八年级数学实数复习经典
八年级奥数实数知识点归纳
八年级奥数实数知识点归纳实数是我们在学习数学过程中会接触到的一种数，它是包括有理数和无理数的一种数集。
下面我们来归纳一下八年级奥数实数知识点。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两种。
其中有理数包括整数、正整数、负整数、分数和小数，无理数主要包括π 和√2 等无限不循环小数。
二、实数的运算1.实数加减法实数加减法遵循交换律、结合律和分配律。
例如，a+b=b+a，a+(b+c)=(a+b)+c，a×(b+c)=a×b+a×c。
2.实数乘法实数乘法同样可以遵循交换律、结合律和分配律。
此外，为了便于计算，我们通常会将分数化为最简形式。
3.实数除法在实数除法中，我们除数不能为 0。
如果被除数和除数同时为整数或者分数，我们可以直接进行除法运算。
如果被除数或者除数为无理数，我们可以采用近似的方法进行计算。
三、实数的大小比较实数的大小比较需要根据实数的正负性和绝对值进行分析。
例如，负数的绝对值大于正数的绝对值，而正数的绝对值又大于 0。
四、实数的表示实数可以通过分数和小数两种方式进行表示。
在小数中，我们还可以使用科学计数法来表示大数。
五、实数的应用在学习数学的过程中，实数的应用非常广泛。
例如，在物理学、化学和金融等领域，实数可以用来描述物理量、计算化学反应和进行金融投资分析等。
总结通过上文的介绍和归纳，相信大家对于八年级奥数实数知识点有了更加清晰的认识和了解。
在实际学习过程中，我们需要注重实际应用，同时也需要不断进行练习和巩固，从而更好地掌握实数的概念和运用。
初二实数重要知识点总结
初二实数重要知识点总结一、有理数和无理数实数包括有理数和无理数两种类型。
有理数是可以写成整数比的数，包括正整数、负整数、零和分数四种类型。
无理数是不能写成整数比的数，它们是无限不循环小数。
有理数和无理数的概念在实数中是非常重要的，它们构成了实数的基本组成部分。
有理数和无理数在数轴上分布形成了密集的情况，它们一起构成了实数轴上的所有点。
二、数轴数轴是表示实数的一条直线，它从左到右依次表示了负无穷到正无穷的所有实数。
在数轴上，每个实数对应一点，反之亦然。
数轴的左侧是负数部分，右侧是正数部分，中间是零点。
利用数轴，我们可以直观地表示实数之间的大小关系，进行加减乘除的运算，以及表示绝对值等操作。
数轴在初二的数学学习中非常重要，它是理解实数概念的基础。
三、绝对值绝对值是一个非常重要的概念，它表示一个数到原点的距离。
对于正数来说，它的绝对值就是它自己，对于负数来说，它的绝对值是它的相反数。
绝对值可以用来表示距离、大小比较、解绝对值不等式等很多方面的概念。
在初二数学学习中，绝对值是一个非常重要的知识点，它在数轴上的表示、大小比较、解不等式等方面有着广泛的应用。
四、大小比较在实数中，大小比较是一个非常基本的操作，它包括了比较两个数的大小、比较绝对值、比较大小定理等多个方面的内容。
大小比较在初二数学中占据了非常重要的地位，它与绝对值、数轴等概念有着密切的联系。
大小比较是实数的基本性质之一，它在数学的各个分支中都有着广泛的应用。
在初二数学学习中，掌握好大小比较的概念对于后续学习是非常重要的。
五、相反数相反数是一个非常简单而重要的概念，它表示了一个数与它的相反数相加等于零。
对于正数来说，它的相反数就是负数，对于负数来说，它的相反数就是正数。
相反数在加减法运算中有着重要的作用，它能够帮助我们进行数的加减运算、解方程等多个方面的操作。
在初二数学中，相反数是一个需要重点掌握的知识点，它对于后续学习有着重要的作用。
总结一下，在初二数学学习中，实数是一个非常重要的知识点，它涉及了有理数、无理数、数轴、绝对值、大小比较、相反数等多个概念。
北师大版八年级数学上册第二章实数复习
第二章：实数知识梳理一．数的开方主要知识点：【1】平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 【算术平方根】：（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
第12课 实数章末复习 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
)2＝11－6
B．
C
−
D ． 6÷
)
＝－5
×
＝3
【提示】选项 A 中 + 无法合并，此选项不合题意；选项 B 中
−
＝5，此选项不合题意；选项 C 中(3－
合题意；选项 D 中6÷
×
)2＝11－6 ，此选项符
＝9，此选项不合题意．故选 C .
(1) 与8;
(2)
−
与1.
解：(1)因为65＞64，所以 ＞ ＝8.
(2)因为5＜9，所以 ＜3.
所以 －1＜2.所以
−
＜1.
3． 【北师八上 P32习题 T5】一个正方体木块的体积为1 000 cm3, 现要
把它锯成8块同样大小的正方体小木块，小木块的棱长是多少？
的值．
解：因为 a＝2＋ ，b＝2－ ，
所以a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝(2＋ )(2－ )·(2＋ ＋2－ )＝(4－
5)×4＝－1×4＝－4.
17． (广州中考)已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，
试化简 + +
−
＋
−
-
−
.
解：由数轴上点的位置可知，a＞b，0＜a＜1，b＜－1.
所以a－b＞0，b－1＜0，a－1＜0.
所以原式＝|a|＋|b|＋|a－b|＋|b－1|－|a－1|＝a－b＋a－b＋1－b－(1
－a)＝3a－3b.
