河南省重点高中2020-2021学年高二年级阶段性测试(一)数学文科试题

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天一大联考河南省高中2020-2021学年高二阶段性测试(一)语文答案

天一大联考河南省2020―2021学年高二年级阶段性测试（一）语文·答案（1～5题，7题，10～13题，15题，18～20题，每小题3分）1.答案 C命题透析本题考查理解文意、筛选整合文中信息的能力。

思路点拨A.“使近年来乡村保护取得关键性突破”错误，原文是“运用文化景观的方法和视角重新认知乡村遗产的价值……是近年来乡村保护的一个重要突破”。

B.“是为悉心培育乡村文化景观”曲解原文，村民灵活利用自然要素的目的是更好地生存发展，而“乡村文化景观”是一个现代概念。

D.“乡村”偷换概念，应该是“乡村遗产”。

2.答案 B命题透析本题考查分析文本论点、论据、论证方法的能力。

思路点拨“详细叙述了楼上村、诸葛村的产生、历史以及现状”错误，文中没有提到诸葛村的产生。

3.答案 C命题透析本题考查依据原文进行合理推断的能力。

思路点拨“可见”推断错误。

原文是“从其古建筑与村落格局可见，业态的更新与诸葛村乡村遗产的成型和发展有着紧密联系”。

4.答案 B命题透析本题考查筛选信息的能力。

思路点拨“融入西方主导的国际化”是1.0版本提出的背景。

5.答案 C命题透析本题考查筛选信息、分析文章内容的能力。

思路点拨“就是为了”错误。

原文是“也是为了”，选项所说只是原因之一。

6.命题透析本题考查筛选信息的能力。

答案①“一带一路”为西部地区快速发展提供背景和战略机遇，为西部省份新的经济增长提供动力。

②新西部大开发促进面向欧亚大陆桥的开放，促进中国与“一带一路”沿线国家之间的经济循环，拓展经济发展空间。

（每点2分，意思对即可。

若有其他答案，言之成理亦可酌情给分）7.答案 C命题透析本题考查对文本思想内容和艺术特色的分析与鉴赏的能力。

思路点拨“主要是反映城乡之间在审美眼光、趣味方面的差异”错误，主要是为了说明刘茂才还不是真正的角儿。

8.命题透析本题考查对内容的理解、概括的能力。

答案①修炼吹奏的技艺。

反复练习，掌握技艺。

②修炼感悟生活的能力。

河南省2020-2021学年上学期高中毕业班阶段性测试(一)文科数学含答案

三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分.
17. 在△ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 3a sin B = b (1+ cos A) .
66 6
3
11.【答案】A 【命题意图】本题考查递推数列，以及等比数列的求和.
( ) 【解析】由条件得 an+2 + an+1 = 2 an+1 + an ，所以 an+1 + an 是公比为 2 的等比数列，所以
( ) ( ) an+1 + an = a2 + a1 2n−1 = 2n ，所以 a1 + a2 +
（ O 为坐标原点）？若存在，求 P 点的坐标；若不存在，说明理由.
21. 已知函数 f ( x) = sin x ， g ( x) = ex cos x .
（Ⅰ）函数 h ( x)
=
g ( x) f (x)
，分析 h ( x) 在 (0, ) 上的单调性.
（Ⅱ）若函数 H ( x) = g ( x) − xf ( x) .
【解析】
f
(x)
=
4
cos
x
cos
x
−
3
−
2
=
4
cos
x
1 2
cos
x
+
3 2
sin
x
−
2
=
3 sin 2x + cos 2x −1

河南省南阳市2020-2021学年高二下学期期末考试数学文科试题 (含答案)

南阳市2021年春期高中二年级期终质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效，考试时间120分钟，试卷满分150分.2.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠､不破损.第I 卷选择题(共60分)一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知i ω=为虚数单位，则21ωω-+的值为（） A.1- B.0 C.1 D.i2.把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的,,,M N E F 中，顺序较为恰当的是（） ①平行；@垂直；①相交；①斜交.A.①①①①B.①①①①C.①①①①D.①①①①3.在二维空间中，圆的一维测度(周长)2l r π=，二维测度(面积)2S r π=；在三维空间中，球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W 为（）A.44r πB.43r πC.42r πD.4r π4.已知某产品的销售额y (单位：万元)与广告费用x (单位：万元)之间的关系如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y 与x 的回归直线方程为 6.59,y x =+则下列说法中错误的是（）A.当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元B.该回归直线过点()2,22C.产品的销售额与广告费用成正相关D.m 的值是205.极坐标方程()()()100ρθπρ--=表示的图形是（）A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线6.执行下面的程序框图，若输人的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（）A.203 B.72 C.165 D.1587.若复数z 满足()12z i i -=，则下列说法正确的是（）A.z 的虚部为iB.z 的共轭复数为1z i =-+C.2z =D.z 对应的点在第二象限8.在极坐标系中，两条曲线12:sin 1,:4C C πρθρ⎛⎫+== ⎪⎝⎭A B ､，则AB =（）B. C.2 D.1 A.49.若两个正实数,x y 满足141x y +=，且不等式234y x m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（） A.()1,4- B.()(),14,∞∞--⋃+C.()4,1-D.()(),03,∞∞-⋃+10.点P 所在轨迹的极坐标方程为2cos ρθ=，点Q所在轨迹的参数方程为3(x t t y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数)，则PQ 的最小值是（）A.1C.211.某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24这24个整数中等可能随机产生.则按程序框图运行时输出y 的值为3的概率为（）A.18B.16C.13D.1212.已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()()()()()()''*1211,,,.n n f x f x f x f x f x f x n +=='=∈N 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x +=（）A.2cos x -B.2sin x -C.2cos xD.2sin x第I 卷非选择题(共90分)二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.复数113i z i+=+，复数z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=__________. 14.已知直线的参数方程为12,(2x t t y t=+⎧⎨=+⎩为参数)，则该直线被圆229x y +=截得的弦为__________. 15.若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,,n x x x ，总满足()()()12121n n x x x f x f x f x f n n +++⎛⎫⎡⎤+++ ⎪⎣⎦⎝⎭，称函数()f x 为D 上的凸函数.现已知()f x sin x =在()0,π上是凸函数，则在ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是__________.16.瑞士数学家､物理学家欧拉发现任一凸多而体(即多面体任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体)的顶点数V ､棱数E 及面数F 满足等式2V E F -+=，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮､简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，共有32个面，是由m 块白色正六边形面料和32m -块黑色正五边形面料构成的，则m 的值为__________.三､解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)（1）在①8z z +=-，①z 为纯虚数，①z 为非零实数，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知复数()()222334,(z m m m m i i =--+--为虚数单位),z 为z 的共轭复数，若__________.求实数m 的值；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件给分)（2）若1i ω=-是关于x 的实系数一元二次方程2:0x ax b ++=的一个根，求,a b 的值及方程的另一个根.18.(本小题满分12分)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求证：,,A B C 中至少有一个角大于或等于60；（2）若角,,A B C 成等差数列，证明113:a b b c a b c+=++++. 19.(本小题满分12分) 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数),M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C .（1）求12,C C 的极坐标方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB .20.(本小题满分12分)（1）已知,,a b x 均为正数，且a b >，求证：1a x a b x b+<<+；（2）根据生活常识“淡糖水再加糖会更甜”，请给出类似第（1）小题的命题，并予以证明；（3）证明：ABC 中，sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin A B C B C C A A B++<+++.(可直接应用第（1）；（2）小题的结论)21.(本小题满分12分)遵守交通规则，人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定，也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第17条明确规定：“机动车行经人行横道时，应当减速行驶，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，机动车行经没有交通信号的道路时，遇行人横过道路，应当避让，否则扣3分罚200元”，下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+，并预测该2021年5月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入)；（2）交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人，调查驾驶员不“礼让行行为与驾龄的关系，得到下表：能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式()()()1122211,.n n i i i ii i n n i i i i x y nxy x x y y b a y bx xnx x x ====---===---∑∑∑∑)2k 0.102.706()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++ 22.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12(12x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为13sin 44k k k k πθρ⎡⎤⎛⎫-++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. （1）当1k =时，求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）当2k =时，1C 与2C 交于,A B 两点，设点P 的直角坐标为()0,1，求11PA PB+的值. 2021年春期高中二年级期终质量评估数学试题(文)参考答案一､选择题：1-12BCBACDDCBABD二､填空题：13.15 16.20 三､解答题：17.解：（1）选条件①()()222334,8z m m m m i z z =-----+=-()22238m m ∴--=-，解得1m =.选条件①z 为纯虚数22230340m m m m ⎧--=∴⎨--≠⎩，解得 3.m = 选条件①z 为非零实数，22230340m m m m ⎧--≠∴⎨--=⎩，解得4m =.（2）因为1i ω=-为实系数一元二次方程：20x ax b ++=的一个根， ()2(1)10i a i b ∴-+-+=，解得：2,2a b =-=，∴原方程为2220x x -+=，配方得：2(1)1x -=-，解得: 121,1x i x i ∴=+=-18.解：（1）假设结论不成立，即060,060,060A B C <<<<<<，则180A B C ++<，这与180A B C ++=相矛盾，所以假设不成立，即,,A B C 中至少有一个角大于或等于60.（2）要证113a b b c a b c +=++++，只需证3a b c a b c a b b c +++++=++，即证：1c a a b b c+=++，即证()()()()c b c a a b a b b c +++=++，即：222c a ac b +=+.又因ABC 的三个内角A,,B C 成等差数列，故60B =.由余弦定理可得：2222cos60b c a ac =+-，即：222b c a ac =+-，故222c a ac b +=+，所以113a b b c a b c+=++++成立 19.解：（1）因为曲线1C 的参数方程为(2cos 22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数)，M 为1C 上的动点，所以可设M 的坐标为()2cos ,22sin M αα+.设P 的坐标为(),P x y ，由2OP OM =，得到4cos :44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，消去参数得：22(4)16x y +-=，转化为极坐标方程得：8sin ρθ=，即曲线2C 的极坐标方程为：8sin ρθ=，同理可求1C 的极坐标方程：4sin ρθ=.（2）设()11,A ρθ，则4sin 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：14sin 33πρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭；设()22,B ρθ，则8sin ,3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得：28sin 33πρπθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3B π⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以21AB ρρ=-==20.解：（1）,,a b x 均为正数，因为a b >，所以0a x b x +>+>，所以1a x b x+>+； ()()()()()0b a x a b x x b a a x a b x b b b x b b x +-+-+-==<+++ 故1a x a b x b+<<+ （2）已知,,a b x 均为正数，a b <，则1a a x b b x+<<+，证明：a b <，根据（1）知1b x b a x a +<<+，取倒数得到1a a x b b x+<<+ （3）在ABC 中，根据正弦定理可知：sin 2sin sin A a a B C b c a b c =<++++，同理可得：sin 2sin 2,sin sin sin sin B b b C c c C A c a c a b A B a b a b c=<=<++++++++ sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B C a b c B C C A A B b c c a a b ++=++++++++ 2222a b c b c a c a b a b c<++=++++++ 21.解：（1）由表中数据易求：1234125105100902.5,10544x y ++++++====，则41422149951050ˆ1130254i ii i i x y xy b xx ==--===---∑∑ 5ˆˆ105(11)132.52a y bx =-=--⨯=，故所求回归直线方程为ˆ11132.5yx =-+，令5x =，则ˆ115132.577.578y =-⨯+=≈人，预测该路口5月份不“礼让行人”的司坡员大约人数为78人.（2）由表中数据可得：2250(1012208)0.231 2.70618323020K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，对比表中数据可知，没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关.22.解：（1）曲线1C的参数方程为12(1x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)，消去t10y +-=；当1k =时，曲线2C 的极坐标方程为3sin 44πθρ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin cos 422ρθρθ+=，转化为直角坐标方程为330x y +-=；即1C210;y C +-=的直角坐标方程为：330x y +-=；（2）当2k =时，2C 的直角坐标方程为：2244x y +=，将1C的参数方程为121x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入，整理得：27120t +-=，设A B ､对应的参数分别为12t t ､，则12121277t t t t +=-=-，易知：1210,t t t <与2t 异号，所以12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +-+=+====。

