，半焦距为c ，取线段AT 中点M ，连接,,OT AF F M ''，因为FA 切圆222x y a +=于T ，则OT FA ⊥，有||FT b ==，因为3FA FT =，则有||||||AM MT FT b ===，||||232AF AF a b a '=-=-，而O 为FF '的中点，于是//F M OT '，即F M AF '⊥，||2||2F M OT a '==，在Rt AF M ' 中，222(2)(32)a b b a +=-，整理得32b a =，所以双曲线E的离心率2c e a ==.故选：C 8．B【分析】设球心为O ，分别取ABC V ，ABD △的外接圆圆心为,E F ，连接,,OE EF OF ，证得E 为AB 中点，平面CAB 与平面DAB 的夹角即为OEF ∠的余角，解Rt OEF △，即可得解.【详解】设球心为O ，分别取ABC V ，ABD △的外接圆圆心为,E F ，连接,,OE EF OF ，∵90ACB ∠=︒，∴点E 为AB 中点，则1EA EB ==，由F 为ABD △外心，故FA FB =，则FE AB ⊥，由题意可得OE ⊥平面ABC ，故平面CAB 与平面DAB 的夹角，即为OEF ∠的余角.在ABD △中，2AB =，30ADB ∠=︒，则由正弦定理可得222sin 30FA FB FD ====︒，由球O，故1OF =，2OE =,由OF ⊥平面DAB ，EF ⊂平面DAB ，可得OF EF ⊥，则Rt OEF △中，1sin 2OF OEF OE ∠==,即30OEF ∠=︒，故平面CAB 与平面DAB 的夹角为60︒，故其余弦值为12.故选:B.9．ABD【分析】根据题意，结合等比数列的性质，分情况讨论，即可得到结果.【详解】因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同，当1,2-对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为4,8-，此时32xy =-，当1,2-对应等比数列的第一项与第四项时，此时2xy =-，当1,2-对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为11,42-，此时18xy =-，当1,2-对应等比数列的第三项与第二项时，此时2xy =-，当1,2-对应等比数列的第二项与第三项时，此时2xy =-，当1,2-对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为11,24-，此时18xy =-，当1,2-对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为8,4-，此时32xy =-，当1,2-对应等比数列的第四项与第一项时，此时2xy =-，故选：ABD 10．BC【分析】由直线MN 过定点(1,0)，得到12p=，可判定A 正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B 正确；过,,M N D 点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到1112MN MM NN DD =+=，可判定C 正确；联立方程组，结合韦达定理，得到121x x =，求得1212y y x x =D 错误.【详解】对于A 中，由直线y kx k =-，可化为(1)y k x =-，可得直线MN 过定点(1,0)，因为抛物线2:2E y px =的焦点F 在直线MN 上，可得12p=，则2p =，所以A 错误；对于B 中，由抛物线2:4E y x =的准线方程为=1x -，所以B 正确；对于C 中，过,M N 点作准线的垂线，垂足分别为11,M N ，MN 的中点为D 点，过D 点作准线的垂线，垂足为1D ，可得1112MN MM NN DD =+=，故以MN 为直径的圆与准线相切，所以C 正确；对于D 中，设()()1122,,,M x y N x y ，联立方程组24y kx ky x =-⎧⎨=⎩，整理得()2222420k x k x k -++=，0k ≠，()224242416160k k k ∆=+-=+>，可得121x x =，则1212124y y x x ===-，则4OM ON k k ⋅=-，但MON ∠的大小不是定值，设,MOx NOx αβ∠=∠=，而tan ,tan OM ON k k αβ=-=，则tan tan 4OM ON k k αβ-=⋅=-，则tan tan 4αβ=，而()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 3MON αβαβαβαβ++∠=+==--，并不是定值，所以D 错误.故选：BC.11．AD【分析】先由题意可知0,1a b >>，由e ln 3a a b b ==，得ln e ln e 3a b a b =⋅=，构造函数()()e 0xf x x x =>，得ln a b =，再对四个选项逐一分析即可.【详解】由题意可得0,1a b >>，则由e ln 3a a b b ==，得ln e ln e 3a b a b =⋅=.