数论问题练习题
数论习题-整除练习1
整除练习1：某个六位数23456A是9的倍数，求A的值。
【详解】能被9整除，其数字和是9的倍数；2+3+4+5+6+A=20+A；大于20小于30且是9的倍数只有27；所以A=7；2：某个七位数2008ABC能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数ABC是多少？【详解】能被8整除，必然被2、4整除；能被9整除，必然被3整除；能被8和9整除，一定能被6整除；可以认为能够同时被5、7、8、9整除；被5整除，C只能是0；被9整除，B+C为8或17；被7整除，先割去末位的0形成2008AB六位数，再用截位法，得到6AB；被8整除且末位是0的ABC必须是40的倍数；分别检验24组3位数，满足被7整除和后2位的数字和是否8或7；只有440符合要求；3：形如123434…...34，有n个34，能被11整除的最小自然数中的n等于几？【详解】奇数位上的数字和是4n+2,偶数位上的数字和是3n+1，它们差是n+1能被11整除时n+1=11，所以n最小是104：两个四位数A275和275B，如果他们的乘积能被72整除，求A和B。
【详解】考虑到72=8*9，而A275是奇数，所以275B必为8的倍数，因此可得B=2；四位数2752各位数字之和为2+7+5+2=16，不是3的倍数也不是9的倍数，因此275A必须是9的倍数，其各位数字之和A+2+7+5= A +14，能被9整除，所以A=4；5：用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成24个四位数，其中共有多少个能被11整除？【详解】被11整除的数的特征是：奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差能被11整除。
因为1、2、3、4这几个数字的和之差不可能大于11，因此要被11整除，只能是奇数位上数字的和与偶数位上数字的和之差等于0。
所以1和4必须同是奇数位上的数字或者同时偶数位上的数字，这样才能满足以上要求。
当1和4都是奇数位上的数字时，这样的四位数有：1243、1342、4213、4312；当1和4都是偶数位上的数字时则为：2134、3124、2431、3421。
数论练习题及解答
数论练习题及解答数论是数学的一个重要分支，研究整数之间的性质和关系。
以下是几道数论练习题及其解答，旨在帮助读者加深对数论知识的理解。
题目一：证明：如果一个整数的平方是奇数，那么该整数必定是奇数。
解答：假设存在一个整数n，满足n²是奇数，但是n本身是偶数。
那么n可以表示成n=2k（k为整数）。
根据已知条件，n²是奇数，代入n=2k得到(2k)²=4k²是奇数。
但是显然，4k²为4的倍数，而奇数不可能是4的倍数，因此得出矛盾。
所以假设错误，原命题得证。
题目二：证明：任意一个素数至少可以表示成4k+1和4k-1两种形式的乘积。
解答：假设存在一个素数p，既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式。
那么p可以表示成p=4k、4k+2或4k+3（k为整数）。
1. 若p=4k，显然p为4的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；2. 若p=4k+2，可以将p分解为p=2(2k+1)，其中2k+1也为整数，即p为2的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾；3. 若p=4k+3，可以将p分解为p=3(4k+1)，其中4k+1也为整数，即p为3的倍数，不可能为素数，与题目假设矛盾。
综上所述，当p既不属于4k+1的形式，也不属于4k-1的形式时，假设错误，原命题得证。
题目三：找出下列数中的最大公约数：4620和770。
解答：利用辗转相除法求解最大公约数。
首先，用较大的数除以较小的数，计算它们的余数：4620 ÷ 770 = 6 (300)接下来，用余数除以第一步的余数，再计算新的余数：770 ÷ 300 = 2 (170)再次用余数除以第二步的余数，继续计算新的余数：300 ÷ 170 = 1 (130)继续进行相同的除法运算：170 ÷ 130 = 1 (40)130 ÷ 40 = 3 (10)40 ÷ 10 = 4最后，除数为10，余数为0，所以10即为4620和770的最大公约数。
《数论》单元测试卷(附答案)
《数论》单元测试卷(附答案)第一题
1. 求下列数的最大公约数：
- 20和15的最大公约数是多少？
- 48和36的最大公约数是多少？
答案：
- 20和15的最大公约数是5。
- 48和36的最大公约数是12。
第二题
2. 求下列数的最小公倍数：
- 4和6的最小公倍数是多少？
- 12和15的最小公倍数是多少？
答案：
- 4和6的最小公倍数是12。
- 12和15的最小公倍数是60。
第三题
3. 判断下列命题的真假：
- $1+2+3+4+5+6+7+8+9$ 能被3整除。
- $2+4+6+8+10+12+14+16$ 能被4整除。
答案：
- $1+2+3+4+5+6+7+8+9$ 不能被3整除。
- $2+4+6+8+10+12+14+16$ 能被4整除。
