草履虫种群的logistic增长
不同温度、pH值对草履虫Logistic增长实验效应的影响
值 为 ６７８ 、 、 。通 过 统 计 草 履 虫 在 这 些 温 度 和 ｐ Ｈ值 下 的 种 群 密 度 变 化 ， 与 标 准 的 Ｌ ｇｓｉ 长 曲 线 之 间 再 ｏ ｉｔ ｃ增 进 行 比较 ， 哪 种 条 件 下 的 曲线 与 Ｌ ｇｓｉ 长 曲 线 吻 合 ， 看 ｏ ｉｔ ｃ增 以找 出对 实 验 效 果 最 有 效 的 温 度 和 ｐ Ｈ值 。
方 程 ， 数学 表达式 为 ： 其
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式 中 ： 为环 境 容 纳 量 ， 为 潜 在 增 长 率 ： 为个 体 数 ， 为 时 间 。 ｒ Ⅳ ｔ Ｌ ｇｓｉ 长 方 程 所 描 述 的增 长 曲 线 呈 “ ”型 ， 图 １所 示 ， 般 被 划 分 为 五 个 时 期 ： 始 期 、 速 ｏ ｉｔ ｃ增 Ｓ 如 一 开 加
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７ ２・
安庆师范学院学报 （ 自然科学版 ）
２ ０ 经 ０７
常 见 的 表 现 有 ： 是 接 种 后 种 群 不 增 长 ， 、 天 后 死 亡 ； 是 增 长 结 果 难 以 见 到 “ ”型 ， 法 分 辨 五 个 一 一 两 二 Ｓ 无
生 长时期 。 ３ 实验部分
３１ 实 验 设 计 ．
集 培养 、 体 大 、 殖快 ， 成 为 中学 和大 学实 验教 学 、 研 个 繁 而 科
中必 不 可 少 的 实 验 材 料 。 ‘
生 态 学 教 学 中 为 了 加 深 对 Ｌ ｇｓ ｃ方 程 的 认 识 ， 为 种 ｏ ｉｔ ｉ 作
群生 态学 的经典 内容 ， 少 高校 都选 择 了 “ 群在 有 限环境 不 种
维普资讯
２ ０ 年 ５月 ０７
用微量培养法改进尾草履虫种群逻辑斯谛增长实验
（ 南 大 学 ，山 东 济南 ２ ０ ２ ） 济 ５ ０ ２
摘 要 ： 用微 量培 养 法对尾 草 履 虫种群 逻 辑斯 谛 增 长 实验 进行 了改 进 ， 实现 了种 群 数 量 的精 确 测
提 高 了逻 辑 斯 词 ： 草履 虫； 量培 养 ； 尾 微 逻辑 斯谛 增 长 中图分 类号 ： ５ Ｑ９ ９ 文献 际识 码 ： Ａ 文章 编号 ：６ １ ２ ８ ２ １ ）２ ０ ７ ２ １ ７ —４ ８ 《 ０ １ ０ ～０ ８ —０
作 简要 介绍 如 下 。
１ 材 料 与 方 法 实验 材料 ： 履 虫 、 奶 、 净水 。 草 牛 纯
实验 仪器 ： 量筒 （０ ｍＬ 、 ２ ０ ） 移液 管 （ ｍＬ 、 璃棒 、 １ ）玻 可调 移 液器 （ —５ ￣ ） 烧 杯 （ ５ ｍＬ 、 ５ ０Ｌ 、 ２ ０ ） 培养 皿 （ 径 直 ９ ｒｍ） 凹玻 片 、 ０ ａ 、 毛细 吸管 、 解剖 镜 、 恒温 箱 。 实验 步骤 和方 法 ： 种源 采集 ： 从野 外 河 沟或公 园 池塘 内 ， ２ ０ 用 ５ ｍＬ烧 杯 取水 样 ， 回实 验 室 。置 于解 剖 镜 下 观 察 ， 从 带 可
第１ １卷 第 ２期
２ １ Ｏ １年 ４月
雄 坊 学 院 学 报
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用微 量 培 养 法 改 进 尾 草 履 虫 种群 逻 辑 斯 谛 增 长 实验
吸 取 １ 草履 虫移 人 凹孔 中 ， 用 一片 凹玻 片倒 扣 在接种 后 的 凹玻片 上 ， 个 再 放人 ２ ℃恒温 箱 中培养 。在 第三 Ｏ 天 和第 五天 分别 用 可调 移液器 移 取 ｌ ｌ Ｏ Ｌ培养 液 ， 添加 到 凹玻 片 凹孔 中 ， 以补充水 分 蒸发 和养 分消耗 。 观 察计 数 ： 解剖 镜 下逐 一点 数 凹玻 片 凹孔 中 草履 虫数 目 ， 隔 ２ 在 每 ４小 时计 数 一 次 ， 次 每 样 点数 ３ 每
生态学实验
一、实验课题：草履虫种群在有限环境中的逻辑斯谛增长测定二、文献综述：在自然条件，因受空间、食物等必需资源的限制，动物种群不可能连续的按几何级数增长，个体间对资源的竞争相应增加，以致影响种群的出生率和存活率，使种群增长率下降，种群数量停止增加甚至下降。
逻辑斯蒂方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型。
①在18~20℃环境中，草履虫每天分裂一次。
②当培养液有限时，至一定时间，草履虫的分裂即受到限制。
如果不补充营养液，种群密度将饱和甚至下降，其种群增长规律符合逻辑斯蒂模型。
其微分公式是：dN/dt=rN(1-N/K) N为种群大小；K为环境最大容纳量；t为时间；r为瞬时增长率。
①牛翠娟，娄安如，孙儒泳等..基础生态学.2版.北京：高等教育出版社，2007.②孙儒泳.动物生态学原理3版.北京：高等教育出版社，2005.③牛翠娟，娄安如，基础生态学实验指导.3版.北京：高等教育出版社，2005.三、实验目的和要求：1.了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用。
2.学习种群大小的检验、种群增长模型的建立、参数的估计以及种群增长曲线的拟合等实验技术。
3、通过逻辑斯谛增长模型实验，认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。
4、加深对逻辑斯谛增长模型的理解与认识，深刻领会该模型中生物学特性参数r与环境因子参数—生态学特性参数K的重要作用。
5、学会如何通过实验估计出这两个参数和进行曲线拟合。
