利用函数的凹凸性证明不等式
利用函数凹凸性质证明不等式
利用函数的凹凸性质证明不等式内蒙古包头市第一中学 张巧霞摘要：本文主要利用函数的凹凸性来推导和证明几个不等式.首先介绍了凹凸函数的定义，描述了判定一个函数具有凹凸性质的充要条件，并且给出了凸函数的一个重要性质——琴生不等式.通过巧妙构造常见的基本初等函数，利用这些函数的凹凸性推导几个重要不等式，如柯西不等式，均值不等式，柯西赫勒德尔不等式，然后再借助这些函数的凹凸性及其推导出来的重要不等式证明一些初等不等式和函数不等式. 关键词：凸函数；凹函数；不等式.一． 引言在数学分析和高等数学中，利用导数来讨论函数的性态时，经常会遇到一类特殊的函数——凹凸函数.凹凸函数具有一些特殊的性质，对于某些不等式的证明问题如果灵活地运用函数的凹凸性质就可以简洁巧妙地得到证明.二． 凹凸函数的定义及判定定理(1)定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数，若对于I 上的任意两点21,x x 及实数()1,0∈λ总有()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≤-+则称)(x f 为I 上的凸函数（下凸函数）；反之，如果总有不等式()()()()21211)1(x f x f x x f λλλλ-+≥-+则称)(x f 为I 上的凹函数（上凸函数）.特别地，取21=λ，则有()()().2)2(2121x f x f x x f +≥≤+ 若上述中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数或严格凹函数.（2）判定定理 若函数)(x f 在区间 I 上是二阶可微的，则函数)(x f 是凸函数的充要条件是0)("≥x f ，函数)(x f 是凹函数的冲要条件是.0)("≤x f三．关于凸函数的一个重要不等式——琴生不等式设)(x f 是定义在区间I 上的一个凸函数，则对()1,0,,,2,1,1=≥=∈∀∑=ni ii i n i I x λλ 有().)(11i ni i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ特别地，当(),,,2,11n i ni ==λ有 ()()().2)2(2121n n x f x f x f x x x f +++≤+++琴生不等式是凸函数的一个重要性质，因为每个凸函数都有一个琴生不等式，因此它在一些不等式的证明中有着广泛的应用.四． 应用凸函数和琴生不等式证明几个重要不等式.（1）（调和——几何——算术平均不等式） 设(),,,2,1,0n i a i =≥则有naa a nni inn i i ni i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤11111当且仅当n a a a === 21时，等号成立.证明 设,ln )(x x f -=因为(),,0,01)("2+∞∈>=x xx f 所以)(x f 是()+∞,0上的凸函数，那么就有().)(11ini iin i i x f x f ∑∑==≤λλ现取(),,,2,1,1,n i na x i i i ===λ 则有 (),ln ln 11ln 1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===n i n i i n i n i i a a n a n 得 ,ln 1ln 111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫⎝⎛∏∑==n i n i n i i a a n由x ln 的递增性可得nni i i n i a a n 1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∏∑== （1） 同理，我们取01>=ii a x ，就有,1ln 1ln 111ln 1111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏∑∑===ni n i i n i n i i a a n an 即nni i ni i a a n1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∏∑== （2） 由（1），（2）两式可得naa a nni inn i i ni i ∑∏∑===≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤11111（2）柯西——赫勒德尔不等式qni q i pn i p i i n i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 其中()n i b a i i ,,2,1,, =是正数，又,1,0≠>p p p 与q 共轭，即111=+qp . 证明 首先构造函数()1,>=p x x f p 时，()()0,0">>x x f 所以()px x f =是()+∞,0上的凸函数，则有pi ni i pn i i i i ni i x x x f ∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=111)(λλλ 令 ,1∑==ni iii pp λ这里()n i p i ,,2,1,0 =>，则 ∑∑∑∑====≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ni ini p ii pni i ni ii pxp p x p 1111即 1111-===⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑p ni i n i p i i pn i i i p x p x p由题设知111=+qp ，得1-=p pq ，所以 qni i pni p i i n i i i p x p x p 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫⎝⎛∑∑∑===， 现取qi i i pi i p b x p a 11,==，()n i ,,2,1 = 则pi p i i i i qii pi i i a x p x p p x p b a ===,11，代入上式得qni q i pni p i i n i i b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑=== 命题得证.在柯西赫勒德尔不等式中，若令2==q p 时，即得到著名的不等式——柯西不等式211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===ni i ni i i n i i b a b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===n i i n i i i ni i b a b a 121221)(这里()n i b a i i ,,2,1,, =为两组正实数，当且仅当i i b a =时等号成立.五．凸函数及重要不等式在证明初等不等式和函数不等式中的应用.例1.求证在圆的内接n 边形中，以正变形的面积最大.证明 设圆的半径为r ，内接n 边形的面积为S ，各边所对的圆心角分别为n θθθ,,,21 ，则(),sin sin sin 21212n r S θθθ+++=因为()0sin "<-=x x f ， 所以()x x f sin =是[]π,0上的凹函数，由琴生不等式可得().1)(11i ni ni if nn f θθ∑∑==≥ 即 nnni ini i∑∑-=≥11s i ns i nθθnn ni i πθ2sinsin 1≤∑= 上式只有在n θθθ=== 21时等号才成立，也即正n 边形的面积最大.特别地，若A,B,C 为三角形的三个内角时，由上式可得323sin sin sin =++C B A . 例2 求证对任意的0,0>>y x ，下面的不等式2ln )(ln ln yx y x y y x x ++≥+成立.证明 我们根据所要证明的不等式构造相应的函数，令()0,ln >=t t t t f ，因().01">=tt f 故()t t t f ln =是()+∞,0上的凸函数， 所以有()()(),,0,,22+∞∈∀+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y f x f y x f 即(),ln ln 212ln 2y y x x y x y x +≤++ (),ln ln 2ln )(y y x x yx y x +≤++所以在利用凸函数证明不等式时，关键是如何巧妙地构造出能够解决问题的函数，然后列出琴生不等式就可以简洁，巧妙地得到证明.例3 设i i i i d c b a ,,,都是正实数，证明∑∑∑∑∑=====≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i n i i n i i i i i d c b a d c b a 1414141441.分析 本题所要证明的结论看上去接近于柯西不等式，但是这里是4次方的情形，所以想办法将其变成标准形式。
函数的凹凸性在不等式证明中的应用
函数的凹凸性在不等式证明中的应用函数的凹凸性是高等数学中的一个重要概念，它描述了函数图像的形状。
具体来说，如果函数的图像在一些区间上是向上凸起的，我们称之为凸函数；如果函数的图像在一些区间上是向下凹陷的，我们称之为凹函数。
在不等式证明中，函数的凹凸性具有很重要的应用。
首先，函数的凹凸性可以帮助我们证明不等式的性质。
假设我们要证明一个不等式，例如a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
我们可以考虑定义函数f(x) = x²，则f(x)是一个凸函数。
由凸函数性质可知，对于任意的实数x₁、x₂，有f(λx₁ + (1 - λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1 -λ)f(x₂)，其中0 ≤ λ ≤ 1、将x₁ = a，x₂ = b代入上述不等式，可得2ab ≤ a² + b²。
再将a² + b²除以2，即可得到a + b ≥ 2√(ab)。
因此，通过证明函数的凹凸性，我们可以得到不等式的性质。
其次，函数的凹凸性还可以帮助我们求解优化问题。
假设我们要在非负实数集合中找到满足一些条件的最大值或最小值。
我们可以先通过求导得到函数的极值点，然后通过函数的凹凸性判断这个极值点是最大值还是最小值。
具体来说，如果函数是凸函数，那么极值点就是最小值；如果函数是凹函数，那么极值点就是最大值。
通过函数的凹凸性，我们可以在优化问题中确定最优解。
此外，函数的凹凸性还可以帮助我们证明不等式的反面。
例如，我们要证明a + b ≥ 2√(ab)，其中a、b为非负实数。
假设我们采用反证法，假设不等式不成立，即a + b < 2√(ab)。
我们可以定义函数f(x) = x - 2√(x)，其中x为非负实数。
我们可以证明函数f(x)是一个凹函数，然后通过证明f(a) + f(b) < 0，来推出假设的不等式不成立。
通过函数的凹凸性，我们可以证明不等式的反面。
总的来说，函数的凹凸性在不等式证明中具有重要的应用。
