2016-2017学年第一学期初三数学期中复习 一次方程(组)及其应用 专题复习检测题 教师版含答案
中考数学专项提升复习——一次方程(组)及其应用(共75张PPT)
1 .张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌腿300条。现有5立方米的木料, 那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出的桌面和桌腿,恰好配成方桌?能配多少 张方桌?
增长率问题 增长率问题:原量×(1+增长率)=增长后的量
行程问题 三个基本量的关系:
路程s=速度v×时间t 时间t=路程s÷速度V 速度V=路程s÷时间t 三大类型: ① 相遇问题:快行距+慢行距=原距 ② 追及问题:快行距-慢行距=原距 ③ 航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 顺速–逆速 = 2水速;顺速 + 逆速 = 2船速 顺水的路程 = 逆水的路程
a
②当 a 0, b 0时 ,方程有无穷多个解
③当 a 0, b 0 时,方程无解
方程的解与解方程
步骤
具体做法
变形依据
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式的性质2
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
去括号法则
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方 程的另一边(记住:移项要变号)
等式的性质 1
合并同类项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式
合并同类项法则
系数化成1 在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=··· 等式的性质2
验根
检验此时的根是否具有实际意义
实际意义
18.������为何值时,关于������的方程4������ − 2������ = 3������ − 1的解是������ = 2������ − 3������的解的2倍
九年级上学期期中数学复习(主要是一元二次方程)
1、方程x x 3122=-的二次项系数是 ,一次项系数是 .2、关于x 的方程22(2)510m m xx ----=是一元二次方程,那么 m=3、将方程0142=++x x 化为c b x a =+2)(的形式4、①关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0 ,则a 的值为②关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m (有实数根,则m 的取值范围是 ③关于x 的方程01)12=++-x x m (有两个实数根,则m 的取值范围是 ④关于x 的方程01)12=++-x x m (有实数根,则m 的取值范围是 5、①已知等腰三角形中的其中两边长恰好是方程024102=+-x x 的两个根,则这个等腰三角形的第三边长是②已知等腰三角形中的其中两边长恰好是方程01282=+-x x 的两个根,则这个等腰三角形的 面积是③已知方程01272=+-x x 的两个根恰好是ABC R ∆t 的两条边,则ABC R ∆t 的第三边长是 6、代数式53212+-x x 的最小值为 ;1622+--x x 的最大值是 7、①某厂今年一月份的产量为500吨,三月份的产量达到2700吨,若平均每月增产率是x ,则可以列方程②某厂今年一月份的产量为500吨,第一季度的总产量为2700吨,若平均每月增产率是x ,则可以列方程③制造一种商品,原来每件成本为100元,由于连续两次降低成本,现在的成本是每件81,设平均每次降低成本的百分率为x ,则可以列方程④在一次同学聚会时,大家一见面就相互握手。
有人统计了一下,大家一共握了45次手,设参加这次聚会的同学共有x 人,根据题意,可列的方程为⑤有一个人患了流感,经过两轮的传染后共有100人患了,设每轮传染中平均一个人传染的人数为x 人,根据题意,可列的方程为⑥某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x 名同学,根据题意,列出方程为⑦某兴趣小组的每位同学,将自己收集的植物标本向本组其他成员各赠送1件,全组互赠标本共182件,若全组有x 名学生,则根据题意可列方程8、设1x ,2x 是方程2320x x --=的两个实数根,则221122x x x x -+-的值为 , 2211223x x x x ++的值为 ,21214x x x --的值为 9、方程2260x -=的解为;9614422++=+-x x x x 方程的解为方程2310x x -+=的解为;04832=+-x x的解为方程()()223523x x +=+的解为 ;4x-2=x(1-2x)的解为 10、如图,有一面积为2150m 的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长m 18),另三边用竹篱笆围成,如果竹篱笆的长为m 35,①设鸡场的长为x m ,可列出方程为 ②如果设鸡场的宽为x m ,可列出方程为11、某商场销售一批童装,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件童装每降价1元,商场平均每天可多售出2件,设每件童装降价x 元,问: 1)当x 为何值时,平均每天销售这种童装盈利1200元?2)当x 为何值时,该商场每天销售这种童装获得的利润最大?最大利润为多少?九年级上学期期中数学复习(一)姓名 座号 总共错 空12、某商场销售一批童装,每件进价40元,售价为80元时,平均每天可售出20件;为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件童装每降价1元,商场平均每天可多售出2件,设每件童装的售价为x元,问:1)当x为何值时,平均每天销售这种童装盈利1200元?2)当x为何值时,该商场每天销售这种童装获得的利润最大?最大利润为多少?13、如图,△ABC中,AB=5厘米,BC=7厘米,∠B=90°;P、Q分别从A、B同时出发,点P从点A 开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动。
2016中考数学复习一元一次方程
2016中考数学总复习六:一元一次方程方程是刻画现实世界的一种重要数学工具,是初中数学的重要内容,一元一次方程整个方程体系的基础,也是中考考试中的必考内容,所考查的题型多样,有选择题、填空题、解答题、以及与现实生活情景相结合的应用题。
一.知识梳理1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。
(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。
4、一元一次方程只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,其中方程)为未知数,(0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式,a 是未知数x 的系数,b 是常数项。
5.一元一次方程解法的一般步骤: 整理方程 …… 去分母 …… 去括号 …… 移项 …… 合并同类项 …… 系数化为1 …… (检验方程的解).6. 一元一次方程解应用知识点1:一元一次方程的定义及解法【典例精析】例1:解方程:41x 5+-612-x =1-123x -【跟踪练习】1. (2012重庆)已知关于x 的方程2x+a 一9=0的解是x=2,则a 的值为( )A.2B.3C.4D.53.方程1112112346x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭变形正确的是( ) A.()11124212434x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ B.43211246x x --+= C.111116836x x ---= D.()()6322112x x ---= 4.若方程3x -5=1与方程1-22a x -=0有相同的解,则a 的值等于 . 知识点2:一元一次方程的应用。
【典例精析】例1:(2014•菏泽)(1)食品安全是关乎民生的问题,在食品中添加过量的添加剂对人体有害,但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输,某饮料加工厂生产的A 、B 两种饮料均需加入同种添加剂,A 饮料每瓶需加该添加剂2克,B 饮料每瓶需加该添加剂3克,已知270克该添加剂恰好生产了A 、B 两种饮料共100瓶,问A 、B 两种饮料各生产了多少瓶?例2:为了防控甲型H1N1流感,某校积极进行校园环境消毒,购买了甲、乙两种消毒液共100瓶,其中甲种6元/瓶,乙种9元/瓶.如果购买这两种消毒液共用780元,求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶?【跟踪练习】1.如图,在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器,内部底面积分别为80 cm 2、100 cm 2,且甲容器装满水,乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中,则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm ,求甲的容积为何?A .1280cm 3B .2560cm 3C .3200cm 3D .4000cm 32. A 种饮料B 种饮料单价少1元,小峰买了2瓶A 种饮料和3瓶B 种饮料,一共花了13元,如果设B 种饮料单价为x 元/瓶,那么下面所列方程正确的是( )A .2(1)313x x -+=B .2(1)313x x ++=C .23(1)13x x ++=D .23(1)13x x +-=3. (2015•长沙)长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器,若按标价打八折销售该电器一件,则可获利润500元,其利润率为20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件,那么获得的纯利润为( ) A . 562.5元 B . 875元 C . 550元 D . 750元诊断自测题一、选择题1.下列等式中,是一元一次方程的有( )①2006+4x=2008;②3x -2x=100;③2x+6y=15;④3x 2-5x+26=0A.1个B.2个C.3个D.4个2.运用等式性质进行的变形,正确的是( )A.如果a=b,那么a+c=b -c;B.如果a b c c =,那么a=b; C.如果a=b,那么a b c c=; D.如果a 2=3a,那么a=33. (2015江苏常州)已知x =2是关于x 的方程a x a 21)1(=++x 的解,则a 的值是__________. 4. (2011山东日照)某道路一侧原有路灯106盏,相邻两盏灯的距离为36米,现计划全部更换为新型的节能灯,且相邻两盏灯的距离变为70米,则需更换的新型节能灯有( )(A )54盏 (B )55盏 (C )56盏 (D )57盏5.(2010年台湾省) 小芬买15份礼物,共花了900元,已知每份礼物内鄱有1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支,若每包饼干的售价为x 元,则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式?(A) 15(2x +20)=900 (B) 15x +20⨯2=900 (C) 15(x +20⨯2)=900 (D) 15⨯x ⨯2+20=900 。
中考数学系统总复习专题一次方程(组)及其应用完美
2021/2/19
考点聚焦
考点1 等式的概念与等式的性质
等式的概念 表示__相__等____关系的式子,叫做等式
等式的 性质
性 等式两边加(或减)同一个数或同一个整式
质 所得的结果仍相等.如果 a=b,那么 a±c
1
=b±c
等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不
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图6-1
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探究二 一元一次方程的解法 命题角度: 1.一元一次方程及其解的概念; 2.解一元一次方程的一般步骤.
