高一数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系提高练习题及答案
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案）一、选择题1．下列说法正确的个数是()①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.A．3B．2C．1 D．0【解析】①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．【答案】C2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b ＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b⊂α成立．()A．①②③B．①③④C．②③ D．①④【解析】②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．【答案】D3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()【解析】易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．【答案】C4．如图2119所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图2119A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点．A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.【答案】B5．如图2120，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()图2120A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E 是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．【答案】C二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2224，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．图2224【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN＝C1M＝21A1C1＝21AC，所以N为AC的中点．9．如图2225，平面EFGH分别平行于CD，AB，E，F，G，H 分别在BD，BC，AC，AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形．(2)设DE＝m，EB＝n，求矩形EFGH的面积．图2225【解】(1)证明：因为CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH是平行四边形．由CD∥EF，HE∥AB，所以∠HEF为CD和AB所成的角．又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF.所以四边形EFGH是矩形．(2)由(1)可知在△BCD中，EF∥CD，DE＝m，EB＝n，所以CD EF ＝DB BE .又CD ＝a ，所以EF ＝m ＋n n a . 由HE ∥AB ，所以AB HE ＝DB DE .又因为AB ＝b ，所以HE ＝m ＋n mb .又因为四边形EFGH 为矩形，所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝m ＋n m b ·m ＋n n a ＝(m ＋n2mn ab .10．对于直线m 、n 和平面α，下列命题中正确的是( )A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD ．如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n【解析】 对于A ，如图(1)所示，此时n 与α相交，故A 不正确；对于B ，如图(2)所示，此时m ，n 是异面直线，而n 与α平行，故B 不正确；对于D ，如图(3)所示，m 与n 相交，故D 不正确．故选C.图(1) 图(2) 图(3)【答案】 C11．如图2226，三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF .图2226【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
高中数学 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习(提高版) 新人教A版必修2
高中数学 第二章《点、直线、平面之间的位置关系》练习（提高版） 新人教A 版必修2一、选择题（共12小题，每小题 5分，共60分）1．关于空间中点、线、面之间的关系描述正确的是（ ）A ．若直线a 在平面α外，则α//aB ．若点A 在直线a 上，则a A ∈C ．若直线a 与b 不相交，则b a //D ．若b a ⊥，则a 与b 必相交 2．已知直线a 、b ，且a ∥α，b ⊂α，则（ ）A ．a ∥bB ．a 与b 相交C ．a 与b 异面D ．a 与b 平行或异面 3．在正方体1111D C B A ABCD -中，与对角线1BD 异面的棱有（ ）条 A ． 3 B ． 4 C ． 6 D ． 8 4．直线⊥a 平面α，直线a b ⊥，则b 和α的位置关系是（ ）A ．α⊥bB ．b ∥αC ．α⊂bD ．b ∥α或α⊂b 5．已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．βαβα⊂⊂n m ,,//n m //⇒ B ．αα//,//n m n m //⇒ C ．n m m =⊂βαβα ,,//n m //⇒ D ．αα⊂n m ,//n m //⇒6．三棱锥A —BCD 的棱长全相等, E 是AD 中点, 则直线CE 与直线BD 所成角的余弦值为（ ）A ．63B.23 C ．633 D ．217．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°8．如下图，⊥PD 矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）对A ．2B ．3C ．4D ．59．下列推断错误的是（ ）A ．一条直线与两个平行平面所成的角相等B ．两个平行平面与第三个平面所成的角相等C ．两条平行直线与同一个平面所成的角相等DABCPD ．两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 10．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中： ①BM ∥平面DE ②CN ∥AF③ED 与AF 成的角为60 ④平面BMD ∥平面AFN其中正确的序号是（ ）A ．①④B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 11．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，在下列命题中正确的是（ ）①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα ③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m l A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 在空间四边形ABCD 中，CD AB =，且异面直线AB 与CD 所成的角为60，E 、F 分别为边BC 和AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成的角为 ( )A ． 30B ． 45C ． 60D ． 30或60填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．如图长方体中，32==AD AB ，21=CC ，则二面角C BD C --1的大小为 ． 14．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①n m ⊥ ②βα⊥ ③β⊥m ④α⊥n . 以其中三个作为条件，余下一个作为结论， 请写出正确的一个命题：______________________________.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ， 90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且AB AD PA ==， M 、N 分别为PC 、PB 的中点，则直线BD 与平面ADMN 所成的角为_______.16．以下是关于直线、平面的平行与垂直关系推断：①若b a ⊥，且c a //，则c b ⊥ ②若b a ⊥，且b c ⊥，则c a // ③若βα⊥，且βγ⊥，则γα// ④若α⊥a ，且β⊂a ，则βα⊥ 其中不对的有 ．（只填序号）DA BCEFGA BCDA1B1C1 D1NM PDCBA 三、解答题（共6小题，其中第17小题10分，其他各题12分，共70分）17．( 10分) 在正方体1111D C B A ABCD -中，且O 为底面正方形1111D C B A 的中心． （1）求证：⊥C A 1平面BD C 1； (2 ) 求证：AO ∥平面BD C 1．18．(12分) 已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 是PC 的中点，在DE 上任取一点F ，过点F 和AP 作平面交平面BDE 于FG , 求证：GF AP //.19．(12分) 如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：MN CD ⊥；（3）若4PDA π∠=，求证：MN ⊥平面PCD C20．( 12分) 如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且 DC AB EA ==,F 是BE 的中点. (1)求证：//FD 平面ABC ； (2)求证：⊥AF 平面EDB ．1D 1C 1B 1A D CBAo21．（12分）如图，O 是正方形ABCD 的中心，⊥PO 底面ABCD ，E 是PC 的中点， 且2=PO ，2=AB ．（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：平面⊥PAC 平面BDE ； （3）求二面角A BD E --的大小．22．（12分）如图，在矩形ABCD 中，33=AB ，3=BC ，沿对角线BD 将BCD ∆折起，使点C移到P 点，且P 在平面ABD 上的射影O 恰好落在AB 上. （1）求证：⊥PB 平面PAD ； （2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；（3）求点A 到平面PBD 的距离；（4）求直线AB 与平面PBD 所成角的正弦值．A B()P C DOAB CD。
人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系课后提升作业七 2.1.1 含解析
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课后提升作业七平面(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.下列叙述正确的是( )A.若P∈α，Q∈α，则PQ∈αB.若P∈α，Q∈β，则α∩β=PQC.若AB⊂α，C∈AB，D∈AB，则CD∈αD.若AB⊂α，AB⊂β，则A∈α∩β且B∈α∩β【解析】选D.点在直线或平面上，记作A∈l，A∈α，直线在平面内记作AB⊂α或l⊂α，故D正确.2.下面说法中(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)：①因为A⊂α，B⊂α，所以AB⊂α；②因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；③因为A∉a，a⊂α，所以A∉α；④因为A∉α，a⊂α，所以A∉a.其中正确的说法的序号是( )A.①④B.②③C.④D.③【解析】选C.点在平面上，用“∈”表示，不能用“⊂”表示，故①不正确；AB在α内，用“⊂”表示，不能用“∈”表示，故②不正确；由A∉a，a⊂α，不能得出A∉α，故③不正确；由A∉α，a⊂α，知A∉a，故④正确.3.下列说法中正确的个数为( )①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.由公理2可知①正确；因为两对角线相交，故可确定一平面，故②正确；当圆上两点与圆心共线时，不能确定平面，故③错误；每两条平行线可确定一个平面，故最多可确定3个平面，④正确.4.已知A，B是点，a，b，l是直线，α是平面，如果a⊂α，b⊂α，l ∩a=A，l∩b=B，那么下列关系中成立的是( )A.l⊂αB.l∈αC.l∩α=AD.l∩α=B【解析】选A.因为l∩a=A，a⊂α，所以A∈α，又l∩b=B，b⊂α，所以B∈α，故l⊂α.5.用符号语言表示下列语句，正确的个数是( )(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A⊂α，A⊄β.(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A∉α， a⊄α.(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β=l，P∈l.(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l，l∩α=M.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.(1)错误，点A和平面的关系应是A∈α，A∉β，(4)错误，缺少P∉α，(2)(3)正确.6.(2016·青岛高一检测)一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是( ) A.4 B.6 C.7 D.10【解析】选A.当直线外这三点不共线且任意两点的连线不平行于该直线时，确定的平面个数最多为4个.【误区警示】本题易选C.产生错误的原因是先在已知直线上任取2点，这样共5点构成一个四棱锥，这样4个侧面，两个对角面，一个底面共7个，将条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点.7.