【VIP专享】第运筹学08章课件
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运筹学课程课件
▪Involves different types of shipments
▪ Direct truck – Shipment made with no stops ▪ Less than truckload (LTL) – Smaller shipment combined with other loads
Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.
8-8
Logistics Decision Areas
Water
▪Ideal for materials with high weight-to-value ratio, especially if delivery speed is not critical. ▪Examples of these materials include farm produce, timber, petroleum-based products. ▪Has one of the lowest ton-mile rates of any mode which helps to keep costs down.
▪ Warehousing can be used to:
▪ Reduce transportation costs ▪ Improve operational flexibility ▪ Shorten customer lead times ▪ Lower inventory-related costs.
Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.
8-14
Logistics Decision Areas
▪ Reducing Transportation Costs
▪ Direct truck – Shipment made with no stops ▪ Less than truckload (LTL) – Smaller shipment combined with other loads
Copyright © 2016 Pearson Education, Inc.
8-8
Logistics Decision Areas
Water
▪Ideal for materials with high weight-to-value ratio, especially if delivery speed is not critical. ▪Examples of these materials include farm produce, timber, petroleum-based products. ▪Has one of the lowest ton-mile rates of any mode which helps to keep costs down.
▪ Warehousing can be used to:
▪ Reduce transportation costs ▪ Improve operational flexibility ▪ Shorten customer lead times ▪ Lower inventory-related costs.
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8-14
Logistics Decision Areas
▪ Reducing Transportation Costs
运筹学PPT完整版
线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？
(2)
x j 0, j 1,2,, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 27
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
最优解：使目标函数达到最大值的可行解。
绪论
本章主要内容： （1）运筹学简述 （2）运筹学的主要内容 （3）本课程的教材及参考书 （4）本课程的特点和要求 （5）本课程授课方式与考核 （6）运筹学在工商管理中的应用
运筹学简述
Page 2
运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有人把运筹
学称之为管理科学(Management Science)。运筹学所研究的 问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案” 故有人称之为最优化技术。
Page 3
运筹学的主要内容
Page 4
数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的教材及参考书
Page 5
❖选用教材 ➢ 《运筹学基础及应用》胡运权主编 哈工大出版社
❖参考教材 ➢ 《运筹学教程》胡运权主编 （第2版）清华出版社 ➢ 《管理运筹学》韩伯棠主编 （第2版）高等教育出版社 ➢ 《运筹学》(修订版) 钱颂迪主编 清华出版社