2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高二(下)第一次段考数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高二（下）第一次段考数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x −1<9}，B ={1,2，6，10}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {2,6}C. {1,2，6}D. {2,6，10}2. 若复数z 满足iz −2=i ，则|z|=( )A. √2B. √3C. 2D. √53. 已知a >0且a ≠1，函数f(x)={log a x +a,x >03x+1−1,x ≤0，若f(a)=3，则f(−a)=( )A. 2B. 23C. −23D. −894. 已知向量a ⃗ =(√3,1)，b ⃗ =(√3,−1)，则a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π65. 函数f(x)=cosx2x +2−x 的部分图象大致为( )A.B.C.D.6. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为( )A. y =±√33x B. y =±√3xC. y =±12xD. y =±2x7. “sin2α=45”是“tanα=2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身．古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为( )A. 15B. 25C. 35D. 459. 已知函数f(x)=−bx(a >0,b >0)的一个极值点为1，则ab 的最大值为( )A. 1B. 12C. 14D. 11610. 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1=√2AB ，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C所成的角为( )A. π6B. π4C. π3D. π211. 已知直线l ：√3x +y +2=0与圆O ：x 2+y 2=4交于A ，B 两点，与l 平行的直线l 1与圆O 交于M ，N 两点，且△OAB 与△OMN 的面积相等，给出下列直线l 1：①√3x +y −2√3=0，②√3x +y −2=0，③x −√3y +2=0，④√3x +y +2√3=0.其中满足条件的所有直线l 1的编号有( )A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④12. 函数f(x)={e x−1,x ≤1ln(x −1),x >1，若函数g(x)=f(x)−x +a 只一个零点，则a 的取值范围是( )A. (−∞,0)∪{2}B. [0,+∞)∪{−2}C. (−∞,0]D. [0,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为______．14. 已知x ，y 满足约束条件{x ≥0,x +y ≥1,2x +y ≤2,则z =x −y 的最大值为______．15. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，a =√2，sinA =√33，b =√6，则△ABC 的面积为______． 16. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若∠ABF 2=90°，且△ABF 2的三边长|BF 2|，|AB|，|AF 2|成等差数列，则C 的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的各项均为正数，且满足a n 2−(n +1)a n −2n 2−n =0．(1)求a 1，a 2及{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n ．18.语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能音箱．主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求．某经销商为了了解不同智能音箱与其购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了100名购买“小爱同学”和100名购买“天猫精灵”的人，具体数据如表：(1)若该地区共有13000人购买了“小爱同学”，有12000人购买了“天猫精灵”，试估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？(2)根据列联表，能否有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=π．3(1)求证：C1B⊥平面ABC；(2)求点B1到平面ACC1A1的距离．20.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+1(k≠0)与抛物线C：x2=4py(p>0)交于A，B两点，且当k=1时，|AB|=8．(1)求p的值；(2)设线段AB的中点为M，抛物线C在点A处的切线与C的准线交于点N，证明：MN//y轴．21.已知函数f(x)=x+a(1−e x)，a∈R．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a≥1时，证明：f(x)−alna+a≤1．22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ={√32sin(θ+π6),0≤θ<π2,1,π2≤θ≤π.(1)求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；(2)设曲线C与曲线ρsinθ=12交于A，B两点，求|AB|．23.已知f(x)=−|x+a|−|x−3|．(Ⅰ)当a=−1时，画出函数y=f(x)的图象；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥−a2−1有解，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A ={x|1<x <10}，B ={1,2，6，10}， ∴A ∩B ={2,6}．故选：B ．可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵iz −2=i ，∴iz =2+i ，∴z =2+i i =(2+i )i i 2=2i −1−1=1−2i∴|z|=|1−2i |=√5，故选：D ．把已知等式变形，先求出z ，再求模可得结论．本题考查复数的模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵f(a)=log a a +a =3， ∴a =2，∴f(−a)=f(−2)=3−1−1=−23．故选：C ．先根据f(a)=3求得a ，进而求得结论．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，向量a ⃗ =(√3,1)，b ⃗ =(√3,−1)，则|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =3−1=2，则cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=3−12×2=12，又由0≤θ≤π，则θ=π3；故选：B．根据题意，设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，由a⃗、b⃗ 的坐标可得|a⃗|=2，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =3−1=2，进而由夹角公式可得cosθ的值，由θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手考虑，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．先利用函数奇偶性的定义证明函数f(x)=f(−x)，所以f(x)为偶函数，排除选项C和D，再对比选项A和B，发现当x∈[0,π2]时，f(x)≥0，即可求解．【解答】解：易知2−x+2x>0，故函数的定义域是R，关于原点对称．∵f(−x)=cos(−x)2−x+2x =cosx2x+2−x=f(x)，∴f(x)为偶函数，排除选项C和D，而当x∈[0,π2]时，f(x)≥0，排除选项B，故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．利用已知条件推出a，b的比值，然后得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：由已知可得c=2b，∴c2=4b2=a2+b2，a2=3b2，ba =√33，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．由sin2α=45化弦为切求得tanα，再由充分必要条件的判定得答案．【解答】解：sin2α=45⇔2sinαcosαsin 2α+cos 2α=45⇔2tanαtan 2α+1=45⇔tanα=2或12，即由sin2α=45不一定得到tanα=2，反之，由tanα=2一定得到sin2α=45． ∴“sin2α=45”是“tanα=2”的必要不充分条件．故选：B ．8.【答案】C【解析】解：基本事件总数C 52=10，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数m =4， ∴6和28不在同一组的概率P =10−410=35．故选：C ．基本事件总数n =10，6和28恰好在同一组包含的基本事件个数m =4，由此能求出6和28不在同一组的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用导数研究函数的极值，基本不等式的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．求出f(x)的导函数，由题意可得f′(1)=0，可得a +b =12，再根据基本不等式即可求得ab 的最大值．【解答】解：由题意f′(x)=12x 2−ax −b ，因为函数f(x)的一个极值点为1，所以f′(1)=0，即12−a−b=0，即a+b=12，所以ab≤(a+b2)2=116，当且仅当a=b=14时等号成立，所以ab的最大值为116．故选：D．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了异面直线所成角的定义及求法，正三棱柱的定义，线面垂直的判定定理，考查了计算能力，属于基础题．可取B1C1的中点E，连接A1E，CE，则可得出A1E//AD，并且∠A1EC=90°，∠CA1E为异面直线AD与A1C所成的角，然后可设AB=2，从而可求出tan∠CA1E的值，进而得出∠CA1E的值．【解答】解：如图，取B1C1中点E，连接A1E，CE，则A1E//AD，∠A1EC=90°，∴∠CA1E即为异面直线AD与A1C所成角，设AB=2，则AA1=2√2，A1E=√3，CE=3，tan∠CA1E=√3=√3，∴∠CA1E=π3．故选：C．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识要点：直线和园的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．直接利用点到直线的距离公式的应用求出直线的方程．【解答】解：由已知圆O：x2+y2=4，圆心(0,0)到直线√3x+y+2=0的距离d=√(√3)2+12=1可求得圆心O 到直线l 的距离d =1=12r ，所以S =12×2√3×1=√3①圆心(0,0)到直线√3x +y −2√3=0的距离d =|0+0−2√3|√(√3)2+12=√3所以弦长为l =2√22−(√3)2=2，所以S =12×2×√3=√3，故正确．②：圆心(0,0)到直线√3x +y −2=0的距离d =|0+0−2|√(√3)2+12=1，所以S =12×2√3×1=√3，故正确③直线x −√3y +2=0与√3x +y +2=0不平行，故错误． ④圆心(0,0)到直线√3x +y +2√3=0的距离d =|0+0+2√3|√(√3)2+12=√3，所以弦长为l =2√22−(√3)2=2，所以S =12×2×√3=√3，故正确．故选：D ．12.【答案】A【解析】解：∵g(x)=f(x)−x +a 只有一个零点， ∴函数y =f(x)与函数y =x −a 有一个交点，作函数函数f(x)={e x−1,x ≤1ln(x −1),x >1与函数y =x −a 的图象如下，结合图象可知，a ≤0；函数y =f(x)与函数y =x −a 有一个交点；当a >0时，y =ln(x −1)，可得y′=1x−1，令1x−1=1可得x =2，所以函数在x =2时，直线与y =ln(x −1)相切，可得a =2．故选：A．g(x)=f(x)−x−a只有一个零点可化为函数f(x)与函数y=x+a有一个交点，作函数f(x)={e x−1,x≤1ln(x−1),x>1与函数y=x+a的图象，结合图象可直接得到答案．本题考查了函数的零点与函数图象的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．13.【答案】√3【解析】解：在圆柱底面圆周上任取一点A，设球心为O，圆柱的底面圆心为O′，则OA=2，OO′=1，∴O′A=√OA2−OO′2=√3，即圆柱底面半径为√3．故答案为：√3．根据勾股定理计算底面半径．本题考查了圆柱和外接球的结构特征，属于基础题．14.【答案】1【解析】解：不等式对应的平面区域如图：(阴影部分)．由z=x−y得y=x−z，平移直线y=x−z，由平移可知当直线y=x−z，经过点A(1,0)时，直线y=x−z的截距最小，此时z取得最大值，代入z=x−y得z=1−0=1，即z=x−y的最大值是1，故答案为：1．根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x−y得y=x−z，利用平移即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15.【答案】√2【解析】解：∵a<b，∴A<B，cosA=√63，由余弦定理得√63=b2+c2−a22bc，代入a=√2，b=√6，解得c=2，∴△ABC的面积S=12×2×√6×√33=√2．故答案为：√2．先根据条件求得cos A，结合余弦定理求得c，进而得到结论．本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是基础题．16.【答案】√22【解析】解：由已知，△ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设|BF2|=x，|AB|=x+d，|AF2|=x+2d，∠ABF2=90°，据勾股定理：x2+(x+d)2=(x+2d)2，可得：x2=2dx+3d2，解得x=3d；由椭圆定义知△ABF2的周长为4a，|BF2|=x=3d，|AB|=x+4d，|AF2|=x+2d=5d，所以3d+4d+5d=4a，所以a=3d，|BF2|=a=|BF1|；在直角△BF2F1中，由勾股定理，a2+a2=(2c)2，即2a2=4c2，∴离心率e=ca =√22．故答案为：√22．设|BF2|=x，|AB|=x+d，|AF2|=x+2d，利用勾股定理结合椭圆的定义，转化求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系，以及椭圆的定义的应用，是基本知识的考查．17.【答案】解：(1)当n=1时，a12−2a1−3=0，∴a1=3；当n=2时，a22−3a2−10=0，∴a2=5；由已知可得(a n+n)[a n−(2n+1)]=0，且a n>0，∴a n=2n+1．(2)设b n=2a n，∴b n=22n+1，{b n}是公比为4的等比数列，S n=23+25+⋯+22n+1=8(1−4n)1−4=83(4n−1)．【解析】(1)通过n=1求出数列的首项，n=2求出第二项，然后求解数列的通项公式．(2)化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和公式的应用，是中档题．18.【答案】解：(1)根据题意，估计购买“小爱同学”的女性有13000100×55=7150(人)，估计购买“天猫精灵”的女性有12000100×40=4800(人)，由7150−4800=2350，所以估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多2350人；(2)根据列联表，计算K2=200×(45×40−55×60)2100×100×105×95≈4.511>3.841，所以有95%的把握认为购买“小爱同学”、“天猫精灵”与性别有关．【解析】(1)根据题意利用分层抽样法计算所求的数据，再估计对应的结果；(2)根据列联表计算K2，对照临界值得出结论．本题考查了列联表与独立性检验问题，也考查了分析问题与解决问题的能力，是基础题．19.【答案】解：(1)因为侧面AB⊥BB1C1C，BC1⊂侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，在△BCC1中，BC=1,CC1=BB1=2,∠BCC1=π3由余弦定理得：BC12=12+22−2×1×2×cosπ3=3所以BC1=√3故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，而BC∩AB=B，所以BC1⊥平面ABC(2)点B1转化为点B，V C1−ABC =√36，S△ACC1=√72又V C1−ABC =V B1−ACC1所以点B1到平面ACC1A1的距离为√217【解析】(1)由已知得AB⊥BC1，C1B⊥BC，由此能证明C1B⊥平面ABC．(2)点B1转化为点B，利用等体积，即可求点B1到平面ACC1A1的距离．本题考查线面垂直、线线垂直，考查点B1到平面ACC1A1的距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．20.【答案】解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l：y=x+1代入C中整理得：x2−4px−4p=0，∴x1+x2=4p，x1x2=−4p，∴|AB|=√2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√2⋅√16p2+16p=8，解得p=1．(2)证明：同(1)假设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=14x2得y′=12x，从而抛物线在点A点处的切线方程为y−14x12=12x1(x−x1)，即y=12x1x−14x12，令y=−1得x N=x12−42x1，由(1)知−4=x1x2，从而x N=x12+x1x22x1=x1+x22=x M，这表明MN//y轴．【解析】(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线l：y=x+1代入C中整理得：x2−4px−4p= 0，利用韦达定理以及弦长公式，求解即可．(2)同(1)假设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=14x2得y′=12x，利用切线的方程，求出N的横坐标，推出结果．本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】解：(1)f′(x)=1−ae x．当a≤0时，f′(x)>0，此时f(x)在R上递增；当a>0时，由f′(x)=0解得x=−lna，x∈(−∞,−lna)时，f′(x)>0；x∈(−lna,+∞)时，f′(x)<0．此时f(x)在(−∞,−lna)递增，在(−lna,+∞)上递减．(2)证明：由(1)知f(x)在x =−lna 处取得最大值f(−lna)=−lna +a(1−1a )=a −lna −1，设g(a)=a −lna −1−alna +a ，则g′(a)=1−1a −lna ，令ℎ(a)=1−1a −lna ，则ℎ′(a)=1a 2−1a ≤0，故ℎ(a)在[1,+∞)上单调递减， ∴ℎ(a)≤ℎ(1)=0，即g′(a)≤0， ∴g(a)≤g(1)=1， ∴f(−lna)−alna +a ≤1， ∴f(x)−alna +a ≤1．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论即可求解； (2)结合要证的不等式，可转化为求解函数的最值，结合(1)的结论及导数与单调性关系可证．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及证明不等式，体现了分类讨论思想及转化思想的应用．22.【答案】解：(1)由曲线C 的极坐标方程ρ={√32sin(θ+π6),0≤θ<π21,π2≤θ≤π，可知曲线C 与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的14圆和一个直角边分别为1与√3的直角三角形，∴围成图形的面积S =14π+√32．(2)由{ρ=1ρsinθ=12得A(1,5π6)，其直角坐标为(−√32,12)， ρsinθ=12化直角坐标方程为y =12， ρ=√32sin(θ+π6)化直角坐标方程为x +√3y =√3，∴B(√32,12)，∴|AB|=|√32+√32|=√3．【解析】(1)根据条件可知曲线C 与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的14圆和一个直角边分别为1与√3的直角三角形，然后求出其面积即可；(2)根据条件求出曲线C 与曲线ρsinθ=12的两交点A ，B 的坐标，然后求出|AB|的长．本题考查了简单曲线的极坐标方程和极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了转化思想，属中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)当a=−1时，f(x)=−|x−1|−|x−3|={2x−4,x≤1−2,1<x<3−2x+4,x≥3，其图象如图所示．(Ⅱ)f(x)=−|x+a|−|x−3|≤−|(x+a)−(x−3)|=−|a+3|，因为关于x的不等式f(x)≥−a2−1有解，则−|a+3|≥−a2−1，当a≥−3时，不等式即为−a−3≥−a2−1，即a2−a−2≥0，解得−3≤a≤−1或a≥2；当a<−3时，不等式即为a+3≥−a2−1，即a2+a+4≥0，△=1−16=−15<0，所以a2+a+4≥0恒成立，所以a<−3，综上可得，实数a的取值范围是(−∞,−1]∪[2,+∞)．【解析】(Ⅰ)写出f(x)的分段函数的形式，即可作出f(x)的图象；(Ⅱ)由绝对值三角不等式可得f(x)≤−|a+3|，则不等式有解等价于−|a+3|≥−a2−1，解之即可得到a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解问题，考查转化思想和运算能力，属于基础题．。