如图所示，平面α∩平面β=l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l=R，设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ是( )A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上均错【解析】选C.由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ=CR. 8.(2016·成都高一检测)在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么( )A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M既不在直线AC上，也不在直线BD上【解析】选A.如图，因为EF∩HG=M，所以M∈EF，M∈HG，又EF⊂平面ABC，HG⊂平面ADC，故M∈平面ABC，M∈平面ADC，所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.二、填空题(每小题5分，共10分)9.AB，AD⊂α，CB，CD⊂β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH 与FG相交于点P，则点P必在直线________上.【解析】P∈EH，EH⊂α，故P∈α，同理P∈β，而α∩β=BD，所以P ∈BD.答案：BD10.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.【解析】如图，因为AC∥BD，所以AC与BD确定一个平面，记为β，则α∩β=CD，因为l∩α=O，所以O∈α，又O∈AB⊂β，所以O∈β，所以O∈CD.故O，C，D共线.答案：共线三、解答题11.(10分)如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.【证明】如图所示，因为A1B1∥AB，所以A1B1与AB确定一平面，记为平面α.同理，将B1C1与BC所确定的平面记为平面β，C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.易知β∩γ=C1C.又△ABC与△A1B1C1不全等，所以AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.而AA1⊂γ，BB1⊂β，所以P∈γ，P∈β，所以P在平面β与平面γ的交线上.又β∩γ=C1C，所以P∈C1C，所以AA1，BB1，CC1交于一点.【补偿训练】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和D1C1的中点，P，Q分别为EF和BD的中点，对角线A1C与平面EFDB交于H点，求证：P，H，Q三点共线.【证明】EF∥DB，确定平面BF，⇒P∈平面BF.同理，Q∈平面BF，所以P，H，Q∈平面BF，A1C1∥AC，确定平面A1C，P∈A1C1，Q∈AC，H∈A1C，所以P，H，Q∈平面A1C.根据公理3，P，H，Q三点一定在平面BF与平面A1C的交线上，故P，H，Q三点共线.关闭Word文档返回原板块附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题+答案
第二章直线与平面得位置关系测试题一、选择题1、设,为两个不同得平面,l,m为两条不同得直线，且l,m,有如下得两个命题:①若∥,则l∥ｍ;②若l⊥m,则⊥、那么( )、Ａ、①就就是真命题,②就就是假命题ﻩＢ、①就就是假命题,②就就是真命题C、①②都就就是真命题ﻩﻩD、①②都就就是假命题2、如图,ＡBＣD－A１Ｂ1Ｃ1D１为正方体,下面结论错误．．得就就是（)、A、ＢD∥平面CB1D１B、ＡC1⊥ＢDC、ＡC1⊥平面CB1Ｄ1D、异面直线AＤ与ＣB1角为60°(第2题)3、关于直线m,n 与平面,,有下列四个命题:①m ∥,n ∥且∥，则m∥ｎ;ﻩﻩ②m ⊥,n ⊥且⊥,则m⊥n;③m ⊥，n ∥且∥,则ｍ⊥ｎ; ④m ∥,n ⊥且⊥,则m∥n、其中真命题得序号就就是( )、A、①②ﻩB、③④ﻩﻩＣ、①④ﻩﻩﻩＤ、②③4、给出下列四个命题:①垂直于同一直线得两条直线互相平行②垂直于同一平面得两个平面互相平行③若直线l1,ｌ2与同一平面所成得角相等,则l1，ｌ2互相平行④若直线l１,l2就就是异面直线，则与l1,l2都相交得两条直线就就是异面直线其中假．命题得个数就就是( )、A、1ﻩﻩﻩB、2ﻩﻩﻩﻩC、3 ﻩﻩD、4５、下列命题中正确得个数就就是( ）、①若直线l 上有无数个点不在平面内,则ｌ∥②若直线l与平面平行,则ｌ与平面内得任意一条直线都平行③如果两条平行直线中得一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行,则l与平面内得任意一条直线都没有公共点A、0个ﻩB、1个ﻩﻩC、2个ﻩﻩﻩD、3个6、两直线l１与ｌ２异面,过l1作平面与ｌ２平行，这样得平面( )、A、不存在ﻩB、有唯一得一个ﻩＣ、有无数个ﻩﻩﻩＤ、只有两个7、把正方形ABCＤ沿对角线AC折起,当以Ａ,Ｂ,C,D四点为顶点得三棱锥体积最大时,直线BＤ与平面ABC所成得角得大小为( )、Ａ、９０°ﻩB、60°ﻩＣ、4５°ﻩﻩD、30°８、下列说法中不正确得．．．．就就是( )、A、空间中,一组对边平行且相等得四边形一定就就是平行四边形B、同一平面得两条垂线一定共面C、过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D、过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直９、给出以下四个命题：①如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线得一个平面与这个平面相交,那么这条直线与交线平行②如果一条直线与一个平面内得两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,那么些两个平面互相垂直其中真命题得个数就就是( )、A、４B、3 ﻩC、2 ﻩD、１10、异面直线a,b所成得角６０°,直线ａ⊥c,则直线b与c所成得角得范围为( )、A 、[30°，９０°］B 、[60°，90°] ﻩC 、[30°,６0°]Ｄ、[30°,120°] 二、填空题１1、已知三棱锥P －ＡBC 得三条侧棱PA ,PB ,PC 两两相互垂直,且三个侧面得面积分别为S 1,S ２,S ３，则这个三棱锥得体积为 、１2、Ｐ就就是△A ＢC 所在平面外一点，过P 作P Ｏ⊥平面，垂足就就是O ，连PA ,ＰB ,P Ｃ、(1)若P Ａ=PB ＝PC ,则O 为△AB Ｃ 得 心； (2)PA ⊥PB ,PA ⊥P Ｃ，PC ⊥ＰＢ,则Ｏ就就是△AB Ｃ 得 心;(３)若点P 到三边ＡB ,B Ｃ,CA 得距离相等,则O 就就是△AB Ｃ 得 心;(4)若ＰA =PB ＝PC ,∠C ＝90º，则O 就就是ＡＢ边得 点; （5)若ＰA ＝PB ＝PC ，AB =AC ,则点Ｏ在△ABC 得 线上、 13、如图,在正三角形ABC 中,D ，Ｅ,F 分别为各边得中点,G ，H ,I ,J 分别为ＡF ,A Ｄ,BE ,DE 得中点,将△A ＢC 沿DE ,ＥＦ,ＤF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角得度数为 、14、直线ｌ与平面所成角为３0°,l ∩＝A ,直线m ∈,则m 与ｌ所成角得取值范围 就就是 、15、棱长为1得正四面体内有一点Ｐ,由点P 向各面引垂线,垂线段长度分别为ｄ1,d 2,d 3,d 4，则d 1+ｄ2+d ３+d ４得值为 、1６、直二面角-l －得棱上有一点A ,在平面,内各有一条射线AB ，ＡＣ与ｌ成45°,AB ,AC，则∠ＢA Ｃ＝ 、三、解答题17、在四面体A ＢＣD 中,△ABC 与△DBC 都就就是边长为4得正三角形、J(第13题)(1)求证:BC ⊥ＡD ;（２)若点D 到平面AB Ｃ得距离等于3,求二面角Ａ-BC －D 得正弦值；(3)设二面角Ａ-ＢC －D 得大小为,猜想为何值时,四面体A -B ＣD 得体积最大、(不要求证明)１8、 如图,在长方体ABC Ｄ—A １Ｂ１C 1D 1中,ＡB ＝2,BB 1＝BC =1,E 为D 1C 1得中点，连结E Ｄ,ＥＣ,E Ｂ与DB 、(1)求证:平面EDB ⊥平面EB Ｃ; (２)求二面角E －DB －C 得正切值、19*、如图,在底面就就是直角梯形得四棱锥Ｓ－ABCD 中,A Ｄ∥B Ｃ,∠ABC =90°, SA ⊥面A ＢCD ，S Ａ＝A Ｂ＝BC =1,AD =、(1)求四棱锥Ｓ—ABCD 得体积;(２）求面ＳCD 与面S ＢA 所成得二面角得正切值、 （提示:延长 ＢA ,CD 相交于点 E ,则直线 SE 就就是 所求二面角得棱、）ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩ(第１9题）20*、斜三棱柱得一个侧面得面积为10,这个侧面与它所对棱得距离等于６,求这个棱柱得体积、（提示:在 AA １ 上取一点 P ,过 P 作棱柱得截面，使 AＡ1 垂直于这个截面、）ﻩ ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ (第2０题)ﻬ第二章 点、直线、平面之间得位置关系参考答案一、选择题(第18题)(第17题)1、Ｄ解析:命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n,l,m,且ｌ∥n,ｍ⊥n,则ｍ⊥l,显然平面不垂直平面，（第1题）故②就就是假命题;命题①显然也就就是假命题，2、D解析:异面直线AＤ与ＣB１角为４5°、3、D解析:在①、④得条件下，m，n得位置关系不确定、4、Ｄ解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案D、5、B解析:学会用长方体模型分析问题,A1A有无数点在平面ABCD外,但AA１与平面ＡBCD相交，①不正确;A１Ｂ1∥平面AＢＣD,显然A1B1不平行于BD，②不正确;A１B1∥AＢ,A1B1∥平面AＢCD,但AB平面ABCD内,③不正确;l与平面α平行,则l与无公共点，l与平面内得所有直线都没有公共点,④正确,应选Ｂ、(第5题)6、Ｂ解析:设平面过l１，且l２∥，则l1上一定点P与l2确定一平面,与得交线l３∥l2，且l3 过点P、又过点Ｐ与l2平行得直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1与l３得平面就就是唯一得,即过l1且平行于l2得平面就就是唯一得、7、C解析:当三棱锥D－ABＣ体积最大时,平面DAC⊥ＡBC,取AC得中点O,则△DBＯ就就是等腰直角三角形,即∠ＤＢO=45°、8、Ｄ解析:A、一组对边平行就决定了共面；Ｂ、同一平面得两条垂线互相平行，因而共面;C、这些直线都在同一个平面内即直线得垂面;D、把书本得书脊垂直放在桌上就明确了、9、Ｂ解析：因为①②④正确,故选B、１0、Ａ解析:异面直线,所成得角为60°，直线⊥，过空间任一点P，作直线a’∥a,ｂ’∥ｂ, c’∥c、若ａ’,b’,ｃ’共面则b’与ｃ’成30°角,否则’与’所成得角得范围为(30°，90°],所以直线b与c所成角得范围为[30°,90°] 、二、填空题11、、解析:设三条侧棱长为a,b,ｃ、则ab=S1，bc＝S2,ca＝S３三式相乘:∴ a2 b2 c2=S1Ｓ2S３,∴ ａｂｃ＝２、∵ 三侧棱两两垂直，∴ V＝abc·=、12、外,垂,内,中，BＣ边得垂直平分、解析:（１)由三角形全等可证得Ｏ为△ABC 得外心;(2)由直线与平面垂直得判定定理可证得,O 为△ABC 得垂心；(3)由直线与平面垂直得判定定理可证得,Ｏ为△AＢC 得内心；(4)由三角形全等可证得,O 为AB 边得中点；(5）由(１)知,O 在ＢＣ边得垂直平分线上,或说O 在∠BＡＣ得平分线上、13、６０°、解析:将△ABC沿DE,EF,DＦ折成三棱锥以后,GH与IJ所成角得度数为60°、１４、［30°,90°]、解析：直线l与平面所成得30°得角为m与l 所成角得最小值，当m在内适当旋转就可以得到l⊥m,即m与l所成角得得最大值为９0°、１5、、解析：作等积变换：×（d１＋ｄ２＋d3+ｄ4)=·h,而h＝、1６、６0°或120°、解析:不妨固定AB,则AC有两种可能、三、解答题17、证明：(1)取ＢC中点O,连结ＡO,DO、∵△ＡBC，△BCD都就就是边长为4得正三角形,∴AO⊥ＢC，DO⊥BC,且ＡO∩DO=O，∴BC⊥平面AOＤ、又AD平面ＡOD,∴BC⊥AD、(第17题)解:(2)由(1)知∠AOＤ为二面角A-BC－D得平面角,设∠AOD=,则过点Ｄ作DE⊥AＤ，垂足为E、∵BC⊥平面ADO，且BC平面AＢC,∴平面ADO⊥平面AＢＣ、又平面ADＯ∩平面ＡBC＝AO,∴DE⊥平面ABC、∴线段DE得长为点D到平面AＢC得距离,即DＥ=3、又DO＝BD＝2,在Rｔ△DＥO中,sin=＝,故二面角A－BC-D得正弦值为、（3)当＝9０°时,四面体ＡBCD得体积最大、18、证明:(1)在长方体AＢCD－Ａ1B1C1Ｄ１中,AB=2,ＢB1=BC=１,E为Ｄ1C１得中点、∴△DD１E为等腰直角三角形,∠D１ED=４5°、同理∠C１EC＝45°、∴，即DE⊥EC、在长方体ABＣD－中，BC⊥平面，又ＤE平面,∴ＢC⊥DE、又,∴DE⊥平面EBC、∵平面ＤEB过ＤE,∴平面DＥＢ⊥平面EBC、(2)解:如图,过Ｅ在平面中作EO⊥DC于O、在长方体ＡBCD-中,∵面ＡBＣD⊥面,∴ＥＯ⊥面AＢCD、过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF,∴EF⊥ＢD、∠ＥＦO为二面角Ｅ-ＤB-C得平面角、利用平面几何知识可得OF=, （第１8题)又OE=1,所以，tan EFO＝、19*、解：(1）直角梯形ABCD得面积就就是M底面=＝,∴四棱锥S—ABCD得体积就就是V＝·ＳA·Ｍ底面=×1×=、(2)如图,延长ＢA，ＣD相交于点E,连结ＳE,则ＳE就就是所求二面角得棱、∵AD∥BC,ＢC＝２AD,∴ＥＡ=AＢ＝SA,∴SＥ⊥SB∵SA⊥面ＡBCＤ,得面ＳＥＢ⊥面EBC,EB就就是交线、又BC⊥EB,∴BC⊥面SＥB,故SB就就是SC在面SEB上得射影,∴CS⊥SＥ,∠ＢSC就就是所求二面角得平面角、∵SB＝=，ＢC＝1,BC⊥SＢ,∴tan∠BSＣ=, ﻩﻩﻩﻩ(第19题)即所求二面角得正切值为、20*、解:如图,设斜三棱柱ABＣ—Ａ1Ｂ1C1得侧面BB１C１C得面积为1０,A1A与面BB１C1C得距离为6,在AA1上取一点P作截面PＱR，使ＡA1⊥截面PQR,AＡ1∥ＣC1，∴截面PＱR⊥侧面BB1Ｃ1C，过P作PＯ⊥QR于O,则PO⊥侧面BＢ１C1Ｃ,且PO＝６、∴V斜＝S△PＱR·AA1＝·QＲ·ＰO·AA1ﻩﻩﻩ=·PO·QR·BB1=×10×６=30、(第20题)。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题
D CBA α ca b c b a //////⇒⎭⎬⎫第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线在此平面内 公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