四、实验条件：实验材料：纯培养的草履虫（Paramecium caudatum）.实验试剂：鲁哥氏固定液实验器材：光照培养箱，实体显微镜，凹玻片，1 000 mL烧杯，100 ml量筒，移液管（0.1 ml，5ml），洗耳球、1kw电炉，普通天平，干稻草，50 mL锥形瓶，纱布，橡皮筋，自胶布条，封口膜，标记笔，细胞计数器，自制的观测数据记录表格。
五、实验原理及方法：世代重叠种群在无限环境中呈现J－型增长。
观察草履虫的逻辑斯蒂增长
《动物生物学实验》课程论文（2010-2011学年第2学期）关于草履虫逻辑斯蒂增长曲线的研究关于草履虫逻辑斯蒂增长曲线的研究摘要：本实验以草履虫为对象，通过在有限的生存环境中对草履虫的种群密度做较详细的记录，而后通过整理数据，以图表的形式简单介绍了草履虫在有限环境中的种群增长方式，即逻辑斯蒂增长曲线。
关键字：种群增长 逻辑斯蒂曲线 草履虫草履虫是原生动物门纤毛纲代表动物，是动物界中较原始较低等的单细胞动物，为最常见的原生大型动物[1],其生活在有水草的淡水池沼中，喜聚集在有机物较多和阳光充足处，营自由浮游生活[2]。
种群的逻辑斯蒂增长曲线为生态学史上著名的种群增长模型。
1材料与方法 1.1材料显微镜、微量取液器、草履虫种液、晒过自来水、麦麸。
1.2方法将草履虫种液接种至晒过的自来水中，每隔48小时取样观察一次，每次用微量取液器取50mml 培养液，用划线法统计草履虫的数量，每次取10组，求其平均值并记录数据。
2数据草履虫种群密度（单位：个/50mml ）草履虫的逻辑斯蒂增长曲线(单位：个)5101520253035 5.245.265.285.316.26.66.123分析在室温条件下，第1天到第2为调整期，第2到第4天为对数期，第4天到第6天为稳定期，第6天以后进入衰亡期，种群数量增长曲线基本符合微生物的增长特点。
从实验结果可以看出种群在达到最大值之后，总体趋势是下降的。
由于营养逐渐耗尽，草履虫的数量会逐渐减少，直至全部死亡。
逻辑斯蒂方程是自组织理论中比较简单而应用最为广泛的一种方程，它适用于描述宏观变量在环境饱和介质影响下其增长演化的情况[3]。
本实验中，逻辑斯蒂曲线类型为S型，即由于环境阻力的影响，在1/2 K值时增长速率达到最大，达到1/2 K值后增长速率减缓，直到达到饱和点(K 值)后，增长率减为0，此时种群密度为最大，环境阻力最大（由于食物，生长环境等因素），随之进入衰亡期，直至种群密度减为零。
实验草履虫时滞型逻辑斯谛增长方程参数的测定
2010年12月实验革履虫时滞型逻辑斯谛增长方程参数的测定35实验草履虫时滞型逻辑斯谛增长方程参数的测定张燕胡丹王健(南昌理工学院，江西南昌330013)摘要：通过培养草履虫的实验数据测定参数：环境容纳量K、草履虫的分裂时问g和种群增长率r，从而构建实验草履虫时滞型逻辑斯谛增长方程。
经过验证，该时滞型b西8．t i c增长方程拟和成立，并可用于预测草履虫种群在任意时刻的数量。
关键词：草履虫种群增长逻辑斯谛增长方程时滞参数前言草履虫隶属原生动物门纤毛纲，是动物界中较原始较低等的单细胞动物，为最常见的大型原生动物¨“。
其生活在有水草的淡水池沼中，喜聚集在有机物较多和阳光充足之处，营自由浮游生活。
由于具有个体大，繁殖迅速，易采集和培养等特点，是高等院校及中学生物学实验教学及科研中常用的实验材料¨“。
种群的逻辑斯谛增长方程是生态学发展史上著名的种群增长模型，典型的逻辑斯谛增长模型的建立需要许多假设的前提条件，如果能对这些模型加以改进使其不受某些前提条件的约束，那么改进后的模型就能够更真实地反映现实的种群增长。
生态学家们分别从周限增长率的变化、种群的最低起始密度和种群增长的时滞效应提出了改进意见№J。
本实验主要通过草履虫的培养，讨论种群增长的时滞效应，通过测定时滞型参数来构建时滞型逻辑斯谛增长方程。
1原理种群生态学上典型的逻辑斯谛增长方程为百dN=rN(1一i N)其积分式N t=F点i式中，K为环境容纳量、r为种群增长率、e为自然对数的底、a取决于N。
，表示曲线对原点的相对位置”J。
实验草履虫的逻辑斯谛增长方程较易通过实验测得，若加入时滞因素(主要是世代交替及成熟时间等因素)则构成新的问题，那就是在小量单位时间段种群增长数量如何预测。
本次实验从草履虫的生殖时滞方面考虑，通过研究测定出相关参数，建立含有时滞因素的逻辑斯谛增长方程积分式N I-南时滞因素的加入迫使我们必须在逻辑斯谛增长方程中引入：t滞参数草履虫分裂时间g及环境总容纳量K、种群增长率r o本课题的关键就是测定这三个参数。
种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长
生态学实验报告7种群在资源有限环境中的逻辑斯蒂增长姓名：学号：时间：一、实验原理种群在资源有限环境中的数量增长不是无限的。
当种群在一个资源有限的空间中增长时，随着密度的上升，对有限空间资源和其他生活必须条件的种内竞争也将加剧，必然影响到种群的出生率和存活率，从而降低了种群的实际增长率，直至种群停止生长，甚至使种群数量下降。
这种增长符合逻辑斯蒂增长。
其中： N:种群个体数，r:种群瞬时增长率，t:时间，K：环境容纳量二、实验设计将适量草履虫放在资源有限的培养瓶中培养一段时间，每天定时检测草履虫数量变化，探究草履虫在资源有限环境中是否符合逻辑斯蒂增长三、实验步骤1、准备草履虫原液从湖泊或水渠中采集草履虫。
制备出草履虫原液（老师已经备好）2、确定培养液中草履虫种群的初始密度（1）用50ul移液枪取50ul草履虫原液于凹玻片上，当在实体镜下看到有游动的草履虫时，再用滴管取一滴固定液于凹玻片上杀死草履虫，在实体镜下进行草履虫计数。
（2）按上述方法重复取样4次，对4次计数的草履虫数求平均值，并推算出草履虫原液中的种群密度。
（3）取冷却后的草履虫培养液50ml，置于50ml锥形瓶中。
结果计算，用移液枪取适量的草履虫原液放入培养液中，使培养液中草履虫的个数在250-300个。
