线性代数3 n维向量与向量空间

同样可以得到,定理对其它两种初等行变换也成立 同样可以得到,定理对其它两种初等行变换也成立. 类似的,可以得到初等列变换的情形 类似的,可以得到初等列变换的情形.
例2
例3
1 0 0 a1 a 2 a1 a 2 0 0 1 b1 b2 = c1 c 2 0 1 0 c c b1 b2 2 1 1 0 k a1 a 2 a1 + kc1 a 2 + kc 2 b2 0 1 0 b1 b2 = b1 0 0 1 c c c c2 2 1 1
0 0 1 1 0 1 0 , 0 1 0 0 0 也都是初等矩阵, 也都是初等矩阵,由于 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 1 2
1 ×② ,③+5② 3
1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 1 3
r2 2 r1 , r3 2 r1
1 1 2 1 0 3 3 3 0 5 5 5
1 × r2 , r3 3
+ 5 r2
x1 + x 2 2 x 3 = 1 x2 x3 = 1 0=0
定理5 阶矩阵, 定理 设 A 为 n 阶矩阵 则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是 存在有限个初等矩阵 P1 , P2 , … , Pk ,使 A = P1P2 … Pk . 等价) 推论 矩阵 A ～ B ( A 与 B 等价)的充要条件是存在可逆矩 矩阵 P 和 Q 使 PAQ = B . 用初等变换求矩阵的逆矩阵 为可逆矩阵, 据定理5, 设 A 为可逆矩阵 据定理 ,有初等矩阵 P1 , P2 , … , Pk , 使 A = P1P2 … Pk . 于是有 还有
a1 b1 c 1
a1 b1 c 1
a2 1 b2 0 c2 a2 1 b2 0 c 2
0 k
k 1
a1 = b1 c 1
a1 = b1 c 1
ka 2 kb2 k ≠ 0 kc 2
ka1 + a 2 kb1 + b2 kc1 + c 2
所以
例1 矩阵
1 1 0 1 ,
0 1 = 1 0 1 1 = 1 0
2 0 0 1
1
0 , 1 0 , 1
1 =2 0 0 , 1 1 1 0 1
1
0 1 1 0
1
0 1 = 1 0 ,
1 1 = 0 1 .
1 1 2 1 0 1 1 1 0 0 0 0
下述三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义 1 下述三种变换称为矩阵的初等行变换 1.对调两行 对调两行; 对调两行 2.以非零数乘某行的所有元素 乘某行的所有元素; 以非零数乘某行的所有元素 3.把矩阵某行的所有元素的 k 倍加到另一行的对应元素上去 把矩阵某行的所有元素的 倍加到另一行的对应元素上去. 初等列变换. 初等变换. 初等列变换 初等变换 等价. 如果矩阵 A 经初等变换得到矩阵 B , 那么称矩阵 A 与 B 等价 记为 A～B . ～ 下述形状的矩阵叫做行阶梯形矩阵 下述形状的矩阵叫做行阶梯形矩阵
1 O 1 0 1 1 E (i , j ) A = O 1 1 0 1 O 1
a 1 a1 M M M M a i a j ← 第 i行 M M = M M a j a i ← 第 j行 M M M M a a m m
初等行变换求逆矩阵
( A, E ) → E,A ) (
初等行变换
1
1 2 3 例 4 求矩阵 A = 1 3 4 的逆矩阵 . 1 4 4
解:
1 2 3 (A E) = 1 3 4 1 4 4
r2 r1 1 2 3 r3 r1 0 1 1 0 2 1 ～
1 0 0 0 1 0 0 0 1
初等矩阵是可逆矩阵, 初等矩阵是可逆矩阵,且其逆矩阵是同类型的初等矩阵
由于
E (i , j ) E (i , j ) =
1 O 1 0 1 1 O 1 1 0 1 O 1
1 O 1 0 1 1 O 1 1 0 1 O 1
0 1 A= 2 1 3 1 1 4 0 5 0 7
1 0 0 0 0 1 0 0
2 1 4 1 3 1 2 6 7 1 3 8 1 1 1 3 r3 5 0 2 1 r4 + 7 r3 0 0 0 ～ 0 0 0
7 2 1 2 0 0 0 0 1 0
1 = E i . k
由于
E (i , j (c ))E (i , j ( c ) )
1 1 O O 1 c 1 c = O O = E. 1 1 O O 1 1
因此, 因此, 1 E (i , j (c )) = E (i , j ( c )) .