0.3x+0.5 2x-1
例2 [2011·滨州]依据下列解方程 0.2 = 3 的过 程,请在前面的括号内填写变形步骤,在后面的括号 内填写变形依据.
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1、解方程组
0.6x 0.4y 1.1 0.2x 0.45y 2.3
2、解方程组
2(x 3
y)
x 4
y
1
6(x y) 4(2x y) 16
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探究四 利用一次方程(组)解决生活实际问题 命题角度: 1.利用一元一次方程解决生活实际问题; 2.利用二元一次方程组解决生活实际问题.
3.二元一次方程组:把具有相同未知数的两个二元一 次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程 的公共解.
注意:二元一次方程组的解应写为xy==ab,的形式.
20元一次方程组的解法有:代入法,加减消元法.
例 5 [2013·长沙] 为方便市民出行,减轻城市中心交通压 力,长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁 1、2 号线.已 知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元; 若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿 元.
初三中考数学复习 一次方程(组)及其应用 专项复习训练 含答案-最新教育文档
2019 初三中考数学复习 一次方程(组)及其应用 专项复习训练1. 在解方程x -13+x =3x +12时,方程两边同时乘以6,去分母后,正确的是( B )A .2x -1+6x =3(3x +1)B .2(x -1)+6x =3(3x +1)C .2(x -1)+x =3(3x +1)D .(x -1)+x =3(x +1)2.若2(a +3)的值与4互为相反数,则a 的值为( C )A .-1B .-72C .-5 D.123.设x ,y ,c 是实数,则正确的为( B )A .若x =y ,则x +c =y -cB .若x =y ,则xc =ycC .若x =y ,则x c =y cD .若x 2c =y 3c,则2x =3y 4.闽北某村原有林地120公顷,旱地60公顷,为适应产业结构调整,需把一部分旱地改造为林地,改造后,旱地面积占林地面积的20%,设把x 公顷旱地改造为林地,则可列方程为( A )A .60-x =20%(120+x)B .60+x =20%×120C .180-x =20%(60+x)D .60-x =20%×1205.小明到商店购买“五四青年节”活动奖品,购买20只铅笔和10本笔记本共需110元,但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元.设每支铅笔x 元,每本笔记本y 元,则可列方程组( B )A.⎩⎪⎨⎪⎧20x +30y =11010x +5y =85B.⎩⎪⎨⎪⎧20x +10y =11030x +5y =85C.⎩⎪⎨⎪⎧20x +5y =11030x +10y =85D.⎩⎪⎨⎪⎧5x +20y =11010x +30y =85 6.如图,10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形,设长方形墙砖的长和宽分别为x 厘米和y 厘米,则依题意列方程组正确的是( B )A.⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =75y =3xB.⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =75x =3yC.⎩⎪⎨⎪⎧2x -y =75y =3xD.⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =75x =3y7.某企业决定投资不超过20万元建造A ,B 两种类型的温室大棚,经测算,投资A 种类型的大棚6万元/个,B 种类型的大棚7万元/个,那么建造方案有( B )A .2种B .3种C .4种D .5种8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是,有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地,则此人第六天走的路程为( C )A .24里B .12里C .6里D .3里9.二元一次方程组x +y 2=2x -y 3=x +2的解是__⎩⎪⎨⎪⎧x =-5y =-1__. 10.已知⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax +by =3,bx +ay =-7的解,则代数式(a +b)(a -b)的值为__-8__.10.某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了435元,其中篮球的单价比足球的单价多3元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元,足球的单价为y 元,依题意,可列方程组为__⎩⎪⎨⎪⎧x -y =34x +5y =435__. 11.王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋,分给朋友们品尝,如果每人分5袋,还余3袋;如果每人分6袋,还差3袋,则王经理带回孔明菜__33__袋.12.解方程:43[34(12x -1)-3]=2x +1; 解:12x -1-4=2x +1,-32x =6,x =-4. 13. 解方程组:⎩⎪⎨⎪⎧x +y =5,2x +3y =11. 解:⎩⎪⎨⎪⎧x +y =5①,2x +3y =11②,①×3-②得x =4,把x =4代入①得y =1,则方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =1. 14.小明和小华同时解方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx +y =5,2x -ny =13,小明看错了m ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =72,y =-2;小华看错了n ,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-7.你能求出原方程组的正确解吗? 解:把⎩⎪⎨⎪⎧x =72,y =-2代入2x -ny =13得7+2n =13,n =3;把⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-7代入mx +y =5得3m -7=5,m =4,∴原方程组为⎩⎪⎨⎪⎧4x +y =5,2x -3y =13,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-3. 15.为确保信息安全,在传输时往往需加密,发送方发出一组密码a ,b ,c 时,则接收方对应收到的密码为A ,B ,C.双方约定:A =2a -b ,B =2b ,C =b +c ,例如发出1,2,3,则收到0,4,5.(1)当发送方发出一组密码为2,3,5时,则接收方收到的密码是多少?(2)当接收方收到一组密码为2,8,11时,则发送方发出的密码是多少?解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A =2×2-3,B =2×3,C =3+5,解得A =1,B =6,C =8.答:接收方收到的密码是1,6,8.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a -b =2,2b =8,b +c =11,解得a =3,b =4,c =7.答:发送方发出的密码是3,4,7.16.根据图中给出的信息,解答下列问题:(1)放入一个小球水面升高__2__cm ,放入一个大球水面升高__3__cm ;(2)如果要使水面上升到50 cm ,应放入大球、小球各多少个? 解:(2)设应放入大球m 个,小球n 个,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m +n =10,3m +2n =50-26,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =4,n =6.答:如果要使水面上升到50 cm ,应放入大球4个,小球6个.。
北京市丰台区2016-2017学年第一学期初三数学期中复习 一次方程(组)及其应用 专题复习检测题 学生版无答案
一次方程(组)及其应用一、选择题1.若2(a +3)的值与4互为相反数,则a 的值为( )A .-1B .-72C .-5 D.122.互联网”微商”经营已成为大众创业新途径,某微信平台上一件商品标价为200元,按标价的五折销售,仍可获利20元,则这件商品的进价为( )A .120元B .100元C .80元D .60元3.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马,多少匹小马?若设大马有x 匹,小马有y 匹,那么可列方程组为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,3x +3y =100B.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,x +3y =100 C.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,3x +13y =100 D.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,3x +y =100 4.在如图的2016年6月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是( )日 一 二 三 四 五 六1 2 3 45 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30A .27B .51C .69D .725.足球比赛规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某足球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获胜的场数可能是( )A .1或2B .2或3C .3或4D .4或5二、填空题6.以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +2,y =-x +1的解为坐标的点(x ,y)在第____象限. 7.王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋,分给朋友们品尝,如果每人分5袋,还余3袋;如果每人分6袋,还差3袋,则王经理带回孔明菜____袋.8.已知⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax +by =3,bx +ay =-7的解,则代数式(a +b)(a -b)的值为____. 9.甲、乙二人做某种机械零件,已知甲是技术能手每小时比乙多做3个,甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等,那么甲每小时做____个零件.10.书店举行购书优惠活动:①一次性购书不超过100元,不享受打折优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折;③一次性购书200元一律打七折.小丽在这次活动中,两次购书总共付款229.4元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,那么小丽这两次购书原价的总和是____元.三、解答题11.(1)解方程:x 6-30-x 4=5;(2)解方程组:⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y =7①,x -3y =8②.12.根据要求,解答下列问题.(1)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)①⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =3,2x +y =3的解为____ ②⎩⎪⎨⎪⎧3x +2y =10,2x +3y =10的解为____ ③⎩⎪⎨⎪⎧2x -y =4,-x +2y =4的解为____ (2)以上每个方程组的解中,x 值与y 值的大小关系为____;(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组,并直接写出它的解.13.已知关于x ,y 的二元一次方程(a -1)x +(a +2)y +5-2a =0,当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,求这个公共解.14.某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件,商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标?15.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.(1)求该店有客房多少间?房客多少人?(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?。