此时培养液中的草履虫的密度即为初始种群密度。
共制备4瓶草履虫样液。
（4）将上述4瓶样液做好标记，两瓶一组，分别放入20℃和30℃的恒温箱中培养。
3、定期检测和记录在试验后的十天内，每天下午五点到六点期间对培养液中的草履虫密度进行检测，每瓶取样计数4次，取平均值。
4、环境容纳量K值的确定将10 天中得到的草履虫种群大小的数据，标定在以时间为横坐标、草履虫数为纵坐标的平面坐标系中，从得到的散点图中不仅可以看出草履虫种群大小随时间的变化规律，还可以得到此环境下可以容纳草履虫的最大环境容纳量K。
通常从平衡点以后，选取最大的一个N，以防止在计算ln（K-N/N）的过程中真数出现负值。
实验七 Logistic方程参数的估计和曲线的拟合
实验七Logistic方程参数的估计和曲线的拟合——动物种群在有限环境中Logistic方程的拟合一、实验目的和原理1．通过实验验证Logistic方程2．将种群在有限环境下的“S”增长曲线进行拟合的方程就称为Logistic方程：dN／dt=rN[(K—N)／K]其积分式为：N t=K／(1+e a-rt)式中：K：环境的容纳量(种群数量的最大值)；N：种群的数量；e=2．71828…是一个常数，即自然对数的底；r：种群的瞬时增长率；t：时间。
本实验通过对在室温环境下（最好在一个较少的温度范围内，如18～20℃）中草履虫增长数量的观察，使学生掌握Logistic方程参数的估计和曲线的拟合。
二、仪器设备及材料1．仪器与设备普通光学显微镜，血球计数板，三角烧瓶或烧杯(300、500、1 000ml)，量筒(100、200 ml)，移液管(0．1、l mL)。
2．试剂酒精溶液、草履虫培养液等。
实验动物：草履虫。
三、方法与步骤1．先用玻璃吸管滴1小滴酒精溶液于血球计数板上，然后以0.1 ml移液管抽取0.05 ml 草履虫原液滴在血球计数板上，即可放在显微镜下观察已固定草履虫的数目。
2．按上述方法依次反复取样，观测草履虫原液约1 ml。
总计1 ml原液中的草履虫数，即可估算出原液中草履虫种群密度。
3．抽取草履虫原液，放在制备好的草履虫培养液中稀释，使每毫升培养液中含草履虫5～10只，作为实验第一天的种群密度。
取稀释密度的草履虫培养液150 ml。
倒在三角烧瓶或烧杯中。
培养液与烧杯容积的比例约2：3或2：1，即培养液不要盛得太满，占烧杯容积的2／3或1／2即行。
为了可靠起见，应再检测一下烧杯中培养液内草履虫种群密度，正式确定培养液中第一天种群密度。
用清洁纱布罩上，放在室温下培养。
4．观测每天定时观测1次，并记录草履虫数量的变化情况(表8—1)。
如果不补充营养，草履虫种群密度的增长一般在第五至六天即达顶点。
种群logistic增长模型
种群logistic 增长模型生命科学院 09科五 卢春燕 20092501092一、实验原理logistic 增长模型 ：种群在有限环境下的“S ”型增长曲线拟合的方程称为logistic 方程：其积分式为：K ——环境容纳量；N ——种群的数量； r ——种群的瞬时增长率；t ——时间。
二、实验步骤1、制备草履虫培养液；2、确定培养液中草履虫的初始密度；3、定期观测和记录；4、方程参数的估计（1）K 值的估计（均值法） K=111（2）a 、r 的估计求出K 值后，将logistic 方程的积分式变形为： 两边取对数，即为： 设 , b=-r ，x=t ，则logistic 方程的积分式变为： y=a+bx ，利用直线回归方法求得a 、b （则r = -b ） (3) 曲线的拟合1） 将求得的K 、a 和 r 代入logistic 方程，建立logistic 增长模型。
2） 计算得到各个增长时间种群大小的理论估计值，依照理论估计值绘制logistic 方程的理论曲线。
3）可以进一步将理论估计值与实验观测值进行显著性检验，确定无显著性差异。
三、实验结果与讨论rt a e K N -+=1rt a N N K e--=)(rta NN K -=-)ln()ln(N NK y -=rt a N NK -=-)ln(表1 草履虫在培养液中增长实验数据统计分析表天数重复1(只 /mL)重复2 (只/mL)重复3 (只/mL)平均值(只/mL)(K-N)/N ln[(K-N)/N)] a-rt exp logistic0 3 3 3 3 36 3.583519 1.346 3.8 22.92429 1 10 7 10 911.333332.427748 1.29813.7 23.80783 2 19 11 28 19.333334.741379 1.556328 1.2502 3.5 24.71587 3 27 16 31 24.66667 3.5 1.252763 1.2023 3.3 25.64836 4 5 61 81 49 1.265306 0.235314 1.1544 3.2 26.60518 5 66 179 87 110.6667 0.003012 -5.80513 1.1065 3.0 27.58616 6 35 40 15 302.70.993252 1.0586 2.9 28.59106 7 12 13 28 17.66667 5.283019 1.664498 1.0107 2.7 29.61956 8 11 10 19 13.33333 7.325 1.991293 0.9628 2.6 30.67129 9 13 8 23 14.66667 6.568182 1.882237 0.9149 2.5 31.7458 10 73189.333333 10.892862.3881070.8672.432.84256K 的估计值为111(只/mL)将logistic 方程的积分式变形为： 两边取对数，即为：设 , b=-r ，x=t ， 则logistic 