06年数学分析和线代
200655104714983数学分析 试卷和答案
5.
四、应用题：利用定积分推导半径为R的球面的面积公式.（8分）
五、讨论下列反常积分级数的敛散性.（每小题4分，计12分）
Байду номын сангаас（1）讨论反常积分 的敛散性.
（2）讨论级数 的敛散性.
（3）讨论函数项级数 在 上一致收敛性.
六、求幂级数 的收敛域及和函数.（8分）
________________系______________班姓名_________________学号__________
-------------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线-------------------------------------------
1.
2.
3.
________________系______________班姓名_________________学号__________
-------------------------------------------------------密--------------------------------封--------------------------------线-------------------------------------------
8.函数列 在D上一致收敛于 的充分必要条件是________________________
____________________.
9.幂级数 的收敛半径R=______________.
10.函数 在 处的麦克劳林级数是___________________________________.
海事06年数学分析
大连海事大学2006年硕士研究生招生考试试题考试科目：数学分析适用专业：应用数学考生须知：１、所有答案必须写在答纸上，写在试题纸上无效；２、考生不得在答题上作与答题内容无关的标记，否则试卷作废。
一、求极限（15分）1. n n n )51(lim +∞→2. 728154lim 22++---∞→n n n n n二、证明（15分）若21=a ，n n a a 21=+， n=1，2，…， 则数列{n a }收敛，并求其极限。
三、证明（15分）若)(x f 在(a,b )上连续，单调，有界，则函数)(x f 在(a,b )上一致连续。
四、证明（15分）证明拉格朗日中值定理。
五、求极限（15分）)121(lim 222nn n n n -+++∞→六、证明（15分）若∑∞=1)(n n x u 的一般项满足)()(x c x u n n ≤，而∑∞=1)(n n x c 在X 上一致收敛，则∑∞=1)(n n x u 在X 上亦一致收敛，且绝对收敛。
七、证明（15分） 设000),(222222≠+⎪⎩⎪⎨⎧=++=y x y x y x xy y x f ，，，证明，),(y x f 在（0，0）点的邻域中连续，),(),(y x f y x f y x ，有界，但在 （0，0）点不可微。
八、证明（15分）由方程0)(11=++--zx y zy x F ，所确定的隐函数)(y x z z ，=，满足方程xy z yz y x z x-=∂∂+∂∂。
九、证明（15分）若),(y x f 与),(y x g 在有界闭区域R 上连续，且),(y x g ≥0，则存在R ∈),(ηξ，使得⎰⎰⎰⎰=R R dxdy y x g f dxdy y x g y x f ),(),(),(),(ηξ。
十、（15分）求级数∑∞=1!n nn x 的和。
范文：高考卷06届年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国Ⅱ.理)含详解
高考卷,06届,年普通高等学校招生全国统一考试,数学（全国Ⅱ.理）含详解2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的答案无效．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)S＝4πR2如果事件A、B 相互独立，那么其中R表示球的半径P(AB)＝P(A)P(B)球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P，那么V＝πR2n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P(k)＝Pk(1－P)n－k本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．第Ⅰ卷（选择题共30分）一、选择题（1）已知集合M＝｛x|x＜3｝，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（A）（B）｛x|0＜x＜3｝（C）｛x|1＜x＜3｝（D）｛x|2＜x＜3｝（2）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是（A）2π（B）4π（C）（D）（3）＝（A）i（B）－i（C）（D）－(4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（A）(B)(C)(D)(5)已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（A）2（B）6（C）4（D）12（6）函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为（A）y＝ex＋1(x∈R)（B）y＝ex－1(x∈R)（C）y＝ex＋1(x＞1)(D)y＝ex－1(x＞1)αβABA′B′（7）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝（A）2∶1（B）3∶1（C）3∶2（D）4∶3（8）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为(A)f(x)＝(x＞0)(B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)(C)f(x)＝－log2x(x＞0)(D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)（9）已知双曲线的一条渐近线方程为y ＝x，则双曲线的离心率为（A）(B)(C)(D)(10)若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝（A）3－cos2x（B）3－sin2x（C）3＋cos2x（D）3＋sin2x（11）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝（A）（B）（C）（D）（12）函数f(x)＝的最小值为（A）190（B）171（C）90（D）45绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅱ卷（本卷共10小题，共90分）注意事项：1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上．2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡上．（13）在(x4＋)10的展开式中常数项是（用数字作答）（14）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．（15）过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝．（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出人．0.00010.00020.00030.00040.00051000150020002500300035004000月收入(元)频率/组距三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．（18）（本小题满分12分）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．（19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．