高二精选题库 数学8-6北师大版

第8模块 第6节
[知能演练]
一、选择题
1．椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为
3
2
，则m 的值为 ( )
A ．2或1
2
B ．2 C.1
4
或4
D.14
解析：∵x 2
＋my 2
＝1，即x 2
＋y 2
1m
＝1是椭圆，∴m >0.
当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝1，b 2＝1m ，c 2＝a 2－b 2＝1－1
m ，此时m >1，
由e ＝c
a
＝
c 2a 2
＝1－1m ＝3
2
⇒m ＝4； 当焦点在y 轴上时，a 2＝1m ，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝1
m －1，此时0<m <1，
由e ＝c
a ＝
c 2
a 2
＝1m －11m
＝32⇒m ＝1
4.故选C. 答案：C
2．动点P 为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F 1、F 2为椭圆的两个
焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的
( )
A ．椭圆
B ．双曲线的右支
C ．抛物线
D ．一条直线
解析：如右图所示，设三个切点分别为M 、N 、Q ， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝
|PF 1|＋|PM |＋|F 2N |＝|F 1M |＋|F 2N |＝|F 1N |＋|F 2N |＝|F 1F 2|＋2|F 2N |＝2a ，
∵|F 2N |＝a －c ，∴N 点是椭圆的右顶点，
∴CN ⊥x 轴，∴C 点轨迹为直线．
答案：D
3．以坐标轴为对称轴，离心率为
3
2
且经过点(2,0)的椭圆方程是 ( )
A.x 24
＋y 2
＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 216＋y 2
4
＝1 C.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24
＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 2
4
＝1 解析：由于椭圆的焦点位置不确定，从而分两种情况：(1)当焦点在x 轴时，设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
由⎩⎨⎧
b a
＝a 2－c 2
a 2＝1－c 2a
2＝1－(
32)2＝12
，22a 2
＋0
2b 2
＝1，
解得：⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1，(2)当焦点在y 轴时，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)，由
⎩⎨⎧
b a
＝a 2－c 2
a 2＝1－c 2a
2＝1－(
32)2＝12
，02a 2
＋2
2b 2
＝1，
解得：⎩
⎪⎨⎪⎧
b ＝2，
a ＝4，故选D.
答案：D
4．已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，点P 为该椭圆上一动点，则当PF 2→·P A 1
→取最小值时，|PF 2→＋P A 1→
|的值为
( )
A ．2 2
B ．3
C ．2 3
D.13
解析：由已知得：a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以F 2(1,0)，
A 1(－2,0)，设P (x ，y )，所以PF 2→·P A 1→
＝(－2－x )(1－x )＋y 2，又点P 在椭圆上，所以y 2＝3－3
4
x 2，代入上式可得：
PF 2→·P A 1→
＝(x ＋2)(x －1)＋y 2＝14x 2＋x ＋1＝14(x 2＋4x ＋4)＝14
(x ＋2)2，
显然当x ＝－2时PF 2→·P A 1→取得最小值，所以P (－2,0)，容易知|PF 2→＋P A 1→
|＝3. 答案：B 二、填空题
5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－23，0)，且长轴是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是__________．
解析：设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
由题意知：⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2
b ，
c ＝23，
a 2＝
b 2＋
c 2
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝4，
b ＝2，
c ＝2 3.
∴标准方程为x 216＋y 2
4＝1.
答案：x 216＋y 2
4
＝1
6．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距为2
c ，以点O 为圆心，a
为半径作圆M .若过点P (a 2
c ，0)所作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为
__________．
解析：如右图，切线P A 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，
故a 2c ＝2a ，解得e ＝c a ＝22. 答案：
2
2
三、解答题
7．求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
(1)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6；
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝2
3
.
解：(1)如下图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，
∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18. 故所求的椭圆的方程为x 218＋y 2
9＝1.
(2)∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OF A ＝2
3，
∴A 不是长轴的端点(是短轴的端点)． ∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，∴c 3＝2
3.
∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.
∴椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 2
9
＝1.
8．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；
(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关． 解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .
在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos60°. ∵m ＋n ＝2a ，
∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝4a 2－2mn ， ∴4c 2＝4a 2－3mn .即3mn ＝4a 2－4c 2.
又mn ≤(m ＋n 2)2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，
∴4a 2
－4c 2
≤3a 2
，∴c 2a 2≥14，即e ≥1
2
.
