2009第一轮复习15----平面向量训练题
平面向量知识点总结及训练题
平面向量知识点总结及训练题第五章平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。
注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小、双重性，不能比较大小。
2.向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB。
坐标表示法：a=xi+yj=(x,y)3.向量的模：向量AB的大小——长度称为向量的模，记作|AB|。
4.特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作0，方向是任意的。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。
5.相反向量：与a长度相同、方向相反的向量记作-a。
6.相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
向量a与b相等，记作a=b。
7.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a//b。
平行向量也称共线向量。
规定零向量与任意向量平行。
8.两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(≤θ≤π)叫a与b的夹角。
说明：1）当θ=0时，a与b同向；2）当θ=π时，a与b反向；3）当θ=π/2时，a与b垂直，记a⊥b；规定零向量和任意向量都垂直。
4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤θ≤180.9.实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：Ⅰ）λa=λ|a|；Ⅱ）当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0，方向是任意的。
10.两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b=|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积）。
规定·a=bcosθ=|b|cosθ为向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0°时投影为|b|；当θ=180°时投影为-|b|。
(超全)高考一轮复习数学同步练习15——平面向量
方法强化练——平面向量一、选择题1．已知向量a ＝(m 2,4)，b ＝(1,1)，则“m ＝－2”是“a ∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(k,1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是( )． A ．－6 B ．－23 C.23D ．143．已知|a |＝|b |＝|a －2b |＝1，则|a ＋2b |＝ ( )．A ．9B ．3C ．1D ．24．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )． A ．－2 3 B ．2 3 C ．4 3D ．6 35．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )． A.π2 B.π3 C.π4D.π66．已知向量a ＝(1，－cos θ)，b ＝(1,2cos θ)且a ⊥b ，则cos 2θ等于( )． A ．－1 B ．0 C.12D.227．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，则有 ( )．A.AO →＝2OD →B.AO →＝OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →8．平面上有四个互异点A ，B ，C ，D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定9．在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，AB ，AC 的边长分别为2,1，∠BAC ＝60°.则AG →·BG →＝( )．A ．－89B ．－109 C.5－39D ．－5－3910．已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 边上的动点(可以与A 或B 重合)，则DE →·CD →的最大值是 ( )．A ．1 B.12 C ．0 D ．－1二、填空题11．若a ＝(1，－2)，b ＝(x,1)，且a ⊥b ，则x ＝________.12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2,0)，则向量a ，b 的夹角为________．13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1，D 为斜边AB 的中点，则AB →·CD→＝________.14．已知G 1，G 2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的重心，且A 1A 2→＝e 1，B 1B 2→＝e 2，C 1C 2→＝e 3，则G 1G 2→＝________(用e 1，e 2，e 3表示)．三、解答题15．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )．(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．16．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．17．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.18．已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)(x ∈R )． (1)求f (x )的周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．答案 一、选择题1-5 ACBBB 6-10 BBBAC二、填空题11、2 12、π4 13、－1 14、13(e 1＋e 2＋e 3) 三、解答题15、解 (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t .① 又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1.当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.16、解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2 x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及|a |＝|b |，得4sin 2 x ＝1. 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2 x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.17、(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )． 由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →， 所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.18、解 (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∵y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上单调递减，∴令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调递减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π.∴A ＝π3.∵AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc,7＝(b ＋c )2－18，b ＋c ＝5， 又b ＞c ，∴b ＝3，c ＝2.。
平面向量训练题
平面向量训练题一、选择题1．若向量a 、b 、c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b )＝( )A ．4 B.3 C ．2 D ．02．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( )A. 5B.10 C ．5 D ．253．在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，RA→＋RB →＋RC →＝CA →，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5 4．已知向量m ，n 的夹角为π6，且|m |＝3，|n |＝2，在△ABC 中， AB ＝2m ＋2n ，C A ＝2m －6n ，D 为BC 边的中点，则|AD |＝( )A ．2B ．4C ．6D ．85．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大、小值分别是( )A ．42，0B ．4,22C ．16,0D ．4,06．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a ·b 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π7．在△ABC 中，有如下命题，其中正确的是( )①AB →－AC →＝BC → ②AB →＋BC →＋CA →＝0 ③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形 ④若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④8．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |29.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC ＋BA ＝2BP ，则( )A ． PA ＋PB ＝0 B ．PC ＋PA ＝0C ．PB ＋PC ＝0D ．PA ＋PB ＋PC ＝010.已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB ＝λPA ＋PB (λ∈R)，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上11．已知a ，b 是不共线的向量，若AB ＝λ1a ＋b ，AC ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C三点共线的充要条件为( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2－1＝0D ．λ1λ2＋1＝112．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB＋AC)，λ∈[0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心二、填空题13．已知向量a ＝(7，1)，b ＝(－1,3)，c ＝(k ，7)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________.14．已知e 1，e 2是夹角为2π3a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2, 若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．15．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝________.16．已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，则AO →·BC →＝________.17．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，－6)，|c |＝10，若(a ＋b )·c ＝5，则a 与c 的夹角为________．18．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α和β的夹角θ的取值范围是________．19.（陕西）如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ,其中与OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°,且|OA |＝|OB |＝1，|OC |＝32，若OC ＝λOA +μOB （λ，μ∈R ）,则λ+μ的值为 .20.将π2cos 36x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 三、解答题21．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；(2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.22.已知点A (1,0)，B (0,1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)求|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin2θ的值．23．设平面向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(cos x ＋23，sin x )，c ＝(sin α，cos α)，x ∈R .(1)若a ⊥c ，求cos(2x ＋2α)的值；(2)若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，证明a 和b 不可能平行；(3)若α＝0，求函数f (x )＝a ·(b －2c )的最大值，并求出相应的x 的值．24.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(sin A ，cos B )，n ＝(cos A ，sin B )． (1)若m ∥n ，求角C ； (2)若m ⊥n ，B ＝15°，a ＝6＋2，求边c 的大小．。
高三第一轮复习15----平面向量训练题