运筹学PPT完整版
Page 13
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？ x
其中： C (c c c ) 1 2 n
a11 a1 n A a m 1 a mn
x1 X xn
b1 B bm
线性规划问题的数学模型
3. 线性规划问题的标准形式
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题：
Page 24
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以 用 x x 替换 x 3 ，且 x , x 0 3 3 3 3
线性规划问题的数学模型
Page 25
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式； (3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
线性规划问题的数学模型
例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式
m i nZ 2 x 1 x 2 3 x 3 5 x1 x 2 x 3 7 x1 x 2 4 x 3 2 3 x 1 x 2 2 x 3 5 x 1 , x 2 0, x 3 无 约 束
运筹学ppt课件
– 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为 max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表 了最优解；
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
运筹08(第二章)运筹学第五版课件(历史上最好的,最全面的课件)
初始表中是 I 的位置，经变换后成为 B 1
其中 Y ( y 1 , y 2 ,..., y m )
记
Y CBB
1
1
Y 0 CBB
N
1
则
CN CBB
1
1
N C N YN
1
b B b;
N B
N ,或
P j B
Pj
例：书 P36 例10，验证上述公式。 上述公式对于灵敏度分析很有帮助 。
b
i 1
m
i
ˆ y i ，于是上式应为等式，即有
a
i 1 j 1
m
n
ij
ˆ ˆ x j yi
b
i 1
m
i
ˆ yi
( a
i 1 j 1
m
n
ij
ˆ ˆ x j bi ) y i 0
2012-8-18
19
而
a
j 1
n
ij
ˆ x j bi 0 ;
ˆ yi 0
且两者最优目标函数值相等，即 证明 设有线性规划问题
max z min w
。
max Z CX ; AX X s b ; X , X s 0
经单纯形法计算后，令Y C B B
基可行解 基变量
1
0， 最终表中
非基变量
b
I
0 CB CBB
1
N
B
B
1
j
1 1 N C N C B B N Y C B B
6、设原问题是： max Z CX
2012-8-18
11
《运筹学实用教程》PPT课件
7
服务系统的运行指标
队长（Ls）指系统中顾客数的数学期望值。 排队长（Lq）指系统内排队顾客数的数学期
望值。 很显然，Ls ＝Lq＋正在被服务顾客数的期望
值。 逗留时间（Ｗs）指一个顾客在系统中停留时
间的数学期望值。 等待时间（Wq）指一个顾客在系统中排队等
待时间的数学期望值。 很显然，Ｗs＝［等待时间］＋［服务时间］ 忙期 指服务员忙于服务的时间。与此相反
泊松过程是马尔科夫过程 本章主要考虑马尔科夫过程，即泊松流。
ppt课件
17
二、生灭过程的假设条件
系统状态N(t)得分布具有下列性质时，称 其为一个生灭过程：
当N(t)=n时，顾客到达的时间间隔服从参数
为 的负指数分布
当N(t)=n时，服务时间间隔服从参数为 的
负指数分布
在一个无限短的时间间隔里，最多只有一个 顾客到达或离去
ekt
E (T ) 1
1
D[T ] k 2
ppt课件
12
服务系统模型的符号表示法
为了使用上的方便，肯达（Kendal）在1953年归纳了一种服务 系统的符号表示法。它用[A/B/C]表示一个服务系统的特征。
其中 A处填写顾客到达的规律；
B处填写服务时间的分布规律；
C处填写服务通道的数目。
ppt课件
18
三、生灭过程的状态转移图
生灭过程的瞬时状态一般很难求得，但 可求得稳定状态分布
对于稳定的生灭状态，从平均意义上说 有：“流入=流出”
稳定的生灭过程可以用状态转移图表示
ppt课件
19
一般状态转移图示例
0 1
2
01
2
1 2 3
n2
n 1
运筹学课件--运筹学电子教案1-8章
这些研究大大提高了盟军的作战能力，为反法西斯 争的最后胜利作出了巨大的贡献！ 战
2012-9-1
运筹学
绪论
历史，性质，应用
战争结束了！整个世界投入到了战后的重建国家的经济之中。
运筹学的方法相继在工业，农业，经济，社会问题等各个领域中 展开了应用。与此同时，运筹数学有了飞快的发展，并形成了许 多运筹学的分支。 线性规划，非线性规划，整数规划，目标规划，动态规划， 图与网络分析，统筹方法，排队论，存储论，对策论， 决策论，多目标决策。