忽视二次根式在分母上有意义的隐含条件
1． 使得式子
有意义的x的取值范围是(
−
A ． x≥4
八年级数学上册实数,实数知识点总结,典型题型归纳,同步练习题
第三课时：实数1．无理数1.1.无限不循环小数叫做无理数．如：2，π，0.1225486…等．1.2.判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．1.3.常见的无理数：①含有开不尽方的数的方根的一类数，如3，35，1+2等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．2．实数的概念和分类2.1.概念：有理数与无理数统称为实数．2.2.实数按定义分类：2.3.按正负分类：3．实数与数轴3.1.实数与数轴上的点的对应关系：实数与数轴上的点是一一对应的．即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．3.2.在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．4．相反数与绝对值4.1.相反数：数a 的相反数是-a ．4.2.绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即0||=000，，，a a a a a a ⎧>⎪=⎨⎪-<⎩．5．实数的运算实数运算的顺序是先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括号，则先进行括号里的运算．❖ 典型题型：无理数的判断1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可． 2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】0；3π227；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】因为0；2273π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．❖ 典型题型：实数的概念和分类1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类． 【例2】在5π152123140412316，，，，，.，，，----中，其中 是整数， 是无理数， 是有理数.【答案】0，41-；π55121231404132216，，，；，，.，，----【例3】将这些数按要求填入下列集合中：0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|，π2-．负数集合｛…｝；分数集合｛…｝； 非负整数集合｛…｝；无理数集合｛…｝．【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5|，π2-…｝； 分数集合｛122-，3.2…｝；非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝； 无理数集合｛0.01001001…，π2-…｝．❖ 典型题型：实数与数轴 两个实数比较大小：1．数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大；2．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小． 【例4】如图，数轴上点P 表示的数可能是A 7B ．7C ．–3.2D ．10【答案】B【解析】7 2.6510 3.16，设点P 表示的实数为x ，由数轴可知，–3<x <–2，∴符合题意的数为7B ．【例5】和数轴上的点成一一对应关系的数是A．自然数B．有理数C．无理数D．实数【答案】D【解析】数轴上的点不仅表示有理数，还表示所有的无理数，即实数与数轴上得点是一一对应的，故选D．【例6】已知实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是A．m<0 B．n＞0 C．n＞m D．n<m【答案】D【解析】由数轴上的点，得m<0<n，所以m<0，n＞0，n＞m都正确，即选项A，B，C判断正确，选项D 判断错误．故选D．【例7】已知数轴上A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为__________．【答案】5+3【解析】A、B两点表示的数分别为–3和5，则A、B间的距离为5–（–3）=5+3，故答案为：5+3．【例8】如图，点A、B、C在数轴上，O为原点，且BO：OC：CA=2：1：5．（1）如果点C表示的数是x，请直接写出点A、B表示的数；（2）如果点A表示的数比点C表示的数两倍还大4，求线段AB的长．【解析】（1）∵BO：OC：CA=2：1：5，点C表示的数是x，∴点A、B表示的数分别为：6x，–2x；（2）设点C表示的数是y，则点A表示的数为6y，由题意得，6y=2y+4，解得：y=1，∴点C表示的数是1，点A表示的数是6，点B表示的数是–2，∴AB=8．❖ 典型题型：相反数与绝对值求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．【例9】2的相反数是A ．-2B ．2C ．D【答案】A【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2-，故选A ．【例10】3-π的绝对值是A ．3-πB ．π-3C ．3D ．π【答案】B【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．【例11】A ．相反数B ．倒数C ．绝对值D ．算术平方根【答案】A【解析】A ．❖ 典型题型：实数的运算1．在进行实数的运算时，有理数的运算法则、运算性质、运算顺序、运算律等同样适用．2．在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算．【例12】计算下列各式：（1）221．【解析】（1-（2）原式21+1=．基础练习1．在下列实数中，属于无理数的是A ．0B C ．3D ．132．在13.140.231.131331333133331(3π-，，，，……每两个1之间依次多一个3)中，无理数的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个3的值在 A ．0和1之间B ．1和2之间C ．2和3之间D ．3和4之间4．下列四个数中，最小的一个数是A ．B 3-．C -．D π-．5 A ．3B ．3-1C 3． 1D 3-．6．下列说法中，正确的个数有①不带根号的数都是有理数；②无限小数都是无理数；③任何实数都可以进行开立方运算；④5不是分数． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个7．下列各组数中互为相反数的一组是A．-|-2|与38-B．-4与-2(4)-C．-32与|32-| D．-2与28．如图，数轴上点P表示的数可能是A6B．7-C． 3.4-D．11 932-的相反数是__________，绝对值是__________．10．计算：325262+-=__________．115__________．12313=__________7（17=__________．13．把下列各数填入相应的集合内：15416，233270.15，-7.5，-π，0，23.．①有理数集合：｛…｝；②无理数集合：｛…｝；③正实数集合：｛…｝；④负实数集合：｛…｝．14．已知：x是|-3|的相反数，y是-2的绝对值，求2x2-y2的值．15．已知a7b7的小数部分，|c7，求a-b+c的值．能力拓展16．已知5+5与5–5的小数部分分别是a、b，则（a+b）（a–b）=__________．17．6–5的整数部分是a，小数部分是b．（1）a=__________，b=__________．（2）求3a–b的值．18．如图，点A表示的数为–2，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．（1）求n的值；（2）求|n+1|+（n+22–2）的值．真题实战19．（2018•鄂尔多斯）在227，–20184，π这四个数中，无理数是A．227B．–2018 C4D．π20．（2018•辽阳）在实数–2，3，0，–53中，最大的数是A．–2 B．3 C．0 D．–5 321．（201816A．14B．1±4C．12D．1±222．（2018•锦州）下列实数为无理数的是A．–5 B．72C．0 D．π23．（2018•南通）如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数–2，–1，0，1，2，则表示数2–5的点P应落在A．线段AB上B．线段BO上C．线段OC上D．线段CD上24．（2018•荆州）如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是A．原点在点A的左边 B．原点在线段AB的中点处C．原点在点B的右边 D．原点可以在点A或点B上25．（2018•常州）已知a为整数，且35a<<，则a等于A．1 B．2 C．3 D．426．（2018•攀枝花）如图，实数–3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是A．点M B．点N C．点P D．点Q27．（2018•贺州）在–1、122这四个数中，最小的数是A．–1 B．1 C2D．228．（2018•宁夏）计算：|–12|14A．1 B．12C．0 D．–129．（2018•攀枝花）下列实数中，无理数是A．0 B．–2 C3D．1 730．（20184–|–3|的结果是A．–1 B．–5 C．1 D．5 31．（2018•福建）已知m43m的估算正确的A．2<m<3 B．3<m<4 C．4<m<5 D．5<m<6 32．（2018•湖北）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是a，b，下列结论错误的是A．|b|<2<|a| B．1–2a＞1–2bC．–a<b<2 D．a<–2<–b33．（2018•北京）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是A．|a|＞4 B．c–b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞0 34．（2018•南京）下列无理数中，与4最接近的是A．11B．13C．17D．19 35．（2018•枣庄）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b<d D．c+d＞036．（2018•益阳）计算：|–5|327+（–2）2+4÷（–23）．37．（2018•大庆）求值：（–1）2018+|12|38．38．（2018•台州）计算：|–2|4+（–1）×（–3）贾老师数学同步辅导班精讲精练教材——初二上册参考答案1．B ；2．C ；3．B ；4．D ；5．A ；6．C ；7. C ；8. B ；9．22；--10．11．1213．有理数集合：｛4，23，0.15，-7.5，0，23.…｝；，π-…｝；4，230.15，23.…｝； 负实数集合：｛-7.5，π-…｝．14．14．15．4或4-．16． 517．（1）a =3，b =32）18．（1）22+-；（2）319．D ；20．B ；21．C ；22．D ；23．B ；24．B ；25．B ；26．B ；27．A ；28．C ；29．C ；30．B ； 31．B ；32．C ；33．B ；34．C ；35．B ；36．0．372．38．3．。
八年级第二章实数知识点
八年级第二章实数知识点第一节正数和负数实数分为正数、负数和零。
当数比一定的基准数“大”或“小”时，它就成为正数或负数。
当两个正数相加时，和仍为正数；当两个负数相加时，和也为负数；当正数和负数相加时，当它们的绝对值相等时，和为0，即一个正数和与它相等的负数相加等于0。
正数、负数之间也可以进行减法和乘法运算，当一个数乘以正数时，积还是正数；当一个数乘以负数时，积为负数。
第二节绝对值绝对值是指一个实数到0的距离，即 $|a|$ 的等于 $a$ 或 $-a$ 中，距离0更近的那个数。
绝对值的计算公式如下：$|a|$ =$ \begin{cases}a , a\geq0\\ -a , a<0\end{cases}$第三节有理数和无理数所有小数，可以表示成有限小数或无限循环小数的数都是有理数，例如 $\frac{1}{2}$、 $0.75$和$-0.3$等。
无法表示成有限小数或无限循环小数的数称为无理数。
常见的无理数有 $\sqrt{2}$、$\pi$和$e$等，无理数可以用无限不循环小数表示。
第四节数轴和坐标数轴是一个直线，用于表示实数。
数轴的一个固定点称为原点$O$。
数轴上任取一个有向线段$AB$，称$A$为起点，$B$为终点。
坐标就是表示实数的一种方法。
在数轴上，从原点$O$到点$A$的有向线段上任取一个点$P$，则实数$a$表示点$P$到原点的距离。
若$a>0$，则点$P$在$O$的右侧；若$a<0$，则点$P$在$O$的左侧。
若$a=0$，则点$P$在原点O上。
第五节容斥原理容斥原理是一种常用的计数方法。
当要计算多个集合的并集时，容斥原理可以用来避免重复计算。
容斥原理的表述如下：设$A_1 , A_2, \cdots ,A_n$为$n$个集合，以及它们的并集为$S$，则有：$$ |A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| =\sum\limits_{i=1}^{n}{|A_i|} -\sum\limits_{1 \leq i<j \leq n}{| A_i\cap A_j|} + \sum\limits_{1 \leq i<j<k \leq n}{|A_i \cap A_j \cap A_k|} - \cdots+(-1)^{n+1} |A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n| $$例如，三个集合$A,B,C$的并集$A\cup B \cup C$的元素个数为：$$ |A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C| - | A \cap B | - | A \cap C | - | B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$以上就是八年级第二章实数知识点的内容，通过学习这些知识点，我们可以更好地理解和应用数学知识。
八年级上册数学-第二章-知识点复习总结
第二章：实数本章的知识网络结构：知识梳理： 知识点一：平方根如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
例1.（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ； （2） 的平方根是它本身。
（3）若x 的平方根是±2，则x= ；16的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？知识点二：算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
(3) 算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例2.（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=； C.81的平方根是3±； D.0没有平方根； （2）下列各式正确的是 （ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。
（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。
人教版八年级数学《实数》
3、相反数是本身的数是 0 ；绝对值是本身的数是 非负数 ；倒数是本身的数是 ±1 。
5、a、b互为相反数，c与d互为倒数则a+1+b+cd= 2 。 6、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图1－1所示，则 它们从小到大的顺序是 c<d<b<a 。
c d 0 b a
图1－1－1 其中：
a b
三、想一想
a是一个实数，它的相反数为 a; 绝对值为 | a | .如果 a 0 , 那么它的
倒数为
a .