推论1：一条直线与它外一点确定一个平面。
推论2：两条平行直线确定一个平面。
推论3：两条相交直线确定一个平面。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补4 异面直线：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， ]；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
【优质文档】必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(含答案)
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
一、基础过关
1．下列命题： ①书桌面是平面；
②有一个平面的长是 50m，宽是 20m；
③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为
()
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．0 个
2．下列图形中，不一定是平面图形的是 A ．三角形
B．菱形
()
C ．梯形
D ．四边相等的四边形
3．空间中，可以确定一个平面的条件是
()
A ．两条直线
B ．一点和一条直线
C ．一个三角形
D ．三个点
4．已知平面 α与平面 β、 γ都相交，则这三个平面可能的交线有
()
A ． 1 条或 2 条
B． 2 条或 3 条
即点 S 在交线上， 由于 AB>CD ，则分别延长 AC 和 BD 交于点 E，如图所示． ∵E∈ AC， AC? 平面 SAC， ∴E∈ 平面 SAC. 同理，可证 E∈ 平面 SBD. ∴ 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上，连接 SE，直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的 交线． 8． 证明 ∵ l 1? β， l2? β， l1D ∥ l 2， ∴ l 1、 l 2 交于一点，记交点为 P. ∵ P∈ l 1? α， P∈ l2? γ， ∴P∈ α∩ γ＝ l3， ∴ l 1， l 2， l3 交于一点． 9． C 10.C 11．③ 12．证明 因为 AB∥ CD，所以 AB，CD 确定平面 AC，AD∩ α＝ H，因为 H ∈ 平面 AC，H ∈α， 由公理 3 可知， H 必在平面 AC 与平面 α的交线上．同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上，因此 E， F ， G， H 必在同一直线上． 13． 证明 (1)∵ C1、 O、 M ∈平面 BDC1， 又 C1、 O、 M ∈ 平面 A1ACC1，由公理 3 知，点 C1、 O、 M 在平面 BDC 1 与平面 A1ACC1 的交线上， ∴ C1、 O、 M 三点共线． (2) ∵ E， F 分别是 AB， A1A 的中点， ∴ EF∥ A1B.∵ A1B∥CD 1， ∴ EF∥ CD 1. ∴ E、 C、 D1、 F 四点共面．
人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系作业题及答案解析第2章2.2.2
千思兔在线教育平面与平面平行的判断【课时目标】 1．理解平面与平面平行的判断定理的含义． 2．能运用平面与平面平行的判断定理，证明一些空间面面平行的简单问题．1．平面α与平面β平行是指两平面________公共点．若α∥ β，直线a?α，则a与β的地点关系为 ________．2．下边的命题在“ ________处”缺乏一个条件，补上这个条件，使其组成真命题(M ， n 为直线，α，β为平面 )，则此条件应为________．m? αn? αm∥ β? α∥ βn∥ β一、选择题1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，能够作出( )A．0 个B．1 个C．0个或 1个D．1个或 2个2．α和β是两个不重合的平面，在以下条件中，可判断α∥ β的是 ( )A ．α内有无数条直线平行于βB．α内不共线三点到β的距离相等C．l 、M 是平面α内的直线，且 l ∥ α， M∥ βD． l 、M 是异面直线且 l ∥ α， M∥ α， l∥ β， M∥ β3．给出以下结论，正确的有( )①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不可以作一个平面与已知平面平行；④若 a， b 为异面直线，则过 a 与 b 平行的平面只有一个．A．1 个B．2 个C．3 个D．4个4．若不在同向来线上的三点A、 B、 C 到平面α的距离相等，且AD/∈ α，则 ( )A ．α∥平面 ABCB．△ ABC 中起码有一边平行于αC．△ ABC 中至多有两边平行于αD．△ ABC 中只可能有一边与α订交5．正方体 EFGH — E1F1G1H1中，以下四对截面中，相互平行的一对截面是( ) A ．平面 E1FG 1与平面 EGH1B．平面 FHG 1与平面 F1H 1GC．平面 F1H1H 与平面 FHE 1D．平面 E1HG 1与平面 EH 1G6．两个平面平行的条件是()A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的随意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线二、填空题7．已知直线a、 b，平面α、β，且 a∥ b， a∥ α，α∥β，则直线 b 与平面β的地点关系为______ ．8．有以下几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；② α∩ γ＝ a，α∩ β＝ b，且 a∥ b(α，β，γ分别表示平面，a， b 表示直线 )，则γ∥ β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥ β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥ β．此中正确的有 ________． (填序号 )9．如下图，在正方体 ABCD — A1B1C1D 1中， E、F 、G、H 分别是棱 CC1、C1D 1、D1D 、CD 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 知足 ________时，有 MN ∥平面 B1BDD 1．三、解答题10．如下图，在正方体ABCD － A1B1C1D1中，S 是 B1D 1的中点，E、 F、G 分别是 BC、 DC 和 SC 的中点．求证：平面 EFG∥平面BDD 1B1．11．如下图， B 为△ ACD 所在平面外一点， M，N，G 分别为△ ABC，△ ABD，△ BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面 ACD ；(2)求 S△MNG∶S△ADC．能力提高12．三棱柱ABC－A1B1C1， D 是 BC 上一点，且A1B∥平面 AC1D ，D 1是 B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面 AC1D ．13．如下图，在正方体 ABCD —A1B1C1D1中， O 为底面ABCD 的中心， P 是 DD 1的中点，设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么地点时，平面 D 1BQ∥平面 PAO?判断或证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判断定理：假如一个平面内有两条订交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．2．2 平面与平面平行的判断答案知识梳理1．无a∥ β2． M， n 订交作业设计1．C 2．D 3．B 4． B 5． A 6． C 7． b∥β或b? β8．③分析① 不正确，当两平面订交时，在一个平面双侧分别有无数点知足条件；②不正确，当平面β与γ订交时也可知足条件；③ 正确，知足平面平行的判断定理；④ 不正确，当两平面订交时，也可知足条件．9． M ∈线段 FH分析∵ HN ∥ BD ，HF∥ DD 1，HN∩HF＝H，BD ∩DD1＝D，∴平面 NHF ∥平面 B 1BDD 1，故线段 FH 上随意点M 与 N 连结，有 MN ∥平面 B1BDD1．10．证明如下图，连结 SB， SD，∵ F、 G 分别是 DC 、 SC 的中点，∴ FG∥ SD．又∵ SD? 平面 BDD 1 B1， FG?平面 BDD 1B1，∴直线 FG∥平面 BDD 1B 1．同理可证 EG∥平面 BDD 1B1，又∵ EG? 平面 EFG，FG? 平面 EFG，EG∩ FG＝ G，∴平面 EFG∥平面 BDD 1B1．11． (1)证明 (1)连结 BM ， BN ，BG 并延伸分别交AC ，AD ，CD 于 P，F， H．∵M，N，G 分别为△ ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝ 2，且 P，H ，F 分别为 AC ， CD ， AD 的中点．连结 PF， FH， PH，有 MN ∥PF．又 PF? 平面 ACD ， MN ?平面 ACD ，∴MN ∥平面 ACD ．同理 MG ∥平面 ACD ，MG ∩MN ＝M ，∴平面 MNG ∥平面 ACD ．千思兔在线教育MG ＝ BG ＝2，(2)解 由(1)可知 PH BH 32∴MG ＝ PH ．31 1AD ． 又 PH ＝ AD ，∴MG ＝32同理 NG ＝ 1AC ，MN ＝ 1CD ．3 3 ∴△ MNG ∽△ ACD ，其相像比为 1∶3． ∴ S △ MNG ∶ S △ACD ＝ 1∶ 9． 12．证明连结 A 1C 交 AC 1于点 E ，∵ 四边形 A 1ACC 1 是平行四边形， ∴ E 是 A 1C 的中点，连结 ED ，∵ A 1B ∥平面 AC 1D ，ED? 平面 AC 1D ， ∴ A 1B 与 ED 没有交点，又 ∵ ED? 平面 A 1BC ，A 1B? 平面 A 1BC ， ∴ ED ∥ A 1B ．∵ E 是 A 1C 的中点， ∴D 是 BC 的中点．又 ∵ D 1 是 B 1C 1 的中点，∴ BD 1∥C 1D ，A 1D 1∥ AD ，∴ BD 1∥ 平面 AC 1D ，A 1D 1∥ 平面 AC 1D ．又 A 1D 1∩ BD 1＝D 1，∴平面 A 1BD 1∥平面 AC 1D ．13． 解 当 Q 为 CC 1 的中点时， 平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO ．∵Q 为 CC 1的中点， P 为 DD 1 的中点， ∴ QB ∥PA ．∵ P 、O 为 DD 1、 DB 的中点， ∴ D 1B ∥ PO ．又 PO ∩ PA ＝ P ， D 1B ∩ QB ＝ B ， D 1B ∥ 平面 PAO ，QB ∥ 平面 PAO ，∴ 平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO ．。
高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》测试卷及答案解析
2019-2020学年高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》参考答案与试题解析一．选择题（共37小题）1．如图所示，用符号语言可表达为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【分析】结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．【解答】解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选：A．【点评】本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示．2．两个平面能把空间分成几个部分（）A．2或3B．3或4C．3D．2或4【分析】根据平面之间的关系，即可得到结论．【解答】解：若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分，故选：B．【点评】本题主要考查平面的概念以及平面的基本性质的应用．3．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．【解答】解：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：A∈a，a⊂α，B∈α．故选：B．【点评】本题考查空间中，点、线、面的符号表示方法，基本知识的考查．4．若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A．B∈b∈βB．B∈b⊂βC．B⊂b⊂βD．B⊂b∈β【分析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选：B．【点评】本题考查平面的概念及表示，解题的关键是理解平面的概念及平面中点线面之间表示的符号，本题是基础概念考查题，对点线面间关系规范书写是解题的重点5．若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（）A．若A⊂α，B⊂α，则AB⊂αB．若A∈α，B∈α，则AB∈αC．若A∉a，a⊂α，则AB∉αD．若A∈a，a⊂α，则A∈α【分析】本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．【解答】解：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以答案A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，答案C错误；而A∈a，a⊂α，则A∈α，所以答案D正确．故选：D．【点评】立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．6．经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（）A．1B．4C．1或4D．1或3【分析】分四个点在一个面和三个点在一个面，另一个点在平面外三种情况讨论．【解答】解：当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子．故选：C．。
《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)
