【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案:3.2.2 复数代数形式的乘除运算
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_17
课题 3.2.2复数代数形式的乘除运算
一、教学目标:
知识与技能:理解并掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则,熟练进行运算。
掌握共轭复数的概念及性质。
过程与方法:理解并掌握复数的乘法实质就是多项式展开.除法运算实质是分母实数化类问题。
情感、态度与价值观:通过类比的方法,把实数系中乘法与除法运算法则和运算律推广到
复数系中,使学生对运算的发展史有了连续完整的认识。
同时培养
学生探究新知的科学思维能力。
二、学情分析:本节课的内容是人教A版选修1-2第三章第二节的内容(文科)。
这一知
识点在高考中是热点,这几年来均以选择题和填空题出现.该节课内
容简单,而学生的理解能力,分析能力都已经比较成熟,因此能够
调动起学生学习的积极性,最后很好的掌握及应用本节课的知识 .
二、教学重点、难点:
教学重点:复数代数形式的乘法与除法运算法则
教学难点:灵活运用复数乘法与除法进行运算
三、教学辅助手段:多媒体
四、教学方法:问题式、探究法、小组合作讨论法。
人教版高中数学选修1-2教案:3.2.2 复数的代数形式的乘除运算
编写时间:2020年 月 日 2020-2021学年 第一学期 编写人:马安山 课 题3.2.2 复数的代数形式的乘除运算授课班级高二(17)授课时间2020年 月 日学习目标 一、知识与技能:掌握复数的代数形式的乘、除运算。
二、过程与方法:通过例题和习题的训练,引导学生从实数的运算入手,由具体到抽象总结出运算规律,提高学生的运算能力。
三、情感,态度与价值观:培养学生良好的思维品质,感受为真理而执著追求的精神,进行辩证唯物注意教育。
教学重点 复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 教学难点 复数的代数形式的乘除运算 课 型新 课主要教学方法自主学习、思考、交流、讨论、讲解教学模式 合作探究,归纳总结 教学手段与教具几何画板、智慧黑板.教 学 过 程 设 计各环节教学反思一、复习准备:1. 复数的加减法的几何意义是什么?2. 计算(1)(1+4i)+(7-2i) (2)(5-2i)+(-1+4i)-(2-3i) (3)(3-2i)-[(-4+3i)-(5+i)]3. 计算:(1))32()31(-⨯+ (2))()(d c b a +⨯+ (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 二、讲授新课:1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则:i bc ad bd ac bdi adi bci ac di c bi a )()())((2++-=+++=++。
例1.计算(1))27()41(i i -⨯+ (2))41()27(i i +⨯-(3)[(3-2i)×(-4+3i)]×(5+i) (4)(3-2i)×[(-4+3i)×(5+i)] 探究:观察上述计算,试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律? 例2.1、计算(1)(1+4i)×(1-4i) (2)(1-4i)×(7-2i)×(1+4i )(3)2)23(i +2、已知复数Z ,若(2+3i)Z ≥8,试求Z 的值。
【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2课时达标检测:第三章 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 Word版含解析[ 高
[课时达标检测]一、选择题1.复数(3i -1)·i 的虚部是( )A .-1B .-3C .3D .1解析:选A (3i -1)·i =3i 2-i =-3-i ,∴虚部为-1.2.已知复数z =1-i ,则z 2-2z z -1=( ) A .2iB .-2iC .2D .-2解析:选B 法一:因为z =1-i ,所以z 2-2z z -1=(1-i )2-2(1-i )1-i -1=-2-i=-2i. 法二:由已知得z -1=-i ,而z 2-2z z -1=(z -1)2-1z -1=(-i )2-1-i=2i =-2i.3.若i 为虚数单位,如图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数z 1+i的点是( )A .EB .FC .GD .H 解析:选D 由题图可得z =3+i ,所以z 1+i =3+i 1+i =(3+i )(1-i )(1+i )(1-i )=4-2i 2=2-i ,则其在复平面上对应的点为H (2,-1).4.(安徽高考)设i 是虚数单位, z 是复数z 的共轭复数.若z ·z i +2=2z ,则z =( )A .1+iB .1-iC .-1+iD .-1-i解析:选A 设z =a +b i(a ,b ∈R),则z =a -b i ,又z ·z i +2=2z ,∴(a 2+b 2)i +2=2a +2b i ,∴a =1,b =1,故z =1+i.5.已知复数z =3+i (1-3i )2,z 是z 的共轭复数,则z ·z 等于( ) A.14B.12 C .1 D .2解析:选A ∵z =3+i (1-3i )2=-3i 2+i (1-3i )2=i (1-3i )(1-3i )2=i 1-3i=i (1+3i )4=-34+i 4, ∴z =-34-i 4, ∴z ·z =14. 二、填空题6.若z =-1-i 2时,求z 2 012+z 102=________. 解析:z 2=⎝⎛⎭⎪⎫-1-i 22=-i. z 2 012+z 102=(-i)1 006+(-i)51=(-i)1 004·(-i)2+(-i)48·(-i)3=-1+i.答案:-1+i7.设x ,y 为实数,且x 1-i +y 1-2i =51-3i ,则x +y =________. 解析:x 1-i +y 1-2i =x (1+i )2+y (1+2i )5=⎝⎛⎭⎫x 2+y 5+⎝⎛⎭⎫x 2+2y 5i , 而51-3i=5(1+3i )10=12+32i ,所以x 2+y 5=12且x 2+2y 5=32,解得x =-1,y =5,所以x +y =4.答案:48.设z 2=z 1-i z -1(其中z -1表示z 1的共轭复数),已知z 2的实部是-1,则z 2的虚部为________.解析:设z 1=a +b i(a ,b ∈R),则z 2=z 1-i z -1=a +b i -i(a -b i)=(a -b )-(a -b )i ,因为z 2的实部是-1,即a -b =-1,所以z 2的虚部为1.故填1.答案:1三、解答题9.已知z ∈C ,z 为z 的共轭复数,若z ·z -3i z =1+3i ,求z .解:设z =a +b i(a ,b ∈R),则z =a -b i(a ,b ∈R), 由题意得(a +b i)(a -b i)-3i(a -b i)=1+3i ,即a 2+b 2-3b -3a i =1+3i ,则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2+b 2-3b =1,-3a =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =3. 所以z =-1或z =-1+3i.10.已知复数z =(1-i )2+3(1+i )2-i. (1)求复数z ;(2)若z 2+az +b =1-i ,求实数a ,b 的值.解:(1)z =-2i +3+3i 2-i =3+i 2-i=(3+i )(2+i )5=1+i. (2)把z =1+i 代入z 2+az +b =1-i ,得(1+i)2+a (1+i)+b =1-i ,整理得a +b +(2+a )i =1-i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =1,2+a =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-3,b =4.。
人民教育A版选修1-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案导学案
3.2.2《复数代数形式的乘除运算及其几何意义》导学案制作侯海燕高二数学组2016.05.12【学习目标】1.理解共轭复数的概念;2.掌握复数的代数形式的乘、除运算.【学习重点】复数的加、减运算【学习难点】复数运算的几何意义及应用【预习导航】一.自我阅读:(课本第58页至第59页)完成知识点的提炼问题1.计算:(a±b)2=(3a+2b)(3a-2b)=(3a+2b)(-a-3b)=问题2.复数代数形式的乘法运算法则如何?规定,复数的乘法法则如下:设z1=a+bi,z2=c+di,是任意两个复数,那么(a+bi)(c+di)=即:两个复数相乘,类似于()相乘,只要在所得的结果中把()换成-1,并且把()与()分别合并即可.【问题探究】探究活动一复数乘法运算问题1设z=a+b i,z=c+d i是任意两个复数,12求z z12问题2复数的乘法是否满足交换律,结合律以及乘法对加法的分配律?【应用训练】1.计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)2.计算(1)(7-6i)(-3i);(2)(3+4i)(-2-3i);(3)(1+2i)(3-4i)(-2-i)b例 3 (1) (3+4i)(3-4i);2 已知 z =1+iz 2 + az + bz 2 - z + 1= 1 -i求实数 a ,b 的值.(2) (1 + i )23 设 n ∈N *,则问题 3 若 z 1 、 z 2 是共轭复数,那么i 4n =_____, i4n +1=_____, i4n +2=_____, i4n +3=_____.(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?(2) z 、z 是一个怎样的数?y1 2(1-i)2=____ (1+ i ) 2 = ⎛ 1 - i ⎫2⎪ =⎝ 1 + i ⎭______Oax1 + i + i2 ++ i 2002 = ____【总结概括】-bZ 2本节课的收获:探究活动二:复数的除法法则【应用训练】1 计算(1+2i)÷(3-4i )【课后作业】必做题:1 课本第 60 页练习 1,2,3 第 61 页习题 3.2A 组 4,5,62 同步练习册选做题:1.课本第 61 页习题 3.2 B 组2. 教材第 61 页 习题3.2 A 组 第 1,2,3 题.。
高中数学《3.2.2复数代数形式的乘除运算》教案 新人教A版选修1-2
1 3.2.2 复数的代数形式的乘除运算教学要求:掌握复数的代数形式的乘、除运算。
教学重点:复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念教学难点:乘除运算教学过程:一、复习准备:1. 复数的加减法的几何意义是什么?2. 计算(1)(14)(72)i i +-+ (2)(52)(14)(23)i i i --+--+ (3)(32)(43)(5)]i i i --+-+-[3. 计算:(1)(1(2⨯ (2)()()a b c d +⨯+ (类比多项式的乘法引入复数的乘法)二、讲授新课:1.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则:2()()()()a bi c di ac bci adi bdi ac bd ad bc i ++=+++=-++。
例1.计算(1)(14)(72)i i +⨯- (2)(72)(14)i i -⨯+ (3)[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+(4)(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[探究:观察上述计算,试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律?例2.1、计算(1)(14)(14)i i +⨯- (2)(14)(72)(14)i i i -⨯-⨯+(3)2(32)i +2、已知复数Z ,若,试求Z 的值。
变:若(23)8i Z +≥,试求Z 的值。
②共轭复数:两复数a bi a bi +-与叫做互为共轭复数,当0b ≠时,它们叫做共轭虚数。
注:两复数互为共轭复数,则它们的乘积为实数。
练习:说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--。
=,试写出复数的除法法则。
2.复数的除法法则:2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++ 其中c di -叫做实数化因子例3.计算(32)(23)i i -÷+,(12)(32)i i +÷-+(师生共同板演一道,再学生练习) 练习:计算232(12)i i -+,23(1)1i i -+- 2.小结:两复数的乘除法,共轭复数,共轭虚数。
高二数学人教A版选修1-2课件:3.2.2 复数代数形式的乘除运算
一 二三
知识精要
典题例解
解:(1)(1-i)2=(1-i)(1-i)=1-i-i+i2=1-i-i-1=-2i.