凹凸性与积分不等式
凹凸性与积分不等式利用函数的凹凸性证明不等式是不等式证明中的一个重要方法，本论文通过选择适当的例题总结出如何利用函数的凹凸性来证明不等式的一般方法与思路。
引言在数学中我们所遇到的不等式已经很多，且个别的不等式证明比较复杂，而不等式的证明方法是我们必须掌握的一个重要部分。
不等式的证明方法有很多种，其中利用函数的凹凸性证明不等式的方法是数学研究中常用的，也是我们重点要掌握的方法。
本文将通过具体的例题详细地总结归纳出如何利用函数的凹凸性证明不等式的具体方法、步骤及思路。
定义：设函数f(x)为定义在区间I上的函数，若对I上任意两点x1、x2和任意实数λ∈(0，1)总有：f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凸函数，反之，如果总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凹函数。
凸函数的特征引理：f为I上的凸函数对于I上任意三点总有x1＜x2＜x3：f(x2)-(x1)/x2-x1≤f(x3)-(x2)/x3-x2严格凸函数上式严格不等式成立。
证明见文献[1].定理3 设为f(x)区间l上的可导函数，则以下论断等价：1.f(x)为l上的凸函数；2.f(x)为l上的增函数；3.对l上的任意两点x1，x2，有f(x2)≥(x1)+f′(x1)(x2-x1)。
定理4 设f为区间l上的二阶可导函数，则在l上f为凸（凹）函数的的充要条件是f″(x)≥0(f″(x)≤0)，x∈l。
证明：f″(x)≥0、f′(x)为增函数，f(x)为l上的增函数f(x)为l上的凸函数(根据定理3)，同理f为l上的凹函数f″(x)≤0。
詹森(Jensen)不等式：若f为［a，b］上的凸函数，则对任意的x2∈［a，b］，λ2∈(1，2…n)，∑λ2=1有f(∑λ2x2)≤∑λ2(f2)；若f为严格凸函数，不全相等，x2(ī=1，2…n)则上式严格不等式成立。
证明见文献[1]。
凹凸反转证明导数不等式
凹凸反转证明导数不等式在微积分中，导数是一个非常重要的概念。
它表示了函数在某一点上的变化率。
而导数不等式则是指导数在某一区间上的性质，可以帮助我们判断函数在该区间上的增减情况。
本文将通过凹凸反转的方法来证明导数不等式。
我们来定义一下什么是凹函数和凸函数。
在数学中，一个函数被称为凹函数，如果它的图像位于其切线的下方。
而一个函数被称为凸函数，如果它的图像位于其切线的上方。
这两个概念是导数不等式证明中的重要基础。
假设有一个函数f(x)，我们想要证明它在某一区间上是单调递增的。
首先，我们需要证明它在该区间上是凹函数。
我们可以通过证明它的二阶导数大于等于零来得到结论。
假设f''(x)≥0，根据凹函数的定义，我们可以得出f(x)是凹函数。
接下来，我们考虑函数g(x)=-f(x)，即f(x)的相反数。
我们可以证明g(x)是凸函数。
同样地，我们可以通过证明g''(x)≥0来得出结论。
由于g(x)为f(x)的相反数，所以g''(x)=-f''(x)≥0。
根据凸函数的定义，我们可以得出g(x)是凸函数。
现在，我们来观察f(x)和g(x)在同一区间上的关系。
由于f(x)是凹函数，而g(x)是凸函数，所以它们的图像一定相交于某一点P。
在点P处，f(x)的导数和g(x)的导数相等，即f'(x)=g'(x)。
我们可以根据这个等式来推导导数不等式。
假设在点P的左侧，f'(x)>g'(x)，即f'(x)-g'(x)>0。
根据导数的定义，f'(x)-g'(x)表示函数f(x)和g(x)在该点的斜率之差。
由于f'(x)是f(x)的斜率，而g'(x)是g(x)的斜率，所以这个差值表示了两个函数的斜率的差异。
如果f'(x)-g'(x)>0，那么f(x)的斜率一定大于g(x)的斜率。
函数的凹凸性在不等式证明中的应用
学年论文题目凹凸函数及其在证明不等式中的应用学院数学与计算机科学学院专业数学与应用数学级别 10级姓名洪玉茹学号 101301040摘 要 首先给出了凸函数的定义，．接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen 不等式．通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．关键词 凸函数，凸函数判定定理Jensen 不等式。
下面我们主要研究凸函数，凹函数由读者自行探索。
一、 凸函数的等价定义定义1 若函数()f x 对于区间(,)a b 的任意12,x x 以及(0,1)λ∈，恒有[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间的 线总在曲线之上．定义2 若函数()f x 在区间(,)a b 连续，对于区间(,)a b 的任意12,x x ，恒有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．定义3 若函数()f x 在区间(,)a b 可微，且对于区间(,)a b 的任意x 及0x ，恒有000()()()()f x f x f x x x '≥+-，则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．定义4 设()f x 在区间I 上有定义, ()f x 在区间I 称为是凸函数当且仅当：1,2,...,n x x x I ∀∈,有1212......()()......().nn x x x f x f x f x f n n +++++⎛⎫≤⎪⎝⎭则称该函数为凸函数。
函数凹凸性在不等式中的应用
(下转第54页)函数凹凸性在不等式中的应用李国成郭铁卫(杭州科技职业技术学院浙江·杭州310012)中图分类号：G633.66文献标识码：A 文章编号：1672-7894（2013）15-0052-02摘要函数凹凸性是一种重要的几何性质，函数的凹凸性也是高等数学的一个基本内容。
函数的凹凸性是证明比较复杂不等式和构造不等式的有力工具。
文章给出了函数凹凸性的定义以及判别方法，进一步探讨了函数凹凸性在证明不等式和构造不等式中的具体应用。
关键词函数凹凸性不等式的研究Jensen 不等式On the Application of Concavity and Convexity of Func 鄄tions to Inequality //Li Guocheng,Guo Tiewei Abstract The concavity and convexity of function is an important geometric properties,the concavity and convexity of functions is a basic content of higher maths.The concavity and convexity offunctions is proved more complex structural inequality inequality and powerful tool.The article gives the concavity of a functiondefinition and discrimination method.To further explore the con-vex function in the proof of inequality and structural inequality in specific applications.Key words concavity and convexity of functions;study of in-equality;Jensen's inequality 不等式是数学中非常重要且值得探讨的问题，不等式的证明问题需要多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现。
利用凹凸函数证明不等式
利用凹凸函数证明不等式凹凸函数在数学中是一类非常特殊的函数，它是用有极大重要意义的。
凹凸函数定义为：当不等式有复数解时，存在符合凹凸函数定义的函数，它可以将不等式转化为一个凸空间，并且以动态平衡的方式证明不等式。
本文将重点介绍如何利用凹凸函数证明不等式。
第二段：凹凸函数的核心思想是利用不等式来构建一个凸凹空间，通过不断对不等式内变量的取值范围的变换，使得凸凹空间内的元素按照一定的规律动态地平衡。
凹凸函数的特点在于，它使得不等式的解可以通过函数的平衡状态被求出。
换句话说，不等式的解可以被凹凸函数所描述，而这种描述法可以很好地证明不等式。
第三段：具体到如何利用凹凸函数证明不等式，我们首先利用凹凸函数将不等式转换成凸空间。
把不等式中的变量代入凹凸函数，得到一个凸凹平衡的函数，并且确定该函数的最大值和最小值的取值之间的范围。
如果不等式是有复数解的，那么就可以得出不等式的解；如果不等式是无解的，则可以通过对函数作减小变量值的取值范围来确定它是无解的。
第四段：除了上述方法外，还可以用重新定义空间的方法证明不等式。
首先，将不等式中的变量作为新定义的空间的坐标，然后用凹凸函数来构造新定义的空间，以及新定义的空间的凹凸平衡性。
在此基础上，若不等式有复解，则可以通过对凹凸函数作减小变量值的取值范围来确定复数解；若不等式是无解的，则可以通过找出不等式解空间的最小取值和最大取值，以及找出变量的取值范围，来证明不等式是无解的。
第五段：凹凸函数是一种极为重要的数学技术，它可以用来证明不等式，并且可以更有效地求出不等式的解。
凹凸函数的使用技巧有很多，但是最重要的是要理解凹凸函数的核心思想，以及如何利用它来证明不等式。
只有当理解了这一点，才能够明确凹凸函数在证明不等式上的重要作用。
第六段：综上所述，凹凸函数对证明不等式具有重要作用，它可以使我们更加清晰地求出不等式的解。
它的使用技巧也有很多，如将不等式变换成凸空间，以及使用重新定义空间的方法。
利用函数的凹凸性证明不等式
利用函数的凹凸性证明不等式使用函数的凹凸性证明不等式的方法，通常分为以下三个步骤：1.确定使用的函数是凸函数还是凹函数，以及其定义域。
2.利用函数的凹凸性得出基本不等式或者推导得到不等式。
3.根据不等式左右两边的定义域，进一步讨论如何得出不等式的证明。
以下是一个示例：要证明不等式$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$。
1.确定使用的函数是凸函数还是凹函数，以及其定义域。
函数$f(x)=x^2$在实数域上是凸函数。
我们可以令$a,b$为实数。
2.利用函数的凹凸性得出基本不等式或者推导得到不等式。
由$f(x)$的凸性可得，对于任意两个实数$a,b$和$\\lambda\\in(0,1)$，有：$$f(\\lambda a+(1-\\lambda)b)\\leq\\lambda f(a)+(1-\\lambda)f(b)$$将$\\lambda$取为$\\dfrac12$，$a,b$代入，得到：$$f\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)\\leq\\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$$即：$$\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)^2\\leq\\dfrac{a^2+b^2} {2}$$化简可得：$$a^2+2ab+b^2\\leq 2a^2+2b^2$$即：$$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$$3.根据不等式左右两边的定义域，进一步讨论如何得出不等式的证明。