《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.若直线l 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出下列命题：（1）和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； （2）三条两两相交的直线在同一平面内； （3）有三个不同公共点的两个平面重合； （4）两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出下列命题：（1）直线l 与平面α不平行，则l 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线l 与平面α不垂直，则l 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线,a b 不垂直，则过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 其中错误命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.35．正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱有（ ）条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的（ ）BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中，AB AD ==1CC =，则二面角 1C BD C --的大小为（ ）A ．300B.450C.600D.900AB CD A 1B 11D 18.已知直线,,a b c 及平面,αβ，下列命题正确的是（ ）A.若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥B.若,//b a b α⊂ ，则//a αC.若//,a b ααβ=，则//a b D.若,a b αα⊥⊥，则//a b9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④Ｄ．②③④二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是 ．12．空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 13．如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=，P A ⊥平面ABC ，此图形中 有 个直角三角形.14．已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点， 则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．15．已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，，则BD 的长为 。
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间位置关系》(内含解析)
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含解析）一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】D3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】D4．如图2342，P A⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()图2342A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．P A⊥BD【解析】若PD⊥BD，则BD⊥平面P AD，又BA⊥平面P AD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；因为P A⊥矩形ABCD，所以P A⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面P AD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC.因为P A⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得P A⊥BD.故选A.【答案】A5．如图2343所示，三棱锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()图2343A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【解析】∵平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．【答案】D二、填空题6．如图239，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．图239【解析】∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如图2310所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．图2310【解析】 BC ⊂平面ABC PA ⊥平面ABC ⇒PA ∩AC ＝A AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .【答案】 4三、解答题8．如图2311，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .图2311【证明】 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .又∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .9．如图2312所示，三棱锥ASBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图2312【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝22a.在Rt△ADC中，AD＝＝22a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.10．(2015·淮安高二检测)如图2313，四棱锥SABCD的底面ABCD 为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图2313①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．【答案】411．如图2314，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.图2314【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。
高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系练习题及答案
A高一数学（必修2）第二章 点、直线、平面之间的位置关系[基础训练]一、选择题1．下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）A ．有一个角是直角的四边形B ．有两个角是直角的四边形C ．有三个角是直角的四边形D ．有四个角是直角的四边形 3．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能4．如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ）A ．030 B ． 090 C ． 060 D ．随P 点的变化而变化。
5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分A ．4B ．5C ．7D ．86．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）A ．90B ．60C ．45D ．30二、填空题1. 已知,a b 是两条异面直线，//c a ，那么c 与b 的位置关系____________。
2. 2. 直线l 与平面α所成角为030，,,lA m A m αα=⊂∉，则m 与l 所成角的取值范围是 _________3．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为1234,,,d d d d ，则1234d d d d +++的值为 。
4．直二面角α－l －β的棱l 上有一点A ，在平面,αβ内各有一条射线AB ，AC 与l 成045，,AB AC αβ⊂⊂，则BAC ∠= 。
高中数学必修二第二章 点线面位置关系课后作业(含答案)
必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系§2.1.1平面一、基础过关1．下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1个B．2个C．3个D．0个2．下列图形中，不一定是平面图形的是() A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形3．空间中，可以确定一个平面的条件是() A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有() A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7．如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．8．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．二、能力提升9．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是() A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是() A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合11．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．12．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．三、探究与拓展13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB 的中点，F为AA1的中点．求证：（1）C1、O、M三点共线；（2）E、C、D1、F四点共面．§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是() A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有() A．∠BAC＝∠B′A′C′B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D．∠BAC＞∠B′A′C′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是() A．空间四边形B．矩形C．菱形D．正方形4．“a、b为异面直线”是指：①a∩b＝∅，且aD\∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b＝∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β＝∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立．上述结论中，正确的是()A．①④⑤B．①③④C．②④D．①⑤5．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．6．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：（1）BC′与CD′所成的角为________；（2）AD与BC′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB ＝90°，BC //12AD ，BE //12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．（1）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （2）C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：（1）BE 与CG 所成的角； （2）FO 与BD 所成的角．二、能力提升9．如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是()A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD ) C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD . 以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系§2.1.4 平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a 与b 的位置关系是 ( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．平行或异面2．直线l 与平面α不平行，则( ) A ．l 与α相交 B ．l ⊂α C ．l 与α相交或l ⊂α D ．以上结论都不对 3．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的( )A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交 4．如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是 ( ) A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．AB ⊂α5．直线a ⊂平面α，直线b ⊄ 平面α，则a ，b 的位置关系是________． 6．若a 、b 是两条异面直线，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是________． 7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8．如图，直线a ∥平面α，a ⊂β，α∩β＝b ，求证：a ∥b.二、能力提升 9．下列命题正确的是( )A ．若直线a 在平面α外，则直线a ∥αB ．若直线a 与平面α有公共点，则a 与α相交C ．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD ．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直11．若不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A 、B 、CD /∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，判断a 与b 、a 与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点Q 是棱DD 1上的动点，判断过A 、Q 、B 1三点的截面图形的形状．§2.2 直线、平面平行的判定及其性质§2.2.1 直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m ∥平面α，直线n ∥m ，则( )A ．n ∥αB ．n 与α相交C ．n ⊂αD ．n ∥α或n ⊂α 2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是 ( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．不相交3．已知a ，b 是两条相交直线，a ∥α，则b 与α的位置关系是( )A ．b ∥αB ．b 与α相交C ．b ⊂αD ．b ∥α或b 与α相交4．一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是 ( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α5. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面中：（1）与直线AB 平行的平面是______； （2）与直线AA 1平行的平面是______； （3）与直线AD 平行的平面是______． 6．已知不重合的直线a ，b 和平面α.①若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；③若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；④若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α或b ⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，求证：BD 1∥平面AEC .8．如图，四棱锥A —DBCE 中，O 为底面正方形DBCE 对角线的交点，F 为AE 的中点．求证：AB ∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝EF ∶FB ＝1∶3，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．在内D ．不能确定10．过直线l 外两点，作与l 平行的平面，则这样的平面( )A ．不存在B ．只能作出一个C ．能作出无数个D ．以上都有可能11．过平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有________条．12． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，F 为线段A ′C 的中点．求证：BF ∥平面A ′DE.三、探究与拓展13．正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE ，BD 上各有一点P ，Q ，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面BCE .(用两种方法证明)§2.2.2 平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l ∥平面α，直线m ∥平面α，直线l 与m 相交于点P ，且l 与m 确定的平面为β，则α与β的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．不确定 2．平面α与平面β平行的条件可以是( )A ．α内的一条直线与β平行B ．α内的两条直线与β平行C ．α内的无数条直线与β平行D ．α内的两条相交直线分别与β平行 3．给出下列结论，正确的有( )①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行； ③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行； ④若a ，b 为异面直线，则过a 与b 平行的平面只有一个． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．若正n 边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n 边形所在的平面一定平行于平面α，那么n 的取值可能是( )A ．12B ．8C ．6D ．55．已知平面α、β和直线a 、b 、c ，且a ∥b ∥c ，a ⊂α，b 、c ⊂β，则α与β的关系是________． 6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a ，α∩β＝b ，且a ∥b (α，β，γ分别表示平面，a ，b 表示直线)，则γ∥β； ③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β. 其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，求证：AE ∥平面DCF .8．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：（1）E、F、D、B四点共面；（2）平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．（1）求证：平面MNG∥平面ACD；（2）求S△MNG∶S△ADC. §2.2.3直线与平面平行的性质一、基础过关1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面() A．只有一个B．至多有两个C．不一定有D．有无数个2．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°3．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有5．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________. 7．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.8．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9．如图所示，平面α∩β＝l 1，α∩γ＝l 2，β∩γ＝l 3，l 1∥l 2，下列说法正确的是( )A ．l 1平行于l 3，且l 2平行于l 3B ．l 1平行于l 3，且l 2不平行于l 3C ．l 1不平行于l 3，且l 2不平行于l 3D ．l 1不平行于l 3，但l 2平行于l 310．如图所示，已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是________．10题图 11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________. 12．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l . （1）求证：BC ∥l ；（2）MN 与平面P AD 是否平行？试证明你的结论． 三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC —A 1B 1C 1，D 是BC 上一点，且A 1B ∥平面AC 1D ，D 1是B 1C 1的中点，求证：平面A 1BD 1∥平面AC 1D.§2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定 2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于 ( ) A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥B ．②③⑥C ．②③⑤⑥D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) （1）若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； （2）若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DEDF＝25，则AC ＝______.7．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245C ．14D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12．如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质§2.3.1 直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a ∥b ，平面α∥β，a ⊥α，则b 与β的位置关系是( )A ．b ⊥βB ．b ∥βC ．b ⊂βD ．b ⊂β或b ∥β2．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是( )A ．a ⊥βB ．a ∥βC ．a ⊂βD ．a ⊂β或a ∥β3．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( )A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交 4．如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，（1）直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； （2）直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； （3）直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是______．6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝______.7．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱B 1C 1、B 1B 的中点． 求证：CF ⊥平面EAB.8．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱P A 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点，P A ＝AD.求证：（1）CD ⊥PD ； （2）EF ⊥平面PCD . 二、能力提升9．如图所示，P A ⊥平面ABC ，△ABC 中BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为()A ．4B ．3C ．2D ．110．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC .三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．§2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝3.（1）证明：平面PBE⊥平面P AB；（2）求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的余弦值为()A．13B．12C．223D．3210．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()A．BC∥面PDF B．DF⊥面P AE C．面PDF⊥面ABC D．面P AE⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．如图，在三棱锥P—ABC中，P A⊥底面ABC，P A＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.（1）求证：BC⊥平面P AC.（2）是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P—ABC中，D是AC的中点，P A＝PB＝PC＝5，AC＝22，AB＝2，BC＝ 6.（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）求二面角P—AB—C的正切值．§2.3.3直线与平面垂直的性质§2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．12．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5．如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________． 7．如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC.求证：BC ⊥AB .8．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC .求证：（1）MN ∥AD 1； （2）M 是AB 的中点． 二、能力提升9．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于()A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶310．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行11．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面；③a 和b 平行于同一条棱； ④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.（1）设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； （2）求四棱锥P —ABCD 的体积． 三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . （1）证明：DC 1⊥BC ；（2）求二面角A 1－BD －C 1的大小．章末检测一、选择题1．