平面向量训练题一、选择题：1．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =，AE yAC =，0xy ≠，则11x y+的值为（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）12．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =， （2）若0a b ⋅=，则0a =或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A ．00a b =B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b +=4．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0☆5．设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，则必有 （ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b6．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ）A ．(3,1)B ．(1,1)-C ．(3,1)或(1,1)-D ．无数多个7．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记、 分别为a 、b ，则=（ ）A ．52a -54b B ．52a +54b C ．-52a +54b D ．-52a -54b☆8．设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为（ ）A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2,－6)D ．(－2,－6)9．若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o180，且53||=b ，则=b ( )A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-10．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于A ．2-B ．2C ．21D ．12-11．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（ ）AB C E FDHA ．030B ．060C ．075D ．04512．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ）A.2B.3C.23D.3213．若平面向量与向量)1,2(=平行，且52||=，则=( )A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(--☆14．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P 的坐标为（ ） A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）☆15．设(43)=，a ,a 在b 上的投影为2,b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ） A ．(214)，B ．227⎛⎫-⎪⎝⎭， C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，☆16．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c =b b a a a a ⎪⎭⎫⎝⎛∙∙-，则向量a 与c 的夹角为 ( )A. 0B.6π C. 3π D. 2π ☆17．平面向量a =(x ，y )，b =(x 2，y 2)，c =(1，1)，d =(2，2)，若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a 有 ( )A. 1个B. 2个C. 多于2个D. 不存在 ☆18．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心☆19．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB AC|AB ||AC |+)，),[∞+∈λ0，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心 二、填空题：20．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-，b =1，且5a b ⋅=，则向量=____。
平面向量 高三 一轮复习(完整版)
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1） （2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。
2009届全国名校高三模拟试题汇编051平面向量选择题与填空题
本资料来源于《七彩教育网》 2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编（上） 05平面向量三、解答题1 （湖北省武汉市教科院 2009届高三第一次调考）若第一象限内的点 A （x, y ）落在经过点（6,则点M 是厶ABC 的 （）A •三条高的交点B 三条中线的交点C .三边中垂线的交点D .三内角平分线的交点 答案：B43、（湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题）已知向量a=（2,3） ,b = （-1,2），若na b 与a-2b 共线，则巴等于n4、（安徽省潜山县三环中学 2009届高三上学期第三次联考）在下列条件中，使 M 与A 、B 、C -定共面的是( )A . OM =2OA -OB -OCB . OM111OA — OB — OC5 3 2--------------- ■----------------- *------------------- F -—F------ ------------ 1. ----------- 亠—*C . MA MB MC = 0D . OM OA OB OC = 0答案：C5、（安徽省潜山县三环中学 2009届高三上学期第三次联考）设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足 AB ・AC =0,AC ・AD =0,AB ・AD =0，贝U BCD 是（ ）A .钝角三角形B .锐角三角形C .直角三角形D .不确定答案：Bl 上,贝Ut =log 3 y - log ? x—2）且方向向量为a二（3, -2）的直线2 空有（ ） 3A .最大值2B .最大值1C .3最小值3D .最小值1答案：B2、过厶ABC 内部一点 M 任作一条直线 EF , AD 丄EF 于D ,- > -- 丄 —F-A . -2 答案：C C .D .BE 丄 EF 于 E , CF 丄 EF 于 F ，都有 AD BE CF = 0 , 26、（北京五中12月考）若向量a,b 满足a = J2, b =2,（a-b ）丄a ，则向量a 与b 的夹角等3■:答案：A7、（北京五中12月考）点 O 是 ABC 所在平面内的一点OA OB =OB OC =OC OA ，则点 O 是 ABC 的答案：Da =(3,4),b = (sin ： ,cos ),且a _ b,则 tan ：为且BC_OA,C 为垂足，设向量 OC = V ，则•的值为a bB.|a| |b|答案：AA 、9 : 4 : 1B 、1 : 4 : 9C 、3 : 2 : 1D 、1 : 2 : 3 答案：C 12、（江西省崇仁一中2009届高三第四次月考）给出下面四个命题:A •三条内角平分线交点（即内心）B .三边的垂直平分线交 点 （即外心）C .三条中线交点（即重心）D •三条高线交点（即垂心）（甘肃省中 2008 — 2009 高三上 学期第三次 已知向3 A.—4答案：D9、（甘肃省兰州一2008— 2009高三上学期第三次月考 ）点O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OB 二 OB OC 二 OC OA ，则点 O 是厶ABC 的A .内心 答案：DB .外心C .重心D .垂心10、（河北省衡水中学 2008— 2009学年度第一学期期中考试 ）如图，非零向量OA 二a,OB 二b,D.|a| |b| a b11、（四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测 ）已知点O ABC 内一点，且OA+ 2OB + 3OC =■?, 则厶AOB 、△ AOC 、△ BOC 的面积之比等于①对于任意向量a、b, 都有|a •b|> a • b 成立;②对于任意向量a、b, 若a2=b2,贝U a=b 或a=-b;③对于任意向量a、、c,都有 a • (b •c)=( b •c) •a成立;④对于任意向量a、c,都有 a • (b •c)=( b •) •c成立.其中错误的命题共有（)A . 1个B.2个 C . 3个答案：B13、（辽宁省大连市第二十四中学2009届高三高考模拟）设0为平行四边形ABCD的对称中心，AB = 4q,BC = 6e2，则2e^ 3e2=( )答案：B14、（山东省平邑第一中学2009届高三元旦竞赛试题）已知A.B.C是厶ABC的三个顶点, AB2= AB AC AB CB BC CA,则ABC 为()A. OA B . OB C. OC D. ODA.等腰三角形C.等腰直角三角形答案：B15、（山东省平邑第一中学|a|x + a b = 0 有实根,nA. ［0E］B.直角三角形D .既非等腰又非直角三角形2009届高三元旦竞赛试题）已知|a|= 2|b|M 0,且关于x的方程则a与b夹角的取值范围是（）二二2B .［一，二］C .［一，］3 3 3D.［訂］16、（山东省临沂高新区实验中学2008-2009 学年高三12月月考a二（2,3）,b =（-4,7）,则a在b方向上的投影为A. .13V65B .5413C .5答案：A17、（陕西省西安铁一中2009届高三12月月考）已知△ ABC的三个顶点一点P 满足：PA PB • PC = 0，若实数•满足：AB • AC 二■ AP ,答案：C18、（厦门市第二外国语学校要条件是（）x2+A、B、C及平面内则’的值为（）2008—2009学年高三数学第四次月考）平面向量a, b共线的充B. a, b两向量中至少有一个为零向量D .存在不全为零的实数'1 , ' 2 , ' 1^ '2 b - 0解：注意零向量和任意向量共线。
平面向量测试题-高考经典试题-附详细答案
平面向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向 解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。
2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ）A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。
3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______； 答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=， 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2m b m α=+其中,,m λα2,a b =则mλ的取值范围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km mk m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（山东理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅（C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确. 6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。
高三数学一轮复习 第五章《平面向量》52精品练习
高三数学一轮复习 第五章《平面向量》52精品练习一、选择题1．(2010·安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b[答案] C[解析] |a |＝1，|b |＝22，故A 错；a·b ＝12，故B 错；(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝14－14＝0，故C 正确；∵112≠012，故D 错． 2．已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(3，－5)，则用a ，b 表示向量c 为( ) A ．2a －b B ．－a ＋2b C ．a －2bD ．a ＋2b[答案] C[解析] 设c ＝x a ＋y b ，∴(3，－5)＝(x －y ，－x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3－x ＋2y ＝－5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，∴c ＝a －2b ，故选C.3．(文)(2010·胶州三中)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与b 垂直，则λ等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] C[解析] λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∵λa ＋b 与b 垂直，∴(λ＋4，－3λ－2)·(4，－2)＝4(λ＋4)－2(－3λ－2)＝10λ＋20＝0，∴λ＝－2.(理)(2010·北京延庆县模考)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2[答案] D[解析] m a ＋4b ＝(2m －4,3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，∵m a ＋4b 与a －2b 共线， ∴2m －44＝3m ＋8－1，∴m ＝－2. 4．(2010·河北省正定中学模拟)已知向量a ＝(2cos θ，2sin θ)，b ＝(0，－2)，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则向量a ，b 的夹角为( )A.3π2－θ B ．θ－π2C.π2＋θD ．θ[答案] A[解析] 解法一：由三角函数定义知a 的起点在原点时，终点落在圆x 2＋y 2＝4位于第二象限的部分上(∵π2<θ<π)，设其终点为P ，则∠xOP ＝θ，∴a 与b 的夹角为3π2－θ.解法二：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－4sin θ2×2＝－sin θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ， ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴3π2－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 又〈a ，b 〉∈(0，π)，∴〈a ，b 〉＝3π2－θ.5．(文)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C. 2D.22[答案] C[解析] 由(a －c )(b －c )＝0得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，即c 2＝(a ＋b )c ，故|c |·|c |≤|a ＋b |·|c |，即|c |≤|a ＋b |＝2，故选C.(理)已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a,0)、B (0，a )，其中常数a >0，点P 在线段AB 上，且有AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( )A ．aB ．2aC ．3aD ．a 2[答案] D[解析] ∵AP →＝tAB →， ∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋t (OB →－OA →) ＝(1－t )OA →＋tOB →＝(a －at ，at ) ∴OA →·OP →＝a 2(1－t )， ∵0≤t ≤1，∴OA →·OP →≤a 2.6．在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD →＝b ，则AG →＝( )A.27a ＋17b B.27a ＋37b C.37a ＋17bD.47a ＋27b [答案] C[解析] ∵B 、G 、F 三点共线，∴AG →＝λAF →＋(1－λ)AB →＝14λb ＋(1－λ)a .∵E 、G 、C 三点共线，∴AG →＝μAE →＋(1－μ)AC →＝13μa ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎪⎨⎪⎧λ4＝1－μ1－λ＝1－23μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝47μ＝67，∴AG →＝37a ＋17b .7．(文)(2010·深圳模拟)如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14[答案] A[解析] 由题可知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13，故选A.(理)已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于( )A ．2B ．1 C.45D.53[答案] A[解析] 设C (x 0，y 0)，则y 0＝12ax 0，∴AC →＝(x 0－7，12ax 0－1)，CB →＝(1－x 0,4－12ax 0)，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－7＝21－x 012ax 0－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12ax 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3a ＝2.8．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2D.6或－ 6[答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.9．