由于$a$和$b$都是实数，所以$(a+b)^2$和$2(a^2+b^2)$都存在并且有意义。
因此，不等式成立。
综上所述，我们使用函数的凸性证明了不等式$(a+b)^2\\leq 2(a^2+b^2)$。
大学数学习题三答案
习题三1． 确定下列函数的单调区间： (1) 3226187y x x x =---；解：所给函数在定义域(,)-∞+∞内连续、可导，且2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-可得函数的两个驻点：121,3x x =-=,在(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞内，y '分别取+，–，+号，故知函数在(,1],[3,)-∞-+∞内单调增加，在[1,3]-内单调减少. (2) 82 (0)y x x x=+>； 解: 函数有一个间断点0x =在定义域外，在定义域内处处可导，且282y x'=-，则函数有驻点2x =，在部分区间(0,2]内，0y '<；在[2,)+∞内y '>0，故知函数在[2,)+∞内单调增加，而在(0,2]内单调减少.(3) ln(y x =+； 解: 函数定义域为(,)-∞+∞，0y '=>,故函数在(,)-∞+∞上单调增加.(4) 3(1)(1)y x x =-+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,22(1)(21)y x x '=+-，则函数有驻点: 11,2x x =-=,在1(,]2-∞内， 0y '<，函数单调减少；在1[,)2+∞内， 0y '>，函数单调增加.(5) e (0,0)n xy x n n -=>≥； 解: 函数定义域为[0,)+∞，11e e e ()n xn x x n y nxx x n x -----'=-=-函数的驻点为0,x x n ==,在[0,]n 上0y '>，函数单调增加；在[,]n +∞上0y '<，函数单调减少.(6) sin 2y x x =+；解: 函数定义域为(,)-∞+∞,πsin 2, [π,π], ,2πsin 2, [π,π], .2x x x n n n y x x x n n n ⎧+∈+∈⎪⎪=⎨⎪-∈-∈⎪⎩Z Z1) 当π[π,π]2x n n ∈+时， 12cos 2y x '=+，则 1π0cos 2[π,π]23y x x n n '≥⇔≥-⇔∈+；πππ0cos 2[π,π]232y x x n n '≤⇔≤-⇔∈++.2) 当π[π,π]2x n n ∈-时， 12cos 2y x '=-，则1ππ0cos 2[π,π]226y x x n n '≥⇔≤⇔∈--1π0cos 2[π,π]26y x x n n '≤⇔≥⇔∈-.综上所述，函数单调增加区间为πππ[,] ()223k k k z +∈， 函数单调减少区间为ππππ[,] ()2322k k k z ++∈. (7) 54(2)(21)y x x =-+. 解: 函数定义域为(,)-∞+∞.4453345(2)(21)4(2)(21)2(21)(1811)(2)y x x x x x x x '=-++-+⋅=+--函数驻点为123111,,2218x x x =-==, 在1(,]2+∞-内， 0y '>,函数单调增加，在111[,]218-上， 0y '<,函数单调减少，在11[,2]18上， 0y '>,函数单调增加， 在[2,)+∞内， 0y '>,函数单调增加. 故函数的单调区间为: 1(,]2-∞-，111[,]218-，11[,)18+∞. 2. 证明下列不等式:(1) 当π02x <<时， sin tan 2;x x x +> 证明: 令()sin tan 2,f x x x x =--则22(1cos )(cos cos 1)()cos x x x f x x -++'=,当π02x <<时， ()0,()f x f x '>为严格单调增加的函数，故()(0)0f x f >=, 即sin 2tan 2.x x x ->(2) 当01x <<时， 2e sin 1.2xx x -+<+ 证明: 令2()=e sin 12xx f x x -+--,则()=e cos x f x x x -'-+-,()=e sin 1e (sin 1)0x x f x x x --''--=-+<,则()f x '为严格单调减少的函数,故()(0)0f x f ''<=,即()f x 为严格单调减少的函数,从而()(0)0f x f <=,即2e sin 1.2xx x -+<+3. 试证:方程sin x x =只有一个实根.证明:设()sin f x x x =-，则()c o s 10,f x x =-≤()f x 为严格单调减少的函数，因此()f x 至多只有一个实根.而(0)0f =，即0x =为()f x 的一个实根，故()f x 只有一个实根0x =，也就是sin x x =只有一个实根.4. 求下列函数的极值: (1) 223y x x =-+；解: 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 3223y x x =-；解: 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==,126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-. (3) 3226187y x x x =--+；解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+, 令0y '=，得驻点121,3x x =-=.1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-. (4) ln(1)y x x =-+； 解: 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 422y x x =-+；解: 32444(1)y x x x x '=-+=-， 令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==.210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6) y x = 解: 1y '=,令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点.(7)y =；解:y '=,令0y '=，得驻点125x =.当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =(8) 223441x x y x x ++=++；解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++ 200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y -=. (9) e cos x y x =； 解: e (cos sin )x y x x '=-, 令0y '=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±± . 2e sin x y x ''=-，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()2k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()2k k y x +++=-.(10) 1xy x =；解: 11211ln (ln )xx xy x x x x x -''==,令0y '=，得驻点e x =.当e x >时， 0y '<，当e x <时， 0y '>, 故极大值为1e(e)e y =. (11) 2e exxy -=+；解: 2e e x xy -'=-,令0y '=，得驻点ln 22x =-. ln 222e e ,0x x x y y -=-''''=+>,故极小值为ln 2()2y -=(12) 232(1)y x =--； 解: y '=，无驻点. y 的定义域为(,)-∞+∞，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y '<，当x <1时， 0y '>，故有极大值为(1)2y =.(13) 1332(1)y x =-+； 解: y '=无驻点.y 在1x =-处不可导，但y '恒小于0，故y 无极值.(14) tan y x x =+.解: 21sec 0y x '=+>, y 为严格单调增加函数，无极值点.5. 试证明：如果函数32y ax bx cx d =+++满足条件230b ac -<，那么这函数没有极值. 证明：232y ax bx c '=++，令0y '=，得方程2320ax bx c ++=，由于 22(2)4(3)4(3)0b a c b ac ∆=-=-<，那么0y '=无实数根，不满足必要条件，从而y 无极值.6. 试问a 为何值时，函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解：f (x )为可导函数，故在π3x =处取得极值，必有 π3π0()(cos cos3)3x f a x x ='==+，得a =2. 又π3π0()(2sin 3sin 3)3x f x x =''=<=--，所以π3x =是极大值点，极大值为π()3f =7. 求下列函数的最大值、最小值：254(1) (), (,0)f x x x x=-∈-∞； 解：y 的定义域为(,0)-∞，322(27)0x y x +'==，得唯一驻点x =－3 且当(,3]x ∈-∞-时，0y '<，y 单调递减；当[3,0)x ∈-时，0y '>，y 单调递增,因此x =－3为y 的最小值点，最小值为f (－3)=27. 又lim ()x f x →-∞=+∞，故f (x )无最大值.(2) ()[5,1]f x x x =∈-；解：10y '==，在(5,1)-上得唯一驻点34x =，又53,(1)1,(5)544y y y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ , 故函数()f x 在[－5，1]上的最大值为545. 42(3) 82, 13y x x x =-+-≤≤.解：函数在(－1，3)中仅有两个驻点x =0及x =2，而 y (－1)=－5， y (0)=2， y (2)=－14， y (3)=11, 故在[－1，3]上，函数的最大值是11，最小值为－14. 8. 设a 为非零常数，b 为正常数，求y =ax 2+bx 在以0和ba为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：20y ax b '=+=得2b x a =-不可能属于以0和ba为端点的闭区间上, 而 22(0)0,b b y y a a ⎛⎫==⎪⎝⎭,故当a >0时，函数的最大值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为(0)0y =;当a <0时，函数的最大值为(0)0y =，最小值为22b b y a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.9.