2、生产计划------从总体确定生产、存储和劳动力的配合等计划 适应波动的需求计划。巴基斯坦一重型制造厂用线性规划安排生产计
划，节省10%的生产费用。
3、运输问题------涉及空运、水运、公路、铁路运输、管道运输 等。公路网的设计和分析，市内公共汽车路线的选择和行车时刻 表的安排，出租车的调度等。
2012-9-1
运筹学
绪论
历史，性质，应用
4、人事管理------需求估计，教育和培训，人员分配（各种指派 问题），合理利用，人才评价等。 5、设备维修，更新和可靠性等。 6、计算机和信息系统------内存分配研究，网络设计分析等。 7、城市管理------紧急服务系统的设计和运用，区域布局规划， 管道网络设计等。（美）曾用排队论确定纽约市紧急电话站的值班人
绪论
历史，性质，应用
2012-9-1
运筹学的工作步骤 运筹学在解决大量实际问题的过程中形成了自己的工作步骤。 （1） 提出和形成问题。 即弄清问题的目标，可能的约束，问题 的可控变量以及有关参数，搜集有关资料; （2） 建立模型。 即把问题中可控变量，参数和目标与约束之间 的关系用一定的模型表示出来; （3） 求解。用各种手段（主要是数学方法，也可用其他方法） 将模型求解。解可以是最优解、次优解、满意解。复杂模型的求 解需用计算机，解的精度要可由求决策者提出； （4） 解的检验。首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查 解是否反映现实问题； （5） 解的控制。通过控制解的变化过程决定是否要作一定的改 变； （6） 解的实施。是指将解用到实际中必须考虑到实施的问题， 如向实际部门讲清解的用法，在实施中可能产生的问题和修改。 运筹学
2012-9-1
运筹学
绪论
历史，性质，应用
战争结束了！整个世界投入到了战后的重建国家的经济之中。
运筹学的方法相继在工业，农业，经济，社会问题等各个领域中 展开了应用。与此同时，运筹数学有了飞快的发展，并形成了许 多运筹学的分支。 线性规划，非线性规划，整数规划，目标规划，动态规划， 图与网络分析，统筹方法，排队论，存储论，对策论， 决策论，多目标决策。
2、生产计划------从总体确定生产、存储和劳动力的配合等计划 适应波动的需求计划。巴基斯坦一重型制造厂用线性规划安排生产计
划，节省10%的生产费用。
3、运输问题------涉及空运、水运、公路、铁路运输、管道运输 等。公路网的设计和分析，市内公共汽车路线的选择和行车时刻 表的安排，出租车的调度等。
2012-9-1
运筹学
绪论
历史，性质，应用
4、人事管理------需求估计，教育和培训，人员分配（各种指派 问题），合理利用，人才评价等。 5、设备维修，更新和可靠性等。 6、计算机和信息系统------内存分配研究，网络设计分析等。 7、城市管理------紧急服务系统的设计和运用，区域布局规划， 管道网络设计等。（美）曾用排队论确定纽约市紧急电话站的值班人
绪论
历史，性质，应用
2012-9-1
运筹学的工作步骤 运筹学在解决大量实际问题的过程中形成了自己的工作步骤。 （1） 提出和形成问题。 即弄清问题的目标，可能的约束，问题 的可控变量以及有关参数，搜集有关资料; （2） 建立模型。 即把问题中可控变量，参数和目标与约束之间 的关系用一定的模型表示出来; （3） 求解。用各种手段（主要是数学方法，也可用其他方法） 将模型求解。解可以是最优解、次优解、满意解。复杂模型的求 解需用计算机，解的精度要可由求决策者提出； （4） 解的检验。首先检查求解步骤和程序有无错误，然后检查 解是否反映现实问题； （5） 解的控制。通过控制解的变化过程决定是否要作一定的改 变； （6） 解的实施。是指将解用到实际中必须考虑到实施的问题， 如向实际部门讲清解的用法，在实施中可能产生的问题和修改。 运筹学
运筹学全册精品完整课件
否则，目标函数等值线与可行域 将交于无穷远处，此时称无有限最 优解。
36
例2-2 考虑例2-1
某工厂拥有A、B、C 三种类型的设备，
生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中 需要占用的设备机时数，每件产品可以获 得的利润以及三种设备可利用的时数如下 表所示。问题：工厂应如何安排生产可获 得最大的总利润？
一、线性规划问题的提出
在实践中，根据实际问题的要求，常常 可以建立线性规划问题数学模型。
例2-1 我们首先分析开篇案例提到的问题。 解：设变量 xi 为第 i 种（甲、乙）产品的 生产件数（i＝1，2）。根据题意，我们知道 两种产品的生产受到设备能力（机时数）的 限制。对设备A：两种产品生产所占用的机时 数不能超过65，于是我们可以得到不等式：
运筹学是运用科学的方法（如 分析、试验、量化等）来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一门 学科。
4
运筹学概述
运筹学能够对经济管理系统中 的人力、物力、财力等资源进行统 筹安排，为决策者提供有依据的最 优方案，以实现最有效的管理。
通常以最优、最佳等作为决策 目标，避开最劣的方案。
5
运筹学的产生和发展
8பைடு நூலகம்
运筹学在管理中的应用
生产计划：生产作业的计划、日程表的