(2) - 1 + 3 i · 3 + 1 i ·(1+i)
2
2
2
2
=
-
3 4
-
1 4
i
+
3 4
i
+
3 i2
4
(1+i)
= - 3 - 1 i + 3 i- 3 (1+i)
44
44
=
-
3+1i
的平方;对于复数±1 ± 3i;计算它的 n(n 为大于或等于 3 的自然数)
2
2
次方时,一般先计算它的立方.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】 计算: (1)(1-i)2;
(2)
-
1 2
+
3i
2
·
3+1i
2
2
·(1+i);
(3)
1+i 1-i
6
+
2+ 3-
23ii ;
(4)i1+i2+i3+…+i30.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
2.设 z 的共轭复数是������,若 z+������=4,z·������=8,则������������等于(
)
A.i
B.-i
C.±1
D.±i
答案:D
解析:设 z=a+bi(a,b∈R),因为 z+������=4,所以 a=2,又因为 z·������=8,
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_3
<<复数代数形式的乘除运算>>教学设计
复数代数形式的四则运算,即复数代数形式的加法,减法,乘法和除法,重点是加法和乘法.复数加法和乘法的法则是规定的,其合理性表现在与实数加法,乘法的法则是一致的,而且实数加法,乘法的有关运算律在这里仍然成立.减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算的规定也与实数运算是一致的.所以对于高中生来说,法则易于理解和接受,只需采用类比的思想方法,再利用1
2-
i,就可以将复数的四
=
则运算归结为实数的四则运算了.
鉴于以上分析,本堂课的教学宜教师少讲,学生多练,练悟结合,从而达到熟能生巧的效果.。
优化方案高中数学选修1-2(人教A版):3.2.2 《复数代数形式的乘除运算》 课件
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
第三章 数系的扩充与复数的引入
学习导航
栏目 导引
第三章 数系的扩充与复数的引入
新知初探思维启动
1.复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数的乘法法则
设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), 则 z1·z2=(a+bi)(c+di)=__a_c_-__b_d_+__(a_d_+__b_c_)_i_.
=[(- 43- 43)+(34-14)i](1+i)=(- 23+12i)(1+i)
=(- 23-12)+(12- 23)i=-1+2
3+1-2
3 i.
(2)1-4i31++4ii+2+4i=5-33i++42i+4i=37++4ii
=37++4ii33--44ii=21-282i+5 3i+4=25-2525i=1-i.
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 复数的乘除运算
例1 计算(1)-12+ 23i 23+12i(1+i);
1-4i1+i+2+4i
(2)
3+4i
;
(3)(11+-ii)6+
2+ 3-
3i .
2i
栏目 导引
第三章 数系的扩充与复数的引入
【解】 (1)(-12+ 23i)( 23+12i)(1+i)
栏目 导引
Байду номын сангаас
第三章 数系的扩充与复数的引入
【答案】 D 【失误防范】 对于有关数的命题,一定注意数的范围. 对于实数成立的命题,对于复数能否成立,不能仅凭感觉 猜想,务必严格推证.
栏目 导引
第三章 数系的扩充与复数的引入
知能演练轻松闯关
栏目 导引
人教新课标版数学高二-人A选修1-2学案 复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算明目标、知重点 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.1.复数的乘法法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ), 则z 1·z 2=(a +b i)(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc )i. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z 1、z 2、z 3∈C ,有交换律 z 1·z 2=z 2·z 1 结合律 (z 1·z 2)·z 3=z 1·(z 2·z 3) 乘法对加法的分配律z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 33.共轭复数如果两个复数满足实部相等,虚部互为相反数时,称这两个复数为共轭复数,z 的共轭复数用z 表示.即z =a +b i ,则z =a -b i. 4.复数的除法法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(c +d i ≠0), 则z 1z 2=a +b i c +d i =ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i.[情境导学]我们学习过实数的乘法运算及运算律,那么复数的乘法如何进行运算,复数的乘法满足运算律么?探究点一 复数乘除法的运算思考1 怎样进行复数的乘法?答 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已得结果中的i 2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同?答 复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成-1. 例1 计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i); (2)(3+4i)(3-4i); (3)(1+i)2.解 (1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i) =-20+15i ;(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25; (3)(1+i)2=1+2i +i 2=2i.反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等. 跟踪训练1 计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2. 解 (1)(2+i)(2-i)=4-i 2=4-(-1)=5; (2)(1+2i)2=1+4i +(2i)2=1+4i +4i 2=-3+4i. 思考3 如何理解复数的除法运算法则?答 复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i). 例2 计算:(1)4-3i 4+3i +4+3i 4-3i ;(2)(1+i 1-i )6+2+3i 3-2i . 解 (1)原式=(4-3i )2(4+3i )(4-3i )+(4+3i )2(4-3i )(4+3i )=16-9-24i 42+32+16-9+24i 42+32=7-24i 25+7+24i 25=1425; (2)方法一 原式=[(1+i )22]6+(2+3i )(3+2i )(3)2+(2)2=i 6+6+2i +3i -65=-1+i.方法二 (技巧解法)原式=[(1+i )22]6+(2+3i )i(3-2i )i=i 6+(2+3i )i2+3i=-1+i.反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数. 跟踪训练2 计算:(1)7+i 3+4i ;(2)(-1+i )(2+i )-i .解 (1)7+i3+4i =(7+i )(3-4i )(3+4i )(3-4i )=25-25i25=1-i.(2)(-1+i )(2+i )-i =-3+i -i =(-3+i )·i-i·i =-1-3i.探究点二 共轭复数及其应用思考1 像3+4i 和3-4i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数,那么如何定义共轭复数呢?答 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z 的共轭复数为z .虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 思考2 复数a +b i 的共轭复数如何表示?这两个复数之积是实数还是虚数?答 复数a +b i 的共轭复数可表示为a -b i ,由于 (a +b i)·(a -b i)=a 2+b 2 ,所以两个共轭复数之积为实数.思考3 共轭复数有哪些性质,这些性质有什么作用? 答 (1)在复平面上,两个共轭复数对应的点关于实轴对称.(2)实数的共轭复数是它本身,即z =z ⇔z ∈R ,利用这个性质可证明一个复数为实数. (3)若z ≠0且z +z =0,则z 为纯虚数,利用这个性质,可证明一个复数为纯虚数. 思考4 z ·z 与|z |2和|z |2有什么关系? 答 z ·z =|z |2=|z |2.例3 已知复数z 满足|z |=1,且(3+4i)z 是纯虚数,求z 的共轭复数z . 解 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z =a -b i 且|z |=a 2+b 2=1,即a 2+b 2=1.①因为(3+4i)z =(3+4i)(a +b i)=(3a -4b )+(3b +4a )i ,而(3+4i)z 是纯虚数, 所以3a -4b =0,且3b +4a ≠0.②由①②联立,解得⎩⎨⎧a =45,b =35,或⎩⎨⎧a =-45,b =-35.所以z =45-35i ,或z =-45+35i.反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想,运用待定系数法,化解了问题的难点. 跟踪训练3 已知复数z 满足:z ·z +2i z =8+6i ,求复数z 的实部与虚部的和. 解 设z =a +b i(a ,b ∈R ), 则z ·z =a 2+b 2,∴a 2+b 2+2i(a +b i)=8+6i , 即a 2+b 2-2b +2a i =8+6i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2+b 2-2b =82a =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3b =1,∴a +b =4, ∴复数z 的实部与虚部的和是4.1.