1
1、－5的绝对值是 A.5 B. 1/5 C.－1/5
（ A ） D.－5 （2003北京市中考试题）
2、下列各数中，负数是 （ B ） A.－（－3） B. － 3 C.（－3）2 D.－（－3）3 （2003山东省中考试题）
8、π的整数部分为3，则它 的小数部分是 π-3 ；
9、 5 的整数部分是 2 ， 则它的小数部分是 5 2 ；
10、比较大小：
(1) 3 2 (2) 13 (3) 5 2 6 (4) 2 3
3 2
3 2
二、选择题：
1、(-3)2的算术平方根是（ ） （A）无意义 （B）±3 （D） 3 （C）-3
无理数集合：{ π,-,tan30°,2.1010010001…
7
}。
2、下列说法中，错误的个数是
（ C）
①无理数都是无限小数；②无理数都是开方开不尽的数； ③带根号的都是无理数；④无限小数都是无理数。 A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。
3、数轴上的点与（ D ）一一对应。 A.整数； B.有理数； C.无理数； D.实数。
2
b a o x 解：由图知：b＜a＜0，∴a-b＞0，a+b＜0. ∴｜a-b｜+ ( a b) 2 =(a-b)+｜a+b｜ =a-b+［-(a+b)］ =a-b-a-b =-2b.
八年级上册数学实数知识总结
实数一、实数的概念及分类1.实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2.无理数: 无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时, 要抓住“无限不循环”这一时之, 归纳起来有四类:（1）开方开不尽的数, 如等；（2）有特定意义的数, 如圆周率π, 或化简后含有π的数, 如+8等；（3）有特定结构的数, 如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值, 如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1.相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数, 零的相反数是零）, 从数轴上看, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称, 如果a与b互为相反数, 则有a+b=0, a=—b, 反之亦成立。
2.绝对值在数轴上, 一个数所对应的点与原点的距离, 叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身, 也可看成它的相反数, 若|a|=a, 则a≥0；若|a|=-a, 则a≤0。
3.倒数如果a与b互为倒数, 则有ab=1, 反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴解题时要真正掌握数形结合的思想, 理解实数与数轴的点是一一对应的, 并能灵活运用。
5.估算三、平方根、算数平方根和立方根1.算术平方根: 一般地, 如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地, 0的算术平方根是0。
表示方法: 记作“”, 读作根号a。
性质: 正数和零的算术平方根都只有一个, 零的算术平方根是零。
2.平方根: 一般地, 如果一个数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法: 正数a的平方根记做“”, 读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根, 它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算, 叫做开平方。
八年级上实数复习专题讲义
实数复习专题知识回顾一、实数1、概念:有理数与无理数统称为实数。
2、实数得分类:(1)按定义分: 有理数实数无理数（2）按性质分: 正数实数 0负数二、数轴1、概念:规定了原点、正方向、单位长度得直线,叫做数轴。
(数轴“三要素”)2、数轴上得点与实数得关系:所有得实数都可以用数轴上得点表示,0用原点表示,正数用原点右边得点表示,负数用原点左边得点表示。
小结:数轴上,右边得数比左边得数大。
三、相反数1、概念:如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数得相反数,也称这两个数互为相反数,特别地,0得相反数就是0。
字母表示: a > 0时,-a < 0,a > -aa = 0时,-a = 0,a = -aa < 0时,-a > 0,a < -a2、几何意义:在数轴上,表示互为相反数得两个点,位于原点两侧,并且与原点得距离相等。
字母表示:如果a 、b 互为相反数,那么a+b=0。
四、绝对值1、概念:在数轴上,一个数所对应得点与原点得距离叫做该数得绝对值。
2、绝对值得求法:正数得绝对值就是它本身,负数得绝对值就是它得相反数,0得绝对值就是0。
用字母表示: a (a>0)|a| = 0 (a=0)-a (a<0)小结:绝对值具有非负性;0得绝对值就是0。
五、倒数概念:乘积为1得两个实数互为倒数;字母表示:a ·b = 1。
0没有倒数。
六、实数得运算法则1、(1)加法法则:同号两数相加,取相同得符号,并把绝对值相加;异号两数相加,绝对值相等时与为0,绝对值不相等时,取绝对值较大得数得符号,并用较大得绝对值减去较小得绝对值;一个数同0相加,仍得这个数。
(2)加法运算律:①交换律:a + b = b + a;②结合律:(a + b)+ c = a + (b + c)。
2、(1)减法法则:减去一个数等于加上这个数得相反数。
(2)字母表示:a - b = a +(-b)。
人教版八年级数学上册 第十章、实数精品复习资料
第十章、实数第一节、考点分析考点一：实数分类【例1】下列说法正确的个数一共有（）.（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）有理数都是有限小数；（4）不带根号的数不是无理数；（5）实数与数轴上的点一一对应；（6）实数分为正实数与负实数两种.A.2B.3C.5D.6【思考与分析】我们解答这类题目的关键是要理解无理数和实数的概念以及实数的分类，比如无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数是无理数；另外分类要统一标准，做到不多不漏，比如实数分为正实数、负实数和0.解：选A.考点二：平方根及算术平方根的性质【例2】（1-）2的平方根是 .【思考与分析】因为（1-）2＞0，所以它的平方根应该有两个：1－和－（1-）＝-1. 解：1－和－1.【例3】化简得（）.A.2B.-4x+4C.-2D.4x－4【思考与分析】要化简本题，就要保证的被开方数都为非负数.由2x－3≥0可得x≥，而当x≥时2x－1>0，因此＝2x－1.解：由2x－3≥0可得x≥，因此＝2x－1，则＝2x－1-（2x－3）＝2.因此正确答案为A.考点三：利用数形结合思想化简求值【例4】实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么|a－b|－的结果是（）.A.2a－bB.bC.aD.－2a+b【思考与分析】我们可以先根据数轴判断出实数a、b的符号，再进行化简.解：由数轴可知，a＞0，b＜0，则a－b＞0，原式＝a－b+b＝a.因此选C.【小结】利用数轴对式子进行化简时，要充分利用数轴的直观性判断出各个数的正负性，然后结合算术平方根或绝对值的非负性解题.【例5】如图，四边形ABCD是正方形，且点A、B在数轴上，求点C和D的坐标.【思考与分析】欲求C、D两点的坐标，应该结合正方形在坐标系中的位置及A、B两点的坐标而定.由图形可知，C、D两点的纵坐标相等，等于正方形的边长，两点的横坐标分别等于B、A两点的横坐标.解：因为A点的坐标为（-，0），B点坐标为（，0），所以AB=+，所以DA＝BC＝+.又因为C在第一象限，D在第二象限，因此C点坐标为（，+），D点坐标为（－，+）.