人教版初中九年级数学知识点07 一次方程(组)及其应用(1)
一、选择题1. (2019湖南怀化,6,4分) 一元一次方程x -2=0的解是( ) A. x =2 B.x =-2 C.x =0 D.x =1 【答案】 A.【解析】解:方程x -2=0, 解得:x =2. 故选A .【知识点】一元一次方程的解2. (2019四川巴中,5,4分) 已知关于x,y 的二元一次方程组434ax y x by 的解是22x y ,则a+b 的值是( )A.1B.2C.-1D.0【答案】B 【解析】将22x y 代入方程组,得:224624a b ,解之,得:11a b ,所以a+b =2,故选B 【知识点】二元一次方程组3. (2019四川省乐山市,7,3)《九章算术》第七卷“盈不足”中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”译为:“今有人合伙购物,每人出8钱,会多3钱;每人出7钱,又差4钱。
问人数、物价各多少?”根据所学知识,计算出人数、物价分别是 ( ) A .1,11 B .7,53 C .7,61 D .6,50 【答案】B【解析】本题考查了二元一次方程组的应用,设合伙人数为x 人,物价为y 钱,根据题意得:8374x y y x -=⎧⎨-=⎩,,解得753x y =⎧⎨=⎩,,故选B .【知识点】二元一次方程组的应用4. (2019天津市,9,3分)方程组的解是【答案】D【解析】观察方程组可以发现,两个方程中y 的系数互为相反数,所以可以选择加减消元法,将两个方程相加,消去未知数y ,可得x=2,从而求出y 的值,故选D 【知识点】加减法解二元一次方程组.5. (2019浙江宁波,11题,4分)小慧去花店购买鲜花,若买5支玫瑰和3支百合,则她所带的钱还剩下10元;若买3支玫瑰和5支百合,则她所带的钱还缺4元,若只买8支玫瑰,则她所带的钱还剩下( )A.31元B.30元C.25元D.19元 【答案】A【解析】设一支玫瑰x 元,一支百合y 元,小慧带了z 元,根据题意得:5x+3y =z -10,3x+5y =z+4,∴x+y =34z -,∴3x+3y =394z -,∴2x =314z -,∴8x =z -31,即小慧买8支玫瑰后,还剩31元,故选A. 【知识点】二元一次方程组,消元法6. (2019浙江台州,6题,4分)一道来自课本的习题:小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题,设未知数x,y 已经列出一个方程543460x y +=,则另一个方程正确的是( )A.424360x y += B. 425460x y +=C.424560x y +=D.423460x y += 【答案】B【解析】从方程543460x y +=可以得到上坡的路程为xkm,平路的路程为ykm,且返程上坡成为了下坡,故方程为425460x y +=,故选B. 【知识点】二元一次方程组7. (2019重庆A 卷,7,4)《九章算术》中有这样一个题:今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何?其意思为:今有甲乙二人,不如其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给甲,则甲的数为50;而甲把其23的钱给乙.则乙的钱数也为50,问甲、乙各有多少钱?设甲的钱数为x ,乙的钱数为y ,则可建立方程组为 ( ) A .15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ B .15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩C .15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩D .15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【答案】A .【解析】根据“甲的钱+乙的钱的一半=50;甲的钱的23+乙的钱=50”可得方程组15022503x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,故选A .【知识点】二元一次方程组;古代问题8. (2019四川南充,9,4分) 《九章算术》是中国古代数学著作之一,书中有这样的一个问题:五只雀,六只燕共重一斤,雀重燕轻,互换一只,恰好一样重.问:每只雀、燕的重量各为多少?设一只雀的重量为x 斤,一只燕的重量为y 斤,则可列方程组为( ) A .56156x y x y y x +=⎧⎨-=-⎩B .65156x y x y y x +=⎧⎨+=+⎩C.56145x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩D.65145x yx y y x+=⎧⎨-=-⎩【答案】C【解析】解:由题意可得,56145x yx y y x+=⎧⎨+=+⎩,故选:C.【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组9.(2019贵州黔东南,6,4分)如果3ab2m﹣1与9ab m+1是同类项,那么m等于()A.2B.1C.﹣1D.0【答案】A【解析】解:根据题意,得:2m﹣1=m+1,解得m=2.故选:A.【知识点】同类项10.(2019湖北荆门,8,3分)欣欣服装店某天用相同的价格a(a>0)卖出了两件服装,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是()A.盈利B.亏损C.不盈不亏D.与售价a有关【答案】B【解析】解:设第一件衣服的进价为x元,依题意得:x(1+20%)=a,设第二件衣服的进价为y元,依题意得:y(1﹣20%)=a,∴x(1+20%)=y(1﹣20%),整理得:3x=2y,该服装店卖出这两件服装的盈利情况为:0.2x﹣0.2y=0.2x﹣0.3x=﹣0.1x,即赔了0.1x元,故选:B.【知识点】一元一次方程的应用11.(2019湖北荆门,3,3分)已知实数x,y满足方程组{3x−2y=1,x+y=2.则x2﹣2y2的值为()A.﹣1B.1C.3D.﹣3【答案】A【解析】解:{3x−2y=1①x+y=2②,①+②×2,得5x=5,解得x=1,把x =1代入②得,1+y =2,解得y =1, ∴x 2﹣2y 2=12﹣2×12=1﹣2=﹣1.故选:A .【知识点】二元一次方程组的解;解二元一次方程组12. (2019山东德州,8,4分) 《孙子算经》中有一道题,原文是:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四足五寸;屈绳量之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺.将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺,问木长多少尺,现设绳长x 尺,木长y 尺,则可列二元一次方程组为( ) A . 4.5112y x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ B . 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C . 4.5112x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩ D . 4.5112y x x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩【答案】B【解析】解:设绳长x 尺,长木为y 尺, 依题意得 4.5112x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩, 故选B .【知识点】二元一次方程组的应用13. (2019山东菏泽,5,3分))已知{x =3y =−2是方程组{ax +by =2bx +ay =−3的解,则a +b 的值是( )A .﹣1B .1C .﹣5D .5【答案】A【解析】解:将{x =3y =−2代入{ax +by =2bx +ay =−3,可得:{3a −2b =23b −2a =−3,两式相加:a +b =﹣1,故选A . 【知识点】二元一次方程组的解14. (2019四川南充,6,3分)关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =,则a m +的值为( ) A .9 B .8C .5D .4【答案】C【解析】解:因为关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =, 可得:21a -=,24m +=, 解得:3a =,2m =, 所以325a m +=+=, 故选:C .【知识点】一元一次方程的解15. (2019台湾省,20,3分)某旅行团到森林游乐区参观,如表为两种参观方式与所需的缆车费用.已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种,且去程有15人搭乘缆车,回程有10人搭乘缆车.若他们缆车费用的总花费为4100元,则此旅行团共有多少人?( )A .16B .19C .22D .25【答案】A【解析】解:设此旅行团有x 人单程搭乘缆车,单程步行,其中去程及回程均搭乘缆车的有y 人, 根据题意,得2003004100(15)(10)x y y y x +=⎧⎨-+-=⎩,解得79x y =⎧⎨=⎩,则总人数为7916+=(人) 故选:A .【知识点】二元一次方程组的应用16.(2019浙江嘉兴,8,3分)中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题:“马四匹、牛六头,共价四十八两(我国古代货币单位);马二匹、牛五头,共价三十八两.问马、牛各价几何?”设马每匹x 两,牛每头y 两,根据题意可列方程组为( )A .46383548x y x y +=⎧⎨+=⎩B .46483538y x y x +=⎧⎨+=⎩C .46485338x y x y +=⎧⎨+=⎩D .46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】D【解析】解:设马每匹x 两,牛每头y 两,根据题意可列方程组为: 46483538x y x y +=⎧⎨+=⎩. 故选:D .【知识点】由实际问题抽象出二元一次方程组二、填空题1. (2019湖南省岳阳市,15,4分)我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺.问日织几何?”其意思为:今有一女子很会织布,每日加倍增长,5日共织布5尺,问每日各织多少布?根据此问题中的已知条件,可求得该女子第一天织布 尺. 【答案】531【解析】设该女子第一天织布x 尺,根据题意得:x +2x +4x +8x +16x =5解得:531x =所以,该女子第一天织布531尺. 【知识点】一元一次方程的应用2. (2019山东泰安,14题,4分)《九章算术》是我国古代数学的经典著作,书中有一个问题:”今有黄金九枚,白银一十一枚,称之重适等,交易其一,金轻十三两,问金,银一枚各重几何?”意思是:甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同),乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同),称重两袋相等,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两(袋子的重量忽略不计),问黄金,白银每枚各重多少两?设每枚黄金重x 两,每枚白银重y 两,根据题意可列方程组为_______________. 【答案】()()9x 11y10y x 8x y 13=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩【解析】甲袋中装有黄金9枚,乙袋中装有白银11枚,称重两袋相等,设每枚黄金重x 两,每枚白银重y 两,可得9x =11y,两袋互相交换1枚后,甲袋比乙袋轻了13两,可得(10y+x)-(8x+y)=13,∴方程组为()()9x 11y 10y x 8x y 13=⎧⎪⎨+-+=⎪⎩【知识点】二元一次方程组的应用3. (2019四川省凉山市,13,4) 方程10216x y x y +=⎧⎨+=⎩,的解是 .【答案】64x y =⎧⎨=⎩,【解析】由方程②减去方程①,得x =6,把x =6 代入x +y =10,得y =4,∴⎩⎨⎧==46y x .故答案为64x y =⎧⎨=⎩,.【知识点】二元一次方程组的解法4. (2019四川省眉山市,15,3分)已知关于x 、y 的方程组1254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩的解满足x +y =5,则k 的值为 .【答案】2【解析】解:21254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩①②,①+②,得x+y=2k+1,又∵x+y=5,∴2k+1=5,解得:k=2,故答案为:2.【知识点】解二元一次方程组5. (2019四川省自贡市,16,4分)某活动小组购买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元,其中篮球的单价比足球的单价多4元,求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x 元,足球的单价为y 元,依题意,可列方程组为 . 【答案】{x =y +44x +5y =466【解题过程】解:根据“篮球的单价比足球的单价多4元”可列方程x =y +4; 根据“买了4个篮球和5个足球,一共花费了466元”可列方程4x +5y =466. 联立组成方程组{x =y +44x +5y =466.【知识点】二元一次方程组的应用.6.(2019浙江省衢州市,13,4分) 已知实数m ,n 满足1,3.m n m n -=⎧⎨+=⎩则代数式m 2-n 2的值为 。