(2010·河南许昌调研)在平面直角坐标系中，O 为原点，设向量OA →＝a ，OB →＝b ，其中a ＝(3,1)，b ＝(1,3)．若OC →＝λa ＋μb ，且0≤λ≤μ≤1，C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )[答案] A[解析] OC →＝λa ＋μb ＝(3λ＋μ，λ＋3μ)， 令OC →＝(x ，y )，则x －y ＝(3λ＋μ)－(λ＋3μ) ＝2(λ－μ)≤0，∴点C 对应区域在直线y ＝x 的上方，故选A.10．(文)(2010·重庆诊断)称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a 、b 间的“距离”．若向量a 、b 满足；①|b |＝1；②a≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，b )≥d (a ，t b )，则( )A ．a⊥bB ．a⊥(a －b )C ．b⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )[答案] C[解析] 依题意得|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，亦即t 2－2t a·b ＋(2a·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有Δ＝(－2a·b )2－4(2a·b －1)≤0，即(a·b －1)2≤0，故a·b －1＝0，即a·b －b 2＝b·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )，选C.(理)(2010·山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )．令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2[答案] B[解析] 若a ，b 共线，则mq ＝np ，即a⊙b ＝0，∵a⊙b ＝mq －np ，∴b⊙a ＝pn －mq ，故B 错误；∵λa ＝(λm ，λn )，∴(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a⊙b )＝λmq －λnp ，∴C 正确；又(a⊙b )2＋(a·b )2＝(mq －np )2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，∴D 正确，故选B.[点评] 本题是找错误选项，而B 是指运算⊙满足交换律，显然mq －np ≠pn －qm ，故选B ，其它选项可不必讨论．二、填空题11．(2010·北京市顺义一中月考)设向量a ＝(1，x －1)，b ＝(x ＋1,3)，则“x ＝2”是“a ∥b ”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] ∵x ＝2时，a ＝(1,1)，b ＝(3,3)，b ＝3a ，∴a ∥b ；而当a ∥b 时，1×3＝(x ＋1)(x －1)，∴x 2＝4，∴x ＝±2，即当x ＝－2时，也有a ∥b ，故x ＝2是a ∥b 的充分不必要条件．12．(文)已知e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝2e 1－5e 2，CD →＝λe 1－e 2，若三点A 、B 、D 共线，则λ＝________.[答案] 8[解析] ∵A 、B 、D 共线，∴AB →与BD →共线， ∴存在实数μ，使AB →＝μBD →， ∵BD →＝CD →－CB →＝(λ－2)e 1＋4e 2， ∴3e 1＋2e 2＝μ(λ－2)e 1＋4μe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧μλ－2＝34μ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12λ＝8，故填8.(理)已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP ||PB |＝12，则P 点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－13，53[解析] 设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)，PB →＝(3－x ，－1－y )， ∵P 在线段AB 上，且|AP ||PB |＝12， ∴AP →＝12PB →，∴(x ＋2，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2，－1－y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝3－x 2y －3＝－1－y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13y ＝53，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53.13．(2010·湖北八校联考)如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B 、C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[答案] 12[解析] M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM ＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.14．已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos2α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________.[答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos2α－3，∴2cos2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 三、解答题15．已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.[解析] 因为A (7,8)，B (3,5)C (4,3) 所以AB →＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M 、N 分别为AB 、AC 的中点，所以F 为AD 的中点，故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．[点评] 注意向量表示的中点公式，M 是A 、B 的中点，O 是任一点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．16．已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tAB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)． ∵四边形OABP 为平行四边形，∴OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解．∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OPAB 为平行四边形．综上知，当t ＝±1时，四点O 、A 、B 、P 能成为平行四边形的四个顶点．17．(文)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及定点A (1,1)，M 为圆C 上任意一点，点N 在线段MA 上，且MA →＝2AN →，求动点N 的轨迹方程．[解析] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，则由MA →＝2AN →得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x y 0＝3－2y，代入(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.[点评] 平面向量与解析几何结合是新的命题方向，解答此类问题关键是利用向量共线或垂直的关系建立点的坐标之间的关系式，然后用解析几何的方法解答．请再练习下题：已知⊙C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝9及定点A (－1,1)，M 是⊙C 上任意一点，点N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，动点N 的轨迹为C ，求曲线C 的方程．解答如下：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)，∵N 在射线AM 上，且|AM |＝2|MN |，∴AM →＝2MN →或AM →＝－2MN →，AM →＝(x 0＋1，y 0－1)，MN →＝(x －x 0，y －y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋1＝2x －x 0y 0－1＝2y －y 0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋1＝－2x －x 0y 0－1＝－2y －y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝132x －1y 0＝132y ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋1y 0＝2y －1，代入圆方程中得(2x ＋5)2＋(2y －2)2＝81或(2x ＋3)2＋(2y －2)2＝9.(理)(2010·湖北黄冈)已知θ是△ABC 的最大的内角．设向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(sin2θ，1－cos2θ)，c ＝(0，－1)．定义f (θ)＝(a ＋b )·c ＋|b |，求f (θ)的最大值．[解析] ∵θ是△ABC 的最大内角 ∴π3≤θ<π，|b |＝sin 22θ＋1－cos2θ2＝4sin 2θ＝2sin θ，∴f (θ)＝(a ＋b )·c ＋|b |＝(cos θ＋sin2θ，sin θ＋1－cos2θ)·(0，－1)＋2sin θ＝cos2θ－sin θ－1＋2sin θ＝－2sin 2θ＋sin θ＝－2(sin θ－14)2＋18∵π3≤θ<π，∴0<sin θ≤1， 从而，当sin θ＝14时，f (x )取最大值18，(此时θ＝π－arcsin 14)。
2009届高三数学第一轮复习分类汇编测试题(4)：平面向量
2009届高三数学第一轮复习分类汇编测试题（4）—《平面向量》一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点， 则向量=（ ）A ．21+- B ．21--C ．BA BC 21-D ．BA BC 21+2．与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是（ ）A ．⎪⎭⎫-⎝⎛53,54B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D ．⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+ 与()2b a --共线，则λ=（ ）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.54．已知向量()1,3=a ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3=⋅b a ，则b =（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D ．（1，0）5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是（ ）A ．3121P P P P ⋅B ．4121P P P P ⋅C ．5121P P P P ⋅D ．6121P P P P ⋅6．在OAB ∆中，OA a = ，OB b = ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于（ ）A ．2()a b a a b ⋅-- B ．2()a a b a b ⋅--C ．()a b a a b⋅--D ．()a a b a b⋅--7．设1(1,)2OM = ，(0,1)ON = ，则满足条件01OP OM ≤⋅≤ ，01OP ON ≤⋅≤ 的动点P 的变化范围（图中阴影部分含边界）是（ ）8．将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x )，要使|a |最小，则a =（ ）A ．（,16π-）B ．（,16π-）C ．（,112π）D ．（,112π--）9．已知向量a 、b 、c 且0a b c ++= ，||3a = ，||4b = ，||5c =.设a 与b 的夹角为1θ，b与c 的夹角为2θ，a 与c的夹角为3θ，则它们的大小关系是（ ）A ．123θθθ<<B ．132θθθ<<C ．231θθθ<<D ．321θθθ<<10．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2λ<⋅恒成立时实数λ的取值范围是（ ）A ．2>λ或2-<λB ．2>λ或2-<λC ．22<<-λD ．22<<-λ 11．已知1OA = ，OB = ，0OA OB ⋅= ，点C 在AOB ∠内，且30oAOC ∠=，设OC mOA nOB =+ (,)m n R ∈，则mn等于（ ）A ．13B ．3CD 12．对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，定义它们之间的一种“距离”：2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则;AC CB AB += ②在ABC ∆中，若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中，.AC CB AB +>其中真命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．在中，,,3AB a AD b AN NC === ，M 为BC 的中点，则MN = _______.（用a b、表示）14．已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点，动点M 满足OM mOA nOB =+，其中,m n R ∈且2222m n -=，则M 的轨迹方程为 .15．在ΔABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +⋅的最小值为 .16．已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量)sin 1,sin 1(x x -=，)2cos ,2(x =.（1）若]2,0(π∈x ，试判断与能否平行？（2）若]3,0(π∈x ，求函数x f ⋅=)(的最小值.18．（本小题满分12分）（2006年湖北卷）设函数()()c b a x f +⋅=，其中向量 ()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=，()R x x x c ∈-=,sin ,cos .（1）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（2）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .19．（本小题满分12分）（2007年宁夏卷）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ + 与AB共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20.（本小题满分12分）在ABC △中，2AB AC AB AC ⋅=-=．（1）求22AB AC + 的值；（2）当ABC △的面积最大时，求A ∠的大小．21．（本小题满分12分）如图，三定点A (2,1)，B (0,－1)，C (－2,1); 三动点D ，E ，M 满足]1,0[,,,∈===t DE t DM BC t BE AB t AD（1）求动直线DE 斜率的变化范围; （2）求动点M 的轨迹方程.22．（本小题满分14分）已知点P 是圆221x y +=上的一个动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，设OM OP OQ =+.（1）求点M 的轨迹方程；（2）求向量OP 和OM夹角的最大值，并求此时P参考答案（4）1．