【例6】（2006·厦门市）4的平方根是（）.A. 2B. -2C. ±2D. 16【思考与解】由平方根的意义知：4的平方根是±2，故应选C.【小结】一个正数a有两个平方根，它们是互为相反数，记作“±”.如“±”就表示4的平方根.即±2 .一个是用文字语言叙述，另一个是符号语言来记述的，我们应熟练掌握平方根的两种表述方式.【例7】（2006·包头市）9的算术平方根是（）.A.±3B. -3C. 3D. 9【思考与解】因为9的平方根是±3，所以，9的算术平方根是3，故应选C.【例8】（2006·绵阳市）-8的立方根是________.【思考与解】-8的立方根是多少，也就是多少的立方是-8.因为只有-2的立方是-8，所以-8的立方根是-2.即填“-2”.【小结】像求（算术）平方根、立方根的题目，我们理解其概念是解题的关键.【例9】（2006·南京市）写出一个有理数和无理数,使它们都是大于 -2 的负数______.【思考与解】此题既考查了我们对有理数、无理数、负数意义的理解，又考查了数的大小比较.所以其答案具有开放性.如大于-2的负有理数可以是：-0.5、-1等，大于-2的负无理数可以是：等.【例10】（2006·长沙市）如图，数轴上表示的点是_______.【思考与解】因为1＜3＜4，所以，即1＜＜2，因此，选B.【小结】（1）若能记住≈1.414，≈1.732等这些无理数的近似值,对解答像例5这类题目以及实数的取近似值计算是大有裨益的;（2）实数与数轴上的点一一对应，即是数轴上的任意一个点都表示一个实数;反之，任意一个实数都可以用数轴上的一个点表示.【例11】（2006·陕西省）用计算器比较大小: ____0.（填“＞”、“=”、“＜”）【思考与解】：我们可以用计算器计算≈0.122.因此，填“＞”.【小结】：由＞0，可知，通过计算两数的差，由差大于0、小于0、等于0的情形来确定两数的大小关系的方法是数（式）比较大小的一种重要方法——求差法.【例12】（2006·安徽）计算2－的结果是（）.A. 1B. -1C. -7D. 5【思考与解】我们仔细观察题目发现这是一道简单的实数的运算题目，只涉及到开方、减法运算，原式=2-3=-1，故选B.【小结】实数的运算法则与有理数的运算法则相同，在实数运算中遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数（比要求的精确度多取一位小数）去代替无理数，再进行计算.【例13】（2006·广西贵港市）若无理数a满足不等式1<a<4,请写出两个符合条件的无理数______，_______.【思考与解】此题答案开放，给我们留有充分的思考余地，我们可以从以下几个方面来考虑: （1）平方根等；（2）立方根等；（3）特殊意义的数π，e等；（4）固定结构的数2.1010010001…（两个1之间依次多一个零）等；（5）还可以是组合的,如等.此题较好地检测了考生发散思维能力和估算能力.【例14】（2006·扬州市）大家知道是一个无理数，那么-1在哪两个整数之间（）.A．1与2 B．2与3 C．3与4 D．4与5【思考与解】对无理数作近似估算是新课标所要求的，我们必须掌握“估算法”这种解题方法，以便于在具体的实际问题中能及时作出快速地处理.因为，即2<<3，∴1<-1<2，所以选A.第二节、错题剖析【例1】判断正误：你认为-25的平方根是5，正确吗？错解：这种说法正确.【错因分析】根据平方根的定义可以知道只有非负数a才有平方根.正解：这种说法不正确.【例2】（-2）2的算术平方根是 .错解：±2.【错因分析】根据算术平方根的定义“一个正数x的平方等于a，那么x叫做a的算术平方根”，可以知道，正数a的算术平方根只有一个是正的.因此，（-2）2=4，即4的算术平方根是2.正解：2.【例3】求的算术平方根.错解：由，得的算术平方根是.【错因分析】错解将带分数的开方误认为是整数部分和分数部分分别开方，很显然正解：【小结】由本例可以总结出：一般地，求一个正的带分数的算术平方根，应先将其化为假分数，再求这个假分数的算术平方根.【例4】下列说法正确的是（）.A. －5是（－5）2的算术平方根B. 16的平方根是±4C. 2是－4的算术平方根D. 1的平方根是它本身错解：A、C、D.【错因分析】如果对平方根和算术平方根的区别和联系理解不确切，这道题很容易选错.我们来逐项分析一下.因为（－5）2＝25，由算术平方根的定义可知＝5，所以A是错误的；因为负数没有平方根，所以C是错误的；因为正数的平方根有两个，它们是互为相反数的，所以D选项是错误的，根据淘汰法，只有B是正确的.正解：B.【例5】的算术平方根是（）.A. 2B. ±2C. 4D. ±4错解：C.【错因分析】这道题很容易给人造成错觉.题目中求的是的结果的算术平方根，即16的算术平方根的算术平方根，而不是16的算术平方根，我们解题时一定要慎重，读懂题目.正解：A.【例6】（1）求64的立方根；（2）求的立方根.错解：（1）±4（2） 9【错因分析】对于（1），一个正数的平方根有两个，而立方根只有一个，故64的立方根是4，而没有-4；对于（2），错误的原因是没有全面理解题意，题目中要求的是729的算术平方根的立方根.正解：（1） 4；（2） 3.第三节、思维点拨分类思想是一种重要的数学思想，使用分类思想解题，要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答.对于求之类问题要分类讨论．【例1】求（x－2）2的算术平方根.【思考与分析】本题有些同学可能会习惯地认为x－2的平方为（x－2）2，则（x－2）2的算术平方根为x－2，应该注意到一个数的算术平方根一定为非负数，故应分情况讨论.解：（x－2）2的算术平方根为当x≥2时，故当x≥2时，（x－2）2的算术平方根为x－2，当x＜2时，（x－2）2的算术平方根为2－x.【小结】分类讨论的数学思想已经逐渐成为各地近年来中考命题的热点，我们在使用分类思想解数学题时，要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答.分类讨论一般应遵循以下原则：（1）对问题中的某些条件进行分类，要遵循同一标准.（2）分类要完整，不重复，不遗漏.（3）有时分类并不是一次完成，还须进行逐级分类，对于不同级的分类，其分类标准一定要统一.【例2】已知（x－1）2＝，求x的值.【思考与分析】等式的右边化简后为9，即原等式化为（x－1）2＝9，如果我们把x－1看作一个整体，这道题就转化为求x－1的平方根，而9的平方根是±3，要求x的值，就需要分x－1＝3和x－1＝－3两种情况进行讨论解题，这就用到了分类思想.解：原方程化简得（x－1）2＝9，所以x－1＝±3.当x－1＝3时，x＝4；当x－1＝－3时，x＝－2.【小结】我们用分类思想解题时，分类要全面、准确、严谨，不能出现漏解的情况.比如本题中，不能只出现x－1＝3而丢掉x－1＝-3的情况，一定要使解题完整，这样也有利于我们养成严谨的解题态度.【例3】比较实数a，的大小.【思考与分析】我们仔细阅读题目发现要求比较三个实数的大小，但并没有给出a的取值范围，因此这就要求我们在解题时，要对a的取值范围进行讨论，从而确定三个数的大小关系.因为有意义，所以a＞0.在这个范围内，我们把a的取值分为0＜a＜1（a为小数），a＝1和a＞1三种情况.解：由有意义可知a＞0，我们分三种情况讨论a的取值.在认识有理数时，我们学习了如何比较两个有理数的大小，你还记得吗？今天我们来一起研究一下如何比较实数的大小，下面给出几种方法供大家参考.1. 求值比较法【例4】比较－和－4的大小.解：因为－≈－16.58，－4≈－16.49，所以－<－4.2. 移因式于根号内，再比较大小思考与分析】可以取7与6的近似值比较大小，但运算较繁，采用移因式于根号内比较大小的方法则简便易行，它的依据是: 若 a>0，b>0，且a>b，则.解: 由所以 7>6.3. 作差比较法【例5】比较的大小.解: 由5.4. 平方比较法【例6】比较与的大小.【思考与分析】由于两式中所含根式完全不同，不便于直接比较大小.5. 倒数比较法【例7】比较下列各数的大小：【思考与分析】根据这组数的特点，我们采用倒数比较法较简单.解：因为>π>3，所以，所以－【小结】实数的大小比较是一类综合性较强的题目，一道题可以采用多种方法，我们要善于根据不同题目的特点恰当地选择最佳的方法.