设复数z 满足i z =1,其中i 为虚数单位,则z 等于( ) A .-i B .i C .-1 D .1答案 A 解析 z =1i=-i.2.已知集合M ={1,2,z i},i 为虚数单位,N ={3,4},M ∩N ={4},则复数z 等于( ) A .-2i B .2i C .-4i D .4i 答案 C解析 由M ∩N ={4}得z i =4,z =4i =-4i.3.复数i -21+2i 等于( )A .iB .-iC .-45-35iD .-45+35i答案 A4.复数z =2-i2+i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 D解析 因为z =2-i 2+i =(2-i )25=3-4i5,故复数z 对应的点在第四象限,选D. [呈重点、现规律]1.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、分母都乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想.复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥梁是设复数z =a +b i(a ,b ∈R ),利用复数相等的充要条件转化.一、基础过关1.复数-i +1i 等于( )A .-2i B.12i C .0 D .2i答案 A解析 -i +1i =-i -i 2i=-2i ,选A.2.i 为虚数单位,1i +1i 3+1i 5+1i 7等于( )A .0B .2iC .-2iD .4i答案 A 解析1i =-i ,1i 3=i ,1i 5=-i ,1i7=i , ∴1i +1i 3+1i 5+1i7=0. 3.若a ,b ∈R ,i 为虚数单位,且(a +i)i =b +i ,则( ) A .a =1,b =1 B .a =-1,b =1 C .a =-1,b =-1 D .a =1,b =-1答案 D解析 ∵(a +i)i =-1+a i =b +i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧b =-1a =1. 4.在复平面内,复数i 1+i +(1+3i)2对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 B 解析i 1+i+(1+3i)2=12+12i +(-2+23i)=-32+(23+12)i ,对应点(-32,23+12)在第二象限.5.设复数z 的共轭复数是z ,若复数z 1=3+4i ,z 2=t +i ,且z 1·z 2是实数,则实数t 等于( ) A.34 B.43 C .-43D .-34答案 A解析 ∵z 2=t +i ,∴z 2=t -i.z 1·z 2=(3+4i)(t -i)=3t +4+(4t -3)i , 又∵z 1·z 2∈R ,∴4t -3=0, ∴t =34.6.若z =1+2ii ,则复数z 等于( )A .-2-iB .-2+iC .2-iD .2+i答案 D解析 z =1+2ii =2-i ,∴z =2+i.7.计算:(1)2+2i (1-i )2+(21+i )2 010;(2)(4-i 5)(6+2i 7)+(7+i 11)(4-3i). 解 (1)2+2i (1-i )2+(21+i )2 010=2+2i -2i +(22i ) 1 005=i(1+i)+(1i )1 005=-1+i +(-i)1 005=-1+i -i =-1.(2)原式=(4-i)(6-2i)+(7-i)(4-3i) =22-14i +25-25i =47-39i. 二、能力提升8.设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z 等于( ) A .-1+i B .-1-i C .1+i D .1-i 答案 A解析 由已知得z =2i1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=-1+i.9.复数z 满足(z -3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为( ) A .2+i B .2-i C .5+i D .5-i 答案 D解析 由(z -3)(2-i)=5得,z -3=52-i =2+i ,∴z =5+i ,∴z =5-i.10.设复数i 满足i(z +1)=-3+2i(i 为虚数单位),则z 的实部是________. 答案 1解析 由i(z +1)=-3+2i 得到z =-3+2ii -1=2+3i -1=1+3i.11.已知复数z 满足(1+2i)z =4+3i ,求z 及z z .解 因为(1+2i)z =4+3i ,所以z =4+3i 1+2i =(4+3i )(1-2i )5=2-i ,故z =2+i.所以zz =2-i 2+i=(2-i )25=3-4i 5=35-45i.12.已知复数z 的共轭复数为z ,且z ·z -3i z =101-3i ,求z .解 z =a +b i(a ,b ∈R ),则z =a -b i. 又z ·z -3i z =101-3i ,∴a 2+b 2-3i(a +b i)=10(1+3i )10, ∴a 2+b 2+3b -3a i =1+3i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2+b 2+3b =1,-3a =3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-3. ∴z =-1,或z =-1-3i. 三、探究与拓展13.已知1+i 是方程x 2+bx +c =0的一个根(b 、c 为实数). (1)求b ,c 的值;(2)试说明1-i 也是方程的根吗?解 (1)因为1+i 是方程x 2+bx +c =0的根, ∴(1+i)2+b (1+i)+c =0, 即(b +c )+(2+b )i =0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b +c =02+b =0,得⎩⎪⎨⎪⎧b =-2c =2. ∴b 、c 的值为b =-2,c =2. (2)方程为x 2-2x +2=0.把1-i 代入方程左边得(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立, ∴1-i 也是方程的一个根.。
【优化课堂】高二人教A版选修1-2学案:3.2.2 复数代数形式的乘除运算 Word版含答案[ 高考]
3.2.2 复数代数形式的乘除运算[导入新知]1.复数的乘法设z1=a+b i,z2=c+d i是任意两个复数,那么它们的积(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i +bd i2=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R).2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有[化解疑难]对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.(2)两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数.[提出问题]问题1:复数z1=a+b i与z2=a-b i(a,b∈R)有什么关系?提示:两复数实部相等,虚部互为相反数.问题2:试求z1=a+b i,z2=a-b i(a,b∈R)的积.提示:z1z2=a2+b2,积为实数.问题3:如何规定两复数z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R,c+d i≠0)相除?提示:通常先把(a+b i)÷(c+d i)写成a+b ic+d i的形式,再把分子和分母都乘c-d i,化简后可得结果.即a +b ic +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )=(ac +bd )+(bc -ad )ic 2+d 2=ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i(c +d i ≠0). [导入新知] 1.共轭复数的概念一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z 的共轭复数为z ,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.2.复数的除法法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(c +d i ≠0), 则z 1z 2=a +b i c +d i =ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i(c +d i ≠0). [化解疑难]辨析复数除法与实数除法的关系复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).[例1] 计算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i); (2)⎝⎛⎭⎫-12+32i ⎝⎛⎭⎫32+12i (1+i); (3)(-2+3i)÷(1+2i); (4)3+2i 2-3i -3-2i 2+3i. [解] (1)(1+i)(1-i)+(-1+i) =1-i 2+(-1+i)=2-1+i =1+i. (2)⎝⎛⎭⎫-12+32i ⎝⎛⎭⎫32+12i (1+i)=⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫-34-34+⎝⎛⎭⎫34-14i (1+i) =⎝⎛⎭⎫-32+12i (1+i) =⎝⎛⎭⎫-32-12+⎝⎛⎭⎫12-32i =-1+32+1-32i.(3)(-2+3i)÷(1+2i)=-2+3i 1+2i =(-2+3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=(-2+6)+(3+4)i 12+22=45+75i.(4)法一:3+2i 2-3i -3-2i2+3i=(3+2i )(2+3i )-(3-2i )(2-3i )(2-3i )(2+3i )=6+13i -6-6+13i +64+9=26i 13=2i.