21+-=+=，故选A ． 2．B 设所求向量e=（cos θ,sin θ）,则由于该向量与,a b 的夹角都相等,故e b e a ⋅=⋅⇔=7117c o s s i n c o ss i n2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B ．3．D 依题意知向量a b λ+ 与b a -2共线，设a b λ+k =（b a -2），则有0)()21(=++-b k a k λ，所以⎩⎨⎧=+=-021λk k ，解得5.0=k ，选D ．4．解选B ．设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5．解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义:数量积121i PP PP 等于12P P的长度12PP 与1i P P 在12P P 的方向上的投影1121cos ,i i PP PP PP <>的乘积.显然由图可知13P P 在12P P 方向上的投影最大.所以应选(A).6． B(),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-即得()()11,O D O A O B a b λλλλ=-+=-+又OD 是AB 边上的高，0OD AB ∴⋅=即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦ ，整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-，故选B ．7．A 设P 点坐标为),(y x ，则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤ ，01OP ON ≤⋅≤得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ，在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可，选A ．8．A 要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位，再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小，应取a=（,16π-），故选A ．9．B 由0a b c ++=得)(+-=，两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=，将||3a = ，||4b = ，||5c = 代入得0cos 1=θ，所以0190=θ；同理，由0a b c ++= 得)(b c a +-=，可得54cos 2-=θ，53cos 3-=θ，所以132θθθ<<.10． B 由已知得1||=b ，所以4||22=+=n m a ，因此)s i n (s i n c o s 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m 4)s i n (4≤+=ϕθ，由于2λ<⋅恒成立，所以42>λ，解得2>λ或2-<λ.11．答案B ∵ 1OA =，OB =0OA OB ⋅=∴△ABC 为直角三角形，其中1142AC AB == ∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+- ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B ．12．答案B 取特殊值、数形结合在ABC ∆中， 90oC ∠=，不妨取A （0，1）， C （0，0），B （0，1），则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠；AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+＝＝||||||||AB B C C C C C ''''''''+++＝||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+AC 'CBB 'C ''C∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述，真命题的个数1个，故本题的答案为B ．13．解：343A =3A N N C A N C a b ==+由得，12AM a b =+ ，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+ .14．2222=-y x 设),(y x M ，则),(y x OM =，又)1,1(),1,2(-=-=OB OA ，所以由OM mOA nOB =+ 得),(),2(),(n n m m y x -+-=，于是⎩⎨⎧+-=-=nm y nm x 2，由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为：2222=-y x .15．2- 如图，设xAO =，则xOM -=2，所以)(+⋅OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ，故当1=x 时，OM mOA nOB =+取最小值-2.16．21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m OC OB OA ---=-=-=，所以),1(),1,3(m m BC AB ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB 与BC 不共线，而当与共线时，有m m -=--113，解得21=m ，故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17．解析：（1）若与平行，则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ，因为]2,0(π∈x ，0sin ≠x ，所以得22cos -=x ，这与1|2cos |≤x 相矛盾，故a 与b 不能平行.（2）由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=，又因为]3,0(π∈x ，所以]23,0(sin ∈x ， 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+xx x x ，当x x sin 1sin 2=，即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22. 18．解：（Ⅰ）由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π). 所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π. （Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.19．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=->⎪⎝⎭，解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∞∞．（Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12212x x k+=-+． ②又1212()y y k x x +=++ ③而(01)()A B AB =，，．所以OP OQ + 与AB共线等价于1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得2k =．由（Ⅰ）知2k <-或2k >，故没有符合题意的常数k ．20．解：（Ⅰ）由已知得：222,2 4.AB ACAB AB AC AC⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩因此，228AB AC+=．（Ⅱ）2cosAB ACAAB AC AB AC⋅==⋅⋅，1sin2ABCS AB AC A=⋅△12AB=⋅=≤=．（当且仅当2AB AC==时，取等号），当ABC△1cos2AB ACAAB AC⋅==⋅，所以3π=∠A.解：（I）由条件知：0a b=≠且2222(2)444a b a b a b b+=++=42a-=⋅，设a b和夹角为θ，则41||||cos-==baθ，∴1cos4arcθπ=-，故a b和的夹角为1cos4arcπ-，（Ⅱ）令)a a b-和(的夹角为βa b-===，∴41021||||||||cos222=+=-=-=baabaaβ∴)a a b-和(的夹角为21．解析：如图，（Ⅰ）设D(x0,y0),E(x E,y E),M(x,y).由AD→=tAB→, BE→= t BC→,知(x D－2,y D－1)=t(－2,－2). ∴⎩⎨⎧x D=－2t+2y D=－2t+1同理⎩⎨⎧x E=－2ty E=2t－1.∴k DE =y E－y Dx E－x D=2t－1－(－2t+1)－2t－(－2t+2)= 1－2t.∴t∈[0,1] , ∴k DE∈[－1,1].（Ⅱ）如图, OD→=OA→+AD→= OA→+ tAB→= OA→+ t(OB→－OA→) = (1－t) OA→+tOB→,OE→=OB→+BE→= OB→+tBC→= OB→+t(OC→－OB→)=(1－t) OB →+tOC →, OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →－OD →)=(1－t) OD →+ tOE →= (1－t 2) OA → + 2(1－t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,－1), OC →=(－2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1－t 2)·2+2(1－t)t ·0+t 2·(－2)=2(1－2t)y=(1－t)2·1+2(1－t)t ·(－1)+t 2·1=(1－2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[－2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[－2,2]22．解析：（1）设(,)P x y ，(,)M x y ，则(,)O P x y = ，(,0)OQ x =，(2,)OM OP OQ x y =+=222212,1,124x x x x x x y y y y y y ⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩.（2）设向量OP与OM的夹角为α，则222cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅令231t x =+，则21(2)1422cos 433t t t t α+==++≥当且仅当2t =时，即P点坐标为(时，等号成立. OP ∴ 与OM夹角的最大值是.。
平面向量训练题
平面向量训练题一 、选择题1．下面判断正确的是（ ）A 、平行向量一定方向相同B 、共线向量一定相等C 、相等向量一定不共线D 、零向量与任一向量共线2．）的是（下列四式中不能化简为→-ADA 、→-→-→-++BC CD AB ）（B 、）（）（→-→-→-→-+++CD BC MB AMC 、）（）（→-→-→-→--++CB AD AB ACD 、→-→-→-+-CD OA OC3．），则（），（，），（设2142-=-=→→b aA 、共线且方向相反与→→b a B 、共线且方向相同与→→b a C 、不平行与→→b aD 、是相反向量与→→b a4．下列判断正确的是（ ）A 、在等边三角形ABC 中，向量BC AB ,的夹角为600 B 、A 、B 、C 三点在同一直线上，则BC AB ,的夹角为00 C 、菱形ABCD 中，,的夹角为900D 、若与的夹角为300，则-与-的夹角为1500 5．已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为（ ） A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 26．已知|a |=1，|b |=2且(a -b )⊥a ，则a 与b 的夹角为（ ） A 、 300 B 、 600 C 、 1200 D 、 15007、己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则 P 点坐标为( )428．如图1，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 和AB 的中点，G 是△ABC 中的重心，则下列各等式中不成立的是（ ）A 、→-→-=BE BG 32 B 、→-→-=AG DG 21C 、→-→--=FG CG 2D 、→-→-→-=+BC FC DA 2132319．已知向量2121,),4,3(),3,2(),2,1(λλλλ、则且+====的值分别 （ ） A 、-2，-1 B 、 1，-2 C 、 2，-1 D 、 -1，210．等边三角形ABC 的边长为1，===,,，则⋅+⋅+⋅等于（ ）A 、 3B 、 -3C 、23D 、 23-11．，方向的投影为在，方向的投影为在都是非零向量，若与设43→→→→→→a b b a b a →→b a 的模与则的模之比值为（ ）A 、43 B 、34 C 、73 D 、74 12．若21,e e 是夹角为600的两个单位向量，=221e e +，=2123e e +-， 则与的夹角为（ ）A 、 300B 、 600C 、 1200D 、1500 二、填空题13．。
2009届福建高三数学模拟试题分类平面向量
2009届福建省高三数学模拟试题分类平面向量T TOA 和向量OC 对应的复数分别为3 4i 和2 - i ，则向量AC 对应的复数为A . 5 3iB. 1 5iC . -1-5iD . —5-3i2、 （2009福州八中文）已知△ ABC 满足| BC |3+| BA |3=| CA |=1 , △ ABC 则必定为 C A .直角三解形B .钝角三角形C.锐角三角形D .不确定3、 （2009福州三中）已知向量 a b 满足|a|=1,|b|=2，且a （a 5） = 2,则a 与b 的夹 角为( )CJIJI JIA .B . 一C . 一D.—64324 、( 2009福州三中 ）已知占 八O 为ABC 所在平面内-—- 占八、且2 22222OA BC=0BCA =OCAB,则O一疋 为ABC的( ) CA .外心B . 内心C . 垂心D .重心■ - ■ 25、（2009龙岩一中第五次月考理）已知 AB BC AB =0 ,则厶ABC 一定是（***** ） B A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰直角三角形 6、（2009 龙岩一中第六次月考理）在 A ABC 中，• C =90 ,AB 二（k,1）, AC 二（2,3），贝Uk的值是（ ）A33A . 5B .— 5C .D.22d■ 4 4 *7、 （2009龙岩一中第六次月考文） 已知平面向量a = （1,-3）, ^ （4, -2）,若■ a - b 与a 垂、选择题1、（2009福州八中理）已知向量 v 1 v 、、3 v va = (— ,sin ： ),b = ( ,cos ：)，且 a 与 b 共2 2直, 则■■■■(B )A. -1B. 1C.-2D. 2_ 、填空题■11、(2009福州市）已知a=(t a^n _ ,b1),-(,1 若(a b) _ (a - b,)则t a n 二tan ^ - -22、（2009龙岩一中第五次月考文）已知向量线，则锐角：•等于 •一6三、解答题1、( 2009福建省)△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,向量mn =(cosBcosC,sinBsinC-),且 m _ n .(I)求A 的大小；(n )现给出下列四个条件：①a=1 :② b=2sinB :③ 2c-( . 3+1)b=O ;④ B=45°试从中再选择两个条件以确定厶 ABC ，求出你所确定的△ ABC 的面积. (注：只需选择一个方案答题 ，如果用多种方案答题，则按第一种方案给分) 口 73J3即 cosBcosC-sinBsinC=- , • cos(B+C)=-2 2-A+B+C=180，…cos(B+C)=-cosA,3• cosA= ,A=30 °2(n )方案一：选择①③可确定△ ABC. •/ A=30° ,a=1,2c-(3+1)b=0.由余弦定理12比2(亠b)2-2b •亠b 3, ...............................................................2 2 2整理得 b 2=2,b= -2,c^^^. ........................................................................................2••• S ABC JbcsinA J 池兰 2 .亠. ..............................................2 2 2 2 4解：(I) ■/ m _ n , ••• -cosBcosC+sinBsinC- 4 .................................................................................2(-1,1),2分4分5分6分7分9分11分13分方案二：选择①④可确定△ ABC. 7分•/ A=30° ,a=1,B=45 ° , A C=105°__ a sin C 1 *sin105 .6.2c=.. .....................................sin A sin 3021 . 1 V6 + V2 迈“3+1 S ABCacsin B1A 22 224(注：若选择②③，可转化为选择①③解决；若选择②④ ，可转化为选择①④解决，此略.评分 标准可参照以上解法自行制定 .选择①②或选择③④不能确定三角形)2、(2009 龙岩一中)已知 f (x )=! 7 -1,其中向量 a = ( J3sn2 ,xos x ), b = (1, 2cos x ) ( xR )(1)求f x 的单调递增区间；(2)在厶 ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c , f (A) =2 , a , B =-,4求边长b 的值；*解：⑴ f (x) = a • b — 1=( .. 3 sin2x , cosx ) • (1, 2cosx )— 1JEJE itJE JE由 2k n — 一 W 2x + —W 2k n+ 一 •得k n — — W x W k n + — 2 6 2 3 6\1A f (x)的递增区间为 k~ -- +(k € Z ) - 36HJI⑵ f (A) = 2si n ( 2A +—)= 2 A sin (2A +— )= 166JIJIJIA 2A += — A A =—6 2 6由正弦定理得：“需二亍川.•••边长b的值为• 6 •2又 sin 105 ° =sin(60+45° )=sin60 ° cos45 ° +cos60 ° sin45.6 ..2 4由正弦定理得 11分13分=、、3 sin2x + 2cos 2x — 1 = 3n:sin2x + cos2x = 2sin (2x -------- )612分。