求数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大的项.解：令1000y x =+,y '=== 令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<,所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为10002000a =.10. 已知a >0，试证：11()11f x x x a=+++-的最大值为21a a ++. 证明： 11,01111(),01111,11x x x a f x x a x x a x a x x a ⎧+<⎪--+⎪⎪=+≤≤⎨+-+⎪⎪+>⎪++-⎩当x <0时，()()2211()011f x x x a '=+>--+;当0<x <a 时，()()2211()11f x x x a '=-++-+;此时令()0f x '=，得驻点2ax =，且422a f a⎛⎫= ⎪+⎝⎭， 当x >a 时，()()2211()011f x x x a '=--<++-,又lim ()0x f x →∞=，且2(0)()1af f a a+==+. 而()f x 的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故 {}max 242(),,0121a af x a a a++==+++. 11. 在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h ,223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=,得.h =时，其体积为最大. 12. 某铁路隧道的截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am 2，问底宽x 为多少时，才能使所用建造材料最省? 解：由题设知21π22x xy a ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭得 21π18π8a x a y x x x -==-截面的周长212112π()2πππ,2424π2()1,4a a l x x y x x x x x x x x al x x=++⋅=+-+=++'=+-令()0l x '=得唯一驻点x =，即为最小值点.即当x =. 13. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB 的何处时，所需电线最短？ 解：所需电线为()(03)()L x x L x =<<'=在0<x <3得唯一驻点x =1.2(km)，即变压器设在输电干线离A 处1.2km 时，所需电线最短. 14. 在边长为a 的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？ 解：设小正方形边长为x 时方盒的容积最大.232222(2)44128V a x x x ax a x V x ax a=-⋅=-+'=-+令0V '=得驻点2a x =(不合题意，舍去)，6a x =. 即小正方形边长为6a时方盒容积最大. 15. 判定下列曲线的凹凸性：(1) y =4x －x 2；解：42,20y x y '''=-=-<，故知曲线在(,)-∞+∞内的图形是凸的.(2) y =sinh x ；解：cosh ,sinh .y x y x '''==由sinh x 的图形知，当(0,)x ∈+∞时，0y ''>，当(,0)x ∈-∞时，0y ''<， 故y =sinh x 的曲线图形在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的.1(3) (0)y x x x =+> ；解：23121,0y y x x'''=-=>，故曲线图形在(0,)+∞是凹的.(4) y =x arctan x . 解：2arctan 1x y x x '=++，2220(1)y x ''=>+ 故曲线图形在(,)-∞+∞内是凹的.16. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：32(1) 535y x x x =-++；解：23103y x x '=-+610y x ''=-，令0y ''=可得53x =. 当53x <时，0y ''<，故曲线在5(,)3-∞内是凸弧；当53x >时，0y ''>，故曲线在5[,)3+∞内是凹弧.因此520,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线的唯一拐点.(2) y =x e －x；解：(1)e , e (2)xxy x y x --'''=-=-令0y ''=，得x =2当x >2时，0y ''>，即曲线在[2,)+∞内是凹的； 当x <2时，0y ''<，即曲线在(,2]-∞内是凸的. 因此(2，2e －2)为唯一的拐点.4(3) (1)e x y x =++；解：324(1)e , e 12(1)0x x y x y x '''=++=++> 故函数的图形在(,)-∞+∞内是凹的，没有拐点.(4) y =ln (x 2+1)；解：222222(1), 1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=得x =－1或x =1.当－1<x <1时，0y ''>，即曲线在[－1，1]内是凹的.当x >1或x <－1时，0y ''<，即在(,1],[1,)-∞-+∞内曲线是凸的. 因此拐点为(－1，ln2)，(1，ln2).arctan (5) e x y =；解：arctan arctan 222112e ,e 1(1)x xx y y x x -'''==++ 令0y ''=得12x =. 当12x >时，0y ''<，即曲线在1[,)2+∞内是凸的； 当12x <时，0y ''>，即曲线在1(,]2-∞内是凹的，故有唯一拐点1arctan 21(,e)2. (6) y =x 4(12ln x －7).解：函数y 的定义域为(0，+∞)且在定义域内二阶可导.324(12ln 4),144ln .y x x y x x '''=-=令0y ''=，在(0，+∞)，得x =1.当x >1时，0y ''>，即曲线在[1,)+∞内是凹的; 当0<x <1时，0y ''<，即曲线在(0，1]内是凸的， 故有唯一拐点(1，－7).17. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：()1(1) (0,0,,1)22nn n x y x y x y n x y +⎛⎫>>>≠>+ ⎪⎝⎭;证明：令 ()n f x x =12(),()(1)0n n f x nx f x n n x --'''==-> ，则曲线y =f (x )是凹的，因此,x y R +∀∈，()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭, 即 1()22nn n x y x y +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭.2e e (2)e ()2x yx y x y ++>≠ ;证明：令f (x )=ex()e ,()e 0x x f x f x '''==> .则曲线y =f (x )是凹的，,,x y R x y ∀∈≠则 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 2e e e2x yx y ++<.(3) ln ln ()ln(0,0,)2x yx x y y x y x y x y ++>+>>≠ 证明：令 f (x )=x ln x (x >0)1()ln 1,()0(0)f x x f x x x'''=+=>> 则曲线()y f x =是凹的，,x y R +∀∈，x ≠y ，有()()22f x f y x y f ++⎛⎫<⎪⎝⎭即 1ln (ln ln )222x y x y x x y y ++<+， 即 ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+.18. 求下列曲线的拐点：23(1) ,3;x t y t t ==+解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t +-== 令22d 0d yx=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx<，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4).(2) x =2a cot θ， y =2a sin 2θ. 解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a aθθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d yx=，得π3θ=或π3θ=-，不妨设a >0tan θ>>ππ33θ-<<时，22d 0d yx >，当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时，22d 0d yx<,故当参数π3θ=或π3θ=-时，都是y 的拐点，且拐点为3,32a ⎛⎫ ⎪⎝⎭及3,32a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 19. 试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：22221(1)x x y x -++'=+，y ''=令0y ''=，得1,22x x x =-==当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈-时0y ''>；当(2x ∈时0y ''<；当(2)x ∈+∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，11(2)44---. 因为111212--+因此三个拐点在一条直线上.20. 问a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =ax 3+bx 2的拐点？解：y ′=3ax 2+2bx , y ″=6ax +2b 依题意有3620a b a b +=⎧⎨+=⎩解得 39,22a b =-=. 21. 试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上.解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.22. 试决定22(3)y k x =-中的k 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点. 解：224(3),12(1)y kx x y k x '''=-=- 令0y ''=，解得x =±1，代入原曲线方程得y =4k ， 只要k ≠0，可验证(1，4k )，(－1，4k )是曲线的拐点.18x k y =±'=±，那么拐点处的法线斜率等于18k，法线方程为18y x k=. 