第四题
4. 求下列整数的奇偶性：
- 17是奇数还是偶数？
- 48是奇数还是偶数？
答案：
- 17是奇数。
- 48是偶数。
第五题
5. 求下列数的位数：
- 1234有几位数字？
- 有几位数字？
答案：
- 1234有4位数字。
- 有6位数字。
第六题
6. 将45写成因数的形式。
答案：$45=3\times3\times5$。
第七题
7. 是否为回文数？
答案：是回文数。
第八题
8. 求12的质因数。
答案：12的质因数是2和3。
以上是《数论》单元测试卷的题目和答案。
数论竞赛题
数论竞赛题数论竞赛题是在数学竞赛中常见的一类题型，主要考察学生在数论领域的理解和运用能力。
数论是研究整数性质及其运算规律的数学分支，涉及到诸多定理和性质。
以下是一个典型的数论竞赛题目，供参考。
题目：证明对于任意正整数 n，都存在一个正整数 k，使得 n(n+1)(n+2)(n+3) 可以被 24 整除。
解法：我们可以通过数学归纳法来证明这一命题。
首先，观察到 24 可以分解为 3 × 2^3。
我们分两种情况进行讨论：情况一：n 是 4 的倍数。
设 n=4k，其中 k 是一个正整数。
则有：n(n+1)(n+2)(n+3) = 4k(4k+1)(4k+2)(4k+3)= 4 × k × (4k+1) × 2 × (2k+1) × 3 × (2k+2) 。
我们发现此时，n(n+1)(n+2)(n+3) 能够被 24 整除。
情况二：n 不是 4 的倍数。
设 n=4k+r，其中 k 是一个正整数，r 是余数，r=1,2 或 3。
则有：n(n+1)(n+2)(n+3) = (4k+r)(4k+r+1)(4k+r+2)(4k+r+3)我们观察到，至少存在一个连续的四个数中，必然包含一个数能被 2 整除，一个数能被 4 整除，一个数能被 3 整除，因而有 2×4×3=24，即可以被 24 整除。
综上所述，对于任意的正整数 n，都存在一个正整数 k，使得 n(n+1)(n+2)(n+3) 能够被 24 整除。
证毕。
数论竞赛题通常涉及到数的整除性质、奇偶性、模运算等概念，要求学生具备较强的逻辑推理和数学证明能力。
通过解决这类题目，学生可以加深对数论相关概念和方法的理解，培养思考和解决问题的能力。
数论练习题
数论练习题一、判断题1、任意两个不同质数必互质。
( )2、若n 是大于1的正整数，且所有不大于n 的质数都不能整除n,则n 是质数。
( )3、若是是奇数，则22b a abc +奇数。
（ ） 4、若),(mod m bc ac ≡，则)(mod m b a ≡。
( )5、使得)8(mod 15≡x 成立的所有自然数为4的倍数。
（ ）6、三个成等差数列的基本勾股数只有3、4、5。
( )7、一个大于1的整数不是质数就是合数。
（ ）8、两个数的公因数一定是它们的最大公因数的因数 。
( )9、-27除以6的带余除法算式是-27=-4×6-3。
（ ）10、。
则，都是整数，且，若bc ac b a c b a , ( ) 11、)(mod )(mod 22m b a m b a ≡≡，则若。
（ ）12、不定方程264=+y x 的全部整数解为{)(6241Z t tx t y ∈-=+=。
( )13、一个质数P 与一个整数a ，它们要么互质，要么P|a 。
（ ）14、质数必为奇数，偶数必为合数。
（ ）15、设b a ，则a 是倍数，b 是约数。
（ ）16、若b a ，b c 则b ac 。
（ ）17、二元一次不定方程异号时有当b a c by ax ,,=+无穷多个自然数解。
二、填空题1、（108，42，24）=______,[108,42,24]=_________。
2、1000！末尾有____________个0。
3、[]{}_______3.1______,2=-=4、同余方程)10(mod 68≡x 的解是____________________。
5、模7的剩余类有且只有___________________________,7的非负最小完全剩余系是__________________________。
6、对于给定的模m ，两整数a,b 属于同一剩余类的充要条件是___________。
数论练习题
数论练习题一、判断题1、任意两个不同质数必互质。
( )2、若n 是大于1的正整数，且所有不大于n 的质数都不能整除n,则n 是质数。
( )3、若是是奇数，则22b a abc +奇数。
（ ）4、若),(mod m bc ac ≡，则)(mod m b a ≡。
( )5、使得)8(mod 15≡x 成立的所有自然数为4的倍数。
（ ）6、三个成等差数列的基本勾股数只有3、4、5。
( )7、一个大于1的整数不是质数就是合数。
（ ）8、两个数的公因数一定是它们的最大公因数的因数 。
( )9、-27除以6的带余除法算式是-27=-4×6-3。
（ ）10、。
则，都是整数，且，若bc ac b a c b a , ( ) 11、)(m od )(m od 22m b a m b a ≡≡，则若。
（ ）12、不定方程264=+y x 的全部整数解为{)(6241Z t tx t y ∈-=+=。
( )13、一个质数P 与一个整数a ，它们要么互质，要么P|a 。