高考数学一轮复习数学平面向量多选题的专项培优练习题(含答案
高考数学一轮复习数学平面向量多选题的专项培优练习题(含答案一、平面向量多选题1．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1ab += B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+3222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．2．如图，A ､B 分别是射线OM ､ON 上的点，下列以O 为起点的向量中，终点落在阴影区域内的向量是（ ）A ．2OA OB + B ．1123OA OB +C ．3143OA OB + D ．3145OA OB + 【答案】AC 【分析】利用向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于：OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1.据此即可判断出答案.【详解】由向量共线的条件可得：当点P 在直线AB 上时，存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1.可以证明点P 位于阴影区域内等价于： OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1. 证明如下：如图所示，点P 是阴影区域内的任意一点，过点P 作PE //ON ，PF //OM ，分别交OM ，ON 于点E ，F ；PE 交AB 于点P ′，过点P ′作P ′F ′//OM 交ON 于点F ′，则存在唯一一对实数(x ，y )，(u ′，v ′)，使得OP xOE yOF u OA v OB ''''=+=+，且u ′+v ′=1，u ′，v ′唯一；同理存在唯一一对实数x ′，y ′使得OP x OE y OF uOA vOB =+=+''， 而x ′=x ，y ′>y ，∴u =u ′，v >v ′，∴u +v >u ′+v ′=1，对于A ，∵1+2>1，根据以上结论，∴点P 位于阴影区域内，故A 正确； 对于B ，因为11123+<，所以点P 不位于阴影区域内，故B 不正确；对于C ，因为311314312+=>，所以点P 位于阴影区域内，故C 正确； 对于D ，因为311914520+=<，所以点P 不位于阴影区域内，故D 不正确； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用结论：①点P 在直线AB 上等价于存在唯一的一对有序实数u ，v ，使得OP uOA vOB =+成立，且u +v =1；②点P 位于阴影区域内等价于OP uOA vOB =+，且u >0，v >0，u +v >1求解是解题的关键.3．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，AB =（ ）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上C ．线段PG 长的最大值为1D ．PA PB ⋅的最小值6+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r =--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G x y ，2AB =G 为弦AB 的中点，GB ∴=，而()()22:114C x y +++=， 半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确； 对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩， 代入()()2222x y -+-整理得2， 故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r ∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确； 对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+ ()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误； 故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.4．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD 【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.5．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以222289cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FEαααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，849(1,]5822cos2819α----⋅，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确； 故选：BCD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 【答案】CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a ba b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.7．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.8．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =B ．AB BC =C ．AB CD AD BC -=+ D ．AD CD CD CB +=-【答案】BCD 【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B 结论正确，A 结论错误；因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确； 因为AD CD BC CD BD +=+=，||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.二、立体几何多选题9．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当)3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误；对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈， 所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =， 由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r +=，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．10．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ）A ．2A BCO D S SS ⋅=； B ．3333A B C D S S S S <++；C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222111sin sin sin 1αβγ++=；D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则22cos α+2222cos cos 1βγ+=．【答案】ACD【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误.【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅，12BCO S BC O O '=⋅， 22221124D S BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭ 所以2A BCO D S S S ⋅=，故A 正确．对B ：当1a b c ===时，33318B C D S S S ===，则33338B C D S S S ++=， 而332333322288A S ⎛⎫=⨯⨯=> ⎪ ⎪⎝⎭，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，222AM x y z =++，(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM AB AM AC AM AD αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222221x y z AM AM AM =++=，所以D 正确．对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=，由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确．故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.。
高三第一轮复习数学平面向量同步和单元试题8套
第五章平面向量§1、向量概念及向量的初等运算一、选择题1.下列命题中的假命题是( )A.向量AB与BA的长度相等B.两个相等向量若起点相同，则终点必相同C.只有零向量的模等于0D.共线的单位向量都相等2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是( )A.有相同起点的向量B.单位向量C.相等的向量D.模相等的向量3.如图，△ABC中，DE∥BC，则其中共线向量有( )A.一组B.二组C.三组D.四组4.若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式①｜a｜＞｜b｜；②a∥b；③｜，其中正确的有( )｜＞0；④｜｜=±1A.①④⑤B.③C.①②③⑤D.②③⑤5.四边形ABCD中，若向量与是共线向量，则四边形ABCD( )A.是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形6.把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一个圆面C.圆上的一群弧立点D.一个圆7.若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于( )A. B. C. D. 不存在8.命题p：a与b是方向相同的非零向量，命题q: a与b是两平行向量，则命题p是命题q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、判断题1.向量AB与BA是两平行向量.( )2.若是单位向量，也是单位向量，则=.( )3.长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量.( )4.与任一向量都平行的向量为向量.( )5.若AB=DC,则A、B、C、D四点构成平行四边形.( )6.两向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点也相同.( )7.设O是正三角形ABC的中心，则向量的长度是长度的3倍.( )8.已知四边形ABCD是菱形，则｜AC｜=｜BD｜是菱形ABCD为正方形的充要条件.( )9.在坐标平面上，以坐标原点O为起点的单位向量的终点P的轨迹是单位圆.( )10.凡模相等且平行的两向量均相等.( )三、填空题1.已知a，b，c为非零向量，且a与b不共线，若c∥a，则c与b必定 .2.已知｜｜=4,｜｜=8，∠AOB=60°，则｜｜= .3.如图，已知O是正六边形的中心，则在图中所标出的各向量中，模等于该正六边形边长的向量共有个.4.如图所示，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形，则①与向量AB共线的向量有；②若｜｜=1.5,则｜｜= .5.已知四边形ABCD 中，AB =21,且｜AD ｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 .四、解答题1.如图，在△ABC 中，已知：向量AD =DB ,DF =BE ,求证：DE =AF .2.在直角坐标系中，将所有与y 轴共线的单位向量的起点移到x 轴上，其终点的集合构成什么图形?参考答案：一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.A二、1.√ 2.³ 3.³ 4.√ 5.³ 6.³ 7.√ 8.√ 9.√ 10.³三、1.不共线 2.43 3.12 4.①ED ，，，DE ，，，BA ②3 5.等腰梯形四、1.提示：证F 平分AC ，E 平分BC.2.平行于x 轴，且与x 轴的距离为1的两条直线§2、平面向量坐标运算一、选择题1.若，是不共线的两个向量，且=λ1+, =+λ2(λ1,λ2∈R)，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是( )A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=02.已知=(3,-1), =(-1,2)，则-3-2的坐标是( ) A.(7，1)B.(-7，-1)C.(-7，1)D.(7，-1)3.已知a =(-1,3), b =(x,-1)，且a ∥b ，则x 等于( )A.3B. 31C.-3D.-314.已知平行四边形ABCD 中，AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线AC 、BD 交于O ，则的坐标是( )A.(- 21，5)B.(- 21， -5) C.( 21)，-5)D.( 21，5)5.若向量a =(x-2,3)与向量b =(1,y+2)相等，则：( ) A.x=1,y=3 B.x=3,y=1 C.x=1,y=-5D.x=5,y=-16.三点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)、C(x 3,y 3)共线的充要条件是( ) A.x 1y 2-x 2y 1=0B.x 1y 3-x 3y 1=0C.(x 2-x 1)(y 3-y 1)=(x 3-x 1)(y 2-y 1)D.