第四节、竞赛数学【例1】已知≈1.414，≈14.14，若≈4.472，不用计算器计算，你能求出的值约为（）.A.0.1414B.0.4472C.14.14D.44.72【思考与分析】我们仔细观察题目的条件发现：和的被开方数相差100倍，而它们的值相差10倍，由此我们可以推测，若被开方数0.2的小数点向右移动两位，则的值的小数点向右移动一位，反之亦然，据此我们就可以求出的值.解：选B.【小结】（1）被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的结果的小数点相应的向右移动一位，反之，被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的结果的小数点相应的向左移动一位.（2）被开立方数的小数点每向右移动三位，其立方根的结果的小数点相应的向右移动一位，反之被开立方数的小数点每向左移动三位，其立方根的结果的小数点相应的向左移动一位.【例2】借助计算器求出下列各式的值：仔细观察上面几道题的计算结果，试猜想＝ .【思考与分析】这是一道借助计算器探索规律的创新题，我们先用计算器算出各式的值，再通过观察、对比、猜想，即可得出规律.通过观察以上结果发现：n个3组成的数的平方与n个4组成的数的平方的和的算术平方根等于n个5组成的数.所以【例3】观察下列各式及其验证过程：按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证.【思考与分析】我们可以先根据两个等式及其验证过程，找到规律，然后再猜想的变形结果，再进行验证.【小结】我们解这类题目时，关键是对题目中所给材料进行细心地对比和观察，找出它们之间的异同点，进而进行猜想寻找规律.第五节、本章测试基础训练题一、选择题（每小题2分，共32分）1.下列各式中，正确的是（）.A.＝-3B.=±2C.=2D.=-22.下列运算中正确的是（）.A. a2·a3=a6B. =2C. |（3-π）|=－π－3D. 32=-93.下列计算结果正确的是（）.A.（-2）2=4B.22=-4C.（-2）2=－4D.=±34.-8的立方根与4的算术平方根的和是（）.A. 0B. 4C. -4D. 0或-45．等式成立的条件是（）.A.a是任意实数B.a>0C.a<0D.a≥06．一个自然数的算术平方根是x，则下一个自然数的算术平方根是（）.7．在实数范围内，下列判断正确的是（）.A.若|m|=|n|，则m=nB.若a2>b2，则a>bC.若，则a=bD.若，则a=b8．下列四个命题中，正确的是（）.A.绝对值等于它本身的实数只有零B.倒数等于它本身的实数只有1C.相反数等于它本身的实数只有零D.算术平方根等于它本身的实数只有19.下列各组数中，互为相反数的是（）.A.0与2B.-2与210. 在下列式子中，正确的是（）.11.下列五个命题：①只有正数才有平方根；②－2是4的平方根；③5的平方根是；④±都是3的平方根；⑤（－2）2的平方根是－2.上述命题中正确的命题是（）.A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④12.的算术平方根是（）.A．±8 B．8 C．±2D．213．在实数范围内，||-1|-2|（）.A.无法确定B.只能等于2C.只能等于1D.以上都不对14．下面说法正确的是（）.A.-1的平方根是-1B.若x2=9，则x=3C.10-6没有平方根D.6是（-6）2的算术平方根15．的平方根是（）.A.±3B.3C.±D.16.在-，-2，，0.7070070007…中，无理数的个数是（）.A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（每小题2分，共32分）1. 的算术平方根是 .2．的平方根是；它的算术平方根是＿＿＿＿＿.3．如果一个数的平方根等于它的立方根，则这个数是＿＿＿＿.4．若x的立方根等于4，则x的平方根是＿＿＿＿.5． 4的平方根是.6. 若|x-2|+=0，则xy= .7. 有意义时，x的取值范围是______.8. 当x满足____________条件时，在实数范围内有意义.9．已知|a|的算术平方根等于8，则a的立方根等于＿＿＿＿.10．的立方根等于＿＿＿＿＿＿＿＿.11．如果＝2，那么（m＋n）2＝＿＿＿＿＿＿＿.12．若5是的算术平方根，则a=＿＿＿＿＿.13．把0.5050050005…分别填入有理数集合___________，无理数集合___________，实数集合___________.14.若m的相反数是，则m=______，|m|=___________.15.若x2=(－1.21)2，则x=___________.16.若a2＝（-5）2，b3＝（-5）3则a+b的值是＿＿＿＿＿＿.三、解答题（共56分）1.求下列各式的值（每小题0.5分，共4分）2.求下列各式中的x的值（每小题0.5分，共3分）（1）x2＝（-6）2；（2）x3＝（-2）6；（3）（x－2）2＝（x+2）2；（4）（x-3）3＝27；（5）（x－1）3＝-64；（6） x2＝3.求下列各数的平方根,算术平方根（每小题1分，共5分）（1）121；（2）0.0049；（5）|a|2；4．求下列各式中的x值（共3分）（1）=11；（2）（5x+2）3-125=0；（3）=2；5.（5分）如果+|6y-5|=0，求（x－y）2的算术平方根.6.（5分）已知互为相反数，求a，b的值.7. （5分）实数a、b、c在数轴上的位置如图：化简|a－b|+|b－c|-|c－a|.8．（5分）若（x-y+5）2与为相反数,求x，y的值.9.（4分）计算：-22+（-2）2+10.（5分）一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-7，求a和x的值.11.（5分）已知y＝求x，y的值.12.（7分）如图所示，表示1、的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C所表示的数为x，求x+的值.答案一、 1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 6.D7.D 8.C 9.B 10.A11.D 12.D13. C 14.D 15. C 16.B二、 1. 2. ±， 3. 0 4. ±8 5. ±2 6. 67. x>2 8. x<0 9. ±410. 2 11. 16 12. 62413. 有理数集合：；无理数集合：，0.5050050005…；实数集合：，0.5050050005…14. 由题意，得－m＝－，所以m＝－，|m|＝|－|＝－.15. ±1.21 16. -10或0三、 1.（1）110；（2）-0.6；（3）0.3；（4）±；（5）-13；（6）0.02；2.（1）±6；（2）4；（3）0；（4）6；（5）-3；（6）±2（4）要先把带分数化成假分数，即（5）|a|2的平方根是±a，算术平方根为|a|.4．（1）两边平方得x=121.（2）解:因为（5x+2）3=125，所以5x+2=，所以5x+2=5，所以x=3/5（3）解:因为x-1=23，所以x-1=8，所以x=9.5.x=1/3，y=5/6，（x-y）2=1/4，算术平方根为1/2.6.解：a＝1，b＝7.7. |a－b|+|b－c|-|c－a|=a－b+b－c+c－a=0.9. 1/3 10. 3，1612.由题意得： AB＝-1，因为AC=AB，所以AC=-1.所以x＝1-（-1）＝2-.提高训练题1.比较－和－的大小.2.比较8与的大小.3.比较3-2与4-5的大小.4.比较的大小.5.比较下列各数的大小：6.比较的大小.7.比较的大小.8. 比较2a2+4a+5和a2+4a+5的大小.9. 一个数的平方根是a＋1和a+3，求这个数.10. 一个数的平方根是，求这个数.11.已知3a－1的平方根是±2，2a＋b－1的算术平方根是3，求a、b的值.12.如果A＝为a＋3b的算术平方根，B＝为a2-1的立方根，求A+B的立方根和平方根.13.下列说法中正确的是（）.A.带根号的数是无理数B.无限小数都是无理数C.无理数都是开方开不尽的数D.无理数都是无限小数14.