（ ）14、质数必为奇数，偶数必为合数。
（ ）15、设b a ，则a 是倍数，b 是约数。
（ ）16、若b a ，b c 则b ac 。
（ ）17、二元一次不定方程异号时有当b a c by ax ,,=+无穷多个自然数解。
二、填空题1、（108，42，24）=______,[108,42,24]=_________。
2、1000！末尾有____________个0。
3、[]{}_______3.1______,2=-=4、同余方程)10(mod 68≡x 的解是____________________。
5、模7的剩余类有且只有___________________________,7的非负最小完全剩余系是__________________________。
6、对于给定的模m ，两整数a,b 属于同一剩余类的充要条件是___________。
数论专题复习题集
数论专题复习题集1、甲、乙两人各写一个三位数，发现这两个三位数有两个数字是相同的（不一定是同一个数位上的数字相同），并且它们的最大公约数是75，那么这两个三位数的和的最大值是。
2、恰有12个不同约数的最小自然数是多少？3、甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果甲数比乙数大18，那么乙数是。
4、两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是、。
5、已知三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数，那么这三个数可以为、、。
6、最多可以写出多少个各不相同的正整数，使得其中任何3个的和都是质数？7、有一种两位数A，其1至50倍得到的50个自然数十位数字与个位数字总不相同，那么这个两位数可以是。
8、有3个吉利数：888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得余数依次为a，a+7，a+10求这个自然数。
9、小明有200个硬币，放在桌上，一开始正面朝上，现每次选择n个硬币并翻动，目的是用最少的次数把所有硬币都翻成反面朝上，结果用了7次。
求所有这样的n的和。
10、一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是。
11、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是。
12、把一个两位数的两个数字颠倒过来得到一个新两位数，发现新两位数除以7的余数比旧两位数除以7的余数大1，那这样的两位数共有个。
13、三个两位数从小到大排成了一个公差是6的等差数列，把它们写成五进制后，每个数的各位数字之和恰好从大到小，那么这样的三个数共有组。
14、两个相差是4004的自然数，它们都是14的倍数，且各位数字之和也是14的倍数，那么满足要求的两个数最小为和。
15、有一个十位数是由0到9这十个数字组成的，而且具有这个性质，前两位组成的数能被2整除，前三位组成的数能被3整除，……，前九位组成的数能被9整除，而整个数能被10整除。
数论 小学数学 练习题
一、选择题1. 下列四个数中，不是质数的是（）。
A．15 B．17 C．23 D．292. 19加上（）就是3的倍数，再加上（）就是2的倍数．A．2 B．3 C．43. 三位数28□是3的倍数，□中可以填( )．A．3，6，9 B．1，4，7 C．2，5，8 D．以上都不对4. 下面的数中，既是30的因数又是6的倍数的是( )．A．4 B．5 C．6 D．245. 下面（）的结果一定是奇数．A．偶数个奇数连乘B．偶数个奇数连加C．奇数个偶数连加二、填空题6. 幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只桔子，200块饼干，120块奶糖。
平均分发完毕，还剩4只桔子，20块饼干，12粒奶糖。
这班里共有_______位小朋友。
7. 一个合数的质因数是10以内所有的质数，这个合数是( )．8. 炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家。
华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖。
我们知道正整数中有无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k，存在无穷多组含有k个等间隔质数（素数）的数组。
例如，时，3，5，7是间隔为2的3个质数；5，11，17是间隔为6的3个质数：而，，是间隔为12的3个质数（由小到大排列，只写一组3个质数即可）。
9. 两个质数的积是65，这两个质数分别是( )和( )．10. 一个三位数被37除余17,被36除余3.那么,这个三位数是________.三、解答题11. a=2×3×5×7，b=2×5×5×7，a和b的最大公因数是几，最小公倍数是几？12. 自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？13. 焰火晚会上每6秒出现一次星星图案的礼花，每10秒出现一次花朵图案的礼花．在同时看到这两种礼花后，至少还要多少秒才能再同时看到这两种礼花？14. 在共有100匹马跟100块石头，马分3种，大型马；中型马跟小型马．其中一匹大马一次可以驮3块石头，中型马可以驮2块，而小型马2头可以驮一块石头．问需要多少匹大马，中型马跟小型马？（问题的关键是刚好必须是用完100匹马）。