河南省天一大联考2020-2021学年上学期高二年级阶段性测试(一)文科数学试题

15．的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为_______．
16．在正项等比数列中，若，则的取值范围是______．
三、解答题
17．记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，已知，，．
（Ⅰ）若，求和的通项公式；
（Ⅱ）若且，求．
18．已知函数，不等式的解集是 .
6．C
【分析】
由正弦定理得，再由余弦定理即可得解.
【详解】
由及正弦定理得，
设，，则，．由余弦定理得，
又，所以．
故选：C.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于基础题.
7．B
【分析】
由题意画出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得解.
【详解】
由约束条件可得可行域，如图阴影部分所示．
【点睛】
本题考查了构造新数列求数列通项的方法和分组求和法的应用，属于中档题.
A．海里B．海里C．海里D．海里
12．已知，则的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．关于的一元二次不等式的解集为__________．
14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．“中国剩余定理”讲的是关于带余除法的问题，现有这样一个问题：将2至2019这2018个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为_______．
故选：A.
【点睛】
本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了作差法比较大小，属于中档题.
9．D
【分析】
由题意构造新数列可得数列是以2为首项，3为公比的等比数列，进而可得，利用分组求和法即可得解.

2020-2021学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(文科)

2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）2020是等差数列2，4，6，8，…的（）A.第1008项B.第1009项C.第1010项D.第1011项2.（单选题，5分）已知a＜0＜b，则下列结论正确的是（）A.a2＜b2B. $\frac{a}{b}$ ＜1C. $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ ＞2D.ab＞b23.（单选题，5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），x0lnx0＜0，则￢p为（）A.∀x∈（0，+∞），xlnx≥0B.∃x0∉（0，+∞），x0lnx0＜0C.∃x∈（0，+∞），xlnx＜0D.∀x∉（0，+∞），xlnx≥04.（单选题，5分）若椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1有相同的焦点，则正实数m为（）A.1B.-1C.±1D.± $\sqrt{3}$5.（单选题，5分）已知命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，则p是q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题，5分）曲线f（x）=ax+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为3，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.47.（单选题，5分）在△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，则sinA：sinC=（）A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{3\sqrt{7}}{7}$D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$8.（单选题，5分）设实数x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ ，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A.5B.6C.7D.109.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，数列{b n}是等差数列，且b9=a9，则b7+b11等于（）A.4B.8C.16D.2410.（单选题，5分）设F1，F2是椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{5}$ +y2=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（）A.1B.2C.3D. $\frac{7}{2}$11.（单选题，5分）已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数y=f（x）在（-∞，-1）上是增函数B.x=3是函数y=f（x）的极小值点C.f′（3）＜f′（5）D.f（-1）＜f（3）12.（单选题，5分）已知函数f（x）=x2-m与函数g（x）=ln $\frac{1}{x}$ -x，x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.（0，2-ln2]B.（0，- $\frac{1}{4}$ +ln2]C.[- $\frac{1}{4}$ +ln2，2-ln2）D.（ln2，- $\frac{1}{4}$ +ln2]13.（填空题，5分）已知数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=___ ．14.（填空题，5分）已知正实数x，y满足4x+y=8，则xy的最大值为___ ．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，则△ABC的面积是___ ．16.（填空题，5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，点A、B在抛物线上，若△FAB为等边三角形，则其边长为___ ．17.（问答题，10分）已知命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．18.（问答题，12分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且a2=4，S4=22．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ ，求数列{b n}的前n项和T n．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ．求：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（B-A）的值．20.（问答题，12分）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击．为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展．某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出．若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万件）与年促销费用x（x≥0）（单位：万元）满足y=30- $\frac{k}{x+10}$ （k为常数）．已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本）（Ⅰ）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函数关系；（Ⅱ）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？21.（问答题，12分）已知椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左顶点与上顶点的直线与圆x2+y2=$\frac{4}{3}$ 相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为m（0＜|m|＜b），l与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得k OA•k OB=k2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）= $\frac{a}{3}$ x3+x2+3x-2（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求函数y=f（x）单调区间；（Ⅱ）当x∈（1，e3）时，不等式f′（x）＞xlnx+2恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）2020是等差数列2，4，6，8，…的（）A.第1008项B.第1009项C.第1010项D.第1011项【正确答案】：C【解析】：求出a n=2n，即可求出n的值．【解答】：解：由题意可得公差为2，首项为2，则a n=2+2（n-1）=2n，∴2n=2020，即n=1010，故选：C．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．2.（单选题，5分）已知a＜0＜b，则下列结论正确的是（）A.a2＜b2B. $\frac{a}{b}$ ＜1C. $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ ＞2D.ab＞b2【正确答案】：B【解析】：根据不等式的性质对每一选项进行判断即可．【解答】：解：已知a＜0＜b，对于a2＜b2和ab＞b2，若a=2，b=-1，AD选项错误，等于C，b正数，a负数， $\frac{b}{a}$ + $\frac{a}{b}$ =-[（- $\frac{b}{a}$ ）+（-$\frac{a}{b}$ ）]＜-2 $\sqrt{(-\frac{b}{a})\bullet (-\frac{a}{b})}$ =-2，则C选项错误，而 $\frac{a}{b}$ 是负数，故B选项正确，故选：B．【点评】：本题考查了不等式的基本性质及不等式大小的判断，属于基础题．3.（单选题，5分）已知命题p：∃x0∈（0，+∞），x0lnx0＜0，则￢p为（）A.∀x∈（0，+∞），xlnx≥0B.∃x0∉（0，+∞），x0lnx0＜0C.∃x∈（0，+∞），xlnx＜0D.∀x∉（0，+∞），xlnx≥0【正确答案】：A【解析】：根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】：解：命题是特称命题，则其否定是全称命题，即∀x∈（0，+∞），xlnx≥0，故选：A．【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．4.（单选题，5分）若椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1有相同的焦点，则正实数m为（）A.1B.-1C.±1D.± $\sqrt{3}$【正确答案】：A【解析】：先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．【解答】：解：椭圆 $\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$ =1得∴c1= $\sqrt{2}$ ，∴焦点坐标为（ $\sqrt{2}$ ，0）（- $\sqrt{2}$ ，0），双曲线 $\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$ -y2=1的焦点必在x轴上，则半焦距c2= $\sqrt{m+1}$ ，∴ $\sqrt{m+1}$ = $\sqrt{2}$解得实数m=1．故选：A．【点评】：此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，考查椭圆、双曲线的标准方程，以及椭圆、双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．5.（单选题，5分）已知命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，则p是q的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：解关于q的不等式，再结合集合的包含关系判断即可．【解答】：解：由命题p：x＜2，q：2x2-3x-2＜0，即- $\frac{1}{2}$ ＜x＜2，则p是q的必要不充分条件，故选：C．【点评】：本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．6.（单选题，5分）曲线f（x）=ax+lnx在点（1，f（1））处的切线斜率为3，则实数a的值为（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：对f（x）求导，根据f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，得到关于a的方程，再求出a的值．【解答】：解：由f（x）=ax+lnx，得 $f'(x)=a+\frac{1}{x}$ ，∵f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，∴f'（1）=3，∴a+1=3，∴a=2．故选：B．【点评】：本题考查了利用导函数研究曲线上某点的切线，考查了方程思想，属基础题．7.（单选题，5分）在△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，则sinA：sinC=（）A. $\frac{2}{3}$B. $\frac{3}{2}$C. $\frac{3\sqrt{7}}{7}$D. $\frac{\sqrt{7}}{3}$【正确答案】：A【解析】：利用余弦定理|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|•|BC|cos∠ABC可求得|AB|，利用正弦定理即可求解．【解答】：解：∵△ABC中，AC= $\sqrt{7}$ ，BC=2，B=60°，∴由余弦定理得：|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|•|BC|cos∠ABC，可得：7=|AB|2+4-2|AB|，即|AB|2-2|AB|-3=0，∴|AB|=3．∴sinA：sinC=BC：AB=2：3．故选：A．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关定理是基础，属于基础题．8.（单选题，5分）设实数x，y满足约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ ，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A.5B.6C.7D.10【正确答案】：B【解析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，数形结合进行求解即可求得最小值．【解答】：解：画出约束条件 $\left\{\begin{array}cx-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$ 表示的平面区域，如阴影部分所示：目标函数z=x+3y可化为y=- $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z，平移目标函数知，当直线y=- $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z经过点A时，直线y=-$\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{3}$ z的截距最小，此时z最小．由 $\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$ ，解得A（3，1），代入目标函数得z=3+3×1=6．即z=x+3y的最小值为6．故选：B．【点评】：本题主要考查了线性规划的应用问题，利用目标函数的几何意义与数形结合法，是解决此类问题的基本方法，是中档题．9.（单选题，5分）在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，数列{b n}是等差数列，且b9=a9，则b7+b11等于（）A.4B.8C.16D.24【正确答案】：C【解析】：由等比数列的性质即可求得a9，再由等差数列的性质即可求解．【解答】：解：因为在等比数列{a n}中，有a3a15=8a9，所以 ${{a}_{9}}^{2}$ =8a9，解得a9=8或a9=0（舍），所以b9=a9=8，因为数列{b n}是等差数列，所以b7+b11=2b9=16．故选：C．【点评】：本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查等差数列与等比数列的性质，属于基础题．10.（单选题，5分）设F1，F2是椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{5}$ +y2=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（）A.1B.2C.3D. $\frac{7}{2}$【正确答案】：A【解析】：由椭圆的方程求出a，b，c的值，再根据|OP|的值推出三角形PF1F2为直角三角形，结合椭圆的定义以及勾股定理即可求解．【解答】：解：由题意可得：a= $\sqrt{5}$ ，b=1，c=2，所以|F1F2|=2c=4，又|OP|=2，所以|OP|= $\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|$ ，所以三角形PF1F2是以点P为直角的直角三角形，所以|PF1|⊥|PF2|，则|PF ${}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}=4{c}^{2}=16$ ，又|PF ${}_{1}|+|P{F}_{2}|=2a=2\sqrt{5}$ ，所以|PF1||PF2|=2，则三角形PF1F2的面积为S= $\frac{1}{2}×|P{F}_{1}||P{F}_{2}|=\frac{1}{2}×2=1$ ，故选：A．【点评】：本题考查了椭圆的定义以及直角三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.（单选题，5分）已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数y=f（x）在（-∞，-1）上是增函数B.x=3是函数y=f（x）的极小值点C.f′（3）＜f′（5）D.f（-1）＜f（3）【正确答案】：D【解析】：分别根据导数图象，判断函数的单调性，即可．【解答】：解：对于A，由f′（x）图象知，当x＜-1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，故A错误，对于B，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，当3＜x＜5时，f′（x）＜0，函数为减函数，则x=3是函数的一个极大值点，故B错误，对于C，f′（3）=f′（5），故C错误，对于D，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，则f（-1）＜f（3）成立，故D正确，故选：D．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性与导数之间的关系是解决本题的关键，是基础题．12.（单选题，5分）已知函数f（x）=x2-m与函数g（x）=ln $\frac{1}{x}$ -x，x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]的图象上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（）A.（0，2-ln2]B.（0，- $\frac{1}{4}$ +ln2]C.[- $\frac{1}{4}$ +ln2，2-ln2）D.（ln2，- $\frac{1}{4}$ +ln2]【正确答案】：B【解析】：由已知得到方程m=x2-lnx-x在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有两解，构造函数h（x）=x2-lnx-x，求出h（x）的最值和端点值，即可得到m的范围．【解答】：解：由已知得到方程f（x）=-g（x）在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有两解，即m=x2-lnx-x在[ $\frac{1}{2}$ ，2]上有解．设h（x）=x2-lnx-x，则h′（x）=2x- $\frac{1}{x}$ -1= $\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$ ，令h′（x）=0得x=1．∴当 $\frac{1}{2}$ ＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜2时，f′（x）＞0，∴h（x）在（ $\frac{1}{2}$ ，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．