编排、合理下料、配料问题、物料管 理等。
库存管理：多种物资库存量的管理，库
存方式、库存量等。
运输问题：确定最小成本的运输线路、
物资的调拨、运输工具的调度以及建
厂地址的选择等。
9
运筹学在管理中的应用
• 人事管理：对人员的需求和使用的 预测，确定人员编制、人员合理分 配，建立人才评价体系等。
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
36
例2-2 考虑例2-1
某工厂拥有A、B、C 三种类型的设备，
生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中 需要占用的设备机时数，每件产品可以获 得的利润以及三种设备可利用的时数如下 表所示。问题：工厂应如何安排生产可获 得最大的总利润？
一、线性规划问题的提出
在实践中，根据实际问题的要求，常常 可以建立线性规划问题数学模型。
例2-1 我们首先分析开篇案例提到的问题。 解：设变量 xi 为第 i 种（甲、乙）产品的 生产件数（i＝1，2）。根据题意，我们知道 两种产品的生产受到设备能力（机时数）的 限制。对设备A：两种产品生产所占用的机时 数不能超过65，于是我们可以得到不等式：
运筹学是运用科学的方法（如 分析、试验、量化等）来决定如何 最佳地运营和设计各种系统的一门 学科。
4
运筹学概述
运筹学能够对经济管理系统中 的人力、物力、财力等资源进行统 筹安排，为决策者提供有依据的最 优方案，以实现最有效的管理。
通常以最优、最佳等作为决策 目标，避开最劣的方案。
5
运筹学的产生和发展
8பைடு நூலகம்
运筹学在管理中的应用
生产计划：生产作业的计划、日程表的
编排、合理下料、配料问题、物料管 理等。
库存管理：多种物资库存量的管理，库
存方式、库存量等。
运输问题：确定最小成本的运输线路、
物资的调拨、运输工具的调度以及建
厂地址的选择等。
9
运筹学在管理中的应用
• 人事管理：对人员的需求和使用的 预测，确定人员编制、人员合理分 配，建立人才评价体系等。
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
运筹学PPT完整版
优化炼油程序及产品供应、配送和营销
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
s.t
n j1
aij
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 28
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
maxZ 2x1 x2 3(x3 x3)0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4 7
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
线性规划问题的数学模型
Page 17
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
每年节约成本600万美元 每年节约成本7000万
优化商业用户的电话销售中心选址
控制成本库存（制定最优再定购点和定购 量确保安全库存） 制定最优铁路时刻表并调整铁路日运营量
优化员工安排，以最低成本服务客户
每年节约成本4.06亿美元，销 售额大幅增加 每年节约成本380万美元
s.t
n j1
aij
xj
bi
(i 1,2,,m)
(2)
xj 0, j 1,2,,n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
线性规划问题的数学模型
Page 28
可行解：满足约束条件②、③的解为可行解。所有可行解 的集合为可行域。
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
maxZ 2x1 x2 3(x3 x3)0x4 0x5
5x1 x2 (x3 x3) x4 7
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1 5 0 1 1
B 1 106 B 2 6 2 B 3 101 B 4 6 0
5 1 1 0
1 1 1 0
1 0
B 5 100 B 6 2 1 B 7 2 0 B 8 6 1 B 9 0 1
线性规划问题的数学模型
Page 17
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints
运筹学课件 08运输问题
销 产 A1 A2 ┇ Am 销量 B1 x11 x21 ┇ xm1 b1 B2 x12 x22 ┇ xm2 b1 … ┇ … Bn x1n x2n ┇ xmn bn 产量 a1 a2 ┇ am
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
ui
vj
n x a m个 ( i 1 , , m ) ij i j 1 m xij b j ( j 1, , n ) i 1 xij 0 ( i 1 , , m ; j 1 , , n ) n个