对于A ：设()()e 0x f x x x =>，()()1e xf x x '=+，则在区间()0,∞+上，()0f x '>，()f x 为增函数，所以由题意可得()()ln f a f b =，所以ln a b =，故A 正确；对于B ：由ln a b =，得ln 3ab b b ==,故B 错误；对于C ：由A 可知()e xf x x =在区间()0,∞+上为增函数，且e 3a a =，则()()()12f f a f <<，即12a <<,则2e e b <<,由ln a b =,得ln b a b b -=-,令()2ln ,e e h x x x x =-<<,则()1110x h x x x='-=->,所以()h x 在()2e,e上单调递增,所以()()e e 1h x h >=-,所以ln e 1b a b b -=->-,故C 错误；对于D ：又e a a b a +=+,令()e ,1xg x x x =+>,则()1e 0xg x '=+>,所以()g x 在()1,+∞上单调递增,所以()()11e g x g >=+，所以e 1e a a b a +=+>+,又3e aa b a a a+=+=+，且12a <<,令()3,12t a a a a=+<<，根据对勾函数的性质可得()t a 在(上单调递减，在)上单调递增，且()()714,22t t ==，所以4a b +<，综上可得e 14a b +<+<，故D 正确；故选:AD.【点睛】关键点睛：本题关键点在于构造函数()()e 0xf x x x =>，利用导数求其单调性，从而可得ln a b =.12．ACD【分析】利用函数零点的定义分离参数，构造函数并求出函数值域确定k 的范围，再逐项分析并结合等差数列的意义判断作答.【详解】由()0f x =，得2219cos 2cos 2cos cos 12(cos 48k x x x x x =-+=-++=--+，令219()2(cos 48g x x =--+，显然函数()g x 是偶函数，是周期为2π的周期函数，而1cos 1x -≤≤，则当1cos 4x =时，max 9()8g x =，当cos 1x =-时，min ()2g x =-，因此928k -≤≤，当2k =-时，cos 1,(21)π,Z x x n n =-=-∈，于是函数()f x 的所有零点从小到大排成一列构成公差为2π的等差数列，A 正确；当98k =时，1cos 4x =，显然此方程在余弦函数cos y x =的周期长的区间内只有两个根，取(2π,2π)x ∈-，则方程1cos 4x =在(2π,2π)-内有4个根1234,,,x x x x ，显然有12343πππ3π2π,0,2π2222x x x x -<<--<<<<<<，于是21π2πx x <-<，320πx x <-<，即有2132x x x x -≠-，则1234,,,x x x x 不成等差数列，由周期性知，当98k =时，函数()f x 不存在连接4个零点依次构成等差数列，B 错误；当0k =时，cos 1=或1cos 2x =-，取函数()f x 的4个连续零点为2π4π0,,,2π33，显然2π4π0,,,2π33成等差数列，C 正确；当12k =时，1cos 4x =或1cos 4x +=，令(π,π)x ∈-，则函数()f x 在(π,π)-内有4个零点1234,,,t t t t ，并满足1234πππ0π22t t t t -<<-<<<<<<，且142311cos cos ,cos cos 44t t t t ====，显然14230t t t t +=+=，22323311cos()cos 22cos 12()144t t t t -==-=-=，43434311cos()cos cos sin sin 44t t t t t t -=+=⋅111444-=⋅=，显然320πt t <-<，430πt t <-<，因此3243t t t t -=-，所以1234,,,t t t t 成等差数列，D 正确.故选：ACD【点睛】关键点睛：涉及给值求角问题，关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．13．40-【分析】求得二项式5(12)x -的展开式的通项为15(2)r r r r T C x +=-⋅，根据题意，进而求得3x 项的系数，得到答案.【详解】由二项式5(12)x -的展开式的通项为155(2)(2)r r r r r r T C x C x +=-=-⋅，所以5(1)(12)x x +-的展开式中含3x 项的系数为223355(2)(2)40C C -⋅+-⋅=-.故答案为：40-.14．22(1)(2)5x y ++-=【分析】根据给定条件，求出过切点的圆半径所在直线方程，进而求出圆心坐标即可作答.【详解】依题意，过切点(1,1)的圆的半径所在直线方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=，由10230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得12x y =-⎧⎨=⎩，因此所求圆的圆心为(1,2)-，半径r 所以所求圆的方程为22(1)(2)5x y ++-=.故答案为：22(1)(2)5x y ++-=15．42ln2-【分析】确定函数定义域，问题转化为()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即1ln 2a x x ≤++2，设()12ln 2h x x x =++，求得函数()h x 的最值，从而可得实数a 的最值.【详解】()(21)f x x lnx ax =+-的定义域为()0,∞+，若()f x 在()0,∞+上单调递增，则()22ln 01f x x a x x '+=+-≥恒成立，即1ln 2a x x ≤++2设()12ln 2h x x x=++，则()222121x h x x x x -'=-=，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，函数()h x 在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减;1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()h x 在1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 112ln 442ln222h x h ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭，所以42ln2a ≤-，故实数a 的最大值为42ln2-.