由于(1，4k )，(－1，4k )在此法线上，因此148k k=±, 得22321, 321k k ==-(舍去) 故k ==. 23. 设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数，如果00()0,()0f x f x '''==，而0()0f x '''≠，试问x =x 0是否为极值点?为什么？又00(,())x f x 是否为拐点？为什么？答：因00()()0f x f x '''==，且0()0f x '''≠，则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x δ中，000()()()()()()f x f x x x f x x f ηη''''''''''=+-=-，故()f x ''在0x 左侧与0()f x '''异号，在0x 右侧与0()f x '''同号，故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同，即00(,())x f x 是拐点.24. 作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x =+； 解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=，可得1x =±， 令0y ''=，得x =0，当→∞时，→0，故=0是一条水平渐近线.函数有极大值1(1)2f =，极小值1(1)2f -=-，有3个拐点，分别为,⎛ ⎝(0，0)， 4⎭，作图如上所示.(2) f (x )=x －2arctan x解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)y x xy x '=-+''=+ 令y ′=0，可得x =±1， 令y ″=0，可得x =0. 列表讨论如下：又()2limlim(1arctan )1x x f x x x x→∞→∞=-= 且 lim [()]lim (2arctan )πx x f x x x →+∞→+∞-=-=-故πy x =-是斜渐近线，由对称性知πy x =+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y =-，极大值π(1)12y -=-.(0，0)为拐点.作图如上所示. 2(3) ()1x f x x=+；解：函数的定义域为,1x R x ∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x x y x x xy x +-+'==≠-++''=+令0y '=得x =0，x =－2当(,2]x ∈-∞-时，0,()y f x '>单调增加； 当[2,1)x ∈--时，0,()y f x '<单调减少； 当(1,0]x ∈-时，0,()y f x '<单调减少； 当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0又211lim ()lim1x x x f x x →-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因()lim 1x f x x →∞=， 且2lim(())lim 11x x x f x x x x →∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦， 故曲线另有一斜渐近线y =x －1.综上所述，曲线图形为：(4)2(1)e x y --=.解：函数定义域为(－∞，+∞) .22(1)(1)22(1)e e2(241)x x y x y x x ----'=--''=⋅-+令0y '=，得x =1.令0y ''=，得1x =±当(,1]x ∈-∞时，0,y '>函数单调增加； 当[1,)x ∈+∞时，0,y '<函数单调减少；当(,1[1)x ∈-∞++∞ 时，0y ''>，曲线是凹的；当[1x ∈-时，0y ''<，曲线是凸的, 故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1),(1)22A B ---+， 又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：25. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族,,,,01e cxAy x A B C B -=-∞<<+∞>+建立了动物的生长模型.(1) 画出B =1时的曲线()1ecxAg x -=+的图像，参数A 的意义是什么(设x 表示时间，y 表示某种动物数量)？解：2e ()0(1e )cxcx Ac g x --'=>+，g (x )在(－∞，+∞)内单调增加，222244e e 2(1e )e e (1e )()(1e )(1e )cx cx cx cx cx cx cx cx Ac Ac Ac g x ---------+⋅+⋅--''==++ 当x >0时，()0,()g x g x ''<在(0，+∞)内是凸的. 当x <0时，()0,()g x g x ''>在(－∞，0)内是凹的. 当x =0时，()2A g x =.且lim ()0,lim ()x x g x g x A →-∞→+∞==.故曲线有两条渐近线y =0，y =A .且A 为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2) 计算g (－x )+g (x )，并说明该和的意义；解：()()1e 1ecx cxA Ag x g x A --+=+=++. (3) 证明：曲线1e cxAy B -=+是对g (x )的图像所作的平移.证明：∵()1e 1e e c x T cx cTA Ay B B -+--==++取e1cTB -=，得ln BT c=即曲线1e cxA yB -=+是对g (x )的图像沿水平方向作了ln BT c=个单位的平移. 26. 球的半径以速率v 改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？ 解： 324d π,π,.3d rV r A r v t=== 2d d d 4πd d d d d d 8πd d d V V r r v t r tA A r r v t r t=⋅=⋅=⋅=⋅27. 一点沿对数螺线e a r ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，试求极径变化率. 解：d d de e .d d d a a r r a a t tϕϕϕωωϕ=⋅=⋅⋅= 28. 一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t ty y a a t tϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=29. 椭圆22169400x y +=上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？ 解：方程22169400x y +=两边同时对t 求导，得d d 32180d d x yx y t t⋅+⋅= 由d d d d x y t t -=. 得 161832,9y x y x == 代入椭圆方程得：29x =，163,.3x y =±=±即所求点为1616,3,3,33⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 30. 一个水槽长12m ，横截面是等边三角形，其边长为2m ，水以3m 3·min －1的速度注入水槽内，当水深0.5m 时，水面高度上升多快？ 解：当水深为h 时，横截面为212s h ==体积为22212V sh '====d d 2d d V h h t t=⋅ 当h =0.5m 时，31d 3m min d Vt-=⋅. 故有d 320.5d ht=⋅，得d d h t =3·min －1). 31. 某人走过一桥的速度为4km ·h －1，同时一船在此人底下以8 km ·h－1的速度划过，此桥比船高200m ，求3min 后，人与船相离的速度. 解：设t 小时后，人与船相距s 公里，则d d s s t ===且120d 8.16d t st ==≈ (km ·h －1)32. 一动点沿抛物线y =x 2运动，它沿x 轴方向的分速度为3 cm ·s －1，求动点在点(2，4)时，沿y 轴的分速度. 解： d d d 236.d d d y y xx x t x t=⋅=⋅= 当x =2时，d 6212d yt=⨯= (cm ·s －1). 33. 设一路灯高4 m ，一人高53m ，若人以56 m ·min －1的等速沿直线离开灯柱，证明：人影的长度以常速增长.证明：如图，设在t 时刻，人影的长度为y m.则 53456yy t=+化简得 d 7280,40,40d yy t y t t===(m ·min －1). 即人影的长度的增长率为常值.34. 计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率.解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x =2时， 0,2y y '''==- ，故 23/2 2.(1)y k y ''=='+35. 计算曲线y =cosh x 上点(0，1)处的曲率.解：sinh ,cosh .y x y x '''==当x =0时，0,1y y '''== ，故 23/2 1.(1)y k y ''=='+36. 计算正弦曲线y =sin x 上点π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭处的曲率.解：cos ,sin y x y x '''==- . 当π2x =时，0,1y y '''==- ，故 23/2 1.(1)y k y ''=='+37. 求曲线y =ln(sec x )在点(x ，y )处的曲率及曲率半径.解：2tan ,sec y x y x '''==故 223/223/2sec cos (1)(1tan )y xk x y x ''==='++1sec R x k ==.38. 求曲线x =a cos 3t ，y = a sin 3t 在t =t 0处的曲率.解： 22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy a t tt t x x a t t t===--，22224d d d(tan )1sec 1(tan )d d d d 3cos sin 3sin cos d y t t t x x x t a t t a t t t--=-=⋅==-，故 423/2123sin cos [1(tan )]3sin 2a t t k t a t ==+-且当t =t 0时， 023sin 2k a t =. 39. 曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径. 解：cos ,sin y x y x '''==- .