∴当x=1时，h（x）取得最小值h（1）=0，∵h（ $\frac{1}{2}$ ）=ln2- $\frac{1}{4}$ ，h（2）=-ln2+2，且h（2）＞h（ $\frac{1}{2}$ ），0＜m≤ln2- $\frac{1}{4}$ ．从而m的取值范围为（0，ln2- $\frac{1}{4}$ ]故选：B．【点评】：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围，解题关键是将已知转化为方程在某区间上有解，属于中档题．13.（填空题，5分）已知数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，则其前5项和S5=___ ．【正确答案】：[1]31【解析】：由x2-3x+2=0，解得x，然后求出公比q，再求出S5的值．【解答】：解：由x2-3x+2=0，解得x=1，2，∵数列{a n}为递增等比数列，a1，a2是关于x的方程x2-3x+2=0的两个实数根，∴a1=1，a2=2，∴公比q=2．∴其前5项和S5= $\frac{{2}^{5}-1}{2-1}$ =31．故答案为：31．【点评】：本题考查了一元二次方程的解法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）已知正实数x，y满足4x+y=8，则xy的最大值为___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：将4x+y=8转换为y=8-4x，代入xy=x（8-4x）=-4x2+8x=-4（x-1）2+4，解一元二次函数在x＞0的区间的最值即可．【解答】：解：已知正实数x，y满足4x+y=8，则y=8-4x，即xy=x（8-4x）=-4x2+8x=-4（x-1）2+4，x＞0，且仅当x=1时，xy的最大值为4．故答案为：4．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．15.（填空题，5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，则△ABC的面积是___ ．【正确答案】：[1] $\frac{3\sqrt{3}}{2}$【解析】：在△ABC中，由b2=（a+c）2-6，B= $\frac{2π}{3}$，结合余弦定理b2=a2+c2-2accosB可求得ac=6，从而可求得△ABC的面积．【解答】：解：在△ABC中，∵B= $\frac{2π}{3}$，b2=（a+c）2-6=a2+c2+2ac-6，又b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2ac×（- $\frac{1}{2}$ ）=a2+c2+ac，∴ac=6，∴S△ABC= $\frac{1}{2}$ acsinB= $\frac{1}{2}$ ×6× $\frac{\sqrt{3}}{2}$ =$\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ，故答案为： $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ．【点评】：本题考查余弦定理与三角形面积公式的应用，考查运算能力，属于中档题．16.（填空题，5分）已知抛物线y2=2x的焦点为F，点A、B在抛物线上，若△FAB为等边三角形，则其边长为___ ．【正确答案】：[1]【解析】：由已知可得AF=BF=AB，分析出点A，B关于x轴对称，设出点A的坐标代入抛物线方程，再由抛物线定义可得AF的关系式，联立方程即可求解．【解答】：解：因为三角形ABF为等边三角形，则AF=BF，又点F在抛物线的对称轴x轴上，所以点A，B两点的横坐标相等，纵坐标相反，则设点A（m，n）（n＞0），所以B（m，-n），满足n2=2m，且AB=2n，又由抛物线的定义可得AF=AB=m+ $\frac{p}{2}=m+\frac{1}{2}$ =2n，联立方程 $\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}=2m}\\{m+\frac{1}{2}=2n}\end{array}\right.$ ，解得n=2 $±\sqrt{3}$ ，所以三角形ABF的边长为2n=4 $±2\sqrt{3}$ ，故答案为：4 $±2\sqrt{3}$ ．【点评】：本题考查了抛物线的定义以及等边三角形的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.（问答题，10分）已知命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若命题p∧q是真命题，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别解出p、q命题为真命题时a的取值范围，再结合复合命题的真假可得答案．【解答】：解：命题p：当x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]时，a≤x+ $\frac{1}{x}$ 恒成立；若P真命题，则a≤（x+ $\frac{1}{x}$ ）min．因为x∈[ $\frac{1}{2}$ ，2]，所以x+ $\frac{1}{x}$ ≥2 $\sqrt{x\bullet \frac{1}{x}}$ =2，当且仅当x= $\frac{1}{x}$ 时，即x=1时等号成立，所以a≤2；命题q：对任意的x∈R，不等式x2-ax+a＞0恒成立，若q真命题，则，Δ=a2-4a＜0，即0＜a＜4．若命题p∧q是真命题，则p．q都是真命题，即 $\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{0＜a＜4}\end{array}\right.$ ，所以0＜a≤2．故答案为：实数a的取值范围为{a|0＜a≤2}．【点评】：本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．18.（问答题，12分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且a2=4，S4=22．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ ，求数列{b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d 的方程组，解出a1与d的值，即可计算出等差数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前n项和T n．【解答】：解：（Ⅰ）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{4{a}_{1}+6d=22}\end{array}\right.$ ，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=3}\end{array}\right.$ ，∴a n=1+3（n-1）=3n-2，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得：b n= $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$ = $\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ =$\frac{1}{3}$ （ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ），∴T n=b1+b2+…+b n= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{4}$ ）+ $\frac{1}{3}$ ×（ $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{7}$ ）+…+ $\frac{1}{3}$ ×（ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ - $\frac{1}{7}$ +…+ $\frac{1}{3n-2}$ - $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{1}{3}$ ×（1- $\frac{1}{3n+1}$ ）= $\frac{n}{3n+1}$ ．【点评】：本题主要考查等差数列的基本量的运算，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，是中档题．19.（问答题，12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ．求：（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin（B-A）的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c，a以及cosA的值代入求出bc的值，由此求得∠B，∠C的值，代入求值即可．【解答】：解：（Ⅰ）已知等式（2b-c）cosA=a•cosC，由正弦定理化简得（2sinB-sinC）cosA=sinA•cosC，整理得：2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA= $\frac{1}{2}$ ，∴A= $\frac{π}{3}$；（Ⅱ）∵b+c=6，a=2 $\sqrt{3}$ ，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bcosA，即12=b2+c2-bc，∴12=（b+c）2-3bc，∵b+c=6，∴bc=8，∴ $\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=4}\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=2}\end{array}\right.$ ．当b=2，c=4时，C= $\frac{π}{2}$，B= $\frac{π}{6}$，∴sin（B-A）=sin（- $\frac{π}{6}$）=- $\frac{1}{2}$ ．当b=4，c=2时，B= $\frac{π}{2}$，∴sin（B-A）=sin $\frac{π}{6}$ = $\frac{1}{2}$ ．综上所述，sin（B-A）的值为- $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$ ．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20.（问答题，12分）2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击．为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展．某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出．若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y（单位：万件）与年促销费用x（x≥0）（单位：万元）满足y=30- $\frac{k}{x+10}$ （k为常数）．已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本）（Ⅰ）求k的值，并写出该产品的利润L（单位：万元）与促销费用x（单位：万元）的函数关系；（Ⅱ）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润？【正确答案】：【解析】：（1）当x=0时，y=28，代入y的解析式中，可求得k的值；由题意可得，每件产品的销售价格为1.5× $\frac{80+160y}{y}$ 元，然后根据利润=销售价格×年销售量-成本，写出L的解析式即可；（2）结合（1）中L的解析式，利用基本不等式，即可得解；【解答】：解：（1）∵不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，∴当x=0时，y=28，∴28=30- $\frac{k}{10}$ ，解得k=20，∴y=30- $\frac{20}{x+10}$ ，∵每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍，∴每件产品的销售价格为1.5× $\frac{80+160y}{y}$ 元，∴L=y•（1.5× $\frac{80+160y}{y}$ ）-（80+160y+x）=40+80y-x=40+80•（30- $\frac{20}{x+10}$ ）-x=2440- $\frac{1600}{x+10}$ -x（x≥0）．（2）由（1）知，L=2440- $\frac{1600}{x+10}$ -x=2450- $\frac{1600}{x+10}$ -（x+10）≤2450-2 $\sqrt{\frac{1600}{x+10}\bullet (x+10)}$ =2370，当且仅当 $\frac{1600}{x+10}$ =x+10，即x=30时，等号成立，此时L取得最大值，为2370万元，故该工厂计划投入促销费用30万元，才能获得最大利润．【点评】：本题考查函数的实际应用，以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.（问答题，12分）已知椭圆C： $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a ＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左顶点与上顶点的直线与圆x2+y2=$\frac{4}{3}$ 相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知斜率为k的直线l在y轴上的截距为m（0＜|m|＜b），l与椭圆交于A，B两点，是否存在实数k使得k OA•k OB=k2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据题意可得e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，b2=a2-c2，$\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，解得c，a，b，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在实数k满足题意，直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1+x2，x1x2，在化简计算k OA k OB=k2，即可解得k的值．【解答】：解：（Ⅰ）因为e= $\frac{c}{a}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以a= $\sqrt{2}$ c，又b2=a2-c2，所以b=c，所以左顶点与上顶点的直线方程为 $\frac{x}{-\sqrt{2}c}$ + $\frac{y}{c}$ =1，即x- $\sqrt{2}$ y+ $\sqrt{2}$ c=0，所以 $\frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{3}}$ = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ ，c= $\sqrt{2}$ ，a=2，b=$\sqrt{2}$ ，所以椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$ + $\frac{{y}^{2}}{2}$ =1．（Ⅱ）假设存在实数k满足题意，理由如下：由题知- $\sqrt{2}$ ＜m＜ $\sqrt{2}$ 且m≠0，直线l的方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\righ t.$ ，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，所以x1+x2= $\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$ ，x1x2= $\frac{2{m}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$ ，Δ=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-4）=8（4k2-m2+2）＞0恒成立，因为k OA k OB= $\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$ =$\frac{(k{x}_{1}+m)(k{x}_{2}+m)}{{x}_{1}{x}_{2}}$ =$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+km({x}_{1}+{x}_{2})+{m}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$= $\frac{{k}^{2}(2{m}^{2}-4)-4{k}^{2}{m}^{2}+{m}^{2}(1+2{k}^{2})}{2{m}^{2}-4}$ =$\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{2{m}^{2}-4}$ ，所以 $\frac{-4{k}^{2}+{m}^{2}}{2{m}^{2}-4}$ =k2，所以（2k2-1）m2=0，解得k=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，所以存在实数k=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，使得k OA k OB=k2成立．【点评】：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的运算化简能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）= $\frac{a}{3}$ x3+x2+3x-2（a∈R）．（Ⅰ）若a=-1，求函数y=f（x）单调区间；（Ⅱ）当x∈（1，e3）时，不等式f′（x）＞xlnx+2恒成立，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）将a=-1代入f（x）中，求出f'（x），根据导函数f'（x）在不同区间上的符号，确定f（x）的单调区间；（Ⅱ）对f（x）求导，将f′（x）＞xlnx+2恒成立转化为 $a＞\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 恒成立，然后令g（x）= $\frac{lnx}{x}$ - $\frac{2}{x}$ - $\frac{1}{x^{2}}$ ，判断g（x）的单调性，进一步求出a的取值范围．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）定义域为R，由a=-1，得 $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+3x-2$ ，∴f′（x）=-x2+2x+3=-（x+1）（x-3），令f′（x）＞0，得-1＜x＜3，令f′（x）＜0，得x＜-1或x＞3∴函数f（x）的单调增区间为（-1，3），单调减区间为（-∞，-1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵ $f(x)=\frac{a}{3}x^{3}+x^{2}+3x-2$ ，∴f′（x）＞xlnx+2，即ax2+2x+3＞xlnx+2，∵x∈（1，e3），∴原问题等价于 $a＞\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 恒成立．令 $g(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}，(1＜x＜e^{3})$ ，则$g′(x)=\frac{1-lnx}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}=\frac{3x-xlnx+2}{x^{3}}$ ，令h（x）=3x-xlnx+2（1＜x＜e3），则h′（x）=2-lnx，∴当x∈（1，e2）时，h′（x）＞0，当x∈（e2，e3）时，h′（x）＜0，∴h（x）在区间（1，e2）上是增函数，在区间（e2，e3）上是减函数，又h（1）=5＞0，h（e3）=2＞0，∴当x∈（1，e3）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，∴函数 $g(x)=\frac{lnx}{x}-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}$ 在区间（1，e3）上是增函数，∴ $g(x)＜g(e^{3})=\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}$ ，∴ $a≥\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}$ ，即实数a的取值范围为 $[\frac{1}{e^{3}}-\frac{1}{e^{6}}，+∞)$．【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性和根据不等式恒成立求参数的范围，考查了转化思想，属中档题．。