(x 2-x 1)(x 3-x 1)=(y 2-y 1)(y 3-y 1)7.设=(23,sin α), =(cos α,31)且∥，则锐角α为( )A.30°B.60°C.45°D.75°8.已知向量=(6,1), =(x,y), =(-2,3),则=( ) A.(x+4,2-y) B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)9.已知=(1,2), =(x,1)，当+2与2-共线时，x 值为( )A.1B.2C. 31D. 2110.如果1e 、2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么( ) A.若实数λ1、λ2，使λ11e +λ22e )=0,λ1=λ2=0B.空间任一向量可以表示为=λ11e +λ22e ,这里λ1、λ2是实数C.对实数λ1、λ2，λ11e +λ22e )不一定在平面α内D.对平面α内的任一向量，使=λ11e +λ22e 的实数λ1、λ2有无数对.二、填空题：1.已知1e 、2e 是一对不共线的非零向量，若=1e +λ2e , =-2λ1e -2e ,且、共线，则λ= .2.已知=(1,2), =(2,1), =(3,-2),且=λ+μ，则实数λ= ,μ= .3.若向量=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 .4.在△ABC 中，已知=,=，O 是△ABC 的重心，则+= .5.已知、是两非零向量，且｜｜=m,｜｜=n ，=+，当m ＜n 时，｜｜的最小值是 .三、解答题：1.已知a =,B(1,0), b =(-3,4), c =(-1,1)，且a =3b -2c ，求点A 的坐标.2.已知△ABC，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 中点，MN 与AD 交于F ，求DF .3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以AB 、AC 为一组基底来表示AD ++.参考答案一、1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.A二、1.±222.λ=-37,μ=383.(-1，2)4. 31 (-)5.n-m 三、1.(8，-10) 2. =-21=(47,2) 3.32-22AC§3、平面向量的数量积一、选择题1.已知｜｜＝｜｜＝1，｜+｜＝1，则｜-｜等于( ) A.1 B. 3C.23) D.2 2.有四个式子：(1) ²=;(2) ²=0;(3) -=;(4)｜²｜＝｜a ｜²｜b ｜其中正确的个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个3.设向量a 和b 的长分别为6和5，夹角为120°，则｜a +b ｜等于( ) A.32 B.-32C. 91D.314.在四边形ABCD 中，²=0，且=,则四边形ABCD 是( ) A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形5.已知｜｜=63,｜｜=1, ²=-9,则与的夹角是( ) A.120°B.150°C.60°D.30°6.对任意向量a 、b ,｜a ｜²｜b ｜与a ²b )的大小关系是( ) A.｜a ｜²｜b ｜＜a ²b B.｜a ｜²｜b ｜≤a ²b C.｜｜²｜｜≥²D.无法确定7.已知下列各式：①2=｜｜2;②2a∙=;③(²)2=2² 2;④(-)2=2-2²+2，其中正确的是( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知｜a ｜＝｜b ｜=1, a 与b 的夹角为90°，且c =2a +3b ,d =k a -4b ,c ⊥d ，则k 的值为( )A.-6B.6C.3D.-39.已知2=1, 2=2,( -)²=0,则与的夹角是( ) A.60°B.90°C.45°D.30°10.已知｜｜=a,｜｜=b ，向量和的夹角为θ，则｜-｜等于( ) A. θcos 222ab b a ++ B. θsin 222ab b a ++ C. θsin 222ab b a -+D. θcos 222ab b a -+二、填空题1.已知A(1，3)，B(2，4)，C(5，6)，则AB ²AC +AC ²BC = .2.已知A(3,m),B(2m,1),若｜｜=2,则m= .3.已知为单位向量，｜｜＝４, 与的夹角为32π，则与方向上的投影是 .4.已知a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝1,且(a -b )2=3,则a ²b = . 5.若｜a ｜=2,｜b ｜=2，a 与b 的夹角是45°，且λb -a 与a 垂直，则λ= .三、解答题1.已知｜a ｜=3,｜b ｜=4, a 与b 的夹角为150°，求(1)( a -3b )²(2a +b );(2)｜3-4｜2.已知｜｜=5,｜｜=4,且与的夹角为60°，问当且仅当k 为何值时，向量k a -b 与a +2b 垂直?3.若｜｜=13,｜｜=19,｜+｜=24，求｜-｜的值.参考答案一、1.B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B 9.C 10.D 二、1.25 2.5194± 3.-2 4.2 5.arccos 2552 三、1.(1)-30+303 (2)337+1443 2.k=15143.22 §4、线段的定比分点和平移平移一、选择题1.一个向量按点(-1，1)平移到(2，-3)，则的坐标是( ) A.(1，-2)B.(-3，4)C.(3，-4)D.(3，4)2.将A(3，4)按a =(1,2)平移，得到的对应点的坐标是( ) A.(4，6)B.(2，2)C.(4，2)D.(2，6)3.向量a 将点P(0，m)平移到P ′，P ′的坐标为(m,0)，则向量a 为( )A.(m,-m)B.(0,-m)C.(-m,m)D.(-m,-m)4.将图像F 按=(h,k)(其中h ＞0,k ＞0)平移，就是将图形F( )A.向x 轴的正方向平移h 个单位，同时向y 轴的正方向平移k 个单位B.向x 轴的负方向平移h 个单位，同时向y 轴的正方向平移k 个单位C.向x 轴的正方向平移k 个单位，同时向y 轴的正方向平移h 个单位D.向x 轴的负方向平移k 个单位，同时向y 轴的正方向平移h 个单位5.将曲线y=f(x)上的点P(1，0)平移变为P ′(2,0),平移后得到曲线的新解析式为( )A.y ′=f(x ′-1)B.y ′=f(x ′)-1C.y ′=f(x ′+1)D.y ′=f(x ′)+16.将函数y=221x 的图像按平移，平移后的函数解析式为y=2121-x -1,则=( ) A.(-2,1)B.(2,-1)C.(1,-1)D.(-1,1)7.把一个函数的图像按=(4π,2)平移后得到的图像的函数解析式为y=sin(x+4π)+2，那么原来函数的解析式为( )A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinx+2D.y=cosx+48.将函数y=sin2x 的图像按向量=(-6π,1)平移后所得图像的解析式是( ) A.y=sin(2x+3π)+1 B.y=sin(2x-3π)+1C.y=sin(2x+6π)+1D.y=sin(2x-6π)+19.将函数y=x+2的图像l 按=(6,-2)平移的l ′的解析式为( ) A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1010.为了得到y=f(-2x)的图像，可以把函数y=f(1-2x)的图像按向量进行平移，则等于( )A.(1，0)B.(-1，0)C.(21，0) D.(-21，0) 二、填空题：1.按a =(m,n)平移，使方程4x 2+4y 2+16x-18y-11=0,变为4x 2+9y 2=36,则a = .2.把函数y=log 2(2x-3)+4化简为y=log 22x,则需平移a = .3.将函数y=x 2-2x+2的图像按a=(-1,1)平移，则平移后的图像所对应的函数解析式为 .4.将函数y=f(x)按a=(1,-2)平移后得到y=6x 2+3x-2,则f(x)= .5.一个向量a 把点(-1，-1)平移到(-1，0)，则点(-1，0)平移到 .6.抛物线y=4x 2按a (1，2)平移后，其顶点在一次函数y=21x+2b的图像上，则b= .三、解答题1.将方程9x 2-4y 2-18x-16y-43=0的图像C ，按向量a =(h,k)平移后得到的图像的方程为42x -92y =1，试求向量.2.将函数y=log 2(x+3)+2的图像按向量a =(3,-3)平移后可得到函数y=f(x)的反函数图像，试求f(x)的解析式.3.将一次函数y=mx+n 的图像C 按向量a =(2，3)平移后，得到的图像仍然是C ，求m 的值.参考答案一、1.C 2.A 3.A 4.A 5.A 6.B 7.B 8.A 9.B 10.D二、1.(2，-1) 2.(-23，-4) 3.y=x 2+2 4.6x 2+15x+9 5.(-1，1) 6.3 三、1. =(-1,2) 2.f(x)=2x+13.m=23线段的定比分点一、选择题1.设点P 分21P P 的比为λ，若｜21P P ｜=4｜2PP ｜，则λ的值为( ) A..-5或3 B.-4或2 C.5或-3 D.4或-22.点P 分AB 的比为43，则A 分BP 所成的比为( ) A.73B. 37C.- 37D.- 743.已知点A(1，8)，B(5，0)且｜PA ｜=3｜PB ｜,(A 、B 、P 三点共线)则点P 的坐标为( ) A.(4，2) B.(7，-4) C.(4，2)或(7，-4) D.不存在4.点P 分有向线段21P P 成定比λ，若λ∈(-∞，-1)，则λ所对应点，P 的集合是( ) A.线段P 1P 2B.线段P 1P 2或P 2P 1的延长线C.射线P 2P 1D.线段P 1P 2的反向延长线5.已知A(2，3)、B(3，4)、C(1，5)，则△ABC 重心G 的坐标为( )A.(2，4)B.(4，2)C.(-2，-4)D.(-4，2)6.已知M(-1，0)，N(5，6)，P(3，4)，P 为MN 的定比分点，则λ的值是( ) A.31 B.3 C.21 D.27.在△ABC 中，A(3，1)，AB 中点为D(2，4)，三角形的重心G(3，4)，则B 、C 坐标分别为( )A.(1，7)、(4，5)B.(1，7)、(5，4)C.(7，1)、(4，5)D.(7，1)、(5，4)8.已知：平面上有三个点A(-2，1)、B(1，4)、D(4，-3)，又有一点C 在AB 上，使｜CB ｜=2｜AC ｜，连结DC 并延长至E ，使｜DE ｜＝4｜CE ｜，则点E 的坐标为( )A.(0，1)B.(-83，311) C.(0，1)或(-38，311)D.(-8，-35)二、填空题1.已知A 、B 、C 三点共线，且=-32,则= .2.已知△ABC 的顶点A(4，5)，重心G(-1，2)，则BC 边的中点D 坐标为 .3.已知两点A(-1，4)、B(5，-2)，按2∶1分AB 的内分点的坐标为 .4.连接A(-3，2)、B(4，-8)的线段，则内分线段为3∶1的点的坐标为 .5.△ABC 的重心在原点，A(1，4)，B(-3，-3)，则C 点的坐标为 .三、解答题1.三角形三边中点为(2，1)，(3，4)，(-1，7)，求三个顶点的坐标.2.已知点M(2，3)、N(8，4)，点P 在线段MN 内，且=λ=λ2，求λ的值及P 点的坐标.3.已知两点A(3，-4)、B(-9，2)，在直线AB 上求一点P ，使得｜AP ｜=31｜AB ｜.参考答案一、1.A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.D 7.B 8.B 二、1.21 2.(- 27，21) 3.(3，0) 4.( 49，-211) 5.(2，-1) 三、1.(0，10)，(-2，4)，(6，-2) 2.λ=215-,P(11-35,259-) 3.P(-1，-2)或P(7，-6)§5、三角形中的有关问题正弦定理 余弦定理一、选择题1.在△ABC 中，已知a=52,c=10,A=30°，则B 等于( ) A.105°B.60°C.15°D.105°或15°2.在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30°B.0°＜A ≤45° A.0°＜A ＜90°D.30°＜A ＜60° 3.在△ABC 中，若2cos A a =2cos B b =2cosC c，则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形4.在△ABC 中，若a=2,b=22,c=6+2，则∠A 的度数是( )A.30°B.45°C.60°D.75°5.设m 、m+1、m+2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是( ) A.0＜m ＜3 B.1＜m ＜3 C.3＜m ＜4 D.4＜m ＜66.在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于( )A.75°B.120°C.135°D.150°7.△ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°B.120°C.60°或120°D.45°8.在△ABC 中，若A=60°,b=16,且此三角形的面积S=2203，则a 的值是( ) A. 2400B.25C.55D.499.在△ABC 中，若acosA=bcosB,则△ABC 是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角10.在钝角三角形ABC 中，三边长是连续自然数，则这样的三角形( ) A.不存在 B.有无数多个 C.仅有一个 D.仅有两个二、填空题1.在△ABC 中，A=120°,B=30°,a=8,则c= .2.在△ABC 中，已知a=32,cosC=31,S △ABC =43，则b= . 3.已知锐角三角形边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 . 4.在△ABC 中，A=60°,b ∶c=8∶5,其内切圆关径r=23,则a= ， b= ,c= .5.在△ABC 中，A=60°,b=1,面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++= .6.在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，且边b=2，则外接圆半径R= .三、解答题1.设三角形三边长分别为15，19，23，现将三边长各缩短x 后，围成一个钝角三角形，求x 的取值范围.2.在△ABC 中，已知它的三边a ，b ，c 成等比数列，试证明：tan 2A tan 2C ≥31.3.已知在△ABC 中，c=22,a ＞b,C=4π,tanA ²tanB=6,试求a,b 以及此三角形的面积.参考答案一、1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 二、1.338 2.213 3.(5，13) 4.14，10，16 5. 338 6. 332 三、1.3＜x ＜112.提示可证：a+c ≥2b ，再得sinA+sinC ≥2sinB ，和差化积可得结论3.a=5106,b=558,S △=524解斜三角形应用举例1.某人向正东方向走x 千米后，他向右转150°，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值为( )A. 3B.23C.23D.32.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则坡度要伸长( )A.1B.sin10°C.cos10°D.cos20°3.一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距离20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A.20(6+2)海里/小时B.20(6-2)海里/小时C.20(6+3)海里/小时D.20(60-3)海里/小时4.如图，在河岸AC 测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是( )A.c 与aB.c 与bC.a 与βD.b 与α 5.若P 在Q 的北偏东44°50′，则Q 在P 的( ) A.东偏北45°10′ B.东偏北45°50′ C.南偏西44°50′ D.西偏南45°50′ 6.若水渠侧面的坡度i=m ∶n ，则sin α等于( ) A.22nm m + B.22nm n +C.22n m mn + D.mn 7.在△ABC 中，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,那么A 等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150°8.△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC=m ∶(m+1)∶2m ，则m 的取值范围是( ) A.m ＞2B.m ＜0C.m ＞-21 D.m ＞21二、填空题 1.