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方程复习一、一元一次方程归纳1:有关概念一元一次方程的概念1、方程:含有未知数的等式叫做方程.2、方程的解:能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3、一元一次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程,其中方程叫做一元一次方程的标准形式,a是未知数x的系数,b是常数项.基本方法归纳:判断一元一次方程时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可;方程的解只需带入方程看等式是否成立即可.注意问题归纳:未知数的系数必须不能为零.【例1】(2017湖南省永州市)x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解,则a的值是()A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1归纳2:一元一次方程的解法1、等式的性质(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式.2、解一元一次方程的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1.基本方法归纳:根据解一元一次方程的步骤计算即可.注意问题归纳:利用等式的性质2时注意:除数不能是零;解方程去分母时应该每项都乘;去括号时注意应该变号.【例2】解方程:305 64x x--=.归纳3:一元一次方程的应用1、列一元一次方程解应用题的一般步骤:(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系.(2)设未知数,一般求什么就设什么为x ,但有时也可以间接设未知数.(3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程.(4)解方程.(5)检验,看方程的解是否符合题意.(6)写出答案.2、解应用题的书写格式:设→根据题意→解这个方程→答.基本方法归纳:解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可.注意问题归纳:找对等量关系最后一定要检验.【例3】(2017湖南省常德市)收发微信红包已成为各类人群进行交流联系,增强感情的一部分,下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话. 请问:(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少?(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包?练习题:1.(2017浙江省杭州市)设x ,y ,c 是实数,( )A .若x =y ,则x +c =y ﹣cB .若x =y ,则xc =ycC .若x =y ,则cy c x= D .若c y c x 32=,则2x =3y 2.(2016内蒙古包头市)若2(a +3)的值与4互为相反数,则a 的值为( ) A .﹣1 B .72-C .﹣5D .12 3.(2017丽水)若关于x 的一元一次方程x ﹣m +2=0的解是负数,则m 的取值范围是( )A .m ≥2B .m >2C .m <2D .m ≤24.(2017云南省)已知关于x 的方程2x +a +5=0的解是x =1,则a 的值为 .5.(2016内蒙古赤峰市)甲乙二人在环形跑道上同时同地出发,同向运动.若甲的速度是乙的速度的2倍,则甲运动2周,甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度3倍,则甲运动32周,甲、乙第一次相遇;若甲的速度是乙的速度4倍,则甲运动43周,甲、乙第一次相遇,…,以此探究正常走时的时钟,时针和分针从0点(12点)同时出发,分针旋转周,时针和分针第一次相遇.6.(2017安徽省)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,原文如下:今有人共买物、人出八,盈三;人出七,不足四,问人数,物价各几何?译文为:现有一些人共同买一个物品,每人出8元,还盈余3元;每人出7元,则还差4元,问共有多少人?这个物品的价格是多少?二、二元一次方程归纳1:二元一次方程的有关概念1、二元一次方程:含有两个未知数,并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程.2、二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解.3、二元一次方程组:两个(或两个以上)二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.4二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.基本方法归纳:判断一个方程是不是二元一次方程关键看未知数的个数和未知项的最高次数;判断方程组的解只需带入方程组组看是不是成立即可.注意问题归纳:判断一个方程是不是二元一次方程特别注意是:未知项的最高次数而不是未知数的次数.【例1】(2017四川省眉山市)已知关于x,y的二元一次方程组231 ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩,则a﹣2b的值是()A.﹣2 B.2 C.3 D.﹣3 归纳2:二元一次方程的解法基础知识归纳:解一元二次方程组的方法(1)代入法(2)加减法基本方法归纳:解一元二次方程组的方法关键是消元.当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时,一般采用代入法;当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时,或者系数均不为2时,一般采用加减消元.注意问题归纳:根据题意选择适当的方法快速求解,注意计算中的错误.【例2】(2017广东省广州市)解方程组:5 2311x yx y+=⎧⎨+=⎩.归纳3:二元一次方程组的应用基础知识归纳:1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤:(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系.(2)设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数.(3)列方程组,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程组.(4)解方程组.(5)检验,看方程组的解是否符合题意.(6)写出答案.2、解应用题的书写格式:设→根据题意→解这个方程组→答.基本方法归纳:解题时先理解题意找到等量关系列出方程组再解方程组最后检验即可.注意问题归纳:找对等量关系最后一定要检验.【例3】上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体,目前,某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”,消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间,并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费.下表是流量与语音的阶梯定价标准.【小提示:阶梯定价收费计算方法,如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×(600﹣500)=87元】(1)甲定制了600MB的月流量,花费48元;乙定制了2GB的月流量,花费120.4元,求a,b的值.(注:1GB=1024MB)(2)甲的套餐费用为199元,其中含600MB的月流量;丙的套餐费用为244.2元,其中包含1GB的月流量,二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间,并且丙的语音通话时间比甲多300分钟,求m的值.【例4】(2017四川省遂宁市)2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”.为了加快创建步伐,某运输公司承担了某标段的土方运输任务,公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方.已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨;3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨.(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨?(2)该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方,若每次运输土方总量不小于148吨,且小型渣土运输车至少派出7辆,问该渣土运输公司有几种派出方案?(3)在(2)的条件下,已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次,一辆小型渣土运输车运输花费300元/次,为了节约开支,该公司应选择哪种方案划算?练习题:1.(2016贵州省毕节市)已知关于x ,y 的方程22146m n m n xy --+++=是二元一次方程,则m ,n 的值为( ) A .m =1,n =﹣1 B .m =﹣1,n =1 C .m =13,n =43- D .m =13-,n =432.(2017浙江省嘉兴市)若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==b y a x ,则a ﹣b =( )A .1B .3C . 41-D .473.(2017内蒙古包头市)若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay +=⎧⎨-=⎩的解是1x b y =⎧⎨=⎩,则b a 的值为 .4.(2016广西钦州市)若x ,y 为实数,且满足2(2)0x y +=,则y x 的值是 .5.(2016四川省达州市)已知x ,y 满足方程组52251x y x y -=-⎧⎨+=-⎩,求代数式2()(2)(2)x y x y x y --+-的值.6.(2017四川省乐山市)二元一次方程组2322+=-=+x y x y x 的解是 7.(2017内蒙古呼和浩特市)某专卖店有A ,B 两种商品,已知在打折前,买60件A 商品和30件B 商品用了1080元,买50件A 商品和10件B 商品用了840元,A ,B 两种商品打相同折以后,某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1960元,计算打了多少折?8.(2017四川省南充市)学校准备租用一批汽车,现有甲、乙两种大客车,甲种客车每辆载客量45人,乙种客车每辆载客量30人,已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元,3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元.(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元?(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆,送330名师生集体外出活动,最节省的租车费用是多少?9.(2016湖南省长沙市)2016年5月6日,中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营,该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽,沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中,届时将给乘客带来美的享受.星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务,拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方,已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨,5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨.(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨?(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方,若每次运输土方总量不少于148吨,且小型渣土运输车至少派出2辆,则有哪几种派车方案?三、分式方程?