法二:3+2i 2-3i -3-2i 2+3i =i (2-3i )2-3i --i (2+3i )2+3i=i +i =2i. [类题通法]复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则,三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致,在计算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.(2)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.[活学活用](1)已知复数z 1=4+8i ,z 2=6+9i ,求复数(z 1-z 2)i 的实部与虚部; (2)已知z 是纯虚数,z -21+i是实数,求z .解:(1)由题意得z 1-z 2=(4+8i)-(6+9i)=(4-6)+(8i -9i)=-2-i ,则(z 1-z 2)i =(-2-i)i =-2i -i 2=1-2i.于是复数(z 1-z 2)i 的实部是1,虚部是-2.(2)设纯虚数z =b i(b ∈R), 则z -21+i =b i -21+i =(b i -2)(1-i )(1+i )(1-i )=(b -2)+(b +2)i2.由于z -21+i是实数,所以b +2=0,即b =-2,所以z =-2i.[例2] (1)若z =1+2ii ,则复数z =( )A .-2-iB .-2+iC .2-iD .2+i(2)(四川高考)如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A .AB .BC .CD .D(3)复数z =1+i ,z -为z 的共轭复数,则z z --z -1=( ) A .-2i B .-i C .iD .2i[解析] (1)z =1+2i i =(1+2i )(-i )-i 2=2-i ,则复数z -=2+i. (2)因为x +y i 的共轭复数为x -y i ,故选B.(3)依题意得z z --z -1=(1+i)(1-i)-(1+i)-1=-i. [答案] (1)D (2)B (3)B [类题通法]共轭复数的求解与应用(1)若复数z 的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出z -,再进行复数的四则运算.必要时,需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式,再根据共轭复数的定义求z -.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是:已知关于z 和z -的方程,而复数z 的代数形式未知,求z ,解此类题的常规思路为设z =a +b i(a ,b ∈R),则z -=a -b i ,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组)求解.[活学活用]已知复数z =1+i ,复数z 的共轭复数z -=1-i ,求实数a 、b 使az +2b z -=(a +2z )2. 解:∵z =1+i ,z -=1-i ,∴az +2b z -=(a +2b )+(a -2b )i , (a +2z )2=(a +2)2-4+4(a +2)i =(a 2+4a )+4(a +2)i. ∵a 、b 都是实数,∴由az +2b z -=(a +2z )2,得⎩⎪⎨⎪⎧a +2b =a 2+4a ,a -2b =4(a +2),解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-2,b =-1,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =2.[例3] 已知z 1是虚数,z 2=z 1+1z 1是实数,且-1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围; (2)若ω=1-z 11+z 1,求证:ω为纯虚数.[解] 设z 1=a +b i(a ,b ∈R ,且b ≠0).(1)z 2=z 1+1z 1=a +b i +1a +b i =⎝ ⎛⎭⎪⎫a +a a 2+b 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫b -b a 2+b 2i. 因为z 2是实数,b ≠0,于是有a 2+b 2=1,即|z 1|=1,所以z 2=2a .由-1≤z 2≤1,得-1≤2a ≤1,解得-12≤a ≤12,即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤-12,12. (2)ω=1-z 11+z 1=1-a -b i 1+a +b i =1-a 2-b 2-2b i (1+a )2+b 2=-ba +1i.因为a ∈⎣⎡⎦⎤-12,12,b ≠0,所以ω为纯虚数. [类题通法]解决双复数问题的方法解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z =a +b i(a ,b ∈R),注意题目对a ,b 取值的限制,然后用a ,b 表示出另外的复数,进而转化求解.此类题目难度较大,除需正确进行复数的四则运算外,还需掌握复数的基本概念及复数模的定义.[活学活用]已知z ,ω为复数,(1+3i)z 为实数,ω=z2+i ,且|ω|=52,求ω.解:设ω=x +y i(x ,y ∈R),由ω=z2+i,得z =ω(2+i)=(x +y i)(2+i).依题意,得(1+3i)z =(1+3i)(x +y i)(2+i)=(-x -7y )+(7x -y )i , ∴7x -y =0. ①又|ω|=52,∴x 2+y 2=50. ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =7,或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-7.∴ω=1+7i 或ω=-1-7i.5.误用判别式求解复数方程[典例] 已知关于x 的方程x 2+(k +2i)x +2+k i =0有实数根,则实数k 的值为________. [解析] 设x 0是方程的实数根,代入方程并整理得(x 20+kx 0+2)+(2x 0+k )i =0.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20+kx 0+2=0,2x 0+k =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=2,k =-22,或⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-2,k =22,所以k 的值为-22或2 2.[答案] ±2 2 [易错防范]1.求解本题易出现如下错误:因为方程有实数根,所以Δ=(k +2i)2-4(2+k i)≥0,解得k ≥23或k ≤-2 3.需注意由于虚数单位的特殊性,不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.2.复数范围内解方程的一般思路是:依据题意设出方程的根,代入方程,利用复数相等的充要条件求解.对于一元二次方程,也可以利用求根公式求解,要注意在复数范围内负数是能开方的,此外,根与系数的关系也是成立的.注意求方程中参数的取值时,不能利用判别式求解.[成功破障]在复数范围内方程x 2-5|x |+6=0的解的个数为( )A .2B .4C .6D .8 解析:选C 设x =a +b i(a ,b ∈R), 那么原方程即为(a +b i)2-5a 2+b 2+6=0,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2-5a 2+b 2+6=0,2ab =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =±2,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧ a =±3,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =±1.[随堂即时演练]1.(浙江高考)已知i 是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=( ) A .-3+i B .-1+3i C .-3+3iD .-1+i解析:选B 按照复数乘法运算法则,直接运算即可.(-1+i)(2-i)=-1+3i. 2.(湖北高考)在复平面内,复数z =2i1+i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选D z =2i1+i =2i (1-i )(1+i )(1-i )=1+i 的共轭复数为1-i ,对应的点为(1,-1)在第四象限.3.若21-i=a +b i(i 为虚数单位,a ,b ∈R),则a +b =________.解析:因为21-i =2(1+i )(1-i )(1+i )=1+i ,所以1+i =a +b i ,所以a =1,b =1,所以a +b=2.答案:24.设z 1=a +2i ,z 2=3-4i ,且z 1z 2为纯虚数,则实数a 的值为________.解析:设z 1z 2=b i(b ∈R 且b ≠0),所以z 1=b i·z 2,即a +2i =b i(3-4i)=4b +3b i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a =4b ,2=3b ,所以a =83. 答案:835.计算:(1)(1-i)⎝⎛⎭⎫-12+32i (1+i);(2)2+3i3-2i;(3)(2-i)2.解:(1)法一:(1-i)⎝⎛⎭⎫-12+32i (1+i)=⎝⎛⎭⎫-12+32i +12i -32i 2(1+i) =⎝⎛⎭⎪⎫3-12+3+12i (1+i)=3-12+3+12i +3-12i +3+12i 2=-1+3i.法二:原式=(1-i)(1+i)⎝⎛⎭⎫-12+32i=(1-i 2)⎝⎛⎭⎫-12+32i =2⎝⎛⎭⎫-12+32i=-1+3i. (2)2+3i3-2i =(2+3i )(3+2i )(3-2i )(3+2i )=(2+3i )(3+2i )(3)2+(2)2=6+2i+3i-65=5i5=i. (3)(2-i)2=(2-i)(2-i) =4-4i+i2=3-4i.。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_10
复数代数形式的乘除运算教学目标:1.通过探究复数的代数形式的乘法与除法运算法则,及乘法的运算律,掌握其运算的方法和过程。
2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题,知道共轭复数的概念。