ABCDEA1B1C1（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．（20）（本小题满分12分）设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．（21）（本小题满分14分）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．（Ⅰ）证明·为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式．2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修＋选修Ⅱ）参考答案和评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数—选择题和填空题不给中间分．一、选择题⑴D⑵D⑶A⑷A⑸C⑹B⑺A⑻D⑼A⑽C⑾A⑿C二、填空题⒀45⒁⒂⒃25三、解答题17．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……………2分由此得tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以θ＝－；………………4分（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得｜a＋b｜＝＝＝，………………10分当sin(θ＋)＝1时，|a＋b|取得最大值，即当θ＝时，|a＋b|最大值为＋1．……12分18．解：（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3．P(ξ＝0)＝·＝＝P(ξ＝1)＝·＋·＝P(ξ＝2)＝·＋·＝P(ξ＝3)＝·＝．………………8分ξ的分布列为ξ0123P数学期望为Eξ＝1.2．(Ⅱ)所求的概率为p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝……………12分19．解法一：ABCDEA1B1C1OF（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．……2分∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，t an∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．所以二面角A1－AD－C1为60°．………12分解法二：（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)．……3分ABCDEA1B1C1Ozxy＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．·＝0，∴ED⊥BB1．又＝(－2a，0，2c)，·＝0，∴ED⊥AC1，……6分所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴BC⊥平面A1AD．又E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，∴EC⊥面C1AD．……10分cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．所以二面角A1－AD－C1为60°．………12分20．解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……5分(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．……9分(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．……12分解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．……3分对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……6分当x＞ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，……9分所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．……12分21．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，即得(－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得y1＝λ2y2③解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)．……4分所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0所以·为定值，其值为0．……7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|．|FM|＝＝＝＝＝＋．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．于是S＝|AB||FM|＝(＋)3，由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．22．解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．当n＝2时，x2－a2x －a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝．(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．由①可得S3＝．由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．……8分下面用数学归纳法证明这个结论．(i)n＝1时已知结论成立．(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．……10分于是当n≥2时，an ＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1时，a1＝＝，所以｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…．……12分2006高考数学试题全国II卷理科试题本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。
2006数学二--考研数学真题详解
一、填空题：每小题 4 分，共 24 分
（1）曲线 y = x + 4 sin x 的水平渐近线方程为 y = 1
5x − 2 cos x
5
1 + 4sin x
【解析与点评】 lim y = lim
x
=1
x →∞
x→∞ 5 − 2 cos x 5
x
渐近线问题的实质是极限问题，参见水木艾迪 2006 考研数学百分训练营模拟试题数二
的积分次序即得。参见水木艾迪 2006 考研数学强化班第十一讲例 6，例 13 等题目。
（12）设 f (x, y) 与ϕ(x, y) 均为可微函数，且ϕ ′(x, y) ≠ 0 . 已知 (x0 , y0 ) 是 f (x, y) 在约
束条件ϕ (x, y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是【 D 】
当
f x′(x0 ,
y 0）≠
0
时，加上
ϕ
′ y
(
x0
,
y0 )
≠
0
,可推出
f y′( x0,
y0
)
⋅
ϕ
′
x
(
x0
,
y0 )
≠
0
，由此可推
出: f y′ (x0 , y0 ) ≠ 0 。
【解法 2】由极值点必要条件得到
dz dx
x0
=
f x (x0 , y0 ) +
f y (x0 , y0 ) y′ x=x0
【解析与点评】因为 f ′(x) > 0, 则f (x) 严格单调增加， f ′′(x) > 0, 则f (x) 为凹
又 ∆x > 0 ，故 0 < dy < ∆y 。或直接划草图更为直观。
(整理)2006年全国硕士研究生入学考试 爱问知识人.