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k x R x +===+ 显然R 最小就是k 最大， 225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +'=+ 令0k '=，得π2x =为唯一驻点. 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '>，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '<. 所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为 23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==. 40. 求曲线y =ln x 在与x 轴交点处的曲率圆方程.解：由ln 0y x y =⎧⎨=⎩解得交点为(1，0).1112111,1 1.x x x x y x y x ===='==''=-=- 故曲率中心 212(1,0)(1)312x y y x y y y y αβ=⎧''⎡⎤+==-⎪⎢⎥''⎣⎦⎪⎨'⎡⎤+⎪==-+⎢⎥⎪''⎣⎦⎩曲率半径为R =故曲率圆方程为：22(3)(2)8x y -++=.41. 一飞机沿抛物线路径210000x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O 处飞机速度v =200 m ·s －1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力. 解：0010,5000x x y y =='''== ， 23/2(1)5000y R y '+==''飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000mv F R ⋅=== (牛顿) 故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+⨯= (牛顿).42. 设总收入和总成本分别由以下两式给出：2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？解：(1) 边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=- 令()0L q '=,得650q =即为获得最大利润时的产量.(3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q )即 3.9q －0.003q 2－300=0q 2－1300q +100000=0解得q =1218(舍去)，q =82.43. 设生产q 件产品的总成本C (q )由下式给出：C (q )=0.01q 3－0.6q 2+13q .(1)设每件产品的价格为7元，企业的最大利润是多少？(2)当固定生产水平为34件时，若每件价格每提高1元时少卖出2件，问是否应该提高价格？如果是，价格应该提高多少？解：(1) 利润函数为32322()70.010.6130.010.66()0.03 1.26L q q q q q q q qL q q q =-+-=-+-'=-+- 令()0L q '=，得 231206000q q -+=即 2402000q q -+=得20q =-舍去) 2034.q =+≈此时， 32(34)0.01340.63463496.56L =-⨯+⨯-⨯=(元)(2)设价格提高x 元，此时利润函数为2()(7)(342)(34)220379.44L x x x C x x =+--=-++令()0L x '=, 得5x =(5)121.5696.56L =>故应该提高价格，且应提高5元.44. 求下列初等函数的边际函数、弹性和增长率：(1) y =ax +b ；(其中a ，b ∈R ，a ≠0)解：y ′=a 即为边际函数.弹性为：1Ey ax a x Ex ax b ax b=⋅⋅=++, 增长率为： y a ax b γ=+. (2) y =a e bx ；解：边际函数为：y ′=ab e bx弹性为： 1e ebx bx Ey ab x bx Ex a =⋅⋅=, 增长率为： e ebxy bx ab b a γ==. (3) y =x a解：边际函数为：y ′=ax a －1.弹性为： 11a a Ey ax x a Ex x-=⋅⋅=, 增长率为： 1.a y a ax a x xγ-== 45. 设某种商品的需求弹性为0.8，则当价格分别提高10%，20%时，需求量将如何变化？ 解：因弹性的经济意义为：当自变量x 变动1%，则其函数值将变动%Ey Ex ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故当价格分别提高10%，20%时，需求量将分别提高0.8×10%=8%，0.8×20%=16%.46. 国民收入的年增长率为7.1%，若人口的增长率为1.2%，则人均收入年增长率为多少？ 解：人均收入年增长率=国民收入的年增长率－人口增长率=7.1%－1.2%=5.9%.。
利用导数证明不等式的四种常用方法
利用导数证明不等式的四种常用方法方法一：使用函数的单调性如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），则对于任意的x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。
举例说明：证明当x＞0时，e^x＞1+x。
我们考虑函数f(x)=e^x-(1+x)，取f'(x)=e^x-1、如果f'(x)≥0，则f(x)在x＞0上单调递增，且f(x)在x=0处取到最小值。
通过计算可得f'(x)≥0，所以f(x)在x＞0上单调递增，即e^x-(1+x)≥0。
即e^x＞1+x。
方法二：使用函数的极值点如果函数f(x)在一些点x0处取得极小值（或极大值），则该点附近的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明(1+x)^n > 1+nx，其中n为自然数。
我们考虑函数f(x) = (1+x)^n - (1+nx)，取f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n。
令f'(x) = 0，可得x = -1/(n-1)。
我们先考虑x ∈ (-∞, -1/(n-1))，在此区间上f'(x) > 0，所以f(x)在此区间上单调递增。
当x < -1/(n-1)时，有f(x) > f(-1/(n-1)) = 0。
所以在此区间上(1+x)^n > 1+nx。
同理可得，当x ∈ (-1/(n-1), +∞)时，也有(1+x)^n > 1+nx。
方法三：使用函数的凹凸性如果函数f(x)在一些区间上是凹的（或凸的），则函数的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明当a＞0时，有√a≤(a+1)/2我们考虑函数f(x) = √x，取f''(x) = -x^(-3/2)。
我们知道，当f''(x)≥0时，函数f(x)在该区间上为凹函数。
计算可得f''(x)≥0，所以f(x)在[0, +∞)上为凹函数。
利用函数的凹凸性证明不等式
ｎ
即有 入１１ ２２… ＾ｎｎ ａ １ ａ＋ ａ＋ ａ≥
ａ ｌ ａ ２… ａ
意 三 点 总有 ｘ ｘ ＜ Ｘ ： ＜ 。 例 ２ 用 凸 函数 的概 念 证 明不 等 式：对 综 上 ，若 证 明 的 不等 式 的 两 边 或一 边 ｆ ｘ） （１／ ２Ｘ ≤ ｆ ｘ） （２／ ３ｘ 任意实数 ａ ，有 ｅ ｍ／≤ １ ２ ｅ ｅ） （２一 ｘ ｘ－ １ （３一 ｘ） ｘ一 ２ ） ，ｂ ／ （ａ 十 是 同 一 函数 在 不 同 点 处 函数 值 的 叠加 ， 则 分 析 ：再 仔 细观 察 此 不 等 式 ，可变 形 严格 凸函数上式严格不等式成立。 般 需通过将不等式适 当变形构造辅助 函 证明见文献 ［］ １． 为 ｅ ／ （ ）≤ １ ２ １ １ ２ ｅ：与 数 ，利用 凹 凸 性证 明之 。 ／ｂ ／ ｅ＋（— ／ ） 一 定理 ３ 设 为 ｆ ｘ 区 间 １ 的可 导 函 凸函数的定义式 ｆ ＾ｘ＋ 卜 ＾） ≤ 入ｆ （） 上 （ ．（ ｘ） 总 之 ，在 掌 握 函 数 的 凹 凸性 定 理反 映
引 言 ｘ ｎ ＋ ｌ ｙ＞ （ ＋ ） ｎ ｘ ｙ ２。 １ｘ ｙ ｎ ｘ ｙ ｉ ＋ ／ 型 与 前 面 几 道 例 题 有 明显 的 区 别 ， 即 不 在数学中我们所遇到的不等式 已经很 分析：这是一个 函数不等式 ，但其含 等 式左 边 是 １个代 数 式 相 加 的形 式 ，且 ∑ ３ 多 ，且个 别 的不 等式证 明比较复杂 ，而 有两个变量 ，对不等式作简单变形，不等 ＝１ 由此 我 们 自然 想 到 了 凸 函数 定 ， 不 等 式 的证 明 方法 是 我们 必 须 掌握 的一 个 式等价于：ｘ ｎ ＋ １ ｙ ２＞ （＋ ） ２ ｎ 义 的 一 般 情 况 ， 即詹 森 不 等 式 ， 其 应 用 ｌｘ ｙ ｎ／ ｘ ｙ ／ Ｉ 重 要 部 分 。不 等 式 的 证 明方 法 有 很 多 ｘ ／ ，不等式两边含有相 同 “ ｙ ２ 形式 ” ： 相 当 广 泛 。 但 本 题 的 辅 助 函数 不 象 上 题 种 ，其 中利用 函数的 凹凸性证明不等 式 ｔ ｎ ， 可 设辅 助 函数 ｆ ｔ ＝ ｌ ｔ ｔ ） 那 么 容 易 构 造 ，将 原 不 等 式 两 边 取 对 数 ｌｔ故 （） ｔ ｎ （＞０ 。 的方 法是数 学研 究 中常用的 ，也是我 们 因此原不等式可化为 ｆ ｘ ＋ （） ２ （） ｆ Ｙ ／ ＞ 变形 为 ： ｉ １１ ｉｉ…＋ ａ） ｎ（ ａ ＋ ａ＋
应用凹凸函数的性质证明不等式解读
sin Α+co s Α
2
=1+2sin2Α+
4
2sin (Α+
Π4
≥1+2+4
2
=3+2 2.
例2已知A 1,A 2,A 3,…,A n是凸n边形的n个内角.求证:
sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin (n -2Π
n
.
证明 由平面几何知识可知A i ∈
(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n
f (x 2≤2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凸函数;若恒
有f (x 1+f (x 2≥2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凹函数.
应用数学归纳法,我们可以证明下面的凹(或凸函数的性质.
定理 若函数f (x在某区间内是凹(或凸函数,则对变数在这区间内的任意值x 1,x 2,x 3,…x n有以下不等式成立:
一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验(而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处
论:
当x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1时,则有
(x1+1
x12+(x2+1
x2
2+…+(x n+1
x n
2
≥(n2+12
n
.