故答案为：42ln2-.16．1124114929nn p ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭【分析】结合相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，结合题意，利用列举法和分类讨论，即可求解.【详解】由题意，当投掷3次骰子后，球在甲手中，共有4中情况：①：甲→甲→甲→甲，其概率为11112228⨯⨯=②：甲→甲→乙→甲，其概率为111122312⨯⨯=③：甲→乙→甲→甲，其概率为111123212⨯⨯=④：甲→乙→丙→甲，其概率为12112326⨯⨯=所以投掷3次后，球在甲手中的概率为311111*********p =+++=.设投掷n 次后，球仍在乙手中的概率为n q ，所以当2n ≥时，()1111111111123262n n n n n n p p q p q q -----=++--=-+，()1111111112222n n n n n q p p q q ----=+--=-+，所以1111323n n q q -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，111113236q -=-=，所以数列13n q ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以16为首项，12-为公比的等比数列，所以11111111,362623n n n n q q --⎛⎫⎛⎫-=⋅-=⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1142929n n p n ⎛⎫=-⋅-+≥ ⎪⎝⎭，112p =符合该式，所以114929nn p ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭.故答案为：1124；114929n n p ⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭.17．(1)证明见解析；(2)69n n T n =+.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合11n n n a S S ++=-计算推理作答.（2）由（1）求出数列{}n a 的通项，再利用裂项相消法求和作答.【详解】（1）依题意，N n *∈，()()112(2)1,2(3)1n n n n S n a S n a ++=+-=+-，两式相减得：112(3)(2)1n n n a n a n a ++=+-+-，即1(1)(2)1n n n a n a ++=++，整理得1121(1)(2)n n a a n n n n +=+++++，即1112112n n a a n n n n +=+-++++，因此11121n n a a n n +++=++，所以数列11n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是常数列.（2）当1n =时，()1112312a S a ==-，解得13a =，由（1）得：1112111n a a n ++==++，于是21n a n =+，则111111((21)(23)22123n n a a n n n n +==-++++，所以1111111111()()235572123232369n n T n n n n =-+-++-=-=++++ .18．(1)π3；(2)【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换求出cos A ，即可求A ;(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出bc ，即可求面积.【详解】（1）由正弦定理得：2sin cos 2sin sin A B C B =-，即()2sin cos 2sin sin A B A B B =+-，即2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B =+-，即2cos sin sin A B B =.因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2A =.因为()0,πA ∈，所以π3A =.（2）ABC V 面积()11sin 22S bc A a b c r ==++，代入7a =，r =π3A =，整理得：()214bc b c =++①，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得：2249b c bc +-=，即()2349b c bc +-=②，①②联立可得：2143492bc bc -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：40bc =或0bc =（舍去），所以11sin 4022S bc A ==⨯⨯19．(1)0.0175m =；(2)列联表见解析，男生和女生的测试成绩优秀率没有差异.