河南省天一大联考2020-2021学年高二阶段性测试(一) 数学(文) Word版含答案

2020－2021学年高二年级阶段性测试(一)数学(文科)考生注意：1.答题前考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝31，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.152.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝A.25B.30C.32D.643.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.12134.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝110，则c ＝ 2 B.22 C.25 D.2105.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝A.3B.5C.6D.106.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶。

据此可推得A.“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列B.“宫”“徵”“商”的频率成公比为32的等比数列C.“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列D.“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列7.已知等比数列{a n}的首项a1＝e，公比q＝e，则数列{ln a n}的前10项和S10＝A.45B.55C.110D.2108.已知等差数列{a n}的首项是2，公差为d(d∈Z)，且{a n}中有一项是14，则d的取值的个数为A.3B.4C.6D.79.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosa Bb A=，sinA>sinB，则△ABC的形状一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形10.一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，则灯塔与轮船原来的距离为A.5海里B.4海里C.3海里D.2海里11.已知数列{a n}满足a n＝()n62p n2n6p n6-⎧--≤⎪⎨>⎪⎩，，，(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有a n＋1>a n，则实数p的取值范围是A.(1，74) B.(1，107) C.(1，2) D.(107，2)12.在钝角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C2＋b2－c2)，则ba的取值范围是A.(0∪，＋∞) B.(0∪)C.(0，12)∪(3，＋∞) D.(0，12)∪，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省重点高中2020-2021学年高二上学期期中考试试题数学(文) Word版含答案

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若数列{a n }满足a 2n ＝a 2n －1＋a 2n ＋1(n ∈N *)，则称{a n }为“Y 型数列”，则下列数列不可能是“Y 型数列”的是A.－1，0，1，0，－1，0，1，…B.1，2，1，3，5，2，3，…C.0，0，0，0，0，0，0，…D.2，1，－1，0，1，2，1，…2.已知锐角△ABC 的面积为2，AB ＝BC ＝2，则角B ＝A.6πB.3πC.4π D.34π 3.拓扑结构图是指由网络节点设备和通信介质构成的网络结构图.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则第10层节点的个数为A.100B.128C.512D.10244.已知m<0，n>0，m ＋n<0，则下列不等式中正确的是A.n>－mB.m 2>n 2C.－n>－mD.11m n+<0。

河南省八市重点高中2020—2021学年高二上学期12月联合考试数学(文)答案

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质，意在考查学生的数学抽象和数学运算能力，属于难题.
【解析】因为抛物线 C
:
y
x2 4
，设
A( x1 ,
x12 4
),
B( x2 ,
x22 4
)
，联立方程组：
y
y
x2
4 x
m
，整理得
x2 4x 4m 0 ，所以 x1 x2 4, x1x2 4m ，又因为 kOA kOB 1，
依题意，对任意的 x2,1 ，不等式 x2 2mx 2 3m 0 恒成立，即二次函数 y x2 2mx 2 3m 在 x 2,1 上的最小值大于 0 即可，.....................................................................................................................8 分
由恒成立的条件可知： a (x2 2x 5)min 2 x 0 ，
结合二次函数的性质可知：
当 x 2 或 x 0 时， (x2 2x 5)min 5 ，则 a 5 ；综合①②可得 a 的取值范围是[1, 5] ，故答案为[1, 5] .
高二文数答案第 2 页共 7 页
12．【答案】C
【解析】根据双曲线
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0 的的渐近线方程为
y
x，
所以 a b ，又焦距为 4 ，所以焦点为 (0, 2) ，
所以双曲线焦点到渐近线的距离为 2 ，故选 A.
6．【答案】D
【命题意图】本题考查四种命题以及命题的真假性判定.意在考查学生的逻辑推理素养，是中档题.

河南省驻马店市重点高中2020-2021学年高二下学期第一次考试文科数学试题含答案

重点高中2020-2021学年度下期高二第一次考试数学（理科）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．“余弦函数是偶函数，()()2cos 32f x x =+是余弦函数，因此()()2cos 32f x x =+是偶函数”，以上推理 A ．结论正确B ．小前提不正确C ．大前提不正确D ．全部正确2．用反证法证明命题“设实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于13”时假设的内容是 A ．a 、b 、c 都不小于13B ．a 、b 、c 都小于13C ．a 、b 、c 至多有一个小于13D ．a 、b 、c 至多有两个小于133．以下推理为归纳推理的是A ．幂函数在（0，+∞）是单调函数，12y x =是幂函数，故12y x =在（0，+∞）是单调函数 B ．平行于同一条直线的两直线平行，已知//,//a b b c ，则//a cC ．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，得“正四面体的内切球切于四个面的中心”D ．由1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，得2123(21)n n ++++-=（n ∈N *）4．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =A ．e -B ．eC ．－1D ．15．已知函数()()5ln 213f x x x =-+，则()()011lim x f x f x∆→+∆-=∆A ．1B ．0C ．43D ．536．函数()y f x =的图象如图所示，则阴影部分的面积是A ．10()f x dx ⎰ B ．20()f x dx ⎰C ．2|()|f x dx ⎰D ．121()()f x dx f x dx +⎰⎰7．已知函数()y f x =的图象如图所示，则其导函数'()y f x =的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．将正奇数数列1，3，5，7，9，依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：(1,3)，(5,7,9)，(11,13)，(15,17,19)，⋅⋅⋅，称(1,3)为第1组，(5,7,9)为第2组，依次类推，则原数列中的2021位于分组序列中 A ．第404组B ．第405组C ．第808组D ．第809组9．已知偶函数()()0f x x ≠的导函数为()f x '，且满足()10f -=．当0x >时，()()2f x xf x '>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围为A ．(,1)(0,1)-∞-⋃B ．(1,0)(0,1)-⋃C ．(1,0)(1,)-⋃+∞D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞10．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,811．已知函数()f x 满足()()f x f x -=，当0x >时，()ln 1xx f x e+=，若()1.32a f =，()0.64b f =，122log c f ⎛= ⎝，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<12．设函数()1f x =，2()ln(31)g x ax x =-+，若对任意的[)10,x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的最大值为A ． 2B ．4C ．94 D ． 92二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数1()sin sin 33f x a x x =+在π3x =处有极值，则a 的值是．14．已知函数()sin f x x =，则11()f x dx -=⎰．15．甲、乙、丙三人参加知识竞赛．赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三名”；最后公布结果时，发现每个人的预测都只猜对了一半，则这次竞赛第一名的是______． 16．已知a R ∈，函数4()f x x a a x=+-+在区间[]1,4上的最大值是5，则a 的取值范围是．三、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）已知函数()142xf x =+，（1）分别求()()01f f +，()()12f f -+，()()23f f -+的值；（2）由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．18．（本小题满分12分）已知数列11111447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+，，，，，（1）计算1234S S S S ，，，；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明．19．（本小题满分12分）已知函数()32392f x x x x =--+．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）求f (x )的单调区间．20．（本小题满分12分）已知函数()xf x x e =⋅．（1）求函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 在[－2,1]上的最大值和最小值．21．（本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求a 的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．（本小题满分12分）已知函数()21ln 2f x ax x x ax =--．（1）讨论函数f (x )的导函数的单调性；（2）若对()12,1,x x e ∀∈，都有()()12123f x f x x x -<-，求a 的取值范围．重点高中2020-2021学年度下期高二第一次考试数学（理科）参考答案1．【答案】B【解析】由于()2()cos 32f x x =+不余弦函数，所以小前提不正确．故选：B ． 2．【答案】B【解析】反证法证明命题时，要假设结论不成立．故用反证法证明命题“设实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于13”时的假设是“a 、b 、c 都小于13”．故选：B ． 3．【答案】D【解析】对于A ，符合三段论的形式，是演绎推理；选项B ，符合三段论的形式，是演绎推理是由特殊到一般的推理；对于C ，是由特殊到特殊的推理，是类比推理；对于D ，是归纳推理．故选：B ． 4．【答案】C【解析】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e '''''=+∴=+∴=-，所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-．故选：C ．5．【答案】A【解析】由题得52)321f x x '=-+（，∴(1)1f '=．因为()()011limx f x f x∆→+∆-∆=(1)f '， ∴()()11limx f x f x∆→+∆-∆=1故选A ．6．【答案】C【解析】由图可得阴影部分的面积为()()()1222010011()()f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -+=+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰，故选：C ． 7．【答案】A【解析】由()f x 的图象可知：()y f x =在(),0-∞先单调递增，后单调递减，再单调递增，而在()0,∞+上单调递减，故()'y f x =在区间(),0-∞上先大于0，后小于0，再大于0，在()0,∞+上()'f x 恒小于0． 8．【答案】B【解析】正奇数数列1,3,5,7,9的通项公式为21,n a n =- 则2021为第1011个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，共20251010⨯=个数，共2022404⨯=组．故原数列中的2021位于分组序列中第405组故选：B ．9．【答案】B【解析】令2()()f x g x x =，则24()()2()f x x f x x g x x'⋅-⋅'=3()2()xf x f x x '-=，所以当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(0,)+∞上为减函数，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以22()()()()()f x f x g x g x x x--===-，所以()g x 为偶函数，因为(1)0f -=，所以(1)0f =，所以当0x ≠时，()0f x >等价于2()0f x x >2(1)1f =等价于()(1)g x g > 所以(||)(1)g x g >，又()g x 在(0,)+∞上为减函数，所以||1x <，解得11x -<<，又0x ≠，所以10x -<<或01x <<．故答案为：B ． 10．【答案】D【解析】函数2()1f x x alnx =-+，定义域{|0}x x >，∴22()2a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不符合题意，当0a > 时，在⎫+∞⎪⎪⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，在⎛ ⎝上，()0f x '<，()f x 单调递减，函数2()1f x x alnx =-+在(1,2)内不是单调函数，12∴<，28a ∴<<，故选：D ． 11．【答案】D【解析】由题知：()1ln 1xx x f x e --'=()0x >，设()1ln 1h x x x=--，()2110h x x x'=--<，所以()h x 在()0,∞+为减函数，又因为()10h =，所以()0,1x ∈，()0h x >，即()0f x '>，()f x 为增函数，()1,x ∈+∞，()0h x <，即()0f x '<，()f x 为减函数．又因为函数()f x 满足()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数．((()122222log 2log 2log log 3c f f f f ⎛==-== ⎝．因为21log 32<<，0.6 1.2 1.3422=<，即 1.30.6224log 31>>>，所以()()0.6 1.3122log 42f f f ⎛>> ⎝，即a b c <<．故选：D 12．【答案】C【解析】设g (x )＝ln(ax 2－3x ＋1)的值域为A ，因为f (x )＝1－x ＋1在[0，＋∞)上的值域为(－∞，0]，所以(－∞，0]⊆A ，所以h (x )＝ax 2－3x ＋1至少要取遍(0,1]中的每一个数，又h (0)＝1，所以实数a 需要满足a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝9－4a ≥0，解得a ≤94.所以实数a 的最大值为94，故选C .13．【答案】2a =【解析】∵1()sin sin 33f x a x x =+，∴()cos cos3f x a x x +'=，∵函数()f x 在π3x =处有极值，∴π03f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，即：ππcos cos 3033a ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，∴1102a -=，解得2a =． 14．【答案】2π【解析】()1111111sin sin f x dx x dx xdx ----⎡=+=+⎣⎰⎰⎰，而()1111sin cos |0xdx x --=-=⎰，11-表示半圆221(0)x y y +=≥的面积，即112π-=，则()111111sin 2f x dx xdx π---=+=⎰⎰．15．【答案】丙【解析】若甲获得第一名，甲预测出一半，则丙第一名，矛盾；若乙获得第一名，乙预测出一半，则丙第三名，甲第二名，则丙预测全错，不合乎题意；若丙获得第一名，甲预测出一半，则甲第三名，乙第二名，乙、丙都预测出一半，合乎题意．综上所述，这次竞赛中第一名的是丙．16．【答案】9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】设t ＝x ＋4x (x ∈[1,4])，则t ∈[4,5]，原问题转化为当t ∈[4,5]，(|t －a |＋a )max ＝5时，求a 的取值范围，我们只需在数轴上观察． ①当a ≤4时，满足当t ∈[4,5]时，(|t －a |＋a )max ＝5，符合题意．②当a >5时，|t －a |＋a >5，不合题意．③当4<a ≤5时，和点a 在数轴上的位置有关系，关键点是点92，如图．当4<a ≤92，t ∈[4,5]时，(|t －a |＋a )max ＝5，符合题意；当92<a ≤5，t ∈[4,5]时，(|t －a |＋a )max >5，不合题意．综上，a 的取值范围是9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.17. 解：（1）()()11101362f f +=+=；同理()()()()1112,2322f f f f -+=-+=………………5分（2）由此猜想()()112f x f x +-=………………7分证明：()()()()11114142411424242424422224224x x x x x x x x x xf x f x -++-=+=+=+==++++⋅+++．…10分 18．解：（1）12341234,,,471013S S S S ====………………4分（2）31n nS n =+………………6分证明：①当n =1时，1113114S ==⨯+，结论成立②假设当n k =(k N *∈)时，结论成立，即31k k S k =+………………8分当1n k =+时，111(34)1(1)(31)1==(31)(34)31(31)(34)(31)(34)(31)(34)3(1)k k k k k k k k S S k k k k k k k k k k ++++++=+=+=+++++++++++∴当1n k =+时结论成立………………11分∴由①②知对于任意的n N *∈+结论都成立………………12分19．解：（1）()32392f x x x x =--+，()2369f x x x '∴=--，()19f =-，………………3分因此()112f '=-，所以，曲线()y f x =在点()1,9-处的切线方程为()9121y x +=--，即123y x =-+；………………6分（2）()269=3x x x f '--， ()0f x '>即23690x x -->，即2230x x -->，解得1x <-或3x >；………………8分解不等式()0f x '<，得23690x x --<，即2230x x --<，解得13x．………………10分因此，函数()y f x =的单调递增区间为(),1-∞-和()3,+∞，单调递减区间为()1,3-．………………12分20．解：（1）函数()f x 的定义域为R()(1)x x x f x e xe x e '=+=+ ，………………1分1x >-时，()0f x '>，1x <-时，()0f x '<………………3分所以1x =函数()f x 的极小值点，1()=(1)f x f e-=-极小值，………………5分无极大值．………………6分（2）()(1)x x x f x e xe x e '=+=+令()0f x '= 得1x =-列表如下：由上表可知函数()f x 在[2,1]-上的最大值为(1)f e =,最小值为1(1)f e-=-．………………12分 21．解：(1)∵x ＝5时，y ＝11，∴a 2＋10＝11，∴a ＝2………………4分 (2)由(1)知该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，∴商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )22(3)10(6)3x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥-⎣⎦＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6．………………6分 f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x )＝0，得x ＝4．当3<x <4时，f ′(x )>0，函数f (x )在(3，4)上递增；………………8分当4<x <6时，f ′(x )<0，函数f (x )在(4，6)上递减………………10分∴当x ＝4时，函数f (x )取得最大值f (4)＝42．∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．………………12分 22．（1）()()ln 1ln f x a x x a a x x '=+--=-，0x >，()()1aa x f x x x-''=-=………………1分当0a ≤时，()()0f x ''<，()f x '在()0,∞+递减；………………3分当0a >时，若0x a <<，则()()0f x ''>，()f x '在()0,a 递增，………………5分若x a >，则()()0f x ''<，()f x '在(),a +∞递减；………………6分（2）设121x x e <<<，则()()112233f x x f x x ->-，构造函数()()3h x f x x =-，1x e <<，即()h x 在()1,e 递减．………………7分 ∴()ln 30h x a x x '=--≤，3ln x a x+≤，………………9分设()3ln x u x x +=，1x e <<，∴()()23ln 1ln x x u x x --'=，又设()3ln 1v x x x =--，1x e <<，则()2130v x x x =+>，()v x 在()1,e 递增，………………11分∴()()30v x v e e<=-<，∴()0u x '<，()u x 在()1,e 递减，∴()()3u x u e e >=+，即a 的取值范围是(],3e -∞+．………………12分法二，设121x x e <<<，则()()112233f x x f x x ->-，构造函数()()3h x f x x =-，1x e <<，即()h x 在()1,e 递减．………………7分∴()ln 30h x a x x '=--≤，令()ln 3g x a x x =--，则()a x g x x-'=………………8分当1a ≤时，()0g x '<，()g x 在()1,e 上单调递减，所以()(1)40g x g <=-<，于是1a ≤；………………9分当a e ≥时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增，所以()()30g x g e a e <=--≤，于是3e a e ≤≤+；………………10分当1a e <<时，()g x 在(1,)a 上单调递增，在(,)a e 单调递减，所以()()ln 3330g x g a a a a a a ≤=--<--=-<，于是1a e <<.………………11分综上，a 的取值范围是(],3e -∞+．………………12分。