3.能熟练计算复数代数形式的乘、除法,培养学生的运算能力。
教学重点:复数代数形式的乘、除法运算。
教学难点:复数除法法则的推导及运用。
教学方法:合作、探究、练习、思考教学过程:一.知识回顾,引入课题:1.复数的加、减法法则:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. (学生个别回答)2.复数的加法满足的运算律:交换律: z1+z2=z2+z1. 结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) (学生个别回答)二.新课讲解:1.乘法运算规则:探究一:类比多项式的乘法探索复数的乘法法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,那么它们的积 (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.练习:计算 (3+4i)(-2-3i) (学生自己尝试)探究二:复数的乘法是否满足交换律,结合律以及乘法对加法的分配律?若满足,请同学们分组进行尝试写出相应运算律成立的等式.2.乘法运算律:(1)交换律: _______________;(2)结合律: ____________;(3)乘法分配律:__________ 。
例题讲练:例1:计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2:计算:(1)(3+4i) (3-4i) ;(2)(1+i)2.解:(1)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;(是一个实数)(2)(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.(是一个虚数)注:可利用复数的乘法法则计算,也可用实数系中乘法相应公式进行运算思考1:由例2的(1)可知两个复数的积是一个实数,观察这两个复数有什么特点?3.共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z的共轭复数为Z。
人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_25
3.2.2复数代数形式的乘除运算教学设计学习目标:1.类比多项式乘法,掌握复数乘法法则;类比根式除法分母有理化,掌握复数除法法则。
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律。
3.理解共轭复数的概念学习重点:复数的乘除运算法则学习难点:复数乘除法则的灵活运用学习过程:知识回顾:1. 已知两复数12,()z a bi z c di a b c R =+=+∈、、,那么(1)、加法法则:12()()z z a c b d i +=+++(2)、减法法则:12()()z z a c b d i -=-+-即:两个复数相加(减)就是类比多项式加(减)法,按i 合并同类项2. 复数加法运算的几何意义——向量加法的平行四边形法则3. 复数减法运算的几何意义——向量减法的三角形法则新课导入:根据以前所学知识,完成下题()()?a bx c dx ++=类比多项式乘法,尝试完成下题()()?a bi c di ++=从而可总结出复数乘法法则:类比多项式乘法法则展开,看到2i 换成1-,再按i 合并同类项说明:(1)两个复数的积仍然是一个确定的复数(2)复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律,即对于任何123z z z C ∈、、,有1221z z z z ∙=∙123123()()z z z z z z ∙∙=∙∙1231213()z z z z z z z ∙+=∙+∙例1. (12)(34)(2)i i i -+-+练习1.计算(2)(32)(13)i i i ----+例2.(1)(34)(34)i i +- (2)2(1)i +说明:类比多项式的乘法法则用乘法公式可迅速展开运算,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算例2(1)中,34i +和34i -有一定的关系,即实部相等,虚部互为相反数,那这样的两个复数有怎样的名称呢?共轭复数:实部相等,虚部互为相反数的两个复数,叫做共轭复数。
2020-2021学年高二数学人教A版选修1-2配套学案:3.2.2 复数代数形式的乘除运算
3.2.2 复数代数形式的乘除运算自主预习·探新知情景引入根据复数的几何意义和平面向量在坐标表示下的加(减 )法运算,我们很容易规定了复数的加(减)法规则,因为实数是复数的一部分,且实数有其乘法运算,因此我们有理由且应当规定复数集内的乘法运算,使实数的乘法作为复数乘法的一种特殊情况,考虑到复数的代数标准形式及i 2=-1,并联系多项式的乘法法则,就可建立复数的代数乘法规则.新知导学1.复数代数形式的乘法法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则z 1·z 2=(a +b i)(c +d i)=__(ac -bd )+(ad +bc )i__. 2.复数乘法的运算律 对任意复数z 1,z 2,z 3∈C ,有交换律 z 1·z 2=__z 2·z 1__ 结合律 (z 1·z 2)·z 3=z 1·(z 2·z 3) 分配律z 1(z 2+z 3)=__z 1z 2+z 1z 3__3.共轭复数已知z 1=a +b i ,z 2=c +d i ,a ,b ,c ,d ∈R ,则(1)z 1,z 2互为共轭复数的充要条件是__a =c 且b =-d __. (2)z 1,z 2互为共轭虚数的充要条件是__a =c 且b =-d ≠0__. 4.复数代数形式的除法法则(a +b i)÷(c +d i)=a +b i c +d i =__ac +bd c +d +bc -adc +d i__(c +d i ≠0).预习自测1.(2019·全国Ⅱ卷理,2)设z =-3+2i ,则在复平面内 z 对应的点位于( C ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限D .第四象限[解析] z =-3-2i ,故z 对应的点(-3,-2)位于第三象限.故选C . 2.(2019·全国Ⅲ卷理,2)若z (1+i)=2i ,则z =( D ) A .-1-i B .-1+i C .1-iD .1+i[解析] 由z (1+i)=2i ,得z =2i 1+i =2i (1-i )(1+i )(1-i )=2i (1-i )2=i(1-i)=1+i.故选D .3.(2019·北京卷理,1)已知复数z =2+i ,则z ·z =( D ) A. 3 B . 5 C .3D .5[解析] 解法一:∵ z =2+i ,∴ z =2-i , ∴ z ·z =(2+i)(2-i)=5.故选D .解法二:∵ z =2+i ,∴ z ·z =|z |2=5.故选D .4.(2020·天津,10)i 是虚数单位,复数8-i2+i =__3-2i__.[解析]8-i 2+i =(8-i )(2-i )(2+i )(2-i )=15-10i5=3-2i .5.计算: (1)(-1+i )(2+i )i 3;(2)(1+2i )2+3(1-i )2+i ;(3)1-i (1+i )2+1+i (1-i )2; (4)1-3i (3+i )2. [解析] (1)(-1+i )(2+i )i 3=-2-i +2i -1-i =-3+i-i=(-3+i )i-i·i=-1-3i . (2)(1+2i )2+3(1-i )2+i=1+4i -4+3-3i2+i=i 2+i =i (2-i )(2+i )(2-i ) =1+2i5. (3)1-i (1+i )2+1+i (1-i )2=1-i 2i -1+i 2i =1-i -1-i 2i =-2i2i=-1. (4)1-3i (3+i )2=1-3i 3+23i -1 =1-3i 2+23i =(1-3i )22(1+3i )(1-3i ) =1-23i -38=-1+3i4.互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶复数的乘法与乘方典例1 计算:(1)(2+i)(1+2i)(2-i)-5i ;(2)(1-i)2(1+i)2+4.[思路分析] 应用复数的乘法法则及运算律求解. [解析] (1)(2+i)(1+2i)(2-i)-5i =(2+i)(2-i)(1+2i)-5i =(4-i 2)(1+2i)-5i =5(1+2i)-5i =5+10i -5i =5+5i .(2)(1-i)2(1+i)2+4=[(1-i)(1+i)]2+4=(1-i 2)2+4=22+4=8.『规律方法』 1.复数的乘法运算可将i 看作字母按多项式乘法的运算法则进行,最后将i 2=-1代入合并“同类项”即可.2.复数的乘法运算可以推广,因此,复数可进行乘方运算,常见的有:(a ±b i)2=(a 2-b 2)±2ab i(a 、b ∈R ),(1±i)2=±2i 等,即实数的乘方公式对复数也成立.┃┃跟踪练习1__■(1)(2018·全国Ⅱ卷文,2)i(2+3i)=( D ) A .3-2i B .3+2i C .-3-2iD .-3+2i(2)(2018·全国Ⅲ卷理,2)(1+i)(2-i)=( D ) A .-3-i B .-3+i C .3-iD .3+i[解析] (1)i(2+3i)=2i +3i 2=-3+2i . 故选D .(2)(1+i)(2-i)=2+2i -i -i 2=3+i . 故选D . 命题方向❷复数的除法典例2 计算:(1)(1+2i)÷(3-4i);(2)(1+i )3-(1-i )3(1+i )2-(1-i )2; (3)(12+32i)4+(1-3i )2(2+2i )2. [思路分析] (1)先写成分式的形式,再分母实数化.(2)分子、分母按复数的乘法先分别展开化简,或分解因式,再做除法. (3)先展开,后化简. [解析] (1)(1+2i)÷(3-4i)=1+2i 3-4i =(1+2i )(3+4i )(3-4i )(3+4i )=-5+10i25=-15+25i .(2)解法一:原式=1+3i (1+i )+i 3-[1-3i (1-i )-i 3]2i +2i =4i4i =1.解法二:原式=[(1+i )-(1-i )][(1+i )2+(1+i )(1-i )+(1-i )2][(1+i )+(1-i )][(1+i )-(1-i )]=1.(3)原式=[(12+32i)2]2+-2-23i 4(1+i )2=(-12+32i)2-1+3i 4i=-12-32i +14i -34=(-12-34)+(14-32)i .『规律方法』 除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数,再按复数的乘法进行运算,最后化简.