下列说法：①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③有理数都是有限小数；④不带根号的数都是有理数；⑤实数有正实数与负实数两种；⑥实数和数轴上的点是一一对应的；⑦在实数中，不是无理数，就是有理数.其中正确的有（）.A.2个B.3个C.4个D.5个答案8. 2a2+4a+5≥a2+4a+5.9. 1 10. 312. 1；±1（提示：a+3b＝1，1-a2＝0）. 13. D 14. B强化训练题1. 已知（x－2）2＝，求x的值.2. 已知（x－3）2＝，求x的值.3. 已知（x－1）2＝（b≤a<10），求x的值.4. 比较实数的大小.5. 下列数中哪些是有理数？哪些是无理数？6.（1-）3的立方根是多少？7.化简式子:8.实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么|a－b|－化简的结果是多少？9.实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么|a+b|+化简的结果是多少？10.如图，在坐标系中的四边形ABCD是正方形，其中点A、B的坐标分别为（－，）、（－，－），求点C和D的坐标.答案1. 2±2. 5或13. 1或1±（提示：a＝b＝0或a＝8，b＝4）4. 当0＜a＜1时，；当a≥1时，5. 有理数：-5.2，，10，-10.3，0.121121121…，无理数：，0.10100100016. -17. 48. 09. 010. C（，－），D（，）综合训练题一、精心选一选（每题2分，共24分）1. 下列语句正确的是（）A. 16的平方根是4B. －16的平方根是±3C. 一个数的平方等于25，则这个数一定是5D. －8是一个数的平方根，这个数一定是642. 若成立，则a是一个（）A. 有理数B. 正实数C. 负实数D. 非正实数3. 下列各组数的比较，错误的是（）4. 若=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在（）.A. 原点左侧B. 原点右侧C. 原点或原点左侧D. 原点或原点右侧5. 在实数范围内，下列判断正确的是（）6. 若a<0，b>0，化简等于（）7. 下列各式运算结果正确的是（）8. 若a、b、c是△ABC的三边，则化简得（）A. 2a＋2bB. 2b－2aC. －2cD. 09.下列命题正确的是（）.A.在实数中没有绝对值最小的数B.最小的实数是0C.64的立方根是±4D.当a－|a|＝0时，a为非负数10.对于任何一个实数，总可以进行（）.A.开平方运算B.开立方运算C.取倒数运算D.以上答案都不对11.m为实数，则m等于（）.A.3B.2C.3或－2D.以上都不对12.一个自然数a的算术平方根为x，则a＋1的立方根是（）.二、用心填一填（每空2分，共40分）1.的相反数是，绝对值是 .2. 点A在数轴上和原点距离个单位，点B在数轴上和原点距离2个单位，则A、B两点之间的距离为 .3. 化简：4. 大于－而小于－的整数有 .5. 写出两个你比较喜欢的无理数，使它们的和为0： .6. 计算7. 若矩形的长，宽分别为则矩形的面积为 .8.在实数范围内a 时，有意义；a 时，有意义；当a 时，+有意义，它的值是 .9.在数轴上与表示－5的点距离3个单位长度点所表示的数是 .10.写出一个无理数，使它与的积是一个有理数： .11.若12+x是225的算术平方根的相反数，则x的立方根是 .12.数轴上表示的点与表示-的点间的线段长等于 .三、细心算一算（本题共56分）1. 化简（共6分）2. 计算下列各题（共8分）（保留三个有效数字）3. 如图，在图中填上适当的数，使每一行，每一列，每一对角线上的三个数的和为0.（6分）4.已知在平面直角坐标系中，A（－1，2）、B（－2，0）、C（，0），请你求出三角形ABC的面积.（6分）5. 根据爱因斯坦的相对论，当地球上过去1s时，宇宙飞船内只经过s（公式内的c指光速：3×105km/s，v指宇宙飞船的速度）.假定有一对25岁和28岁的亲兄弟，哥哥乘坐以光速98％的速度飞行的宇宙飞船，做了5年科学考察后回到地球，这个5年指地面上的5年，所以弟弟的年龄已是30岁.请你用上述公式推导一下，哥哥在这段时间内长了几岁？此时哥哥的年龄是多少？（6分）6. 如图，平面上有四个点，它们的坐标分别是A（2，－2）、B（5，－2）、C（5，－）、D（2，－）.（1）顺次连接A、B、C、D，围成的四边形是什么图形？（2）求这个四边形的面积是多少？（3）将这个四边形向上平移个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？（8分）7. 如图，由4个图2中的小正方形拼成了图1中的大正方形，根据拼图的启示解决下列问题.（8分）8. 某位老师在讲“实数”时，画了一个图，即以“数轴的单位长线段为边作一个正方形，然后以O为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧交x轴上一点A ”，作这样的图是用来说明 .（2分）（1） A点表示的数x是，x2－4＝ . （2分）（2）试比较x与1.4的大小.（2分）（3）动手试一试，你能用类似的方法在数轴上找出表示的点吗？（2分）答案一、精心选一选1.D2.D3.C4.C5.D6.C7.B 8.B 9.D 10.B 11.C 12.D二、用心填一填5. 这是一道开放性试题，我们要选择两个互为相反数的无理数，如=×2=1.8. ≤1；≥1；＝1，09. -8或-2 10. （符合题意即可）11. -3 12. 2三、细心算一算1. 解：2. 解：（1） 180（2）－8（3） 0.2 （4） -0.577.3.解：4. 2+5.解：地球上经过1s 时，宇宙飞船内只经过了≈0.2s.因此地球上经过5年，宇宙飞船上只经过了0.2×5＝1年.因此哥哥在这段时间内长了1岁，此时哥哥的年龄为29岁.6. 解：（1）围成的四边形ABCD是长方形.（2）3（3）A（2，－），B（5，－），C（5，0），D（2，0）7. 解：（1）小正方形的边长为，大正方形的边长为，而大正方形的边长等于小正方形边长的2倍，因此＋＝3；（2）按照以上思路，面积为8的正方形的边长为，面积为32的正方形的边长为，因此＋＝3＝6；8. 解：实数与数轴上的点一一对应（1），－2（2） x>1.4（3）可以利用类似的方法在数轴上找出表示、的点，方法如下：第21页。
2024八年级数学上册期末复习2实数1考点梳理与达标训练习题课件新版北师大版
D. ±4
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)
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6. 下列命题是真命题的是(
A
)
A. 如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一
定是0
B. 如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定
是1
C. 如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定
是0
D. 如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个
期末提分练案
复习2
1
实数
考点梳理与达标训练
CONTENTS
目
录
01
考点梳理
02
达标训练
1. 无理数：无限
不循环
小数叫做无理数.
2. 算术平方根和平方根：一般地，如果一个正数 x 的平
方等于 a ，即 x 2 ＝ a ，那么这个正数 x 就叫做 a
的
算术平方根
.如果一个数 x 的平方等于 a ，即
上自由下落的时间是5 s.
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14. (10分)[教材P26例2变式]物体自由下落的高度 h (m)和下
落时间 t (s)的关系：在地球上大约是 h ＝4.9 t2，在月球
上大约是 h ＝0.8 t2.当 h ＝20时：
(2)物体在哪里下落得快？
解：(2)因为2 s＜5 s，
的平方根是(
A
)
A.
±
B.