例4设a、b、c为△A B C的三边,S是
凹凸函数的性质在不等式证明中的应用
凹凸函数的性质在不等式证明中的应用凹凸函数是数学分析中的重要概念，在不等式证明中有着广泛的应用。
凹凸函数在不等式证明中的应用可以帮助我们更精确地估计函数的取值范围，以及确定不等式的成立条件。
下面将分别从凸函数和凹函数两个方面来讨论凹凸函数在不等式证明中的应用。
首先，我们来解释凸函数和凹函数的定义：设函数f(x)在区间I上连续，如果对于区间I上的任意两点x1和x2以及任意t∈[0,1]，都有以下不等式成立：f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，这样的函数称为凸函数；f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，这样的函数称为凹函数。
接下来，我们将讨论凸函数在不等式证明中的应用。
1.凸函数在不等式证明中的应用：凸函数在区间上的取值比割线的取值更小。
这个性质被称为下凸性。
具体来说，如果函数f(x)在区间I上是凸函数，对于区间上的任意两点x1和x2，都有以下不等式成立：f(x)≥f(x1)+f′(x1)(x-x1)，其中f′(x)表示函数f(x)的导数。
基于凸函数的这个性质我们可以得到以下结论：1.1瑕疵卡西：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I上的任意两点，有：f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)，即凸函数的和大于等于函数的和。
1.2 杨辉三角形不等式：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I上的任意n个实数x1, x2, ..., xn，有：f(x1+x2+...+xn)≥f(x1)+f(x2)+...+f(xn) ，即凸函数的和大于等于函数的和。
1.3 杨辉不等式：设函数f(x)在区间I上是凸函数，则对于区间I 上的任意n个不等的实数x1, x2, ..., xn，有：f((x1+x2)/2)+f((x2+x3)/2)+...+f((xn-1+xn)/2)≤(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/(n-1) ，即凸函数的均值小于等于函数的均值。
函数凹凸性在证不等式中的应用
第 ３ 期 高 俊 宇 ： 函 数 凹 凸 性 在 不 等 式 中 的 应 用
闭区间时，定理类同。 定理 若函数 ｙ＝ｆ（ｘ）是［ａ， ｂ］上连续，在（ａ， ｂ ）内具 有一阶和二阶的导数， ∀ ｘ∈ （ａ，ｂ），恒有 ｆ " （ｘ ）＞０（＜０）， 则 曲线 ｙ＝ｆ（ｘ） 在区间［ ａ， ｂ ］ 上对定义 １、定义 ２ 都是上凹（上 凸）的。 （证明省略） ≥（１－ λ k +1 ）ｆ（ｘ＊）＋ λ k +1 f ＝（１－ λ k +1 ）ｆ（
等号仅当 ｘ＊＝ ｘｋ＋１ 时成立． 又由归纳假设，有 ｆ（
∑1 − λ
i =1
k
λi
k +1
xi ）≥ ∑
λi f ( xi ) i =1 1 − λ k +1
k k
因此 ｆ（
是任意正数且
∑λ
i =1
n
i
＝１，ｘｉ ∈Ｉ （ｉ＝１，… ，ｎ）
∑
i =1
k +1
λi xi ）≥（１－ λ k +1 ）
k
∑1 − λ
i =1
λi
k +1
f ( x i ) ＋ λ k +1 f ( x k +1 )
且 ｘ１≤ｘ２≤…≤ｘｎ，则
＝
n
∑λ
i =1 k +1k
i
f ( x i ) ＋ λ k +1 f ( x k +1 ) ，
k +1 i =1
∑ λ f ( x ) ≤ f (∑ λ x )
i i i i i =1 i =1
且等号仅在 ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ 时成立． 证 不妨设 ｘ１≤ｘ２≤…≤ｘｎ，
函数凹凸性在不等式证明中的应用毕业论文
【标题】函数凹凸性在不等式证明中的应用【作者】陈小翠【关键词】凸性；不等式；几何特征【指导老师】冯彬【专业】数学与应用数学【正文】1 引言不等式的证明在数学问题中是经常碰到的，我们在中学时代就常常接触到不等式证明的问题，在那时，我们常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等。
进入大学以后，我们又学习了一些高等数学中常用的证明不等式的方法，例如利用函数的单调性、极大、极小值法和泰勒展式等方法，除此以外，我们还学习了一种很重要的方法，即是利用函数的凹凸性性质来证明一些不等式。
函数凹凸性，反映在图像上就是曲线的凹凸方向，为此运用它可以更深入和较准确地掌握函数曲线的形状，这对于描绘函数的图形有很大的作用，关于这些，在高等数学的各类教材中都有详尽的论述，本文是在凹凸性常识的基础上，抛开它的主要作用，介绍了凹凸函数的定义及其几何特征，再通过举例说明函数凹凸性在证明不等式中的应用。
2 凹凸函数定义及几何特征图1-1凹凸函数是区分函数增减方式的两种不同类型的函数，即：虽然函数单调增加，但却可有如图1-1中所示的两种方式增加。
直观地看，函数所表示的曲线是向下凸的，于是我们把形如的增长方式的函数称为下凸（凸）函数，而函数所表示的曲线是向上凸的，于是我们把形如的增长方式的函数称为上凸（凹）函数。
在高等数学的教材中，曲线的凹凸性直观定义为：“设曲线弧的方程为，且曲线弧上每一点都有切线。
如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的上方，则称曲线弧在该区间内是凸的；如果在某区间内，该曲线弧位于其上任一点切线的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的。
”2.1 定义的推广在许多教材中，曲线的凹凸性有如下定义：定义2.1 设在内连续，如果对内的任意两点恒有那么称在内的图形是向下凸(凸)的，函数称为下凸(凸)函数；如果恒有那么称在内的图形是严格向下凸(凸)的，函数称为严格下凸(凸)函数如果对内的任意两点，恒有那么称在内的图形是向上凸(凹)的，函数称为上凸（凹）函数；如果恒有那么称在内的图形是严格向上凸(凹)的，函数称为严格上凸（凹）函数。
凹凸函数的性质在不等式证明中的应用
从而可得 f ( x2 ) - f ( x1 ) ≤ ( 1 - t) [ f ( x3 ) - f ( x1 ) ], f ( x3 ) - f ( x2 ) ≥ t[ f ( x3 ) - f ( x1 ) ]。
f ( x2 ) - f ( x1 ) ≤ f ( x3 ) - f ( x1 )
(1)
Π x < u < v < y, x, u, v, y ∈ ( a, b) 有 f ( u) - f ( x) ≤ f ( v) - f ( u) ≤ f ( y) - f ( v)
u- x
v- u
y- v
. (3)
故 , Π x1 , x2 ∈ ( a, b) , x1 < x2 ,当 h充分小时 (只要使 2h < x2 - x1 , x1 - h, x2 + h ∈ ( a, b) ,即可 ) 。令 x = x1 - h, u = x1 + h, v = x2 - h, y = x2 + h,将其代入 ( 3) 式 ,即得.
f ( x1
+ h)
-
f ( x)
≤ f ( x2
-
h)
-
f ( x1
+ h)
≤ f ( x2
+ h)
-
f ( x2
-
h) .
2h
x2 - x1 - 2h
2h
令
h → 0有
f′( x1 )
≤ f ( x2 )
x2
-
f ( x1 ) x1
≤ f′( x2 ) ,所以
f′( x) 在 ( a, b) 上单调递增 。
·24·
绵阳师范学院学报 (自然科学版 )
用函数的凸凹性证明不等式
已知 x i > 0( i = 1, 2, ,, n ) , x 1 +
A A
x 2 + ,+ x n \x 1 x 2 ,x n ( n \2) , 且 1 [ A[ n .
A - 1 x 1 + x 2 + ,+ x n \nn - 1 . 求证 : x 1 x 2 ,x n
证明 : 由 x > 0, nx = x , 则 x = n n- 1 . ( 1) 当 x 1 x 2 ,x n \ n n- 1 时, 因 x A( A\1) 是( 0, + ] ) 的凸函数 , 于是 , 由式 ¹ 有 A A A x 1 + x 2 + ,+ x n x 1 x 2 ,x n n \ x 1 + x 2 + ,+ x n n x 1 x 2 ,x n
E
n
q i x i ) [ ( \)
i=1
E qf ( x ) .