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】
小学奥数数论问题余数问题练习题【五篇】分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.2.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.3.除以99,余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.4.求下列各式的余数：(1)2461×135×6047÷11(2)19992000÷7分析：(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 能够得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .【第二篇】(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果分析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数为多少,我们能够根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .【第三篇】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.分析：这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是因为所得的余数相同,根据性质2,我们能够得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.【第四篇】1.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.分析：127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.2.除以99的余数是______.分析：所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,所以所求余数是19.【第五篇】。
数论练习题及解析
数论练习题及解析数论是数学中研究整数性质和整数运算规律的一个分支。
它在不同的数学领域中扮演着重要的角色，如密码学、计算机科学、代数等。
本文将提供一些数论的练习题，并给出相应的解析，旨在帮助读者更好地理解数论的基本概念和方法。
一、整除与因子1. 若整数a可以被整数b整除，记作b | a，求证另一个整数d，使得a = db。
解析：根据整数的定义，a可以表示为b的倍数。
假设倍数为k，则a = kb。
令d = k，则a = db，证毕。
2. 求证两个奇数的和是偶数。
解析：我们可以用数学归纳法来证明这个问题。
首先，当n为1时，一个奇数可以表示为2k+1的形式，其中k为整数。
两个奇数的和为4k+2，即2的倍数，属于偶数。
其次，假设当n=k时，两个奇数的和为2的倍数。
则当n=k+1时，一个奇数可以表示为2(k+1)+1=2k+3的形式。
两个奇数的和为(2k+2) + (2k+3) = 4k+5，即奇数。
所以，根据数学归纳法，我们可以得出结论：两个奇数的和是偶数。
二、最大公约数与最小公倍数3. 求证两个整数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个整数的积。
解析：假设两个整数为a和b，它们的最大公约数为d，最小公倍数为m。
根据最大公约数和最小公倍数的定义，我们有以下等式：a = dx，b = dy，其中x和y为整数，且x、y互素。
因为x、y互素，所以它们的乘积xy也与它们互素。
则a和b的积ab可以表示为d²xy，即ab = d²xy。
另一方面，a和b的积同时也可以表示为mxy，即ab = mxy。
由此，我们可以得出等式d²xy = mxy，即dm = xy。
因为xy互素，根据整除的性质，只能得出d = m。
所以，两个整数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个整数的积。
4. 求证若a、b、c为三个正整数，且a | b，b | c，则a | c。
解析：根据题目条件，我们可以得出正整数b和正整数a的倍数之间存在整除关系，记作b = ka，其中k为整数。
数论题练习