例 某货物，其产地A1的产量为10单位，A2的产量为 2单位，销地A3、A4、A5的销量分别为3单位、1单位 和8单位，其中产地A2、销A4又可作为中转站。同时 ，货物可通过纯中转站A6进行运输。各产地、销地及 中转站之间的单位物资运价如表所示，试求一个使总 运费最省的调运方案。
设ui,vj为对偶变量，对偶问题模型为
max w a i u i b j v j
m
n
ui v j cij
i 1
ji
ui‚vj无约束 （i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)
§2
计算步骤：
表上作业法
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法或差值法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是否 达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则 转到下一步。 空格 (3) 对方案进行改善，找出新的调运方案。（表上 闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
§4
运输问题的扩展
供不应求 供过于求
本 节 重 点
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
ui
vj
n x a m个 ( i 1 , , m ) ij i j 1 m xij b j ( j 1, , n ) i 1 xij 0 ( i 1 , , m ; j 1 , , n ) n个
例 某货物，其产地A1的产量为10单位，A2的产量为 2单位，销地A3、A4、A5的销量分别为3单位、1单位 和8单位，其中产地A2、销A4又可作为中转站。同时 ，货物可通过纯中转站A6进行运输。各产地、销地及 中转站之间的单位物资运价如表所示，试求一个使总 运费最省的调运方案。
设ui,vj为对偶变量，对偶问题模型为
max w a i u i b j v j
m
n
ui v j cij
i 1
ji
ui‚vj无约束 （i=1,2, …,m;j=1,2, …,n)
§2
计算步骤：
表上作业法
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法或差值法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是否 达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否则 转到下一步。 空格 (3) 对方案进行改善，找出新的调运方案。（表上 闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
§4
运输问题的扩展
供不应求 供过于求
本 节 重 点
运筹学PPT完整版
运筹学的主要内容
5、图与网络(Graph Theory and Network)：中国邮递员问 题、哥尼斯堡城问题、最短路、最大流问题。 6、存储论（Inventory Theory)：主要解决生产中的库存问 题，订货周期和订货量等问题。 7、排队论(Queue Theory)：主要研究排队系统中的系统排 队和系统拥挤现象，从而评估系统的服务质量。 8、对策论(Game Theory)：主要研究具有斗争性质的优化问 题。 9、决策分析(Decision Analysis) ：主要研究定量化决策。
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
解：
1.决策变量：设产品I、设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2
3.约束条件：
5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5
x1， x2≥0
1978年11月，在成都召开了全国数学年会，对运筹学的理论 与应用研究进行了一次检阅，1980年4月在山东济南正式成立了 “中国数学会运筹学会”，1984年在上海召开了“中国数学会运 筹学会第二届代表大会暨学术交流会”，并将学会改名为“中国 运筹学会”。
运筹学的发展趋势
绪论
成熟的学科分支向纵深发展 新的研究领域产生 与新的技术结合 与其他学科的结合加强 传统优化观念不断变化
3.约束条件：
2x1 + 2x2 ≤ 12
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
线性规划问题的数学模型
第运筹学08章课件
3
哥尼斯堡七座桥问题—图
4
哥尼斯堡七座桥问题
• 问题：一个漫步者如何能够走过这
七座桥，并且每座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。
1736 年 欧 拉 将 这 个 问 题 抽 象 成 由 点和线构成的一笔画问题图形：能否 从某一点开始不重复地一笔画出这个 图形，最终回到原点，欧拉证明了这 是不可能的。
v5
v5 4 8 2 0
图中，两顶点之间有边相连的，写上它们的
权数，无边相连的记为 ，表示此两点之
