2016-2017年数学·必修3(人教A版)习题：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

第二章 统计 2.2 用样本估计总体
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的
数字特征
A 级 基础巩固
一、选择题
1．如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的平均数分别为x －A 和x －
B ，标准差分别为s A 和s B ，则( )
A.x －A >x －B ，s A >s B
B.x －A <x －
B ，s A >s B C.x －A >x －
B ，s A <s B
D.x －A <x －
B ，s A <s B
解析：由题图易得x －A <x －
B ，又A 波动性大，B 波动性小，所以s A >s B .
答案：B
2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A ．85分、85分、85分
B ．87分、85分、86分
C ．87分、85分、85分
D ．87分、85分、90分
解析：从小到大列出所有数学成绩(单位：分)：75，80，85，85，85，85，90，90，95，100，观察知众数和中位数均为85分，计算得平均数为87分．
答案：C
3．样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 解析：x 2－5x ＋4＝0的两根是1，4.
当a ＝1时，a ，3，5，7的平均数是4；当a ＝4时，a ，3，5，7的平均数不是1.
所以a ＝1，b ＝4.则方差s 2＝1
4[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]
＝5.
答案：C
4．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数x －
及其方差s 2如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是( )
A.甲 B ．乙 解析：因为x －乙＝x －丙>x －甲＝x －丁，且s 2甲＝s 2乙<s 2丙<s 2
丁，所以应选择乙进入决赛．
答案：B
5.(2015·山东卷)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 解析：由题中茎叶图知，x －甲＝26＋28＋29＋31＋315
＝29，
3105；x －
乙＝28＋29＋30＋31＋325
＝30，
2.所以x －甲<x －
乙，s 甲>s 乙． 答案：B 二、填空题
6．甲、乙两位同学某学科连续五次的考试成绩用茎叶图表示如图所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．
解析：x －甲＝70，x －乙＝68，s 2甲＝15×(22＋12＋12＋22)＝2，s 2
乙＝15×
(52＋12＋12＋32)＝7.2.
答案：甲 甲
7．若数据k 1，k 2，…，k 6的方差为3，则2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的方差为________．
解析：设k 1，k 2，…，k 6的平均数为k －
， 则1
6
[(k 1－k －)2＋(k 2－k －)2＋…＋(k 6－k －)2]＝3. 而2(k 1－3)，2(k 2－3)，…，2(k 6－3)的平均数为2(k －
－3)，则所求方差为
1
6[4(k 1－k －)2＋4(k 2－k －)2＋…＋4(k 6－k －)2]＝4×3＝12. 答案：12
8．已知样本9，10，11，x ，y 的平均数是10，标准差为2，则xy ＝________．
解析：由平均数得9＋10＋11＋x ＋y ＝50， 所以x ＋y ＝20.
又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x －10)2＋(y －10)2＝(2)2
×5＝10，得x 2＋y 2－20(x ＋y )＝－192，即(x ＋y )2－2xy －20(x ＋y )＝－192，所以xy ＝96.
答案：96 三、解答题
9．下图是甲、乙两人在一次射击比赛中中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．
甲射击的靶 乙射击的靶
(1)请用列表法将甲、乙两人的射击成绩统计出来；
(2)请你用学过的统计知识，对甲、乙两人这次的射击情况进行比较．
解：(1)列表如下：
(2)x －甲＝9环，x 乙＝9环，s 2甲
＝23，s 2乙＝1. 因为x －甲＝x －乙，s 2
甲<s 2乙，
所以甲与乙的平均成绩相同，但甲发挥比乙稳定．
10．某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如下：
(1)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数； (2)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价． 解：(1)两组数字是有序排列的，50个数的中位数为第25和第26两个数的平均数．由给出的数据可知道，市民对甲部门评分的中位数为75＋752＝75，对乙部门评分的中位数为66＋682＝67，所以估计
市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为75，67.
(2)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出，对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．
B 级 能力提升
1．有一笔统计资料，共有11个如下数据(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )
A ．6 B.6 C ．66 D ．6.5
解析：因为x －＝111(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x )＝111(61
＋x )＝6，所以x ＝5.方差为：
s 2＝42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋1211＝6611
＝6.
答案：A
2．甲、乙两同学在高考前各做了5次立定跳远测试，测得甲的成绩如下(单位：米)：2.20，2.30，2.30，2.40，2.30，若甲、乙两人的平均成绩相同，乙的成绩的方差是0.005，那么甲、乙两人成绩较稳定的是________．
解析：求得甲的平均成绩为2.30米，甲的成绩的方差是0.004.由已知得甲、乙平均成绩相同，但甲的成绩的方差比乙的小，所以甲的成绩较稳定．
答案：甲
3．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．
(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；
(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x －
甲，x －乙，估计x －甲－x －
乙的值．
解：(1)设甲校高三年级学生总人数为n . 由题意知
30
n
＝0.05，解得n ＝600. 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝5
6
.
(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x －1，x －
2.
根据样本茎叶图可知30(x －1－x －2)＝30x －1－30x －
2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.
因此x －1－x －
2＝0.5.
故x －甲－x －
乙的估计值为0.5分．。