(新课标大纲解读)高考数学 重点 难点 核心考点全演练 专题15 二项式定理及数学归纳法

专题15 二项式定理及数学归纳法

2014高考对本内容的考查主要有：

(1) 二项式定理的简单应用，B级要求；

(2)数学归纳法的简单应用，B级要求

1．二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n，上式中右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中C r n(r＝1,2,3，…，n)叫做二项式系数，式中第r＋1项叫做展开式的通项，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r；

(2)(a＋b)n展开式中二项式系数C r n(r＝1,2,3，…，n)的性质：

①与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C r n＝C n－r

n；

②C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝2n－1.

2．二项式定理的应用

(1)求二项式定理中相关系数的和通常用“赋值法”．

(2)二项式展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，而不是第r项．

3．数学归纳法

使用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就能够断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．4．数学归纳法的应用

(1)利用数学归纳法证明代数恒等式的关键是将式子转化为与归纳假设的结构相同的形式，然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论．

(2)利用数学归纳法证明三角恒等式时，常使用相关的三角知识、三角公式，要掌握三角变换方法．

(3)利用数学归纳法证明不等式问题时，在由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，过去讲的证明不等式的方法在此都可利用．

(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n＝k＋1时的被除式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式整除的形式.

(5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式．

考点1、二项式定理的应用 【例1】已知a n ＝(1＋2)n (n ∈N *

)

(1)若a n ＝a ＋b 2(a ，b ∈Z )，求证：a 是奇数；

(2)求证：对于任意n ∈N *

都存有正整数k ，使得a n ＝k －1＋k .

【变式探究】已知数列{a n }的首项为1，p (x )＝a 1C 0n (1－x )n ＋a 2C 1n x (1－x )

n －1

＋a 3C 2n x 2(1－x )

n －2

＋…＋a n C n －1n x

n －

1

(1－x )＋a n ＋1C n n x n

(1)若数列{a n }是公比为2的等比数列，求p (－1)的值；

(2)若数列{a n }是公比为2的等差数列，求证：p (x )是关于x 的一次多项式．

(2)证明 若数列{a n }是公差为2的等差数列，则a n ＝2n －1.

p (x )＝a 1C 0n (1－x )n ＋a 2C 1n x (1－x )

n －1＋…＋a n C n －1n x n －1·(1－x )＋a n ＋1C n n x n

＝C 0n (1－x )n ＋(1＋2)C 1n x (1－x )n －1

＋(1＋4)C 2n x 2(1－x )

n －2

＋…＋(1＋2n )C n n x n

＝[C 0

n (1－x )n ＋C1n x (1－x )

n －1

＋C 2n x 2

(1－x )

n －2

＋…＋C n n x n ]＋2[C 1

n x (1－x )

n －1

＋2C 2n x 2(1－x )

n －2

＋…＋C n n x n

]．

考点2、数学归纳法的应用

【例2】记⎝ ⎛

⎭⎪⎫1＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 22…⎝ ⎛⎭⎪⎫

1＋x 2n 的展开式中，x 的系数为a n ，x 2的系数为b n ，其中n ∈N *

.

(1)求a n ；

(2)是否存有常数p ，q (p ＜q )，使b n ＝13⎝

⎛⎭⎪⎫1＋p 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋q 2n ，对n ∈N *

，n ≥2恒成立？证明你的结论．

【方法技巧】 使用数学归纳法证明命题P (n )，由P (k )成立推证P (k ＋1)成立，一定要用到条件P (k )，否则不是数学归纳法证题．

【变式探究】已知△ABC 的三边长都是有理数． (1)求证：cos A 是有理数；

(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数．

1．求证：1＋2＋22

＋…＋25n －1

能被31整除．

【证明】1＋2＋…＋2

5n －1＝25n

－12－1

＝32n

－1＝(31＋1)n

－1 ＝31n ＋C 1n ·31n －1

＋…＋C n －1n ·31＋C n

n －1

＝31n

＋C 1

n ·31n －1

＋…＋C n －1

n ·31

＝31·(31

n －1

＋C 1

n ·31

n －2

＋…＋C n －1

n )，