高考数学知识考点精析(21)导数及其应用

第二十一讲导数及其应用

1、曲线的切线：设曲线C 是函数y=f （x ）的图象，在曲线C 上取一点()()000,Q ,P x y x y y +∆+∆0及邻近的一点x ，过P ，Q 两点作割线，当点Q 沿着曲线逐

渐向点P 接近时，即x ∆→0时，割线PQ 的极限位置PT ，直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。设切线PT 的倾斜角为,α割线PQ 的斜率的极限就是曲线C 在点P 处的切线的斜率， 即()()

0000

tan lim

lim

x x f x x f x y x

x

α∆→∆→+∆-∆==∆∆

2、瞬时速度：()()()

000

,lim lim t t s t t s t s s s t t

t

∆→∆→+∆-∆==∆∆0物体在t 时刻的瞬时速度v=

3、导数的概念：

()()()0f x x f x ∆∆+∆-00函数y=在x=x 处有增量x ，相应地y 有增量y=f x

()()()()()()()()

()()

()()

000

000000

0000

,

0,

,lim

lim

lim

lim

x x x x x x y y f

x x x x x

y x y f

x x x

f x x f

x x f x y f x y f

x x

x

f

x f x f

x a x f x x x

a x

'

'

'

=∆→∆→→∆→∆=+∆∆∆∆→=∆+∆-∆=

=∆∆-+∆-==-∆叫函数在到之间的平均变化率如果当时有极限，就说函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数或变化率，

记作即 4、导函数的概念：如果函数f （x ）在开区间（a,b ）内可导，对于开区间（a,b ）内的每一个

0x ，都对应着一个导数()0f

x '

，这样f （x ）在开区间（a,b ）内构成一个新的函数，这一新

的函数叫做f （x ）在开区间（a,b ）内的导函数，记作()()()

00

lim

lim

x x f x x f x y f x y x

x

∆→∆→+∆-∆'='==∆∆，导函数也简称为导数。

5、如果函数f （x ）在点0x 处可导，那么函数f （x ）在点0x 处连续，反之不一定成立。如:y=0.x x =在处连续不可导。

6、导数的几何意义：函数f （x ）在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f （x ）在点

()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线y=f （x ）在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是

()0f

x '

，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-

7、几种常见函数的导数：(1)、常函数的导数为0，即()0C C '=为常数，

(2)、幂函数的导数为()()1n n x nx n Q -'=∈，与此有关的如下：

(

)

11

22

11,x x x x '

'

-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

(3)、()()/

sin cos ,cos sin x x x x '==-， (4)、()()()ln ,0,1,,x x x x a a a a a e e '=∙>≠'= (5)、()()()11log ,0,1,ln ,ln a x a a x x a

x '=

>≠'=

8、导数的运算法则：()()()()

()()()()()()

()()()()()()

()()()2123,0g x f x g x g x f x g x g x f x f x g x f x g x g x g x '

±'='±'⎡⎤⎣⎦∙'='∙+'∙⎡⎤⎣⎦⎛⎫'∙-∙'=≠ ⎪ ⎪

⎡⎤⎝⎭⎣⎦

、和、差的导数：f x 、积的导数：f x f x 、商的导数：g x

复合函数的导数：首先要弄清复合函数的复合关系。它的求导法则是：复合函数对自变量的

导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数，即()()()y x y u u x '='∙'

9、应用导数解有关切线问题：过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数3()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程

（答：切点分别为（0,0），（3,18）。30x y +=或24540x y --=）。

解这类题首先要弄清楚已知点是否为切点，如果不是切点，应先设切点为()00,x y 然后写出切线方程：()()000y y f x x x -='-再把已知点代入求出切点。如果已知点是切点，则直线求此点的导数得出直线的斜率。

10、应用导数解函数的单调性问题：(1)、若f ′（x ）＞0,则f （x ）为增函数, (2)、若f ′（x ）＜0,则f （x ）为减函数,

(3)、若f ′（x ）＝0恒成立,则f （x ）为常数函数,

(4)、若f ′（x ）的符号不确定,则f （x ）不量单调函数,

(5)、利用导数法来划分函数的单调区间时，单调增区间，⇔ f ′（x ）≥0且等号不恒成立。 单调减区间，⇔ f ′（x ）≤0且等号不恒成立。可利用下列步骤来划分区间：

1）求f ′（x ），2）求方程f ′（x ）＝0的根，设根为12,,n x x x ，3）12,,n x x x 将给定区间分成n+1个子区间，再在每一个子区间内判断f ′（x ）的符号。4）对于方程f ′（x ）＝0无意义的点也要考虑。应用单调性求参数的取值范围时，注意f /(x)=0的点; 如：设0

>a 函数ax x x f -=3

)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______（答：03a <≤）；

11、应用导数解函数的极值问题：(1)、设函数f （x ）在点x 0附近有定义，如果对x 0附近所有的点，都有f （x ）＜f （x 0），就说是f （x 0）函数f （x ）的一个极大值。记作y 极大值＝f