2006年全国硕士研究生入学考试数学四考试大纲考试科目微积分、线性代数、概率论微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、隐函数分段函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题的函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。
2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解隐函数及反函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
5、了解数列极限和函数极限（包括坐极限和右极限）的概念。
6、理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其无穷小的关系。
7、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。
8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
9. 了解连续函数的性质合初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质二、一元函数微分学考试内容导数的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的导数高阶导数微分的概念和运算法则一阶微分形式的不变性罗尔定理和拉格郎日中值定理及其应用洛必达（L’Hospital）法则函数单调性函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值和最小值考试要求1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念）。
河北大学2006年数学分析
河北大学2006年数学分析一、（10分）已知,1(),1x x f x a x <⎧=⎨≥⎩，,0()2,0b x g x x x <⎧=⎨+≥⎩，其中a ，b 为常数，写出[]()f g x 的表达式.二、（15分）求极限11112lim nxx x x n x a a a n →∞⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .（0i a >，1,2,i = ） 三、（15分）设()y f x =为定义在(),-∞+∞上的已知可导函数且对任意实数a ，b 均满足()()()a b f a b e f b e f a +=+，又已知(0)f e '=，求()f x '的表达式（不必求出()f x 的表达式）.四、（15分）假设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0f x '≤. 记1()()x a F x f t dt x a=-⎰，证明：在(),a b 内，()0F x '≤. 五、（15分）设有两条抛物线21y nx n =+和21(1)1y n x n =+++，记它们交点的横坐标的绝对值为n a .（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积n s ；（2）求级数1n n n s a ∞=∑的和. 六、（15分）设闭曲线C 是由抛物线21y x =-（12x -≤≤）和连接两点(1,0)A -与(2,3)B 的线段所组成，计算曲线积分（取正向）22C ydx xdy I x y -+=+⎰.七、（15分）设z 为,x y 的可微函数，试将222z z x y z x y ∂∂+=∂∂变换成(,)w w u v =的方程，假设x u =，1u y uv =+，1u z uw=+. 八、（15分）若1lnlim ln n n u q n →∞=存在，则级数1n n u ∞=∑（0n u >）当1q >时收敛. 九、（20分）设有幂级数2112()nn n x n n ∞=+∑，求（1）收敛半径及收敛域；（2）和函数在收敛区间内的导函数.十、（15分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221z x y =--（0z ≥）的上侧.。
2006年山东科技大学312数学分析与线性代数试题
312数学分析与线性代数一．（每小题5分，共20分）求极限：1．)1(lim n n n n -+∞→， 2．3e lim x x n ∞→3．xx x )11(lim 0++→ 4．)tan (sec lim 2x x t -→π 二．（10分）设函数)(x f 在],[b a 上可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得)()()]()([ 222ξξf a b a f b f '-=-．三．（10分）设),,(y x x f z = 求y x zxz ∂∂∂∂∂222 ,．四．（5分）已知：x y y x arctanln 22=+，求：dxdy． 五．（15分）求摆线 )sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=)0(>a ，一拱的长． 六．（15分）计算⎰⎰⎰Vzdxdydz ，其中 1a :222222≤++cz b y x V ． 七．（15分）求微分方程x xe y y y 265=+'-''的通解．八．（10分）设) ,()(∞+-∞∈C x f ，且)(lim x f x +∞→与)(lim x f x -∞→都存在，证明)(x f 在) ,(∞+-∞上一致连续．九．