∴e 的取值范围是[1
2，1)．
(2)证明：由(1)知mn ＝4
3b 2，
∴S △PF 1F 2＝12mn sin60°＝3
3b 2，
即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．
[高考·模拟·预测]
1．如右图，有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是
( )
A ．a 1＋c 1>a 2＋c 2
B ．a 1－c 1＝a 2－c 2
C ．a 1c 2<a 2c 1
D ．a 1c 2>a 2c 1
解析：由题意知，a 1＝2a 2，c 1>2c 2，则有a 1c 2<a 2c 1，故不正确的结论为D. 答案：D
2．过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若
∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为
( )
A.2
2
B.3
3
C.1
2
D.13
解析：∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，
又∠F 1PF 2＝60°， ∴|PF 1|＝12|PF 2|，∴32
|PF 2|＝2a
⇒|PF 2|＝43a ，|PF 1|＝2
3
a ，
在Rt △PF 1F 2中，|PF 1|2＋|F 1F 2|2＝|PF 2|2，∴(23a )2＋(2c )2＝(43a )2⇒e ＝c a ＝3
3，故选B.
答案：B
3．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2
＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，
设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )
A ．2
B ．－2 C.12
D ．－12
解析：由题意直线m 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，
设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1(x ＋2)x 22
＋y 2
＝1得 (1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 2
1－2＝0，
∴x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21，∴y 1＋y 2＝4k 11＋2k 21， ∴P (－4k 211＋2k 21，2k 11＋2k 21
)， ∴k 2＝2k 1
1＋2k 21
－4k 211＋2k 2
1＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12
. 答案：D
4．椭圆x 29＋y 2
2＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝__________；
∠F 1PF 2的大小为__________．
解析：依题知a ＝3，b ＝2，c ＝7.由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝6，∵|PF 1|＝4， ∴|PF 2|＝2.又|F 1F 2|＝27.在△F 1PF 2中由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2＝－1
2，∴∠F 1PF 2＝
120°.
答案：2；120°
5．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝1
4x 2
的焦点，离心率为25
5
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →
，MB →＝λ2BF →
，求λ1＋λ2的值．
解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
抛物线方程化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)， 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1， 由e ＝c a
＝
a 2－
b 2a 2＝25
5
，∴a 2＝5， ∴椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2
＝1.
(2)易求出椭圆C 的右焦点为F (2,0)，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，显然直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入方程x 25＋y 2
＝1并整理，
得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， ∴x 1＋x 2＝20k 2
1＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2
，
又MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)，AF →＝(2－x 1，－y 1)，BF →
＝(2－x 2，－y 2)， 而MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，
即(x 1，y 1－y 0)＝λ1(2－x 1，－y 1)，(x 2，y 2－y 0)＝λ2(2－x 2，－y 2)，
∴λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2，∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 2
2－x 2＝2(x 1＋x 2)－2x 1x 24－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2
＝－10.
[备选精题]
6．设椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ，b >0)，过M (2，2)，N (6，1)两点，O 为坐标原点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA →⊥OB →
？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)将M 、N 的坐标代入椭圆E 的方程得
⎩⎨⎧
4a 2
＋2
b 2＝1，6a 2
＋1
b 2
＝1，
解得a 2＝8，b 2＝4，
所以椭圆E 的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝R 2，其中0<R <2. 设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，① 将其代入椭圆E 的方程并整理得 (2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0. 由韦达定理得
x 1＋x 2＝－4km
2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1②
因为OA →⊥OB →
， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.③ 将①代入③并整理得
(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.
联立②得m 2＝8
3(1＋k 2)．④
因为直线AB 和圆相切，因此R ＝|m |
1＋k 2
， 由④得R ＝26
3
，
所以存在圆x 2＋y 2＝8
3
满足题意．
当切线AB 的斜率不存在时，易得x 21＝x 2
2＝83， 由椭圆E 的方程得y 21＝y 22＝83， 显然OA →⊥OB →.
综上所述，存在圆x 2＋y 2＝8
3
满足题意．
当切线AB 的斜率存在时，由①②④得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2
(－4km 2k 2＋1)2
－4×2m 2－82k 2＋1 ＝42
k 2＋12k 2＋1
1－23×k 2
＋12k 2＋1
. 令t ＝k 2＋12k 2＋1
，则1
2<t ≤1，
因此|AB |2＝32t (1－23t )＝－643(t －3
4)2＋12.
所以32
3≤|AB |2≤12，
即
46
3
≤|AB |≤2 3. 当切线AB 的斜率不存在时，易得|AB |＝
463，所以46
3
≤|AB |≤2 3. 综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝83满足题意，且46
3
≤|AB |≤2 3.。