间是不通。对角线上的数值仍然为0。赋权
无向图对应的矩阵也是对称的。
24
图的矩阵描述
（3）赋权有向图的邻接矩阵表示 终点
v2
5
3
v1
6
4
2
v3
8
v4
v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 3 2
v2
e7 v5
e5
v4
e6 v3
11
图的基本概念
• 环、多重边、简单图
如果图中某一边的两个端点相同，则称为
环，如图中的e8。如果图中两边(或多边)具有 相同的一对端点，则称为多重边(或平行边)，
如图中的e2、e3。
无环和无多重边的图 v1
称为简单图。
注意：当两个图的形状看似
e3
不同，但如果它们的顶点集、
诸如此类还有城市中的市政管道图、 民用航空线图等。
7
14个城市之间的铁路交通示意图
太原
石家庄
北京 天津 塘沽
济南 青岛
重庆
郑州 武汉
徐州 连云港
南京
上海
8
第一节 图的基本概念
图论中图的基本要素是点和点之间的 线。一般来说，通常用点表示研究对象、 用点与点之间的线表示研究对象之间的 特定关系。
哥尼斯堡七座桥问题—图
4
哥尼斯堡七座桥问题
• 问题：一个漫步者如何能够走过这
七座桥，并且每座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。
1736 年 欧 拉 将 这 个 问 题 抽 象 成 由 点和线构成的一笔画问题图形：能否 从某一点开始不重复地一笔画出这个 图形，最终回到原点，欧拉证明了这 是不可能的。
v5
v5 4 8 2 0
图中，两顶点之间有边相连的，写上它们的
权数，无边相连的记为 ，表示此两点之
间是不通。对角线上的数值仍然为0。赋权
无向图对应的矩阵也是对称的。
24
图的矩阵描述
（3）赋权有向图的邻接矩阵表示 终点
v2
5
3
v1
6
4
2
v3
8
v4
v1 v2 v3 v4 v5
v1 0 3 2
v2
e7 v5
e5
v4
e6 v3
11
图的基本概念
• 环、多重边、简单图
如果图中某一边的两个端点相同，则称为
环，如图中的e8。如果图中两边(或多边)具有 相同的一对端点，则称为多重边(或平行边)，
如图中的e2、e3。
无环和无多重边的图 v1
称为简单图。
注意：当两个图的形状看似
e3
不同，但如果它们的顶点集、
诸如此类还有城市中的市政管道图、 民用航空线图等。
7
14个城市之间的铁路交通示意图
太原
石家庄
北京 天津 塘沽
济南 青岛
重庆
郑州 武汉
徐州 连云港
南京
上海
8
第一节 图的基本概念
图论中图的基本要素是点和点之间的 线。一般来说，通常用点表示研究对象、 用点与点之间的线表示研究对象之间的 特定关系。
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因此，图论中的图与几何图，工程图 等本质上是不同的。
9
基本概念
•图
设V={v1,v2 ,…,vn}, E={e1,e2,…,em},若对 于任一ej E，均有vs,vt V与之对应，则
称VE为图，记为G =(V，E)。
• 顶点、边、端点、关联边、邻接点
在G中，称vi为G的顶点，ej为的边， 并记为ej=(vs ,vt )=(vt ,vs )，称vs 、vt 是ej 的 端点， ej 是与vs 、vt 关联的边， vs 、vt 称 为邻接的点。
定义：设V={v1,v2 ,…,vn}, A={a1,a2,…,am}, 若对于任一aj A, 均有有序对(vs,vt)与之 对应, 则称V A为有向图, 记作D =(V, A) 。称为 vs 顶点，aj 为弧，记为aj=(vs, vt)， 在不至于混淆时也称为边。
18
图的基本概念——有向图
有向图D =（V，A）
次数为偶数的点称为 v1 e2
v2
偶点；次数为 1 的点 e3 为悬挂点；与悬挂点 关联的边称为悬挂边。
v4
e4 e6
e7 v5
e5 v6 v3
13
基本定理
Hale Waihona Puke 定理 8-1任一图中顶点次数之和等于边
数的二倍，即：
n
d
vi
2m
i 1
定理8- 2
任一图中奇点的个数必为偶数。
14
图的基本概念
• 链、初等链、简单链
这是古典图论中的著名问题之一。
5
哥尼斯堡七桥——一笔画问题
C
A
B
D
6
引言
在实际的生产和生活中，人们为 了反映事物之间的关系，常常在纸上 用点和线来画出各式各样的示意图。
例8-1 我国北京、上海、重庆等14 个城市之间的铁路交通可以通过用点 表示城市，用点与点之间的线表示城 市之间的铁路线，画出关系示意图。
的真子图； • 部分图（支撑子图）：如果 V2 = V1 ,
E2 E1 称 G2 是 G1 的部分图； • 导出子图：若V2 V1, E2={[vi,vj]:vi,vjV2},
称 G2 是 G1 中由V2 导出的导出子图。
17
有向图
许多实际问题用前述无向图无法描述，例如交通 图中的单行道，一项工程各工序间的先后次序关系等 ，所以需要用有向图描述。
诸如此类还有城市中的市政管道图、 民用航空线图等。
7
14个城市之间的铁路交通示意图
太原
石家庄
北京 天津 塘沽
济南 青岛
重庆
郑州 武汉
徐州 连云港
南京
上海
8
第一节 图的基本概念