在△ABC 中，若有2B A -=ba ba +-,则△ABC 是 三角形.2.海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是 .3.一段河堤的横截面为梯形ABCD ，迎水坡AB 的坡度i=3∶1，背水坡CD 的坡度是i ′=1∶2，现高24米，坝顶BC=4米，求AB= ,AD= .(结果保留根号)4.一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，求树干原来的高度 .5.当太阳光线与地面成θ角时，长为l 的木棍在地面上的影子最长为 .6.某车向正南方向开了S 千米后，向右转θ(0°＜θ＜90°)角，然后又开了m 千米，结果该车离出发地点恰好n 千米，则S 等于 (用m 、n 及θ表示).三、解答题1.把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且∠ABC=120°.问怎么锯断才能使第三条边AC 最短.2.在一幢高40米的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔底的俯角为30°，问该塔的高为 米?3.现有三个向量a 、b 、c ，若a +b +c =0,(a ,b )=135°,( b ,c )=120°,｜c ｜=2,求｜a ｜、｜b ｜.参考答案一、1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.D二、1.等腰或直角 2.56海里 3.163米，52+83米 4.(10+53)米 5.θsin 16.θ222sin m n - -mcos θ三、1.锯成相等两段时 2.160 3.6，3+1单元测试卷一、选择题：(本大题共12小题,每小题3分, 共36分) 1．若i = (1,0), j =(0,1)则与2i +3j 垂直的向量是( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j2．m,n ∈R , b a ,都是非零向量,且=c m b n a +,b a ,有公共的起点, 若b a c,,终点共线,则m,n 满足( )A ．m+n=1B ．m －n=1C ． m + n =－1D ． m 2+ n 2=13．已知A(1,2) 、B(5,4) 、C(x,3) 、D(－3,y) 且AB ∥CD ,则x 、y 的值分别为 ( )A ．－7,－5B ． －7,5C ． 7,－5D ． 7,5 4．在△ABC 中,AB=2,AC=4, ∠A=︒120,D 为BC 边中点, 则AD 长等于( )A ．1B ．2C ．2D ．35．已知a 、b 为两个单位向量，下列命题正确的是 （ ） A.a =b B.a ²b =0 C.|a ²b |<1 D.a 2=b 26．己知q p q p,,3||,22||==的夹角为︒45,则以q p b q p a 3,25-=+=为邻边的平行四边形的对角线长为 ( )A ．15B ．15C ．14D ．167． 将函数y=f(x)的图象按向量a=(2,－1)平移得到y =x-3的图象, 则f(x)的表达式为( )A ．y = 3－(x+2)+1 B ．y =1312-+xC ．y = 132+-xD ． y=132--x8．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,|2|21PP P P =, 则P 点坐标为( )A ．(－2,11)B ．()3,34C ．(32,3)D ．(2,－7)9．已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(－1,3) 与AC AB 2+方向相反的单位向量是( )A ．(0,1)B ．(0,－1)C ． (－1,1)D ．(1,－1) 10．在△ABC 中,sinA ：sinB ：sinC = m ：(m+1) ：2m, 则m 的取值范围是( ) A ．m >－21 B ．m<0 C ．m>21D ．m>211．已知：),5,0(),1,3(=-=且∥,⊥AB ,则点C 的坐标为( )A ．(－3,－429) B ．(－3,429) C ． (3, 429) D ．(3,－429) 12．在△ABC 中, 已知C=2B, 则BBsin 3sin 等于( )A ．a cB ．c aC ．a bD ．ba二、填空题：(本大题共4个小题, 每小题3分, 共12分)13．己知)3,0(),1,0(==,把向量绕点A 逆时针旋转︒90,得到向量,则向量._______=OC14．32041||,5||,4||-=-==b a b a ,则b a,的夹角为_______.15．在△ABC 中, 若cosA=53,sinB=135,则cosC=_________. 16．已知),2,1(,5||==b a若a ∥b 且方向相反, 则a 的坐标是________.三、解答题：(本大题共6个小题, 共52分) 17.(8ˊ)已知).1,2(),0,1(==b a①求|3|b a+；②当k 为何实数时,k -ab与b a3+平行, 平行时它们是同向还是反向？18.( 8ˊ)已知,1||,2||==b aa 与b 的夹角为3π,若向量b k a +2与b a +垂直, 求k.19.(8ˊ) 设e 1，e 2是两个垂直的单位向量，且a =－(2e 1+e 2)，b =e 1－λe 2. (1)若a ∥b ，求λ的值；(2)若a ⊥b ，求λ的值.20.( 9′)已知⊿ABC 中，2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+。
平面向量(单元测试)高考数学一轮复习讲练测Word版含解析
高考数学一轮复习讲练测Word 版含解析第五章 平面向量 （单元测试）【满分：100分 时间：90分钟】一、选择题(本大题共18小题，每小题3分，共54分)1．（山东省邹城市2018-2019学年期中）分析下列四个命题并给出判断，其中正确的命题个数是（ ）①若//a b r r ，则a b =r r ； ②若a b=r r ，则a b =r r ；③若a b =r r ，则//a b r r ④若a b =r r ，则a b =r rA ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】对于①，当两个向量平行时，大小和方向可能不相等，即两个向量不一定相等，故①错误.对于②，两个向量模相等，方向不一定相同，故②错误.对于③，两个向量模相等，不一定共线，也可能垂直或者其它的情况，故③错误.对于④，如果两个向量相等，则大小和方向都相同，故④命题正确.综上所述，共有1个命题为真命题，故选B 。
2．（河南省郑州市八校2018-2019学年联考）对于非零向量,,a b c r r r，下列命题正确的是（ ）A ．若a b a c ⋅=⋅r rr r，则b c =r rB ．若a b c vvv+=，则a b c+>r r rC ．若()0a b c ⋅⋅=r r r r，则a b ⊥r rD ．若0a b ⋅>r r，则,a b r r 的夹角为锐角【答案】C【解析】若a b a c ⋅=⋅v v v v，则()a b c v v v⋅-⇒()a b c⊥-v v v ，故A 错误；若a b c +=v v v ，则a b a b c+≥+=v v v v v，故B 错误；非零向量,,a b c v v v ，()00a b c a b a b v v v v v v v v ⋅⋅=⇒⋅=⇒⊥，故C 正确；若0a b ⋅>vv ，则,a b r r的夹角为锐角或0，故D 错误，故选C 。
3．（山东省师大附中2019届高三模拟）设是非零向量，则是成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由可知：方向相同，表示方向上的单位向量，所以成立，反之不成立，故选B 。
5年高考题 3年模拟题 分类汇编 平面向量 部分
第五章 平面向量、解三角形第一节平面向量第一部分 五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （） ，b =2,x x （－）， 则向量+a b ( ) A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线答案 C解析 +a b 2(0,1)x =+,由210x +≠及向量的性质可知,C 正确.2.（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力123,,F F F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F ，2F 成060角，且1F ，2F 的大小分别为2和4，则3F 的大小为()A. 6B. 2C. 答案 D解析 28)60180cos(20021222123=--+=F F F F F ，所以723=F ，选D. 3.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( )A ．3 B.4 C ．5 D ．6答案 C解析 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点, 对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能 实现．4.（2009浙江卷文）已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（ ）A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93-- 答案 D解析 不妨设(,)C m n =，则()1,2,(3,1)a c m n a b +=+++=-，对于()//c a b +，则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b ⊥+，则有30m n -=，则有77,93m n =-=-【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．5.（2009北京卷文）已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么( )A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 答案 D解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查. ∵a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D.6.（2009北京卷文）设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PPP ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=，则集合S 表示的平面区域是 ( ) A ． 三角形区域 B ．四边形区域C ． 五边形区域D ．六边形区域答案 D解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 为各边三等分点，答案是集合S 为六边形ABCDEF ，其中，()021,3i P A P A PA i =≤= 即点P 可以是点A. 7.（2009北京卷理）已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c //d ，那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向答案 D七彩教育网 免费提供Word 版教学资源七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 查.取a ()1,0=，b ()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-， 显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--， 即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D.8.(2009山东卷理)设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 答案 B解析 :因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B 。
2009届全国名校高三模拟试题汇编——053平面向量解答题
2009届全国名校高三数学模拟试题分类汇编平面向量三、解答题1、(甘肃省兰州一中2008 —2009高三上学期第三次月考)在厶ABC中，AB AC AB - AC |二2.(I)求|AB|2| AC |2的值；(II )当厶ABC的面积最大时，求/ A的大小。
w.w.wks5u.c.o.m& 丄「口[A B A C=2,解：(I)由已知得.---- 2 2| AB |2-2AB AC |AC|=4因此，| AB|2| AC |2=8. ........... 4 分（II）— , •………6 分| AB | J AC | | AB | J AC |A ____________ «. _____ » A ____________ *. __ --------------------------------------------------S ABC =—| AB | | AC | sin A = — | AB | | AC | ,1 - cos2 A2 2」.| AB |2 | AC |2 - | AB |2 | AC |2 cos2 A J .. | AB |2 | AC |2 -4 2 2' ---- 2 ------------------ 2| AB| |AC丨）2 _4 = .3（当且仅当| AB|=|AC|=2时,取等号）—AB AC 112分当:-ABC的面积最大值•. 3时,cos A ，—A .| AB | J AC | 2 32 (河北省衡水中学2008 —2009学年度第一学期期中考试)已知i,j分别是x轴、y轴方向上的单位向量，OA—= j',OA2=10j，且代/代=3 A n A n —(n =2,3,4…)，在射线y = x(x 一0)上从下到上依次有点B i(i =1,2,3 ), OB^3i 3j 且|B n4B n|=2.2(n =2.34 )（1）求A4A5 ；（2）求OA n ；OB n(3)求四边形A n A n —B n —B n面积的最大值.• - 1 •解: （1）A n 4A n = 3A n A n 1 A n A n 1 A n 4 A n3----- 1 --------- 1 2 ---------- 1 3 ----------- 1 1 所以人4人=3人3九=（7）2A2A3 =（3）3人人=27（OA2 -OA） r j3 3 3 2/ 31 1 7（2）由（1）■ A n A n 1 A A2 二-3^j1OA PA, AA2 代4代=j 9j Rj3111(2n 3)尹 29 一 (严2.2 29 n -2 3nJ32n 1而 S n 1 _ S n 二 g nN- S min = 3 ： • 2 3、(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)如图所示,12分四边形 OABP 是平行四边形，过点 P 的直线与射线 0A 、 0B 分别相交于点 M 、N ，若0M = x0A , ON = y0B .(1) 把y 用x 表示出来(即求y = f(x)的解析式)；(2) 设数列｛a n ｝的首项a 1= 1，前n 项和S n 满足：S n = f(S n -1)(n A 2)，求数列｛a n ｝通项公式. -- > ---- > ----- > ----- > ------ > ---- > ----- > ------ > ----- >解：(1) 0P = AB = 0B — 0A ，贝y NM = 0M — 0N = x 0A — y 0B ,-- > > > > > ------------------------- > ----------- > >MP = 0P — 0M = ( 0B — 0A) — x 0A =— (1 + x) 0A + 0B__ > _____ > x又 NM // MP ，有 x — y(1 + x)= 0, 即卩 y = (x >0)； .........x + 1S1 - 1 1 Sn —1 + 1 1(2)当 n A 2 时，由 S n = f(S n -1)= 一+1 则才=匚 =—+ 11又S ]= a 1= 1，那么数列｛&｝是首项和公差都为1的等差数列, 1 1则&= 1 + (n — 1) = n ,即 Si = _, Si n10分 故a n = /I (n = 1)$ — $-1(n >2) (n = 1) _ n(n — 1) (n > 2)・ 12分29一(3)心:| B n 」B n |=2、..2 且 B nj .B n 均在射线 y = x(x 一 0)上，.B nj B^2i 2j.0B n =0B 「B 1B 2 B nj B n = 3i 3j (n - 1)(2i 2j) = (2n 1)i (2n 1) j(3)四边形 A n A n 1B n 1 B n 的面积为 S ^ = S 'A 1A n 1B n 1 ' S B n 1B n A nTA n Am 匕点，AA n.1B n.1 的底边 A n A n 1 上的高 g = 2n 3 329一(捫 才一)到直线y = x(x _ 0)的距离为: 29-(3严2 2又 |B n A B n 2 , A n (0,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4、(江西省崇仁一中2009届高三第四次月考)已知向量a = (1,2) , b= (-3,2)，向量X 二ka ・b , y = a-3b . (1 )当k 为何值时，向量x_ y ;(2)若向量x 与y 的夹角为钝角，求实数 k 的取值范围.