（每题5分，共10分）设三阶方阵A 按列分块为),,(321ααα=A ，若A 的行列式为2||-=A , 记)2,,(123ααα=B ，*A 为A 的伴随矩阵，1A -为A 的逆矩阵，求：(1) |)B A (2|+；(2) |A A |1-*+十．（每题5分，共10分）设A 、B 分别为m 阶和n 阶可逆阵，(1) 求分块阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0B A 0的逆矩阵，其中0表示零分块矩阵； (2) 若0n 1i x i ≠=∏，求1n1n 2100x x 0000x 0000x 0--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡十一．（每题5分，共10分）设n m R A ⨯∈，证明： (1) )A (R )AA (R )A A (R T T ==， T A 为A 的转置矩阵； (2) 若A 为行满秩的，则T AA 为正定矩阵。
武汉大学2006年硕士入学考试试题-数学分析
武汉大学 2006年 数学分析试题 一、已知：21lim 31x x ax b x→++=−，求常数,.a b 二、已知：2111)221n n n x x +∞=−+∑，求其收敛域。
三、f 在[]0,1上可导，且(1)2(0)f f =，求证：(0,1)ξ∃∈，使得(1)()()f f ξξξ′+=。
四、已知()f x 在[]0,1上可导，(0)0,0()1f f x ′=<≤。
求证：112300(())()f x dx f x dx ≥∫∫。
五、已知f 在[,]a b 上单调递增，(),()f a a f b b ≥≤，求证：[,]a b ξ∃∈，使得 ()f ξξ=六、在过(0,0),(,0)O A π的曲线:sin (0)L y a x a =>中，求出使得3(1)(2)L y dx x y dy +++∫的值最小的。
七、求第二型曲面积分32222()S xdydz ydzdx zdxdy I x y z ++=++∫∫，S 为椭圆2222221x y z a b c++=的外侧 八、求证0sin xy x e dx x y+∞−+∫在[]0,1上一致收敛。
九、已知方程2cos()0x y xy +−=(1)研究上述方程并说明它在什么时候可以在点(0,1)附近确定函数()y y x =，且(0)1y =。
(2)研究函数()y y x =在点(0,1)附近的可微性。
(3)研究函数 ()y y x =在点(0,1)附近的单调性。
(4) 试问上述方程在点(0,1)的充分小邻域内可否确定函数(),(1)0x x y x ==？并说明理由。
06年考研数二真题及答案解析(word)
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则A dy dx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = .二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<<（D ）0.dy y <∆<【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()x f t dt ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-.（B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-【 】（10）函数212xxx y C e C e xe -=++满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe '''--= （B ）23.xy y y e '''--=（C ）23.xy y y xe '''+-=（D ）23.xy y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）(,).xf x y dy ⎰⎰（B ）(,).f x y dy ⎰⎰（C ）(,).yf x y dx ⎰⎰（D ）(,).f x y dx ⎰⎰【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.【 】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.（C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】 （14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -=（C ）.T C P AP =（D ）.TC PAP =三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小。
大连理工大学2006年数学分析考研试题答案
所以 H ( x) 是递增的函数。当 x ∈[0,1] 时有： H ( x) ≥ H (o) = 0 综 上 可 以 得 到 ， 当 x ∈[0,1] 时 F '( x) ≥ 0 所 以 F (1) ≥ F (0) = 0 即 ： 成立。■ 六．证：分两种情况讨论： 1）当 x ∈ (0,1) 时， ∫ t f (t )dt 的一致收敛性。 由于 λ ∈[a, b] ， t 关于 t 是单调的，以及 ∀t ∈ (0,1] 有 t
n −1 − n )xn
的收敛范围. 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等
7. 设函数 f ( x) = π − x, x ∈ (0, π ) ,将 f ( x) 展成正弦级数. 8. 试证曲面 于 a.