定理4 对矩阵 A 施行一次初等行(列)变换相当于以相应 施行一次初等行( 定理 的初等矩阵左( 的初等矩阵左(右)乘 A. 矩阵,记 证明 设 A 是 m×n 矩阵 记
a1 M a i A= M aj M am
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中a 其中 1 , … , ai , … , aj ,… , am 分别是 A 的第 1, … , i , … , j , …, m 行.用初等矩阵 E( i , j ) 左乘矩阵 A ,得 用初等矩阵 得
0 1 1 1 2 2 3 1 1 0 0 0 3 3 , 0 1 0 1 , 0 0 0 3 0 0 0 0 1 0
2 1 0 3 0 1 2 0 . 0 0 0 3 0 0 0 0
任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵. 任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行阶梯形矩阵
1 4 1 0
1 0 0 0
0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3
1 r2 2 r1 r2
～
§2 初等矩阵
定义4 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 定义 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵有三种: 初等矩阵有三种:
1 O 1 0 1 ← 第i 行 1 ri r j O E ～ E (i , j ) = 1 ←第 j行 1 0 1 O 1
1 O 1 kri E ～ E (i ( k )) = k ← 第i 行, k ≠ 0 1 O 1
1 O ← 第i 行 ri + cr j 1 c E ～ E (i , j (c )) = O 1 ←第 j行 O 1
0 1 2 0 1 0 , 0 1 , 都是初等矩阵, 都是初等矩阵, 且有 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 = 0 1 , 2 0 1 / 2 0 1 0 1 1 1 0 1 0
例2
再作初等行变换 B1 又可以变为 1 1 1 2 ( 1 ) r , r r 3 2 1 2 B1 = 0 0 3 3 ～ 0 0 0 0 行最简形矩阵. 称 B2 为行最简形矩阵
1 1 0 3 0 0 1 1 = B2 0 0 0 0
任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行最简形矩阵. 任何矩阵总可以经过有限次初等行变换把它变成行最简形矩阵 对B2 再作初等列变换又可得 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 任何 m×n 矩阵 A 都可经过初等变换化为形如
所以
0 0 0 1 0 1 0 = 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 2 0 = 0 0 0 1 0
1
1 0 0 0 1 0 2 0 1
一般的有
1
0 1 1 0 , 0 0 0 0 1 0 , 2 0 1 1 0 0 = 0 1 0 . 2 0 1
1 2 ×③
2 1 1 1 1 1 2 1 4 6 2 6 1 r1 r2 , × r3 2
x1 + x 2 2 x 3 = 1 2 x 1 x 2 x 3 = 1 2 x 3 x + x = 3 2 3 1
② 2①, ③ 2①
x1 + x 2 2 x 3 = 1 3 x 2 + 3 x 3 = 3 5 x + 5 x = 5 2 3
0 2 0 , 0 1 0
1 0 0 0 1 0 2 0 1
0 0 , 1 0 0 1 0 , 0 1
1 1 0 0 = 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 = 0 2 0 1 0 0 0 1 1 0 = 0 0 1 0
0 0 1 0 . 0 1
Er F = O
O O m ×n
的矩阵. 称矩阵F 为 A 的标准形 标准形. 的矩阵. 称矩阵
例3
用初等行变换将矩阵
变成行最简形矩阵. 变成行最简形矩阵
1 解: r1 r2 , 0 A r3 2 r1 , r4 + r1 0 ～ 0
r2 4 r3 r1 r3
1 2 0 0
= E. 因此, 因此,
E (i , j ) = E (i , j ) .
1
由于
1 E (i ( k ))E i ( ) = k
1 O 1 k 因此, 因此,
E (i (k ))
1
1 O 1 1 = E. k 1 1 O O 1 1
用初等行变换把矩阵 2 2 1 7 A = 1 1 1 2 1 1 3 0 变成行阶梯形矩阵. 变成行阶梯形矩阵 解 1 1 1 2 r1 r2 r2 2 r1 , r3 r1 A ～ 2 2 1 7 ～ 1 1 3 0 2 r + 2 r 1 1 1 2 1 1 1 3 3 2 0 0 3 3 ～ 0 0 3 3 = B1 0 0 0 0 2 2 0 0 B1 是矩阵 A 经初等行变换得到的阶梯形矩阵 经初等行变换得到的阶梯形矩阵.
Pk1 LL P21 P11 A = E Pk1 LL P21 P11 E = A1 E )=( E
(1) (2 ) A 1 )
所以 Pk1 LL P21 P11 ( A
根据定理4可知 可知, 由(1)和(2)式,根据定理 可知,可逆矩阵 A 经一些初等 ) ) 行变换可化为 E , E 经同样一些初等行变换可变为 A1
第三章 矩阵的初等变换与 线性方程组
§1 矩阵的初等变换
用消元法解线性方程组,对方程组用到三种变换 用消元法解线性方程组,对方程组用到三种变换: 1. 互换两个方程; 互换两个方程; 2. 以非零数乘某个方程; 以非零数乘某个方程; 3. 一个方程的倍数加到另一个方程 一个方程的倍数加到另一个方程. 例 1 解线性方程组 2 x 1 x 2 x 3 = 1 x1 + x 2 2 x 3 = 1 4 x 6 x + 2 x = 6 2 3 1 ①←→② ,