方程的积分式变为： y=a+bx ，利用直线回归方法求得a 、b （则r = -b ） 求得a=1.3460 ,b=-0.0479,代入逻辑斯蒂方程111求得 N = 1+e 1.3460-0.0479r)ln(N NK y -=rta NN K e --=)(rt a N NK -=-)ln(rta e KN -+=1图1 草履虫观察值散点图及拟合增长曲线图表2 草履虫实验数据理论估计值与实验观测值显著性检验分析表天数观察值（只/mL）理论值（只/mL) X2X21，0.01显著性0 3 23 16.45865 6.63 极显著差异1 9 24 8.5986 6.63 极显著差异2 19 25 0.96453 6.63 无差异3 25 26 0.009047 6.63 无差异4 49 27 18.01841 6.63 极显著差异5 111 28 247.2087 6.63 极显著差异6 30 29 0.028896 6.63 无差异7 18 30 4.428451 6.63 显著差异8 13 31 9.24372 6.63 极显著差异9 15 32 8.658394 6.63 极显著差异10 9 33 16.12007 6.63 极显著差异根据表2可知本次试验拟合曲线不成功。
草履虫实验报告
一·实验课题名称草履虫种群在有限环境中的逻辑斯谛增长测定二·文献综述（列出参考文献）草履虫是一种身体很小，圆筒形的原生动物，它只有一个细胞构成，是单细胞动物，雌雄同体。
喜生活在有机物丰富的池塘、水沟、洼地等，尤喜生活于细菌丰富的水中【1】。
国内一些学者对草履虫的研究颇多，其中，对草履虫培养和观察方面已有一定研究，候勇，张会芳等对几种常用草履虫培养和观察方法进行了整理并作了一定改进【2】。
郭祖宝介绍了几种配制草履虫培养液的材料【3】，还有学者对草履虫的逻辑斯谛增长方程参数进行了测定【4】。
因为环境是有限的，生物本身也是有限的，所以大多数种群的“j”字型生长都是暂时的，一般仅发生在早期阶段，密度很低，资源丰富的情况下。
而随着密度增大，资源缺乏，代谢产物积累等，环境压力势必会影响到种群的增长率r，使r值降低。
与密度有关的种群连续增长模型，比与密度无关的种群连续增长模型增加了两点假设：（1）有一个环境容纳量，通常以k表示，当nt=k时，种群为零增长，即dn/dt=0.（2）增长率随密度上升而降低的变化是按比例的。
每一个体利用空间为1/k，n个体利用n/k空间，剩余空间为1- n/k。
按此两点假设，种群增长曲线是“s”型。
“s”型曲线有两个特点：曲线渐近于k值，即平衡密度。
曲线上升是平滑的。
产生“s”型曲线的最简单数学模型是生态学发展史中著名的逻辑斯蒂方程。
逻辑斯蒂曲线常划分为5个时期：(1)开始期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢；(2)加速期，随个体数增加，密度增长逐渐加快；(3)转折期，当个体数达到饱和密度一半，即k的一半，密度增长最快；(4)减速期，个体数超过k/2以后，密度增长逐渐变慢；(5)【5】饱和期，种群个体数达到k值而饱和。
本次开放性实验，我们也对草履虫种群在有限环境中的逻辑斯谛增长进行了测定。
参考文献：【1】朱艳芳，朱力力草履虫的培养研究【j】淮北煤炭师范学院学报 1672—7177(2010)04—0044—05【2】候勇，张会芳，刘军英，郑发科几种常用草履虫培养和观察方法及改进【j】四川动物 2009，1000—7083(2009)03—0450—02【3】郭祖宝介绍几种配制草履虫培养液的材料【j】生物学教学 2010，第9期，35卷【4】张燕胡丹王健实验草履虫时滞型逻辑斯谛增长方程参数的测定【j】2010,12【5】牛翠娟，娄安如，孙儒泳，李庆芬基础生态学【m】高等教育出版社 2007，12三·实验目的和要求1.了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用。
草履虫在不同温度和不同生存空间中的Logistic增长
草履虫在不同温度和不同生存空间中的Logistic增长小组成员：毕茂，黄亚平，李成永，杨雷雷学号:2009301060049,2009301060050,2009326660076,2009301060046单位：武汉大学生命科学学院生物学基地班摘要：对不同温度和不同生存空间下草履虫种群增长的研究表明，草履虫的最适温度为25℃左右，在一定限度内，生存空间相对越大，种群密度的K值越大。
关键词：草履虫，温度，生存空间，Logistic增长前言：草履虫Logistic增长实验室生态学中的重要实验。
草履虫是单细胞原生动物的代表，对水质，温度，生存空间和pH值都有较广的适应范围。
由于其结构典型，易于观察，容易取材和培养，个体大，繁殖快，草履虫成为种群Logistic增长的理想材料。
但是由于草履虫的生态习性，生殖方式不稳定，容易受培养的环境条件而改变，实验的成功率比较低。
此次实验小组选择对草履虫实验有影响的温度和生存空间因子进行研究，来探究草履虫的最适温度和生存空间。
1.种群增长与Logistic方程在自然条件下，因受空间，食物等必需资源的限制，动物种群不可能呈“J”型增长。
随着数量的上升，个体间对资源的竞争相应增加，以致影响种群的生长率和存活率，使种群增长率下降，种群数量停止增加甚至下降。
Logistic方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型。
Logistic方程表达式如下：dN/dt=rN[1-(N/K)]式中，N是在时间t时的种群数量，K是环境条件所允许的种群数量的最大值，r是种群的瞬时增长率。
Logstic增长方程所描述的增长曲线呈“S”型，如图所示：该模型有2个基本假设：(1)设想存在一个环境条件所允许的最大K值,当种群数量达到K值时不再增长，即dN/dt=0(2)假设制约种群增长的因素是简单地与个体数量的增加成正相关。