2020-2021学年河南省重点高中高二阶段性测试(一)数学(理)试题(解析版)

2020-2021学年河南省重点高中高二阶段性测试（一）数学（理）试题一、单选题1．在ABC 中，10BC =，1sin 3A =，则ABC 的外接圆半径为（）A ．30B ．C ．20D ．15【答案】D【解析】结合已知条件，由正弦定理即可求ABC 的外接圆半径. 【详解】若外接圆半径为R ，由正弦定理知：||2sin BC R A=， ∴310152R =⨯=，故选：D 【点睛】本题考查了正弦定理，由2sin aR A=结合已知边角求外接圆半径，属于简单题. 2．已知数列{}n a 满足11a =，16n n a a +=+，在5a =（） A ．25 B ．30 C ．32 D ．64【答案】A【解析】根据题中条件，得出数列的公差，进而可求出结果. 【详解】由16n n a a +=+得16n n a a +-=，所以数列{}n a 是以6为公差的等差数列，又11a =，所以514625a a =+⨯=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的基本量运算，属于基础题型.3．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2221013a b c bc =+-，则cos A =（） A ．726B ．513C ．1726D ．1213【答案】B【解析】根据题中条件，由余弦定理，可直接得出结果. 【详解】因为2221013a b c bc =+-，由余弦定理可得，222cos 221051313A bc b b c bcc a ==+=-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由余弦定理进行边角互化，属于基础题型.4．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，20sin 0A -=，1sin 10C =，则c =（） AB．2C．5D．10【答案】A【解析】根据题中条件，由正弦定理，可直接得出结果. 【详解】20sin 0A -=得sin aA= 又1sin 10C =，由正弦定理可得sin sin a cA C==c =故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且38a a m +=，10S pm =，则p =（） A ．3 B ．5C ．6D ．10【答案】B【解析】根据等差数列的性质，以及等差数列的前n 项和公式，由题中条件，即可得出结果.因为数列{}n a 为等差数列，由38a a m +=，10S pm =可得，()()110103810552a a S a a m pm +==+==，则5p =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，以及等差数列前n 项和的基本量运算，属于基础题型. 6．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“微”，“微”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得（） A ．“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B ．“宫”“微”“商”的频率成公比为32的等比数列 C ．“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D ．“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列【答案】C【解析】根据文化知识，分别求出相对应的频率，即可判断出结果．【详解】设“宫”的频率为a ，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为32a ， “徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为98a ， “商”经过一次“损”，可得“羽”频率为2716a ，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是8164a ，由于a ，98a ，8164a 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，且公比为98，【点睛】本题考查等比数列的定义，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 7．已知等比数列{}n a 的首项1a e =，公比q e =，则数列{}ln n a 的前10项和10S =（） A ．45 B ．55 C ．110 D ．210【答案】B【解析】先求出等比数列{}n a 的通项，从而可求出数列{}ln n a 的通项，进而可求出结果【详解】解：因为等比数列{}n a 的首项1a e =，公比q e =，所以111n n nn a a q e e e --==⋅=，所以ln ln nn a e n ==，所以10101112310552S ⨯=+++⋅⋅⋅+==，故选：B 【点睛】此题考查等比数列的基本量计算，考查对数的化简，考查计算能力，属于基础题 8．已知等差数列{}n a 的首项是2，公差为()d d Z ∈，且{}n a 中有一项是14，则d 的取值的个数为（） A ．3 B ．4C ．6D ．7【答案】C【解析】根据等差数列的通项公式有(1)12n d -=，由12作因数分解可得6个整数，即为d 的可能取值. 【详解】等差数列{}n a 的首项是2，公差为()d d Z ∈，有一项是14，∴设第n 项为14，有1(1)2(1)14n a a n d n d =+-=+-=，即(1)12n d -=，又*n N ∈知：10n ->，*1n N -∈，而121122634=⨯=⨯=⨯ ∴d 的取值有{1,2,3,4,6,12}，故选：C本题考查了等差数列，由等差数列通项公式,结合数列中*n N ∈即可确定所求参数的可能取值.9．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a Bb A=，sin sin A B >，则ABC 的形状一定是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】A 【解析】由cos cos a B b A=，利用正弦定理化简可得sin 2sin 2A B =，再由sin sin A B >，即可得出结果．【详解】 ∵cos cos a B b A=， ∴由正弦定理可得sin cos sin cos A BB A=， ∴sin cos sin cos A A B B =， ∴sin 2sin 2A B =， ∴22A B =或22A B π+=， ∴A B =或2A B π+=，又sin sin A B >，所以A B ≠，因此2A B π+=.∴ABC 是直角三角形. 故选：A ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.10．一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10则灯塔与轮船原来的距离为（） A ．5海里 B ．4海里C ．3海里D ．2海里【答案】D【解析】根据方位角可知120CAB ∠=，利用余弦定理构造方程，即可解得结果.记轮船最初位置为A ，灯塔位置为B ，10分钟后轮船位置为C ，如下图所示：由题意得：11836AC =⨯=，1804218120CAB ∠=--=，19BC =由余弦定理可得，222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，即：2919162AB AB +-=-，解得：2AB =或5AB =-（舍），即灯塔与轮船原来的距离为2海里. 故选：D. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，熟记余弦定理即可，属于基础题型. 11．已知数列{}n a 满足()()*622,6,6n n p n n a n pn -⎧--≤=∈⎨>⎩N ，且对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（）A ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101,7⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．10,27⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则数列{}n a 单调递增；又()()*622,6,6n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨>⎩N ，所以只需67201p p a a ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，即21106p p p p<⎧⎪>⎨⎪-<⎩，解得1027p <<. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.12．在钝角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C的对边，且其面积为)222a b c +-，则b a 的取值范围是（）A．⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．)⎛⋃+∞ ⎝⎭C．10,23⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．)10,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据钝角三角形ABC的面积为()22212a b c +-，利用三角形面积公式和余弦定理转化得到3tan 3C，进而求得角C，再利用正弦定理和两角和正弦公式转化12tan b a A =+，然后根据三角形是钝角三角形，得到A 范围利用正切函数的性质求解. 【详解】因为钝角三角形ABC 的面积为)22212a b c +-，所以()2221sin 2cos 21212ab C a b c ab C =+-=，所以3tan 3C，因为()0,C π∈，所以6C π=，所以51sin cos sin sin 1622sin sin sin 2tan A A Ab B a A A A A π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====，因为三角形是钝角三角形，当A 为钝角时，5,26A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，此时tan ,3A ⎛⎫∈-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，当A 为锐角时，0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时(tan A ∈，所以0,,23b a ⎛⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::1:1:2A B C =，则ac=___________.【解析】根据题中条件，先求出角A 和角C ，再由正弦定理，即可得出结果. 【详解】因为::1:1:2A B C =，所以4A B C A π++==，则4A π=，2C π=，因此，由正弦定理可得，sin sin 2a A c C ==.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查用正弦定理进行边角互化，属于基础题型.14．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________.【解析】由423S S =可知公比1q ≠，所以直接利用等比数列前n 项和公式化简，即可求出q 【详解】解：因为423S S =，所以1q ≠，所以4121(1)13(1)1a q qa q q--=--，所以4213(1)q q -=-，化简得22q =，因为等比数列{}n a 的各项为正数，所以0q >，所以q =【点睛】此题考查等比数列前n 项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题15．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，4b =，c =则BC 边上的高为________________.【答案】3【解析】先由题中条件，根据余弦定理，求出cos C ，得出sin C ，进而可求出结果. 【详解】因为3a =，4b =，c =所以222916331cos 22343a b c C ab +-+-===-⨯⨯，则sin 3C ==，过点A 向BC 的延长线作垂线，垂足为D ，则22sin sin ACD C ∠==，所以BC 边上的高为2sin 3AD b ACD =∠=. 故答案为：823. 【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题型.16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第n 次得到数列1，1x ，2x ，…，i x ，4，并记()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21n t =-，*n ∈N .则{}n a 的通项n a =___________.【答案】31n +【解析】先由()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，结合题意得到132n n a a +=-，再设13()n n a t a t ++=+求出1t =-，得到数列{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列，进而可求出结果. 【详解】由题意，根据()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，可得()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭，设13()n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得1t =-，则数列{}1n a -是首项为2121log 413a -=-=，公比为3的等比数列，故13nn a -=，所以31,n n a n N +=+∈.故答案为：31n +. 【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.三、解答题17ABC 中，120B C =︒-，1AC =. （1）求AB 的长；（2）求sin C 的值.【答案】（1）4；（2【解析】（1）先由题意，得到60A =︒；再由三角形面积公式，列出方程，即可求出结果；（2）先由余弦定理，求出BC =. 【详解】（1）因为120B C =︒-，即120B C +=︒，则60A =︒；在ABC 中，1sin 2ABC S AC AB A =⋅⋅=△所以112AB ⨯⨯=，所以4AB =；（2）由余弦定理得222212cos 14214132BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC = 由正弦定理得sin sin AB BCC A=，则sin sin AB A C BC ==. 【点睛】本题主要考查正余弦定理解三角形，熟记公式即可，属于基础题型.18．已知数列{}n a 满足13a =-，且()*124n n a a n +=+∈N .（1）证明：{}4n a +是等比数列；（2）求{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）214nn S n =--.【解析】（1）对所给条件进行变形，并利用定义法证明{}4n a +是等比数列；（2）根据（1）的结论求解出{}n a 的通项公式，采用分组求和的方法即可求解出n S . 【详解】（1）由题易知140a +≠，且()12442442444n n n n n n a a a a a a +++++===+++，所以{}4n a +是等比数列.（2）由（1）可知{}4n a +是以141a +=为首项，2为公比的等比数列，所以142n n a -+=，所以124n n a -=-.所以()()()()011111122424242224421412n n n n n S n n n---=-+-++-=+++-=-=---. 【点睛】本题考查定义法证明等比数列、分组求和法求解数列前n 项和，难度一般.证明等差、等比数列常用的方法有：定义法、中项法.19．已知递增的等差数列{}n a 满足12a a +，41a a -，5a 成等比数列，且35a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2,1,2n n n b a n =⎧=⎨≥⎩求{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n S n =+.【解析】（1）先设{}n a 的公差为d ，由题中条件列出方程组求解，得出首项和公差，即可得出通项公式；（2）根据等差数列的求和公式，求出2n ≥时，21n S n =+，再验证1n =也满足该式，即可得出结果. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题中条件可得()()()1211254230a d a d a d d d +=⎧⎪++=⎨⎪>⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，∴()12121n a n n =+-=-；（2）当2n ≥时，()()222312212n n n a a n S a a a n +-=++++=+=+，当1n =时，2n S =，适合上式，综上所述，21n S n =+.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，考查等差数列的求和，涉及等比中项的应用，属于基础题型.20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a =，sin sin b A B +=，且B 为锐角. （1）求角B 的大小；（2）若AC，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π；（2）【解析】（1）根据正弦定理，以及题中条件，可先得到sin sin 2a B B +=，再由2a =，求出sin B =，进而可求出角B ；（2）根据题意，得到2BA BC +=222cos 28c a ac B ++=，求出4c =，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）由正弦定理可得sin sin b A a B=. 因为sin sin b A B +=，所以sin sin a B B +=，又2a =，所以sin B =.因为B 为锐角，所以3B π=；（2）由（1）得3B π=，又AC ，所以2BA BC +=所以22228BA BC BA BC ++⋅=，即222cos 28c a ac B ++=，所以2228c a ac ++=.又因为2a =，所以4c =或6c =-（舍）.所以ABC 的面积为1242⨯⨯=【点睛】本题主要由正余弦定理解三角形，考查求三角形的面积，涉及平面向量模的运算，属于常考题型.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，且对任意正整数n ，点()1,n n a S +都在直线320x y ++=上.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）()2nn a =-；（2）()12112939n n T n +⎛⎫=--+⋅- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由()1,n n a S +在320x y ++=上有递推式1320n n a S +++=，即可得12n n a a +=-，说明此等量关系在*n N ∈上都成立，则可求{}n a 的通项公式；（2）结合（1）知()2nn b n =-，利用错位相减法求{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）由点()1,n n a S +在直线320x y ++=上，有1320n n a S +++=，当2n ≥时，1320n n a S -++=，两式相减得11330n n n n a a S S +--+-=，即130n n n a a a +-+=，12n n a a +=-，又当1n =时，212132320a S a a ++=++=而24a =，解得12a =-，满足212a a =-，即{}n a 是首项12a =-，公比2q =-的等比数列， ∴{}n a 的通项公式为()2nn a =-.（2）由（1）知，()2nnb n=-，则()()()()()()231122232122n nnT n n-=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-，()()()()()()()2341 2122232122n nnT n n+-=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅-+⋅-.两式相减得()()()()231322222n nnT n+=-+-+-++--⋅-()()112223nnn++---=-⋅-()121233nn+⎛⎫=--+⋅-⎪⎝⎭所以()12112939nnT n+⎛⎫=--+⋅-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了应用n a与n S的递推关系求通项公式，由新数列与已知数列关系求通项，再利用错位相减法求前n项和.22．在平面四边形ABCD中，2DABπ∠=，3ADC ACBπ∠=∠=，2AB=.（1）若233BC=，求CAD∠的大小；（2）求边CD长度的最大值.【答案】（1）3π；（22343+.【解析】（1）在ABC中，由正弦定理，以及题中条件，求出1sin2CAB∠=，得出6CABπ∠=，即可求出CAD∠；（2）设02CAB παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，在ABC中，由正弦定理，得到23AC πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD △中，由正弦定理，得出42sin 233CD πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的性质，即可得出最值. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AB BCACB CAB=∠∠，因为2AB =，3ACB π∠=，BC =，所以1sin 2CAB ∠=.又因为0,2CAB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以6CAB π∠=. 又因为2DAB π∠=，所以3π∠=CAD .（2）设02CAB παα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则23ABC πα∠=-，2DAC πα∠=-. 在ABC 中，sin sin AB AC ACB ABC =∠∠，可得233AC πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD △中，sin sin CD ACDAC ADC=∠∠，可得2sin sin 8232sin cos sin 33sin3AC DAC CD ADC ππααπααπ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪∠⎛⎫⎝⎭⎝⎭===- ⎪∠⎝⎭42242sin sin 2sin 233333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 因为02πα<<，所以222333πππα-<-<，所以2sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的最小值为1-. 所以CD43. 【点睛】本题主要考查正弦定理在几何图形中的应用，涉及由求正弦型函数的最值，属于常考题型.。