i i
n
1 2 + x ( 0< x < 1) , 则 x 3 x - 2 f c( x ) = 4 , x + x 6 3 - x + 10 x + 2 f d( x ) = 4 2 ( x + x) 设 f ( x ) = ln
收稿日期 : 2006- 05- 10
2006 年第 11 期
13
用函数的凸凹性证明不等式
雷动良
( 湖南省东江师范学校 , 423400)
如果 f d ( x ) > 0( a < x < b ) , 则曲线 y = f ( x ) 在[ a , b ] 上, 文 [ 1] 说是凸的, 文 [ 2] 说是 凹的, 教辅书[ 3] 说是下凸的, 因此, 导致三难, 用起来很不方便. 在拜读了叶彦谦老先生译 5微积分学教程6 ( 人民教育出版社 1956 年新 1 版) 后, 并思索看图习惯, 函数的凸凹性应是 : 定义 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 连续 , a [ x 1 < x 2 [ b , 正数 q 1 、 q 2 满足 q 1 + q 2 = 1. 若 f ( q 1 x 1+ q 2 x 2 ) [ ( \) q 1 f ( x 1) + q 2f ( x 2 ) , 则称 f ( x ) 是[ a , b ] 上的凸 ( 凹 ) 函数 . 定理 1 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 内二阶可导. 则 f ( x ) 是 [ a , b ] 上的凸 ( 凹 ) 函数的充要条 件是 f d( x ) \( [ ) 0( a < x < b ) . 定理 2 设 f ( x ) 是[ a , b ] 上的凸 ( 凹 ) 函 数. 若 x 1 , x 2 , ,, x n I [ a , b ] , 正数 q 1 , q 2 , ,, q n 满足 q 1 + q 2 + ,+ q n = 1. 则 f(
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Ｃ ｏ ｕ ｒ ｓ ｅ Ｅ ｄ ｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｒ ｅ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ
２ ０ １ ６ 年１ ０ 月 中旬 刊
教学 ・ 信息
利 用 函数 的 凹凸性证 明不等式
周 景 芝
（ 连 云港 师范 高等专科 学校数 学与信息工程学院 江 苏 连云港 ２ ２ ２ ０ ０ ６ ）
（ ３ ）
。 “
证明ｎ ＝ ｋ ＋１ 时不等式也 成立。事 实上
ｆ （ １ Ｘ １ ｑ － Ｘ ２ Ｘ ２ ＋ …十 ． ｘ ｋ 十 入 ｋ ＋ １ Ｘ ｋ 十 １ ） ｆ （ １ Ｘ １ ＋ ２ ｘ ２ ＋ …＋ ｋ － １ Ｘ ｋ － １ ＋ （ ｋ ｋ Ｘ ｋ ＋ ｋ ＋ 】 ｘ ｋ ＋ １ ） ）
Ｘ—
（ １ ） ｆ 为Ｉ 上 的 凸函数 ； （ ２ ） Ｆ为 Ｉ 上 的 增 函数 ；
ｘ ＞ ０时 为 严 格 凸 函数 ， 取ｘ ｉ ＝ ａ ｉ ∈（ ０ ， ＋ ∞） ， ｋ ｉ ＞ ０ （ ｉ ＝ｌ ， ２ ， …， ｎ ） ， 且
（ ３ ） 对Ｉ 上 的任意 两点 Ｘ ｌ Ｘ 有ｆ （ ｘ ） ≥ｆ （ ｘ ） ＋ ｆ （ ｘ ） （ Ｘ ２ － Ｘ ） 论断（ ３ ） 说明可导凸函数 的曲线总是在 它的任一切线 的上
上 的 凹 函数 。
有 甄ｎ
ａ１ ａ２ ａ “
≤
≤
（ ）
定理 １ 设 ｆ 为 区间 Ｉ 上 的 可 导 函 数 ， 则 下 述 论 断 相 互 等
价：
证： 设ｆ ｉｘ ） ＝ 一 Ｉ ， 则ｆ ， （ ） ： ＞ ０ ， （ ０ ， ＋ 。 。 ） ， 故ｆ （ ） 在
ａ ｌ
证明： 应用数 学归纳 法．当 ｎ ＝ ２时 ， 由凸 函数 的定 义命 题
Байду номын сангаас显然成立。
＿ ｌ ｎ 焘 ‘
从 而∑ ≥
１ ａｉ
．
设当 ｎ ＝ ｋ时命题成 立， 即
ｆ （ 入 １ Ｘ １ ＋ 入 ｒ ２ ＋ …＋ 入 １ ｘ ｋ ） ≤入 １ Ｃ （ ｘ １ ） ＋ 入 ２ ｆ （ ｘ ２ ） ＋ …＋ 入 】 【 ｆ （ ｘ ｋ ）
【 关键词】 不等式 凹凸性 函数性质 【 中图分类号】 ０ １ ７ １ 【 文献标识码 】 Ａ
凸 函数 的 性 质 定义设 ｆ 为 定 义在 区 间 Ｉ 上 的 函数 ．若 对 Ｉ 上 的任 意 两点
一
【 文章编号】 ２ Ｏ ９ ５ — ３ ０ ８ ９ （ ２ ０ １ ６ ） １ ０ — ０ １ ２ ９ — ０ １
＝
ａ ａ２ … ａｎ
取ｋ ｉ ＝＿ ＿（ ｌ ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ） ， 由（ ２ ） 、 （ ３ ） 两式 即得 （ １ ） 式。 参 考 文献 ：
ｆ ｛ ｔ ｘ ＋ … ， ｘ 一 ｔ ＋ （ ＋ ｎ ） （ —
≤ ｆ （ ｘ ， ） ＋ ” ｆ （ ｘ ） ＋ （ ｋ ｋ ＋ Ｍ． ）
＝
、
１
Ｃ （ ｘ Ｉ ） ＋ Ｍｆ ｆ ｘ ２ ） ＋ …＋ ｋ 一 １ Ｃ （ ｘ ｋ ＿ １ ） ＋ ｋ ｆ ｘ ｋ ） ＋ Ｘ ｋ Ｃ （ ｘ ｋ ＋ １ ）
即对任何 正整数 ｎ （ ≥２ ） ， 凸函数 总有该不等式成立。
例 ２应 用 詹 森 Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ ） 不等式证 明： 设ａ ｉ ＞ Ｏ （ ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ） ，
明 詹 森 【 摘 （ 要】 不 等 式 曼解 决 大 学 数学 问 题 不 可 缺少 的 工 具 之 一， 但同 时 也 是 一 个学 习 的 难 点 。 本 文 介 绍了 利 用 函 数的 凹 凸 性来 证
．
Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ ） ３ ￣ 等式， 并通过例子说 明詹森（ Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ ） ； Ｅ 等式的应 用。
） ≤入 ， ｆ （ ｘ ） ＋ 入 ２ ｆ （ ｘ ） ＋ …＋ 入 几 ｆ （ Ｘ ）
． ＝ １ ， 有ｆ （ １ ｘ １ ＋ ｋ ２ ｘ ２ ＋…＋
取ｘ ＝ ＞ ０ ， 。 ＞ ０ （ ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ） ， 且∑ｋ ｉ ＝ １ ， 则 有 一 Ｉ ｎ （ ∑
ｉ＝ １
（ ∑ ， ） ≤∑入 。 （ 一 １ ） ＝ 一 Ｚ ｌ ｎ ＇ ａ ｘ ＇ ＝ － ｌ （ … 由
ｉ＝ １ ｉ＝ １
（ ２ ）
， ｉ＝ １ ｉ＝ １
Ｖｘ ， ∈『 ａ ， ｂ ］ ， ＞ ｏ ， （ ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ） ，
Ｘ １ ， Ｘ ２ 和任 意 实数 入∈（ ０ ， １ ） 总有 ｆ ｌａ ｘ ＋（ １ 二 ） ｘ ） ｋ ｆ （ ｘ ） ＋（ １ 一 ｘ ） ｆ （ ｘ ： ） ， 则称 ｆ 为Ｉ 上的 凸函数。
若 总有 ｆ （ ｘ ａ ＋ （ １ 一 Ｘ ） ｘ ） ≥Ｘ ｆ （ ｘ ） ＋（ １ 一 入 ） ｆ （ Ｘ ２ ） ， 则称 ｆ 为Ｉ
ｘ ＋ ： Ｘ 干 ｋ ｊ ＋ ｌ ： ＿ ＿ ＿ ｘ ） ］
Ｘ ｋ ＋ Ｘ ｋ ） ＋
【 １ 】 华 东师 范大学数 学系． 数 学分析 【 Ｍ】 ． 北京： 高等教育 出版
方。
∑ ． ＝ １ ， 由 Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ 不 等 式 ， 有
定理 ２设 ｆ 为区间 Ｉ 上的二阶可导 函数 ．则在 Ｉ 上ｆ 为 凸 （ 凹） 函数的充要条件是 ｆ ’ ｘ ） ≥ｏ （ ｅ ’ ｘ ） ≤０ ） ， ｘ ∈Ｉ ． Ｉ ｎ ｘ的 单调 性 知 二、 应用 凹凸函数的性 质证 明不等式 ａ 应用凸函数 的性质 ， 可以证 明著名的詹森 Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ ） 不等式． ： … ａ ∑ 例 １（ 詹森 Ｊ ｅ ｎ ｓ ｅ ｎ ） 不等 式）若 ｆ 为ｆ ａ ＇ ｂ 】 上的 凸 函数 ， 则对