八年级实数所有知识点归纳总结
八年级实数所有知识点归纳总结在八年级数学中，实数是一个非常重要的内容。
实数包括有理数和无理数，是数轴上的全部点。
对于实数的学习，我们需要了解实数的性质、运算规则以及实数的表示方法等知识点。
在本文中，我们将对八年级实数相关的知识点进行归纳总结。
一、实数及其分类实数是可以用小数或分数表示的有理数和不能用分数形式表示的无理数的统称。
实数可以根据其性质分为有理数和无理数两类。
1. 有理数有理数是可以表示为两个整数的比值形式的数，包括正整数、负整数、零以及分数形式的数。
- 正整数：例如 1、2、3，它们在数轴上位于原点右侧。
- 负整数：例如 -1、-2、-3，它们在数轴上位于原点左侧。
- 0：位于原点上的数。
- 分数形式的数：例如 1/2、3/4，可以用两个整数的比值表示。
2. 无理数无理数是不能表示为两个整数的比值形式的数，它们包括无限不循环小数和根号形式的数。
- 无限不循环小数：例如π、√2，它们的小数部分是无限不循环的。
- 根号形式的数：例如√3、√5，它们的根号表示形式是无法化简的。
二、实数的大小比较在实数中，我们可以通过数轴来进行实数的大小比较。
对于两个实数的大小关系，可以通过以下规则判断：1. 正数之间的大小比较：数值大的正数大于数值小的正数。
2. 负数之间的大小比较：数值大的负数小于数值小的负数。
3. 正数与负数之间的比较：正数大于负数，且绝对值大的负数小于绝对值小的正数。
4. 零与其他数的比较：零小于任何正数，零大于任何负数。
三、实数的运算规则实数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面我们分别来看每种运算的规则：1. 加法规则：- 相同符号的实数相加，取绝对值相加，并保留它们的原有符号。
- 不同符号的实数相加，取绝对值较大的数，然后减去绝对值较小的数，并保留绝对值较大的数的符号。
2. 减法规则：将减号转化为加一个负数的运算，根据加法规则进行运算。
3. 乘法规则：- 同号相乘，结果为正数。
- 异号相乘，结果为负数。
八年级下册实数知识点
八年级下册实数知识点实数，是指可以表示为有限或无限小数的数，包括有理数和无理数。
一、有理数有理数是可以表示为 p/q（q≠0）的数，其中 p、q 都是整数。
其中，p 表示分子，q 表示分母。
有理数可以分为两类：正数和负数。
其中，0 既不是正数也不是负数。
有理数的四则运算：1. 加法：a+b=c，c 的值为 a 和 b 的和。
2. 减法：a-b=c，c 的值为 a 和 b 的差。
3. 乘法：a×b=c，c 的值为 a 和 b 的积。
4. 除法：a÷b=c，c 的值为 a 和 b 的商（b≠0）。
二、无理数无理数是不能表示为 p/q（q≠0）的数，其中 p、q 都是整数。
无理数包括两类：代数无理数和超越无理数。
1. 代数无理数：是某个整系数多项式的根，它们可以表示成a+b√c（a、b、c为有理数，且c不是完全平方数）的形式。
其中，√c 表示 c 的非负平方根。
2. 超越无理数：不能表示为a+b√c 的形式，其中 a、b、c 为有理数，且 c 不是完全平方数。
三、实数的表示形式1. 小数：实数可以表示为有限小数和无限小数。
2. 分数：实数可以表示为整数和分数的混合数。
3. 开方：实数可以表示为根号下一个数的形式。
4. 指数：实数可以表示为 a 的 n 次方的形式。
四、实数的大小关系1. 正整数整体比任意两个相同的正分数之间的大小要大。
2. 两个正数相乘，其积大于等于这两个正数的算术平均数的平方。
3. 两个正数相加，其和大于等于两倍这两个正数的几何平均数。
四、实数的绝对值一个实数的绝对值，表示这个实数到原点的距离，若这个实数为正数，则其绝对值与本身相等；若为负数，则其绝对值与其相反数相等。
绝对值的计算公式：|a| = a，当 a>0 时；|a| = -a，当 a<0 时。
五、实数的科学计数法科学计数法是一种用于表示较大或较小的数的方法。
使用科学计数法时，把一个数表示成定点小数形式（x.xxxxx…），再乘以一个基数（b 的 k 次方），其中，b 为大于 1 且不等于 10 的实数，k 为整数。
八年级数学实数复习 共33页
体现了_数__形__结__合_的思想方法．
二、实数的基本概念 三.相反数 只有符号不同的两个数，其中一个
是另一个的相反数。
1）数a的相反数是-a （a是任意一个实数）；
2）0的相反数是0.
3）若a、b互为相反数 <====> a+b=0.
-4
4
-2 2
第1章 实数
复习内容： 一、实数的分类 二、有理数的有关概念
1、负数 2、数轴 3、相反数 4、倒数 5、绝对值
6、近似数和有效数字 7、科学记数法
8、方根
9、三种重要的非负性 三.实数 1、有关平方根和立方根 2、实数的运算 3、实数的比较大小 4、数字规律探究
5、零指数，负整指数
要点、考点聚焦 一、实数的分类：
(4)、三角函数型：tan60°，念
一.负数：在正数前面加“—”的数；
1、判断：0既不是正数，也不是负数。
1）a一定是正数；
（× ）
2）－a一定是负数；
（× ）
3）－（－a）一定大于0； （ × ）
4）0是正整数。
（× ）
2、（1）如果零上5℃记作5℃，则零下2℃记作_____
注意：绝对值的化简，应先 判断符号内的数或式子的值 是正、负、或0，然后再根据 定义把绝对值的符号去掉。
已 知 xa(a0),求 x时 ， 注 意 xa。
即 绝 对 值 的 原 数 是 双 值 性 。
1、已知数轴上的Ａ点所表示的数是２，那么在数 轴上到Ａ点的距离是３的点所表示的数有（B） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个
-4 -3 –2 –1 0 1 2 3 4
在数轴上表示相反数的两点以_原__点__对称。
初二数学实数知识点
孔子简介及作品孔子虽为诸子之一，但“祖述尧舜，宪章文武”，本是中华文化的集大成者。
接下来店铺为你整理了孔子简介及作品，一起来看看吧。
孔子的个人简介孔子，春秋后期鲁国人。
他的祖先是宋国贵族，大约在孔子前几世就没落了。
公元前551年9月28日申时(夏历八月二十七日，即庚戌年戊子月庚子日甲申时)生于鲁国陬邑昌平乡(今山东省曲阜市东南的鲁源村);公元前479年4月11日(农历二月十一日)逝世，葬于曲阜城北泗水之上，即今日孔林所在地。
因父母曾为生子而祷于尼丘山，故名丘。
孔子年轻时做过几任小官，但他一生大部分时间都是从事教育，相传所收弟子多达三千人，贤人72，教出不少有知识有才能的学生。
因父母曾为生子而祷于尼丘山，故名丘，曾修《诗》、《书》，定《礼》、《乐》，序《周易》，作《春秋》。
孔子的思想及学说对后世产生了极其深远的影响。
国家夏商周断代工程、中华文明探源工程首席科学家专家组组长李学勤先生指出：孔子不仅开创了儒学，也确实开创了易学。
关于儒学与易学的关系，马王堆帛书易《要》篇说“得一易以群毕”，意为“《诗》、《书》、《礼》、《乐》的精华都浓缩在《周易》的损益之道里”了，《易经》自然成为“群经之首”;《童子问易》还提出易经揭示了事物构成的阴阳本质，研究对象涵盖天极、地极、人极三极，即三极之道，采用人道与天道地道相会通、适时之变的方法论。
整个《易传》(“十翼”)就是孔子定制的与天地宇宙同形同构的太极——乾坤模型(“《易》与天地准”)，用乾坤的开合启闭来揭示宇宙运行的节律和运行机制，故能“弥纶”天、地、人三极之道。
所谓“极”就是“原(源)”，这样《易经》便又成了大道之原(原)。
孔子的个人作品诗选去鲁歌彼妇之口，可以出走。
披妇之谒，可以死败。
盖优哉游哉，维以卒岁。
蟪蛄歌违山十里，蟪蛄之声，犹尚在耳。
龟山操予欲望鲁兮，龟山蔽之。
手无斧柯，奈龟山何!琴操(《琴操》，古琴曲集，传为东汉蔡邕辑。
)季桓子受齐女乐，孔子欲谏不得，退而望鲁龟山作歌，喻季之蔽鲁也。
八年级数学实数复习经典
（2） 27 的整数部分是
，小数部分是
.