0
x + y + z = a (a > 0)
9. 计算积分 ∫ dx ∫
1
x
x
sin y dy . y
1 1 1 ≤ + (1 + ) 2 x '− x '' = L x '− x '' 2 (a + 1) a (a + 1)
在 [a, ∞) 上一致连续。 ■ 三．证： （用反证法）设 f ( x) 在 [ a, b ] 上无界，则对任意的 n ∈ N 存在 x ∈ [ a, b ] ，使得
2 2 2 2 1,2
=0
3
0
综上可以得到 f ( x, y) 在 x
2
+ y ≤1
2
的最大值为：
a + b + (a − c) 2 + 4b 2 2
最小值为：
a + b − (a − c) 2 + 4b 2 2
清华大学2006数学分析真题参考答案
清华大学2006数学分析真题参考答案1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++-（n=2,3,….）那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界，{}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε∀>∃>，使当n m N >>时，有n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-<，而1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-++-<，由柯西准则{}n x 收敛。
2．证：（反证法）（1）若存在123,,x x x I ∈，且123x x x <<使得123()()()f x f x f x <>，考虑1()f x 和3()f x 。
(i)若()132()()()f x f x f x <<，由于()f x 在12[,]x x 上连续，由介值定理，必存在412[,]x x x ∈，使43()()f x f x =，定与一一映射矛盾。
(ii)()312()()()f x f x f x <<，这时考虑23[,]x x ，必存在523[,]x x x ∈使得51()()f x f x =，也得到矛盾。
(2)若存在123,,x x x I ∈且123x x x <<，123()()()f x f x f x ><。
由介值定理，存在412[,]x x x ∈，523[,]x x x ∈，使得42()()f x f x =，也与一一映射矛盾。
∴f(x)在I 必严格单调。
3．证：设()f x 在(,)a b 内两个不同实根为12x x <，即12()()0f x f x ==。
考研数学-云大2006数学分析
云南大学2006年硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：数学分析
一、计算极限
1
、9lim ln n n n n →∞⎫+⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭， 2、设当0x →时，23013
x t x x e dt ---⎰与n x 是同阶无穷小量，求正整数n 的值。
二、已知f(x)的一个原函数为sin x x
，求3()x f x dx '⎰ 三、证明不等式()1ln 2,011x x x x
+><<- 四、设f(x)在[0,a]上有连续的导数，若f(0)= f(a)，求证：至少存在一点()0,a ξ∈，使得
()2()3(()0)f f f ξξξ'=-
五、求幂级数()
201n n n x ∞=+∑的收敛域、和函数，并求级数()()20112n n n n ∞=-+∑的和。
六、将函数()(50)f x x x =-≤≤展开成周期为10的正弦级数。
七、设u,v 为x,y 的隐函数，它们由方程组01xu yv yu xv +=⎧⎨
+=⎩确定，在点（1，0，0，1）处求 八、设()()()11[]22x at x at
u x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰，其中ϕ和ψ分别具有一、二阶连续偏导数，证明22222
0u u a t x ∂∂-=∂∂
九、计算积分D ，其中，D 是圆()2
211x y ++=与直线y x =-围成的小部分区域。
十、计算积分()()2212S
dydz x y dzdx x x z dxdy +-+-⎰⎰，其中，S 是曲面221z x y =++被平面z=2所截得的一块曲面的下侧。
清华大学2006年数学分析试题与解答
清华大学2006数学分析真题参考答案1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++- （n=2,3,….）那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界，{}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε∀>∃>，使当n m N >>时，有n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-< ，而1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-++-< ，由柯西准则{}n x 收敛。
2．证：（反证法）（1）若存在123,,x x x I ∈，且123x x x <<使得123()()()f x f x f x <>，考虑1()f x 和3()f x 。
(i)若()132()()()f x f x f x <<，由于()f x 在12[,]x x 上连续，由介值定理，必存在412[,]x x x ∈，使43()()f x f x =，定与一一映射矛盾。
(ii)()312()()()f x f x f x <<，这时考虑23[,]x x ，必存在523[,]x x x ∈使得51()()f x f x =，也得到矛盾。
(2)若存在123,,x x x I ∈且123x x x <<，123()()()f x f x f x ><。
由介值定理，存在412[,]x x x ∈，523[,]x x x ∈，使得42()()f x f x =，也与一一映射矛盾。