下列推理错误的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈l ，l ⊂α⇒A ∈α 2．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线AB ，A 1D 1所成的角等于 ( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ，GH 交于一点P ，则( )A ．P 一定在直线BD 上B ．P 一定在直线AC 上C ．P 一定在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上 5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( ) A ．AB ∥mB ．AC ⊥mC ．AB ∥βD ．AC ⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，如图(2)所示，那么，在四面体S －EFG 中必有()A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面8．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．ACB ．BDC ．A 1DD ．A 1D 18题图 9题图 9．如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，此时∠B ′AC ＝60°，那么这个二面角大小是( ) A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 10．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1 D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°10题图 11题图 11．如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A ．63B ．265C ．155 D ．10512．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为( ) A ．2B ． 3C ． 2D ．1二、填空题13．设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________.14．下列四个命题：①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ；③若a ∥α，则a 平行于α内所有的直线；④若a ∥α，a ∥b ，b ⊄α，则b ∥α. 其中正确命题的序号是________．15．如图所示，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．15题图 16题图 16．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________． 三、解答题17．如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为AB 、A 1D 1的中点，判断MN 与平面A 1BC 1的位置关系，为什么？18．ABCD 与ABEF 是两个全等正方形，AM ＝FN ，其中M ∈AC ，N ∈BF .求证：MN ∥平面BCE .19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD＝22，P A ＝2.求： （1）三角形PCD 的面积；（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．20．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．（1）求证：P A∥面BDE；（2）求证：平面P AC⊥平面BDE；（3）若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．21．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝22，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.（1）证明：PC⊥平面BED；（2）设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．§2.1.1平面参考答案1．A 2.D 3.C 4.D5．06．A∈m7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．8．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1D∥\l2，∴l1、l2交于一点，记交点为P.∵P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．9．C10.C11．③12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面．§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系参考答案1．D2．C3．B4．D 5.平行或异面6．(1)60°(2)45°7．(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解由BE綊12AF，G为F A中点知，BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．8．解(1)如图，∵CG∥BF，∴∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，BD，FO，∵HD綊EA，EA綊FB，∴HD綊FB，∴四边形HFBD为平行四边形，∴HF∥BD，∴∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG由EG ＝FG ＝12所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°. 13．解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°， 即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.§2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 §2.1.4 平面与平面之间的位置关系参考答案1．D 2．C 3．D 4．C 5.平行、相交或异面6．b ⊂α，b ∥α或b 与α相交7．解 不正确．如图，设α∩β＝l ，则在α内与l 平行的直线可以有无数条，如a 1，a 2，…，a n ，它们是一组平行线，这时a 1，a 2，…，a n 与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l . 8．证明 ∵直线a ∥平面α，∴直线a 与平面α无公共点． ∵α∩β＝b ，∴b ⊂α，b ⊂β. ∴直线a 与b 无公共点．∵a ⊂β，∴a ∥b . 9．D 10.D 11.平行或相交12．解 由α∩γ＝a 知a ⊂α且a ⊂γ，由β∩γ＝b 知b ⊂β且b ⊂γ，∵α∥β，a ⊂α，b ⊂β，∴a 、b 无公共点． 又∵a ⊂γ且b ⊂γ，∴a ∥b . ∵α∥β，∴α与β无公共点， 又a ⊂α，∴a 与β无公共点，∴a ∥β.13．解 由点Q 在线段DD 1上移动，当点Q 与点D 1重合时，截面图形为等边三角形AB 1D 1，如图(1)所示；当点Q 与点D 重合时，截面图形为矩形AB 1C 1D ，如图(2)所示；图(1) 图(2)当点Q 不与点D ，D 1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB 1，如图(3)所示．§2.2.1 直线与平面平行的判定参考答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 1 6．17．证明 如图，连接BD 交AC 于F ，连接EF.因为F 为正方形ABCD 对角线的交点，所以F 为AC 、BD 的中点． 在三角形DD 1B 中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点，所以EF ∥D 1B . 又EF ⊂平面AEC ，BD 1⊄平面AEC ，所以BD 1∥平面AEC . 8．证明 连接OF ，∵O 为正方形DBCE 对角线的交点，∴BO ＝OE ， 又AF ＝FE ， ∴AB ∥OF ，。
人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系作业题及答案解析2.1.1平面同步练习题(含答案)
第二章 点、直线、平面之间的位置关系§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平 面【课时目标】 掌握文字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，并能运用它们解决点共线、线共面、线共点等问题．1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么________________在此平面内．符号：________________________________．2．公理2：过________________________________的三点，________________一个平面．3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有________过该点的公共直线．符号：________________________________．4．用符号语言表示下列语句：(1)点A在平面α内但在平面β外：______________．(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________．(3)直线l在面α内也在面β内：____________．(4)平面α内的两条直线M、n相交于A：________________________．一、选择题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．42．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作( )A．M∈b∈βB．M∈b?βC．M?b?βD．M?b∈β3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( ) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MNC．A∈α，A∈β?α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件是( )A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有( ) A．2个或3个B．4个或3个C．1个或3个D．1个或4个二、填空题7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)Aα，a?α________．(2)α∩β＝a，PD/∈α且Pβ________．(3)a?α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝M，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．三、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．第二章 点、直线、平面之间的位置关系§２．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．1．1 平 面答案知识梳理1．两点 这条直线 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α2．不在一条直线上 有且只有3．一个 一条 P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l4．(1)A∈α，A?β (2)A∈α，B?α且A∈l，B∈l (3)l?α且l?β (4)M?α，n?α且M∩n＝A作业设计1．A [由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确，故选A．] 2．B 3．D4．C [∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β．由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．故α∩β＝A的写法错误．]5．C6．D [四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]7．(1)C (2)D (3)A (4)B8．A∈M解析 因为α∩β＝M，A∈a?α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M 上．9．③10．解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC?平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明 P∵l1?β，l2?β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1?β，P∈l2?γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明 (1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF ∥CD 1．∴E 、C 、D 1、F 四点共面．(3)由(2)可知：四点E 、C 、D 1、F 共面．又∵EF ＝A 1B ．12∴D 1F ，CE 为相交直线，记交点为P ．则P ∈D 1F?平面ADD 1A 1，P ∈CE?平面ADCB ．∴P ∈平面ADD 1A 1∩平面ADCB ＝AD ．∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．。
人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系课后提升作业十四 2.3.2 含解析