2020-2021学年河南省高二(下)期末数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年河南省高二（下）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|3x−7>0}，B={x∈Z|(x−1)(x−6)<0}，则A∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 52.已知(3+2i)z=2+i3，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人，每人至少分得一本，则下列两个事件为互斥事件的是()A. 事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”B. 事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”C. 事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”D. 事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”4.下列结论判断正确的是()A. 垂直同一个平面的两条直线互相垂直B. 垂直于同一个平面的两个平面互相平行C. 过圆锥的底面圆周上一点可以引无数条母线D. 经过两条相交直线，有且只有一个平面5.若函数f(x)=sin(ωx−π6)(0<ω<4)的图象向左平移π3个单位长度后关于y轴对称；则ω=()A. 2B. 12C. 1D. 36.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休．在数学的学习和研究中，我们常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．函数f(x)=x 3−3xln|e x−e−x|的部分图象大致为()A. B.C. D.7.双曲线x22−y27=1的右焦点到直线ax+y−a−1=0的距离的最大值为()A. √3B. 2C. √5D. 38.运行如图所示的程序框图，输出的n的值为()A. 4B. 5C. 6D. 79.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1−cosθ为角θ的正矢，记作versinθ，定义1−sinθ为角θ的余矢，记作coversinθ.若coversinx−1versinx−1=2，则versin2x−coversin2x+1=()A. 25B. −125C. 125D. −2510.若a=log610，b=log35100，c=log3√10，则()A. a>c>bB. b>c>aC. a>b>cD. b>a>c11.在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，从该矩形内随机选取一点P，若P到四个顶点的距离都大于1的概率为p0，则圆周率π=()A. 12−12p0B. 12−4p0C. 48−48p0D. 48−12p012. 已知函数f(x)满足f(x)+2f(−1x)=mx 2−3x−2mx，若∀x ∈(2,+∞)，f(x)≤e x ，则m的取值范围为( )A. (−∞,e 2+12]B. (−∞,e 2+12)C. (e +1,+∞)D. [e +1,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(2,λ)与b ⃗ =(−3,1)垂直，则λ=______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =5，b =3√2，cosC =2√23，则sinB =______．15. 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年～前222年)，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器．如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥底面圆的直径和高均为4cm ，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的34(细管长度忽略不计)，若细沙的流速为每分钟1cm 3，则上部细沙全部流完的时间约为______分钟(结果精确到整数部分)；若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则该沙堆的高为______cm ．16. 已知P 为曲线C ：x =3√y 上一点，T(0,94)，A(3,3)，则|PT|+|PA|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某企业研制出一款疫苗后，招募了100名志愿者进行先期接种试验，其中50岁以下50人，50岁及以上50人．第一次接种后10天，该企业又对志愿者是否产生抗体进行检测，共发现75名志愿者产生了抗体，其中50岁以下的有45人产生了抗体．50岁以下 50岁及以上合计有抗体没有抗体合计填写上面的2×2列联表，并判断能否有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关．参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．P(K2≥k0)0.150.100.0500.0100.001 k0 2.072 2.706 3.841 6.63510.82818.在等差数列{a n}中，a10−a2=16，且a3=6．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=4a n，证明数列{b n}为等比数列，并求其前n项和S n．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，D为AB的中点，E为棱BB1上一点，且AE⊥A1C.(1)证明：平面AEC1⊥平面A1CD；(2)若AA1=6，AC⊥BC，且三棱柱ABC−A1B1C1外接球的半径为√17，求点E到平面A1BC1的距离．20. 已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆C 经过点A(−√3,√32)，B(1,32).(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设过点F(1,0)的直线l 与C 交于M ，N 两点，点Q 在x 轴上，且|MQ|=|NQ|，是否存在常数λ使|MN|=λ|QF|？如果存在，请求出λ；如果不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=2x −sinx +a(4−lnx)．(1)若a =0，求曲线y =f(x)在(π,f(π))处的切线方程．(2)若存在实数b ，使得g(x)=f(x)+b 有两个不同的零点m ，n(m >n)，证明：a >m−n lnmn．22. 在直角坐标系中，曲线C 的方程为x 2+y 2=9，曲线C 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的13，得到曲线C′，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=π6(ρ≥0)，l 与曲线C ，C′分别交于A ，B 两点． (1)求曲线C′的直角坐标方程和极坐标方程； (2)求|AB|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|x−3|．(1)求不等式f(x)<3x−1的解集．(2)函数f(x)的最小值为实数m，若三个实数a，b，c，满足a+2b+3c=m.证明：(2b+3c)2+(a+b+3c)2+(a+2b+2c)2≥200．7答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x>73}，B={x∈Z|1<x<6}={2,3，4，5}，∴A∩B={3,4，5}，故A∩B中元素的的个数为3．故选：B．可求出集合A，B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而可得出A∩B中元素的个数．本题考查集合的运算与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵(3+2i)z=2+i3，∴z=2+i33+2i =2−i3+2i=(2−i)(3−2i)13=413−713i，∴复数z在复平面内对应的点(413,−713)位于第四象限．故选：D．根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何含义，即可求解．本题考查了复数的几何含义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人，每人至少分得一本，对于A，事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”能同时发生，不为互斥事件，故A 错误；对于B，事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《西游记》”能同时发生，不为互斥事件，故B错误；对于C，事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”不能同时发生，是互斥事件，故C 正确；对于D，事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”能同时发生，不为互斥事件，故D错误．故选：C．利用互斥事件的定义，分别判断各选项即可．本题考查命题真假的判断，互斥事件的定义等基础知识，是基础题．4.【答案】D【解析】解：对于A，垂直同一个平面的两条直线互相平行，故A错误；对于B，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故B错误；对于C，过圆锥的底面圆周上一点可以引一条母线，故C错误；对于D，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故D正确．故选：D．利用平面的基本性质及推论进行判断．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．5.【答案】A【解析】解：把函数f(x)=sin(ωx−π6)(0<ω<4)的图象向左平移π3个单位长度后，可得y=sin(ωx+ωπ3−π6)(0<ω<4)的图象，由于所得图象关于y轴对称，∴ωπ3−π6=kπ+π2，即ω=3k+2，k∈Z，令k=0，则ω=2，故选：A．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ω的值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：函数f(x)=x 3−3xln|e x−e−x|，因为奇函数y=e x−e−x在R上是单调递增函数，且y∈R，所以当x→0且x>0时，ln|e x−e−x|<0，x3−3x=x(x2−3)<0，则f(x)>0，故选项C，D错误；又当x=0时，函数f(x)无意义，故选项A错误．故选：B．利用函数y=e x−e−x的奇偶性与单调性，通过判断当x→0且x>0时，f(x)>0，即可排除选项C，D，又x=0时函数无意义，即可排除选项A，从而得到答案．本题考查了函数图象的识别，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：双曲线x22−y27=1的右焦点为F(3,0)，直线ax+y−a−1=0过定点M(1,1)，所以双曲线x22−y27=1的右焦点到直线ax+y−a−1=0的距离的最大值为线段MF的长，即最大值为√(3−1)2+(0−1)2=√5，故选：C．利用直线ax+y−a−1=0过定点M(1,1)，即可得双曲线x22−y27=1的右焦点到直线ax+y−a−1=0的距离的最大值为M到焦点距离．本题考查了双曲线的性质，动直线过定点问题，考查了转化思想，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由程序图可得，第一次循环，当n=2，M=12，N=4，M>N，第二次循环，当n=3，M=34，N=16，M>N，第三次循环，当n=4，M=78，N=64，M>N，第四次循环，当n=5，M=166，N=4256，M<N，输出n=5．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】C【解析】解：因为coversinx−1versinx−1=1−sinx−11−cosx−1=tanx=2，所以versin2x−coversin2x+1=sin2x−cos2x+1=2sinxcosx−cos2x+sin2xcos2x+sin2x+1=2tanx−1+tan2x 1+tan2x +1=2×2−1+221+22+1=125．故选：C．根据题中给出的新定义，利用二倍角公式以及同角三角函数即可求解．本题考查的是三角函数的新定义问题，试题以三角函数的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解三角函数的运算公式，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．10.【答案】D【解析】解：a=lg100lg35=2lg35，b=lg100lg35=2lg35，c=lg100lg81=2lg81，∵lg81>lg36>lg35>1，∴2lg35>2lg36>2lg81，∴b>a>c．故选：D．可得出a=2lg35,b=2lg36,c=2lg81，然后根据lg81>lg36>lg35>1即可得出a，b，c 的大小关系．