7-3(马鞍面)

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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
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三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线， 动直线 叫L 柱 面的母线.
观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
f ( x2 y2 ,z) 0 或 f ( x2 y2 , z) 0.
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yOz 上曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴旋转的旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0.
同理：绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f y, x2 z2 0.
问：曲线C : f ( x, y) 0 xOy绕x轴的旋转曲面
根据题意,有 M在球面上 | MM 0 | R，即
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R,
所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2 ,
特殊地：球心在原点时方程为 x 2 y 2 z 2 R2 .
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
这条定曲线 C 叫柱面的准线， 动直线 叫L 柱 面的母线.
观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线， 动直线 叫L 柱 面的母线.
观察柱面的形 成过程:
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三、柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
——将几何特征转化为代数特征（本节中建立球面、 旋转曲面的方程） （2）已知方程，研究图形的形状． ——将代数特征转化为几何特征（本节中讨论二元方 程的图形）
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例 1 建立球心在M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面
方程. 解 设 M ( x, y, z)是空间中的任一点，
这条定曲线 C 叫柱面的准线， 动直线 叫L 柱 面的母线.
观察柱面的形 成过程:
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建立旋转曲面S的方程：
由图，M( x, y, z) S
M1(0,y1,z1)曲线C :
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
f1) z z1
x
（2）点 M 到 z 轴的距离等于 M1 到 z 轴的距离
d x 2 y 2 | y1 | , 即 y1 x2 y2 或 x2 y2 ,
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第三节 曲面及其方程
1. 图形方程的概念 2. 旋转曲面 3. 柱面 4. 二次曲面 5. 小结、作业
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一、图形方程的概念
如果空间图形与三元方程（组）有下述关系： 点在图形上 点的坐标满足方程（组）。
则称这个方程（组）为这个图形的方程，而这个图形 为这个方程的图形．
空间解析几何中研究的两个基本问题： （1）已知图形上点的轨迹特征，求图形的方程；
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
z
轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
双叶旋转双曲面
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
单叶旋转双曲面
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y2 （2）椭圆 a 2
z2 c2
1绕 y
轴和 z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转 椭
绕 z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
（3）抛物线 y2 2 pz 绕 z 轴； x 0
为？绕y轴生成的旋转曲面为？
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例 2 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转所得旋转曲
面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线
的夹角
0
2
叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在
原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为的圆锥面方程．
解 此锥面可看成 yOz 面上直线
z
z y cot
绕z轴生成的旋转曲面
圆锥面方程 z x2 y2 cot .
o
y
x
即 z2 cot 2 ( x2 y2 ).
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问：x2 k( y2 z2 ) (其中k 0）表示什么曲面？
例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的 旋转曲面的方程．
（1）xOz
面上的双曲线 x2 a2
z2 c2
1分别绕
x
轴和
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
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二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．