数论题练习（一）1. 求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .2. 对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．3．满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有（ ）．(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组4．正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为 ．5．n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a ab b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.6．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．7．试求出所有这样的正整数a 使得关于x 的二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.8．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程20px qx p -+=有有理数根？9．已知m、n均为正整数,且m>n,2006m2+m=2 007n2+n.问m-n是否为完全平方数?并证明你的结论.10．已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2-2k)x2+(4-6k)x+8=0的解都是整数.求k的值. 11．已知n为自然数，9n2-10n+2 009能表示为两个连续自然数之积.则n的最大值为 .12．设a是3的正整数次幂，b是2的正整数次幂，试确定所有这样的,a b，使得二次方程20-+=的根是整数.x ax b13．是否存在这样的正整数n ,使得2371n n +-能整除321n n n +++?请说明理由。
数论专题复习题集
数论专题复习题集1、甲、乙两人各写一个三位数，发现这两个三位数有两个数字是相同的（不一定是同一个数位上的数字相同），并且它们的最大公约数是75，那么这两个三位数的和的最大值是。
2、恰有12个不同约数的最小自然数是多少？3、甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果甲数比乙数大18，那么乙数是。
4、两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是、。
5、已知三个两位奇数，它们的最大公约数是1，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数，那么这三个数可以为、、。
6、最多可以写出多少个各不相同的正整数，使得其中任何3个的和都是质数？7、有一种两位数A，其1至50倍得到的50个自然数十位数字与个位数字总不相同，那么这个两位数可以是。
8、有3个吉利数：888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得余数依次为a，a+7，a+10求这个自然数。
9、小明有200个硬币，放在桌上，一开始正面朝上，现每次选择n个硬币并翻动，目的是用最少的次数把所有硬币都翻成反面朝上，结果用了7次。
求所有这样的n的和。
10、一个自然数除以7、8、9后分别余3、5、7，而所得的三个商的和是758，这个数是。
11、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是。
12、把一个两位数的两个数字颠倒过来得到一个新两位数，发现新两位数除以7的余数比旧两位数除以7的余数大1，那这样的两位数共有个。
13、三个两位数从小到大排成了一个公差是6的等差数列，把它们写成五进制后，每个数的各位数字之和恰好从大到小，那么这样的三个数共有组。
14、两个相差是4004的自然数，它们都是14的倍数，且各位数字之和也是14的倍数，那么满足要求的两个数最小为和。
15、有一个十位数是由0到9这十个数字组成的，而且具有这个性质，前两位组成的数能被2整除，前三位组成的数能被3整除，……，前九位组成的数能被9整除，而整个数能被10整除。
小学数学数论练习题
小学数学数论练习题I. 选择题(每题2分，共40分)1. 以下哪个数是一个奇数？A. 32B. 58C. 45D. 762. 以下哪个数是一个素数？A. 15B. 23C. 30D. 423. 若一个数的各位数字之和能够被3整除，那么该数一定能被____整除。
A. 2B. 3C. 4D. 54. 以下哪个数是一个偶数？A. 27B. 14C. 35D. 415. 将以下数字按从大到小排列：17, 8, 29, 13A. 13, 17, 8, 29B. 13, 17, 29, 8C. 29, 17, 13, 8D. 29, 17, 8, 136. 依次删除下面数列中的每一个偶数，直到数列中只剩下奇数为止：10, 25, 14, 6, 9, 11A. 25, 9, 11B. 10, 25, 9, 11C. 25, 6, 9, 11D. 14, 6, 9, 117. 以下哪个数是一个完全平方数？A. 36B. 49C. 81D. 1008. 若一个数的个位数字为5，那么该数一定能被____整除。