图论中图的基本要素是点和点之间的 线。一般来说，通常用点表示研究对象、 用点与点之间的线表示研究对象之间的 特定关系。
在一般情况下，图中的相对位置如何， 点与点之间线的长短曲直，对于反映研 究对象之间的关系并不重要。
e1 e2
e4
v2
e7 v5
e5
边集以及边与点的关系一
一对应，则可视为同一个图。v4
e6 v3
e8
12
图的基本概念
• 次数, 孤立点, 奇点, 偶点, 悬挂点, 悬挂边
与顶点相关联的边数称为的次数，记为d(v)
图中, d(v1)=3 , d(v2)=5 , d(v3)=4 , d(v4)=3 , d次(v数5)=为1奇。数次的数点为称零为的奇点点称；为孤立e1 点，如v6；
v2
e7 v5
e5
v4
e6 v3
11
图的基本概念
• 环、多重边、简单图
如果图中某一边的两个端点相同，则称为
环，如图中的e8。如果图中两边(或多边)具有 相同的一对端点，则称为多重边(或平行边)，
如图中的e2、e3。
无环和无多重边的图 v1
称为简单图。
注意：当两个图的形状看似
e3
不同，但如果它们的顶点集、
其中V = {v1,v2,v3,v4,v5,} A = { (v1 ,v2),(v1 ,v3),(v2 ,v3), (v2 ,v4), (v2 ,v5), (v3 ,v5), (v4 ,v5), (v5 ,v4) } = { a5 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 }
第八章
图与网络分析
1
本章内容
• 图的基本概念 • 最短路问题 • 最小树问题 • 最大流问题 • 推销员及中国邮路问题
2
引言
1736年瑞士科学家欧拉发表了 关于图论方面的第一篇科学论文， 解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。
德国的哥尼斯堡城有一条普雷格 尔河，河中有两个岛屿，河的两岸 和岛屿之间有七座桥相互连接，如 图。
e3
e4
部分顶点及全部或部分
v2
e7 v5
e5
边，如果构成图，则称
为某图的子图。
v4
e6 v3
16
子图
子图： 设 G1=[ V1 , E1 ], G2=[ V2 ,E2 ] • 子图定义：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是
G1 的子图； • 真子图：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1
3
哥尼斯堡七座桥问题—图
4
哥尼斯堡七座桥问题
• 问题：一个漫步者如何能够走过这
七座桥，并且每座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。
1736 年 欧 拉 将 这 个 问 题 抽 象 成 由 点和线构成的一笔画问题图形：能否 从某一点开始不重复地一笔画出这个 图形，最终回到原点，欧拉证明了这 是不可能的。
10
图的基本概念
下列无向图G=（V，E），其中
V = {v1,v2,v3,v4}
E = { (v1,v2), (v2,v1), (v2,v3), (v3,v4), (v1,v4),
(v2,v4), (v3,v3) }
e1
= {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 }
v1 e2
e3 e4
v4
e2 e4
e6
v2
e7 v5
e5
v3
15
图的基本概念
•圈、初等圈、简单圈
若链中两端的顶点相同，则称此链为一个圈。 若圈中的点都是不同的，则称之为初等圈；若圈中 所含的边均不相同，则称之为简单圈。
• 连通图、不连通图、子图
图中若任意两点之间至少存 e1
在一条链，则称该图为 v1 e2
连通图，否则为不连通 图。若取某图其全部或
在图中, 从一顶点出发, 经过边, 点, 边,点,
…，最后到达某一点，称为中的一条链，用
经过这条链的顶点或边表示。(v1, v2,v3,v4)是一 条链，也可表为(e1, e5,e6) 。 e1
若链中的顶点均不同，v1
则称为初等链；若链中
所含的边均不同，则称 e3
之为简单链。简单链也 称为通路，简称路。
9
基本概念
•图
设V={v1,v2 ,…,vn}, E={e1,e2,…,em},若对 于任一ej E，均有vs,vt V与之对应，则
称VE为图，记为G =(V，E)。
• 顶点、边、端点、关联边、邻接点
在G中，称vi为G的顶点，ej为的边， 并记为ej=(vs ,vt )=(vt ,vs )，称vs 、vt 是ej 的 端点， ej 是与vs 、vt 关联的边， vs 、vt 称 为邻接的点。
定义：设V={v1,v2 ,…,vn}, A={a1,a2,…,am}, 若对于任一aj A, 均有有序对(vs,vt)与之 对应, 则称V A为有向图, 记作D =(V, A) 。称为 vs 顶点，aj 为弧，记为aj=(vs, vt)， 在不至于混淆时也称为边。
18
图的基本概念——有向图
有向图D =（V，A）
次数为偶数的点称为 v1 e2
v2
偶点；次数为 1 的点 e3 为悬挂点；与悬挂点 关联的边称为悬挂边。
v4
e4 e6
e7 v5
e5 v6 v3
13
基本定理
Hale Waihona Puke 定理 8-1任一图中顶点次数之和等于边