┃┃跟踪练习2__■(1)(2020·新高考全国卷Ⅰ,2)2-i 1+2i =( D )A .1B .-1C .iD .-i(2)(2020·全国卷Ⅲ理,2)复数11-3i的虚部是( D ) A .-310B .-110C.110D .310[解析] (1)2-i 1+2i =(2-i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=-5i5=-i ,故选D .(2)∵z =11-3i =1+3i (1-3i )(1+3i )=1+3i 10=110+310i ,∴复数11-3i的虚部为310.命题方向❸共轭复数典例3 复数2+i1-2i的共轭复数是( C ) A .-35iB .35iC .-iD .i[思路分析] 通过运算把复数写成a +b i(a 、b ∈R 的形式),则其共轭复数为a -b i . [解析] 依题意:2+i 1-2i =2i -1(1-2i )·i =-1i =i ,∴其共轭复数为-i ,选C .『规律方法』 1.由比较复杂的复数运算给出的复数,求其共轭复数,可先按复数的四则运算法则进行运算,将复数写成代数形式,再写出其共轭复数.2.注意共轭复数的简单性质的运用. ┃┃跟踪练习3__■(2020·全国卷Ⅲ文,2)若z (1+i)=1-i ,则z =( D ) A .1-i B .1+i C .-iD .i[解析] ∵z (1+i)=1-i , ∴z =1-i 1+i =(1-i )2(1+i )(1-i )=-2i2=-i ,∴z =i ,故选D .易混易错警示计算要细致准确典例4 复数2-i 31-2i等于( A )A .iB .-iC .22-iD .-22-i [错解] D 2-i 31-2i =2-i 1-2i =(2-i )(1+2i )-1=-22-i .[辨析] 错解中有两处错的地方:因为i 3=-i ,所以2-i 3=2+i ,(1-2i)(1+2i)=1-(2i)2=1-2·i 2=1+2=3.[正解] 2-i 31-2i =2+i 1-2i =(2+i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=2+2i +i +2i 21-(2i )2=3i 1+2=i.故选A .学科核心素养 复数的有关性质i n (n ∈N *)的性质计算复数的乘积要用到虚数的单位i 的乘方,i n 有如下性质: i 1=i ,i 2=-1,i 3=i·i 2=-i ,i 4=i 3·i =-i·i =1, 从而对于任何n ∈N *,都有i 4n +1=i 4n ·i =(i 4)n ·i =i , 同理可证i 4n +2=-1,i 4n +3=-i ,i 4n +4=1. 这就是说,如果n ∈N *,那么有i 4n +1=i ,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i ,i 4n +4=1. 由此可得(1+i)2=2i ,(1-i)2=-2i ,1-i 1+i=-i ,1+i 1-i=i ,1i =-i .典例5 计算i +i 2+i 3+…+i 2018+i 2019.[思路分析] 先计算i ,i 2,i 3,i 4的和,找出规律,再按照规律求解. [解析] ∵i 2=-1,i 3=-i ,i 4=1,i 5=i ,…∴i +i 2+i 3+i 4=0,∴i +i 2+i 3+i 4+…+i 2019=i 2017+i 2018+i 2019=i -1-i =-1.莘莘学子,最重要的就是不要去看远方模糊的,而要做手边清楚的事。
【优化课堂】高二数学人教A版选修1-2学案:3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
_3.2复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义[提出问题]已知复数z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R).问题1:多项式的加减实质是合并同类项,类比想一想复数如何加减?提示:两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+b i)±(c+d i)=(a±c)+(b±d)i.问题2:复数的加法满足交换律和结合律吗?提示:满足.问题3:以交换律说明之.提示:z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i,z2+z1=(c+d i)+(a+b i)=(c+a)+(d+b)i,∴z1+z2=z2+z1.[导入新知]1.复数的加、减法法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.2.复数加法的运算律(1)交换律:z1+z2=z2+z1;(2)结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).[化解疑难]对复数加减法的理解1.把复数的代数形式看成关于“i”的多项式,则复数的加法、减法运算,类似于多项式的加法、减法运算,只需要“合并同类项”就可以了.2.复数的加减法中规定,两复数相加减,是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减,复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形.3.两个复数的和(差)是复数,但两个虚数的和(差)不一定是虚数.例如,(3-2i)+2i =3.[提出问题]如图1OZ ,2OZ 分别与复数a +b i ,c +d i 对应. 问题1:试写出1OZ 、2OZ 及1OZ +2OZ ,1OZ -2OZ 的坐标.提示:1OZ =(a ,b ),2OZ =(c ,d ),1OZ +2OZ =(a +c ,b +d ),1OZ -2OZ =(a -c ,b -d ).问题2:向量1OZ +2OZ ,1OZ -2OZ 对应的复数分别是什么?提示:向量1OZ +2OZ 对应的复数是a +c +(b +d )i ,也就是z 1+z 2,向量1OZ -2OZ 对应的复数是a -c +(b -d )i ,也就是z 1-z 2.[导入新知]复数加、减法的几何意义如图:设在复平面内复数z 1,z 2对应的向量分别为1OZ ,2OZ ,以OZ 1,OZ 2为邻边作平行四边形,则与z 1+z 2对应的向量是OZ ,与z 1-z 2对应的向量是21Z Z .[化解疑难]对复数加减运算几何意义的认识复数加减运算的几何意义就是向量加减运算的平行四边形法则或三角形法则,由复数加减法的几何意义可得如下结论:||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|.[例1] 计算:(2)(-1+2i)+(1+2i);(3)(a +b i)-(2a -3b i)-3i(a ,b ∈R).[解] (1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-1)i =3+2i. (2)(-1+2i)+(1+2i)=(-1+1)+(2+2)i =22i.(3)(a +b i)-(2a -3b i)-3i =(a -2a )+(b +3b -3)i =-a +(4b -3)i. [类题通法]复数的加、减运算的技巧复数的加减运算,只需把“i”看作一个字母,完全可以按照合并同类项的方法进行. [活学活用] 计算下列各题.(1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i);(2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2 011-2 012i). 解:(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i =-5+20i.(2)原式=(1-2+3-4+…+2 009-2 010+2 011)+(-2+3-4+5-…-2 010+2 011-2 012)i =1 006-1 007i.[例2] 分别对应于复数-5-2i ,-4+5i,2,求点D 对应的复数及对角线AC 、BD 的长.[解] 如图,因为AC 与BD 的交点M 是各自的中点,所以有zM =z A +z C2=z B +z D 2,所以z D =z A +z C -z B =1-7i ,因为AC :z C -z A =2-(-5-2i)=7+2i ,所以|AC |=|7+2i|=72+22=53,因为BD :z D -z B =(1-7i)-(-4+5i)=5-12i ,所以|BD |=|5-12i|=52+122=13.故点D 对应的复数是1-7i ,AC 与BD 的长分别是53和13. [类题通法]运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量AB 对应的复数是z B -z A (终点对应的复数减去起点对应的复数).[活学活用]复数z 1=1+2i ,z 2=-2+i ,z 3=-1-2i ,它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点,如图所示,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解:复数z 1,z 2,z 3所对应的点分别为A ,B ,C ,设正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +y i(x ,y ∈R).因为AD =OD -OA ,所以AD 对应的复数为(x +y i)-(1+2i)=(x -1)+(y -2)i ,因为BC =OC -OB ,所以BC 对应的复数为(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.因为AD =BC ,所以它们对应的复数相等,即⎩⎪⎨⎪⎧ x -1=1,y -2=-3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-1.故点D 对应的复数为2-i.[例3] 设z 1,z 2∈C z 2|.[解] 法一:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R),由题设知a 2+b 2=1,c 2+d 2=1,(a +c )2+(b +d )2=2,又(a +c )2+(b +d )2=a 2+2ac +c 2+b 2+2bd +d 2, ∴2ac +2bd =0.∵|z 1-z 2|2=(a -c )2+(b -d )2 =a 2+c 2+b 2+d 2-(2ac +2bd )=2, ∴|z 1-z 2|= 2.