考点归纳归纳1:分式方程的有关概念1、分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2、分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值,如果这个值令最简公分母为零则为增根.基本方法归纳:判断分式方程时只需看分母中必须有未知数;分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可.注意问题归纳:未知数的系数必须不能为零;判断一个数增根的条件缺一不可:1、这个数是解化成的整式方程的根,2、使最简公分母为零.【例1】(2017四川省成都市)已知x=3是分式方程2121kx kx x--=-的解,那么实数k的值为()A.﹣1 B.0 C.1 D.2【例2】(2017四川省泸州市)若关于x的分式方程2322x m mx x++=--的解为正实数,则实数m的取值范围是.归纳2:分式方程的解法1、解分式方程的步骤:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是:(1)去分母,方程两边都乘以最简公分母(2)解所得的整式方程(3)验根:将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根,应该舍去;若不等于零,就是原方程的根.基本方法归纳:分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母,转化为整式方程求解,其次注意一定要验根.注意问题归纳: 解完方程后一定要注意验根.【例3】(2017上海市)解方程:231133x x x -=--. 归纳 3:分式方程的应用1、分式方程解应用题的一般步骤: (1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系.(2)设未知数,一般求什么就设什么为x ,但有时也可以间接设未知数.(3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程.(4)解方程.(5)检验,看方程的解是否符合题意.(6)写出答案.2、解应用题的书写格式:设→根据题意→解这个方程→答.基本方法归纳:解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可. 注意问题归纳:找对等量关系最后一定要检验.【例4】(2017内蒙古通辽市)一汽车从甲地出发开往相距240km 的乙地,出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶,1小时后比原来的速度加快14,比原计划提前24min 到达乙地,求汽车出发后第1小时内的行驶速度.练习题:1.(2017四川省凉山州)若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a =+-有一个解相同,则a 的值为( )A .1B .1或﹣3C .﹣1D .﹣1或32.(2017山东省聊城市)如果解关于x 的分式方程2122m x x x-=--时出现增根,那么m 的值为( ) A .﹣2 B .2 C .4 D .﹣43.(2017黑龙江省龙东地区)已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数,那么a 的取值范围是( )A .a >1B .a ≥1C .a ≥1且a ≠9D .a ≤14.(2017重庆)若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数,且使关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y <﹣2,则符合条件的所有整数a 的和为( )A .10B .12C .14D .165.(2016重庆市)如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解,且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x <﹣2,那么符合条件的所有整数a 的积是( ) A .﹣3 B .0 C .3 D .96.(2017内蒙古赤峰市)为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图,某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗,已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元,购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元.(1)若两种树苗购买的棵数一样多,求梨树苗的单价;(2)若两种树苗共购买1100棵,且购买两种树苗的总费用不超过6000元,根据(1)中两种树苗的单价,求梨树苗至少购买多少棵.四、一元二次方程 五、 一元一次不等式(组)归纳 1:有关概念1.不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式.2.不等式的解集:对于一个含有未知数的不等式,任何一个适合这个不等式的未知数的值,都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程,叫做解不等式.3.用数轴表示不等式的方法4.一元一次不等式:一般地,不等式中只含有一个未知数,未知数的次数是1,且不等式的两边都是整式,这样的不等式叫做一元一次不等式.5.一元一次不等式组:几个一元一次不等式合在一起,就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组.基本方法归纳:判断不等式(组)时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可;不等式的解只需带入不等式是否成立即可;不等式(组)的解集是所有解得集合.注意问题归纳:不等式组的解集是所有解得公共部分.【例1】如图,身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时,如果用一个不等式来表示他们的身高关系,则这个式子可以表示成x y(用“>”或“<”填空).归纳2:不等式基本性质1.不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.2.不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.3.不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.基本方法归纳:观察不等式的变化再选择应用那个性质.注意问题归纳:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.【例2】(2017江苏省常州市)若3x>﹣3y,则下列不等式中一定成立的是()A.x+y>0 B.x﹣y>0 C.x+y<0 D.x﹣y<0归纳3:一元一次不等式(组)的解法1.解一元一次不等式的步骤①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1.2.一元一次不等式组的解法(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分,即这个不等式组的解集.基本方法归纳:根据解一元一次不等式(组)的步骤计算即可.注意问题归纳:不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.【例3】(2017四川省乐山市)求不等式组2131252x xx x+<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩的所有整数解.【例4】已知关于x的不等式组523(1)138222x xx x a+>-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解,求实数a的取值范围.归纳4:一元一次不等式(组)的应用1.列一元一次不等式(组)解应用题的一般步骤:(1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找不等关系.(2)设未知数,一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数.(3)列一元一次不等式(组)(4)解一元一次不等式(组).(5)检验,看解集是否符合题意.(6)写出答案.2.解应用题的书写格式:设→根据题意→解一元一次不等式(组)→答.基本方法归纳:解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式(组)求解最后检验即可.【例5】(2017四川省凉山州)为了推进我州校园篮球运动的发展,2017年四川省中小学生男子篮球赛于2某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个,其进价与售价间的关系如下表:(1)商店用4200元购进这批篮球和排球,求购进篮球和排球各多少个?(2)设商店所获利润为y (单位:元),购进篮球的个数为x (单位:个),请写出y 与x 之间的函数关系式(不要求写出x 的取值范围);(3)若要使商店的进货成本在4300元的限额内,且全部销售完后所获利润不低于1400元,请你列举出商店所有进货方案,并求出最大利润是多少?练习题:1.(2017湖南省株洲市)已知实数a ,b 满足a +1>b +1,则下列选项错误的为( )A .a >bB .a +2>b +2C .﹣a <﹣bD .2a >3b2.(2017山东省泰安市)不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为x <2,则k 的取值范围为( )A .k >1B .k <1C .k ≥1D .k ≤13.(2017黑龙江省龙东地区)已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数,那么a 的取值范围是( )A .a >1B .a ≥1C .a ≥1且a ≠9D .a ≤14.(2017辽宁省鞍山市)在平面直角坐标系中,点P (m +1,2﹣m )在第二象限,则m 的取值范围为( )A .m <﹣1B .m <2C .m >2D .﹣1<m <25.(2016内蒙古包头市)不等式1123x x --≤的解集是( ) A .x ≤4 B .x ≥4 C .x ≤﹣1 D .x ≥﹣16.(2016内蒙古巴彦淖尔市)如图,直线l 经过第一、二、四象限,l 的解析式是y =(m ﹣3)x +m +2,则m 的取值范围在数轴上表示为( )A .B .C .D .7.(2017内蒙古通辽市)不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-->+1312112x x x 的整数解是 . 8.(2017内蒙古呼和浩特市)已知关于x 的不等式21122m mx x ->-. (1)当m =1时,求该不等式的解集;(2)m 取何值时,该不等式有解,并求出解集.。
初中化学中考复习之第5讲 一次方程(组)及其应用
对点训练
1.(2019·南充)关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,则a+m的值为
(C )
A.9
B.8
C.5
D.4
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2.(2020·乐山)解二元一次方程组:82xx
y2 3y 9
①, ②.
解:②-①×3,得 2x=3,解得x= 3 .
2
把x= 3 代入①,得2× 3 +y=2,解得y=-1,
数的系数成整数倍数关系时,选择加减法(用加减消元法时,注意正系数减负 系数的情况)较为简单.
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注:若已知方程组,求含两个未知数的代数式的值时,可以不解方程,用简便 方法,即将方程组的两个方程相加或相减,再比较所得式子与所求代数式的 异同,从而求解.
3.不满足以上两种情况时,可通过找某一未知数系数的最小公倍数使该未知数 的系数相同或互为相反数,再采用加减法较为合适.
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7.把正整数1,2,3,4,…,2 021排列成如图所示的一个表,若被框住的4 个数之和为416,则这4个数中最大的数为_____1_0_8_____.
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8.(2020·武威模拟)体育文化用品商店购进篮球和排球共20个,进价和售价如 下表,全部销售完后共获利润260元.求商店购进篮球、排球各多少个.
则可列方程组为( C )
5x 6y 1, A. 5x y 6y x
C.
5x 6y 1, 4x y 5y
x
B.
6x 5x
5y 1, y 6y
x
D.
6x 4x
5y 1, y 5y
x
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4.(2020·兰州)中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题,在《孙子算
中考数学专项训练--一次方程(组)及应用