1. 材料与方法1.1实验设计实验室中有四个恒温箱，温度分别是15℃﹑20℃﹑25℃﹑30℃。
草履虫在不同温度和不同生存空间中的Logistic增长
草履虫在不同温度和不同生存空间中的Logistic增长小组成员：毕茂，黄亚平，李成永，杨雷雷学号:2009301060049,2009301060050,2009326660076,2009301060046单位：武汉大学生命科学学院生物学基地班摘要：对不同温度和不同生存空间下草履虫种群增长的研究表明，草履虫的最适温度为25℃左右，在一定限度内，生存空间相对越大，种群密度的K值越大。
关键词：草履虫，温度，生存空间，Logistic增长前言：草履虫Logistic增长实验室生态学中的重要实验。
草履虫是单细胞原生动物的代表，对水质，温度，生存空间和pH值都有较广的适应范围。
由于其结构典型，易于观察，容易取材和培养，个体大，繁殖快，草履虫成为种群Logistic增长的理想材料。
但是由于草履虫的生态习性，生殖方式不稳定，容易受培养的环境条件而改变，实验的成功率比较低。
此次实验小组选择对草履虫实验有影响的温度和生存空间因子进行研究，来探究草履虫的最适温度和生存空间。
1.种群增长与Logistic方程在自然条件下，因受空间，食物等必需资源的限制，动物种群不可能呈“J”型增长。
随着数量的上升，个体间对资源的竞争相应增加，以致影响种群的生长率和存活率，使种群增长率下降，种群数量停止增加甚至下降。
Logistic方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型。
Logistic方程表达式如下：dN/dt=rN[1-(N/K)]式中，N是在时间t时的种群数量，K是环境条件所允许的种群数量的最大值，r是种群的瞬时增长率。
Logstic增长方程所描述的增长曲线呈“S”型，如图所示：该模型有2个基本假设：(1)设想存在一个环境条件所允许的最大K值,当种群数量达到K值时不再增长，即dN/dt=0(2)假设制约种群增长的因素是简单地与个体数量的增加成正相关。
1. 材料与方法1.1实验设计实验室中有四个恒温箱，温度分别是15℃﹑20℃﹑25℃﹑30℃。
草履虫种群的logistic增长
生态学实验 海洋学院09级生科4 王唱200900810173实验二 草履虫种群的logistic 增长【实验目的】1. 了解种群增长是受环境条件限制的2. 学习典型的生态学实验方法，种群的数量统计及数学统计与分析方法。
使用计算机拟合曲线的技术。
【实验原理】世代重叠的种群在无限环境中的增长方式为无限增长，表现为指数式增长过程。
当瞬时增长率保持恒定时，其数学模型可描述为d N/d t=r N 。
但在现实生态环境中，种群不可能长期而连续的按集合级数增长，往往受到环境资源和其他必要的生活条件的限制，至一定时候，种群增长率随着密度的上升而下降。
增长的数值，如以图表示则呈现为S 型曲线。
种群在悠闲地环境条件下的连续增长表现形式很多，其中最简单的形式为逻辑斯蒂增长（logistic growth ）。
数学模型为：K N K rN dt dN /)(*/-= 其积分式为：t N )1/(rta eK -+=Logistic 增长模型基于以下两点假设:1) 设想有一个环境条件所允许的最大种群值，称为环境容纳量或负荷量（carryingcapacity ）,通常以K 表示。
当种群大小达到K 值时，将不再增长，即;0/=dt dN 2) 摄像师种群增长率降低的影响是最简单的，即其影响随着密度上升而逐渐地、按比例的增加。
草履虫在18-20℃环境中，每天分裂一次。
实验数据在培养液有限时，其个体的分裂即受到限制，种群增长趋缓，最终达到密度饱和状态。
如果不补充培养液，种群密度即会下降。
活的草履虫在显微镜下计数比较困难，因此需要先将其固定。
【实验材料】1. 纯培养的草履虫；2. 波氏固定液：饱和苦味酸清夜75ml ，加25ml 福尔马林，加3ml 冰醋酸，混匀即可；3. 稻草提取液：10g （以15-20g 为宜）稻草段放于1L 水中煮沸10min ，至煎出液成黄宗策，冷却后待用。
【实验步骤】1. 250ml 烧杯中加入约150ml 稻草培养液备用；2. 取一小培养皿放入适量草履虫培养液，置于解剖镜下吸取约100只草履虫，转移至步骤1的烧杯中液面处标记；3. 在1ml 浮游生物计数框内加入1滴波氏固定液。
种群logistic增长模型
种群logistic 增长模型生命科学院 09科五 卢春燕 20092501092一、实验原理logistic 增长模型 ：种群在有限环境下的“S ”型增长曲线拟合的方程称为logistic 方程：其积分式为：K ——环境容纳量；N ——种群的数量； r ——种群的瞬时增长率；t ——时间。
二、实验步骤1、制备草履虫培养液；2、确定培养液中草履虫的初始密度；3、定期观测和记录；4、方程参数的估计（1）K 值的估计（均值法） K=111（2）a 、r 的估计求出K 值后，将logistic 方程的积分式变形为： 两边取对数，即为： 设 , b=-r ，x=t ，则logistic 方程的积分式变为： y=a+bx ，利用直线回归方法求得a 、b （则r = -b ） (3) 曲线的拟合1） 将求得的K 、a 和 r 代入logistic 方程，建立logistic 增长模型。
2） 计算得到各个增长时间种群大小的理论估计值，依照理论估计值绘制logistic 方程的理论曲线。
3）可以进一步将理论估计值与实验观测值进行显著性检验，确定无显著性差异。