本题考查了对数的换底公式，对数函数的单调性，考查计算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示，以每个顶点为圆心，1为半径作四个圆，由题意可得，当P取阴影部分时，点P到四个顶点的距离都大于1，所以p0=1−π×124×3=12−π12，所以π=12−12p0．故选：A．以每个顶点为圆心，1为半径作四个圆，当P取阴影部分时，点P到四个顶点的距离都大于1，由几何概型的概率公式，将问题转化为面积的比值，列式求解即可．本题考查了几何概型问题，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积的比值进行求解，考查了逻辑推理能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵f(x)+2f(−1x )=mx2−3x−2mx①，∴f(−1x )+2f(x)=2mx2−3x−mx②，由①②可得：f(x)=mx−1，由f(x)≤e x，得m≤e xx +1x，令g(x)=e xx +1x，则g′(x)=ex(x−1)−1x2，∵x∈(2,+∞)，∴g′(x)>0，∴g(x)在(2,+∞)上单调递增，∴g(x)>g(2)=e2+12，∴m≤e2+12，故选：A．求出f(x)=mx−1，由f(x)≤e x，得m≤e xx +1x，令g(x)=exx+1x，求出函数的导数，根据函数的单调性求出m的取值范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，是中档题．13.【答案】6【解析】解：根据题意，因为向量a ⃗ =(2,λ)与b ⃗ =(−3,1)垂直，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =2×(−3)+λ=0，解可得：λ=6，故答案为：6．根据题意，由向量垂直的判断方法可得a ⃗ ⋅b ⃗ =2×(−3)+λ=0，解可得λ的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．14.【答案】√63【解析】解：由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab，所以2√23=2√2)222×5×32，解得c =√3，因为cosC =2√23，所以sinC =√1−cos 2C =1−(2√23)=13，由正弦定理可得c sinC =bsinB ，所以√313=3√2sinB ，所以sinB =√63，故答案为：√63．由余弦定理解得c =√3，由cosC =2√23，解得sin C ，由正弦定理可得答案．本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．15.【答案】7 2716【解析】解：由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=34×4=3，底面圆的半径r=34×2=32，故细沙的体积V=13πr2H=13π⋅(32)2⋅3=94π≈94×3.14=7.065≈7cm3，又细沙的流速为每分钟1cm3，∴上部细沙全部流完的时间约为7分钟；当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为2，设高为H′，则13π⋅22⋅H′=9π4，解得H′=2716，故此锥形沙堆的高为2716cm．故答案为：7；2716．由题意，利用圆锥的体积公式求得细沙的体积，除以流速得时间，结合体积相等列出等式，求解即可得到沙堆的高．本题考查了圆锥体积的计算与应用，其中解答中熟练应用圆锥的体积公式求得几何体的体积，利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题．16.【答案】214【解析】解：由题意知，曲线C是抛物线x2=9y的右半部分且T(0,94)是焦点因为P为曲线C上一点，若P到准线y=−94的距离为d，则d=|PT|，所以|PT|+|PA|=d+|PA|，要使其值最小，则d+|PA|即为点A到准线y=−94的距离，所以|PT|+|PA|的最小值为3+94=214，故答案为：214．利用抛物线的定义可知|PT|等于P到准线y=−94的距离为d，则|PT|+|PA|最小值为A到准线y=−94的距离，即可求出|PT|+|PA|的最小值．本题考查抛物线的定义，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．17.【答案】解：由题目所给的数据，可得2×2列联表如下：50岁以下 50岁及以上合计有抗体 45 30 75没有抗体 5 20 25合计 50 50100∵K2=100×(45×20−30×5)275×25×50×50=12>10.828，∴有99.9%的把握认为该款疫苗是否产生抗体与接种者年龄有关．【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，属于基础题．18.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a10−a2=16，且a3=6，可得8d=16，a1+2d=6，解得a1=d=2，所以a n=2+2(n−1)=2n；(2)证明：b n=4a n=16n，b n+1b n=16，所以数列{b n}为首项、公比均为16的等比数列，则S n=16(1−16n)1−16=16n+1−1615．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；(2)求得b n，由等比数列的定义可得数列{b n}为等比数列，再由等比数列的求和公式可得S n．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：因为D为AB的中点，AC=BC，所以CD⊥AB，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，则AA1⊥CD，因为AB∩AA1=A，所以CD⊥平面ABB1A1，又AE ⊥A 1C ，CD ∩A 1C =C ，所以AE ⊥平面A 1CD ，因为AE ⊂平面AEC 1，所以平面AEC 1⊥平面A 1CD ．(2)解：如图，取A 1B 的中点O ，连接OD ，因为AC ⊥BC ，AA 1⊥底面ABC ，所以O 为三棱柱ABC −A 1B 1C 1外接球的球心，因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1外接球的半径为√17，所以(√22(62)=√17，解得AC =4，由(1)知，AE ⊥平面A 1CD ，因为A 1D ⊂平面A 1CD ，所以AE ⊥A 1D ，所以△ABE∽△A 1AD ，则A 1A AD=AB BE，所以BE =AB×AD A 1A=83，易证A 1C 1⊥BC 1，则△A 1C 1B 的面积为12×4×√42+62=4√13， △A 1BE 的面积为12×4√2×83=16√23，设点E 到平面A 1BC 1的距离为h ，则由V E−A 1BC 1=V C 1−A 1BC ，得13×4√13ℎ=13×16√23×2√2，解得ℎ=16√1339．【解析】(1)由已知证明CD ⊥AB.再证明AA 1⊥CD ，可得CD ⊥平面ABB 1A 1.得到CD ⊥AE.结合已知及直线与平面垂直的判定可得AE ⊥平面A 1CD ，再由面面垂直的判定定理即可得证；(2)利用等体积法即可求得点E 到平面A 1BC 1的距离．本题主要考查面面垂直的判定，利用等体积法求距离，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2m+y 2n=1(m >0,n >0,m ≠n)，把点A(−√3,√32)，B(1,−32)代入椭圆方程可得{3m+34n =11m +94n =1，解得m =4，n =3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立{y =k(x −1)3x 2+4y 2−12=0，整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=8k 24k +3，x 1x 2=4k 2−124k +3，所以|MN|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12(1+k 2)4k 2+3，因为y 1+y 2=k(x 1+x 2−2)=k(8k 24k 2+3−2)=−6k4k 2+3，所以线段MN 的中点坐标为(4k 24k 2+3,−3k4k 2+3)，因为点Q 在x 轴上，且|MQ|=|NQ|，所以Q 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，当k =0时，|MN|=4，|QF|=1，则|MN|=4|QF|，当k ≠0时，线段MN 的垂直平分线方程为y +3k 4k 2+3=−1k (x −4k 24k 2+3)，令y =0，得x =k 24k 2+3，即Q(k 24k 2+3,0)，所以|QF|=|1−k 24k 2+3|=3(k 2+1)4k 2+3，所以|MN|=4|QF|，当直线l 的斜率不存在时，|MN|=2b 2a=3．所以Q(14,0)或Q(74,0)，满足|MN|=4|QF|，综上所述，存在实数λ=4满足题意．【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2m+y 2n=1(m >0,n >0,m ≠n)，把点A(−√3,√32)，B(1,−32)代入椭圆方程，可得关于m ，n 的方程组，解得m ，n ，即可得出答案． (2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k(x −1)，联立椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由弦长公式可得|MN|，写出线段MN 的中点坐标，由点Q 在x 轴上，且|MQ|=|NQ|，推出Q 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，分两种情况：当k =0时，当k ≠0时，分析|MN|=λ|QF|，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=2x −sinx ，f′(x)=2−cosx ，故切线方程为：y −2π=3(x −π)，即3x −y −π=0；(2)证明：若g(x)=f(x)+b 有2个不同的零点m ，n ，则2m −alnm −sinm =2n −alnn −sinn ，故a(lnm −lnn)=2(m −n)−(sinm −sinn)，令ℎ(x)=x −sinx ，则ℎ′(x)=1−cosx ≥0，故ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，∵m >n >0，∴ℎ(m)>ℎ(n)，∴m −sinm >n −sinn ， ∴−(sinm −sinn)>n −m ，∵2(m −n)−(sinm −sinn)>2(m −n)+(n −m)=m −n ， ∴a(lnm −lnn)>m −n ，即a >m−n lnm n．【解析】(1)代入a 的值，求出函数的导数，计算f(π)，f′(π)，求出切线方程即可； (2)a(lnm −lnn)=2(m −n)−(sinm −sinn)，令ℎ(x)=x −sinx ，根据函数的单调性求出−(sinm −sinn)>n −m ，求出a(lnm −lnn)>m −n ，证明结论成立即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是中档题．22.【答案】解：(1)将曲线C 上所有点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的13，得到曲线C′：x 2+(3y)2=9，即x 29+y 2=1．把{x =ρcosθy =ρsinθ代入得ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=9，即ρ2=9cos 2θ+9sin 2θ；(2)设A(ρA ,π6)，B(ρB ,π6)，曲线C ：x 2+y 2=9的极坐标方程为ρ=3．则ρA =3，ρB =√9cos 2π6+9sin 2π6=√3．∴|AB|=|ρA −ρB |=3−√3．【解析】(1)直接由伸缩变换求得曲线C′的直角坐标方程，结合极坐标与直角坐标的互(2)把θ=π6分别代入曲线C ，C′的极坐标方程，求出A ，B 对应的极径，作差得答案．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】解：(1)∵f(x)<3x −1，∴{x <−1−(x +1)−(x −3)<3x −1 或{−1≤x ≤3(x +1)−(x −3)<3x −1 或{x >3(x +1)+(x −3)<3x −1，解得x ∉⌀或53<x ≤3 或x >3，故原不等式的解集为{x|x >53}.(2)证明：∵f(x)=|x +1|+|x −3|≥|x +1−x +3|=4， ∴m =4，∵a +2b +3c =4，∴(2b +3c)2+(a +b +3c)2+(a +2b +2c)2=(4−a)2+(4−b)2+(4−c)2， ∵[(4−a)2+(4−b)2+(4−c)2](12+22+32)≥[(4−a)×1+(4−b)×2+(4−c)×3]2=(24−a −2b −3c)2=400，当且仅当4−a =4−b 2=4−c 3，即a =187，b =87，c =−27时等号成立， ∴(2b +3c)2+(a +b +3c)2+(a +2b +2c)2≥2007，即得证．【解析】(1)根据已知条件，分x <−1，−1≤x ≤3，x >3三种情况讨论，并求其并集，即可求解．(2)根据已知条件，结合柯西不等式，即可求证．本题主要考查绝对值不等式的求解，以及柯西不等式的使用，属于基础题．。