解：x = ka b = (k-3,2k 2) , y = a _3b = (10,4)................. 1 分 (1) x_ y ，则 x ・y =0，即 10(k-3)_4(2k 2)=0, 2k =38 , . k =19 ……6 分<0，二 2k-18c0，即 kc19 a • bIT -*■ —* 但此时一， ，x 与 y 不共线2 1若 x 与y 共线，则有 -4(k -3) -10(2k2) = 0 , k 3 1故所求实数k 的取值范围是k ：19且k ................. 12分3 ■ ■5、(2009届福建省福鼎一中高三理科数学强化训练综合卷一)设a 、b 是两个不共线的非零向量( -4 4^* * T 1 片 J(I)记OA= a,OB=tb,OC 二丄(a + b),那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？3 ■(n)若| a |=| b |= 1 且 a 与 t 夹角为120，那么实数x 为何值时| a - xb|的值最小？解：(1) A 、B 、C 三点共线知存在实数 -,使0C 二’0A • (1 - JOB1 - 即一(a b)二■ a (1 - )tb , ...................................................................... 3 1 1贝「=-,实数t 一 ............................................. 3 21(2) a b Ha| |b|cos120 ,2 2 2 2 2 2 |a -xbp =a x b -2x a b = x x 1, ............................................ 当x = -丄时| a —xb |取最小值— ............................2 ' 2x * y(2) x ・y=2k —38又 cosT = __ 10分4分6分 9分12分。
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平面向量训练题一、选择题：(带☆的为近年高考题)1． 2007—2008学年湖北省黄州西湖中学二月月考试卷过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD x A B = ，AE yAC =，0xy ≠，则11x y+的值为（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）12．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．设00,a b 分别是与,a b向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A ．00a b =B ．01a b ⋅=C ．00||||2a b +=D ．00||2a b +=4．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ）A ．0,24B ．24,4C ．16,0D ．4,0☆5．设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，则必有 （ ）A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b6．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB = 2AP ，则点P 的坐标为（ ）A ．(3,1)B ．(1,1)-C ．(3,1)或(1,1)-D ．无数多个7．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB 、BC 分别为a 、b ，则AH =（ ）A ．52a -54b B ．52a +54b C ．-52a +54b D ．-52a -54b☆8．设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为（ ）A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2,－6)D ．(－2,－6)9．若平面向量与向量)2,1(-=的夹角是o180，且53||=，则=( )A ．)6,3(-B ．)6,3(-C ．)3,6(-D ．)3,6(-10．向量(2,3)a = ，(1,2)b =-，若ma b + 与2a b - 平行，则m 等于A ．2-B ．2C ．21D ．12-AB C E FDH11．设3(,sin )2a α= ，1(cos ,)3b α= ，且//a b，则锐角α为（ ）A ．030 B ．060 C ．075 D ．04512．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A.2 B.3 C.23 D.3213．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( )A ．)2,4(B ．)2,4(--C ．)3,6(-D ．)2,4(或)2,4(--☆14．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P 的坐标为（ ）A （-2，4）B （-30，25）C （10，-5）D （5，-10）☆15．设(43)=，a ,a 在b b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ ） A ．(214)，B ．227⎛⎫-⎪⎝⎭， C ．227⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．(28)，☆16．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c =b b a a a a ⎪⎭⎫⎝⎛∙∙-，则向量a 与c 的夹角为 ( )A. 0B.6π C. 3π D. 2π ☆17．平面向量a =(x ，y )，b =(x 2，y 2)，c =(1，1)，d =(2，2)，若a ·c =b ·d =1，则这样的向量a有 ( )A. 1个B. 2个C. 多于2个D. 不存在 ☆18．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心☆19．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB AC |AB ||AC |+)，),[∞+∈λ0，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心 二、填空题：20．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-，b =1，且5a b ⋅= ，则向量=____。
21．若3a = ,2b = ，且a 与b 的夹角为060，则a b -= 。
22．把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是_____。
23．已知)1,2(=a与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________。
24．已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→c ，则→c =____。
25．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为 ．26．若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+=__________。
27．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-= 则||a b +=。
☆28．在A B C ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最小值是____ _.☆29.设向量b ,满足()⊥⊥-=++,, b,若1=,则++的值是☆30．如图2, AB OM //, 点P 在由射线OM ,线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且y x +=, 则x 的取值范围是__________;当21-=x 时, y 的取值范围是__________.三、解答题: 31．求与向量(1,2)a = ，(2,1)b = 夹角相等的单位向量c的坐标．32．（1）已知|a |=4，|b |=3，（2a －3b ）·（2a +b ）=61，求a 与b 的夹角θ； （2）设=（2，5），=（3，1），=（6，3），在上是否存在点M ，使 ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.33．已知点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈(23,2ππ)。
(1)若||||AC CB = ，求角α的值； (2)若AC CB ⋅ =1，求aa a tan 12sin sin 22++的值.34. 2008年成都名校联盟高考数学冲刺预测卷二已知a ＝（αcos ，αsin ），b ＝（βcos ，βsin ），a 与b 之间有关系式|k a +b |=3|a -k b |，其中k ＞0．（1）用k 表示a 、b ；（2）求a ·b 的最小值，并求此时，a 与b 的夹角θ的大小．图2O ABPM2009届高三第一轮复习 平面向量训练题参考答案一、选择题：(带☆的为近年高考题) 1．解析：取△ABC 为正三角形易得11x y+＝3．选B ． 评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．2．C （1）是对的；（2）仅得a b ⊥ ；（3）2222()()0a b a b a b a b +⋅-=-=-=（4）平行时分00和0180两种，cos a b a b a b θ=⋅=±⋅3．C 因为是单位向量，00||1,||1a b ==4．D 2(2cos 2sin 1),|2|a b a b θθ-=+-===，最大值为4，最小值为0☆5．A f (x )的图象是一直线，则f (x )是x 的一次式.而f (x )展开后有x 的二次-x 2a·b ，故-a·b=0⇒a ⊥b ，6．C 设(,)P x y ，由AB = 2AP得2AB AP = ，或2AB AP =- ，(2,2),(2,)AB AP x y ==-，即(2,2)2(2,),3,1,x y x y =-==(3,1)P ； (2,2)2(2,),1,1,x y x y =--==-(1,1)P - 7．B 过E 作EG ∥BA 交AF 于G ，EG=23CF=23DF ，AH =54AF ☆8．D 解：设d ＝（x ，y ），因为4a ＝（4，－12），4b －2c ＝（－6，20），2(a －c )＝（4，－2），依题意，有4a ＋（4b －2c ）＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，9．A 设(,2),0b ka k k k ==-< ，而53||=b 3,(3,6)k b ==-=- 10．D (2,3)(1,2)(21,32)ma b m m m m +=+-=-+2(2,3)(2,4)(4,1)a b -=--=- ，则121128,2m m m -+=+=-11．D 0031sin cos ,sin 21,290,4523ααααα⨯====12．C 12(2sin cos ,2cos sin ),PP θθθθ=+---12PP ===13．D 设(2,),b ka k k == ，而||b = ,(4,2),(4,2)k b ==±=-- 或☆14．C设5秒后点P运动到点A,则5PA PO OA V=+=∴(20,15)(10,10)OA=-+-=(10,-5).☆15．B 由题意可知a与b的夹角为4π，且b的终点在直线又因为||14≤b。
☆16．D 由题意得a·c = a·⎪⎭⎫⎝⎛∙∙-bbaaaa= a·a - ()babaaa∙⨯∙∙= a·a- a·a = 0，因此a与c的夹角是2π.☆17．A 依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+21122yxyx，2122=+yx表示以原点O为圆心，22为半径的圆，由点到直线的距离公式可得圆心到直线x+y=1的距离d=2221=，故直线与圆相切，只有一个交点，故x、y只有一组解.☆18．D由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即，则ABPCBCPACAPB⊥⊥⊥,,同理所以P为ABC∆的垂心.☆19. B 表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，AB AC|AB||AC|+在∠BAC的平分线上，故P点的轨迹过三角形的内心.二、填空题：20．43(,)55-5,c o s,1,,a ba ab a ba b=<>==方向相同，143(,)555b a==-217a b-=22．圆以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆23．45-a tb+===45t=-时即可24．(2,1)-设c xa yb→=+，则(,2)(2,3)(2,23)(4,1)x x y y x y x y+-=-+=24,231,2,1x y x y x y-=+===-25．0120 221()0,0,c o s 2a b a a b a a a b a ba bθ-+=+====-,或画图来做 26．2 2AB CB CD AB BC CD AC CD AD -+=++=+==27由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得☆28．－2 如图,-=⋅⋅=+⋅2)(22⋅-≥，=取等号.即)(+⋅的最小值为:-2.☆29．4 作图，a b c 、、构成等腰直角三角形 ()()()()⎪⎪⎨⎧===∙∙=∙⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=∙=∙-∙=-⇒⊥⊥-10000,b a b a b a b a b a c ba ()22=--=b a4=++☆30．(－∞，0) (21，23) 如图, AB OM //, 点P 在由 射线OM , 线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且y x +=，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 和OA 的反向延长线为两邻边，∴ x 的取值范围是(－∞，0)； 当21-=x 时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，CD=21OB ，CE=23OB ，∴ y 的取值范围是(21，23).三、解答题:31．解：设(,)c x y = ，则cos ,cos ,,a c b c <>=<>得22221x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩，即x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(,22c =或(22-- 32.解：（1）∵（2－3）·（2+）=61，∴.6134422=-⋅-b b a a 又|a |=4，|b |=3，∴a ·b =－6. ,21||||cos -=⋅=∴b a θ ∴θ=120°.MOCBA（2）设存在点M ，且)10)(3,6(≤<==λλλλ).31,63(),35,62(λλλλ--=--=∴MB MA ,0)31)(35()63)(62(=--+--∴λλλλ211122114548110,:,(2,1)(,).31555OM OM λλλλ∴-+===∴== 解得或或 ∴存在M （2，1）或)511,522(M 满足题意.33．解：(1)∵AC =(cos α－3, sin α), BC=(cos α, sin α－3).∴∣AC ∣=a a a sin 610sin )3(cos 22-=+-。