三、实验结果与讨论rt a e K N -+=1rt a N N K e--=)(rta NN K -=-)ln()ln(N NK y -=rt a N NK -=-)ln(表1 草履虫在培养液中增长实验数据统计分析表天数重复1(只 /mL)重复2 (只/mL)重复3 (只/mL)平均值(只/mL)(K-N)/N ln[(K-N)/N)] a-rt exp logistic0 3 3 3 3 36 3.583519 1.346 3.8 22.92429 1 10 7 10 911.333332.427748 1.29813.7 23.80783 2 19 11 28 19.333334.741379 1.556328 1.2502 3.5 24.71587 3 27 16 31 24.66667 3.5 1.252763 1.2023 3.3 25.64836 4 5 61 81 49 1.265306 0.235314 1.1544 3.2 26.60518 5 66 179 87 110.6667 0.003012 -5.80513 1.1065 3.0 27.58616 6 35 40 15 302.70.993252 1.0586 2.9 28.59106 7 12 13 28 17.66667 5.283019 1.664498 1.0107 2.7 29.61956 8 11 10 19 13.33333 7.325 1.991293 0.9628 2.6 30.67129 9 13 8 23 14.66667 6.568182 1.882237 0.9149 2.5 31.7458 10 73189.333333 10.892862.3881070.8672.432.84256K 的估计值为111(只/mL)将logistic 方程的积分式变形为： 两边取对数，即为：设 , b=-r ，x=t ， 则logistic 方程的积分式变为： y=a+bx ，利用直线回归方法求得a 、b （则r = -b ） 求得a=1.3460 ,b=-0.0479,代入逻辑斯蒂方程111求得 N = 1+e 1.3460-0.0479r)ln(N NK y -=rta NN K e --=)(rt a N NK -=-)ln(rta e KN -+=1图1 草履虫观察值散点图及拟合增长曲线图表2 草履虫实验数据理论估计值与实验观测值显著性检验分析表天数观察值（只/mL）理论值（只/mL) X2X21，0.01显著性0 3 23 16.45865 6.63 极显著差异1 9 24 8.5986 6.63 极显著差异2 19 25 0.96453 6.63 无差异3 25 26 0.009047 6.63 无差异4 49 27 18.01841 6.63 极显著差异5 111 28 247.2087 6.63 极显著差异6 30 29 0.028896 6.63 无差异7 18 30 4.428451 6.63 显著差异8 13 31 9.24372 6.63 极显著差异9 15 32 8.658394 6.63 极显著差异10 9 33 16.12007 6.63 极显著差异根据表2可知本次试验拟合曲线不成功。
草履虫种群的逻辑斯蒂增长
种群的逻辑斯蒂增长【实验目的】1.认识到环境资源是有限的，任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约。
2.了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用，领会逻辑斯蒂模型中生物学特性参数r与环境因子参数—生态学特性参数K的重要作用。
3.学会如何通过实验估计出r、K两个参数和进行曲线拟合的方法。
【实验原理】1.由于环境是有限的，种群指数增长只是暂时的，多发生在种群增长的早期阶段，密度很低、资源丰富的情况下。
随着种群密度增大，资源缺乏，影响到种群的增长率，使其降低。
受自身密度影响的种群增长称为与密度有关的增长，分为离散的和连续的两类逻辑斯蒂方程增长是种群在资源有限环境下连续增长的一种最简单形式，又称为阻滞增长。
种群在有限环境下的增长曲线是S型的，它具有两个特点：（1）S型增长曲线有一个上渐近线，即S型增长曲线逐渐接近于某一个特定的最大值，但不会超过这个最大值的水平，此值即为种群生存的最大环境容纳量，通常用K表示。
当种群大小达到K值的时候，将不再增长（2）S型曲线是逐渐变化的，平滑的，不是骤然变化的。
基于以下两点假设1）有一个环境容纳量K，当Nt=K时，种群停止增长，dN/dT = 0；2）种群增长率随种群密度升高成比例降低，最简单的情况是每增加一个个体，同时产生1/K的抑制效果。
当种群数量为N时，种群增长率下降为原来的（1-N/K）。
其图像如下图所示：逻辑斯蒂曲线通常分为5个时期（如图二所示）：1）开始期，由于种群个体数很少，密度增长缓慢，又称潜伏期。
2）加速期，随个体数增加，密度增长加快。
3）转折期，当个体数达到饱和密度一半（K/2),密度增长最快。
4）减速期，个体数超过密度一半（K/2)后，增长变慢。
5）饱和期，种群个体数达到K 值而饱和。
2.逻辑斯蒂增长的数学模型：)(K N K rN dt dN -= 或 )1(K NrN dt dN -= 式中：dtdN——种群在单位时间内的增长率； N ——种群大小；t ——时间； r ——种群的瞬间增长率； K ——环境容纳量； （KN-1)——“剩余空间”，即种群还可以继续利用的增长空间。
草履虫种群的逻辑斯蒂增长
草履虫种群的逻辑斯蒂增长一、目的要求1. 了解种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的限制作用。
2. 学习种群密度的检测，种群增长模型的建立，参数的估计以及种群增长曲线的拟合等实验技术。
3. 加深对逻辑斯蒂增长模型的特征及其模型中两个参数r、K的理解。