中考数学专项训练--一次方程(组)及应用一元一次方程及其解法1.(中考)明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如图),其大意为:有一群人分银子,如果每人分七两,则剩余四两;如果每人分九两,则还差八两,请问:所分的银子共有__46__两.(注:明代时1斤=16两,故有“半斤八两”这个成语)2.(中考)六一期间,小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩,如图是购买门票时,小明与他爸爸的对话,设去了x个成人,则根据图中的信息,下面所列方程中正确的是( A)A.40x+20(12-x)=400 B.40(12-x)+20x=400C.24(12-x)+20x=400 D.24x+12(12-x)=4003.(十一中一模)希望中学九年级(1)班共有学生49人,当该班少一名男生时,男生的人数恰好为女生人数的一半.设该班有男生x人,则下列方程中,正确的是( A) A.2(x-1)+x=49 B.2(x+1)+x=49C.x-1+2x=49 D.x+1+2x=49二元一次方程组及其解法4.(二中二模)小明在解关于x,y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =△,2x -3y =5时,解得⎩⎨⎧x =4,y =⊗,则△和⊗代表的数分别是( B )A .△=1,⊗=5B .△=5,⊗=1C .△=-1,⊗=3D .△=3,⊗=-1 5.(中考)解方程组:⎩⎨⎧x -2y =4,① 2x +y -3=0.②解:由①得x =2y +4.将x =2y +4代入②,得2(2y +4)+y -3=0.解得y =-1.∴x=2y +4=2×(-1)+4=2.∴方程组的解是⎩⎨⎧x =2,y =-1.6.(二中三模)某地为了打造风光带,将一段长为360 m 的河道整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成,共用时20天,已知甲工程队每天整治24 m ,乙工程队每天整治16m .求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道.解:设甲工程队整治河道x m ,则乙工程队整治河道(360-x)m .由题意,得x 24+360-x 16=20,解得x =120.当x =120时,360-x =240.答:甲工程队整治河道 120 m ,乙工程队整治河道240 m .7.(改编)已知关于x,y 的二元一次方程ax +by =10(ab≠0)的两个解分别为⎩⎨⎧x =-1,y =2和⎩⎨⎧x =-2, y =-4,求1-a 2+4b 2的值. 解:把⎩⎨⎧x =-1, y =2代入方程ax +by =10中,得-a +2b =10,把⎩⎨⎧x =-2, y =-4代入方程ax +by=10中,得-a -2b =5,∴(-a +2b)(-a -2b)=a 2-4b 2=50,∴1-a 2+4b 2=1-50=-49.一元一次方程组的应用8.(中考)为厉行节能减排,倡导绿色出行,今年3月以来.“共享单车”(俗称“小黄车”)公益活动登陆我市中心城区,某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”,这批自行车包括A,B两种不同款型,请回答下列问题:问题1:单价该公司早期在甲街区进行了试点投放,共投放A,B两型自行车各50辆,投放成本共计7 500元,其中B型车的成本单价比A型车高10元,A,B两型自行车的单价各是多少?问题2:投放方式该公司决定采取如下投放方式:甲街区每1 000人投放a辆“小黄车”,乙街区每1 000人投放8a+240a辆“小黄车”,按照这种投放方式,甲街区共投放 1 500辆,乙街区共投放 1200辆,如果两个街区共有15万人,试求a的值.解:问题1:设A型车的成本单价为x元,则B型车的成本单价为(x+10)元.依题意,得50x+50(x+10)=7 500,解得x=70,∴x+10=80,答:A、B两型自行车的单价分别是70元和80元;问题2:由题意可得1 500a×1 000+1 2008a+24a×1 000=150 000,解得a=15.经检验,a=15是所列方程的解.故a的值为15.9.(中考)上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体.日前,某通信公司推出消费优惠新招——“定制套餐”.消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间,并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费.下表是流量与语音的阶梯定价标准.流量阶梯定价标准语音阶梯定价标准使用范围 阶梯单价 (元/MB ) 使用范围阶梯单价(元/min ) 1-100 MB a 1-500 min0.15101-500 MB 0.07 501-1 000 min 0.12 501 MB -20 GBb1 001-2 000minm[小提示:阶梯定价收费计算方法,如600 min 语音通话费=0.15×500+0.12×(600-500)=87元](1)甲定制了600 MB 的月流量,花费48元;乙定制了2 GB 的月流量,花费120.4元.求a,b 的值;(注:1 GB =1 024 MB )(2)甲的套餐费用为199元,其中含600 MB 的月流量;丙的套餐费用为244.2元,其中包含1 GB 的月流量.二人均定制了超过1 000 min 的每月通话时间,并且丙的语音通话时间比甲多300 min ,求m 的值.解:(1)由题意,得⎩⎨⎧100a +(500-100)×0.07+(600-500)b =48, 100a +(500-100)×0.07+(1 024×2-500)b =120.4,解得⎩⎨⎧a =0.15, b =0.05;(2)设甲每月定制x(x >100)min 通话时间,则丙定制(x +300)min 通话时间,丙定制了1GB 月流量套餐需花费100×0.15+(500-100)×0.07+(1 024-500)×0.05=69.2(元),由题意得⎩⎨⎧48+500×0.15+(1 000-500)×0.12+(x -1 000)m =199,69.2+500×0.15+(1 000-500)×0.12+(x +300-1 000)m =244.2.∴m =0.08.,中考考点清单)方程、方程的解与解方程1.含有未知数的__等式__叫方程.2.使方程左右两边相等的__未知数__的值叫方程的解.3.求方程__解__的过程叫解方程.等式的基本性质4.性质1:等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子,所得的结果仍__相等__.如果a=b,那么a±c__=__b±c.性质2:等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0),所得结果仍__相等__,如果a=b,那么ac=bc(c≠0),ac=bc(c≠0).一次方程(组)5.概念与解法(1)一元一次方程概念:含有__一个__未知数且未知数的次数是__1__,这样的方程叫做一元一次方程.解法:解一元一次方程的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1.(2)二元一次方程概念:含有两个__未知数__,并且含有未知数的项的__次数__都是1的方程叫做二元一次方程.解法:一般需找出满足方程的整数解即可.(3)二元一次方程组概念:两个__二元一次方程__所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.解法:解二元一次方程组的基本思路是__消元__.基本解法有:__代入__消元法和__加减__消元法.(4)三元一次方程组概念:三个一次方程组成的含有三个未知数的一组方程叫三元一次方程组. 解法:解三元一次方程组的基本思想是:三元――→转化二元――→转化一元一次方程. 【温馨提示】(1)解一元一次方程去分母时,常数项不要漏乘,移项一定要变号; (2)二元一次方程组的解应写成⎩⎨⎧x =a ,y =b 的形式.列方程(组)解应用题的一般步骤6.(1)审:审清题意,分清题中的已知量、未知量;(2)设:设__未知数__,设其中某个量为未知数,并注意单位,对含有两个未知数的问题,需设两个未知数;(3)列:弄清题意,找出__相等关系__;根据__相等关系__,列方程(组); (4)解:解方程(组);(5)验:检验结果是否符合题意; (6)答:答题(包括单位).【方法点拨】一次方程(组)用到的思想方法:(1)消元思想:将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程;(2)整体思想:在解方程时结合方程的结构特点,灵活采取整体思想,使整个过程简捷; (3)转化思想:解一元一次方程最终要转化成ax =b ;解二元一次方程组先转化成一元一次方程;(4)数形结合思想:利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题; (5)方程思想:利用其他知识构造方程解决问题.一元一次方程及解法【例1】(1)(瑞安中考模拟)关于x 的方程2x -m3=1的解为2,则m 的值是( )A .2.5B .1C .-1D .3 (2)(河池中考)解方程:2x +13-5x -16=1. 【解析】(1)把x =2代入方程,得4-m3=1,解得m =1.(2)按去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1来解.【答案】(1)B ;(2)x =-3.1.(滨州中考)解方程:2-2x +13=1+x2.解:去分母,得12-2(2x +1)=3(1+x), 去括号,得12-4x -2=3+3x, 移项、合并同类项,得7x =7, 系数化为1,得x =1.二元一次方程组及解法【例2】(宝安中考)若方程mx +ny =6的两个解是⎩⎨⎧x =1, y =1和⎩⎨⎧x =2,y =-1,则m,n 的值为( )A .⎩⎨⎧m =4, n =2B .⎩⎨⎧m =2, n =4C .⎩⎨⎧m =-2, n =-4D .⎩⎨⎧m =-4,n =-2【解析】此题考查二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.【答案】A2.(天门中考)已知⎩⎨⎧x =2, y =1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx +ny =8,nx -my =1的解,则2m -n 的算术平方根是( B )A .4B .2C . 2D .±23.(乐山中考)二元一次方程组x +y 2=2x -y3=x +2的解是__⎩⎨⎧x =-5, y =-1__.一次方程(组)的应用【例3】(宁阳中考)某服装店用6 000元购进A,B 两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3 800元(毛利润=售价-进价),这两种服装的进价,标价如表所示.类型价格 A 型 B 型 进价(元/件) 60 100 标价(元/件)100160(1)求这两种服装各购进的件数;(2)如果A 种服装按标价的八折出售,B 种服装按标价的七折出售,那么这批服装全部售完后,服装店比按标价出售少收入多少元?【解析】(1)设A 种服装购进x 件,B 种服装购进y 件,由总价=单价×数量,利润=售价-进价建立方程组求出其解即可;(2)分别求出打折后的价格,再根据少收入的利润=总利润-打折后A 种服装的利润-打折后B 种服装的利润,求出其解即可.【答案】解:(1)设A 种服装购进x 件,B 种服装购进y 件.由题意,得⎩⎨⎧60x +100y =6 000,(100-60)x +(160-100)y =3 800, 解得⎩⎨⎧x =50, y =30.答:A 种服装购进50件,B 种服装购进30件; (2)由题意,得3 800-50(100×0.8-60)-30(160×0.7-100) =3 800-1 000-360 =2 440(元).答:服装店比按标价售出少收入2 440元.4.(新泰中考模拟)某商场经销一种商品,由于进货时价格比原进价降低了 6.4%,使得利润率增加了8个百分点,那么经销这种商品原来的利润率是__17__%.(注:利润率=销售价-进价进价×100%)5.(安顺中考)某校住校生宿舍有大小两种寝室若干间,据统计该校高一年级男生740人,使用了55间大寝室和50间小寝室,正好住满;女生730人,使用了大寝室50间和小寝室55间,也正好住满,求该校的大小寝室每间各住多少人.解:设该校大寝室每间住x 人,小寝室每间住y 人.由题意,得⎩⎨⎧55x +50y =740,50x +55y =730,解得⎩⎨⎧x =8, y =6.答:该校大寝室每间住8人,小寝室每间住6人.。
北京市丰台区普通中学-第一学期初三数学期中复习 一次方程(组)及其应用 专题复习检测题 教师版含答案.doc