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课后提升作业十四平面与平面垂直的判定(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°【解析】选B.由题可知，因为有m⊥α，n⊥β，所以m，n所成的角与二面角α-l-β所成的角相等或者互补，因为二面角α-l-β的大小为60°，所以异面直线m，n所成的角为60°.2.(2016·吉安高二检测)在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是( )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面PAED.平面PDF⊥平面ABC【解析】选D.D，F分别为AB，AC的中点，DF为三角形的中位线，则BC∥DF，依据线面平行判定定理可知，BC∥平面PDF；又E为BC的中点，连接AE，PE，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直判定定理可知BC⊥平面PAE，因BC∥DF，则DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，所以只有D不成立.【延伸探究】本题中若将条件“D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点”改为“PC⊥AB，AC⊥PC”，则下列结论成立的是( )A.平面PAB⊥平面PBCB.平面PAB⊥平面PACC.平面PAB⊥平面ABCD.平面PBC⊥平面ABC【解析】选D.因为PC⊥AB，PC⊥AC，AB∩AC=A，所以PC⊥平面ABC，又PC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.3.(2016·太原高二检测)如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【解析】选D.观察图形，根据空间垂直关系的判定方法，可以得出下面几组互相垂直的平面：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PAB，一共5对.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法中正确的是( )A.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC.若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】选D.对于选项A，分别在两个垂直平面内的两条直线平行、相交、异面都可能，但未必垂直；对于选项B，分别在两个平行平面内的两条直线平行、异面都可能；对于选项C，两个平面分别经过两垂直直线中的一条，不能保证两个平面垂直；对于选项D，m⊥α，m∥n，则n ⊥α；又因为n∥β，则β内存在与n平行的直线l，因为n⊥α，则l ⊥α，由于l⊥α，l⊂β，所以α⊥β.5.如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】选D.A正确，因为GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE=G，PC∩CB=C，所以平面EFG∥平面PBC；B正确，因为PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，所以GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC=C，所以GF⊥平面ABC，所以平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，因为GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角.6.(2016·嘉峪关高一检测)三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心，高是，侧棱长为，那么侧面与底面所成的二面角是( )A.60°B.30°C.45°D.75°【解析】选A.过B作AC边上的中线BD，交AC于D，连接VD，则V在底面ABC上的射影O点在中线BD上，且BO=2OD，因为VO⊥平面ABC，所以BO2=VB2-VO2，又VO=，VB=，所以BO=2，OD=1，所以cos∠VDO=，所以∠VDO=60°.即平面VAC与平面ABC所成二面角为60°.7.(2016·赣州高二检测)如图，P是正方体ABCD-A1B1C1D1中BC1上的动点，下列说法：①AP⊥B1C；②BP与CD1所成的角是60°；③为定值；④B1P∥平面D1AC；⑤二面角P-AB-C的平面角为45°.其中正确说法的个数有( )A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】选C.①AB⊥BC，AB⊥BB1，所以平面ABP⊥平面BB1C1C，从而AP⊥B1C正确；②由于CD1∥A1B，并且BC1与A1B的夹角是60°，故BP与CD1所成的角是60°正确；③虽然点P变化，但P到AD1的距离始终不变，故为定值正确；⑤P点变化，但二面角P-AB-C都是面AD1C1B与面ABCD所成的角，故二面角P-AB-C的平面角为45°正确.8.如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与CD所成的角为60°；④AB 与平面BCD所成的角为60°.其中错误的结论是( )A.①B.②C.③D.④【解析】选D.如图所示，取BD的中点E，连接AE，EC，AC，易知BD⊥面AEC，所以①正确；设正方形的边长为a，则AE=EC=a，由勾股定理可得AC=a，所以△ACD是等边三角形，②正确；取BC的中点F，AC的中点G，连接EF，EG，FG，则EF=FG=a，EG=a，所以AB与CD所成的角为60°，③正确；AB与平面BCD所成的角为∠ABE=45°，所以④错误.二、填空题(每小题5分，共10分)9.(2016·济宁高一检测)如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点.有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)【解析】①不正确，因为PA⊂平面MOB；②正确，因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，所以MO∥平面PAC；③不正确，OC不垂直于AC；④正确，因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，所以BC⊥平面PAC.答案：②④【补偿训练】(2016·广州高一检测)如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA=45°.其中正确的有____________(把所有正确的序号都填上).【解析】对于①，由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB=A，得AE⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以AE⊥PB，①正确；对于②，因为平面PAB⊥平面ABC，所以平面ABC ⊥平面PBC不成立，②错；对于③，由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立，③错；对于④，在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45°，所以④正确.答案：①④10.(2016·台州高二检测)A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.【解析】由题可知，设过点A作l的垂线，垂足为C，由于AB⊥β，则三角形ABC为直角三角形，∠ACB就是二面角α-l-β的平面角，BC==1，因此∠ACB=60°，即二面角α-l-β的平面角是60°. 答案：60°三、解答题(每小题10分，共20分)11.如图所示，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB 的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.(1)求证：平面PAC⊥平面ABC.(2)求二面角D-AP-C的正弦值.【解析】(1)因为D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20，所以PD=AB=10，所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC=P，所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC.又AC⊥BC，AP∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)因为PA⊥PC，且PA⊥PB，所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC，所以sin∠BPC==.12.(2016·山东高考)在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.(1)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC.(2)已知EF=FB=AC=2,AB=BC.求二面角F-BC-A的余弦值.【解析】(1)如图,设FC中点为I,连接GI,HI,在△CEF中,GI∥EF,又EF∥OB,所以GI∥OB;在△CFB中,HI∥BC,又HI∩GI=I,所以,平面GHI∥平面ABC,又因为GH⊂平面GHI,GH⊄平面ABC,所以GH∥平面ABC.(2)如图,连接OO',过点F作FM垂直OB于点M,则有FM∥OO'.又OO'⊥平面ABC,所以FM⊥平面ABC,可得FM==3.过点M作MN⊥BC,垂足为N,易得FN⊥BC,从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角.又AB=BC,AC为下底面圆的直径,可得MN=BMsin45°=.由勾股定理可得,FN=,从而cos∠FNM=.所以二面角F-BC-A的余弦值为.【能力挑战题】如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点.(1)求证：AF⊥EF.(2)求二面角A-PC-B的平面角的正弦值.【解析】(1)因为F是PB的中点，且PA=AB，所以AF⊥PB，因为△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，所以PA⊥AD，PA⊥AB.因为AD∩AB=A，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.因为BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥AB.因为PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为AF⊂平面PAB，所以BC⊥AF.因为PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AF⊥平面PBC.因为EF⊂平面PBC，所以AF⊥EF.(2)作FH⊥PC于点H，连接AH，因为AF⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AF⊥PC.因为AF∩FH=F，AF⊂平面AFH，FH⊂平面AFH，所以PC⊥平面AFH.因为AH⊂平面AFH，所以PC⊥AH.所以∠AHF为二面角A-PC-B的平面角.设正方形ABCD的边长为2，则PA=AB=2，AC=2，在Rt△PAC中，PC==2，AH==，在Rt△AFH中，sin∠AHF==，所以二面角A-PC-B的平面角的正弦值为.关闭Word文档返回原板块附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系课后提升作业十二 2.2.4 含解析
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课后提升作业十二平面与平面平行的性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2016·衡水高二检测)在空间中，下列命题错误的是( )A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B.一个平面与两个平行平面相交，交线平行C.平行于同一平面的两个平面平行D.平行于同一直线的两个平面平行【解析】选D.与两相交平面交线平行的直线，可平行两平面，即平行于同一直线的两个平面可相交，因此D错误.C为定理，正确；A，B显然成立.2.如图所示，在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M 是△A1B1C1内的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是( )A.平面B.直线C.线段，但只含1个端点D.圆【解析】选C.因为平面BDM∥平面A1C，平面BDM∩平面A1B1C1=DM，平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点).3.α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列说法，不正确的是( )①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；④⇒α∥β；⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α；A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③【解析】选C.由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内.4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′=2∶3，则SS△ABC等于△A′B′C′∶( )A.2∶25B.4∶25C.2∶5D.4∶5【解析】选B.平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，所以AB∥A′B′，同理B′C′∥BC，易得△ABC∽△A′B′C′，S△A′B′C′∶S△ABC===.5.设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB的中点，当点A，B 分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C( )A.不共面B.不论点A，B如何移动，都共面C.当且仅当点A，B分别在两条直线上移动时才共面D.当且仅当点A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面【解析】选B.由平面与平面平行的性质，不论A，B如何移动，动点C 均在过C且与平面α，β都平行的平面上.6.