二、实验步骤1. 捞草履虫2. 制备草履虫培养液称取干稻草5 g，剪成3~4 cm长的小段，用纱布包好。
放入1000 mL烧杯中，加水800 mL，煮沸10 min，直至煎出液呈淡黄色。
、冷却至室温，过滤后备用。
3. 确定初始种群数量（1）准备三个锥形瓶，向每个锥形瓶中加入200只活的草履虫，并向各瓶中加入制备的草履虫培养液各100ml。
（2）按照步骤（1）所获得的草履虫的初始种群密度为2只/ml.（3）用纱布和橡皮筋将锥形瓶口罩好，标记液面。
放置在20 ℃的光照培养箱中培养。
4. 定期检测和记录。
（1）在实验开始的10天内，每天定时对培养液中的草履虫密度进行检测，具体方法同上，求出其平均数。
（2）将每天的观测数据记录在实验数据记录表中（表5-1）。
注意：每天计数前后必须以蒸馏水补齐培养液到标记处，以保证每次取样时培养液体积恒定。
三：实验结果（一）草履虫种群增长实验数据统计表1 草履虫种群增长实验数据统计分析表 天数观测值（只/ml ） (K-N)/N ln((K-N)/N)） 理论估计值1 2 371.5 5.917548864 1 2 4 185.25 5.221706264 6 3 20 36.25 3.590439381 29 4 109 5.834862385 1.763850681 122 5 327 1.278287462 0.245521262 362 6 598 0.245819398 -1.403158167 611 7 743 0.00269179 -5.917548864 713 8 697 0.068866571 -2.6755844 738 9 490 0.520408163 -0.653141846 744 10 293 1.542662116 0.433509571 745 11226 2.296460177 0.831368884 745（二）逻辑斯蒂增长模型的拟合（1）a 、r 的估计求出K 值后，将Logistic 方程的积分式变形为：rt a NN K e --=)(两边取对数，即为：rt a N N K -=-)ln(令)ln(NNK y -=，b = -r ，x = t ，则Logistic 方程的积分式变为：y = a + bx ，这是一个直线方程，利用直线回归的统计方法求得a 、r 。
连续种群增长模型拟合
思考题：
设在0.5mL 培养液中放5个草履虫，每天计数培养液中种群数量，其后4天的结果为20、137、319、369，请用逻辑斯蒂曲线拟合，并求出种群增长方程。
请写明其思考过程。
目前最大数量为369，但应为经典高斯草履虫实验所以K=375
草履虫种群增长实验数据统计分析表
天数 观测值（只/ml ） (K-N)/N ln((K-N)/N)）
1 20 17.75 2.8763855159
2 137 1.7372262774 0.5522897479
3 319 0.1755485893 -1.7398394123
4 369 0.0162601626 -4.1190371749 逻辑斯蒂增长模型的拟合
1、将Logistic 方程的积分式变形为：(K-N)/ N=e ＾a-rt 两边取对数，即为In((K-N)/ N)=a-rt 令y= In((K-N)/ N)，b = -r ，x = t ，则Logistic 方程的积分式变为：y = a + bx 利用直线回归的统计方法求得a 、r 。
由方程可知：a=5.212
r=2.3278
2、将求得的K 、a 和 r 代入Logistic 方程，建立Logistic 增长模型。
计算得到各个增长时间种群大小的理论估计值，依照理论估计值绘制Logistic 方程的理论曲线。
可以进一步将理论估计值与实验观测值进行显著性检验，确定无显著性差异，则Logistic 方程拟合成立。
见下图，系列一实际值，系列二理论值。
1 2 3 4 20 137 319 369
19.85 136.64 318.58 368.75。
实验五 种群在有限环境中的逻辑斯谛增长
实验五种群在有限环境中的逻辑斯谛增长一、实验目的通过本实验，了解种群增长是受条件限制的。
二、实验材料1、实验器材：普通光学显微镜，血球计数板、三角烧瓶或烧杯、量筒、煤气喷灯、干稻草、普通天平、移液管、面粉、玻璃滴管、纱布、砷汞饱和液。
2、实验动物：草履虫，拟谷盗等。
三、一般说明种群不可能长期而连续地按几何级数增长，往往因为受到环境资源和其他必要的生活条件限制。
当种群增长到一定时候，种群增长率随着种群的密度上升而下降。
种群增长曲线呈“S”形，可用逻辑斯谛（Logistic）方程来描述。
关于逻辑斯谛增长的内容请参考教材相关内容。
种群在有限环境中增长的实验动物，可采用拟谷盗、果蝇、草履虫等。
本实验以草履虫为实验动物。
草履虫在18℃—20℃环境中，每天分裂一次。
草履虫主要以细菌为食，也取食有机质。
在实验室，一般以稻草煮出液为培养基（液）。
当培养液有限时，种群增长至一定时间，草履虫的分裂就会受到抑制，其种群密度达到饱和。
如果不补充培养液，种群密度就会下降。
活的草履虫在显微镜下计数是较困难的，因此需要砷汞饱和液固定，然后在显微镜下计数。
四、实验步骤：1、准备草履虫原液。
2、准备草履虫培养液，取稻草10g，剪成一寸左右，放入1000ml水中煮沸5-10分钟，冷却备用。
3、确定草履虫最初密度，从培养的草履虫原液（大约400个/ml）中取10ml，放在200ml稻草培养液中，然后每次抽样1ml计数，连续计数两次，其平均值即为种群初始密度。
计数方法：用移液管取1ml培养液分别垂直滴于10张载玻片上，液滴直径4mm为宜。
4、已确定草履虫种群密度的第一天的培养液，用清洁纱布罩上，放入18-20℃恒温箱中培养。
5、每天定时观测一次。
如果不补充培养液，草履虫种群增长的密度一般在5～6天即达到顶点。
以后种群数量将会逐渐下降。