一次方程(组)及其应用一、选择题1.若2(a +3)的值与4互为相反数,则a 的值为( C )A .-1B .-72C .-5 D.122.互联网”微商”经营已成为大众创业新途径,某微信平台上一件商品标价为200元,按标价的五折销售,仍可获利20元,则这件商品的进价为( C )A .120元B .100元C .80元D .60元3.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马,多少匹小马?若设大马有x 匹,小马有y 匹,那么可列方程组为( C )A.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,3x +3y =100B.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,x +3y =100 C.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,3x +13y =100 D.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,3x +y =100 4.在如图的2016年6月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是( D )日 一 二 三 四 五 六1 2 3 45 6 7 8 9 10 1112 13 14 15 16 17 1819 20 21 22 23 24 2526 27 28 29 30A .27B .51C .69D .725.足球比赛规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某足球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获胜的场数可能是( C )A .1或2B .2或3C .3或4D .4或5二、填空题6.以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +2,y =-x +1的解为坐标的点(x ,y)在第__二__象限. 7.王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋,分给朋友们品尝,如果每人分5袋,还余3袋;如果每人分6袋,还差3袋,则王经理带回孔明菜__33__袋.8.已知⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-2是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax +by =3,bx +ay =-7的解,则代数式(a +b)(a -b)的值为__-8__. 9.甲、乙二人做某种机械零件,已知甲是技术能手每小时比乙多做3个,甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等,那么甲每小时做__9__个零件.10.书店举行购书优惠活动:①一次性购书不超过100元,不享受打折优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折;③一次性购书200元一律打七折.小丽在这次活动中,两次购书总共付款229.4元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,那么小丽这两次购书原价的总和是__248或296__元.点拨:设第一次购书的原价为x 元,则第二次购书的原价为3x 元,依题意得:①当0<x ≤1003时,x +3x =229.4,解得:x =57.35(舍去) ②当1003<x ≤2003时,x +910×3x =229.4,解得:x =62,此时两次购书原价总和为:4x =4×62=248③当2003<x ≤100时,x +710×3x =229.4,解得:x =74,此时两次购书原价总和为:4x =4×74=296综上可知:小丽这两次购书原价的总和是248或296元三、解答题11.(1)解方程:x 6-30-x 4=5; 解:去分母得:2x -3(30-x)=60,去括号得:2x -90+3x =60,移项合并得:5x =150,解得:x =30(2)解方程组:⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y =7①,x -3y =8②. 解:①+②得,3x =15,解得x =5,把x =5代入①得,10+3y =7,解得y =-1.故方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x =5,y =-112.根据要求,解答下列问题.(1)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)①⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =3,2x +y =3的解为__⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1;__ ②⎩⎪⎨⎪⎧3x +2y =10,2x +3y =10的解为__⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =2;__ ③⎩⎪⎨⎪⎧2x -y =4,-x +2y =4的解为__⎩⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.__ (2)以上每个方程组的解中,x 值与y 值的大小关系为__x =y__;(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组,并直接写出它的解.解:⎩⎨⎧3x +2y =25,2x +3y =25,解为⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =513.已知关于x ,y 的二元一次方程(a -1)x +(a +2)y +5-2a =0,当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,求这个公共解.解:解法一:取a =1,解得3y +3=0,y =-1,取a =-2,得-3x +9=0,x =3,∴x =3,y =-1解法二:整理得(x +y -2)a =x -2y -5,∵当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,可知方程(x +y -2)a =x -2y -5有无数个解,∴⎩⎨⎧x +y -2=0,x -2y -5=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-114.某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件,商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标?解:设每件衬衫降价x 元,依题意有120×400+(120-x)×100=80×500×(1+45%),解得x =20.答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标15.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.(1)求该店有客房多少间?房客多少人?(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?解:(1)设该店有客房x 间,房客y 人;根据题意得:⎩⎨⎧7x +7=y ,9(x -1)=y ,解得⎩⎨⎧x =8,y =63,答:该店有客房8间,房客63人(2)若每间客房住4人,则63名客人至少需客房16间,需付费20×16=320钱;若一次性定客房18间,则需付费20×18×0.8=288钱<320钱;答:若诗中”众客”再次一起入住,他们应选择一次性订房18间更合算。
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中考总复习:一次方程及方程组-- 知识讲解【考纲要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念,会解一元一次方程;2.了解二元一次方程组的定义,会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组;3.能根据具体问题中的数量关系列出方程(组),体会方程思想和转化思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.等式性质(1)等式的两边都加上 ( 或减去 ) 同一个数(或式子),结果仍是等式 .(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不为零),结果仍是等式.2.方程的概念(1)含有未知数的等式叫做方程 .( 2)使方程两边相等的未知数的值,叫做方程的解( 一元方程的解也叫做根).(3)求方程的解的过程,叫做解方程.3.一元一次方程( 1)只含有一个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.( 2)一元一次方程的一般形式: ax b 0( a0) .( 3)解一元一次方程的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化成1;⑥检验 ( 检验步骤可以不写出来). 要点诠释:解一元一次方程的一般步骤..步方法依据注意事项名称骤在方程两边同时乘以所有分去分母的最小公倍数(即把每个含1、不含分母的项也要乘以最小公分母的部分和不含分母的部分等式性质 2 倍数; 2、分子是多项式的一定要1母都乘以所有分母的最小公倍先用括号括起来 .数)去括去括号法则(可先分配再去括乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的2号)括号号3移项把未知项移到方程的一边等式性质 1 移项一定要改变符号(左边),常数项移到另一边(右边)合并分别将未知项的系数相加、1、整式的加减;4 同类2、有理数的加法法单独的一个未知数的系数为“± 1”常数项相加项则系数在方程两边同时除以未知数不要颠倒了被除数和除数(未知数5 化为的系数(或方程两边同时乘以等式性质 2的系数作除数——分母)“ 1”未知数系数的倒数)方法:把 x=a 分别代入原方程的两边,分别计算出结果.*6检根①若左边=右边,则x=a 是方程的解;x=a ②若左边≠右边,则x=a 不是方程的解 .注:当题目要求时,此步骤必须表达出来.说明:(1)上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤,但并不是说,解每一个方程都必须经过六个步骤;(2)解方程时,一定要先认真观察方程的形式,再选择步骤和方法;(3)对于形式较复杂的方程,可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式,再依照一般方法解 .考点二、二元一次方程组1.二元一次方程组的定义两个含有两个未知数,且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程,叫做二元一次方程组要点诠释:判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看,若一个方程组内含有两个未知数,并且未知数的次数都是 1 次,这样的方程组都叫做二元一次方程组..2.二元一次方程组的一般形式a1 x b1 y c1a2 x b2 y c2要点诠释:a1、a2不同时为0, b1、 b2不同时为0, a1、 b1不同时为0, a2、 b2不同时为 0.3.二元一次方程组的解法(1)代入消元法;(2)加减消元法 .要点诠释:(1)二元一次方程组的解有三种情况,即有唯一解、无解、无限多解.教材中主要是研究有唯一解的情况,对于其他情况,可根据学生的接受能力给予渗透.(2)一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系:当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时,可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围,由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式,所以解二元一次方程可以转化为:当y= 0 时,求 x 的值 . 从图象上看,这相当于已知纵坐标,确定横坐标的值.考点三、一次方程(组)的应用列方程 ( 组 ) 解应用题的一般步骤:1.审 : 分析题意,找出已知、未知之间的数量关系和相等关系;2.设 : 选择恰当的未知数 ( 直接或间接设元 ) ,注意单位的统一和语言完整;3.列 : 根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程( 组 ) ;4.解 : 解所列的方程 ( 组 ) ;5. 验 : ( 有三次检验①是否是所列方程( 组 ) 的解;②是否使代数式有意义;③是否满足实际意义) ;6.答 : 注意单位和语言完整 .要点诠释:列方程应注意:( 1)方程两边表示同类量;(2)方程两边单位一定要统一;(3)方程两边的数值相等 .【典型例题】类型一、一元一次方程及其应用1.如果方程3x2n 71 1是关于 x 的一元一次方程,则n 的值为 ( ).5 7A.2B.4C.3D.1【思路点拨】未知数 x 的指数是 1 即可 .【答案】 B;【解析】由题意可知2n-7=1 ,∴ n=4.【总结升华】根据一元一次方程的定义求解 .举一反三:【变式 1】已知关于x 的方程4x-3m=2 的解是 x=5,则 m的值为.【答案】由题意可知4× 5-3m= 2,∴ m=6.【高清课程名称:一次方程及方程组高清 ID 号: 404191 关联的位置名称(播放点名称):例 4】【变式 2】若a,b为定值,关于x的一元一次方程2ka x x bx2 无论 k 为何值时,它的解总是1,3 6求a,b 的值.【答案】 a=0,b=11.2.某道路一侧原有路灯106 盏,相邻两盏灯的距离为相邻两盏灯的距离变为70 米,则需更换的新型节能灯有(A. 54 盏B. 55 盏C.56盏D. 57 盏36 米,现计划全部更换为新型的节能灯,且)【思路点拨】可设需更换的新型节能灯有出方程求解即可.x 盏,根据等量关系:两种安装路灯方式的道路总长相等,列【答案】B;【解析】设需更换的新型节能灯有x 盏,则70( x-1 ) =36×( 106-1 ), 70x=3782 ,x≈ 55则需更换的新型节能灯有55 盏.故选B.【总结升华】注意根据实际问题采取进 1 的近似数.