A. 2B. 3C. 5D. 109. 以下哪个数不是质数？A. 37B. 45C. 53D. 6110. 将以下数字按从小到大排列：18, 9, 23, 7A. 9, 7, 18, 23B. 7, 9, 18, 23C. 23, 18, 9, 7D. 7, 23, 18, 9(每题3分，共30分)11. 16除以8的商是____。
12. 83是不是一个素数？答：____。
13. 23是一个奇数，61是一个偶数，那么它们的和是____。
14. 47是一个素数，72不是素数，那么它们的积是____。
15. 12的因数有____个。
III. 计算题(每题10分，共50分)16. 计算36和52的最大公约数。
17. 计算31和49的最小公倍数。
18. 一个水果摊上有30个苹果和20个橙子，想要将它们放进相同数量的袋子里，并且每个袋子内只放苹果或橙子。
数论 小学数学 习题集
一、选择题1. a÷b＝3（a和b都是非0自然数），a和b的最大公因数是（）。
A．a B．b C．3 D．ab2. 下面说法正确的是（）A．一个数的因数总比它的倍数小B．合数加合数，它们的和一定是合数C．偶数加偶数，它们的和一定是偶数3. 已知：a是97的因数，那么（）．A．a只能是1 B．a只能是97 C．a是1或974. 要使7□23是3的倍数，□中最大能填（）A．3 B．6 C．95. 要使三位数96是3的倍数，里共有（）种填法．A．2 B．3 C．4二、填空题6. 在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组。
这样的数组共有______组。
7. 30＝( )＋( )8. 8和10的最大公因数是2，最小公倍数是40，2×40＝8×10。
我也来举例：( )我的结论：( )9. 把下面各数填入相应的条件中．67 65 14 2 28 62 1 23 90 41 56质数：合数：2的倍数：3的倍数：5的倍数：10. 如果m=2×2×3×3，则m的因数有_____个．三、解答题11. 975×935×972×□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？12. 相邻两个偶数的和是38，这两个数的最大公因数和最小倍数各是多少？13. 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？14. 将1，2，3，…，30从左往右依次排列成一个5l位数，这个数被11除的余数是多少?。
数论习题
数论习题第一章 整数的可除性1、 设,a b q r ÷= 则(,)(,)a b b r =.2、 设n 为整数，求证：24∣n(n+2)(5n+1)(5n －1).3、00(,,,,,0)ax by ax by a b x y Z a b ++∈若是形如不全为的最小正整数，00()().ax by ax by ++则且00(,).ax by a b +=4、已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。
5、利用辗转相除法求最大公约数.（1）(1859,1573)；（2）(12345, 678)；（3）（76501，9719）.6、求三个数的最大公约数.（1）(48,72,108)；（2）(27090, 21672, 11352).7、(,)6,[,]138,,.a b a b a b ==已知求8、求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24， [a , b ] = 144。
9、设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ].(,)(,)(,).a b a a b b a b +=+=提示：10、1100,0n n n a x a x a a a +++≠ 设是整系数多项式，，则该多项式0n a a 的因数的有理根只能是形如的既约分数；并证明是有理数。
的因数11、证明质数的个数是无穷的。
12、写出51480的标准分解式。
13、1111(1)(2).23N n n n =++++>≥ 证明不是整数14、求12!、15！、20！的标准分解式。
15、证明：设,a b 是两个正整数，则 [,](,)aba b a b =.第二章不定方程1、74100.x y+=求方程所有正整数解2、11132175.x y-=求方程所有整数解3、1761622.x y-=求方程所有整数解4、15201291x y z++=求方程所有整数解和正整数解.5、写出20以内的所有勾股数.6、证明x2+y2+z2 = x2y2没有满足xyz ≠ 0的整数解。
小学数学数论练习题
小学数学数论练习题1. 问题描述：小明有4个篮球和6个足球，他想将这些球分成几组，每组只能有篮球或者足球，且每组中篮球和足球的总数都一样。
请问小明最多能分成几组？解析：设每组中的篮球和足球的数量为x。
根据题目条件，可以得到以下等式：4x = 6x将等式化简后得到：2x = 6解方程得到x = 3。
因此，小明最多能分成3组，每组有3个篮球和3个足球。
2. 问题描述：有一组连续的自然数，从1开始，如果这组自然数中有一个数的平方等于某个大于1的质数的n次方（n>1），则称该质数为“关键质数”。
请问，从1到100之间共有几个关键质数？解析：首先，我们需要确定在1到100之间存在哪些质数。