【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，估计平均数及中位数即可列式作答.（2）完善列联表，求出2χ的观测值，并与临界值表比对作答.【详解】（1）依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：10.040.0250.010.02510m m ----=-，样本平均数的估计值为：10[(0.025)55650.04750.025850.0195]74.5100m m m ⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+，显然数据落在区间[80,100]的频率为0.250.10.35+=，落在[70,100]的频率为0.40.350.75+=，因此样本中位数在区间(70,80)内，其估计值为；0.050.025701076.250.04-+⨯=，则74.510076.25m +=，解得0.0175m =，所以0.0175m =.（2）总的成绩优秀人数为：20010(0.0250.01)70⨯⨯+=，得到列联表为：性别测试成绩合计优秀不优秀男生4565110女生256590合计70130200零假设0H ：男生和女生的测试成绩优秀率没有差异，于是2χ的观测值为22200(45652565)2600 3.752 3.8411109070130693χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验，无法推断0H 不成立，即认为男生和女生的测试成绩优秀率没有差异.20．(1)证明见解析；(2)29【分析】（1）连接BD ，过C 做CF AB ∥，交BD 于T 点，先利用三角形全等证得45ABD CBD ︒∠=∠=，再根据三角形的余弦定理求得BD ，再由TD DF DE BD AD DP==，证明平面CEF ∥平面ABD 即可得证.（2）根据三角形的余弦定理及边长关系证明⊥PO 平面ABCD ，以O 为原点，OC ，OD ，OP 所在的直线为x 轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量，后根据线面角的坐标求法代入即可求解.【详解】（1）解：由题意得：连接BD ，过C 做CF AB ∥，交BD 于T 点，如图所示：AB CB ==AD CD ==BD DB=ABD BCD∴≅ 又90ABC ︒∠= 45ABD CBD ︒∴∠=∠=90ABC BCF ︒∠=∠= 2BT ∴==∴在BCD △中，2222cos cos 4522BC BD CD CBD BD BC ︒+-∠===⋅解得：3BD =2PE DE= 13TD DF DE BD AD DP ∴===EF AP∴∥EF ⊂ 平面CEF ，AP ⊄平面CEF ，EF AP∥CF ⊂平面CEF ，AB ⊄平面CEF ，CF AB∥∴AP ∥平面CEF ，AB ∥平面CEF又AP AB 、相交于点A∴平面CEF ∥平面ABDCE ⊂ 平面CEF∴直线CE ∥平面PAB（2）连接AC 交BD 于O 点在POB V 和POD 中，由cos cos POB POD ∠=-∠可得22222222PO BO PB PO DO PD PO BO PO DO +-+-=⋅⋅，即22154824PO PO PO PO+-+-=解得：2PO =，满足222PO BO PB +=，所以PO BD⊥又PA PC= PO AC∴⊥又有AC 交BD 于O 点，所以⊥PO 平面ABCD ，满足PO ，CO ，DO 两两垂直故以O 为原点，OC ，OD ，OP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则(0,0,2)P ，(0,1,0)B -，(1,0,0)C ，42(0,,)33P 于是有(0,1,2)BP = ，(1,0,2)CP =- 设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，由02020CP n y z x z BP n ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 取(2,2,1)n =- 又42(1,,33CE =-故所求角的正弦值为cos ,n CE CE n n CE ⋅<>=⋅ 所以直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为29.21．(1)2214x y +=；(2)【分析】（1）依题意24AB a ==，则2a =，又2e =,得1b =，从而求得椭圆方程；（2）先求出直线AT 的方程，与椭圆方程联立，求得点C 的纵坐标，同理可得点D 的纵坐标，由()()1212117CDT C D S y y =--=△,可得t 的值．【详解】（1）由题意,24AB a ==,得2a =.离心率e ==得1b =，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）设()(),,,C C D D C x y D x y ，点()2,0A -,直线AT 的方程为()11222y x t =⋅++,即()222x t y =+-.与椭圆方程联立得:()()2245220t t y t y ++-+=,解得:()22245C t y t t +=++.点()2,0B ,直线BT 的方程为()222x t y =-+.与椭圆方程联立得:()()2245220t t y t y -++-=,解得:()22245D t y t t --=-+.