举一反三:【变式】“五一”期间,某电器按成本价提高30%后标价,再打8 折(标价的80%)销售,售价为2080 元.设该电器的成本价为x 元,根据题意,下面所列方程正确的是()A.x 130% 80% 2080B.x 30% 80%2080C.2080 30% 80% x D.x 30% 2080 80%【答案】成本价提高30%后标价为x 130% ,打8折后的售价为x 1 30%80% .根据题意,列方程得x 1 30% 80%2080 ,故选A.类型二、二元一次方程组及其应用3x 2y 53.解方程组2x y8 ①②【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可.【答案与解析】由②,得y=2x-8③把③代入①,得3x+2(2x-8)=53x+4x-16=5∴ x=3把 x=3 代入③,得y=2× 3-8=-2∴方程组的解为x=3 , y=-2.【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点,灵活选用适当的方法,提高解题速度.举一反三:①【变式 1 解方程组②【答案】方程②化为,再用加减法解,答案:【高清课程名称:一次方程及方程组高清ID号:404191关联的位置名称(播放点名称):例3】a :b :c 3 : 4 : 5,【变式 2】解方程组a b c36.【答案】 a=9,b=12,c=15.4.小王购买了一套经济适用房,他准备将地面铺上地砖,地面结构如图所示.根据图中的数据(单位: m ),解答下列问题:( 1)写出用含x、y的代数式表示的地面总面积;( 2)已知客厅面积比卫生间面积多21 m 2,且地面总面积是卫生间面积的15 倍,铺 1 m 2地砖的平均费用为 80 元,求铺地砖的总费用为多少元?【思路点拨】根据题意找出等量关系式,列出方程或方程组解题.【答案与解析】( 1)地面总面积为:( 6x+ 2y+18) m 2;( 2)由题意,得6x 2y 21,6x 2y 18 15 2 y .x 4 , 解之,得 3y .2∴地面总面积为:6x+ 2y+ 18=6× 4+ 2×3+18= 45( m 2).22∵铺 1 m 地砖的平均费用为80 元,【总结升华】注意不要丢掉题中的单位.举一反三:【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图①方式放置,再交换两木块的位置,按图②方式放置.测量的数据如图,则桌子的高度是()A. 73cm B . 74cm C. 75cmD . 76cm【答案】设桌子高度为acm,木块竖放为bcm,木块横放为ccm. 则ab c 80 ,解得 a=75.故选C.a cb 70类型三、一次方程(组)的综合运用5.某县为鼓励失地农民自主创业,在2012 年对 60 位自主创业的失地农民进行奖励,共计划奖励10 万元 . 奖励标准是:失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000 元奖励;自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的,再给予2000 元奖励 . 问:该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人?【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000 元奖励:自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的,再给予2000 元奖励列方程求解.【答案与解析】方法一:设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x 人,则根据题意列出方程1000x+(60 – x)(1000+2000)=100000 ,解得: x=40,∴ 60-x =60-40=20答:失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40 人,自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有20 人 .方法二:设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有分别有x, y 人,x y60根据题意列出方程组:1000x (1000 2000) y100000y 20解得:x40答:失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40,自主创业且解决 5 人以上失业人员稳定就业一年以上的农民有 20 人 .【总结升华】本题考查理解题意的能力,关键是找到人数和钱数作为等量关系.举一反三:【变式】某公园的门票价格如下表所示:购票人数1~50 人51~ 100 人100 人以上票价10 元/人8 元/人 5 元/人某校七年级甲、乙两班共 100多人去该公园举行联欢活动,其中甲班50多人,乙班不足50人.如果以班为单位分别买票,两个班一共应付920元;如果两个班联合起来作为一团体购票,一共只要付515 元.问:甲、乙两班分别有多少人?【答案】设甲班有 x 人,乙班有 y 人,由题意得:8x 10y 920x55解得:.5(x y) 515y48答:甲班有55 人,乙班有48 人 .6.在社会实践活动中,某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量(每小时通过观测点的汽车车辆数),三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下:甲同学说:“二环路车流量为每小时10000 辆”;乙同学说:“四环路比三环路车流量每小时多2000 辆”;丙同学说:“三环路车流量的 3 倍与四环路车流量的差是二环路车流量的请你根据他们所提供的信息,求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少?【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解【答案与解析】设高峰时段三环路的车流量为每小时辆,四环路的车流量为每小时2 倍”;.辆,根据题意得:解得答:高峰时段三环路的车流量为每小时11000 辆,四环路的车流量为每小时13000 辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键.。
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一次方程(组)及其应用
一、选择题
1.若2(a +3)的值与4互为相反数,则a 的值为( C )
A .-1
B .-72
C .-5 D.12
2.互联网”微商”经营已成为大众创业新途径,某微信平台上一件商品标价为200元,按标价的五折销售,仍可获利20元,则这件商品的进价为( C )
A .120元
B .100元
C .80元
D .60元
3.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马,多少匹小马?若设大马有x 匹,小马有y 匹,那么可列方程组为( C )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,3x +3y =100
B.⎩
⎪⎨⎪⎧x +y =100,x +3y =100 C.⎩
⎪⎨⎪⎧x +y =100,3x +13y =100 D.⎩⎪⎨⎪⎧x +y =100,3x +y =100 4.在如图的2016年6月份的月历表中,任意框出表中竖列上三个相邻的数,这三个数的和不可能是( D )
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
A .27
B .51
C .69
D .72
5.足球比赛规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.某足球队共进行了6场比赛,得了12分,该队获胜的场数可能是( C )
A .1或2
B .2或3
C .3或4
D .4或5
二、填空题
6.以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +2,y =-x +1
的解为坐标的点(x ,y)在第__二__象限. 7.王经理到襄阳出差带回襄阳特产——孔明菜若干袋,分给朋友们品尝,如果每人分5袋,还余3袋;如果每人分6袋,还差3袋,则王经理带回孔明菜__33__袋.
8.已知⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-2是方程组⎩
⎪⎨⎪⎧ax +by =3,bx +ay =-7的解,则代数式(a +b)(a -b)的值为__-8__. 9.甲、乙二人做某种机械零件,已知甲是技术能手每小时比乙多做3个,甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等,那么甲每小时做__9__个零件.
10.书店举行购书优惠活动:①一次性购书不超过100元,不享受打折优惠;②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折;③一次性购书200元一律打七折.小丽在这次活动中,两次购书总共付款229.4元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,那么小丽
这两次购书原价的总和是__248或296__元.
点拨:设第一次购书的原价为x 元,则第二次购书的原价为3x 元,依题意得:①当0<x ≤1003
时,x +3x =229.4,解得:x =57.35(舍去) ②当1003<x ≤2003时,x +910
×3x =229.4,解得:x =62,此时两次购书原价总和为:4x =4×62=248
③当2003<x ≤100时,x +710
×3x =229.4,解得:x =74,此时两次购书原价总和为:4x =4×74=296
综上可知:小丽这两次购书原价的总和是248或296元
三、解答题
11.(1)解方程:x 6-30-x 4
=5; 解:去分母得:2x -3(30-x)=60,
去括号得:2x -90+3x =60,
移项合并得:5x =150,
解得:x =30
(2)解方程组:⎩
⎪⎨⎪⎧2x +3y =7①,x -3y =8②. 解:①+②得,3x =15,解得x =5,把x =5代入①得,10+3y =7,解得y =-1.故方
程组的解为⎩
⎪⎨⎪⎧ x =5,y =-1
12.根据要求,解答下列问题.
(1)解下列方程组(直接写出方程组的解即可)
①⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =3,2x +y =3的解为__⎩
⎪⎨⎪⎧x =1,y =1;__ ②⎩⎪⎨⎪⎧3x +2y =10,2x +3y =10的解为__⎩
⎪⎨⎪⎧x =2,y =2;__ ③⎩⎪⎨⎪⎧2x -y =4,-x +2y =4的解为__⎩
⎪⎨⎪⎧x =4,y =4.__ (2)以上每个方程组的解中,x 值与y 值的大小关系为__x =y__;
(3)请你构造一个具有以上外形特征的方程组,并直接写出它的解.
解:⎩⎨⎧3x +2y =25,2x +3y =25,解为⎩
⎪⎨⎪⎧x =5,y =5
13.已知关于x ,y 的二元一次方程(a -1)x +(a +2)y +5-2a =0,当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,求这个公共解.
解:解法一:取a =1,解得3y +3=0,y =-1,取a =-2,得-3x +9=0,x =3,∴x =3,y =-1
解法二:整理得(x +y -2)a =x -2y -5,∵当a 每取一个值时,就有一个方程,而这些
方程有一个公共解,可知方程(x +y -2)a =x -2y -5有无数个解,∴⎩
⎨⎧x +y -2=0,x -2y -5=0,解得⎩
⎪⎨⎪⎧x =3,y =-1
14.某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每件120元的价格销售了400件,商场准备采取促销措施,将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下,每件衬衫降价多少元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标?
解:设每件衬衫降价x 元,依题意有120×400+(120-x)×100=80×500×(1+45%),解得x =20.答:每件衬衫降价20元时,销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标
15.某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗:我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间房.
(1)求该店有客房多少间?房客多少人?
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性定客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算?
解:(1)设该店有客房x 间,房客y 人;根据题意得:⎩⎨⎧7x +7=y ,9(x -1)=y ,解得⎩⎨⎧x =8,y =63,
答:
该店有客房8间,房客63人
(2)若每间客房住4人,则63名客人至少需客房16间,需付费20×16=320钱;若一次性定客房18间,则需付费20×18×0.8=288钱<320钱;答:若诗中”众客”再次一起入住,他们应选择一次性订房18间更合算。