通过筛除法可以得到：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。
然后，我们遍历这些质数，并计算其n次方（n>1）是否存在于1到100的连续自然数中。
如果存在，就将对应的质数计数加一。
经过计算，从1到100之间共有4个关键质数，分别是：2, 3, 5, 7。
3. 问题描述：小明有1元、2元、5元三种面额的硬币各若干枚。
他寻思着用这些硬币凑出不同的金额，最多能凑出多少种不同的金额？解析：设1元、2元、5元硬币的数量分别为x、y、z。
根据题目条件，可以列出以下不等式：x + 2y + 5z ≤ 100其中，100为金额的上限。
通过遍历x、y、z的范围（分别为0到100），并满足上述不等式的情况下计数，可以得出最多能凑出的不同金额种数。
经过计算，小明最多能凑出49种不同的金额。
4. 问题描述：小华用纸币买了一只笔和一只橡皮擦，一共花了29元。
已知一只笔的价格是5元，橡皮擦的价格是2元，问小华使用了多少张纸币？解析：设小华用来买笔的纸币数量为x，用来买橡皮擦的纸币数量为y。
根据题目条件，可以得到以下方程组：5x + 2y = 29其中，x和y为整数，且都大于等于0。
小学数论练习题
小学数论练习题
在小学数学学科中，数论是一个重要的分支，它研究的是整数及其性质。
通过数论的学习，学生可以培养逻辑思维能力、数学推理能力等。
下面是一些小学数论练习题，通过解答这些题目可以加深对数论知识的理解。
1. 判断下列数中哪些是偶数，哪些是奇数：
a) 24
b) 37
c) 46
d) 51
2. 找出下列数中的素数：
a) 12
b) 17
c) 21
d) 29
3. 20个奇数相加，其和是多少？
4. 用两个不同的质数相乘得到的结果是多少？
5. 十以内所有的偶数是否都能被2整除？
6. 15和30的最大公约数是多少？
7. 小明有12个瓶子，他把这些瓶子按照每行放3个的方式排列。
请问他排列的方式有多少种？
8. 有一个班级有30名男生和25名女生，他们需要站成一队，男生
和女生不能站在一起。
请问共有多少种排队方式？
9. 一堆苹果，小明每次可以拿2个或3个，最后一次只能拿1个。
请问，如果这堆苹果的数量是7个，那么小明一共有多少种取苹果的
方式？
10. 小明有一篮子装满了鸡蛋，他数了一下，发现一共有88个鸡蛋。
他把这些鸡蛋按照每层放12个的方式分成若干层，最后一层只能放3个。
请问他分了几层？
以上是一些小学数论练习题，希望能帮助学生们巩固数论知识，提
升数学能力。
在解答这些题目的过程中，学生们可以思考数的奇偶性、素数的性质、最大公约数、排列组合等概念。
通过不断练习和思考，
学生们可以在数论领域中取得更好的成绩。
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三、数字问题
本讲将介绍有关数字的一些问题。
例1 一本小说的页码，在印刷时必须用1989个铅字，在这一本书的页码中数字1出现多少次？
分析与解要想求出在这本书的页码中数字1出现多少次，先要求出这本书共有多少页.已知印刷时必须用1989个铅字，又已知页码为一位数共有9页，页码为两位数共有90页，页码为三位数共有900页，就可求出这本书共有多少页.又因为每连续10个数，在个位上就出现一次1，再根据所求页数就可解答此题。
页码为一位数共有9页，用9个铅字；
页码为二位数共有90页，用180个铅字；
页码为三位数，还需1989-180-9=1800（个）铅字，因此还需印1800÷3=600（页）。
这样，本书共有600+90+9=699（页）。
因为每连续10个数，在个位上就出现一次1，所以个位上出现1的数共有700÷10=70（次）；
十位上出现1的数每100个有10个，共有700÷100×10=70（次）；
百位上出现1的数有100个，这样总共出现1的次数是
70+70+100=240（次）。
答：在这本书的页码中数字1出现240次。
例2 把23个数：3，33，333，…，相加，则所得的和的末四位数是多少？
容易了。
根据等比数列前n项和公式可知
=370370…037037-8
=370370 (037029)
因此S的末四位数字是7029。
例3 自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第20个弯的地方是哪个数？
分析与解观察正方形数字阵，先将拐弯处的数从小到大排列起来：2，3，5，7，10，13，17，21，26，….仔细观察这些数：第一个数是起点1加1，第二个数是第一个数加1，第三个数
是第二个数加2，第四个数是第三个数加2，后面的四个数都可以用各自前面的那个数分别经过加3、加3、加4、加4得到，由此推想出，再往后就要加5、加5、加6、加6，…，可以发现一个规律：
求第二个拐弯处的数：1+1×2；
求第四个拐弯处的数：1+（1+2）×2；
求第六个拐弯处的数：1+（1+2+3）×2；
经分析、归纳可知，当拐弯数是偶数时，此拐弯处的数为1与从1开始的连续自然数的和的2倍的和，而连续自然数的个数（或者说
最后一个数）正好是弯数的一半，用公式表示为：设拐弯数是n，则拐弯处
因此第20个拐弯处的数应该是：
1+（1+2+3+4+5+…+10）×2=111.