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E=1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B=A1F，则AF的长为( )A.1B.1.5C.2D.3【解析】选A.因为平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B=A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B=BE，所以A1F∥BE.又A1E∥BF，所以A1EBF是平行四边形，所以A1E=BF=2，所以AF=1.7.如图所示，长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为AA′，BB′的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则HG与AB的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面【解析】选A.因为E，F分别为AA′，BB′的中点，所以EF∥AB，因为AB⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD=HG，所以EF∥HG，所以HG∥AB.8.(2016·广州高一检测)如图，在三棱锥P-ABQ中，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH，则AB与GH的关系是( )A.平行B.垂直C.异面D.平行或垂直【解析】选A.因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∥AB，DC∥AB，所以EF∥DC，又因为EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD，又因为EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，所以EF∥GH，又因为EF∥AB，所以AB∥GH.二、填空题(每小题5分，共10分)9.已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个说法：(1)若m∥α，n∥α，则m∥n；(2)若m∥α，n∥α，m，n⊂β，则α∥β；(3)若m∥n，n⊂α，则m∥α；(4)若α∥β，m⊂α，则m∥β.其中正确说法的个数为________个.【解析】说法(1)中，m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故(1)错；说法(2)中，由面面平行的判定定理，当m与n相交时，可得α∥β，故(2)错；说法(3)中，由线面平行的判定定理，当m在α外时，可得m∥α，故(3)错；说法(4)中，由面面平行的性质知，(4)正确，故正确说法只有一个.答案：1【补偿训练】已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列说法：①若α∩γ=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β；④若a⊂α，a∥β，α∩β=b，则a∥b.其中正确说法的序号是________.【解析】①③中，α与β可能相交，②由平面与平面平行的判定定理知正确，④由线面平行的性质知正确.答案：②④10.(2016·邢台高二检测)一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________.【解析】VB∥平面DEFP，平面DEFP∩平面VAB=PF，所以VB∥PF.同理，VB∥DE，EF∥AC，PD∥AC，所以PF∥DE，PD∥EF，所以四边形DEFP是平行四边形，且边长均为.易证正四面体对棱垂直，所以VB⊥AC，即PF ⊥EF.因此四边形DEFP为正方形，所以其面积为×=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2016·余姚高二检测)如图，三棱锥P-ABC中，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP.求证：CM∥平面BEF.【证明】取AF的中点G，连接CG，GM，因为FA=2FP，所以GF=AF=FP，又因为E为PC中点，所以EF∥CG，因为CG⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以CG∥平面BEF，同理可证：GM∥平面BEF，又因为CG∩GM=G，所以平面CMG∥平面BEF，因为CM⊂平面CGM，所以CM∥平面BEF.【补偿训练】如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC.【证明】过N作NR∥DC交PC于点R，连接RB，依题意得====⇒NR=MB.因为NR∥DC∥AB，所以四边形MNRB是平行四边形.所以MN∥RB.又因为RB⊂平面PBC，所以直线MN∥平面PBC.12.(2016·淮安高二检测)如图所示，已知ABCD为梯形，AB∥CD，CD=2AB，M为线段PC上一点.(1)设平面PAB∩平面PDC=l，证明：AB∥l；(2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD，若存在，请确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.【解析】(1)因为AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，又因为平面PAB∩平面PDC=l，且AB⊂平面PAB，所以AB∥l.(2)存在点M，使得PA∥平面MBD，此时=.证明如下：连接AC交BD于点O，连接MO.因为AB∥CD，且CD=2AB，所以==，又因为=，PC∩AC=C，所以PA∥MO，因为PA⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，所以PA∥平面MBD.【能力挑战题】如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点.(1)求证：PQ∥平面DCC1D1.(2)求PQ的长.(3)求证：EF∥平面BB1D1D.【解析】(1)如图所示.连接AC，CD1，因为P，Q分别是AD1，AC的中点，所以PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1.CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)知PQ=D1C= a.(3)取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.关闭Word文档返回原板块附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
高一数学第二章点、直线、平面之间的位置关系单元测试题及答案
人教必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题（时间：60分钟；满分：100分）班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分；共50分）1.若直线a 不平行于平面α；则下列结论成立的是（ ）A. α内所有的直线都与a 异面；B. α内不存在与a 平行的直线；C. α内所有的直线都与a 相交；D.直线a 与平面α有公共点. 2.已知两个平面垂直；下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线；则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C3.空间四边形ABCD 中；若AB AD AC CB CD BD =====；则AC 与BD 所成角为A 、030B 、045 060 D 、090 4. 给出下列命题：（1）直线a 与平面α不平行；则a 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面α不垂直；则a 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直；则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面；直线b 和c 共面；则a 和c 共面 其中错误命题的个数为（ ） A 、 0 B 、1 C 、2 D 、35．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中；与对角线AC 1异面的棱有（ ）条A 、 3B 、 4C 、 6D 、 86. 点P 为ΔABC 所在平面外一点；PO ⊥平面ABC ；垂足为O ；若PA=PB=PC ；则点O 是ΔABC 的（ ）A 、 内心B 、外心C 、 重心D 、垂心 7.如图长方体中；AB=AD=23；CC 1=2；则二面角 C 1—BD —C 的大小为（ ）A 、300B 、450C 、600D 、9008.直线a ；b ；c 及平面α；β；γ；下列命题正确的是（ ）A 、若a ⊂α；b ⊂α；c ⊥a ； c ⊥b 则c ⊥αB 、若b ⊂α； a//b 则 a//αC 、若a//α；α∩β=b 则a//bD 、若a ⊥α； b ⊥α 则a//b 9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线a//α；a//βC.直线a α⊂；直线b β⊂；且a//β；b//αD.α内的任何直线都与β平行 10、 a ； b 是异面直线；下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ；b 都垂直；④至少有一个平面与a ；b 都平行。
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高一数学（必修2）第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[提高训练]
一、选择题
1．设,m n 是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m ⊥α，n //α，则n m ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ
③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ
其中正确命题的序号是 ( )
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④
2．若长方体的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体体对角线长为（ ）
A B
C D 3．在三棱锥A BCD -中,AC ⊥底面0,,,,30BCD BD DC BD DC AC a ABC ⊥==∠=, 则点C 到平面ABD 的距离是( )
A ．5a
B ． 5a
C ．5
a D ．3 4．在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 是11AC 的中点，则直线CE 垂直于（ ）
A ．AC
B ． BD
C ．1A
D D ．11A D
5．三棱锥P ABC -的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
6．在四面体ABCD 中，已知棱AC 1，则二面角
A C D
B --的余弦值为（ ）
A ．12
B ．13
C ．3
D ．3
7．四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）
A ．090
B ．060
C ．045
D ．0
30
二、填空题
1．点,A B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，则线段AB 的中点M 到α平面的
距离为_________________．
2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。
3．一条直线和一个平面所成的角为060，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．
4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_____。
5．在正三棱锥P ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，4,8AB PA ==,过A 作与,PB PC 分别交于D 和E 的截面，则截面∆ADE 的周长的最小值是________
三、解答题
1．正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点．求证：平面MBD ⊥平面BDC ．
2．求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
3.在三棱锥S ABC -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面,ABC SA SC ==M 、N 分别为,AB SB 的中点。
（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ；
（Ⅱ）求二面角N -CM -B 的大小；
（Ⅲ）求点B 到平面CMN 的距离。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系 [提高训练]参考答案
一、选择题
1． A ③若m //α，n //α，则m n //，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系 ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交
2．C 设同一顶点的三条棱分别为,,x y z ，则222222222,,x y a y z b x z c +=+=+=
得2222221()2x y z a b c ++=++=3．B 作等积变换A BCD C ABD V V --=
4．B BD 垂直于CE 在平面ABCD 上的射影
5．C BC PA BC AH ⊥⇒⊥
6．C 取AC 的中点E ，取CD 的中点F ，1,222
EF BE BF ===
cos 3
EF BF θ==
7．C 取SB 的中点G ，则2a GE GF ==
，在△SFC 中，2EF a =，045EFG ∠= 二、填空题
1.5cm 或1cm 分,A B 在平面的同侧和异侧两种情况
2.48 每个表面有4个，共64⨯个；每个对角面有4个，共64⨯个
3.090 垂直时最大
4.030 底面边长为1，t a n
θ= 5.11 沿着PA 将正三棱锥P A B C -侧面展开，则',,,A D E A 共线，且'//AA BC
三、解答题：略。