法二:作出z 1,z 2对应的向量1OZ ,2OZ ,使1OZ +2OZ =OZ ,∵|z 1|=|z 2|=1,又1OZ ,2OZ 不共线(若1OZ ,2OZ 共线,则|z 1+z 2|=2或0与题设矛盾),∴平行四边形OZ 1ZZ 2为菱形. 又|z 1+z 2|=2,∴∠Z 1OZ 2=90°,即四边形OZ 1ZZ 2为正方形, 故|z 1-z 2|= 2. [类题通法]与复数模有关的几个常见结论在复平面内,z 1,z 2对应的点为A ,B ,Z 1+Z 2对应的点为C ,O 为坐标原点,则四边形OACB :(1)为平行四边形;(2)若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|,则四边形OACB 为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.[活学活用]已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.解:法一:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R),∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴a2+b2=c2+d2=1,①(a-c)2+(b-d)2=1. ②由①②得2ac+2bd=1.∴|z1+z2|=(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+b2+d2+2ac+2bd= 3.法二:设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2对应的点分别为A,B,C.∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴△OAB是边长为1的正三角形,∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形,且|z1+z2|是菱形的较长的对角线OC的长,∴|z1+z2|=|OC|=|OA|2+|AC|2-2|OA||AC|cos 120°= 3.4.误将复数运算当作实数运算[典例]M={z||z+1|=1},N={z||z+i|=|z-i|},则M∩N=________.[解析]利用复数的几何意义解决问题.在复平面内,|z+1|=1的几何意义是以点(-1,0)为圆心,以1为半径的圆.|z+i|=|z-i|的几何意义是到点A(0,1)和点B(0,-1)距离相等的点的集合,是线段AB的垂直平分线,也就是x轴.M∩N的几何意义是x轴与圆的公共点对应的复数.故z=0或z=-2.∴M∩N={0,-2}.[答案]{0,-2}1.本题若混淆复数运算与代数运算的不同,则会错误的将集合M 和N 化简为M ={z |z +1=±1},N ={z |z +i =±(z -i)}从而造成解题错误.2.在复数运算中,若z =a +b i ,则|z |=a 2+b 2.要注意与实数运算中的绝对值运算的区别.[成功破障]已知复数z 满足z +|z |=2+8i ,则复数z =________. 解析:法一:设z =a +b i(a ,b ∈R),则|z |=a 2+b 2, 代入方程得a +b i +a 2+b 2=2+8i ,∴⎩⎨⎧a +a 2+b 2=2,b =8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-15,b =8.∴z =-15+8i.法二:原式可化为z =2-|z |+8i , ∵|z |∈R ,∴2-|z |是z 的实部, 于是|z |=(2-|z |)2+82, 即|z |2=68-4|z |+|z |2,∴|z |=17. 代入z =2-|z |+8i 得z =-15+8i. 答案:-15+8i.[随堂即时演练]1.复数(1-i)-(2+i)+3i 等于( ) A .-1+i B .1-i C .iD .-i解析:选A 原式=(1-2)+(-1-1+3)i =-1+i.2.在复平面内,AB ,AC 对应的复数分别为-1+2i ,-2-3i ,则BC 对应的复数为( )A .-1-5iB .-1+5iC .3-4iD .3+4i解析:选A BC =AC -AB =(-2-3i)-(-1+2i)3.实数x ,y 满足(1+i)x +(1-i)y =2,则xy 的值是________. 解析:由题意得x +y +(x -y )i =2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2,x -y =0,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,∴xy =1. 答案:14.已知z 是复数,|z |=3且z +3i 是纯虚数,则z =________. 解析:设z =a +b i ,则a +b i +3i =a +(b +3)i 是纯虚数, ∴a =0,b +3≠0,又∵|z |=3,∴b =3,∴z =3i. 答案:3i5.已知z 1=(3x +y )+(y -4x )i ,z 2=(4y -2x )-(5x +3y )i(x ,y ∈R),设z =z 1-z 2=13-2i ,求z 1,z 2.解:z =z 1-z 2=(3x +y )+(y -4x )i -[(4y -2x )-(5x +3y )i] =[(3x +y )-(4y -2x )]+[(y -4x )+(5x +3y )]i =(5x -3y )+(x +4y )i , 又∵z =13-2i ,且x ,y ∈R ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x -3y =13,x +4y =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-1,∴z 1=(3×2-1)+(-1-4×2)i =5-9i , z 2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i =-8-7i.。
【高中数学】复数乘除运算 学案-人教A版数学选修1-2
3.2.2 《复数代数形式的乘除运算》导学案【学习目标】1. 理解共轭复数的概念;2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算一.基础感知:阅读课本思考并完成下列问题:(一):复数代数形式的乘法运算规定,复数的乘法法则如下:设12,z a bi z c di =+=+,是任意两个复数,那么 2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++ = 即:两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把2i 换成1-,并且把实部与虚部分别合并即可问题:复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律? 新知:对于任意123,,z z z C ∈,有 1221z z z z ⋅=⋅123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅, 1231213())z z z z z z z +=+反思:复数的四则运算类似于多项式的四则运算,也满足其在实数集上的运算律. ※ 知识拓展i 具有周期性,即:41n i =;41n i i +=;4221n i i +==-;43n i i +=-(二):共轭复数当两个复数的 ,虚部互为 ,这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.试试:34i +的共轭复数为 问:若12,z z 是共轭复数,那么(1)在复平面内,它们所对应的点的位置关系为:(2)12z z ⋅是一个怎样的数?(三):复数的除法法则 2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++(0)c di +≠ 二、深入学习例1 计算:(1)(34)(34)i i +-;(2)(2)2(1)i +(3) (32)(32)i i +-+;(4)(2)(12)i i i --(5)(12)(34)i i +÷-;(6)232(12)i i -+,例2 .已知(12)43i z i +=+,求z 及zz .例3.设复数z 满足()132i z i +=-+,则z =____________.2.设复数z 满足(1)2i z i -=,其中i 为虚数单位,则=z .四、当堂检测1. 复数52i -的共轭复数是( )A .2i +B .2i -C .2i --D .2i -2. 复数313()22i +的值是( )A .i -B .iC .1-D .13. 如果复数212bii-+的实部和虚部互为相反数,那么实数b的值为()A.B.-2 C.23-D.234. 若复数z满足11ziz-=+,则|1|z+的值为。
高二数学人教A版选修1-2:3-2-2复数代数形式的乘除运算课件
第六页,编辑于星期一:点 五十九分。
4.(a+bi)÷(c+di)=acc2+ +bdd2 +bcc2- +add2 i,复数的除法的 实质是分母实数化,分母为 a+bi 型,同乘 a-bi,a-bi 型,同乘 a+bi.
5.①(1±i)2=±2i. ②11+ -ii=i,11-+ii=-i. ③(zm)n=zmn. ④z·z =|z|2=| z |2. ⑤ z1·z2 = z1 ·z2 .
1.在解方程时,对未知量的系数必须准确判断,才能 寻找出正确的解题思路.
2.解决关于方程有实根的问题或实系数方程有复数根 的问题,即上面提到的①②,一般都是指实根或复数根代入 方程,用复数相等的充要条件求解.
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3.对于实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0,当 Δ<0 时,
A.2i
B.-2i
C.2
() D.-2
[答案] A
[解析]
2(2+i) 1-2i
=2(2+i)5(1+2i)=2(2+55i-2)=2i.
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二、填空题 4.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x=______, y=______. [答案] -1 1 [解析] 由题意可得xy-=21=3x ∴xy==-1 1
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三、解答题 6.计算:(2+i)·(1+i)2-21+ +ii. [解析] 原式=(2+i))(2i)-(2+i)2(1-i) =4i-2-3-2 i=(-2-32)+(4+12)i=-72+92i.