数的二倍，即：
n
d
vi
2m
i 1
定理8- 2
任一图中奇点的个数必为偶数。
14
图的基本概念
• 链、初等链、简单链
这是古典图论中的著名问题之一。
5
哥尼斯堡七桥——一笔画问题
C
A
B
D
6
引言
在实际的生产和生活中，人们为 了反映事物之间的关系，常常在纸上 用点和线来画出各式各样的示意图。
例8-1 我国北京、上海、重庆等14 个城市之间的铁路交通可以通过用点 表示城市，用点与点之间的线表示城 市之间的铁路线，画出关系示意图。
的真子图； • 部分图（支撑子图）：如果 V2 = V1 ,
E2 E1 称 G2 是 G1 的部分图； • 导出子图：若V2 V1, E2={[vi,vj]:vi,vjV2},
称 G2 是 G1 中由V2 导出的导出子图。
17
有向图
许多实际问题用前述无向图无法描述，例如交通 图中的单行道，一项工程各工序间的先后次序关系等 ，所以需要用有向图描述。
诸如此类还有城市中的市政管道图、 民用航空线图等。
7
14个城市之间的铁路交通示意图
太原
石家庄
北京 天津 塘沽
济南 青岛
重庆
郑州 武汉
徐州 连云港
南京
上海
8
第一节 图的基本概念
图论中图的基本要素是点和点之间的 线。一般来说，通常用点表示研究对象、 用点与点之间的线表示研究对象之间的 特定关系。
在一般情况下，图中的相对位置如何， 点与点之间线的长短曲直，对于反映研 究对象之间的关系并不重要。
e1 e2
e4
v2
e7 v5
e5
边集以及边与点的关系一
一对应，则可视为同一个图。v4
e6 v3
e8
12
图的基本概念
• 次数, 孤立点, 奇点, 偶点, 悬挂点, 悬挂边
与顶点相关联的边数称为的次数，记为d(v)
图中, d(v1)=3 , d(v2)=5 , d(v3)=4 , d(v4)=3 , d次(v数5)=为1奇。数次的数点为称零为的奇点点称；为孤立e1 点，如v6；
v2
e7 v5
e5
v4
e6 v3
11
图的基本概念
• 环、多重边、简单图
如果图中某一边的两个端点相同，则称为
环，如图中的e8。如果图中两边(或多边)具有 相同的一对端点，则称为多重边(或平行边)，
如图中的e2、e3。
无环和无多重边的图 v1
称为简单图。
注意：当两个图的形状看似
e3
不同，但如果它们的顶点集、
其中V = {v1,v2,v3,v4,v5,} A = { (v1 ,v2),(v1 ,v3),(v2 ,v3), (v2 ,v4), (v2 ,v5), (v3 ,v5), (v4 ,v5), (v5 ,v4) } = { a5 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 , a8 }
第八章
图与网络分析
1
本章内容
• 图的基本概念 • 最短路问题 • 最小树问题 • 最大流问题 • 推销员及中国邮路问题
2
引言
1736年瑞士科学家欧拉发表了 关于图论方面的第一篇科学论文， 解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。
德国的哥尼斯堡城有一条普雷格 尔河，河中有两个岛屿，河的两岸 和岛屿之间有七座桥相互连接，如 图。
e3
e4
部分顶点及全部或部分
v2
e7 v5
e5
边，如果构成图，则称
为某图的子图。
v4
e6 v3
16
子图
子图： 设 G1=[ V1 , E1 ], G2=[ V2 ,E2 ] • 子图定义：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是
G1 的子图； • 真子图：如果 V2 V1 , E2 E1 称 G2 是 G1
3
哥尼斯堡七座桥问题—图
4
哥尼斯堡七座桥问题
• 问题：一个漫步者如何能够走过这
七座桥，并且每座桥只能走过一次， 最终回到原出发地。
1736 年 欧 拉 将 这 个 问 题 抽 象 成 由 点和线构成的一笔画问题图形：能否 从某一点开始不重复地一笔画出这个 图形，最终回到原点，欧拉证明了这 是不可能的。
10
图的基本概念
下列无向图G=（V，E），其中
V = {v1,v2,v3,v4}
E = { (v1,v2), (v2,v1), (v2,v3), (v3,v4), (v1,v4),
(v2,v4), (v3,v3) }
e1
= {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 }
v1 e2
e3 e4
v4
e2 e4
e6
v2
e7 v5
e5
v3
15
图的基本概念
•圈、初等圈、简单圈
若链中两端的顶点相同，则称此链为一个圈。 若圈中的点都是不同的，则称之为初等圈；若圈中 所含的边均不相同，则称之为简单圈。
• 连通图、不连通图、子图
图中若任意两点之间至少存 e1
在一条链，则称该图为 v1 e2
连通图，否则为不连通 图。若取某图其全部或
在图中, 从一顶点出发, 经过边, 点, 边,点,
…，最后到达某一点，称为中的一条链，用
经过这条链的顶点或边表示。(v1, v2,v3,v4)是一 条链，也可表为(e1, e5,e6) 。 e1
若链中的顶点均不同，v1
则称为初等链；若链中
所含的边均不同，则称 e3
之为简单链。简单链也 称为通路，简称路。