三角形面积比1sin 21sin 2CDT ABT CT DT CTD CT DT S S AT BT AT BT ATB ⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠△△()()11222121110022C D C D y y y y --=⋅=----.又因为114122ABT S =⨯⨯=△,所以()()2121CDT C D S y y =--△224848114545t t t t t t +-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪++-+⎝⎭⎝⎭()()222223516t t t -=+-，由题意,()()222223117516t t t -=+-,整理得42680t t -+=,解得:22t =或24t =.又由点T 在椭圆内部,故22t =,即t =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +（或1212,y y y y +）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)()f x 在(),2-∞-和()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减；(2)24e 1--.【分析】（1）0m n ==时，()2e x f x x =，利用导数研究单调性即可；（2）令()0f x '=，可得12,x x 是关于x 的方程()220x m x m n ++++=的两个实根，易得()()1112e 2x x x f x -+=，()()2221e 2x x x f x -+=，化简()()2121e e x x f x f x --()()212121212e 2e 1x x x x x x x x ----+-+=--①.令()210x x t t -=>，①式化为()()2e 2e 1t t t t -++--，设()()()()2e 20e 1t t t t g t t -++=->-，利用导数求其最小值即可.【详解】（1）0m n ==时，()2e x f x x =，()()()22e 2e x x f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得2x =-或0x =，当2x <-或0x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当20x -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以()f x 在(),2-∞-和()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减.（2）()()22e x f x x m x m n '⎡⎤=++++⎣⎦，令()0f x '=，可得()220x m x m n ++++=.由题意可得，12,x x 是关于x 的方程()220x m x m n ++++=的两个实根，所以()12122,x x m x x m n +=-+=+.由()21120x m x m n ++++=，有()2112x m x m n =-+--，所以()()()1111121e 2e x x f x x x m m n x =--=++.将122m x x =---代入上式，得()()1112e 2x x x f x -+=，同理可得()()2221e 2x x x f x -+=.所以()()()()21212121122122e e e e e e x x x x x x x x x x f x f x -+----+=-()()212121212e 2e 1x x x x x x x x ----+-+=--①.令()210x x t t -=>，①式化为()()2e 2e 1t t t t -++--，设()()()()2e 20e 1t t t t g t t -++=->-，即()()()e 120e 1t t t g t t +=-+>-，则()()22e 2e 1e 1t t t t g t --'=--，记()()2e 2e 10t t h t t t =-->，则()()2e e 1t t h t t '=--.记()()e 10t t t t ϕ=-->，则()e 10t t ϕ='->，所以()t ϕ在()0,∞+上单调递增，所以()()00t ϕϕ>=，所以()0h t '>，()h t 在()0,∞+上单调递增，所以()()00h t h >=.所以()0g t '<，()g t 在()0,∞+上单调递减.又()()2222211212444t x x x x x x m n =-=+-=-+()()2222424a b a b =++-+++2233244a b ab a b =--+++()2232434a b a b b=-++-+222816433333b a b b +⎛⎫=---++ ⎪⎝⎭()22816481443333b b b ≤-++=--+≤，当且仅当203b a +-=且10b -=，即1a b ==时，2t 取到最大值4，即t 的最大值为2.因为()g t 在()0,∞+上单调递减，所以()()2min 42e 1g t g -==-.所以()()2121e e x x f x f x --的最小值为24e 1--.【点睛】总结点睛：利用导数研究函数的最值点睛：在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．。

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