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3.2.2 复数代数形式的乘除运算[导入新知]1.复数的乘法设z1=a+b i,z2=c+d i是任意两个复数,那么它们的积(a+b i)(c+d i)=ac+bc i+ad i +bd i2=(ac-bd)+(ad+bc)i(a,b,c,d∈R).2.复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有[化解疑难]对复数乘法的理解(1)复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.(2)两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数.[提出问题]问题1:复数z1=a+b i与z2=a-b i(a,b∈R)有什么关系?提示:两复数实部相等,虚部互为相反数.问题2:试求z1=a+b i,z2=a-b i(a,b∈R)的积.提示:z1z2=a2+b2,积为实数.问题3:如何规定两复数z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R,c+d i≠0)相除?提示:通常先把(a+b i)÷(c+d i)写成a+b ic+d i的形式,再把分子和分母都乘c-d i,化简后可得结果.即a +b i c +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )=(ac +bd )+(bc -ad )ic 2+d 2 =ac +bd c 2+d 2+bc -adc 2+d 2i(c +d i ≠0). [导入新知] 1.共轭复数的概念一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.通常记复数z 的共轭复数为z ,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.2.复数的除法法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(c +d i ≠0), 则z 1z 2=a +b i c +d i =ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i(c +d i ≠0). [化解疑难]辨析复数除法与实数除法的关系复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).[例1] 计算:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i); (2)⎝⎛⎭⎫-12+32i ⎝⎛⎭⎫32+12i (1+i); (3)(-2+3i)÷(1+2i); (4)3+2i 2-3i -3-2i 2+3i. [解] (1)(1+i)(1-i)+(-1+i) =1-i 2+(-1+i)=2-1+i =1+i. (2)⎝⎛⎭⎫-12+32i ⎝⎛⎭⎫32+12i (1+i) =⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫-34-34+⎝⎛⎭⎫34-14i (1+i) =⎝⎛⎭⎫-32+12i (1+i)=⎝⎛⎭⎫-32-12+⎝⎛⎭⎫12-32i =-1+32+1-32i.(3)(-2+3i)÷(1+2i)=-2+3i 1+2i =(-2+3i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=(-2+6)+(3+4)i 12+22=45+75i. (4)法一:3+2i 2-3i -3-2i2+3i=(3+2i )(2+3i )-(3-2i )(2-3i )(2-3i )(2+3i )=6+13i -6-6+13i +64+9=26i13=2i. 法二:3+2i 2-3i -3-2i 2+3i =i (2-3i )2-3i --i (2+3i )2+3i=i +i =2i. [类题通法]复数乘除运算的常用技巧(1)按照复数的乘法法则,三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致,在计算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.(2)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.[活学活用](1)已知复数z 1=4+8i ,z 2=6+9i ,求复数(z 1-z 2)i 的实部与虚部; (2)已知z 是纯虚数,z -21+i是实数,求z .解:(1)由题意得z 1-z 2=(4+8i)-(6+9i)=(4-6)+(8i -9i)=-2-i ,则(z 1-z 2)i =(-2-i)i =-2i -i 2=1-2i.于是复数(z 1-z 2)i 的实部是1,虚部是-2.(2)设纯虚数z =b i(b ∈R), 则z -21+i =b i -21+i =(b i -2)(1-i )(1+i )(1-i )=(b -2)+(b +2)i2.由于z -21+i是实数,所以b +2=0,即b =-2,所以z =-2i.[例2] (1)若z =1+2ii,则复数z =( )A .-2-iB .-2+iC .2-iD .2+i(2)(四川高考)如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A .AB .BC .CD .D(3)复数z =1+i ,z -为z 的共轭复数,则z z --z -1=( ) A .-2i B .-i C .iD .2i[解析] (1)z =1+2i i =(1+2i )(-i )-i 2=2-i ,则复数z -=2+i. (2)因为x +y i 的共轭复数为x -y i ,故选B.(3)依题意得z z --z -1=(1+i)(1-i)-(1+i)-1=-i. [答案] (1)D (2)B (3)B [类题通法]共轭复数的求解与应用(1)若复数z 的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出z -,再进行复数的四则运算.必要时,需通过复数的运算先确定出复数z 的代数形式,再根据共轭复数的定义求z -.(2)共轭复数应用的另一种常见题型是:已知关于z 和z -的方程,而复数z 的代数形式未知,求z ,解此类题的常规思路为设z =a +b i(a ,b ∈R),则z -=a -b i ,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组)求解.[活学活用]已知复数z =1+i ,复数z 的共轭复数z -=1-i ,求实数a 、b 使az +2b z -=(a +2z )2. 解:∵z =1+i ,z -=1-i ,∴az +2b z -=(a +2b )+(a -2b )i , (a +2z )2=(a +2)2-4+4(a +2)i =(a 2+4a )+4(a +2)i. ∵a 、b 都是实数,∴由az +2b z -=(a +2z )2,得⎩⎪⎨⎪⎧a +2b =a 2+4a ,a -2b =4(a +2),解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-2,b =-1,或⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =2.[例3] 已知z 1是虚数,z 2=z 1+1z 1是实数,且-1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围; (2)若ω=1-z 11+z 1,求证:ω为纯虚数.[解] 设z 1=a +b i(a ,b ∈R ,且b ≠0).(1)z 2=z 1+1z 1=a +b i +1a +b i =⎝⎛⎭⎫a +a a 2+b 2+⎝⎛⎭⎫b -b a 2+b 2i.因为z 2是实数,b ≠0,于是有a 2+b 2=1,即|z 1|=1,所以z 2=2a .由-1≤z 2≤1,得-1≤2a ≤1,解得-12≤a ≤12,即z 1的实部的取值范围是⎣⎡⎦⎤-12,12. (2)ω=1-z 11+z 1=1-a -b i 1+a +b i =1-a 2-b 2-2b i (1+a )2+b 2=-ba +1i.因为a ∈⎣⎡⎦⎤-12,12,b ≠0,所以ω为纯虚数. [类题通法]解决双复数问题的方法解决此类双复数问题的关键是设出已知条件较多的一个复数z =a +b i(a ,b ∈R),注意题目对a ,b 取值的限制,然后用a ,b 表示出另外的复数,进而转化求解.此类题目难度较大,除需正确进行复数的四则运算外,还需掌握复数的基本概念及复数模的定义.[活学活用]已知z ,ω为复数,(1+3i)z 为实数,ω=z2+i ,且|ω|=52,求ω.解:设ω=x +y i(x ,y ∈R),由ω=z2+i,得z =ω(2+i)=(x +y i)(2+i).依题意,得(1+3i)z =(1+3i)(x +y i)(2+i)=(-x -7y )+(7x -y )i , ∴7x -y =0. ①又|ω|=52,∴x 2+y 2=50. ②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =7,或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-7.∴ω=1+7i 或ω=-1-7i.5.误用判别式求解复数方程[典例] 已知关于x 的方程x 2+(k +2i)x +2+k i =0有实数根,则实数k 的值为________. [解析] 设x 0是方程的实数根,代入方程并整理得(x 20+kx 0+2)+(2x 0+k )i =0.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20+kx 0+2=0,2x 0+k =0,解得⎩⎨⎧ x 0=2,k =-22,或⎩⎨⎧x 0=-2,k =22,所以k 的值为-22或2 2.[答案] ±2 2 [易错防范]1.求解本题易出现如下错误:因为方程有实数根,所以Δ=(k +2i)2-4(2+k i)≥0,解得k ≥23或k ≤-2 3.需注意由于虚数单位的特殊性,不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根.2.复数范围内解方程的一般思路是:依据题意设出方程的根,代入方程,利用复数相等的充要条件求解.对于一元二次方程,也可以利用求根公式求解,要注意在复数范围内负数是能开方的,此外,根与系数的关系也是成立的.注意求方程中参数的取值时,不能利用判别式求解.[成功破障]在复数范围内方程x 2-5|x |+6=0的解的个数为( )A .2B .4C .6D .8 解析:选C 设x =a +b i(a ,b ∈R), 那么原方程即为(a +b i)2-5a 2+b 2+6=0,即⎩⎨⎧a 2-b 2-5a 2+b 2+6=0,2ab =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =±2,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧ a =±3,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =±1.[随堂即时演练]1.(浙江高考)已知i 是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=( ) A .-3+i B .-1+3i C .-3+3iD .-1+i解析:选B 按照复数乘法运算法则,直接运算即可.(-1+i)(2-i)=-1+3i. 2.(湖北高考)在复平面内,复数z =2i1+i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选D z =2i1+i =2i (1-i )(1+i )(1-i )=1+i 的共轭复数为1-i ,对应的点为(1,-1)在第四象限.3.若21-i=a +b i(i 为虚数单位,a ,b ∈R),则a +b =________.解析:因为21-i =2(1+i )(1-i )(1+i )=1+i ,所以1+i =a +b i ,所以a =1,b =1,所以a +b=2.答案:24.设z 1=a +2i ,z 2=3-4i ,且z 1z 2为纯虚数,则实数a 的值为________.解析:设z 1z 2=b i(b ∈R 且b ≠0),所以z 1=b i·z 2,即a +2i =b i(3-4i)=4b +3b i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a =4b ,2=3b ,所以a =83.答案:835.计算:(1)(1-i)⎝⎛⎭⎫-12+32i (1+i);(2)2+3i3-2i;(3)(2-i)2.解:(1)法一:(1-i)⎝⎛⎭⎫-12+32i (1+i)=⎝⎛⎭⎫-12+32i +12i -32i 2(1+i) =⎝⎛⎭⎪⎫3-12+3+12i (1+i)=3-12+3+12i +3-12i +3+12i 2=-1+3i. 法二:原式=(1-i)(1+i)⎝⎛⎭⎫-12+32i=(1-i 2)⎝⎛⎭⎫-12+32i =2⎝⎛⎭⎫-12+32i=-1+3i. (2)2+3i 3-2i =(2+3i )(3+2i )(3-2i )(3+2i )=(2+3i )(3+2i )(3)2+(2)2=6+2i +3i -65=5i 5=i. (3)(2-i)2 =(2-i)(2-i) =4-4i +i 2 =3-4i.。