（3）满足 2 x 3 的整数是
（4）绝对值小于 7 的整数是
1
例 4：（ 1） 3
的倒数是 _______，相反数是 _______，绝对值是 _______．
27
（2）2－ 5 的相反数是 ____，绝对值是 ______ ． 2 - 1的相反数是 _ ___，绝对值是 _____．
2
2a 1
a 1 3 a3 ．
第1页 共1页
7、
和
统称为实数 .实数与
一一对应 .
无理数的三种形式： （ 1）
（ 2）
（ 3） 例 1：把下列各数填入相应的集合内，
4 2 ，- 3 9 ，3.1415， 10 ，0.6，0， 3 125 ， ，
3
3
16
， 0.01001000100001 ……， 7.303003
() D．5 个
()
A ． 64
B．一 27
3、下列说法中不正确的是（
）.
C．一 343
D． 343
A.10 的平方根是 ± 10
B.－ 2 是 4 的一个平方根
C. 4 的平方根是 2
9
3
D.0.01 的算术平方根是 0.1
4、若 2x 1 3 1 x 有意义，则 x 的取值范围是
()
1
A．x≥
2
例 2：近似数 1.8 ×10 5精确到
例 3：近似数 3.0 的准确数 a 的取值范围是 __
__ __．
相关练习选做：
1、已知下列各数： 13， ， 0J，一 4， (一 3)2，一 3 ， 3． 14— ，其中有平方根的数的
八年级上册数学实数知识总结
第一章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
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初二（上）数学知识点 姓名
第四章——实数
1、a 的平方根是 ，（其中a ）
2、平方根的性质：
正数有 个平方根，它们 0有有 个平方根，是
负数 （ 的平方根是它本身）
3、a 的算术平方根是 ，（其中a ）
（ 的算术平方根是它本身）
4、公式：()
=2
a
，
（其中a ） =2a ，（其中a ） 5、a 的立方根是 ，（其中a ）
（ 的立方根是它本身） 6、公式：
()
=3
3
a ，
（其中a ） =33a ，（其中a ）
例1：（1）169的平方根是_____，196的算术平方根是_____，125的立方根是_____； （2）144的平方根是_____，364的平方根是_____，64的立方根是____．
例2：化简： 0.64=____，－
12181=_____，310227
=____，()23-=____，()3
37-=____ 例3：如果一个正数的平方根是a ＋3与2a －15，求这个正数．
例4：已知2a －1的平方根是±3，3a ＋b －1的立平方根是3，求a ＋2b 的平方根．
例5：（1）若1x y +-()2
3y ++＝0，则x －y ＝_____
（2）已知32232y x x =-+-+， 则x ＝_____，y ＝_____
例6：求下列各式中的x ．
(1) 4x 2-3＝22 (2) (4x －1)2＝289 (3) 3
1903
x += (4) 3(2)7290x -+= 例7：(1) 2254- (2)33627- (3)9125- （4）0
231(2)83⎛⎫
---+ ⎪⎝⎭
例8：已知数a 在数轴上对应的位置如图所示，化简
()
2
33211a a a -+++．
C
A
B
7、 和 统称为实数.实数与 一一对应. 无理数的三种形式：（1） （2） （3） 例1：把下列各数填入相应的集合内，4
32，-39，3.1415，10，0.6，0，3125-， 3
π，49
16
，0.01001000100001……，7.303003 (1)有理数集合：{ …}(2)无理数集合：{ …} (3)正实数集合：{ …}(4)负实数集合：{ …} 例2：在数轴上找出表示
5的点.
例3：
（1）指出下列各数在哪两个相邻整数之间
① <27< ；② <3+27< ；③ <27－2< ；④ <7－27< ； （2）27的整数部分是 ，小数部分是 . （3）满足32<<-x 的整数是 （4）绝对值小于7的整数是
例4：（1）31
27
-
的倒数是_______，相反数是_______，绝对值是_______． （2）2－5的相反数是____，绝对值是______．21的相反数是_ ___，绝对值是_____．
（3）5-30 ，3-6
， =-π3 ，3
.
例5：比较下列各组数的大小：
（1）23 32 （2）82
56 （3）37 2
例6：如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的实数为 （ ）
A ．2－1
B ．1－2
C ．2－2
D ．2－2 例7：计算：
(1)()1201311612-⎛⎫
-+- ⎪⎝⎭
；(2)；(3)-1
11-2+3-2+-3
0201338(3)(1)|23|π--+-+-
8、近似数
例1: 小明的体重约为51.51 kg ，若精确到10 kg ，其结果为______；
若精确到1 kg ，其结果为______； 若精确到0.1 kg ，其结果为______． 例2：近似数1.8×105精确到
例3：近似数3.0的准确数a 的取值范围是__ __ __．
相关练习选做：
1、已知下列各数：13，π，0J ，一4，(一3)2，一3-，3．14—π，其中有平方根的数的个数是 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
2、如果
4=，那么(a —67)3的值为 ( )
A ．64
B ．一27
C ．一343
D ．343 3、下列说法中不正确的是（ ）.
A.10的平方根是±10
B.－2是4的一个平方根
C.94的平方根是3
2 D.0.01的算术平方根是0.1
43
x 的取值范围是 ( )
A ．x ≥
12 B ．x ≤1 C ．12≤x ≤1 D ．x ≥1
2
或x ≤1 5、如果21a -和5a -是一个数m 的平方根，则.__________,==m a
6、已知a 是小于22a a -=-，那么a 的所有可能的取值是______．
7、已知a ，5b ，求(a+b)2008的值． 8、设m 是5的整数部分，n 是5的小数部分，试求2m －n 的值．
9、已知实数x,y ()2
2350x y --=，求x 一8y 的立方根． 10、3x －9的平方根是0，则x= ；5+2y 的立方根是－3，则y= ． 11、当0＜a ＜1时，化简1-a －2
a = ． 12、写出一个3到4之间的无理数_________．
13、比较下列实数的大小：
14、已知6-a +10)8(2
-+-c b =0，则以a 、b 、c 为三边的三角形形状是 .
15、按要求取近似数：
（1）68.5（精确到10） ； （2）0.43万（精确到千位） ； （3）0.05097（精确到万分位） ； （4）367 000 000 (精确到千万位) .
16、若a 、b 为实数，且37142+-+-=b b a ，求2)(b a -。
17、求x 的值：2
(1)16490x -=； 2
(2)(1)25x -=；3
(3)(2)8x =-； 3
(4)(3)27x --=
18、下图的正方形网格，每个正方形顶点叫格点，
请在图中画一个面积为10的正方形．
19、地球七大洲的总面积约是1494800002km ，如对这个数据精确到百万可表示为_________ 20、中华人民共和国2004年国民经济和社会发展统计公报》发布的数据，2004年我国因洪涝和干旱造成的直接经济损失达97500000000元，用科学记数法表示这一数据为____________元（精确到亿）。
21、在实数-π，
1
3
，|-2
0.808008中，无理数个数为( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
22
1
3
，π，0．57．0．585 885 888 588 885…(相邻两个5
之间的8的个数逐次增加1)中，无理数的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5。