∴f(x)在I 必严格单调。
3．证：设()f x 在(,)a b 内两个不同实根为12x x <，即12()()0f x f x ==。
06年考研数四真题及答案解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学（四）一、填空 1．(1)1lim()nn n n-→∞+= 2．设函数()f x 在2x =的某邻域内可导，且()()(2)1f x f x e f '-⋅=，则法(2)f '=3．设函数()f u 可微，且1()2f u '=，则22(4)z f x y =-在点（1，2）处的全微分 (1,2)|dz =4．已知12,a a 为2维列向量，矩阵1212(2,)A a a a a =+-，12(,)B a a =。
若行列式||6A =，则||B =5．设矩阵2112A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B 。
6．设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[1,3]上的均匀分布，由{max(,)1}P x y ≤=二、选择7．设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x 为自变量x 在点0x 处的增量y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x > ，则（ ） （A ）0dy y << （B ）0y dy << （C ）0y dy <<（D ）0dy y <<8．设函数()f x 在0x =处连续，且220()lim 1n f n n→==，则（ ） （A ）(0)0f =且(0)f '存在 （B ）(0)1f =且(0)f '存在 （C ）(0)0f =且(0)f +'存在（D ）(0)1f =且(0)f +'存在9．设函数()f x 与()g x 在[0,1]上连续，且()()f x g x ≤，且对任何(0,1)C ∈（ ） （A ）1122()()c cf t dtg t dt ≥⎰⎰（B ）1122()()c cf t dtg t dt ≤⎰⎰（C ）11()()ccf t dtg t dt ≥⎰⎰（D ）11()()ccf t dtg t dt ≤⎰⎰10．设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解1()y x ，2()y x ，C 为任何常数，则该方程通解是（ ） （A ）12[()()]C y x y x - （B ）112()[()()]y x C y x y x +- （C ）12[()()]C y x y x +（D ）112()[()()]y x C y x y x ++11．设(,)f x y 与(,)G x y 均为可微函数，且(,)0G x y '≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0G x y =下的一个极值点。
福建师范大学2006年数学分析考研试题答案
x2
x
2. 设函数 f ( x) 连续，且 f ′(0) > 0 ，则存在 δ > 0 ，使得 （A） f ( x) 在 (0, δ ) 内单调增加 （B） f ( x) 在 (−δ , 0) 内单调减少 （C） 对任意的 x ∈ (0, δ ) ，有 f ( x) > f (0) （D） 对任意的 x ∈ (−δ , 0) ，有 f ( x) > f (0) 3.设 {an },{bn },{cn } 均为实数列，且 lim an = 0, lim bn = 1, lim cn = ∞ ，则必 n →∞ n →∞ n →∞ 有 （A） an < bn 对任意 n 成立 （C） {an cn } 存在有限的极限 （B） bn < cn 对任意 n 成立 （D） {bn cn } 不存在有限的极限
n =1 n =1 ∞ ∞
∑ (a − | b
k k =100
∞
k
|) 的敛
散性是 4.已知 f ′ ( e x ) = xe− x ，且 f (1) = 0 ，则 f ( x) = 5. 设 L 为正向 圆周 x 2 + y 2 = 2 在 第一 象限 中的 部分， 则曲 线积分
∫
L
xdy − 2 ydx 的值为
f ( x) > f (a ) = 0, x ∈ (a, b) .
x
…………….. 5 分
（2 ） 设 F ( x) = x 2 , G ( x) = ∫a f (t )dt , a ≤ x ≤ b ， 则 G′( x) = f ( x) > 0 .故 F ( x), G ( x) 满 足柯西中值定理的条件，于是在 (a, b) 内存在点 ξ ，使
华南理工大学2006年数学分析考研试题及解答
( ) f ′( x) = α
( ) xα −1 − 1− x α −1
，
f
′
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
=
0
，
当
1 2
≤
x
≤
1时，有
f
′
(
x)
≥
0，
f
(x)在
⎡ ⎢⎣
1 2
,1⎤⎥⎦
上单调递增；
当
0
≤
x
≤
1 2
时，有
f
′(x)
≤
0，
f
(
x)
在
⎡⎢⎣0,
1⎤ 2 ⎥⎦
上单调递减；
1
所以
f
(x)
在x
=
1 2
处达到最小值，
f
(x)
≥
f
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞⎟⎠.
故有
1 2α −1
≤ xα
+(1 − x)α
≤ 1.
（3）当 0 < α < 1时，对 0 ≤ x ≤ 1，显然有 xα + (1− x )α ≥ x + (1− x) = 1，
设 g ( x) = xα + (1− x)α ，
( ) g′( x) = α
bA y
a
∫ 于是，当η → 0+ ， A → +∞时， A f (ax) − f (bx)dx趋于 ( f (0) − f (+∞)) ln b ，
η
x
a
∫ 故
+∞ f (ax) − f (bx)
b
dx = ( f (0) − f (+∞)) ln