如果要把观察草履虫种群增长时间延长几天，则需要在实验中途（第3天或第5天）加入适量的培养液（大概是种群培养初始培养液的1/15～1/20），这样，草履虫种群增长就可以延长至8～9天。
逻辑斯蒂增长优秀文档
绘制逻辑谛增长曲线
种群密度的估算
观察
确定培养液中草履虫最初密度
原液约1 ml，累计计数
逻辑斯谛增长的积分方程为：
式中代人已知的K、滴N1和小t，滴利用砷统汞计学饱直线和回液归方于程的知识，计算出a和r值，得用逻辑移斯液谛方管程抽，进取而0可.0得5理m论值l草。
原2．液绘约制1逻m辑l，斯累谛计增计长数曲红线 细胞计数板
密度
上渐进线（K） 环境阻力
种群J型增长和S型增长曲线
假设：
1、草履虫实验时应注意培养温度不要太高。 原液约1 ml，累计计数 N为种群大小，t为时间，r为种群的瞬时增长率，K为环境容纳量可负荷量
（则4逻）辑种斯群谛无增（迁长出方1和程）迁拟入合现环成象立。境。 条件允许种群有一个最大值，即环境容量K；
依次反复取样，观察草履虫 原液约1 ml，累计计数
在显微镜下观察，计数
K值的计算方法：
K2N 1N 2N 3N 2 2N 1N 3
N 1N 3N 2 2
其中N1、N2、N3是等距离横坐标上所对应纵坐标的数值， 即等时间间隔的3组种群数量观察值。要求时间间隔尽量 大一些。
实验结果
1．种群密度的估算——K值
逻辑斯谛增长的积分方程为： 1、草履虫实验时应注意培养温度不要太高。
（4） 种群无迁出和迁入现象。 式中代人已知的K、N和t，利用统计学直线回归方程的知识，计算出a和r值，得逻辑斯谛方程，进而可得理论值。
式中代人已知的K、N和t，利用统计学直线回归方程的知识，计算出a和r值，得逻辑斯谛方程，进而可得理论值。 2．绘制逻辑斯谛增长曲线 掌握逻辑斯谛方程参数的估计、曲线的拟合及逻辑斯谛增长曲线绘制方法。 原液约1 ml，累计计数
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生态学实验 海洋学院09级生科4 王唱200900810173
实验二 草履虫种群的logistic 增长
【实验目的】
1. 了解种群增长是受环境条件限制的
2. 学习典型的生态学实验方法，种群的数量统计及数学统计与分析方法。
使用计算机拟合
曲线的技术。
【实验原理】
世代重叠的种群在无限环境中的增长方式为无限增长，表现为指数式增长过程。
当瞬时增长率保持恒定时，其数学模型可描述为d N/d t=r N 。
但在现实生态环境中，种群不可能长期而连续的按集合级数增长，往往受到环境资源和其他必要的生活条件的限制，至一定时候，种群增长率随着密度的上升而下降。
增长的数值，如以图表示则呈现为S 型曲线。
种群在悠闲地环境条件下的连续增长表现形式很多，其中最简单的形式为逻辑斯蒂增长（logistic growth ）。
数学模型为：K N K rN dt dN /)(*/-= 其积分式为：t N )1/(rt
a e
K -+=
Logistic 增长模型基于以下两点假设:
1) 设想有一个环境条件所允许的最大种群值，称为环境容纳量或负荷量（carrying
capacity ）,通常以K 表示。
当种群大小达到K 值时，将不再增长，即;0/=dt dN 2) 摄像师种群增长率降低的影响是最简单的，即其影响随着密度上升而逐渐地、按
比例的增加。
草履虫在18-20℃环境中，每天分裂一次。
实验数据在培养液有限时，其个体的分裂即受到限制，种群增长趋缓，最终达到密度饱和状态。
如果不补充培养液，种群密度即会下降。
活的草履虫在显微镜下计数比较困难，因此需要先将其固定。
【实验材料】
1. 纯培养的草履虫；
2. 波氏固定液：饱和苦味酸清夜75ml ，加25ml 福尔马林，加3ml 冰醋酸，混匀即可；
3. 稻草提取液：10g （以15-20g 为宜）稻草段放于1L 水中煮沸10min ，至煎出液成黄宗
策，冷却后待用。
【实验步骤】
1. 250ml 烧杯中加入约150ml 稻草培养液备用；
2. 取一小培养皿放入适量草履虫培养液，置于解剖镜下吸取约100只草履虫，转移至步骤
1的烧杯中液面处标记；
3. 在1ml 浮游生物计数框内加入1滴波氏固定液。
混匀烧杯中草履虫培养液，取1ml 滴
入计数框内，盖上盖玻片，显微镜下计数。
重复3次，取平均值为第0天草履虫种群密度。
加稻草提取液补到标记处，用清洁纱布蒙口，18-20℃恒温箱培养；
4. 随后每天对烧杯中的草履虫计数，每天计数前后注意补液。
同时记录过去24小时内最
高最低温度。
至种群数量达到平衡状态后即停止计数实验；
5. K 值估测：种群增长达到平衡状态后，以每天观测的数据绘制散点图；求出K 值。
若
曲线平稳，即直接目测得到K 值。
若波动较大，可以最大值后的观测值的平均值为K 值。
6. 求a 、r 值：将积分式变为：,/)ln(rt a N N K -=-线性拟合后即可得到a 和r 值； 7. 种群增长曲线的拟合：a 、r 带入积分式中，计算各时间的
t N 理论值，绘制出的曲线即
为逻辑斯蒂曲线。
表1.草履虫在培养液中增长数据统计分析表 培养天数t 观测虫数（只
/ml ）N
(K-N)/N
ln[(K-N)/N]
逻辑斯蒂方程估计的N 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
【实验报告】
根据实验结果，绘制观测值（散点图）和模型拟合曲线图。
讨论实验结果。
【思考题】
1. 自然界的种群是否可以无限地增长，为什么？
2. 逻辑斯蒂增长模型能否作为种群增长的普遍性模型？为什么？
—
K =1600
F=9.120 P=0.029
0b =0.024 1b =0.364
Y=1/(1/1600+0.024∙0.364X ) (F=9.120,P=0.029)。