注：若此题求拐第m个弯的地方是哪一个数（m为奇数）？做起来就不那么容易了，先求出拐第（m-1）个弯的地方的数（m-1为偶数），
例4 有一种用六位数表示日期的方法，如：890817表示的是1989年8月17日，也就是从左到右第一、第二位数表示年，第三、第四位数表示月，第五、第六位数表示日，如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有多少天？
分析与解解此题最好的方法是用排除法。
根据题意，第三位已不能是1，只能是0，第五位不能是1和0，也不能是3，否则第六位将是0和1，因此第五位只能是2，那么六个数字都不相同的日期只能是3、4、5、6、7、8六个月中的23、24、25、26、27、28这6天中的5天，因此，共有30天。
答：全年中六个数字都不相同的日期共有30天。
练习三
上c，则这三个数之和为6，求这三个真分数。
2.从1开始，依自然数的顺序写123456…101112…202122…，一直写到2222，共写了多少个2？
3.将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字，两个2之间有二个数字，两个3之间有三个数字，两个4之间有四个数字，那么这样的八位数中的一个是几？
4.从 1， 2， 3，…，1993， 1994这些自然数中，最多可以取几个数，才能使其中每两个数的差不等于4？
5.有一个电话号码是六位数，其中左边三个数字相同，右边三个数字是三个连续的自然数，六个数字之和恰好等于末尾的两位数，这个电话号码是多少？
练习三
解法：由题意得
∴ 4a+3b+11c=72
∴ a<3，b<4，c<6。
当 a=1时，代入①得 3b+11c= 68
经试验b=1，3时，c均不是整数。
∴a≠1
当 a=2时，代入①得， 3b+11c=64，
当b=1时.c不是整数。
当b=3时，c=5。
∴ a=2， b=3， c=5
2.880.
解法：从1开始，依自然数的顺序写1234…101112…202122…，一直写到2222共写2的个数，与从1写到2222中2的个数一样多。
在个位上出现2的个数，每连续10个自然数中出现1个，共写1×（2220÷10）+l=223（个）；
在十位上，每连续100个自然数中出现10个2，共写（2100÷100）×10+3=213（个）；
在百位上，每连续1000个自然数中出现100个2，共写
（2000÷1000）×100+22=222（个）；
在千位上，共写222个2。
所以在这串数字中共写2的个数为：
223+213+222+222=880
3.23421314
解：根据题目可知，两个4之间有四个数字，1、2、3三个数必有一个要重复，且重复的数只能是1，因此，满足题目要求的答案只能是23421314或41312432。
答：这样的八位数中的一个为23421314
4.最多可取998个数。
解法：每8个连续的自然数中，至多只能取四个数，其中每两个数的差都不等于4。
将1994个数依次每8个分成一组，最后2个也分成一组，即：
1，2，3，4，5，6，7，8，
9，10，11，12，13，14，15，16，
……
1985，1986，1987，1988，1989，1990，1991，1992，
1993，1994
1994÷8=249余2，因此可分为250组。
每一组都取前四个数，很明显，这四个数中，任意两个数的差不等于4，另外从不同组中取出的数中，任意两个数的差也不会等于4，这样，共取出250×4-2=998（个）数，符合要求。
答：最多可取998个数。
5.555321
解法：假设这个六位数是BBBA1A2A3，左边三个数字之和是3B，右边3个数字之和为3A2，这六个数字之和为3（B+A2）。
由六个数字之和恰好等于未尾两位数可知：A2A3必能被3整除，这样A2A3有12，15，18，21，…，51这14种可能（且不能为 54）。
由右边三个数字是连续自然数可知A2A3是连续自然数，这样A2A3只能有12、21、45这三种可能。
A1、A2、A3是三个连续自然数，则012不符合题意应删去；345，因为45-（3+4+5）=33.33÷3=11，B不可能是11，不符合题意删去.这样符合题意的只有A2A3=21，所以电话号码为555321.。